1. ‫صفحه : - 1 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫تعريف هندسه تحليلي : هندسه تحلیلي علمی است كه حسابان را با هندسه تركیب می كند كه بتوانیم مسايل‬
‫مشكل هندسی را با استفاده از روشهای جبری به سادگی حل كنیم.‬
‫فصل اول : ماتريس‬
‫تعريف ماتريس : هر ماتريس جدول مستطیلی شكلي ازاعداد است كه داراي تعدادي سطر و ستون مي باشد كه‬
‫به اين اعداد واقع در داخل هر ماتريس درايه يا مولفه ماتريس مي گويند وآنرا بصورت ‪ aij‬نمايش داده كه ‪ i‬نمايش‬
‫سطر و ‪ j‬نمايش ستون است و ماتريس ‪ A‬را از مرتبه ‪ n×m‬گويند هرگاه ‪ A‬داراي ‪ m‬سطر و ‪ n‬ستون مي باشد و‬
‫ماتريس ‪ A‬را به صورت ‪ n × A=[aij]m‬نمايش مي دهیم .‬
‫11‪ a‬‬ ‫‪a12 ... a1N ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫12‪A =  a‬‬ ‫‪a22 ... a2 N ‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪a M 2 ... a MN ‬‬
‫1‪ M‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ١( ماتريس 3×2 ]2‪ C=[ i2+j‬كدام است ؟‬
‫‪5 2 ‬‬
‫‪8 8 13 ‬‬ ‫‪2 5 10 ‬‬ ‫‪2 5 8 ‬‬
‫‪5 8 ‬‬
‫٤( ‪‬‬ ‫٣( ‪2 5 10 ‬‬ ‫٢( ‪5 8 13 ‬‬ ‫١( ‪5 8 13 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪10 13 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫انواع ماتريس ها :‬
‫١( ماتريس مربعي : اگر تعداد سطرها و ستونهاي ماتريس برابر باشد ماتريس را مربعی گويند مانند‬
‫‪ 5 6 7‬‬
‫‪2 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ − 1 2 0 ‬و‬
‫‪ ‬وبه درايه هاي 33‪ .… , a11 , a22 , a‬را درايه هاي قطر اصلي ماتريس مربعي‬ ‫‪‬‬
‫‪4 3  2×2  0 4 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫3×3 ‪‬‬
‫درايه هاي قطر اصلي را اثر ماتريس گويند.‬ ‫گويند و مجموع‬
‫٢( ماتريس سطري و ستوني : ماتريسي كه فقط يك سطر داشته باشد را ماتريس سطري و ماتريسي كه فقط يك‬
‫‪− 1‬‬
‫‪‬‬
‫4×1] 6 0 4 3 [ سطري .‬ ‫ستون داشته باشد را ماتريس ستوني گويند. ستوني: ‪  0 ‬و‬
‫1×3 ‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

2. ‫صفحه : - 2 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫٣( ماتريس قطري : اگر در يك ماتريس مربعي درايه هاي خارج قطر اصلي صفر باشد را ماتريس قطري گويند‬
‫‪3 0 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪. 0 2 0 ‬‬ ‫مانند‬
‫3×3 ‪0 0 5 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ماتريس اسكالر : ماتريس قطري است كه درايه هاي روي قطر اصلي آن همگي با هم برابر باشد مانند :‬
‫‪2 0 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪. 0 2 0 ‬‬
‫3×3 ‪0 0 2 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٥( ماتريس واحد)هماني( : ماتريس هماني را با ‪ I‬نمايش مي دهیم و آن ماتريس مربعي است كه درايه هاي‬
‫قطر اصلي آن يك و بقیه درايه هايش صفر باشد و ماتريس هماني مرتبه ‪ n×n‬را با ‪ In‬نمايش مي دهیم مانند :‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪1 0‬‬ ‫‪0 1 0‬‬
‫3‪ = I‬يا ‪. I2 =  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٦( ماتريس بال مثلثي و پايين مثلثي : اگر در يك ماتريس مربعي همه درايه هاي بالي قطر اصلي صفر‬
‫باشند آن ماتريس را پايین مثلثي مي گويند و اگر درايه هاي پايین قطر اصلي ماتريس مربعي صفر باشد آن ماتريس‬
‫‪3 2 0 ‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 5 0 ‬‬
‫و بال مثلثي : ‪. 0 2 1 ‬‬ ‫را بال مثلثي گويند. پايین مثلثي : ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 5 ‬‬ ‫‪1 2 2 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٧( ماتريس صفر : ماتريسي است كه همه درايه هاي آن صفر باشد و ماتريس صفر از مرتبه ‪ n×m‬را با ‪O m‬‬
‫×‪n‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬
‫و ‪. O ٢ ×٢ =  ‬‬ ‫‪٣ O ×٢ = ‬‬ ‫نمايش مي دهیم. ‪‬‬
‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫٨( ماتريس هم مرتبه : به ماتريس هايي هم مرتبه گويند كه تعداد سطرهاي آن با هم برابر و تعداد ستونهايشان‬
‫نیز با هم يكسان باشند مانند ٣×‪ ٢ B‬و ٣×‪. ٢ A‬‬
‫خواص جمع و تفريق ماتريسها : اگر ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ماتريسهاي هم مرتبه باشند.‬
‫1.‪ A+B = B+A‬خاصیت جابجايي.‬
‫2.‪ A+(B+C) = (A+B)+C‬خاصیت شركت پذيري.‬
‫3.‪. A+(-A) = (-A)+A = O‬‬
‫4.‪. O+A = A+O = A‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

3. ‫صفحه : - 3 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫5.‪. A+I = I+A‬‬
‫6.‪.B = C ⇒ A+B = A+C‬‬
‫‪ 1 0‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪ 2 3‬‬
‫‪− 1 2 ‬‬ ‫‪ 3 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ = C ‬باشند مطلوب است ‪ A+B‬و ‪ A+C‬و ‪ A-C‬و‬ ‫‪ = B‬و ‪‬‬ ‫مثال : اگر ‪ =A  4 5 ‬و ‪‬‬
‫‪ 1 1‬‬ ‫‪− 1 4 ‬‬ ‫‪− 1 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪. (A+(B+C‬‬
‫ضرب ماتريس ها : شرط ضرب پذيري دو ماتريس آن است كه ستون هاي ماتريس اول با سطرهاي ماتريس‬
‫‪ P×p) = C m×(B n×n) ×(A m‬و 2×2( = 3‪. C3×4)(B4×(A‬‬ ‫دوم برابر باشند يعني :‬
‫خواص ضرب ماتريس ها : اگر ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ ‍C‬سه ماتريس مربعي هم مرتبه و ‪ r‬و ‪ s‬اعداد حقیقي باشند.‬
‫1.‪ A (BC) = (AB) C‬خاصیت شركت پذيري.‬
‫2.‪ AC ± C) = AB ± A (B‬خاصیت پخش.‬
‫3.‪.(CA ± C) A = BA ± B‬‬
‫4. ‪. rB ± B) = rA ± r(A‬‬
‫5.)‪. (rS)A = r(SA‬‬
‫6.)‪.(rA)(SB) = (rS)(AB‬‬
‫7.)‪. (rS)A = r(SA‬‬
‫8.‪. A=B ⇒ rA = rB‬‬
‫9.)‪.I)n = I‬‬
‫01.‪ B=O‬يا ‪. A =O ⇒ AB = O‬‬
‫/‬
‫11.‪. A = O×O = O×A‬‬
‫21.)‪.KA)n = KnAn‬‬
‫نكته : درضرب ماتريسها نمي توان ازطرفین تساوي ماتريسي را ساده كرد ولي مي توان طرفین تساوي را دريك‬
‫⇒‬
‫/‬ ‫‪ AC = BC‬‬
‫‪AB = AC ⇒ ‬‬
‫‪A=B‬‬ ‫‪B=C‬‬ ‫ماتريس ضرب كرد يعني :‬
‫‪ CA = CB‬‬
‫≠‬
‫نكته : در ضرب ماتريسها خاصیت جابجايي نداريم يعني : ‪. BA AB‬‬
‫نكته : در حالتهاي زير ضرب ماتريسها خاصیت جابجايي دارد:‬
‫1.‪. AI =IA‬‬
‫2.اگر ‪ A‬و ‪ B‬مربعي هم مرتبه باشند و ‪ AB = KI‬آنگاه ‪. AB = BA‬‬
‫3.اگر ‪ A‬و ‪ B‬دو ماتريس قطري و هم مرتبه باشند آنگاه ‪. AB = BA‬‬
‫خواص ماتريسهاي مثلثي و قطري :‬
‫1.مجموع و تفاضل دو ماتريس بال مثلثي هم مرتبه ماتريسي بال مثلثي است.‬
‫2.مجموع و تفاضل دو ماتريس پايین مثلثي هم مرتبه ماتريسي پايین مثلثي است.‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

4. ‫صفحه : - 4 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫3.حاصلضرب دو ماتريس بال مثلثي هم مرتبه ماتريسي بال مثلثي است.‬
‫4.حاصلضرب دو ماتريس پايین مثلثي هم مرتبه ماتريسي پايین مثلثي است.‬
‫5.مجموع وتفاضل دو ماتريس قطري هم مرتبه ماتريسي قطري است.‬
‫6.حاصلضرب دو ماتريس قطري ، ماتريس قطري است.‬
‫طريقه ضرب ماتريسها: براي ضرب دو ماتريس سطرهاي ماتريس اول را در ستونهاي ماتريس دوم ضرب‬
‫مي كنیم.‬
‫‪1 2 − 1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 2 ‬‬
‫‪ =A‬و ‪ =B − 1 0 ‬باشد در صورت وجود مطلوب است ‪ AB‬و ‪ BA‬و ‪. A-3B‬‬ ‫مثال : اگر ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 2‬‬ ‫‪3 0 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪2 1 0   x ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬
‫تست ٢( مجموع ريشه هاي معادله ٠= ‪ [ x 4 − 1] 1 0 2   4 ‬كدام است ؟‬
‫‪0 2 4  −1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬
‫٤( ٣-‬ ‫٣( ٣‬ ‫٢( ٤-‬ ‫١( ٤‬
‫نكته : اگر ‪ n×Am‬باشد ‪ AmAn = AnAm‬و 2‪ A3=A2A=AA‬و ‪ An-1A =AAn-1 = An‬و ‪. A×A2= A‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ٣)سال ٤٦(: اگر ماتريس ‪ A‬بصورت ‪ 2 1 0‬باشد دراينصورت درايه واقع درسطر سوم ستون اول 3‪A‬‬
‫‪0 3 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٨١‬ ‫٣( ٧١‬ ‫٢( ٦١‬ ‫كدام است؟ ١( ٥١‬
‫نكته : هرگاه ‪ n×Am‬و ‪ p×Bn‬باشد حاصلضرب ‪ AB‬وجود خواهد داشت واگر ‪ C=AB‬باشد خواهیم داشت.‬
‫‪n‬‬
‫‪∑ aik bkj‬‬
‫‪=A‬‬ ‫ستون ‪j‬ام [ ]‪B‬سطر ‪i‬ام = ]‪Cij‬‬ ‫[‬
‫1= ‪K‬‬
‫1‪‬‬ ‫‪4‬‬
‫1‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‪‬‬ ‫تست ٤( اگر ‪5 ‬‬
‫2 ‪∑ a3 k bk‬‬ ‫‪ B= ‬باشد و 2 =‬
‫مقدار ‪ x‬كدام است؟‬ ‫‪ A =‬و ‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x +1 6‬‬
‫4‪‬‬
‫1= ‪k‬‬
‫‪− x + 1 4 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ١‬ ‫٣( صفر‬ ‫٢( ٢-‬ ‫١( ٢‬
‫‪ 0 1‬‬
‫‪ A= ‬باشد ‪ ٧ A‬كدام است ؟‬ ‫تست ٥)سال ٩٧(: اگر ‪‬‬
‫‪− 1 0‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

5. ‫صفحه : - 5 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫‪− 1 0‬‬ ‫‪0 − 1‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪1 0 ‬‬
‫٤( ‪ 0 1‬‬ ‫٣( ‪1 0 ‬‬ ‫٢( ‪− 1 0‬‬ ‫١( ‪0 −1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ٦)آزاد ٧٧(: اگر ‪ A= 0 1 0‬باشد 99‪ A100 − A‬كدام است؟‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪− 1 0 1 ‬‬ ‫‪ 1 0 − 1‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪0 0 0 ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 0 ‬‬ ‫١( 3×3‪O‬‬
‫٤( ‪‬‬ ‫٣( ‪‬‬ ‫٢( ‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ 1 0 − 1‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪− 1 0 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٣٨٣١‬
‫كدام است؟‬ ‫تست ٧( اگر ‪ A − 2 A = O‬باشد آنگاه ‪A‬‬
‫2‬
‫٤( ‪٢١٣٨٢ I‬‬ ‫٣(‪٢١٣٨٢ A‬‬ ‫٢( ‪I‬‬
‫‌‬ ‫١( ‪A‬‬
‫‪4 41 ‬‬ ‫‪4 1 ‬‬ ‫‪1 1‬‬
‫‪ B.An= ‬آنگاه‬ ‫‪ B= ‬و‬ ‫تست ٨)آزاد ٠٨(: اگر ‪ A=  ‬و‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪3 32 ‬‬ ‫‪3 2 ‬‬ ‫‪0 1‬‬
‫٤( 01 = ‪n‬‬ ‫٣( 8 = ‪n‬‬ ‫٢( 11 = ‪n‬‬ ‫١( 9 = ‪n‬‬
‫تست ٩ )آزاد ٨٧(: اگر ‪ A=B+C‬باشد حاصل ‪ A2 + B 2 − AB − BA‬كدام است؟‬
‫٤( ٢–‪C‬‬ ‫٢‬
‫٣( ‪C‬‬ ‫٢(٠‬ ‫١( ‪C‬‬
‫‪− 2 1 ‬‬
‫‪ A= ‬و 2 ‪ A2 = αA + βI‬دوتايي ) ‪ ( α , β‬كدام است؟‬ ‫تست ٠١) سال ٤٨(: اگر ماتريس ‪‬‬
‫‪ 5 4‬‬
‫٤()٣١،٤(‬ ‫٣()١١،٤(‬ ‫٢( )٣١،٢(‬ ‫١( )١١،٢(‬
‫‪a n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a 0 0 ‬‬
‫0‬
‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪a 0 ‬‬
‫نكته : اگر ‪ A= 0 b 0 ‬باشد آنگاه ‪0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫0 ‪. A =‬‬ ‫‪n‬‬ ‫0 ‪ An = ‬واگر ‪ A= 0 b‬باشد آنگاه‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪0 0 c ‬‬
‫‪c‬‬
‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪ A= ‬باشد حاصل 1−‪ A n − A n‬كدام است؟‬ ‫تست ١١)آزاد ٩٧(: اگر ‪‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪2 n−1 0‬‬ ‫‪2 n−1 0‬‬
‫‪2 0‬‬ ‫‪2 0‬‬
‫‪‬‬ ‫٢( ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫١( ‪‬‬
‫٤( ‪0 1‬‬ ‫٣( ‪0 0‬‬
‫‪ 0 0‬‬ ‫‪ 0 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫ماتريسهاي خود توان و پوچ توان : ماتريس مربعي ‪ A‬را خود توان گوئم هرگاه ‪ A2 = A‬در نتیجه ‪A n = A‬‬
‫‪ N) ∈ (n‬و ماتريس مربعي ‪ ‌A‬را پوچ توان گويندهرگاه به ازاي عدد طبیعي ‪ K‬داشته باشیم 0=‪ Ak‬ودر اين حالت به‬
‫ازاي هر ‪ n>k‬داريم ‪ = ٠ An‬كه ‪. N) ∈ (n‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

6. ‫صفحه : - 6 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫تست ٢١( اگر ‪ A‬و ‪ B‬دو ماتريس تعريض پذير باشند و ‪ A2 = A‬و ‪ B 2 = B‬باشد حاصل ٣٨٣١)‪ (A+B-AB‬کدام‬
‫است ؟‬
‫٤( ‪AB‬‬ ‫٣(٠‬ ‫٢( ‪A+B-AB‬‬ ‫١( ‪A+B‬‬
‫∈‬ ‫‪0 1 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫)‪n ، N‬بطوريكه ‪ = ٠ An‬كدام است ؟‬ ‫تست ٣١( اگر ‪ A= 0 0 1‬باشد كوچكترين عدد ‪(n‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٥‬ ‫٣( ٤‬ ‫٢( ٣‬ ‫١( ٢‬
‫ترانهاده يك ماتريس : ترانهاده ماتريس ‪ A‬را با ‪ (At (AT‬نمايش داده و براي يافتن آن جاي سطر ا با ستونها‬
‫عوض مي كنیم.‬
‫‪ 2 4 3‬‬
‫‪ A= ‬باشد ‪ AT‬را بیابید؟‬ ‫مثال : اگر ‪‬‬
‫‪ − 1 2 0‬‬
‫ويژگي هاي ترانهاده يك ماتريس :‬
‫1.)‪. AT)T=A‬‬
‫2.‪.BT ± B)T=AT ± (A‬‬
‫3.)‪.rA)T =rAT‬‬
‫4.‪.SBT ± SB)T = rAT ± (rA‬‬
‫5. )‪.AB)T = BTAT‬‬
‫6. )‪. ABC)T = CTBTAT‬‬
‫7.)‪.An)T = (AT)n‬‬
‫8. . ‪IT = I‬‬
‫9.‪.ATA ≠ AAT‬‬
‫٠١. 0=‪ A=0 ⇒ A.AT‬يا 0= ‪. AT.A‬‬
‫‪− 1 2 ‬‬
‫‪ ATBT = ‬در اين صورت ‪ BA‬كدام است؟‬ ‫تست ٤١)سال ٦٧(: اگر ‪ A‬و ‪‌B‬دو ماتريس باشند كه ‪‬‬
‫‪ 1 − 1‬‬
‫‪− 1 1 ‬‬ ‫‪− 1 − 2 ‬‬
‫‪1 1‬‬ ‫‪1 2 ‬‬
‫٤( ‪2 1‬‬ ‫٣( ‪1 1 ‬‬ ‫٢( ‪ 2 − 1‬‬ ‫١( ‪− 1 − 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪2 4 − 1‬‬
‫‪4 0 3 ‬‬
‫‪ C = ‬به ازاي چه مقدار ‪ x‬درايه واقع درمحل‬ ‫تست ٥١)سال ٧٧(: اگر ‪ AB= 1 − 2 2 ‬و ‪‬‬
‫‪2 − 2 x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تلقي سطر دوم وستون سوم ماتريس ‪ Bt(CtA)t‬برابر ٤ است ؟ ١( ١-‬
‫٤( ٤‬ ‫٣( ٣‬ ‫٢( ٢‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

7. ‫صفحه : - 7 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫‪3 2 5 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تعريف ماتريس متقارن : ماتريس مربعي ‪ A‬را متقارن گويیم هرگاه ‪ AT=A‬مانند : ‪. A= 2 9 8 ‬‬
‫‪5 8 7 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫نكته : در هر ماتريس متقارن ‪ aij = aji‬و درايه هاي طرفین قطر اصلي با هم برابراند.‬
‫‪m − 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ ‬يك ماتريس متقارن است ‪ m‬كدام است؟‬ ‫تست ٦١)سال ٦٧(: ماتريس‬
‫‪b‬‬
‫1 + ‪2 m‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٢‬ ‫٣( ١‬ ‫٢( ١-‬ ‫١( ٢-‬
‫نكته : ماتريس ‪ ATA‬و ‪ AAT‬و ‪ A+AT‬متقارن است و اعداد روي قطر اصلي ‪ ATA‬يا ‪ AAT‬نامنفي هستند .‬
‫نكته : مجموع و تفاضل دو ماتريس متقارن ، يك ماتريس متقارن است وهرماتريس قطري ، متقارن است.‬
‫تست ٧١( كدام يك از گزينه هاي زير صحیح نیست؟‬
‫١( ‪ ABT+BAT‬متقارن است.‬
‫٢( اگر ‪ A‬متقارن باشد ‪ (A-(B+BT‬متقارن است.‬
‫٣( اگر ‪ A‬و ‪ B‬متقارن و ‪ AB=BA‬آنگاه ‪ AB‬متقارن است.‬
‫٤( اگر ‪ A‬متقارن باشد ‪ A-B+BT‬متقارن است.‬
‫‪ 0 − 2 2‬‬
‫‪‬‬ ‫تعريف ماتريس پاد متقارن : ماتريس مربعي ‪ A‬را پادمتقارن گويند هرگاه ‪ AT=-A‬مانند ‪0 5 ‬‬
‫2 ‪=‬‬ ‫‪‬‬
‫‪− 2 − 5 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫نكته : در ماتريس پاد متقارن ‪ aij = -aji‬و در هر ماتريس پاد متقارن، درايه هاي واقع بر قطر اصلي صفرهستند‬
‫ودرايه هايي كه در طرفین قطراصلي قرار دارند قرينه هم هستند ومجموع درايه هر ماتريس پاد متقان صفر است.‬
‫تست ٨١( كدام گزينه غلط است؟‬
‫١( ‪ ABT-BAT‬پاد متقارن است.‬
‫٢( اگر ‪ A‬متقارن و ‪ B‬پاد متقارن باشد، 2 ‪ A2 − B‬متقارن است.‬
‫٣( ‪ A-AT‬پاد متقارن است .‬
‫٤( اگر ‪ A‬متقارن و ‪ B‬پاد متقارن باشد، ‪ A+B‬متقارن است.‬
‫‪m + 2 2‬‬
‫0‪‬‬
‫‪3 m + 2 m 2 − 1 5 ‬‬
‫‪ A= ‬پاد متقارن باشد دراين صورت مجموع درايه هاي ستون‬ ‫تست ٩١)سال ٩٦(: اگر ‪‬‬
‫2− ‪‬‬ ‫‪0‬‬
‫5−‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٥-‬ ‫٣( ٤-‬ ‫٢( ٣-‬ ‫دوم چقدر است؟ ١( ٢-‬
‫تست ٠٢)سال ٥٨(: اگر ‪ A‬ماتريس متقارن و ‪ B‬ماتريس پاد متقارن باشند به طوري كه )‪A+B)(A-B)=A2-B‬‬
‫٤( پاد متقارن‬ ‫٣( متقارن‬ ‫٢( بال مثلثي‬ ‫آنگاه ماتريس ‪ A.B‬چگونه است ؟ ١( قطري‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

8. ‫صفحه : - 8 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫نكته : هر ماتريسي را مي توان بصورت مجموع يك ماتريس متقارن و يك ماتريس پاد متقارن نوشت يعني :‬
‫1‬ ‫1‬
‫)‪=A-AT‬‬ ‫)‪(A+AT) + A‬‬
‫2‬ ‫2‬
‫‪ 0 3 3‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ١٢) سراسری ٦٨(:‌ ماتريس ‪ A=  − 1 3 0 ‬را بصورت مجموع يک ماتريس متقارن ويک ماتريس پاد‬
‫‪− 3 2 2 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫متقارن نوشته ايم ، دترمینان ماتريس متقارن کدام است ؟‬
‫٤( ٢-‬ ‫٣( ٢‬ ‫٢( ٤-‬ ‫١( ٣‬
‫نكته : مجموع وتفاضل دو ماتريس پاد متقارن هم مرتبه ماتريس پاد متقارن است.‬
‫نكته : تنها ماتريسي كه هم متقارن و هم پاد متقارن است ماتريس صفر است.‬
‫فصل دوم : دترمینان‬
‫‪a b ‬‬
‫‪ A= ‬خواهیم داشت ‪A =ad – bc‬‬ ‫دترمينان : دترمینان ماتريس ‪ A‬را با ‪ A‬نمايش مي دهیم و اگر ‪‬‬
‫.‬ ‫‪c d ‬‬
‫كهاد وهمسازه يك درايه در ماتريس ٣×٣:‬
‫كهاد دايه ‪ j i‬ام ماتريس ‪ A‬را با ‪ Mij‬نمايش مي دهیم كه ‪ Mij‬يك ماتريس ٢×٢ مي باشد كه از حذف سطر ‪ i‬ام و‬
‫ستون ‪ j‬ام ماتريس ‪ A‬بدست مي آيد و همسازه درايه ‪ ij‬ام ماتريس ‪ ‌A‬يك عدد مي باشد وآن را با ‪ Aij‬نمايش‬
‫مي دهیم و از رابطه ‪ Aij=(-1)i+j M ij‬مي يابیم.‬
‫‪− 1 2 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ١)سال ٥٧(: همسازه سطر دوم ستون سوم ماتريس ‪  1 1 − 1‬كدام است؟‌‬
‫‪ 2 −1 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٣-‬ ‫٣( ٢-‬ ‫٢( ٣‬ ‫١( ٢‬
‫روشهاي محاسبه دترمينان ٣×٣ : براي محاسبه دترمینان مي توان از سه روش زير استفاده كرد.‬
‫١( روش ساروس : در اين روش سطر اول و دوم ماتريس را به عنوان سطر چهارم وپنجم ماتريس دوباره‬
‫مي نويسم كه در اين صورت سه قطر اصلي و سه قطر فرعي بوجود مي آيد كه مقدار دترمینان از تفاضل مجموع‬
‫حاصلضرب درايه هاي قطر اصلي و مجموع حاصلضرب درايه هاي قطر فرعي بدست مي آيد.‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

9. ‫صفحه : - 9 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫٢( بسط بر حسب سطر يا ستون دلخواه : براي محاسبه دترمینان از طريق بسط مي توانیم از بسط سطر يا‬
‫ستون دلخواه استفاده كنیم و بهتر است سطر يا ستوني را بسط دهیم كه در آن سطر يا ستون صفر بیشتري داريم.‬
‫11‪ a‬‬ ‫‪a12 a13 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)بسط بر حسب سطر اول(‬
‫12‪ a‬‬ ‫‪a22 a23 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a32 a33 ‬‬
‫13‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫)بسط برحسب ستون دوم(‬
‫721‬
‫72‬
‫‪ 2 − 1 1 = A+ x‬باشد مقدار ‪ A‬كدام است؟‬ ‫تست ٢)سال ٨٧(: اگر‬
‫1 1−‬
‫21‪x‬‬
‫٤( ٦‬ ‫٣( ٥‬ ‫٢( ٤‬ ‫١( ٣‬
‫٣( استفاده از خواص دترمينان :‬
‫1.اگر همه درايه هاي يك سطر يا يك ستون ماتريس صفر باشند در اين صورت دترمینان آن ماتريس‬
‫321‬
‫0= 0 0 0‬ ‫صفر مي شود.‬
‫541‬
‫2.در ماتريس هاي بال مثلثي و پايین مثلثي و ماتريس قطري جواب حاصلضرب درايه هاي قطر اصلي‬
‫‪a‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪c‬‬
‫0‬ ‫0‬
‫‪0 = adg‬‬ ‫مي شود. ‪e = adf‬‬
‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪) 0 d‬الف‬
‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬
‫00‬
‫)ب‬
‫‪00a‬‬ ‫00‪a‬‬
‫‪) 0 b 0 = −abc‬د‬ ‫‪) 0 b 0 = abc‬ج‬
‫00‪c‬‬ ‫‪00c‬‬
‫1‪a1 b1 c‬‬ ‫1‪a1 b1 c‬‬
‫2‪= K a2 b2 c‬‬
‫2‪ka2 kb2 kc‬‬
‫)خ‬
‫3‪a3 b3 c‬‬ ‫3 ‪a 3 b3 c‬‬
‫1‪a1 −3 b1 c‬‬ ‫1‪a1 b1 c‬‬
‫2‪−2 a2 6b2 −2c‬‬ ‫تست ٣)سال ٦٧(: اگر 2− =‬
‫2‪a2 b2 c‬‬
‫كدام است؟‬ ‫باشد حاصل‬
‫3‪a3 −3 b3 c‬‬ ‫3‪a3 b3 c‬‬
‫٤( ٦‬ ‫٣( ٢١-‬ ‫٢( ٢١‬ ‫١( ٦-‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

10. ‫صفحه : - 01 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫نكته : ‪. AB = A B = B A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.A‬‬ ‫نكته : ‪= A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.A =k‬‬ ‫نكته :‬
‫∈‪λ‬‬
‫نكته : ‪ λA = λ n A‬و ‪, n×An‬‬
‫‪.R‬‬
‫تست ٤( كدام گزينه نادرست است؟‬
‫2‬
‫‪T‬‬ ‫2‬ ‫‪T‬‬
‫٢( ‪= B A‬‬ ‫‪AB = AB‬‬
‫‪AB‬‬ ‫١(‬
‫‪T‬‬
‫‪AB = AB‬‬
‫٤( ‪A + B = A + B‬‬ ‫٣(‬
‫تست ٥( اگر ٣×‪ ٣ A‬باشد حاصل ‪ A A‬كدام است ؟‬
‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬
‫٤( ‪A‬‬ ‫٣( ‪A‬‬ ‫٢( ‪A‬‬ ‫١( ‪A‬‬
‫تست ٦( اگر ‪ A‬متقارن و ‪ B‬پاد متقارن باشد حاصل ‪ A + B‬با كدام گزينه برابر نیست؟‬
‫٤( ‪A − B T‬‬ ‫٣( ‪AT + B‬‬ ‫٢( ‪B − A‬‬ ‫١( ‪A − B‬‬
‫تست ٧( اگر ‪ A‬پاد متقارن و از مرتبه فرد باشد ‪ A‬كدام است؟‬
‫٤( ١-‬ ‫٣( ١‬ ‫٢( ‪I‬‬ ‫١( صفر‬
‫‪6 5 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ٨( اگر ‪ AAT = 3 4 0‬باشد ‪ A‬كدام است؟‬
‫‪a b 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٢( ‪3 + ab‬‬ ‫١( ‪4 + ab‬‬
‫٤( ٣‬ ‫٣( ٤‬
‫‪0 1 2 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫2‬
‫+‬ ‫‪−3 A‬‬
‫‪AA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫كدام است؟‬ ‫تست ٩)سال ٧٧(: اگر ‪ A = 1 2 0 ‬آنگاه حاصل‬
‫‪2 0 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٩٤-‬ ‫٣( ١٨‬ ‫٢( ١٨-‬ ‫١( ٠‬
‫نكته : اگر دو سطر يا دو ستون يك ماتريس برابر باشند دترمینان آن ماتريس صفر است و اگر يك سطر يا يك‬
‫ستون مضربي از سطر يا ستون ديگر باشد در اين صورت دترمینان آن صفر است.‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

11. ‫صفحه : - 11 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫نكته : اگر مضربي از يك سطررا به سطري ديگر ويا مضربي ازيك ستون را به يك ستون ديگر اضافه كنیم‬
‫1‪a1 b1 c‬‬ ‫1‪a‬‬ ‫1‪b‬‬ ‫1‪c‬‬
‫=‬
‫2‪a2 b2 c‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫2‪c‬‬ ‫دترمینان تغییر نمي كند يعني:‬
‫3‪ka1 + a3 kb1 + b3 kc1 c‬‬
‫3‪a3 b3 c‬‬
‫نكته : اگر جاي دو سطر يا ستون دترمینان را عوض كنیم دترمینان قرينه مي شود كه اگر تعويض ها به تعداد‬
‫زوج باشد دترمینان تغییر نمي كند و اگر به تعداد فرد باشد دترمینان قرينه مي شود.‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪abx‬‬
‫‪abx‬‬
‫)0>‪ (a>b‬چند ريشه دارد؟‬ ‫تست ٠١)سال ٤٦(: معادله‬
‫3‬ ‫3‬ ‫3‬
‫‪abx‬‬
‫٤( يك ريشه مضاعف و يك ريشه ساده دارد.‬ ‫١( ريشه ندارد. ٢( سه ريشه متمايز دارد. ٣( يك ريشه داد.‬
‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬
‫تست ١١)آزاد ٥٧(: حاصل دترمینان 2 + ‪ 2 a 2b + 1 2 c‬كدام است؟‬
‫3 + ‪3 a 3b + 2 3c‬‬
‫٤( ‪abc‬‬ ‫٣( ٠‬ ‫٢( –‪a‬‬ ‫١( ‪3a‬‬
‫111‬
‫‪xyz‬‬
‫برابر است با.‬ ‫تست ٢١( حاصل دترمینان‬
‫2‬
‫‪xyz‬‬
‫2‬ ‫2‬
‫٤( ١-‬ ‫٣( )‪(x-y)(y-z)(z-x‬‬ ‫٢( ١‬ ‫١( صفر‬
‫تست ٣١( كدام گزينه درست است؟‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬
‫‪bc a 1 1 a‬‬ ‫‪1a‬‬ ‫‪1a‬‬ ‫‪1a‬‬ ‫‪1 a bc‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪ac b 1 = 1 b‬‬ ‫‪= abc (٣ 1 b‬‬ ‫‪= 0 (٢ 1 b‬‬ ‫١( ‪= 1 b ac‬‬
‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬
‫‪1b‬‬
‫٤(‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬
‫‪ab c 1 1 c‬‬ ‫‪1c‬‬ ‫‪1c‬‬ ‫‪1c‬‬ ‫‪1 c ab‬‬
‫‪ab‬‬ ‫‪bc‬‬ ‫‪ca‬‬
‫كدام نتیجه گیري درست است؟‬ ‫تست ٤١)سال ١٨( از تساوي 0 =‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬
‫)‪c(a + b) a (b + c) b(a + c‬‬
‫٤( 0=‪ab+bc+ca‬‬ ‫٣( 0=‪a+b+c‬‬ ‫٢( ‪ a,b,c‬دلخواه‬ ‫١( 0=‪abc‬‬
‫نكته : مي توان يك دترمینان را به دو دترمینان تجزيه كنیم و بعكس)توجه: اين نكته براي ستون ها نیز صادق‬
‫است( يعني:‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

12. ‫صفحه : - 21 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫1‪a ± a1 b ± b1 c ± c1 a b c a1 b1 c‬‬
‫2‪c2 = a2 b2 c2 ± a2 b2 c‬‬
‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬
‫3‪a‬‬ ‫3‪b‬‬ ‫3‪c‬‬ ‫3‪a3 b3 c3 a3 b3 c‬‬
‫421‬ ‫421‬
‫تست ٥١)سال ٧٧(: اگر ‪ a b 1 = D‬باشد آنگاه 1 5 2 كدام است؟‬
‫1− ‪a b‬‬ ‫152‬
‫٤( ) 2 + ‪− ( D‬‬ ‫٣( ‪2 − D‬‬ ‫٢( 1 − ‪D‬‬ ‫١( 1 + ‪D‬‬
‫0 1 ‪b−a‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫0‪b‬‬
‫1 − باشد آنگاه ‪ − b − 1 − 1 2 a‬كدام است؟‬ ‫تست ٦١)سال ٥٧(: اگر ‪− b a = A‬‬
‫‪a − b − 1 2b‬‬ ‫‪−b b‬‬
‫‪a‬‬
‫2−‬ ‫2‬
‫٤( ‪A‬‬ ‫١( ‪A‬‬
‫٣( ٢ ‪-bA‬‬ ‫٢( ٢ ‪bA‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫12‬ ‫3‬
‫‪ − 3 a‬اگر به عنصر واقع درسطر سوم و ستون سوم ٤ واحد اضافه‬ ‫تست ٧١)سال ٩٧(: در دترمینان 1‬
‫2−‬
‫24‬
‫شود و مقدار دترمینان تغییر نكند آنگاه ‪ a‬كدام است؟‬
‫3−‬ ‫2−‬
‫3‬ ‫2‬
‫٤(‬ ‫٣(‬ ‫٢(‬ ‫١(‬
‫2‬ ‫3‬ ‫3‬
‫2‬
‫431‬
‫تست ٨١)سال ٠٨(: اگر دترمینان ‪ 5 2 a‬به عنصر واقع در سطر دوم وستون سوم ٢واحد اضافه شود به‬
‫3 2− 6‬
‫مقدار دترمینان كدام مقدار افزوده مي شود؟‬
‫٤( ٠٤‬ ‫٣( ٠٣‬ ‫٢( ٨١‬ ‫١( ٢١‬
‫≠‬
‫1+ ‪1 a +1 b‬‬
‫0 ‪ − a‬كدام نتیجه گیري صحیح است؟‬ ‫تست ٩١)سال ٣٨(: اگر ‪ ٠ abc‬باشد از معادله 0 = ‪c‬‬
‫‪−b −c‬‬ ‫0‬
‫٤( ٠–‪=a+b+c‬‬ ‫٣( ‪=٠ a+b-c‬‬ ‫٢( ‪=٠ a-b+c‬‬ ‫١( ‪=٠ a+b+c‬‬
‫2+ ‪c‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬
‫2+‪b‬‬
‫‪ a‬كدام است ؟‬ ‫تست ٠٢( اگر 5-=‪ ، a+b+c‬حاصل دترمینان ‪c‬‬
‫2+ ‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬
‫٤( ٢١‬ ‫٣( ٤‬ ‫٢( ٤-‬ ‫١( ٢١-‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

13. ‫صفحه : - 31 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫‪a + x‬‬ ‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬ ‫تست ١٢)سال ٥٨(: در ماتريس ‪b ‬‬
‫‪b+x‬‬
‫‪ A= ‬اگر مجموع تمام درايه ها برابر ٦ باشد و مقدار‬ ‫‪‬‬
‫‪c‬‬ ‫‪c + x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫8 = ‪ x ، A‬كدام است؟ ١( ٠‬
‫٤( 3 ±‬ ‫٣( 2 ±‬ ‫٢( 1 ±‬
‫نكته : اگر ) 1‪ A( x1 , y‬و ) 2‪ B( x2 , y‬و ) 3 ‪ B( x3 , y‬راسهاي مثلث ‪ ABC‬باشند آنگاه‬
‫3‪x1 x2 x‬‬
‫1‬
‫‪S‬‬ ‫∆‬
‫3‪y1 y2 y‬‬
‫=‬
‫2 ‪ABC‬‬
‫111‬
‫تست ٢٢)آزاد ٧٧(: در مثلث ‪ ABC‬نقاط )١،١(‪ A‬و )٤،١(‪ B‬و )٥،٣( ‪C‬رئوس مثلث هستنداگر ‪ G‬نقطه تلقي‬
‫سه میانه باشد مساحت مثلث ‪ ABG‬كدام است؟‬
‫3‬ ‫1‬
‫٤( ٣‬ ‫٣(‬ ‫٢(‬ ‫١( ١‬
‫2‬ ‫3‬
‫1‪xy‬‬
‫نكته : معادله خطي كه از ‪ (A(a , b‬و ‪ (B(c , d‬مي گذرد بصورت ٠= 1 ‪ a b‬است.‬
‫1‪cd‬‬
‫‪a b ‬‬
‫‪A=‬‬ ‫تبديل يافته يك نقطه تحت يك ماتريس : تبديل يافته نقطه )‪ (x , y‬تحت ماتريس ‪‬‬
‫عبارت است‬ ‫‪c d ‬‬
‫‪a b   x ‬‬
‫‪.‬‬ ‫از ‪  ‬‬
‫‪c d   y‬‬
‫1‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪ ‬كدام است؟‬ ‫تست ٣٢)سال ٥٧(: مختصات تبديل يافته نقطه )١- ،١(‪ A‬تحت ماتريس ‪‬‬
‫‪− 1 3 ‬‬
‫٤( )٤- ،١-(‬ ‫٣( )١- ،٤-(‬ ‫٢( )١، ٤-(‬ ‫١()٤- ،١(‬
‫نكته : اگر ′ ‪S‬‬
‫مساحت شكل تبديل يافته ‪ S‬تحت ماتريس ‪ A‬باشد آنگاه ‪. S ′ = A S‬‬
‫4 0‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫4‬
‫‪ ‬اثركندمساحت شكل جديدكدام است؟‬ ‫تست ٤٢)سال ٧٧(: اگر ماتريس ‪ 1 −1‬روي مستطیل ‪‬‬
‫‪3 3 − 1 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( ٦٣‬ ‫٣( ٢٤‬ ‫٢( ٨٤‬ ‫١( ٤٥‬
‫‪2 − 2 ‬‬ ‫‪1 − 1 − 1 1 ‬‬
‫‪ ‬كدام چهار ضلعي است؟‬ ‫تحت ماتريس‬ ‫تست ٥٢)سال ٧٧(: تبديل يافته مربع ‪1 1 − 1 − 1‬‬
‫‪4‬‬
‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

14. ‫صفحه : - 41 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫٤( متوازي الضلع‬ ‫٣( لوزي‬ ‫٢( مربع‬ ‫١( مستطیل‬
‫تبديل يافته يك منحني تحت يك ماتريس : ابتدا فرض مي كنیم )‪ (x , y‬نقطه اي روي منحني باشد تبديل اين‬
‫‪ X = ax + by‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪b  x‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬
‫نقطه تحت ماتريس ‪  c d ‬را ‪  Y ‬مي نامیم و ‪   =   ⇒  Y = cx + dy‬‬
‫‪ ‬مي يابیم سپس ‪ x‬و ‪ y‬را‬
‫‪c d   y  Y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫برحسب ‪ X‬و ‪ Y‬حساب مي كنیم و در معادله داده شده قرار مي دهیم تا معادله تبديل يافته آن برحسب ‪ X‬و ‪ Y‬بدست‬
‫آيد.‬
‫‪0 − 1‬‬ ‫2‬ ‫2‬
‫تست ٦٢)سال ٤٦(: تبديل يافته منحنی 1 = ‪ x − y‬تحت ماتريس ‪‬‬
‫‪ ‬كدام است؟‬
‫‪ 0‬‬
‫1‬
‫٤( 0 = ) ‪( y − x )( x + y‬‬ ‫٣( 1 = 2 ‪y 2 − x‬‬ ‫٢( 1 = 2 ‪x 2 + y‬‬ ‫١( 1 = 2 ‪x 2 − y‬‬
‫‪cos θ‬‬ ‫‪− sin θ ‬‬
‫‪Rθ = ‬‬ ‫‪θ‬‬
‫دوران : ماتريس دوران حول مبدا مختصات به اندازه و درجهت مثبت برابر است با ‪cos θ ‬‬
‫‪ sin θ‬‬ ‫‪‬‬
‫و 1 = ‪. Rθ‬‬
‫1‬
‫‪‬‬
‫رابیابید.‬ ‫را حول مبدا مختصات و در جهت مثبت به اندازه‬ ‫مثال : دوران يافته نقطه‬
‫54‬ ‫2‬
‫خواص مهم ماتريس دوران :‬
‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪cosθ − sin θ  cos nθ − sin nθ ‬‬
‫‪.1 = R (R-(- θ‬‬ ‫‪. Rn = n( (R θ‬‬
‫٢(‬ ‫١( ‪ sin θ cosθ  =  sin nθ cos nθ ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫4‬
‫‪‬‬ ‫‪− 2‬‬
‫2‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫2‬ ‫‪2‬‬
‫‪ ‬كدام است؟‬ ‫تست ٧٢)سال ٨٧(: حاصل‬
‫2‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫2‬
‫‪0 − 1‬‬ ‫‪ − 1 0‬‬ ‫‪− 1 0 ‬‬ ‫‪ 0 − 1‬‬
‫٤( ‪1 0 ‬‬ ‫٣( ‪ 0 1‬‬ ‫٢( ‪ 0 − 1‬‬ ‫١( ‪− 1 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫31‪ 1 − 3 ‬‬ ‫‪ 1 − 3‬‬
‫‪ ‬كدام است؟‬ ‫‪ A = ‬حاصل‬ ‫تست ٨٢( اگر ‪‬‬
‫‪‬‬
‫3‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫3‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪− 3‬‬
‫1‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫2‬ ‫٤( ‪2 ‬‬
‫‪‬‬ ‫٢( ‪212A‬‬ ‫١( ‪213A‬‬
‫٣( ‪A‬‬
‫3‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫2‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

15. ‫صفحه : - 51 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫ماتريسهاي متقارن:‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪. 0 −1‬‬ ‫ماتريس تقارن نسبت به محور ‪ x‬ها برابر است با‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ − 1 0‬‬
‫‪.‬‬ ‫ماتريس تقارن نسبت به محور ‪ y‬ها برابر است با‬
‫‪1‬‬
‫0‪‬‬ ‫‪‬‬
‫1 −‪‬‬ ‫‪0‬‬
‫‪.‬‬ ‫ماتريس تقارن نسبت به مبدا مختصات برابر است با‬
‫‪− 1‬‬
‫0‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪0 1 ‬‬
‫‪.‬‬ ‫ماتريس تقارن نسبت به خط ‪ y = x‬برابر است با‬
‫‪‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪ 0 − 1‬‬
‫‪.‬‬ ‫ماتريس تقارن نسبت به خط ‪ y = -x‬برابر است با ‪‬‬
‫‪− 1 0 ‬‬
‫تست ٩٢( تبديل يافته نقطه )1,-3( تحت تقارن نسبت به خط ‪ y = x‬كدام است؟‬
‫٤( )-1,3(‬ ‫٣( )-3,-1(‬ ‫٢( )-1,-3(‬ ‫١( )3,1(‬
‫فصل سوم : ماتریس وارون‬
‫وارون ماتريس : وارون ماتريس مربعي ‪ A‬را با 1-‪ A‬نمايش مي دهند كه ‪. AA-1 = A-1A = I‬‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

16. ‫صفحه : - 61 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫‪− b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪a b ‬‬
‫1−‬
‫‪. A = − c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A=‬‬ ‫طريقه محاسبه وارون يك ماتريس ٢×٢ : اگر ‪‬‬
‫باشد آنگاه ‪a ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪c d ‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫′′‪A‬‬ ‫ماتريس همسازه : ماتريس همسازه ‪ A‬را با‬
‫نمايش مي دهیم وبه صورت زير تعريف مي كنیم‬
‫11‪ A‬‬ ‫‪‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫21‬ ‫31‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫′′‪A‬‬ ‫12‪=  A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫.‬ ‫‪23 ‬‬
‫22‬
‫‪A‬‬ ‫‪‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫13 ‪‬‬ ‫‪33 ‬‬
‫23‬
‫′′‪A‬‬ ‫ماتريس الحاقي : ماتريس الحاقي ‪ ‌A‬را با ‪ *A‬نمايش مي دهیم وآنرا از ترانهاده‬
‫مي يابیم يعني‬
‫11‪ A‬‬ ‫‪A21 A31‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫21‪=  A‬‬
‫*‪A‬‬ ‫‪A22 A32‬‬
‫31‪ A‬‬ ‫‪A23 A33‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫1‬ ‫11‪ A‬‬ ‫‪A21 A31 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫21‪ A‬‬ ‫‪A32 ‬‬
‫22‪A‬‬
‫‪= A-1 =  A‬‬ ‫‪‬‬
‫روش بدست آوردن وارون يك ماتريس‌ ٣×٣ : ‪A ‬‬
‫*‪. A‬‬ ‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫31‪ A‬‬ ‫32‪A‬‬ ‫‪A33 ‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪2 0 − 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ١)سال ٦٨(: اگر ‪ ، A = 0 1 3 ‬عنصر سطردوم ستون سوم ماتريس 1-‪ A‬كدام است؟‬
‫‪1 0 4 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬
‫−‬ ‫−‬
‫٤(‬ ‫٣(‬ ‫٢(‬ ‫١(‬
‫4‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫4‬
‫نكته : شرط وارون پذيري ماتريس ‪ A‬اين است كه 0 ≠ ‪. A‬‬
‫‪− 6 a‬‬ ‫‪1‬‬
‫0‪‬‬ ‫تست ٢)سال ٢٨(: اگر ماتريس ‪1 − 1‬‬
‫‪ ‬وارون پذير نباشد ‪ a‬كدام است ؟‬ ‫‪‬‬
‫‪ a −1 0 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٤( 3 , -2‬ ‫٣( -3 , 2‬ ‫٢( -2 , 1‬ ‫١( 2 , -1‬
‫نكته : وارون ماتريس بال مثلثي ، پايین مثلثي و قطري بترتیب بال مثلثي ، پايین مثلثي و قطري است.‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬

17. ‫صفحه : - 71 ـ‬ ‫مرکز پیش دانشگاهی : ...............‬
‫تهیه و تنظیم : محمد شربیانی‬ ‫درس : هندسه تحلیلی‬
‫اصل‬
‫‪1 2 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ٣)آزاد ٦٧(: وارون ماتريس ‪ 0 3 2‬كدام است ؟‬
‫‪0 0 3 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫0 9‪‬‬ ‫‪0‬‬
‫‪9 − 6 1 ‬‬ ‫‪9 − 6 1 ‬‬ ‫‪9 − 1 2 ‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫٣( ‪2 9 − 2‬‬
‫٤( ‪0 3 − 2‬‬ ‫١( ‪0 9 − 3‬‬
‫٢( ‪0 3 2‬‬
‫9‬ ‫9‬ ‫9‬
‫9‬
‫0 0‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 0 3 ‬‬ ‫0 1‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪0 − 1 9 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬
‫0‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪a‬‬
‫‪c‬‬ ‫‪0 0 a ‬‬ ‫‪ a 0 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫1‬ ‫1‬
‫0 ‪ A-1 = ‬واگر ‪ A = 0 b 0 ‬باشدآنگاه ‪0 ‬‬ ‫نكته : اگر ‪ A =  0 b 0‬باشدآنگاه ‪0 ‬‬
‫0‪A . =‬‬
‫1-‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c 0 0 ‬‬ ‫‪0 0 c ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫0‪‬‬
‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬
‫0‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫خواص وارون ماتريس :‬
‫1.)1-‪. AB)-1 = B-1A‬‬
‫2.)‪. AT)-1 = (A-1)T‬‬
‫3.)‪. An)-1 = (A-1)n‬‬
‫1‬
‫1−‬
‫4. ‪. A = A‬‬
‫1‬
‫= ) ‪. ( λA‬‬
‫1−‬
‫1−‬
‫‪A‬‬ ‫5.‬
‫‪λ‬‬
‫1‬
‫= 1− ) ‪. ( λAB‬‬
‫1−‬ ‫1−‬
‫‪BA‬‬ ‫6.‬
‫‪λ‬‬
‫) ‪(A‬‬ ‫1− 1−‬
‫.‬ ‫7. ‪A‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫1−‬
‫1−‪A‬‬
‫‪n‬‬
‫.‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫8.‬
‫تست ٤)سال ٢٨(: اگر ‪ A‬و ‪ B‬ماتريس وارون پذير باشد كدام گزينه در مورد آنها نادرست است؟‬
‫1−‬ ‫‪T‬‬
‫1−‬
‫‪T‬‬
‫٤( )1-‪AB)-1 = A-1B‬‬ ‫٣( )‪AT)-1 = (A-1)T‬‬ ‫١( ‪ATBT = (BA)T‬‬
‫٢(‬
‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬
‫=‬
‫‪− 1 m 1 ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫تست ٥)سال ٤٨(: اگردترمینان ماتريس ‪ A =  2 0 − 1‬با دترمینان ماتريس وارون ‪ A‬برابرباشد ‪ m‬كدام‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫است؟‬
‫٤( 2,-2‬ ‫٣( 0,-2‬ ‫٢( 2,0‬ ‫١( -1,1‬
‫] پذيرش تايپ : ٢٦٩٩٣٩٦٢١٩٠ [‬