TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO 2º GRAU. TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO SUPERIOR.03/03/2009.

CONJUNTO N: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 , ...}

CONJUNTO Z: Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z+ O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

Z- - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

- Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z+ e N Z*+ = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas . Os racionais são representados pela letra Q.

Z*+ = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas . Os racionais são representados pela letra Q.

IRRACIONAIS e REAIS Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

N<Z<Q<R

POTENCIAÇÃO: Definição Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se &quot;três elevado ao quadrado&quot;, ou &quot;três elevado à segunda potência&quot; ou ainda &quot;três elevado à dois&quot;). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Definição Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se &quot;três elevado ao quadrado&quot;, ou &quot;três elevado à segunda potência&quot; ou ainda &quot;três elevado à dois&quot;). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

PROPRIEDADES: Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a1 = a a0 = 1 Propriedades 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes: an . am = an+m 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: (an) / (am) = an-m , &quot;a&quot; diferente de zero. 3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes: (am)n = am . n

Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a1 = a a0 = 1 Propriedades 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes: an . am = an+m 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: (an) / (am) = an-m , &quot;a&quot; diferente de zero. 3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes: (am)n = am . n

ATENÇÃO: As potências abaixo NÃO são iguais: (am)n e amn na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n , e depois elevar a ao resultado da operação anterior. 4 - (a . b)n = an . bn 5 - (a/b)n = an/bn , &quot;b&quot; diferente de zero. Potenciação com números negativos Observe os exemplos abaixo: (-3)2 = 9 -32 = -9

As potências abaixo NÃO são iguais: (am)n e amn na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n , e depois elevar a ao resultado da operação anterior. 4 - (a . b)n = an . bn 5 - (a/b)n = an/bn , &quot;b&quot; diferente de zero. Potenciação com números negativos Observe os exemplos abaixo: (-3)2 = 9 -32 = -9

CUIDADO COM O SINAL: sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 se tirarmos os parênteses -33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 se tirarmos os parênteses -33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

POTENCIA: Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas.

Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas.

P1: Propriedades da potenciação Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

Propriedades da potenciação Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

P2: Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

P3: Potência de potência Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”. Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.

Potência de potência Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”. Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.

Q Números racionais (Q) O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111... Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.

Números racionais (Q) O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111... Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.

DEFINIÇÃO: Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111... 4/13 = 0,307692307...

Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111... 4/13 = 0,307692307...

CLASSIFICAÇÃO: Dízimas periódicas simples : Quando o período aparece logo após à virgula. Exemplos: 2/3 = 0,6666666....... Período: 6 4/13 = 0,307692307.... Período: 307692 31/33 = 0,93939393.... Período: 93

Dízimas periódicas simples : Quando o período aparece logo após à virgula. Exemplos: 2/3 = 0,6666666....... Período: 6 4/13 = 0,307692307.... Período: 307692 31/33 = 0,93939393.... Período: 93

DIZÌMAS COMPOSTAS: Dízimas periódicas compostas : Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Exemplos: 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97

Dízimas periódicas compostas : Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Exemplos: 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97

PROPRIEDADES: Potencias:

Potencias:

ATIVIDADES:

CONTINUAÇAO:

EXPOÊNTE NEGATIVO:

PRODUTO DE POTÊNCIAS:

DIVISÃO DE POTÊNCIAS:

POTÊNCIA DE POTÊNCIA:

POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES IGUAIS

EXPOÊNTES IGUAS NA DIVISÃO:

RADICAIS:

RAIZ EXATA:

EXEMPLO 2:

VOLUME:

RADICAIS:

RADICAIS:

EQUAÇÃO 2º GRAU: Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós. O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

SEJA A EQUAÇÃO: a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o segundo membro, teremos: x² + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter

DEDUÇÃO: x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² Simplificando ambos os lados da equação, obteremos: [x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a²

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a²

OBSERVE: Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação: x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] ou x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

CONCLUSÃO: A FORMULA:

A FORMULA:

x² - 5 x + 6 = 0 Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 Escrever o discriminante D = b²-4ac. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula: x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x&quot; = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

x² - 5 x + 6 = 0

Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

Escrever o discriminante D = b²-4ac.

Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

Escrever a fórmula de Bhaskara:

Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x&quot; = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

VEJA:

veja Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos: l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = - 4 e c = 5 l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)

Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.

Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos:

l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = - 4 e c = 5

l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são:

a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)

l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)

Incompleta: l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos) A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.

l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são:

a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos)

A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.

OBS: Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim: 0 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos

que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim:

0 . x + bx + c = 0

bx + c = 0 ® equação do 1º grau.

Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

RESOLVENDO: Resolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor. No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

Resolução de uma equação

Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor.

No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

EXEMPLO 1: EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: 2.2 + 6 . 2 - 16 = 0 4 + 12 - 16 = 0 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

EXEMPLO 1

a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da

equação.

A equação é: x2 + 6x - 16 = 0

Substituindo x por 2, temos:

2.2 + 6 . 2 - 16 = 0

4 + 12 - 16 = 0

16- 16 = 0 ® sentença verdadeira

Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

VERIFIQUE: b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução. Substituindo x por 1, temos: 1.2 + 6 . 1 - 16 = 0 1 + 6 - 16 = 0 7- 16 = 0 ® sentença falsa Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.

Substituindo x por 1, temos:

1.2 + 6 . 1 - 16 = 0

1 + 6 - 16 = 0

7- 16 = 0 ® sentença falsa

Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

EXEMPLO 2: EXEMPLO 2 Resolver a equação 3x2 - 27 = 0 3x2 = 27 x2 = 27 3 x2 = 9 x = x = ± 9 ® x = + 3 As soluções da equação são +3 e -3.

EXEMPLO 2

Resolver a equação 3x2 - 27 = 0

3x2 = 27 x2 = 27 3

x2 = 9

x = x = ± 9 ® x = + 3

As soluções da equação são +3 e -3.

2º CASO: Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0) Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência: x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo: x = 0 ì Se x (ax + b) = 0, então ou î ax + b = 0 ® ax = -b x = -b a As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b a

Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0)

Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência:

x (ax + b) = 0

Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:

x = 0

ì

Se x (ax + b) = 0, então ou

î

ax + b = 0 ® ax = -b

x = -b

a

As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b

a

EXEMPLO: Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x = 0 ou 3x - 15 = 0 15 3x = 15 ® x = 3 ® x = 5 As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

Resolver a equação 3x2 - 15x = 0.

x (3x - 15) = 0 x = 0

ou

3x - 15 = 0

15

3x = 15 ® x =

3

® x = 5

As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.