Estadistica II

ESCUELA : NOMBRES ESTADÍSTICA II (PRIMER BIMESTRE) FECHA : Dr. Gonzalo Morales Larreátegui ABRIL – AGOSTO 2009 Psicología

Capítulo 8. MUESTREO ALEATORIO Y PROBABILIDAD

Muestreo Aleatorio

Técnicas

Muestreo con y sin reemplazo

Probabilidad

Cálculo de probabilidades

Regla de la suma P(AoB)

Regla del Producto P(AyB)

Probabilidad y variables continuas con distribución Normal

MUESTREO ALEATORIO

¿Cuándo una muestra es aleatoria? Igual probabilidad de ser elegida para cada muestra (y para cada individuo)

¿Por qué se requiere que una muestra sea aleatoria?

Técnicas

Tabla J

Otras técnicas

Muestreo con y sin reemplazo

TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 46813 97008 49314 420 75393 96546 48391 15582 9723 2 54234 21431 40759 30527 7083 53624 6301 61372 23723 3 74305 58018 43187 95210 65736 9549 1996 37289 30785 4 99129 84857 39449 89887 62367 89022 66378 99086 58509 5 11965 20858 74118 79922 83312 4823 6382 99528 86568 6 21958 33099 74177 38280 23804 19744 61982 7301 74337 7 94907 21842 82984 48299 31180 59976 81177 8951 64186 8 22882 17392 19916 63002 94074 59098 4699 11579 84643 9 83417 68590 95169 37280 77391 148 87334 19902 67405 10 92708 42746 42264 11654 82388 3295 25645 58283 93438 11 64615 79648 17773 46070 76865 38280 37908 3347 89898

PROBABILIDAD

A priori

A posteriori

Axiomas de la probabilidad

P(E) = 1

P ( Φ ) = 0

0 ≤P(S)≤1

P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AyB)

P(AyB)=P(A)*P(B Ι A)

X X o O X O

Probabilidad y variables continuas con distribución normal

P(A)=(Área de A)/(Área Total)

Áreas bajo la curva normal Z Área entre la media y Z Área más allá de Z Z Área entre la media y Z Área más allá de Z Z Área entre la media y Z Área más allá de Z A B C A B C A B C 0,0 0,0000 0,5000 1,0 0,3413 0,1587 2,0 0,4772 0,0228 0,1 0,0398 0,4602 1,1 0,3643 0,1357 2,1 0,4821 0,0179 0,2 0,0793 0,4207 1,2 0,3849 0,1151 2,2 0,4861 0,0139 0,3 0,1179 0,3821 1,3 0,4032 0,0968 2,3 0,4893 0,0107 0,4 0,1554 0,3446 1,4 0,4192 0,0808 2,4 0,4918 0,0082 0,5 0,1915 0,3085 1,5 0,4332 0,0668 2,5 0,4938 0,0062 0,6 0,2257 0,2743 1,6 0,4452 0,0548 2,6 0,4953 0,0047 0,7 0,2580 0,2420 1,7 0,4554 0,0446 2,7 0,4965 0,0035 0,8 0,2881 0,2119 1,8 0,4641 0,0359 2,8 0,4974 0,0026 0,9 0,3159 0,1841 1,9 0,4713 0,0287 2,9 0,4981 0,0019

Ejercicio 1

Si usted extrae una sola carta de una baraja ordinaria, ¿Cuál es la probabilidad de que sea:

¿El as de diamantes?

¿Un 10?

¿Una reina o un corazón?

¿Un 3 o una carta negra?

P(A◊)=1/52

P(10)=4/52=1/13

P(Qo  )=P(Q)+P(  )-(Qy  ) =4/52+13/52-1/52=16/52=4/13

P(3oN)=4/52+26/52-2/52 =28/52=7/13

Ejercicio 2

Una prueba estandarizada para medir los conocimientos de matemática es administrada en toda la nación. Los resultados muestran una distribución normal de los datos con u=50 y σ =5.8. Si un dato es extraído aleatoriamente de esta población, ¿Cuál es la probabilidad de que:

¿Sea mayor que 62?

¿Esté entre 40 y 65?

¿Sea menor que 45?

Z=(62-50)/5.8=2.1

P=0.0179

Z=(40-50)/5.8=-1.0

Z=(65-50)/5.8=2.6

P=0.3413+0.4953=8366

Z=(45-50)/5.8=-0.9

P=0.1841

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Definición e Ilustración

Generación a partir del desarrollo binomial

Uso de la tabla

DEFINICIÓN E ILUSTRACIÓN

Condiciones:

N ensayos

Dicotómicos

Mutuamente excluyentes

Independientes

Probabilidades no cambian

GENERACIÓN A PARTIR DEL DESARROLLO BINOMIAL

(P+Q)²=P²+2PQ+Q²

(P+Q)³=P³+3P²Q+3PQ²+Q³

…

(P+Q) N =P N +NP N-1 Q+…NPQ N-1 +Q N

TRIÁNGULO DE PASCAL

1

1 1

1 2 1

3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

PARA CALCULAR CUALQUIER TÉRMINO …

¿Cual es el 4to término de (P+Q) 7 ? (N=3)

( 7x6x5)/(1x2x3)P (7-3) Q 3 =35P 4 Q 3

¿Y el penúltimo término? (N=6))

( 7x6x5x4x3x2)/(1x2x3x4x5x6)=7/1

(7)/(1)P (7-6) Q 6 =7PQ 6

Número de eventos PoQ N PoQ 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 1 1 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 2 1 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 2 2 0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500 3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 3 1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 3 2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 3 3 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250 4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 4 1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 4 2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 4 3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500 4 4 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625

Ejercicio 3

Una cerrajería anuncia que las llaves ahí fabricadas tienen una probabilidad P = 0.90 de funcionar bien. Si usted compró 4 llaves de esa cerrajería

¿Cuál es la probabilidad de que todas ellas funcionen correctamente?

P=0.6561

¿De que al menos 2 funcionen correctamente?

P=0.6561+0.2916+0.0486=0.9963

INTRODUCCIÓN A LA PRUEBA DE HIPÓTESIS MEDIANTE LA PRUEBA DEL SIGNO

Error Tipo I y Tipo II

Nivel alfa y el proceso de decisión

Evaluación de la cola de distribución

Evaluaciones de probabilidad para una y dos colas

Magnitud del efecto: Significativo versus importante.

5

Errores tipo I y tipo II

Diseño de medidas repetidas

Hipótesis Alternativa

Hipótesis nula

Regla de decisión (Nivel alfa)

¿Cuándo usar una evaluación de probabilidad de una cola?

Significativo versus importante.

EJERCICIO 4

Una primatóloga tiene la impresión de que los monos rhesus son curiosos. Ella considera que, si está en lo cierto, esos primates preferirán una estimulación novedosa a una estimulación repetitiva. Entonces la investigadora realiza un experimento en el cual diez monos Rhesus son elegidos al azar entre una colonia de macacos que posee la universidad, y luego se les enseña a oprimir dos barras. Cuando la barra 1 es oprimida se produce siempre el mismo sonido, mientras que al oprimir la barra 2 se produce un nuevo sonido en cada ocasión.

Una vez que han aprendido a oprimir las barras los monos son sometidos a una prueba de 15 minutos, durante las cuales tienen libre acceso a ambas barras. Se registra entonces el número de veces que oprimen cada barra durante esos 15 minutos. Los datos resultantes se muestran a continuación:

Sujeto BARRA 1 Barra 2 Sujeto BARRA 1 Barra 2

1 20 40 6 26 21

2 18 25 7 15 32

3 24 38 8 29 38

4 14 27 9 15 25

5 5 31 10 9 18

¿Cuál es la hipótesis alternativa? En este caso supongamos que una hipótesis no direccional resulta apropiada, debido a que existe poca evidencia empríca que garantice una hipótesis direccional.

H1: Los monos tienen preferencia por una (cualquiera) de las barras.

¿Cuál es la hipótesis nula?

Ho: Los monos no tienen preferencia por ninguna de las barras

Utilice α =0.05 2 colas para obtener una conclusión

¿Qué error se podría cometer con la conclusión del inciso anterior?

¿A qué población se aplica la conclusión?

¿Cuál es la probabilidad de encontrar , por azar, un resultado tan o más extremo que esto? (9 positivos y 1 negativo)

En la tabla B,, pág. 530 vemos

P(0) = 0.0010 P(1) = 0.0098 P (9)= 0.0098

P(10)= 0.0010

P=0.0216 < 0.05 se rechaza Ho y se acepta H1

Se puede cometer un error tipo II

La conclusión se aplica a la colonia de macacos que tiene la universidad

POTENCIA

Pnula y Preal

N y magnitud del efecto real

Potencia y beta

Alfa, beta y realidad

Interpretación de resultados no significativos.

EJERCICIO 5

Usted está pensando en la forma de probar un nuevo fármaco que, al parecer, facilita el aprendizaje en los niños mentalmente retardados. Puesto que se sabe relativamente poco acerca de ese fármaco, usted planea usar una hipótesis alternativa no direccional. Como sus recursos son limitados, sólo podrá incluir en la prueba a 15 sujetos. Los sujetos serán observados según un diseño de medidas repetidas y los datos se analizarán por medio de la prueba de los signos, con α =0.05 2 colas .

Si el fármaco produce un efecto moderado sobre el aprendizaje, de manera que Preal=0.7, ¿Cuál es la probabilidad de que usted detecte dicho efecto al realizar su experimento?

¿Qué resultados nos permitirían rechazar Ho?

Con N=15 y P=0.50 sumamos sucesivamente hasta pasarnos de 0.05

P(0)=P(15)=0.0000 P(1)=P(14)=0.0005

P(2)=P(13)=0.0032 P(3)=P(12)=0.0139

P(4)=P(11)=0.0417 Nos hemos pasado de 0.05

Por lo tanto se rechaza Ho entre 3 y doce resultados positivos.

Veamos cual es la potencia de este experimento para Preal=0.70.

Como en la tabla no existe el valor P=0.70 tomamos Q=0.30, cambiamos también el número de éxitos P por el número de fracasos Q (en este caso no tiene influencia)

P(0)=0.0047 P(1)=0.0305 P(2)=0.0916

P(3)=0.1700 P(10)=0.0030 P(12)=0.0001

P(13)=P(14)=P(15)=0.0000

Sumando todo obtenemos que Pot = 0.2999

Β =1-0.2999=0.7001

DISTRIBUCIONES MUESTRALES, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA, PRUEBA (Z) DE LA DESVIACIÓN NORMALIZADA

Distribuciones muestrales

Lista de valores que el estadístico puede asumir

Probabilidad de obtener ese valor por azar.

Prueba z

Una sola media muestral

Los parámetros de la población Ho son conocidos.

N≥30 o población Ho normal

EJERCICIO 6

Un profesor ha enseñado estadística durante muchos años. Sus archivos muestran que elpromedio general de los exámenes finales es de 82, con una desviación estándar de 10. El profesor cree que su grupo de este año es superior a los anteriores. El promedio de las calificaciones del examen final de este grupo de 65 estudiantes de 87. ¿Qué podría usted concluir?