ApresentaçãO Sobre Sistemas De NumeraçãO

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ApresentaçãO Sobre Sistemas De NumeraçãO

  1. 1. Você já reparou como os números estão presentes no nosso dia-a-dia ?
  2. 3. Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre: O modo como surgiram os números? Como foram as primeiras formas de contagem? Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
  3. 4. Como surgiram os números ? Vamos passear pela História da Matemática...
  4. 5. Quando enfrentamos situações em que queremos saber "quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como surgiram os números? Para responder a essa pergunta precisamos ter uma idéia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades. Como surgiu a noção de número ? Naquele tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.
  5. 6. Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros de um grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população aumentava e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades. Foi então que ele começou a cultivar plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás.
  6. 7. Os pastores de ovelhas tinham necessidades de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho? Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras.
  7. 8. Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle. Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência um a um. Os primeiros registros de números
  8. 9. A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
  9. 10. Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do que seus próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.
  10. 11. Com o passar do tempo o homem percebeu que podia associar as dedos da mão à quantidade de elementos de um conjunto, assim nossas mãos foram a primeira "máquina de calcular“. Uma prova disso é que até hoje, em certas tribos do Pacífico, o número é expressado pela mão: quando querem dizer dez ,dizem duas mãos e o número vinte é representado por um homem completo, indicando que, depois de contar os dedos da mão, passou-se a usar os dedos dos pés.
  11. 12. Nessa tribo localizada no Pacífico o sistema de numeração tinha a seguinte nomenclatura : O um era chamado tai , O dois era lua , O três era tolu , O quatro era vari , O cinco era iuna ( que significa mão ), O seis era otari (mão mais um), O Sete era olua ( mão mais dois ), O oito era otolu (mão mais três ), O Nove era ovari (mão mais quatro), O dez era iuna iuna (duas mãos ).
  12. 13. A obra de Bernard H. Gundlach, História dos Números e Numerais, cita como exemplo uma tribo de Nova Guiné, os bugilai, que usavam a seguinte seqüência de partes, ticadas com o dedo indicador da mão direita: 10 Dala Lado direito do peito 9 Ngama Lado esquerdo do peito 8 Podei Ombro esquerdo 7 Trankgimbe Cotovelo esquerdo 6 Gaben Pulso esquerdo 5 Manda Dedo polegar da mão esquerda 4 Topea Dedo indicador da mão esquerda 3 Guigimeta Dedo médio da mão esquerda 2 Meta Kina Dedo anular da mão esquerda 1 Tarangesa Dedo mínimo da mão esquerda NÚMERO NUMERAÇÃO ENUMERAÇÃO
  13. 14.   Veja que o sistema usado tem base cinco. Usando os dedos, o homem primitivo podia contar grupos de até vinte elementos, porém a medida que surgiu a necessidade de se realizar contagens cada vez maiores, o homem foi utilizando outras técnicas, tais como : fazer marcas em madeiras, pedras, barro, tábuas e ossos . Na Tchecolosváquia foi encontrado um osso de lobo com profundas incisões totalizando um número de 55. O interessante é que as marcas estavam dispostas em grupos de cinco. Tal fato ressalta a correspondência que o homem primitivo fazia com os dedos das mãos.
  14. 15. O sistema de Numeração Decimal tem história Vamos conhecer como se desenvolveu a Matemática nos povos antigos...
  15. 16. Os sistemas de numeração surgiram quando a relação para enumerar elementos entre conjuntos se esgotou. O homem usava os dedos de uma mão, depois de outra mão, dos pés, de outras partes do corpo e até objetos. Tornou-se, então necessário estabelecer uma seqüência ordenada para relacionar um elemento ao seu marcador. Alguns desses sistemas não usavam valor de posição, são os sistemas não-posicionais. É curioso observar ainda que alguns desses sistemas não tinham representações para o número zero. Posteriormente, desenvolveram-se alguns sistemas de numeração utilizando um valor como base, os sistemas posicionais, que deram origem aos cálculos usados hoje. Já dos sistemas de números originaram-se os conjuntos numéricos e suas propriedades e relações entre diferentes sistemas de números. Algumas civilizações mais antigas já tinham sistemas de numeração: babilônico, egípcio, romano, grego, chinês-japonês, maia e indo-arábico.
  16. 17. ALGUNS SÍMBOLOS ANTIGOS No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais: Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 IIIIIIIII IIIIIIII IIIIIII IIIIII IIIII IIII III II I 9 8 7 6 5 4 3 2 1 IIII IIII I IIII IIII IIII III IIII II IIII I IIII III II I
  17. 18. Sistema de Numeração Babilônico ( aproximadamente 2.000 antes de Cristo ) Os babilônicos viviam na Mesopotâmia, nos vales do Rio Tigre e Eufrates, na Ásia. Esta região é ocupada atualmente pelo Iraque.
  18. 19. Na escrita dos números de 1 a 59, o sistema de numeração dos babilônios se parecia muito com o sistema de numeração desenvolvida pelos egípcios; ambos eram aditivos. Observe, no quadro a seguir, os símbolos e a representação de alguns números, de 1 a 59, nesse sistema de numeração.
  19. 20. Sistema de Numeração Egípcio Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio . É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos :
  20. 21. <ul><li>Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em agrupamentos. </li></ul><ul><li>1 era representado por uma marca que se parecia com um bastão | </li></ul><ul><li>2 por duas marcas || E assim por diante: </li></ul>Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas: |||||||||| por , que indicava o agrupamento. |||||| 6 ||||||||| 9 ||||| 5 |||||||| 8 |||| 4 ||||||| 7 ||| 3
  21. 22. <ul><li>Feito isso, continuavam até o 19: </li></ul><ul><li>10 15 ||||| </li></ul><ul><li>| 16 |||||| </li></ul><ul><li>|| 17 ||||||| </li></ul><ul><li>||| 18 |||||||| </li></ul><ul><li>14 |||| 19 ||||||||| </li></ul><ul><li>O 20 era representado por </li></ul><ul><li>E continuavam: </li></ul><ul><li>30 </li></ul><ul><li>40 </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>. </li></ul><ul><li>90 </li></ul><ul><li>Para registrar 100, ao invés de , </li></ul><ul><li>trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de corda enrolada: </li></ul>
  22. 23. Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, até o 900. Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus: Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam. Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca. 1.000.000 Homem ajoelhado 100.000 Peixe 10.000 Dedo apontando 1.000 Flor de lótus 100 Rolo de corda 10 Calcanhar 1 Bastão Nosso número Descrição Símbolo egípcio
  23. 24. Diversas civilizações da Antigüidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados. Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta. Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração romana.
  24. 25. Sistema de Numeração Romano Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos.
  25. 26. Estes são os símbolos usados no sistema de numeração romano: Vamos lembrar como eram escritos alguns números: Para não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração. Observe alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e como os romanos passaram a escrevê-los: 1000 500 100 50 10 5 1 M D C L X V I 1000+500+100+100+10+1 100+50+1+1 10+10+10+5+1 5+1+1 MDCCXI CLII XXXVI VII mil setecentos e onze cento e cinqüenta e dois trinta e seis sete 1000-100 (50-10)+(5-1) 50-10 10-1 5-1 CM XLIV XL IX IV novecentos quarenta e quatro quarenta nove quatro
  26. 27. Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão. Sistema de Numeração Indo-Arábico
  27. 28. O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade. O segundo número, 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso. tres tre treis tres trois three Espanhol Italiano Grego Latim Francês Inglês três tri trzy tri drei tre Português Hindu Polonês Russo Alemão Sueco
  28. 29. Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos). Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo. Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos. Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero .
  29. 30. Cada algarismo tinha um nome: Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual: 10 = dasa 100 = sata 1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa 1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti 100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padma nava asta sapta sat pañca catur tri dvi eka 9 8 7 6 5 4 3 2 1
  30. 31. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava: Poderíamos escrever o número 12.345 como pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo: 5 = pañca 40 = catur dasa 300 = tri sata 2.000 = dvi sahasra 10.000 = ayuta tri sahasra sapta sata nava três mil sete centos nove 3000 700 9
  31. 32. Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação, retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes. Assim, o número 12.345 que era escrito como: pañca catur dasa tri sata dvi sahasra ayuta passou a ser escrito apenas: 54321 = pañca catur tri dvi dasa Então, 31 = 1 + 3 x 10 31 = dasa tri Mas, no número 301, faltava algo para representar as dezenas.
  32. 33. Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela). Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri Os hindus tinham acabado de descobrir o zero. Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.
  33. 34. Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez , isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal. Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10. A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês. Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta .
  34. 35. Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.
  35. 36. Os dez símbolos do nosso sistema de numeração são chamados dígitos ou algarismos. A palavra dígito vem da palavra latina &quot; digitus &quot;, que significa dedo. É claro que isto tem a ver com o uso dos dedos nas contagens. É curiosa a origem da palavra algarismo. Durante o reinado do califa al-Mamun, no século IX, viveu um matemático e astrônomo árabe, que se tornou famoso. Chamava-se Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi. Ele escreveu vários livros. Num deles, intitulado &quot;Sobre a arte hindu de calcular&quot;, ele explicava minuciosamente o sistema de numeração hindu. Na Europa, este livro foi traduzido para o latim e passou a ser muito consultado por aqueles que queriam aprender a nova numeração. Apesar de al-Khowarizmi, honestamente, explicar que a origem daquelas idéias era hindu, a nova numeração tornou-se conhecida como a de al-Khowarizmi. Com o tempo, o nome do matemático árabe foi modificado para algorismi que, na língua portuguesa, acabou virando algarismo .
  36. 37. Antes da invenção da imprensa, que ocorreu no século XV, os livros eram copiados manualmente, um a um. Como cada copista tinha a sua caligrafia, durante os longos séculos de copiagem manual as letras e os símbolos para representar números sofreram muitas modificações. Além disso, como o sistema de numeração criado pelos hindus foi adotado pelos árabes e passado aos europeus, é natural que, nesse percurso, a forma de escrever os dez algarismos sofresse alterações. Por volta do século IV, os hindus representavam os algarismos assim:
  37. 38. Não havia ainda um símbolo para o nada. No século IX, já com o zero, a representação evoluiu para: No século XI os hindus representavam os dez dígitos assim: No mesmo século XI, os árabes que estavam no Ocidente representaram assim:
  38. 39. No século XVI os árabes orientais empregavam esta representação: Veja as formas usadas pelos europeus nos séculos XV e XVI: Hoje a representação é esta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Após a invenção da imprensa, as variações foram pequenas. Os tipos foram sendo padronizados. Mas, mesmo assim, as modificações são inevitáveis. No visor das calculadoras eletrônicas e dos relógios digitais, os dez algarismos são representados assim:

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