1. Análisis de Fourier: Un enfoque real.
María Ilse Dovale Pérez
División de Ingeniería Electrónica
Universidad del Norte
Barranquilla
Miércoles 09 de Abril de 2008
El tiempo ha sido para el hombre un arma de doble …lo, ha sido el causante de muchas desgracias,
pero de igual forma ha permitido al hombre encontrar sentido no sólo a su vida misma si no también
a la naturaleza que lo rodea, pero como nos dijo el gran Galilei para comprender lo que nos quiere
decir la naturaleza debemos tratar de comprenderla, y ésto sólo es posible si entendemos su lenguaje,
lleno de círculos, cuadrados y otras …guras geométricas.
Hoy han pasado un poco más de 500 años después que se lanzaron dichas sabias palabras, lo
cual fue de mucha ayuda para que cientí…cos en todo el mundo dieran paso al resplandecer de la
ciencia después de haber estado opacada durante muchísimos años, y así fue como pasó.
Jean Baptiste Joseph Fourier fue un matemático y físico francés conocido por su gran labor y sus
trabajos acerca de la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes,
lo cual conocemos ahora como quot;Series de Fourierquot;. El análisis de fourier es usado en varias áreas para
resolver problemas reales e importantes, su descubrimiento fue una ayuda enorme para entender la
naturaleza y sus ciclos; como lo es el ciclo anual de las estaciones, el ciclo mensual de los eventos
lunares, ciclos diarios del dia y la noche, y otros eventos periódicos en la escala del tiempo de las
horas, minutos o segundos como un péndulo oscilante, cuerdas vibrantes, u osciladores eléctricos[1]:
Obviamente todo no fue de un momento a otro, como se menciona anteriormente, han pasado
cerca de 500 años desde que comenzó nuevamente el resplandecer cientí…co en la Tierra después de
estar opaco, Galileo y Fourier no se encontraron con un mundo sin matemáticas ni cálculo, antigu-
os Griegos, Babilonios y Egipcios habían desarrollado un pensamiento matemático, relativamente
avanzado, se preocuparon por entender el idioma en que está escrito el universo a través de la
investigación y el desarrollo de nuevas técnicas de conteo, lo cual los llevó a ser civilizaciones muy
respetables en aquellos tiempos.
El análisis desarrollado por Fourier permite desarrollar un entendimiento intuitivo de los con-
ceptos abstractos ya que puede ser visto desde dos diferentes puntos de vista uno geométrico y otro
analítico, y realmente es muy útil tener una misma idea expresada desde diferentes puntos de vista.
Volviendo al presente, el análisis de Fourier es una herramienta que facilita mucho los cálculos,
lo que es, lo que hace y por qué es útil debe ser el motivo que mueve a estudiar este análisis, y
aunque actualmente existen muchísimos programas computarizados que pueden hacer los cálculos
por el ser humano con sólo apretar una tecla, es importantísimo como estudiantes de ingeniería
comprender el funcionamiento de algo tan fundamental como es el Análisis de Fourier. Por otra
parte, tomar una actitud como esa no es tolerable en la ciencia, como ingenieros, es imprescindible
1

2. comprender los los principios de funcionamiento de cualquier herramienta utilizada para recoger,
procesar y analizar datos.
El analisis de Fourier es tan importante y útil porque nos permite cambiarle a un problema
su dominio por uno en el cual se trabaje de una forma más sencilla, en este nuevo contexto, una
idea fresca puede ser adquirida; ésta es una de las mayores atracciones de análisis de fourier para
ingeniería.
Sus aplicaciones son muchas, la estrategia puede ser utilizada en muchas ramas de la ciencia, ya
que incluso aunque esta herramienta es utilizada para describir eventos periódicos puede incluso ser
usada para describir eventos no periódicos. Esta noción fue una fuente de gran debate en el tiempo
de Fourier, pero hoy es aceptada como una razón principal para una gran cantidad de aplicaciones
del análisis de Fourier en la ciencia moderna.
Algunas de sus aplicaciones son: .E l problema isoperimétricoquot;, quot;Temperatura de la Tierraquot;,
. aluación de series no trivialesquot;, quot;Desigualdad de Wintingerquot;, quot;Solución de ecuaciones diferen-
Ev
cialesquot;, quot;Flujo de calorquot;, .E c uación de Ondasquot;, quot;Fórmula de Poissonquot;, quot;Identidad de Jacobiquot;, entre
muchos otros, en esta oportunidad explicare de forma breve la forma en que puede ser calculada la
temperatura de la Tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la super…cie[2] .
Describamos la temperatura de la super…cie terrestre como una función f periódica en el tiempo
t y de período 1 año. La temperatura u(t; x) en el tiempo t 0 y profundidad x 0, es también
periódica en t y es natural asumir que juj jjf jj1 : Bajo estas circunstancias u(t; x) puede ser
expandida mediante una serie de Fourier para cada 0 x < 1 …jo como sigue:
P
u(t; x) = cn (x)e2 int
;
n2N
con coe…cientes de Fourier
R1 2 int
cn (x) = 0
u(t; x)e dt
Sabemos que la función u satisface la ecuación diferencial parcial denominada (Ecuación de calor):
@u 1 @2u
@t = 2 dx2
Por lo tanto,
R1 @2u
R1 @u
c00 =
n 0 dx2 e 2 int
dt = 2 0 @t e 2 int
dt = 4 incn :
Entonces los coe…cientes cn satisfacen la ecuación:
c00 = [(2 jnj)1=2 (1
n i)]2 cn
tomando el signo positivo o negativo de acuerdo a si n > 0 ó n < 0: En otro lugar, se sabe que
R1
^
c(0) = 0 f (t)e 2 int dt = f (n): Resolviendo la ecuación, se tiene:
2

3. ^
cn (x) = f (n) exp[ (2 jnj)1=2 (1 i)x]
Por lo tanto resulta …nalmente:
P ^
u(t; x) = f (n) exp[ (2 jnj)1=2 x] exp[2 int (2 jnj)1=2 ix]
n2N
Entonces supongamos que la temperatura de la super…cie terrestre viene dada por una función
R1
^
sinusoidal simple f (t) = sin(2 t);lo cual signi…ca que la temperatura media f (0) = 0 f , es cero.
En este caso la función u vendría dada por:
p
u(t; x) = exp( 2 x) sin(2 t 2 x)
p
Esto nos dice que la temperatura a la profundidad x = 2 queda afectada por el factor e y
está completamente fuera de fase con respecto a las estaciones como indica la sgte …gura:
BIBLIOGRAFIA:
[1]. Lectura: quot;Fourier Analysis for Beginnersquot;
[2].Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones, Fuente de Internet
http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf
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