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MANUAL DE SOLUÇÕES - CADERNO 01 - CONJUNTOS
 

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    MANUAL DE SOLUÇÕES - CADERNO 01 - CONJUNTOS MANUAL DE SOLUÇÕES - CADERNO 01 - CONJUNTOS Document Transcript

    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Resolução dos Exercícios 1) Represente na forma tabular os seguintes conjuntos: a) Aqui precisamos lembrar o conjunto dos números inteiros: Então os elementos do conjunto são os números inteiros que são maiores ou igual a e menores ou igual a . Logo, o conjunto é: b) Então os elementos do conjunto são os números inteiros que resolvem a equação . Como a solução desta equação são os inteiros e , logo: c) Questão semelhante com a anterior, porém os elementos do conjunto são os números naturais que resolvem a equação . Devemos lembrar que: Como a solução da equação são os inteiros e ,e , logo: d) Os elementos do conjunto são os números naturais maiores ou igual a e menores que . Logo: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 1
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ e) Os elementos do conjunto são os números naturais maiores que , logo: 2) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito. a) O conjunto é formado por números inteiros menores do que zero, isto é, Logo, o conjunto é b) O conjunto é formado por números naturais menores do que zero, isto é, Como, Conjuntos Finitos são aqueles que não possuem elementos ou possuem uma quantidade contável de elementos, concluímos que o conjunto é c) O conjunto é formado por números naturais que multiplicados por zero, resulte em zero. Sabemos que qualquer número, seja ele natural ou real, sendo ele multiplicado por zero o resultado sempre é zero. Isto é, Logo, o conjunto é Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 2
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ d) O conjunto , neste item, é formado por números naturais que multiplicados por zero resulte no próprio número natural. Só temos uma possibilidade de elemento para este conjunto: o próprio zero, pois . Isto é, Logo, o conjunto é 3) (Unirio) Sendo e números tais que , pode-se afirmar que: a) e b) c) d) e) Para resolver esta questão, devemos pensar qual o item que satisfaz todas as possibilidades de resultados para os elementos e . Neste caso, temos duas possibilidades: 1ª Possibilidade: e 2ª Possibilidade: e Percebemos que o item (a) se torna falso pela 2ª possibilidade; O item (c) se torna falso pela 2ª possibilidade; O item (d) se torna falso pela 1ª possibilidade; O item (e) se torna falso pela 2ª possibilidade. Porém em qualquer das duas possibilidades o valor de é igual a 5. Logo, o item correto é a letra Espero que tenham entendido a resolução. Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 3
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 4) Represente os conjuntos e no diagrama. Para começar a resolver essa questão e questões semelhantes, devemos dispor primeiros os elementos da intersecção que envolve os três conjuntos. Para isto, procuramos por elementos que estejam nos três conjuntos. No caso, os elementos são e . Feito isto, dispomos os elementos no diagrama Após, devemos preencher com os elementos corretos as outras intersecções. Utilizamos o seguinte raciocínio: Primeiro, vamos encontrar os elementos comuns aos conjuntos e . Neste caso, os elementos são: e . Porém, os elementos e , já foram dispostos, logo, na área que sobra, da área comum dos conjuntos e , devemos colocar o elemento que falta: . Seguimos o mesmo raciocínio para os elementos comuns aos conjuntos e e aos conjuntos e . Temos então: Para finalizar, dispomos que elementos que faltam em cada conjunto respectivamente. Então, o diagrama final fica desta forma: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 4
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 5) Determine todos os subconjuntos de Para escrevermos todos os subconjuntos do conjunto , não devemos esquecer as propriedades da Inclusão de Conjuntos: e Logo, os primeiros subconjuntos são: e . Agora, vamos formar todos os subconjuntos que possui 1 elemento: Os subconjuntos que possuem dois elementos são: Logo os subconjuntos formados são: 6) Dados os conjuntos e , determine: a) c) e) g) i) b) d) f) h) a) b) c) d) e) Para resolver questões de Complementar como , precisamos primeiro verificar se . Caso essa condição seja verdadeira resolvemos pela diferença Para esta questão verificamos que , logo . f) g) Como , logo não existe, isto é, . h) i) Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 5
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 7) Considerando o universo de todas as pessoas brasileiras, sejam os conjuntos: Indicando o complementar de em relação a , escreva uma propriedade que determine os elementos dos conjuntos a seguir: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) Percebemos a igualdade entre os itens (d) e (e). Temos nessa igualdade um dos casos das Leis de De Morgan. 8) (Cesgranrio) Se e são conjuntos e , pode-se sempre concluir que: a) b) c) d) e) Para responder a esta questão, precisamos ter o mesmo raciocínio tido na questão (3). Vamos encontrar o item que satisfaça todas as possibilidades de se obter Neste caso, temos duas possibilidades: 1ª possibilidade: 2ª possibilidade: Percebemos que o item (b) é uma das possibilidades, porém se torna falso, porque não é a única possibilidade de ocorrer; O item (c) se torna falso, pois se , então ; O item (d) se torna falso pelo mesmo motivo do item (b), há essa possibilidade, mas nem sempre ocorre; Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 6
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ O item (e) é falso pois se , então ; Porém, em qualquer das duas possibilidades expostas acima, verificamos que . Logo, a alternativa correta é: 9) Observando os conjuntos representados pelo diagrama, determine: a) b) c) d) e) f) a) c) e) b) d) f) 10) (UFPI) Considerando os conjuntos e na figura abaixo, a região hachurada representa: a) b) c) d) e) Percebemos que a área em branco, representa a união de dos conjuntos e . Pela definição de Diferença de Conjuntos, verificamos que a área verde é tudo que tem em e não tem em , isto é, a área verde representa Alternativa correta, Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 7
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 11) Dados e , determine: a) b) c) Número de elementos de d) Número de elementos de representa o conjunto formado por todos os subconjuntos que podem ser gerados com os elementos de Então: a) b) c) d) 12) Se tem 64 elementos, quantos elementos têm o conjunto ? Para calcular a quantidade de elementos de utilizamos a seguinte fórmula onde representa a quantidade de elementos do conjunto . Como tem elementos, temos então: Logo, o conjunto possui 13) Escreva um subconjunto dos números naturais tal que tenha 16 elementos. O importante nesse resolução é perceber que o conjunto que deve ser formado deve possuir elementos. Pois se o conjunto formado tem elementos, terá elementos. Então uma possibilidade, dentre infinitas, pode ser: 14) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados? Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 8
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Uma boa forma de resolvermos corretamente questões envolvendo Conjuntos é tentar representar a situação proposta em um diagrama. Neste caso, temos o conjunto universo que é a quantidade de jovens entrevistados. Esses jovens são divididos em dois conjuntos: • O conjunto dos jovens que gostam de esportes, que vamos representar pela letra ; • O conjunto dos jovens que gostam de música que vamos representar pela letra . Outra análise que devemos fazer é, se os conjuntos formados têm intersecção ou não. Neste caso existe a intersecção, pois existem jovens que gostam de esportes e música. O diagrama ficará então assim: Agora precisamos dispor a quantidade de elementos em suas respectivas áreas. Sempre devemos iniciar essa disposição pela intersecção dos conjuntos, área verde. Neste caso, na intersecção existem jovens (elementos). Devemos lembrar, que essa primeira disposição, significa também, que já dispomos no conjunto elementos, e no conjunto elementos. Sabemos que no conjunto devem existir elementos. Já existem lá, . Então devemos colocar na área amarela: elementos. Então: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 9
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ No conjunto , existem elementos, só que no diagrama já tem , logo na área vermelha devemos dispor elementos. Logo: Devemos agora colocar no diagrama os elementos, relacionado aos jovens que não gostam de música nem de esportes. Percebemos que esses elementos estão dentro do conjunto universo, pois foram entrevistados, mas estão fora do diagrama . Logo: Fizemos a disposição de todos os elementos dentro do diagrama que representa a situação proposta na questão. Agora podemos responder a seguinte pergunta: “Quantos jovens foram entrevistados?” A resposta é dada pela soma de todos os elementos que estão dentro do conjunto universo. Logo, o total de jovens entrevistados é: No geral, a maioria das questões é resolvida utilizando essa linha de raciocínio. A resolução das outras questões, não será tão detalhada, salvo algumas exceções. Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 10
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 15) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? b) Quantas gostam somente de futebol? c) Quantas gostam só de basquete? d) Quantas gostam apenas de vôlei? e) E quantas não gostam nem de futebol nem de vôlei? f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos? Neste caso temos três conjuntos: • O conjunto das pessoas que gostam de futebol; • O conjunto das pessoas que gostam de basquete; • O conjunto das pessoas que gostam de vôlei. Há intersecção entre os três conjuntos. Então temos o seguinte diagrama: A primeira informação que devemos colocar no diagrama, é a quantidade de elementos da intersecção entre os três conjuntos (área amarela). Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 11
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Depois devemos dispor os elementos nas áreas que representam a intersecção entre dois conjuntos: área verde escuro, vermelho e rosa, utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior. Como exemplo, temos: na intersecção dos conjuntos e (área verde escura e amarela) devem ter elementos, porém já existe (área amarela), logo a área verde escura terá elementos e assim por diante para as outras intersecções. Logo, teremos o seguinte diagrama: Dispondo o restante dos elementos dos conjuntos e , temos: Sabemos que o conjunto universo deve ter elementos. Logo, precisamos saber se Temos então que: Deduzimos então daí que, se possui 33 elementos, então existem elementos do conjunto universo que estão fora do diagrama de . Logo, o diagrama final da questão é: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 12
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Respondendo agora aos itens, temos: a) b) (devemos considerar aqui as pessoas que gostam somente de futebol e não gostam mais de nenhum outro esporte – área azul claro) c) (idem item (b)) d) e) (para responder a este item, devemos retirar do conjunto universo todas as pessoas que gostam de futebol ou de vôlei ( ). Sobram então as pessoas da área verde claro e as pessoas que estão fora do diagrama da união) f) (precisamos saber que na matemática, o conectivo representa a operação de adição: só de futebol: só de basquete: de ambas: ) 16) Uma prova de duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? Neste caso temos dois conjuntos: • O conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão; • O conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão; Há intersecção entre os dois conjuntos. Então temos o seguinte diagrama, já com a disposição dos elementos que foram dados: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 13
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Percebemos que . Logo existem fora do diagrama de , que são os alunos que erraram as duas questões. Logo a resposta da questão é 17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa , 305 assistem ao programa e 386 assistem ao programa . Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas e , 60 assistem aos programas e , 25 assistem a e , e 10 famílias assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? b) Quantas famílias assistem somente ao programa ? c) Quantas famílias não assistem nem ao programa nem ao programa ? Nesta questão teremos a formação de três conjuntos: • O conjunto das famílias que assistem ao programa • O conjunto das famílias que assistem ao programa • O conjunto das famílias que assistem ao programa Há intersecção entre os três conjuntos. Então temos o seguinte diagrama, já com a disposição dos elementos que foram dados: Respondendo aos itens da questão, temos: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 14
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ a) b) c) 18) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram só Helena? c) Qual é o número de alunos nessa classe? Para a resolução desta questão vamos considerar dois conjuntos: • O conjunto dos alunos que leram Helena • O conjunto dos alunos que leram Iracema. Pelo enunciado, temos a intersecção dos dois conjuntos. Logo, podemos montar o seguinte diagrama: Nesta questão em especial, foi dado à seguinte informação: … leram só Iracema… . Devido a essa informação, não foi subtraído desse valor, os elementos da intersecção. Respondendo aos itens da questão, temos: a) b) c) Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 15
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 19) Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete, com 100 pessoas, sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto , 30 pessoas compram somente o produto , 15 pessoas compram somente o produto , 8 pessoas compram e , 5 pessoas compram e , 6 pessoas compram e , e 4 compram os três produtos. a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos? b) Quantas pessoas não compram nenhum desses três produtos? c) Quantas pessoas compram os produtos e e não compram ? d) Quantas pessoas compram os produtos ou ? e) Quantas pessoas compram o produto ? f) Quantas pessoas compram o produto ? Vamos considerar três conjuntos para a resolução desta questão: • O conjunto das pessoas que compram o produto • O conjunto das pessoas que compram o produto ; • O conjunto das pessoas que compram o produto . Há intersecção entre os três conjuntos. Armando o diagrama, temos: Vale para este questão a mesma observação feita na questão anterior. Respondendo aos itens da questão, temos: a) (para responder a este item temos que pensar da seguinte forma: as pessoas que compram um produto, compram pelo menos um (total de pessoas); as pessoas que compram dois produtos, compram pelo menos um ( pessoas) e as pessoas que compram três produtos, compram pelo menos um ( pessoas). Somando os valores, temos o resultado de 66 pessoas). b) Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 16
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ c) (aqui devemos considerar as pessoas que pertencem a intersecção de e ( elementos), porém desses elementos, devemos excluir os elementos que pertencem a (4 elementos). d) e) 20) Num levantamento sobre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam Inglês e Francês, 8 estudam Francês e Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5 estudam os três idiomas. a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas? b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas? A resolução desta questão pede a formação de três conjuntos: • O conjunto dos estudantes que estudam Inglês • O conjunto dos estudantes que estudam Francês; • O conjunto dos estudantes que estudam Espanhol. Existe intersecção dos três conjuntos. O diagrama que representa a questão é: Respondendo aos itens da questão, temos: a) b) Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 17
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 21) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o jornal , 29% lêem o jornal , 22% lêem o jornal , 13% lêem e , 6% lêem e , 14% lêem e e 6% lêem os três jornais. a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais? b) Quanto por cento lê os jornais e e não lê ? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal? Questão envolvendo porcentagem, porém o raciocínio é o mesmo utilizado das questões anteriores. Precisamos considerar neste caso três conjuntos: • O conjunto dos que lêem o jornal • O conjunto dos que lêem o jornal ; • O conjunto dos que lêem o jornal . Há intersecção dos três conjuntos. Assim o diagrama é: Como o Conjunto Universo representada o todo e estamos trabalhando com porcentagens, então . Logo: Respondendo aos itens, temos: a) b) c) Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 18
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 22) Numa pesquisa sobre audiência de TV entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal , 40 ao canal , 15 ao canal , 25 assistem a e , 8 a e , 3 a e , e 1 assiste aos três. a) Quantos não assistem a nenhum desses três canais? b) Quantos assistem somente ao canal ? c) Quantos não assistem nem a nem a ? Diagrama: Respondendo aos itens, temos: a) b) c) 23) Foram entrevistadas cinqüenta donas de casa sobre suas preferências em relação a duas marcas e de sabão em pó. Os resultados da pesquisa foram precisamente: • 21 pessoas responderam que usam a marca . • 10 pessoas responderam que usam a marca e a marca . • 5 pessoas responderam que não usam nenhuma das duas marcas. De acordo com esses dados, quantas pessoas usam somente a marca ? Diagrama: Logo, a resposta da questão é: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 19
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 24) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o currículo de 47 candidatos, conclui que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em montagem ou pintura; e que precisamente 32 candidatos já trabalharam em montagem e 29 já trabalharam em pintura. Quantos desses candidatos já trabalharam nos dois setores? Questões como essa, onde o que é pedido é justamente a intersecção entre os conjuntos, a melhor forma de resolução é a aplicação dá fórmula da Quantidade de Elementos da União de Conjuntos. A fórmula, então, que deve ser usada para esta questão é: Onde , representa o conjunto das pessoas que já trabalharam com Montagem e , o conjunto das pessoas que já trabalharam com Pintura. Notemos que, dos candidatos, nunca trabalharam em Montagem ou Pintura, isto é, candidatos já trabalharam em Montagem ou Pintura, isto é . Substituindo os valores que foram dados, temos: Logo, a resposta da pergunta feita na questão é: 25) Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes e . Precisamente: • 13 dessas pessoas assistiram ao filme . • 5 pessoas assistiram aos dois filmes. • 6 pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes. Quantas pessoas assistiram ao filme , sabendo que todas as 29 pessoas opinaram? Diagrama: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 20
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Logo, a resposta da questão é: 26) A partir de uma pesquisa feita com 2200 gaúchos, a Secretaria de Turismo do Estado concluiu que: • Exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na região nordeste do Brasil; • Exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na região norte do Brasil; • Exatamente 206 dessas pessoas já estiveram nas duas regiões. Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram em nenhuma das duas regiões? Diagrama: Onde , representa as pessoas que estiveram na região Norte, e , na região Nordeste. Logo, a resposta da questão é: 27) Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a responder se eram leitores de jornal ou revista. Conclui-se exatamente que: • 24 alunos lêem jornal; • 30 alunos lêem revista; • 5 alunos não lêem jornal nem revista. Quantos alunos lêem jornal e revista? Questão idêntica a Questão 24 acima. Então, temos: Substituindo os valores que foram dados, temos: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 21
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Logo, a resposta da pergunta feita na questão é: 28) (PUC/Campinas – SP) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte , novela e humorismo . A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: a) 100 b) 200 c) 900 d) Os dados do problema estão incorretos e) N.d.a. Diagrama: Logo, a resposta da questão é o item: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 22
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 29) Um conjunto universo possui precisamente 23 elementos. Dois subconjuntos e de são tais que: • possui 12 elementos, precisamente; • possui 9 elementos, precisamente; • Existem exatamente 5 elementos de que não pertencem a . Determine o número de elementos de . Temos, então que: Substituindo os valores que foram dados, temos: Logo, a resposta da pergunta feita na questão é: 30) Um conjunto universo é tal que e os subconjuntos e de são tais que: e . Determine . Uma questão diferente das anteriores. Para resolvê-la, precisamos lembrar qual o significado de . representa todos os elementos que pertencem a um determinado conjunto universo, do qual é subconjunto, mas esses elementos não pertencem ao conjunto . Em notação, temos: . Vamos utilizar o seguinte diagrama, sabendo que: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 23
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Se e , então existe elementos fora do diagrama de que pertencem a . Logo: Como , então . Como , então . Como , então . Como , então . Então temos: Então: A resposta da questão é: 31) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes: o grud-cola e o pimba-cola. Para se saber qual o preferido em uma certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade. Precisamente: • 135 jovens entrevistados bebem grud-cola; • 75 jovens bebem os dois refrigerantes; • 40 jovens não bebem nenhum dos dois refrigerantes. Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua você qual é o refrigerante preferido por eles e quantos jovens bebem esse refrigerante. Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 24
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Diagrama: Logo, a resposta da questão: 32) Cada um dos 51 professores de uma escola leciona em pelo menos um dos três prédios e que possui a escola. A distribuição de aulas aos professores foi feita de modo que, precisamente: • 32 professores lecionam no prédio ; • 30 professores lecionam no prédio ; • 29 professores lecionam no prédio ; • 17 professores lecionam no prédio e ; • 18 professores lecionam no prédio e ; • 13 professores lecionam no prédio e . Quantos desses professores lecionam nos três prédios da escola? Vale o mesmo raciocínio de resolução da questão 24, para respondermos a esta pergunta. Porém aqui estamos trabalhando com três conjuntos. Logo a fórmula a ser usada é: Substituindo os valores que foram dados, temos: Logo, a resposta da pergunta feita na questão é: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 25
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 33) (UESPI) Sejam e conjuntos finitos de modo que e são disjuntos. Se possui 8 elementos, possui 24 elementos e possui 17 elementos, então o número de elementos de é: a) 7 b) 9 c) 4 d) 2 e) 1 Nesta questão, temos três conjuntos e , porém , isto é, não existe área comum aos conjuntos e . Teremos então o seguinte diagrama para representar inicialmente a situação proposta: Foi nos dada às seguintes informações: → , isto é, área verde possui elementos; → , isto é, existe elementos em que não estão em . Ou seja, esses elementos devem estar distribuídos nas áreas azul e verde. Como na área verde já existe elementos, isto significa, que na área azul tem elementos; Temos o seguinte diagrama, então: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 26
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ A última informação dada é: → , isto é, existem elementos que devem ser distribuídos nas áreas azul e amarela. Como na área azul já existem elementos, então a área amarela terá elementos. Então, temos: Devemos agora responder quantos elementos tem a área que representa , isto é, queremos os elementos que estão na área de mas não estão na área de . A área que representa são as áreas: vermelha, amarela, verde e cinza. Logo os elementos que estão nessa área devem ser excluídos para responder a pergunta, sobrando então elementos, que é justamente o valor procurado. Logo a resposta é: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 27
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 34) (ITA – SP) Denotemos por o número de elementos de um conjunto finito . Sejam e conjuntos tais que , e . Então é igual a: a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25 Para resolver esta questão, precisamos ter um pouco mais de atenção e ter uma boa familiaridade com as fórmulas da quantidade de elementos da união de conjuntos, já citadas em algumas questões acima. Inicialmente, vamos utilizar a fórmula da quantidade de elementos da união de três conjuntos: Lembrando da fórmula da quantidade de elementos da união de dois conjuntos, percebemos que a parte grifada em vermelho, representa , pois: Como a questão nos diz que e fazendo a substituição desse resultado na primeira fórmula, temos: Para os conjuntos e , temos: Substituindo o resultado em azul, na parte laranja da fórmula acima temos: Como , temos que: Para os conjuntos e , temos: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 28
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ Substituindo o resultado em marron, na parte amarela da fórmula acima temos: Como e , temos que: Ajeitando a fórmula acima, temos: Logo a resposta da pergunta feita é o item: Questões de vestibulares 1) (UFPA – PSS 07) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por o conjunto dos torcedores do Paysandu, por o conjunto dos torcedores do Remo e por o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, . Concluímos que o número de alunos desta turma é a) 49 b) 50 c) 47 d) 45 e) 46 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 29
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ O diagrama a ser formado é idêntico ao da questão 33. Logo, temos: Temos então que: Logo a turma tem alunos. Item correto: 2) (UFPA – PSS 08) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 Diagrama: Logo, todos os alunos gostam de alguma das três disciplinas, isto é, nenhum aluno não gosta de nenhuma das três disciplinas. Item correto: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 30
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ 3) (UFPA – PSE 01/09) Em uma turma de 50 alunos, 30 gostam de azul, 10 gostam igualmente de azul e amarelo, 5 não gostam de azul nem de amarelo. Os alunos que gostam de amarelo são a) 25. b) 20 c) 18 d) 15 e) 10 Diagrama: Logo existem alunos que gostam de amarelo. Item correto: 4) (UEPA – PROSEL 06) A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é: a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20 Diagrama: Logo deputados votaram contra a instalação das CPIs. Item correto: 5) (UEPA – PROSEL 07) Os carros podem ser adquiridos dentre três alternativas em termos de combustível. Podem ser movidos a gasolina, a álcool ou aos dois combustíveis (flex). Desta forma, foi verificado que no pátio de uma concessionária de veículos há: 120 automóveis que podem ser movidos a gasolina; 112 que Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 31
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Conjuntos (Manual de Soluções) Data __ / __ / __ podem ser movidos a álcool e 93 que podem ser movidos com os dois combustíveis (flex). O número de carros existentes no pátio dessa concessionária é: a) 325 b) 232 c) 213 d) 205 e) 139 Diagrama: Logo existem 139 carros no pátio da concessionária. Item correto: Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com - Blog: pshmatematica.blogspot.com Contatos: 88165226 / 81094287 Página 32