1. LICEO DE NUEVA PALMIRA Dr. Medulio Pérez Fontana
MATEMÁTICA II 3º FISICO MATEMÁTICA – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
ACTIVIDAD DE REPASO E INTRODUCTORIA AL CURSO
(Tomados de Geometría Métrica de Fernández Val)
Toda Teoría matemática es un conjunto reproposiciones que se van construyendo a través de un esquema de
deducción lógica.
Conceptos primitivos:
Son conceptos primitivos, los cuales no son susceptibles de definición,por la
imposibilidad de referirlos a otros más sencillos. Por ejemplo, elemento, conjunto, pertenecer, punto, recta,
plano, ….
Axiomas:
Son proposiciones que se admiten como válidas, sin demostración de ello, y sobre las cuáles
se construye toda la teoría matemática. Las características que debe de cumplir un sistema de axiomas, para
que sea satisfactorio han de ser:
Compatibilidad, es decir que sus axiomas no pueden ser contradictorios entre sí, o en sus
consecuencias.
Completitud, o sea que si se introduce un nuevo axioma, éste es innecesario,o inaceptable.
Independencia, vale decir que ninguno de sus axiomas puede demostrarse total o parcialmente como
consecuencia de los demás.
Teoremas:
Luego de admitidos los conceptos primitivos y basándose en los axiomas, pueden deducirse
lógicamente las propiedades o teoremas. Los teoremas constan de la siguiente estructura:
Hipótesis, son las premisas de las cuáles se parte y es lo que se supone se verifica.
Tesis, es la conclusión, y es lo que se debe demostrar.
Demostración, es la deducción lógica de la tesis a partir de la hipótesis.
Distintos tipos de teoremas:
 Teoremas recíprocos: la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa.
 Teoremas contrarios: la hipótesis y la tesis de uno de ellos, son las negaciones de la hipótesis y la
tesis respectivamente del otro.
 Teoremas contrarrecíprocos: cada uno de ellos es el recíproco del contrario del otro y viceversa, es
decir que la hipótesis y la tesis de uno es respectivamente la negación de la tesis y la negación de la
hipótesis del otro.
Supongamos la existencia de un teorema que establezca que H implica T, quedan determinados los
siguientes teoremas:
 H  T , directo
 T  H , recíproco
 No H  no T , contrario
 No T  no H , contrarrecíproco
El teorema directo expresa que la condición H es suficiente para que ocurra T.
El teorema recíproco expresa que la condición H es necesaria para que ocurra T.
La validez de un teorema no implica la validez del recíproco o del contrario. Por ejemplo: Todos los
rectángulos son paralelogramos (directo), no implica que todos los paralelogramos sean rectángulos
(recíproco).
Si se cumplen directo y recíproco, se dice que H es condición necesaria y suficiente para que se cumpla T.
Por ejemplo:
Directo: Todo punto del plano que equidiste de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz.
Recíproco: Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de sus extremos.

2. Si se afirma entonces que la condición necesaria y suficiente para que todo punto del plano equidiste de los
extremos de un segmento, es que pertenezca a su mediatriz, deben probarse directo y recíproco.
El teorema directo y el contrarrecíproco son equivalentes, es decir que la validez de uno de ellos implica la
del otro.
H T no T no H
El método de razonamiento que consiste en probar la validez del directo mediante el contrarrecíproco, recibe
el nombre de reducción al absurdo, y consiste en negar la tesis del directo para llegar a una contradicción
con la hipótesis de éste, o con alguna proposición ya demostrada.