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  • 1. Contenido lr PREFACIO v l t SISTEMAS INARIOS 't-'l E Computadores digiialesy sistemas d¡gitales t-z Númerosbinarios 4 t-5 Conversionesentre números based¡ferente de 1-4 Números y hexadecimalesoctales 9 -5 Comolementos I I -6 Códigos b¡nar¡os | 6 y Almacenamiento binarios regislros 23 de I -8 Lógicabinaria 26 -q Circuitosintegrados 3l Referencias 33 Problemas 33 A L G E B R AD E B O O L E C O M P U E R T A S O G I C A S Y L 36 z-l Def¡n¡ciones lógicas 36 2-2 axiomática álgebra Definición del booleana 38 2-3 Teoremas básicos propiedades y del álgebrade Boole 4l 2-4 Funcionesbooleanas 45 2-5 Formas y canónica normalizada 49 2-6 Otrasoperaciones lógicas 55 Compuertas icas digitales 58 lóg 2-8 Familias circuitos de integrados lógicodigitales 62 Referencias 70 Problemas 7l
  • 2. CONTENIDO S I M P L I F I C A C I OD E F U N C I O N E S N DE BOOLE 75 3-1 E l m é t o d od e l m a p a 7 5 , 3-2 Mapas de dos y tres variables 3-3 7Sr/ M a p a d e c u a t r ov a r i a b l e s g O 3-4 X M a p a s d e c i n c o y s e i s v a r i a b l e sx . g 3 3-5 Simplificación e un producto d d e s u m a sy , g 6 3-6 Ejecución on NAND y NOR c Sg 3-7 O t r a se j e c u c i o n e s o n d o s n i v e l e s g 6 c 3-8 Condiciones e NO importa d I 03 3-9 E f m é t o d od e l t a b u l a d o I O s 3 -1 0 Determinación e fosprimeros d 3-11 implicados lOs S e l e c c i ó nd e l o s p r i m e r o s i m p l i c a d o s 3 -1 2 Observaciones oncluyentes | || c | |s Referencias | | s Problemas | | 6 L O GI C A C O MB I N A C I O N A L 120 4-1 fntroducción | 20 4-2 P r o c e d i m i e n t od e d i s e ñ o 4-3 | 2l Sumadores 123 4-4 Sustractores | 27 4-5 C o n v e r s i ó ne n t r e c ó d i g o s 4-6 l30 P r o c e d i m i e n t o d e a n á quot;s i s if 4-7 | 3g Circuitos AND de muftinive N 4-8 l | 36 Circuitos OR de mu¡t¡n¡vái N 4-E t44 L a s f u n c i o n e so R e x c r u s i v a y de equivarencia r4g ' Referencias I 54 Problemas I 54 L O GI C A C O MB I N A C I O N A L C O N M S I Y L SI 159 5-1 fn t r o d u c c i ó n I S g 5-2 S u m a d o r p a r a l e l ob i n a r i o 5-3 | 60 S u m a d o rd e c i m a l | 6 6 5-4 C o m p a r a d o rd e m a g n i t u d e s 5-5 | 70 Decodificadores | 7 | 5-6 Muftiplexores I gl 5-7 M e m o r i a d e s o l o l e c t u r a( R O M ) 5-8 188 A r r e g f o l ó g i c o p r o g r a m a b l e( p L A ) 5-9 195 Notas concluyentes 20l R e f er e n c i a s 2 0 2 I Problemas 2O3 I
  • 3. CONTENIDO v LOGICA ECUENCIAL S 208 6-1 fn t r o d u c c i ó n 2 0 8 6-2 F l i p - lf o p s 2 l O 6-3 D i s p a r od e l o s F l i p - lf o p s ( t r i g g e r i n g ) 2 t 6 6-4 A n á l i s i sd e l o s c i r c u i t o ss e c u e n c i a l e se m p o r i z a d o s 2 2 4 t 6-5 R e d u c c i ó n e e s t a d o sy a s i g n a c i ó n 2 3 1 d 6-6 T a b l a sd e e x c i t a c i ó n e l o s F l i p - f l o p s 2 3 7 d 6-7 Procedimiento e diseño 240 d 6-8 D i s e ñ od e c o n t a d o r e s 2 5 1 6-9 D i s e ñ od e e c u a c i o n e s e e s t a d o 2 5 5 d R e f er e n c i a s 2 5 9 Problemas 260 R E GS T R O S O N T A D R E S U NI D A DD E M EM OR I A I C O Y 265 7-1 lntroducción 265 7-2 Registros 266 7-3 Registros e desplazamiento 272 d 7-4 Contadores e rizado 282 d 7-5 C o n t a d o r e ss i n c r ó n i c o s 2 8 6 7-6 S e c u e n c i ad e t i e m p o 2 9 5 s 7-7 L a u n i d a dd e m e m o r i a 3 O O 7-8 E j e m p l o sd e m e m o r i a d e a c c e s oa l e a t o r i o 3 0 6 Refe encias 3l 2 r Problemas 3l3 L O GI C A D E T R A S F E E N C I A E R E G S T R O S R D I 316 8-1 lntroducción 3 | 6 8-2 Trasferencia ntre regtstros 3l9 e 8-3 M i c r o o p e r a c i o n e s n t m é t i c a s , ó g i c a sy a l desplazamiento 327 8-4 P r o p o s i c i o n e c o n di c i o n ae s de control 332 s l 8-5 D a t o sb i n a r i o sd e l p u n t o f i j o 335 8-6 Sobreca acidad 33I p 8-7 D e s p l a z a i e n t o sa r i t m é t i c o s 3 4 1 m 8-8 D a t o sd e c i m a l e s 3 4 3 8-9 D a t o sd e l p u n t o f l o t a n t e 3 4 5 8 -1 0 D a t o sn o n u m é r i c o s 3 4 8 8-11 C ó d i g o sd e i n s t r u c c i ó n 3 5 2 8 -1 2 D i s e ñ od e u n c o m p u t a d o rs e n c i l l o 3 5 7 Referencias 366 Problemas 366
  • 4. -- V¡ CONTENIDO 9 D I S E Ñ OL O G I C OD E P R O C E S A D O R E S 372 9-1 Introducción 372 9-2 Organización el procesador 373 d 9-3 U n i d a d l ó g i c aa r i t m é t i c a 3 8 2 9-4 D i s e ñ od e u n c i r c u i t oa r i t m é t i c o 3 8 3 9-5 D i s e ñ od e l c i r c u i t ol ó g i c o 3 9 O 9-6 D i s e ñ o d e u n a u n i d a d l ó g i c aa r i t m é t i c a 3 9 3 9-7 Registro de condición 396 9-8 D i s e ñ o d e u n . r e g i s t r od e d e s p l a z a m i e n t o 3 g g 9-9 Unidadprocesadora 4Ol 9-10 D i s e ñ od e l a c u m u l a d o r 4 0 6 Referencias 417 Problemas 417 10 D I S E Ñ OD E L O G I C A E C O N T R O L D 423 1 O -1 Introducción 423 1O-2 Organización el control 42G d 10-3 - C o n t r o ld e c o m p o n e n t e s l a m b r a d o s E j e m p l o1 a 431 10-4 C o n t r o ld e m i c r o p r o g r a m a 4 4 1 10-5 C o n t r o ld e l a u n i d a d p r o c e s a d o r a 4 4 7 1O-6 C o n t r o l a b a s e d e c o m p o n e n t e sc o n e c t a d o s - E j e m p l o2 4 5 2 1O-7 C o n t r o ld e l P L A 4 6 1 10-8 S e c u e n c i a d od e l m i c r o p r o g r a m a 4 6 4 r Referencias 471 Problemas 472 11 D I S E Ñ OD E C O M P U T A O O R E S 477 1 1 -1 Introducción 477 11-2 Configuración el sistema 478 d 11-3 I n s t r u c c i o n ed e c o m p u t a d o r 4 8 2 s 11-4 Sincronización e tiempo y control 4Sg d 11-5 E j e c u c i ó nd e i n s t r u c c i o n e s 4 g O 11 - 6 D i s e ñ od e l o s r e g i s t r o s e c o m p u t a d o r 4 9 7 d 11-7 D i s e ñ od e l c o n t r o l 5 O 3 11 - 8 Consola el computador Sl2 d Referencias 5l3 Problemas 5l4
  • 5. CONTENIDO vii 12 D I S E Ñ OD E L S I S T E M AD E L M I C R O C O M P U T A D O R 518 12-1 lntroducción 5l8 12-2 O r g a n r z a c i ód e l m i c r o c o m p u t a d o r 5 2 1 n 12-3 Organización el microprocesador 526 d 12-4 Instruccioney modos de direccionamiento 534 s 12-5 P i l a , s u b r u t i n a se i n t e r r u p c i ó n 5 4 3 12-6 Organización e la memoria 554 d 12-7 Interconexión e entrada-salida 559 d 12-8 A c c e s od i r e c t o d e m e m o r i a 5 6 9 Referencias 574 Problemas 575 13 C I R C U I T O SN T E G R A D O S I G I T A L E S I D 579 13 - 1 Introducción 579 13-2 C a r a c t e r í s t i c ad e l t r a n s i s t o rb i p o l a r 5 8 1 s 13-3 C i r c u i t o sR T L y D T L 5 8 5 13-4 L ó g i c ad e i n y e c c i ó ni n t e g r a d a ( l ' z L ) 5 8 9 13-5 Lógica de transistor-transistor (TTL) 591 13-6 L ó g i c ad e e m i s o r a c o p l a d o (ECL) 600 13-7 Semiconductor e óxido de metal (MOS) 604 d 13-8 M O S c o m p l e m e n t a d o( C M O S ) 6 0 8 Referencias 6lO Problemas 6l O A P E N D I C E : R e s p u e s t a s p r o b l e m a ss e l e c c i o n a d o s a 613 INDICE 625
  • 6. Prefacio La lógica digital trata de la interconexión entre componentes digitales y módulos y en un término usado para denotar el diseño y análisis de los sistemas digitales. EI ejemplo más conocido de un sistema digital es un computador digital para propósito general. Este libro presenta los concep- tos básicos usados en el diseño y análisis de los sistemas digitales e intro- duce los principios de la organízacíón del computador digital y su diseño. Presenta varios métodos y técnicas adecuados para una variedad de apli- caciones de diseño del sistema digital. Cubre todos los aspectos del siste- ma digital desde los circuitos de compuertas electrónicas hasta la estruc- tura compleja de un sistema de microcomputador. Los Capítulos t hasta 6 presentan técnicas de diseño de lógica de dise- ño desde el punto de vista clósico. El álgebra de Boole y las tablas de ver- d a d s e u s a n p a r a e l a n á l i s i s y d i s e ñ o d e l o s c i r c u i t o s c o m b i n a c i o n a l e sy l a s técnicas de transición de estado para el análisis y diseño de los circuitos secuenciales. Los Capítulos 7 hasta el 12 presentan métodos de diseño de sistemas digitales desde el punto de vista de trasferencia entre registros. EI sistema digital se descompone en subunidades de regirqtrosy el sistema se especifica con una Iista de proposiciones de trasferencia entre registros que describen las trasferencias operacionales de la información almacena- da en los registros. El método de trasferencia entre registros se usa para ei análisis y diseño de las unidades del procesador, unidades de control, un procesador central de computador y para describir las operaciones in- ternas de microprocesadores y microcomputadores. El Capítulo 13 trata de la electrónica de los circuitos digitales y presenta las familias lógicas digitales más comunes a base de circuitos integrados. Los componentes usados para construir sistemas digitales se fabrican en la forma de circuitos integrados. Los circuitos integrados contienen una gran cantidad de circuitos digitales interconectados dentro de una pequeña pastilla. Los dispositivos (MSI) de integración a mediana escala conforman funciones digitales y los dispositivos (LSI) de integración a gran escala conforman módulos de computador completos. Es muy impor- ante para el diseñador lógico, familiarizarse con los diferentes componen- viii
  • 7. X PREFACIO ix tes digitales encontrados en la forma de circuitos integrados. Por esta razón muchos circuitos MSI y LSI se introducen a lo largo del libro y se explican completamente sus familias lógicas.El uso de circuitos integrados en el diseño de sistemas digitales se ilustra por medio de ejemplosen el texto y en los problemasal final de los capítulos. Este Iibro fue planeado originalmente como una segundaedición del diseñn lógico de computadores, del autor (Prentice-Hall, rg72). Debido a la gran cantidad de material nuevo y a las revisionesextensasque se han llevado a cabo, parecemás apropiadoadoptar un nuevo título para el texto presente. Alrededor de un tercio del texto es material que apareceen el Iibro anterior. Las otras dos terceraspartes constituyen información nue- va o revisada. Los factores fundamentalespara las revisionesy adiciones surgen de las desarrolladasen la tecnologíaelectrónica digital. Se da un gran énfasis a los circuitos MSI y LSI y a los métodosde diseño que usan circuitos integrados.El libro cubre varios componentes LSI de la variedad de grupo de bits y microcomputador.Presentaaplicacionesde Ia meryroria de sólo lectura (RoM) y del arreglo lógico programable(PLA). sin embar- go, los adelantos posterioresen el método de diseño de trasferenciaentre registros,demandauna nueva redacciónde la segundaparte del libro. El capítulo 1 presentavarios sistemasbinarios adecuados para repre- sentar información en componentes digitales. El sistema de númerosbina- rios se explica y se ilustran los códigosbinarios para demostrar la repre- sentación de la información decimal y alfanumérica. La lógica binariá se introduce desde un punto de vista intuitivo antes de proceder con una definición formal del álgebrade Boole. Los postuladosbásicosy teoremasdel álgebra de Boole se encuentran en el Capítulo 2. Se enfatiza la correlaciónentre las expresiones Boole de y sus compuertas de interconecciónequivalentes.Todas Ias operaciones Iógicasposiblespara dos variables se investigan y a partir de elló se dedu- cen las compuertasdigitales disponiblesen Ia forma de circuitos integra- dos se presentanal comienzode este capítulo, pero se deja para la última parte del capítulo el análisis más detallado para describir Ia construcción interna de las compuertas. . rll capítulo 3 presentael mapa y los métodosde tabulado para simpli- ficar las funciones de Boole. El método del mapa se usa para simplificar circuitos digitales construidoscon AND, OR, NAND, NOR, y compuertas lógicas alambradas. Los diferentes procesosde simplificación se sumari- zan en forma de tabla para una referenciafácil. Los procedimientosde diseño y análisis de los circuitos combinacio- nales se presentan en el Capítulo 4. Algunos componentes básicosusados en el diseño de sistemas digitales,-tales como sumadoresy convertidores de código son introducidos como ejemplosde análisis y diseño. El capítulo investiga configuracionesposibles usando circuitos combinacionalesde multinivel NAND y NOR. El capítulo 5 versa sobre los componentes MSI y LSI de lógica combi- nacional. A menudo se explican funcionestales como sumadorei paralelos, y decodificadores multiplexores, y se ilustra con ejemplossu uso en el di- seño de circuitos combinacionales. memoria de sólo lectura (RoM) y el La arreglo lógico programable(PLA) son introducidos y se demuestrasu uti- lidad en el diseñode circuitos combinacionales complejos. 4^^idE f, .Á
  • 8. -/- PREFACIO El Capítulo 6 esboza varios métodos para el diseño y análisis de los circuitos secuenciales temporizados. El capítulo comienza presentando varios tipos de flip-flops y la forma como ellos son disparados. El diagrama de estado, tabla de estado, y las ecuaciones de estado se presentan como herramientas convenientes para analizar los circuitos secuenciales. Los métodos de diseño presentados, trasforman el circuito secuencial a un grupo de funciones de Boole que especifican la entrada lógica a los flip-flops del circuito. Las funciones de entrada de Boole se derivan de la tabla de excitación y se simplifican por medio de mapas. En el Capítulo 7, se presentan una variedad de registros, registros de desplazamiento y contadores similares a aquéllos disponibles en la forma de circuitos integrados. Se explica la operación de la memoria de acceso aleatorio (RAM). Las funciones digitales introducidas en este capítulo son los bloques de construcción básicos a partir de los cuales se pueden construir sistemas digitales más complejos. El papítulo 8 introduce un método de trasferencia entre registros para describir los sistemas digitales. Este muestra cómo expresar en forma simbólica la secuencia de operación entre los registros de un sistema digi- tal. Se definen símbolos para trasferencia entre registros, microoperacio- nes aritméticas, lógicas y de desplazamiento. Se cubren en detalle los dife- rentes tipos de datos almacenados en los registros de los computadores. Se usan algunos ejemplos típicos para mostrar cómo se presentan las ins- trucciones de computador en forma binaria codificada y cómo las operacio- nes especificadas por instrucciones pueden ser expresadas con proposi- ciones de trasferencia entre registros. El capítulo concluye con el diseño de un computador muy sencillo para demostrar el método de trasferencia entre registros del diseño de sistemas digitales. El Capítulo 9 tiene que ver con la unidad procesadora de los computa- dores digitales. Se discuten alternativas para organizar una unidad pro- cesadora con buses y memorias tapón (Scratchpad memory). Se presenta una unidad lógica, aritmética típica (ALU) y se desarrolla para el diseño de cualquier otra configuración de ALU. Se presentan también otros com- ponentes encontrados comúnmente en los procesadores, tales como regis- tros de condición y desplazamiento. Se comienza el diseño de un registro acumulador para propósitos generales, comenzando a partir de un grupo de operaciones de trasferencia entre registros y culminando con un dia- grama lógico. En el Capítulo 10 se introducen cuatro métodos de diseño de lógica de control. Dos de los métodos constituyen un control alambrado con circuito impreso. Los otros dos introducen el concepto de la microprogramación y cómo diseñar un controlador con un arreglo lógico programable (PLA). Los cuatro métodos son demostrados por medio de ejemplos que muestran el d,esarrollo de algoritmos de diseño y el procedimiento para obtener los cir- cuitos de control del sistema. La última sección introduce un secuenciador de microprograma LSI y muestra cómo se puede usar en el diseño de una unidad de control de microprograma. El Capítulo 11 está dedicado al diseño de un computador digital pe- queño. Los registros en el computador son definidos y se especifica el con- junto de instrucciones del computador. La descripción del computador se I
  • 9. PREFACIO xi formaliza con las proposicionesde trasferencia entre registros que especi- fican las microoperacionesentre los registros, lo mismo que las funciones de control que inician esas microoperaciones.Se muestra entonces que el conjunto de microoperacionespuede usarse para diseñar Ia parte procesa- dora de datos del computador. Las funciones de control en la lista de pro- posiciones de trasferencia entre registros, suministran la información para el diseño de la unidad de control. La unidad de control para el computador se diseña por medio de tres métodos diferentes: el control alambrado con circuito impreso,el control PLA y el control del microprograma. El Capítulo 12 es enfocado sobre varios componentesLSI para formar un sistema de microcomputador.La organización de un microprocesador típico se describey explica su organizacióninterna. Un conjunto típico de instruccionespara el microprocesador,se presentay se explican varios mo- dos de direccionamiento.La operaciónde una pila y el manipuleo de las subrutinas e interrupciones,se cubre desdeel punto de vista de los mate- riales. El capítulo ilustra también la conexión de las pastillas de memoria y al sistema de bus del microprocesador la operaciónde varias unidades de interconexión que se comunican con dispositivos de entrada y salida. Concluye con una descripción del modo de trasferenciade accesodirecto a Ia memoria. El Capítulo 13 detalla los circuitos electrónicosde la compuertabásica en siete familias lógicas de circuitos integrados.Este capítulo final debe ser considerado como un apéndice,puede ser omitido si se desea.El Capí- tulo 13 asume un. conocimientoprevio de electrónica básica, pero no hay un prerrequisito específicopara el resto del libro. Cada capítulo incluye un grupo de problemasy una lista de referencias. Las respuestas los problemasseleccionados a aparecenen el apéndicepara suministrar una ayuda al estudiante y para ayudar al lector independien- te. Un manual de solucionesse suministra para el instructor por parte del publicista. El libro es adecuado para un curso en lógica digital y diseñode courpu- tadores en un departamento de ingeniería eléctrica o de computadores. Se puede usar también en un departamentode ciencia de computadores para un curso en organizaciónde computador.Las partes del libro pueden usarsede va¡ias formas: (1) Como un primer curso en lógica digital o cir- cuitos de conmutación al cubrir los Capítulos t hasta el 7 y posiblemente el Capítulo 13. (2) Como un segundocurso, en lógica de computadordigital con un prerrequisitode un curso en circuitos de conmutaciónbásicos,ba- sadoen los Capítulos3 y 7 hasta el 12. (3) Como una introducción a la con- figuración con materiales de los microprocesadores microcomputadores y al cubrir los Capítulos8 hasta el 12. En conclusión,me gustaria explicar la filosofia fundamental del mate- rial presentado este libro. El método clásico ha sido predominanteen el en pasadopara describir las operaciones los circuitos digitales. Con el ad- de venimiento de los circuitos integradosy especialmente la introducción de de los componentesLSI del microcomputador,el método clásico parece estar bastante lejos de las aplicaciones prácticas.Aunque el método clásico para describir sistemas digitales complejos no es directamente aplicable, el conceptobásicode álgebrade Boole, lógica combinacionaly procedimien- -4 ?,s
  • 10. --:7 PREFACIO to de lógica secuencial, son todavía importantes para comprender Ia cons- trucción interna de muchas funciones digitales. Por otra parte, el método de trasferencia entre registros, presenta una mejor representación para describir las operaciones entre los dife¡entes módulos en los sistemas digitales. Este versa de la trasferencia de cadenas de bits en paralelo y puede ser considerado como de un nivel mayor en la jerarquía de la repre- sentación del sistema digital. La transición del método clásico al de tras- ferencia entre registros, se hace en este libro por medio de las funciones MSI de circuitos integrados. Los Capítulos 5 y 7 cubren muchas funciones digitales que están disponibles en circuitos integrados. Su operación se explica en términos de conpuertas y flip-flops que conforman el circuito digital particular. Cada circuito MSI se considera como una unidad f'un- cional que realiza una función particular. Esta operación se describeen el método de rotación de trasferencia entre registros. Así, el análisis y dise- ño de registros y otras funciones digitales se hace por medio del método clásico, pero el uso de esas funciones al describir Ias operaciones de un sis- tema digital, se especifica por medio de proposiciones de trasferencia entre registros. EI método de trasferencia entre registros se usa para definir las instrucciones de computador, para expresar las operaciones digitales en forma concisa, para demostrar la organización de los computadores digita- les y para especificar los componentes de los materiales para el diseño de sistemas digitales. D e s e o e x p r e s a r m i s a g r a d e c i m i e n t o sa l D r . J o h n L . F i k e p o r r e v i s a r e l manuscrito original y al Profesor Víctor Payse por indicar correcciones durante la enseñanzadel curso al usar el manuscrito. La mayor parte del trabajo de mecanografia fue hecho por Mrs. Lucy Albert y su hábil ayuda es apreciada grandemente. Mis mayores agradecimientos los doy a mi se- ñora por ias sugerencias que ella hizo al mejorar la facilidad de lectura del libro y por su ánimo y apoyo durante la preparación de éste. M. Mor.nls M¡No
  • 11. Sistemas bi nar ros ffi 1 - 1 C O M P U T A D O R E SG I T A L E S DI Y S I S T E M ¡ SO I C I T A L E S Los computadores digitales han hecho posible muchos avances científi- cos, industriales y comerciáIes que no se hubiesenpodido lograr por otros medios. Nuestro programaespacialhubiesesido imposiblesin la vigilancia continua de tiempo real del computador y muchas empresas de negocios funcionan eficientemente sólo con la ayuda del procesamientoautomático de datos. Los computadores se usan para cálculos científicos, procesa- mientos de datos comerciales y de negocios, control de tráfico aéreo, di- rección espacial, campo educacionaly en muchas otras áreas' La propie- dad más impactante de un computador es su generalidad.Puede seguir una serie de instrucciones, llamadas programa, que operan con datos da- dos. El usuario puede determinar y cambiar los programas y datos de acuerdo a una necesidadespecífica.Como resultado de esta flexibilidad, los computadoresdigitales de uso general pueden realizar una serie de tareas de procesamiento información de amplia variedad. de El computador digital de uso general es el ejemplo más conocido de sistema digital. Otros ejemplos incluyen conmutadorestelefónicos, vol- tímetros digitales, contadores de frecuencia, máquinas calculadoras,y rnáquinasteletipos. Típico de un sistema digital es su manejo de elemen- tos discretos de información. Tales elementos discretos pueden ser im- pulsos eléctricos, Ios dígitos decimales,las letras de un alfabeto, las ope- racionesaritméticas, los símbolosde puntuación o cualquier otro conjunto de símbolos significativos. La yuxtaposición de elementos discretos de información representanuna cantidad de información. Por ejemplo, las letras d, o y g forman la palabra dog. Los dígitos 237 forman un número' De la misma manera una secuencia de elementos discretos forman un lenguaje,es decir una disciplina que con lleva información. Los primeros computadoresfueron usados principalmente para cálculos numéricos, en este caso los elementos discretos usados son los dígitos. De esta aplica- ción ha surgido el término computador digital. Un nombre más adecuado para un computador digital podría ser quot;sistema de procesamiento de información discretaquot;.
  • 12. SISTEMAS INARIOS B CAP, 1 Los elementos discretos de información se representan en un sistema digital por cantidades físicas llamadas señnles. Las señales eléctricas tales como voltajes y corrientes son las más comunes. Las señales en los sistemas digitales electrónicos de la actualidad tienen solamente dos válores discretos y se les llama binarios. El diseñador de sistemas digi- tales está restringido al uso de señalesbinarias debido a la baja confia- bilidad de los circuitos electrónicosde muchos valores. En otras palabras puede ser diseñado un circuito con diez estadosque use un valor de volta- je discreto.para cada estado, pero que tenga pocq confiabilidad de opera- ción. En contraste,un circuito de transistor que puedeestar en conducción o corte tiene dos valores de señales posibles y puede ser construido para sér extrerradamente confiable. Debido a la restricción fisica de los compo- nentesy a que la lógica humana tiende a ser binaria, los sistemasdigitales que estén restringidos a usar valores discretos, lo estarán para usar valo- res binarios. Las cantidades discretas de información podrían desprendersede la naturaleza del procesoo podrían ser cuantificadas a propósito de un proceso continuo. Por ejemplo, un programa de pago es un procesodiscreto inheren- te que contiene nombres de empleados, números de seguro social, sala¡ios semanales,impuestos de renta, etc. El cheque de pago de un empleado, se p¡ocesausando valores discretos, tales como las letras de un alfabeto (nom- bres), dígitos (salarios) y símbolosespecialestales como g. Por otra parte, un científico investigador podrla observar un procesocontinuo pero anotar sola- mente cantidades específicasen forma tabular. El científico estará cuanti- ficando sus datos continuos. Cada número en su tabla constituye un elemen- to discreto de información. Muchos sistemas fisicos pueden ser descritos matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones, como funciones de tiempo, darán un comportarñientomatemático del proceso.lJn computa- dor análogo realiza una sirnulación directa de un sistema fisico. Cada sección del computador es el análogo de alguna parte específica del pro- ceso sometido a estudio. Las variables en el computador análogo están representadaspor señales continuas que varían con el tiempo y que por lo general son voltajes eléctricos. Las señalesvariables son-consiáeraáas análogas con aquellas del procesoy se comportan de la misma manera. De esta forma, las mediciones de voltajes análogos pueden ser sustituidos por variables del proceso.El término señnl anéloga se sustituye por serial continua debido a que un quot;computador análogoquot; se ha convertido signi- ficativamente en un computador que maneja variables continuas. Para simular un proceso físico en un computador digital, deben ser cuantificadas las cantidades. Una vez que las variables del procesosean representadas por señales continuas de tiempo real, estas últimas serán cuantificadas por un aparato de conversión de análogo a digital. un sis- tema fisico, cuyo compartamiento se exprese por medio de ecuaciones matemáticas, se simula en un computador digital con base en métodos numéricos. Cuando el problema que va a ser procesado inherentemente es discreto, como en el caso de aplicacionescomerciales, computadordigi- el tal manipula las variables en su forma natural.
  • 13. Procesador o unidad aritmética Almacenador o unidad de memoria Dispositivos Dispositivos de entrada de salida y control y control de de digital Figura l-1 Diagrama bloque un computador Un diagrama de bloque del computador digital se muestra en Ia Fi- gura.1-1. Lá unidad de memoria almacena los programasde la misma for- -quot; q,rquot; los datos de entrada, salida e intermedios. La unidad de proceso realiza tareas aritméticas y de procesamiento de datos según sea especi- ficado por el programa. La unidad de control supervisa el flujo de infor- mación entre las diferentesunidades. Dicha unidad recupera las instruc- ciones una a una del programa acumulado en la memoria. Para cada instrucción, ella informa al procesador a fin de ejecutar la operación es- pecífica de la instrucción. Tanto el programa como los datos se almacenan en la memoria. La unidad de control supervisael programa de instruccio- nes, y el procesador manipula los datos de acuerdo a las especificaciones del programa. El programa y los datos preparados por el usuario son trasferidos a la unidád de la memoria mediante un elemento de entrada tal como una lectora de tarjetas perforada o una teleimpresora. Un elemento de salida tal como un impresor recibe el resultado de los cálculos y le presenta al usuario los resultados impresos. Los elementos de entrada y salida son sistemas digitales especiales manejables por partes electromecánicas y controladaspor circuitos electrónicosdigitales. Una calóuladora electrónica es un sistema digital similar al compu- tador digital que tiene como elemento de entrada el teclado y como ele- mento de salida una pantalla numérica. Las instrucciones son trasfe- ribles a la calculadora por medio de las teclas de función tales como el más y el menos. Los datos se introducen mediante las teclas numéricas y los resultados se muestran por pantalla en forma de números. Algunas talculadoras tienen algo de parecido a las computadoras digitales ya que tienen forma de imprimir y además facilidad de programación'
  • 14. - 4 STSTEMAS |NARTOS B CAp. l Un computador digital es sin em,bargo,.un aparato una calculadora; puede usar muchos.otrosquot;disposiíivÁ más poderosoque puede realizar nó solamentquot; áe entraü y salida, ' a¡itméticos y operacioneslóeicas sino que puede ser quot;etquot;rlo. tomar para .programado ciones internas y externas. decisioíes basadasen cJndi_ un computador digital es una interconexión Para poder óomprenderquot;¡quot; opl.quot;quot;ioi de módulos digitales. de cada má-quot;ü digital es necesario tener lbs conocimientosbásicos de los.quot;rstquot;-* áigül!, , aquot; su compor- tamiento. La primera mitad ae este.ribro versa ,iúrquot; ,r.tquot;mas digitales en general proporcionandolos conocimientoquot; La segundamitad del libro trata puru su diseño., quot;quot;quot;quot;.iio. sob¡e ros direil.,tes -quot;oauto* de un putador digital' su operacióny com_ ,u diseRo. les de la unidad de memoria só explican r,m quot;quot;.quot;quot;tquot;rísticas operaciona_ en el y diseño de la unidad de proceso .Jirquot;tuquot; .capíturo T. La organización para diseñar la unidad de cont¡ol -en el capítulo g. varios métodos de n computa t;r-ffi rquot;ffi';#rueño p.*.,iü sslnrroduc; ;;;i'ó;píruro '3 u dái;ü 10. La orga_ :iquot;:f lr?,i,T 1T se un procesadorcombinado con la unidad de control nente llamado uní.dad.centrar priquot;ro dquot; .formaun compo- o cpu. úquot; ciri-, encapsulado una pastilla de circuito integradá en ,e de'o- iquot;; ;;;r;;rorquot;rodor. La dad de memoria, de ra mism; i;;;q;;'i;ñ;';;quot;quot;.'ltror, uni_ nexión entre el microprocesgao-f la interco_ io* elementosde éntrada y sarida, ser encapsulada dentio de ra pÁtiitquot; puede -de aquot;f -iquot;iquot;;;quot;;;;il, o puede encon_ trarse en pastilras pequeñas circuitos integrados. un cpu nado con u'u -u.noiia y un combi_ ¿quot; i.,ter.o.r?¡ár,- ro.-quot;.¿ un compu_ tador de tamaño nequeñóaquot;ro-inquot;a'o quot;oquot;t.át- m i c ro-c pui o-ii r'.quot; dispon ridad om ru ibi de los aer -ic.oquot;o-ii,quot;r.aoquot; quot;om'o.tquot;ttiequot; de diseño de los sistemas aigitáiquot;i-permitiendo h; ;;;;ñquot;iquot;r,^quot;ao tquot; tecnología de c¡ear estructuras que antes al diseñador la libertad eran antieconómicas.Los diferentes ponentesde un sistema de com_ microcomputador,r;;;;;;;iquot;., .., el capítulo Ya se ha mencionadoel hecho de que elementosdiscretosde informa;i¿;; un computadordigital manipula que estos eÉmentos se p¡esentan fo¡ma binaria. Los operando., .r.ldou en sados en el sistema áe n.i*quot;io.-üIquot;quot;rio.. ros quot;¿r.quot;lquot;r-pquot;eden ser expre_ - .en cluidos los dígitos_ o;;-;;;;quot;íL. aiscretos, in_ ,deci*quot;1quot;., rquot;- ,u!.u.quot;.rru' con códigos binarios. Er procesamiento datos se lleva de a cabo por medio ¿e los álementos binarios, usando señales¡irra.ias. lógicos iL- ca'tidades se acumulan en los mentos de almacenamientobinario. ele_ u.propo.itáquot;¿1quot;.i.'.apítulo es el de introducir ros diferent_esconceptos para un posterior estudio de los bi;uñr- ;;;; ^quot;*^quot; de referencia ;;quot;.; capítulos .quot;.tquot;quot;iquot;r. 1-2 N U M E R O SB I N A R I O S un número decimal tal como T3g2 .;;; representauna cantidad igual dades de mil, más 3 center,as, a T uni- ;;quot;quot;quot;nas, más 2 unidades.Las unida_ des de mil, las centenas,etc.,^sonpoJencias de 10 implícitamente indica- de roscoeficienies. .quot;, ;á-;;;ctos, ?3e2 para puede 3rquot;g;,#rrosición
  • 15. s E c .1 - 2 NUMEROS INARIOS B 5 7 x 103 3 x 102+ 9 x l0r + 2 x l0o + Sin embargo, Io tonvencional es escribir solamente los coeficientesy a partir'de su posición deducir las potencias necesariasde 10. En general, ün número con punto decimal puede ser representado por una serie de coeficientes la siguiente de manera: A y A 4 A 3 A 2 A P O ,A - 1 Q - 2 Q - 3 L o s c o e f i c i e n t ea ¡ s o n u n o d e I o s d i e z d í g i t o s( 0 , l , 2 , . . . , 9 ) y e l s u s c r i t o s .l da el lugar y poi tanto el valor de la potencia de 10 por el cual debe ser multiplicado el coeficiente. 1054, l}aao* lda3 * 102a2*lOra,* l00ao* l0-ra-, + +10-2a-2+ l0-3a-, Se dice que el sistema de númerosdecimalestiene la baseo raíz I0 debido a que ,r.á di., dígitos y que los coeficientesson multiplicados por poten- cias de 10. El sislema binarío es un sistema numérico diferente. Los coe- ficientes del sistema de números binarios tienen dos valores posibles: Ó y 1. cada coeficienteo, se multiplica por 2'. Por ejemplo, el equiva- lente decimal del número'binario 11010,11 26,75como se demuestrade es la multiplicación de los coeficientespor potenciasde 2. I x 2 4 + I x 2 3+ 0 x 2 2 + I x 2 r + 0 x 2 0+ | x 2 - l +lx2-2:26,75 En general,un número expresado un sistema de base r tiene coeficien- en tes multiplicados por potenciasde r: en'rn + an-t'fn-l + * az'r2+ at'r* a¡ *a-t. r-t + a-r' r-2 +''' + Q-^' r-^ Los coeficientes o, varían en valor entre 0 y r-1. Para distinguir los números de bases- diferentes, se encierran los coeficientes entre parén- tesis y se escribe un suscrito igual a la base usada (con excepción en algunós casos de los números decimales en los cuales su contenido hace obvio que se trate de un decimal). Un ejemplo de un número de base 5 será: ( 4 0 2 1 , 2 ) :s 4 x 5 3 + 0 x 5 2 + 2 x 5 t + I x 5 0 + 2 x 5 - r : ( 5 1 1 , 4 ) 1 0 Nótese que los valores para coeficientes de base 5 pueden solamente ser 0 ', 7 , 2 , 3 y 4 . 'Es cbstumbre presentar los r dígitos necesarios para los coeficientes del sistema decimal en caso de que la base del número sea menor qge 10' Las letras del alfabeto se usan para completar los diez dígitos decimales cuando la base del número sea mayor que 10. Por ejemplo, en el sistema de números hexadecimal (base 16) se presentan los primeros diez dígitos del sistema decimal. Las letras A, B; C, D, E y F se usan para los dígitos 10,
  • 16. -{ / É SISTEMAS EINARIOS t CAP. 1 1 1 , 1 2 , 1 3 , 14 y 15 respectivamente. Un ejemplo de números hexadecimal será: : (865F)r6 ll x 163 6 x 162 5 x 16 * 15: (46687)rc + + Los primeros 16 números en los sistemas decimal, binario, octal y hexa- decimalse listan en la Tabla 1-1. Las operacionesaritméticas con números en base r siguen las mis- mas reglas que los números decimales. Cuando se usa ,.ru bu.quot; diferente a la conocida de 10 se debe ser precabidode usar solamente las r dígitos permitidos. A continuación se muestran ejemplos de suma, resta y irul- tiplicación de los nrlmerosbinarios: sumando: l0l l0l minuendo: l0l I0l multiplicando; l0l I s u m a n d o :+ l 0 0 l l l sustraendo:-l00lll multiplicador: xl0l suma: l0l0l00 diferencia: 000110. l0l I 0000 l0l I producto: ll0llt Tabla 1-1 Números con dife¡entes bases Decimal Binario Octal Hexadecimal (base10) (base2) (base 8) (base 16) 00 0000 00 0 0l 0001 0l I 02 00r0 02 2 03 00r r 03 J M 0r00 04 4 05 0l0l 05 5 06 0ll0 06 6 07 0lll 07 7 08 1000 l0 8 09 l00l ll 9 l0 r0l0 t2 A ll l 0 lI IJ B t2 I 100 l4 C l3 Il0l l5 D t4 lll0 ló E I5 lllt l7 F La suma de dos números binarios se carcuia mediante las mismas reglas que en decimalescon la diferencia de que los dígitos de la suma en cualquier posición significativa pueden ser 0 ó 1. cuaiquie¡ ..llevaquot; obte_ nida en una posición significativa tlada, se usa por el par de dígitos en la posición significativa superior. La resta es un poco más comquot;plicada,
  • 17. S E C .1 - 3 C O N V E R S I O N E ST R E U M E R O D E B A S E I F E R E N T E 7 EN N S D sus reglas son las mismas que en el caso del sistema decimal excepto que la quot;llevaquot; en una posición significativa dada agrega 2 al dígito del mi- nuendo. (Una lleva en el sistema decimal agrega 10 al dígito del minuen- do). La multiplicación es muy simple. Los dígitos del multiplicador son siempre 1 ó 0. Por tanto, los productos parciales son iguales al multipli- cando o a 0. 1 - 3 C O N V E R S I O N E S T R E U M É R O S E B A S ED I F E R E N T E EN N D Un número binario puede ser convertido a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de aquellos coeficientes cuyo valor sea 1. Por ejem- plo: ( 1 0 1 0 , 0 1 l ) z : 2 3+ 2 t + 2 - 2 + 2 - 3 : (10,375)r0 El número binario tiene cuatro unos y'el decimal equivalente se deduce de la suma de cuatro potencias de 2. Similarmente, un número expresado en base r puede ser convertido a su equivalente decimal multiplicando cada coeficiente con su correspondiente potencia de r y sumando. El si- guiente es un ejemplo de conversión de un sistema octal a decimal: (630,4)8: 6 x 82 + 3 x 8 + 4 x 8-' : (408,5)¡q La conversión de decimal a binario o cualquier otro sistema de base r es más conveniente si el número se separa en parte entero y parte fraccio' nario para hacer la conversión de cada parte separadamente. La conver- sión de un entero de sistema decimal o binario se explica de mejor manera en el siguiente ejemplo: EJEMPLO f -1.' Convertir el decimal 41 a binario. Primero, 41 se divide por 2 para dar un cocienteentero de 20 y un residuo de i. El cocientese divide a su turno por 2 para producir un co- ciente nuevd con su residuo. Se continua así el procesohasta que el cociente entero se convierte en cero. Los coeficíenúes los de números binarios deseados obtienen de los residuos de Ia si- se guiente manera: Cocíente entero residuo ,oquot;ürr!!: T: ,O I do: I , += ro at=0 -l = 0 ' az: 0 2- I + 4l: ;:2 2 id
  • 18. ? i SISTEMAS BINARIOS CAP. 1 cocLente entero residuo coefíciente 2 -: dq:0 2 I _: ds: I 2 r e s p u e s t a : ( 4 1 ) r o: ( a r a . a s a z a t a o ) , : ( 1 0 1 0 0 1 ) , El proceso aritmético puede llevarse a cabo en forma más con- veniente, de Ia siguiente manera: entero residuo 4l 20 I l0 0 5 0 ? I I 0 0 I l0l00l : respuesta La conversión de enteros decimales a cualquier sistema de base r es similar al ejemplo anterior con la diferencia de que la división se hace por r en vez d,e 2. EJEMPLO l-2: Convertir el decimal 153 a octal. La base requerida es 8. Primero se divide 153 por 8 para dar un cociente entero de 19 y un residuo de 1. Luego se divide 19 por 8 para dar '. ,n cociente entero de 2 y un residuo de 3. Finalménte, ,quot; diuidu 2 por 8 para dar un cociente de 0 y un residuo de 2. Este proceso puede hacerse convenientemente de la siguiente manera: 153 l9 I 2 3 0 2L :1zl¡, La conversión de una fracción decimal o binaria se lleva a cabo por un método similar al usado para enteros..Empero, se usa Ia multiplicación en vez de Ia división y se acumulan los enteros en vez de los residuos. El método se explica más claramente a continuación: EJEMPLO f-3.. Convertir (0,6875),0 a binario. Primero se m u l t i p l i c a 0 , 6 8 7 5p o r 2 p a r a d a r u n e n t e r o y u n a f r a c c i ó n . L a n u e - va fracción se multiplica por 2 para dar un número entero y una nueva fracción. Este proceso se continúa hasta que la fracción se convierta en 0 o hasta que el número de dígitos tenga la sufi- ciente precisión. Los coeficientes del número binario se obtienen de los enteros de la sizuiente manera:
  • 19. entero frquot;::rquot;! ,oolrr::!t, 0,6875x2: I + 0,3750 ¿-r = I 0,3750x2: 0 + 0,7500 a-z=0 0 , 7 5 0 0 x2 : I + 0,5000 a -t: I 0,5000x2: I + 0,0000 a _c: I - : (0'l0ll)2 respuestl: (0,6875)r0 (0,a-P -2a -3a-4)2 Para convertir una fracción decimal a un número expresadoen base r, se usa un procedimiento similar: se multiplica por r en vez de 2 y los coeficientesencontradosde los enteros varían entre valores desde 0 has- tar-1 envezde0yl. EJEMPLO f -4.' Convertir (0,513)roa octal' 0,513 8: 4,104 X 0 , i 0 4x 8 : 0 , 8 3 2 0,832 8: 6,656 X 0,656 8: 5,248 x 0,248x 8: 1,984 0,984 8:7,872 x La respuestacon siete cifras significativas se obtiene de la parte entera de los Productos: ( 0 , 5 1 3 ) r:o ( 0 , 4 0 6 5 1 1. ) a La conversiónde números decimales con parte fraccionaria y entera' se hace convirtiendo la parte fraccionaria y la entera separadamente y luego combinando las dos respuestas.Usando los resultadosde los Ejem- plos 1-1y 1-3se obtiene: (41,687ro: (101001,1011)2 5) De los Ejemplos 1-2 y l-4, se obtiene: (153,51r0: (231,406517)8 3) 1-4 N U M E R O SH E X A D E C I M A L E S O C T A L E S Y La conversiónde binario a octal y hexadecimaly viceversa juega un papel muy importante n los computadores gitalesComo2'-8 y 2a:16, cada e di . dígito octal corresponde tres dígitos binarios y cada dígito hexadecimal a coquot;..esponde crrui.o dígitos binarios. La conversiónde binario a octal se u lleva á cabo fácilmentehaciendo la partición del número binario en grupos de tres dígitos, cada uno comenzando desdeel punto binario y haciéndolo cle izquierda a derecha. El dígito octal correspondiente asigna a cada se grupo, El, siguiente ejemplo es una ilustración del prbcedimiento: I ''':í¿
  • 20. aa'/ IO SISTEMAS INARIOS B CAP. (glgggIIgg pgsgrg J_11 ), : (26153,7406) r '3 2 6 I 5 7 4 0 6 La conversión de binario a hexadecimal es simirar excepto que el número binario se divide en grupos de cuatro dígitos: ( l 0 1 1 0 00 l l 0 l 0 l I )': (2C68,F2),u t_J / I L__J I l__l I! EI 2C 6B F2 El dígito hexadecimal correspondiente para cada grupo de dígitos 'valores bina- rios es fácilmente recordado después dé estudiar iós ústados en Ia Tabla 1-1. La conversión de octal o hexadecimal a binario se hace por un proce- dimiento inverso al anterior._ cada dígito octal se convierte a un equiva- lente binario de tres dígitos. De la misma manera, cada dígito hexadecimal se convierte a un equivalente binario de cuatro dígitos. Esto se ilustra con ejemplos a continuación: : ( (6i3,r24)8 ¿g J-l_L E_L gE Eg Ig t 673124 (306, ,0 : ( 001I 0000 0l l0 D) I l0l )quot; ??? ? Los números binarios son dificiles de trabajar ya que necesitan tres o cuatro veces más que su equivalente decimal-. por ejemplo, el _dígitos número binario 111111111111 es equivalente al decimal aOos. Empero, los computadores digitales usan los ñú.nu.o, binarios y uigr.,quot;, veces se hace necesario que el operador humano o usuario se comunique directa- mente con la máquina en términos de números binarios. un eiquema que retiene el sistema binario en el computador pero que ¡educe el número de dígitos que el humano debe considerar, utilüa la relación que hay entre el sistema de números binarios y el sistema hexadecimal u octal. Median_ te este método, el humano piensa en.términos de números octales o hexa- decimalresy hace la conversión por medio de la inspección, cuando se hace necesaria la comunieación directa con la máquina. Así el número binario 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t i e n e 1 2 d í g i t o s y s e e x p r e s ae n o c t a l c o m o 7 7 7 7 ( . quot; u i . o dígitos) o en hexadecimal como FFF (lres dígitos). Durante la comuni- cación de 1a gente (relativa a números binarios en el computador), se hace más deseable la representación hexadecimal u octal yá ququot; puede ser usada de manera más compacta con una tercera o cuarta parte del número de dígitos necesarios para expresar el número binario equivalente. cuan- do un humano se comu4.icq.col la máquina (a través ae tos interruptores de la consola, las luces indicadoras o por medio de los programas escritos en lenguaje de maquína), la conversión de octal o hexádeiimal a binario y viceversa se hace por inspección de parte del usuario.
  • 21. sEc. 1-5 COMPLEMENTOS I I 1-5 COMPLEMENTOS Los complementosse usan en los computadores digitales para simplificar la operaáiónde sustracción y para manipulacioneslógicas.Hay dos clases de complementospara cada sistema de base r: (1) EI t:omplementode r y (2) ei complemento (r- 1). Cuando se sustituye .! valor de la base de io.' áo. tipos reciben los nombres de complementosde 2 y 1 en el uso de los númerosbinarios o complementosde 10 y 9 en el caso de los números decimales. El complemento de /' Dado un número positivo .^y' base r con parte entera {e n dígitos, se en d e f i n ee l c o m p l e m ó n t r d e N c o m or quot; - N p a r a N l 0 y o O paraN:0' El siguiente ejemplo numérico ayudará a comprendermejor Ia situación: El complementode 10 de (52520)16 I05 -52520:47480. es El número de dígitosdel número es n:5. El complemento 10 de (0,3267)1e l-0,3267:0,6733. de es No hay parte entera, por tanto i0' : 10o:1. El complemento 10 de (25,639)ru 102-25,639:74,361' de es El complementode 2 de (101100),es (26)'o - (101100)z : (1000000- :010100. 101100): : de es : El complemento 2 de (0,0110), (1- 0,0110)z 0,1010. Por la definición y los ejemplos,es claro que el complementode 10 de un número decimal puede ser formado dejando todos los ceros menos sig- nificativos inalterados, restando el primer número diferente de cero menos significativo de 10 para luego sustraer el resto de dígitos más significati- vos de 9. El complemento de 2 puede ser formado dejando todos los ceros menos significativos y el primer dígito diferente de cero sin cambio, para luego remplazar unos por cerosy cerospor unos en el resto de dígitos mas significat ivos. Un tercer método más sencillo para obtener el complementode r es dado después la definicióndel complemento (r-1)'El complemento de de de r de un número existe para cualquier base r (siendo r mayor pero no igual a 1) y puedeser obtenido de la definición que se dará a continuación. Los ejemplos listados aquí usan números con r:10 (decimal) y r:2 (binario) debido a que estos son las bases más interesantes.El nombre del complementose relaciona con Ia base del número usado. Por ejemplo el complemento (r-1) de un númeroen base 11 se llama complemento de d e 1 0 y a q u er - 1 : 1 0 p a r ar : 1 1 . E l c o m p l e m e n t od e ( r - 1) Dado un número positivo N en base r con una parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de rn dígitos, se define el complementode (r- 1) de N como rn -r-n -11[. Se dan algunosejemplosa continuación: Áfr
  • 22. --r F f I |2 S I S T E M A SB I N A R I O S CAP. 1 I El complemento de 9 de (52520)r0 es (tOt - I-52520):99999- I 52520: 47479. Como no hay parte fraccionaria, entonces10--:100 :1. El complementode 9 de (0,3267),nes (1-tO-+ -0,3267):0,9999- :0.6732. 0.3267 Cqmo no hay parte entera entonces10quot; : 100: 1. E l c o m p l e m e n t o e 9 d e ( 2 5 , 6 3 9 ) 1e s ( t 0 , - 1 0 - 3 - 2 5 , 6 3 9 ) : 9 9 , 9 9 9 - d e 25.639 :74.360. E l c o m p l e m e n t o e 1 d e ( 1 0 1 1 0 0 ) e s ( 2 6- 1 ) - ( 1 0 1 1 0 0 ) :( 1 1 1 1 1 1 - d 2 101100)2 10011. :0 E l c o m p l e m e n t o e 1 d e ( 0 , 0 1 1 0 )e s ( 1 - Z - + ) r o * ( 1 , 0 1 1 0 ) 2 ( 0 , 1 1 1 1 d 2 : - 0,0110)2 0,1001. : De estos ejemplosse ve que el complementode 9 de un número deci- mal se forma simplemente sustrayendocada dígito de 9. El complemento de 1 de un número binario se expresaen una forma aún más sencilla: los unos se cambian a cerosy los cerosa unos. Como el complementode (r- 1) se puede obtener muy fácilmente el complementode r. De las definiciones y de la comparación de los resultados obtenidos en los ejemplos se des- prende que el complemento'de r puede ser obtenido del complementode (r- 1) despuésde sumar r-^ al dígito menos significativo. Por ejemplo el complemento de 2 de 10110100 obtiene del complemento de 1 de se 01001011 agregando1 para dar 01001100. Vale la pena mencionar que el complementodel complementodeja al número en su valor original. El complementode r de N es rn - N y el com- plemento de (rquot; - N) es rquot; - (rquot; - N) : N; de la misma manera sucedecon el complementode 1. S u s t r a c c i ó n o n c o m p l e m e n t o sd e r c El método directo de sustracción diseñadoen las escuelas usa el concepto de prestar. En este método se presta un 1 de una posición significativa más alta cuando el dígito del minuendo es más pequeñoque el correspon- diente dígito del sustraendo. Esto parece el método más sencillo usado por la gente al hacer la sustracción con papel y lápí2. Cuando Ia sustrac- ción se gjecuta por medio de los componentesdigitales se.encuentra que este método es menos eficiente que el método que usa complementosy suma de la forma descrita a continuación. La sustracciónde dos númerospositivos (M-N), ambos en base r puede hacersede la siguiente manera: 1. Se suma el minuendoM al complemento r del sustraendo de N. 2. Se inspeccionanlos datos obtenidosen el Paso 1 para una quot;ilevaquot; final. (a) Si ocurre una quot;llevaquot; final. se debe descartar.
  • 23. sEc. 1-5 I3 COMPLEMENTOS (b) Si no ocurre una quot;llevaquot; final, se toma el complemento de r del número obtenido en el paso 1 y se coloca un número negativo al frente. Los siguientesejemplosilustran el procedimiento: EJEMPLO I-5.' Usando el complemento de 10, sustraer 72532- 3250. M =72532 72s32 N : 03250 + complemento 10 de .lf : 96750 de 96750 lleva final -+ L/OgZgZ respuesta: 69282 EJEMPLO l-6.' Sustraer: (3250- 72532)rc. M:03250 03250 N :72532 complemento 10de N :2'1468 de ninguna lleva respuesta:-69282: - (complementode 10 de 30718) EJEMPLO I-Z Usar pl complemento de 2 para sustraer M - N con los númerosbinarios dados. (a) M: 1010100 l0l0l00 N: 1000100 -r complementode 2 d e N : 0 1 1 1 1 0 0 0llll00 lleva finul--- I 0010000 respuesta: I00[lA (b) M: 1000100 1000100 N: l0l0l00 complementode 2 d e N : 0 1 0 1 1 0 0 nrnguna l l e v a respuesta: - 10000: - (complementode 2 de 1110000)
  • 24. --1 t4 SISTEMAS EINARIOS CAP. 1 La prueba de este procedimiento es: la suma de M al complemento de r de N da (M*rquot; -N). Para númerosque tienen una parte éntera de l/ dígitos, rquot; es igual a 1. (Lo que se ha llamado la quot;llevaquot; final) en la posición (N+ 1). Como se asume que M y N son positivos,por tanto: (o) (M+rquot;-N))r, siM)N, o (b) (M+r, -N)(r, siM(N En el caso (a) la respuesta positiva e igual a M - N, y se obtiene direc- es tamente descartando la quot;llevaquot; final rquot; . En el caso (b) la respuestaes negativae igual a - (N-M).Este caso se detectapor la ausenciade la quot;llevaquot; final. La respuestase obtiene sacando un segundocomplemento y agregando signo negativo: un -lr' - (M + r^- N)] : - (N - M). Sustracción on complemento de (r - c 1) El procedimiento para sustraer con el complementode (r- 1) es exacta- mente el mismo que el usado con el complementode r excepto por una variación llamada la quot;llevaquot; final de reinicio mostrada a continuación. La sustracción M-N de dos números positivos en base r pueden calcu- larse de la siguientemanera: 1. Se agregael minuendoM al complemento (r-i) del sustraen- de do N. 2. Se inspeccionael resultado en el Paso 1 y la ..llevaquot; finai. (a) Si aparece una quot;llevaquot; final se agrega1al dígito menossigni- ficativo (lleva final de reinicio). (b) Si no ocurre una quot;llevaquot; final, se obtiene el complementode (r- 1) del número obtenido en el Paso 1 y se coloca un signo negativo al frente. La prueba de este procedimientoes muy similar a la del complemento de r dada y se deja al lector como ejercicio. Los siguientesejemplosilus- tran este procedimiento: EJEMPLO I-8.' Repetir los Ejemplos 1-5 y 1-6 usando com- plementos de (a) M :72532 72532 N: 03250 complemento de 9 de N :96749 + 96749 /-t@ * lleva final de reinicio [__--', 69282 respuesta: 69282
  • 25. sEc.1-5 COMPLEMENTOS I5 (b) M:03250 03250 N :72532 complemento 9 de N : 27467 de + 27467 ninguna lleva ___Jh07n respuesta: - 69282: - (complementode 9 de 30717) EJEMPLO I-9; Repetir el Ejemplo 1-7 usando el comple- mento de 1. (a) M: l0l0l00 l0l0l00 N: 1000100 complemento de 1 d e 1 { : 0 l l l 0 l l 0lll0ll lleva final de reinicio 000llll I 0010000 respuesta: 10000 (b) M: 1000100 r000100 r/ : l0l0l00 complemento de 1 de N : 0 l 0 l 0 lI 0l0l0l I ninguna lleva ll0lnl respuesta: - 10000: - (complementode I de 1101111) C o m p a r a c i ó ne n t r e l o s c o m p l e m e n t o s de2ydel Al comparar los complementos de 2 y de 1 se detallan las ventajas y des- ventajas de cada uno. El complemento de 1 es más fácil de ejecutar, por medio de componentes digitales ya que lo único que hay que hacer es cambiar los ceros a unos y los unos a ceros. La ejecución del complemento de 2 puede obtenerse de dos maneras: (1) agregando 1 al dígito significa- tivo menor del complemento de 1 y (2) dejando los primeros ceros, en las posiciones significativas menores y el prirner 1 inalterados para cambiar solamente el resto de unos a ce¡osy de ceros a unos. Durante la sustracción de los números, usando complementos,es ventajoso emplear el complemento de 2 en el cual solamente se requiere una operación aritmética de suma. El complemento de 1 requiere dos sumas aritméticas cuando sucedeuna.quot;lle- vaquot; final de reinicio. El complemento de 1 tiene la desventaja adicional de poseer dos ceros aritméticos: uno con todos los ceros y otro con todos los
  • 26. t6 SISTEMAS BINARIOS CAP. 1 { I unos. Para ilustrar este hecho, considérese sustracción de dos números - binarios iguales 1100 1100: 0. Usando el complementode 1: la I 100 T 001I + llll Complementar de nuevo para obtener - 0000. Usando el complementode 2: I 100 -r 0100 + 0000 Mientras que el complementode 2 tiene solamenteun cero aritmético, el 0 complemento de 1 puede ser negativo o positivo lo cual podría complicar la situación. Los complementosútiles para los cálculos aritméticos en los compu- tadoresse tratan en los capítulos 8 y 9. El complementode 1, sin embargo, es muy útil en los manipuladoreslógicos (como se mostrará más adelante) ya que el cambio de urros a ceros y viceversa es equivalente a la operación de inversión lógica. El complementode 2 se usa solamenteen asociode las aplicacionesaritméticas. En consecuencia conveniente es adoptar la sig¡ien- te convención:cuando, use la palabra complemenúo, mencionarel tipo, se sin en asocio con una aplicación aritmética, se asume que es el complemento de 1. 1-6 C O D I G O SB I N A R I O S Los sistemas digitales electrónicos usan señales que tienen dos valores distintos y elementosde circuito que tienen dos estadosestables.Existe una analogía directa entre las señalesbinarias. los elementosde circuito bina-riosy los dígitos binarios. un número binario de r dígitos, por ejemplo, puede ser representadopor n elementos de circuito binaiio con se¡áleJ de salida equivalentesa 0 ó 1 respectivamente. Los sistemas digitales tepiquot;- sentan y manipulan no solamente los númerosbinarios sino también mu- chos otros elementosdirectos de información. Cualquier elementodiscreto de información específico entre un grupo de cantidades puede ser repre- sentado p9r un código binario. Por ejemplo el rojo es un color específicodel espectro. La letra A es una letra específicadel alfabeto. un óif por definición es un dígito binario. cuando se usa en asocio con un código binario es mejor pensar que denota una cantidad binaria igual a 0 ó 1. Para representar un grupo de 2n elementos diferentes en código binario se requiere un mínimo de N bits. Ello es debido a que es posible arreglar r bits en 2quot; mane¡as diferentes. por ejemplo, ,r.t grnpo
  • 27. -! COOIGOS INARIOS t 7 B de cuatro cantidades diferentes puede ser representado por un codigo de dos bits con cada cantidad asignada a cada una de las siguientescornbi- naciones de bits; 00, 01, 10, 11. Un grupo de ocho elementos requiere un código de tres bits con cada uno de los elementosasignadosa uno y sólo uno de los sigr¡ientes: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Los ejernplos muestran que las diferentes combinaciones bits de un código de n bits en pueden encontra¡secontando en forma bina¡ia desde 0 hasta 2'- 1. Al- gunas combinaciones bits no se asignan cuando el número de elementos de de un grupo que va a codifica¡seno es múltiplo de una potencia de 2. Los diez núme¡osdecimales0, 1, 2, , 9 son ejemplosde este grupo. Un códi- go binario que distingue diez elementos diferentes debe contener mínimo cuatro bits: tres bits dete¡minan un máxi¡no de ocho elementos. Cuatro bits pueden conformar 16 combinacionesdife¡entes, pero como se codi- fican solamente diez dígitos, las seis combinacionesrestantesno se usan ni seasignan. Aunque el número mínimo de bits, necesarios para codifica¡ 2quot; can- tidades diferentes, es n, no hay un número máxímo d,e bits que puedan ser usados por un código bina¡io. Por ejemplo, los diez dígitos decimales pueden ser codificados con diez bits y a cada dígito decimal asignarle una combinación de bits de 9 cerosy un 1. En este código binario en par- ticular, al dígito 6 se le asigna la combinaciónde bits 0001000000. C ó di g o s d e c i m a l e s Los códigosbinarios para digitos decimales requierenun mínimo de cua- t¡o bits. Se puede obtene¡ numerosos códigos dife¡entes rearreglando cuatro o más bits en diez combinacionesposibles.Varias de estas posi- bilidades se muestran en la Tabla 1-2. Tabla l-2 Códigosbinarios para dígitos decimal€s Digito (BDC ) (Biguinario) decimal u2 Exceso 3 a u.2-l 5043210 0 0000 001 I 0000 0000 010000| I 0001 0100. 0llt 0001 0100010 2 0010 0101 0 ll 0 0010 0100100 3 001I 0 ll 0 0l0l 001 I 0101000 4 0100 0lll' 0lm 0100 0l 10000 5 0l0l 1000 l 0 lI l 0 lI 100000r o 0 tl 0 l00l l0l0 I 100 1000010 'l 0lll l0lü l00t I l0l 1000100 8 r000 l0lI r000 lll0 1001000 9 t 00l I100 llll l l l0l0m0 Bl BDC (el binario decimal codificado)es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargasa los bits binarios de acuerdo a sus posiciones.Las cargasen el código BDC son 8, 4, 2, l. La asignaciónde bits 0110por ejemplo, puede ser interpretadapor las cargas
  • 28. I8 SI S T E M A S I N A B I O S S CAP. 1 el dísitodecimal ya que0x 8+ 1x 4+ 1x 2+0+ 6 B1*_l:l,t:.quot;ltg. Ds posrDreasrgrar ca¡gas 1:6. ne,gativasa un código decimal, tal como muestra.en el código 8, a, se .?,. 1. En este 0 1 1 0s e i n t e r p r e t ac o m o e l d í g i t o d e c i m a l i , quot;uquot;o lquot; ¿quot; ¡its quot;n-binuquot;l¿n8 + 1 X 4 de 0X +.I x ( - 2) + 0 X ( - 1) : 2. O-tros dos códigásiconquot; quot; é r . quot; quot; á¡t tabla son el 2421y el b043210. -oquot;t.ados en la Uquot; quot;quot;-.gJ- áquot;quot;i_ái q,]quot;quot;Jquot; ¡u usado en al_ viejos en el código de quot;Oaig, fl9-.- quot;quot;-nutquot;dores Este último es un LuurBUsrn ca¡ga. cuva asrgnatión se obtiene quot;*quot;quot;.o quot;'i. del correspondientevalor e n B D C u n a v e z s e h á y as u m a d ol . oquot;quot;,,lli,lquot;lquot;u'jff jl-.'jquot;$quot;:ir:jffi J:'::quot;rquot;,::T,quot;?,J:t'quot;quot;quot;11r1':Tliquot;: datos, el usuario gusta dar los datos f;;;; j*i.quot;i. Lquot;quot; _quot;r,urquot;quot; dquot;, crmales recibidas se almacenan inte¡namente quot;quot; en el computadorpor medio del código decimal. Cada dígito aquot;quot;irnquot;l .quot;q,liquot;iquot; mentos de almacenamientobinario. Los n,i-quot;.o.. ;;;;quot;quot;.. 'aquot;quot;iaules cuatro ele- se convrenen cuando las operaciones aritméticas .quot; hrquot;un-lntquot;.numente con :..1i1* numeros representados binario. Es posible en también realizar operacio_ nes aritméticas directamente en decimál con todos loquot; nquot;¡nquot;ro. ¡,a deja_ dos en forma codificada. por ejemplo, ,,,i_quot;.o Jquot;quot;i-quot;i ¡9b, -quot;ueve .quot; da igual a 1100b1011 quot;t y quot;,rundo :j:ri:rlquot;_1^lirrio nume¡o rrus. or mrsmo dígitos bina- representado quot;onquot;iquot;tquot; quot;i, alternamente en código BóC, ocupa p a r a c a d a . d i g r r dre c i m a lp a r a u n t o t a f , ae iZ úiis:001110010101. L.,fsr 1 quot; _ , b 1 quot; c't¡tro bits representan : r ^ 1 prrmeros el 3, los siguientescuatro el g y los ultrmos cuatro el 5. . Es muy importante comprender la dife¡encia entre conuersiónde un n-úmero decimal a bina¡io y ra codit'icación 'áquot; -¡itquot;. ¡i...L áu ,quot;'.omero decimal. -i_* En_cada caso el ¡esultado rirral equot; u.. ,quot;.iquot; d-ela conversiónson dígitos binarios. Lquot;, ¡irquot; obtenidos úiiquot;.¡1quot;quot;iJosli ta codificac¡ón son combinaciones unos a ceros arregladuquot; de aquot; uquot;ulaan u las reglas del código usado. Por tanto es extremadamquot;ertquot; i-pquot;.ir.iquot;'iquot;r,quot;. que una serie de unos y.ceros en quot;n quot;uquot;nru, un sistema dilital pueáe algunas veces ¡epresentarun número binario y otras veces .quot;piquot;aquot;r,tu. alguna otra can tidad disc¡eta de información como se especifica en un código binario 3:n::^,?^quot;:0.11quot;^ *... ejemplo, quot;laá-iquot;quot;quot;eiJ.'jquot;iui -o,,quot;,^ ouu u,r coorgoy una llc ha conversiónbina¡ia directa quot;quot; siemprey cuando los números decimalessean algún entero y entre 0 y 9. pa; conversióny Ia codificación son completamente ;;;JrÁ-il.yo.quot;. que g, la diferentÁ.'E.tquot; -.rquot;upto es tan importante que vale la pena repetirlo usando otro ejemplo: la con_ versión binaria del decimal l3 es l10l; t, BDC es 00010011. áecimal 13 con quot;ralnquot;quot;quot;i¿quot;quot;aál 1 , quot; quot;c i n c o c ó d i g o sb i n a r i o s . l i s t a d oe n l a T a b l a . s 12, et BDC parece ser el quot;m¿isnatural y es sin duda el que se encuentra --_ ? más ümtnmente. Los otros códigosde cuatro bits tienen una característica en común que no se en_ cuent¡a en BDC. El de exceso 3, el 2, a, a ?, ,,, B,¡, _l-_ I son códigos autocomplementarios, esto es que el compremento 9 der núme¡o quot;l de se obtiene fácilmente cambianáotquot;quot; .á.;; decimal ;; ;ñ;il por más. Esta propiedades muy útil cuando se hacen las operaciones aritméticas interna_
  • 29. c o D t G o s t N A R r o s1 9 B mente con números decimales (en código binario) y la sustracción se hace por medio del complemento de 9. Fil código binario mostrado en la Tabla l-2 es un ejemplo de un código de sietc díBitos con propiedades de derección de error. Cada digito decimal c o n s i s ¡ e e 5 c e r o s 1 2 u n o s c o l o c a d o se ¡ r l a s c o r r e s D o n d i e n t c s l u m n a s d e d co .quot;-a a. IP La propredad de la detección de e¡ror de este código puede compren- derse si uno se da cuenta de que los sistemas digitalm representan el binario 1 mediante una señal específica uno y el bina¡io cero por otra segunda señal específica. Durante la t¡asmisión de señales de un lugar a otro puede p¡esentarse un error. Uno o más bits pueden cambia¡ de valor. Un ci¡cuito en el lado de recepción puede detectar la presencia de más (o menos) de dos unos y en el caso de que la combinación de bits no esté de acuerdo con la combinación permitida, se detectará un error. Códigos de detección de error La información binaria, siendo señales de pulsos modulados o señales de entrada y salida de un computador digital, puede ser t¡asmitida a través de algún medio de comunicación tal como ondas de radio o alambres. Cual- quier ruido exte¡no int¡oducido en el medio de comunicación fisica cambia los valo¡es de los bits de 0 a 1 y viceversa. Puede ser usado un código de detección de error con el objeto de detecta¡ los errores durante la tras- misión. El er¡or detectado no puede ser corregido pero sí indicada su presencia. El procedimiento usual es observar la frecuencia del e¡ror. Si el e¡ro¡ ocurre de vez en cuando, aleatoriamente y sin algún efecto pro- nunciado sob¡e el total de la información trasmitida, o no se hace nada o se trasmite de nuevo el mensaje erróneo especíñco. Si el erro¡ ocur¡e tan a menudo que se distorciona el significado de la información ¡ecibida, se debe rectificar la falla del sistema. Un bit de parid.ad es un bit extra, incluido con el mensaje para con- vertir el núme¡o total de unos en par o impar. Un mensaje de cuatro bits y un bit de paridad P se representan en la Tabla 1-3. En (a), se escoge P de tal manera que la suma de todos los unos sea impar (en total cinco bits). En (b), se escoge P de tal manera que Ia suma de todos los unos es par. Du¡ante la trasferencia de información de un lugar a otro, el bit de pari dad se trata de la siguiente manera: en el ext¡emo de envío, el mensaje (en el caso de los primeros cuatro bits) se aplica a un circuito quot;generador de paridadquot; en el cual se genera el bit P requerido. EI mensaje junto con su bit de paridad se t¡asfiere a su destino. En el extremo de recepción todos los bits entrantes (en este caso cinco) se aplican al ci¡cuito de quot;ve- ¡ificación de paridad' para constatar la paridad adoptada. Se detecta¡á un eror si la paridad ve¡ificada no corresponde a la adoptada. El método de Ia paridad detecta la presencia de uno, tres o cualquier combinación de e¡ro¡es impar. Una combinación par de errores no se puede detecta¡. Una ulte¡ior discusión de la generación de paridad y su verificación pue- de ser encont¡ada en Ia Sección 4-9. !¿
  • 30. r Tabla l-3 (a) Mensaje Generación P (impar) del bit de paridad (b) Mensaje P (pari 0000 1 0000 0 0001 0 0001 1 00r0 0 0010 I 001 I I 001 I 0 0r00 0 0100 I 010 | I 0l0l 0 0 ll 0 I 0ll0 0 0l 0 0lll I 1000 0 1000 I l00l I t 00l 0 l0l0 I l0l0 0 l 0 lI 0 l 0 lI I I 100 I | 100 0 l0l 0 Il0l I I l0 0 nl0 I l I ll 0 El código reflejado Los sistemas digitales pueden ser diseñados para procesa¡ datos solamen- te en forma disc¡eta. Muchos sistemas fisicos suministran salida continua de datos. Estos datos pueden convertirse en forma discreta o dieital antes de ser aplicados a un sistema digital. La información análoga o continua s_e.convierte a forma digital por medio del convertido¡ análógo a digital. Algunas veces es conveniente usar el código reflejado mostrado en la Tabla 1-4 para representar los datos digitales convertidos en datos análosos. -ou. La ventaja del código reflejado sobre los números bina¡io, pu.oquot; quot;. el número en el código reflejado cambia en sólo un bit cuando cambia'de un número al siguiente. Una aplicación típica del código reflejado ocurre cuando los datos análogos se ¡epresentan por un cambio continuo de la posición de un eje. El eje se divide en segmentos y a cada segmento se le asigna un número. Si se hace corresponder segmentos adyacentes con núme¡os de código reflejados adyacentes, se reduce la ambigüedad cuan do se sensa la detección en la línea que separa cualquier par de segmen, tos. El código reflejado que se muestra en la Tabla l-4 es solamente uno de los muchos códigos posibles. Para obtener un código reflejado diferente se puede comenzar con cualquier combinación de bits y proceder a obtener la siguiente combinación, cambiando solamente un bit de 0 a I ó de 1 a 0 de cualquier modo deseado, al azar, siempre y cuando dos núme¡os no tengan códigos asignadtx idénticos. El código reflejado se conoce como el código Groy. Códigosa lfanu méricos Muchas aplicaciones de computadores digitales, requieren manejar datos que consisten no solamente de números sino también de letras. po¡ eiem_ 20
  • 31. T6bls 1-4 Código reflejado de cuatro bits Códigoreflejado Equivalentedecimal 0000 0 0001 I 001I 2 0010 3 0ll0 4 0lll 5 0l0l 6 'l 0100 l100 8 I l0l 9 llll l0 l 0 ll l0l0 t2 l0l I lml t4 1000 t5 plo una compañía de seguros con millones de clientes pueden usar un computador digital para procesarsus historias. Para representarel nom- bre del dueño de una póliza en forma bina¡ia, es necesa¡io tener un código binario para el alfabeto. Además, el mismo código binario puede represen tar números decimales y algunos otros caracteresespeciales. Un código alfanumérico (algunas veces abreviado aLphameric)es un código binaricr de un grupo de elementosconsistentede los diez números decimales, los 26 caracteresdel alfabeto y de cierto número de símbolosespeciales tales como $. EI número total de elementosde un grupo alfanume¡rcoes mayor que 26. Por consiguientedebe se¡ codificado con un mínimo de seis bits ( 2 ' j: 6 4 , y a q u e 2 5 : 3 2 e s i n s u f i c i e n t e ) . Un arreglo posible de un código alfanumérico de seis bits se muestra en la Tabla 1-5 bajo el nomb¡e de quot;código internoquot;. Con algunas variacio- nes se usa en muchas computadoras,para ¡epresentarinternamente ca, ¡acteresalfanumé¡icos.La necesidadde representarmás de 64 caracteres (las letras minúsculas y los caracteresde control especiales para la tras- misión de info¡mación digital) dio lugar a códigosalfanumé¡icosde siete y ocho bits. Uno de estos códigoses conocidocomo ASCII (American Stan- dard Code fo¡ Information lnterchange: Códigonormalizadoamericanopa- ra el intercambiode información)iot¡o es conocido como EBCDIC (Extended BCD InterchangeCode: Código de intercámbioBDC aumentado).El códi- go ASCII listado en la Tabla 1-5, consistede siete bits, pero es para propó- sitos prácticosun códigode ocho bits ya que el octavo bit se agregade todos modospara efectosde paridad. Cuando se trasfie¡e información directa me- diante tarjetas perforadas,los ca¡acteresa-lfanuméricos usan un código bi- na¡io de 12 bits. Una tarjeta perforadaconsisteen 80 columnas y 12 filas. En cada columna se representaun ca¡ácter alfanumérico mediante huecos _- .- .1
  • 32. Tsbla l-5 ( odrgos de caracte¡€s alfanuméricos - uoolgo L odlgo Códigointemo AS CII EBCDIC Códisode taljeta C a r a c te ¡ 6.bits ?-bits 8-birs 12-bits 0t0 001 lm 0001 I 100 0001 t2,1 B 010 010 100 0010 l 100 0010 1)) C 010 0 100 001I I 100 001 I 1) 1 D 010 r00 100 0100 I 100 0100 12,4 E 0t 0 r 0 l 100 0r0l r 100 0 1 0 | F 010 I l0 100 0l l0 I 100 0 l t 0 12.6 G 010 l 1000lll I100 0 l t2,7 H 0lt 000 100 1000 | 100 1000 12,8 I 0l l 001 r00 l00l l l m 1001 t2,9 J 100 001 100 l0r0 I l 0 l 0001 lt,t K 100 010 100 101 | I l 0 l 0010 11,2 L t00 0tI t00 llm I l 0 l 00 I1,3 M 100 100 100 I tol I l 0 l 0100 I t,4 N 100 l0l 100 Il t0 I l0l 0l0l I1,5 o 100 I l0 100 l l l 1 0 l 0ll0 I 1,6 P 100 Il I r0r 0000 Il0l 0lll 11,7 a l0l m0 l0l 0001 I l 0 l t000 I1,8 R t 0| 0 0 1 l0l 0010 I l 0 l t 00l I 1,9 s 0 0r0 l0l 001 I l ll0 ml0 o,2 T Il0 0ll l0l 0100 l I 0 001 I 0,3 U I l0 100 r0l 0l0l I l 0 0100 0,4 I l0 r0l I0l 0ll0 l r0 0l0l 0,5 Il0 ll0 l0l 0lll l l 0 0 ll 0 0,6 X ll0 lll l0l l0ü) lll0 0 r 0,1 Y llt 000 t0 l l 0 0 l lll0 r000 0,8 z ll I 001 l0l l0l0 lll0 t 00l 0,9 0 000 000 0l I 0000 I I Il 0000 0 I 000 001 0lt 0001 l l 0001 I 2 000 0r0 0l l 0010 l l l l 0010 2 3 000 0l I 0 001I Illl 00ll 3 4 000 100 0l I 0100 l l l t olm 4 5 000 l0r 0lI 0l0l ll 0l0l 5 0 000 l r0 0lI 0ll0 ll 0ll0 6 'l 000 I Il 0ll 0llt llll 0llt 7 8 001 m0 0l I 1000 r l ll 1000 8 9 00r 001 0l I t00l ll l00l 9 espacio l r0 000 010 0000 0100 m00 no perforado 0ll 011 0t0 I n0 0100 l0l I t2.8,3 ( I lt I00 010 1000 0100 I l0r 12,8,5 + 010 000 010 l o tI 0100 | I l0 12,8,6 $ I o t 0 lI 010 0100 0l0t lot I I1,8,3 l0 t 100 010 l0l0 0r0| I100 I1,8,4 )_ 0lI 100 010 r00l 0t0l Il0l I1,8.5 100 000 010 l l0l 0l l0 0000 ll I l0 001 0t0 llll 0l r0 0001 0,1 ll I 0 010 l r00 0l l0 l0 0,8,3 001 0rl 0lr Il0l 0l lll0 8,6
  • 33. T SEC ]7 A L M A C E N A M I E N TD E E I N A R I O S R E G I S f R O S 2 3 O Y perforados las columnas adecuadas. en Un hueco se sensacomo 1ó su au- sencia como 0. Las 12 filas están marcadas,comenzando desdeel extremo superiorcomo las filas de ¡rerforación 11,0, 1,2, 12, , 9. Las tres primeras constituyen el área de perforaciónde zona y las últimas nueve,de perfora- ciór' numérica. El código de tarjeta de 12 bits most¡adoen la Tabla 1-5 da un listado de las filas en las cuales se perfora un hueco (dando los unos). Las filas restantesse asumen como ceros.El código de tarjeta de 12 bits es ineficiente con respectoal número de bits con que se usa. La mayoría de los computadores traducen el código de entrada a un código interno de seis bits. Como ejemplose usa la representación nomb¡e quot;John Doequot; a con- del tinuación: 100001rml l0 0l l0@ r00l0l l10000010100l00ll0 0l0l0l JOH N espacio D OE 1.7 ALMACENAMIENTO BINARIOS REGISTROS DE Y Los elementos discretos de info¡mación en un computador digital deben tener una existencia fisica en algún medio de almacenamiento de infor- mación. Además, cuando los elementos discretos de info¡macion se re' presentan en forma binaria, el medio de almacenamiento de información debe contener elementos de almacenamiento bina¡io para Ia acumulación de los bits individuales. Una celd.a binaría es un elemento que posee dos estados estables y es capaz de almacenar un bit de info¡mación. La entra- da a la celda ¡ecibe las señales de exitación que la coloca en uno de los dos estados. La salida de la celda es una cantidad ñsica que distingue entre los dos estados. La información almacenada en la celda es un I cuando está en su estado estable y un 0 cuando está en el otro estado estable. Algunos ejemplos de celdas bina¡ias son los circuitos flip-flops, los núcleos de ferrita usados en la memoria y las posiciones perforadas o no de una tarJeta. Reg ist ros Un regístro es un grupo de celdas binarias. Como una celda almacena un bit de información, se desprende que un registro de r celdas puede alma- .:enar cualquier cantidad disc¡eta de información que contenga n bits. El estado del re$stro es un número enésimo de unos o ceros con cada brt .ndicando el estado de una celda en el registro. El cc,ntenido de un registro es una función de la interpretación dada a Ia info¡mación almacenada en ella. Considé¡ese como ejemplo un registro de 16 celdas: I I 0 0 0 0 I I I 0 0 0 0 I | 2 3 4 5 6 7 8 9 l0 1l 12 13 14 15 16 Físicamente se podría p€nsar que el registro está compuesto de 16 celdas b i n a ¡ i a s , c o n c a d a c e l d a a l m a c e n a n d o u n 1 ó u n 0 . S u p o n g a m o sq u e l a c o n - fizuración de bits almacenados es como se muestra en la figu¡a. El estado *t
  • 34. 24 S I S T E Ñ 4 AB I N A R I O S S CAP, 1 del registro es el número 16-avo 1100001111001001. claramente, un Más ¡egist¡o de n celdas puede estar en uno de los 2n estadosposibles.Ahora bien, si se asume qu€ el contenido del registro ¡epresenta entero bina- un rio, obviamente el registro puede almacenar cualquier número binario de 0 a 2¡6 -1. Para el caso particular mostrado,el contenido del registro es el equivalentebinario al número decimal 50121.Si se asumeque el registro almacena caracteresalfanuméricos de un código de 8 bits, el contenido del registro es cualquiera de los caracteressignificativos. (Las combina- ciones de bits no asignadas no representan información significativa). En el código EBCDIC, el ejemplo anterior representalos 2 caracteresC (ocho bits izquierdos)e 1 (ocho bits derechos).Por otra parte, si se inter- p¡eta el contenido del registro como cuat¡o dígitos decimales repr€senta- dos por un código de cuatro bits, el primero se¡á un número decimal de cuatro dígitos. En el código de excesoa 3 del ejemploante¡ior se represen- ta el núme¡o decimal 9096.En el código BDC el contenidodel registro no tiene ningún significado ya que la combinación de bits 1100no se asigna a ningún dígito decimal. De acuerdo al ejemplo, se nota que un registro puede almacenar uno o más elementosdiscretos de información v que la misma configuración de bits puede ser interpretada, de manera dife¡ente para dife¡entes tiDos de elementos de información. Es muv importante que el usuario almacene información significativa en ¡egistros y que el computador sea programado para procesar esta información de acuerdo al úipo de la misma. T r a s f e r e n c i ae n t r e r e gi s t r o s Un computador digital se caracterizapor sus ¡egistros.La unidad de me- moria (Figura 1-1) es principalmente una colecciónde cientos de registros para almacenar información digital. La unidad procesadora compone se de va¡ios registros que almacenan operandoscon base en los cuales se realizan operaciones,La unidad de control usa registros para controlar va¡ias secuenciasdel computador y cada dis¡nsitivo de ent¡ada y salida debe tener al menos un registro para almacenar la información trasferida de o al dispositivo. Una operación de trasferenciaenrre registros es una operación básica en sistemas digitales y consiste en la t¡asferencia de la información almacenadade un registro a otro. La Figura 1-2 ilustra la trasferencia de información entre registros y demuestra pictóricamente ia trasferencia de información binaria de un teclado de teletipo a un re- gistro en la unidad de memo¡ia. Se asume que la unidad de entrada del teletipo tiene un teclado, un circuito de control y un registro de entrada. Cada vez que se digita una tecla, el control introduce al registro de en- t¡ada un código de carácter alfanumérico equivalentede 8 bits. Se supone que el códigousado es el códigoASCII con un octavo bit de paridad impar. La info¡mación del registro de entrada se t¡asfie¡e a las ocho celdas me- nos significativas del registro procesador.Después de cada trasfe¡encia se borra el registro de entrada para permitir que el control pueda enviar un nuevo código de ocho bits cada vez que se digite el teclado. Cada ca- racter de ocho bits t¡asferido al registro procesadorviene seguidopor un corrimiento del anterior carácter en las sizuientes ocbo celdas a su iz-
  • 35. UNIDAD DE MEMORIA roH 00 I 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 I11 0 0 1 0 0 I0 1 1 1 I 1I 1 PROCESADOR UNIDAD TELETTPODE ENTRADAI Resistro ..-:-.--.--.! CONTROL Figura l_2 Traslerenciainformación registros de con quierda. Cuando se complete la t¡asferencia de cuat¡o caracteres,el re- ji.i.o p.oquot;quot;.udor estará lleno y su contenido se trasferirá.al registro de ilquot;-o.iu. El contenido almacenadoen el registro de memoria de la Figura 1-2 nrovino de la t¡asferencia de los caracteresJOHN despuésde digitar las óuat¡o teclas adecuadas. Pquot;.quot; proquot;quot;quot;u. las cantidades discretas de información en forma bi- naria, el óomputador debe estar dotado de (l) elementos que sostengan los datos qus vayan a ser procesados (2) elementos de circuito que y manejen los bits individuales de info¡mación. El elementomás convenien- temente usado para retener información es un registro. El manejo de va- ¡iables bina¡ias se hace por medio de circuitos lógicos digitales' La Figura 1-3 ilustra el procesode suma de dos númerosbinarios de 10 bits' La uni- dad de memoria, que consiste usualmente en cientos de reglstros se muestra en el diagráma con sólo tres de sus registros.La pa¡t€ de la uni- dad de procesomóstrada, consiste en tres registros,R1, R2 y R3 conjun- tamente con circuitos lógicosdigitales que manejan los bits de Rl y R2 y t¡asfie¡en a R3 un númeio binario igual a su suma aritmética Los regis- t¡os de memoria almacenan información y están incapacitadospara pro- cesar los dos operandos.Sin ernbargo,la información almacenadaen la memoria puede ser trasferida a los regist¡os de proceso Los resultados obtenidos por el registro del procesadorpueden ser trasferidosal registro 25
  • 36. I NIDAD DE MEMORIA 0000000000 0011100001 0001000010 00010000r0 Circuitos de lógica digital para la 01001000 r l suma binaria 001 l 100001 U N I D A DD E P R O C E S A D O R Figura l-3 Ejemplo de procesamiento de información binaria de la memoria para almacenamientohasta que vuelvan a ser necesarios. El diagrama muestra el contenido de los dos operandostrasferidosde los dos registrosde memoria Rl y R2. Los circuitos lógicos digitales producen la suma que a su vez será trasferida al registro R3. El contenido del regis- tro R3 puedeser trasladado a los registrosde memoria. Los últimos dos ejemplos demuestranla capacidaddel flujo de infor- mación del sistema digital de una manera muy sencilla. Los registrosdel sistema son los elementosbásicospara almacenamientoy retención de la información binaria. Los circuitos digitales procesan la información. En la siguiente sección se introducen los circuitos digitales y su correspon- diente capacidad de manipulación. El tema de los registros y las opera- ciones de trasferenciade registrosse verá de nuevo en el Capítulo 8. 1-8 L O G I C AB I N A R I A La lógica binaria trata con variablesque toman dos valoresdiscretosy con operaciones que asumen significado lógico. Los dos valores que las varia- bles asumen pueden llamarse de diferentes maneras (por ejemplo, uerda- dero y falso, si y no, etc.) pero para este propósito es conveniente pensar 26
  • 37. SEC.1-8 LOGICA INARIA B 27 en términos de bits y asignar los valoresde 1 y 0. La lógica binaria se usa y para describir, de una manera matemática el procesamiento manipuleo de la información binaria. Se acomodamuy bien para el análisis y diseño de los sistemas digitales. Los circuitos lógicos digitales de la Figura 1-3, que realizan la aritmética binaria, son circuitos cuyo comportamientose más convenientemente términos de variables binarias y ope- en quot;.*p.e.u lógicas. La lógica binaria que se introduce en esta sección es tuóionquot;. equivalentea un tipo de álgebrallamada álgebrade Boole..La presentación formal del álgebra-deBoole de dos valores se verá en más detalles en el Capítulo 2. E1 proposito de esta sección es el de introducir el álgebra de Boó1quot;,de una -a.tóra heurísticay de relacionarla con los circuitos lógicos digitales y señalesbinarias. D e f i n i c i ó nd e l ó g i c a b i n a r i a La lógica binaria consisteen variables binarias y operaciones lógicas. Las variabllesse indentifican mediante las letras del alfabeto tales como A, B, C, x, y, z, etc. y cada variable tendrá dos y sólo dos valores posibles: 1 y 0. Hay tres operacioneslógicasbásicas:AND, OR y NOT. 1. AND: Esta operación se representa por un punto o por la ausencia de un operador. Por ejemplo,Í'!:z ó xy:z leído quot;x y y es igual a z quot; i m p l i c a nq u e e : 1 s i y s ó l os i ¡ : 1 y y : 1 ; d e o t r a f o r m ae : 0 ' (Recuérdese que f, y y z son variables y pueden ser solamente 1 ó0ynadamás.) 2. OR: Esta operación se representapor un signo más. Por ejemplo r f y:z se leé quot;r OR y es igual a 2quot;, queriendo ecir que z:1!i d ¡:f o s i y : 1 o s i s e t i e n ex : l y y : 1 ' . S i a m b o s : 0 y ! : 0 , ¡ entoncee:0. s 3. NOT: Esta operación se representapor un apóstrofe (algunas veces por una barra). Por ejemploix':z (6 7: e) se lee quot;r no es igual a zquot; implicandoque z es lo que r no. En otras palabras, ¡:1 en- si t o n c e se : 0 , p e r os i ¡ : 0 e n t o n c e s : 1 ' e La lógica aritmética se parecea la aritmética binaria y las operaciones AND y OR tienen su similitud con la multiplicación y la_sumarespectiva- mente. De hecho los símbolosusadospara AND y OR son los mismos que se usan para la suma y la multiplicación. La lógicabinaria, empero'no se debe confundir con la aritmética binaria. Se debe tener en cuenta que una va- riable aritmética designaun número que puede consistir en muchos dígi- tos mientras que una variable lógica es siempre 1 ó 0. En la aritmética binaria, por ej-emplo, tiene que 1+ 1: 10 (leído quot;uno más uno es igual se a dosquot;) mientral que en la lógica binaria se tiene que 1+ 1 : 1 (leído: quot;uno OR uno es igual a unoquot;). Existe ,r.r uulo. de z especificadopor la definición de la operación ló- gica, por cada combinación de valores x y y. Estas definiciones pueden Ii.tquot;r.quot; en una forma compacta usando tablas de uerdad. Una tabla de verdad es una tabla de todas las combinaciones posiblesde las variables _*Á
  • 38. Tabla l-6 Tablas de verdad de las operaciones lósicas AND OR x'Y x y 0 0 00 0 0 0 0l I I 0 l0 I l I ll I que muestra la relación entre los valores que las variables pueden tomar y el resultado de la^operación.por ejemplo, las tablas-áe verdad para las operaionesAND y OR con variables r y y se obtienen al listar todos los -rquot; valores_posibles que las variables puede' tquot;rrquot;. pares. El resultadode la operaciónde cada en quot;rráláo lista en una se quot;o*binan co- llrlu separada.Las tabrai de verdad dquot; Áñó, oii;quot;ñóT quot;o-¡iquot;ácián se listan en la Estas tabras demuestranclaramentelas definiciones ::?jlj:t de lps ope- S e ñ a l e s b i n a r i a s y c i r c u i t o sd e c o n m u t a c i ó n El uso de variables binarias y la aplicación a ra lógica binaria se demues- tra por los circuitos sencillos de c-onmutación de ü rigquot;.quot; r_4. suponga_ mos que los interruptores A. y B representen -in-terruptor dos variables binarias con valores iguales a 0 cua¡do el está abierto e-igual 1 cuando el interruptor está cerrado. Simultáneámente asúmase que la lámpara l representauna tercera variable primaria igual a t cuandola luz está pien-_ dida e igual a 0 cuando está apagJu. puü ;;-ü., i'tquot;r.upto.u, .r, series, la luz se prende solamenté si A y B quot;t quot;uro para los inte_ están rruptores en paralelo,.ra ruz se prenderá si A o B quot;;;.;á;.. ;;;quot;;;rrados. obvia_ mente estos dos circuitos pueden expresarse por medio de la lógica binaria con las operaciones AND t OR repectivamente: L = n .B para el circuito de la Figura I_4(a) L : A + B para el circuito de la Figura 1-4(b) Los ci¡cuitos digitales electrónicosse llaman algunas veces circuitos de conmutación,ya que se comportan como u¡ interruptor con qR elemen- to activo tal como un transistor conduciendo (interripto, o en quot;...uao) Fuente Fuente de voltaje de voltaje (a) Inte¡ruptoresen se¡ie- AND lóeica (b) Interruptoresen paralelo- OR lósico Figura l-4 ci¡cuitos de interrupción que demuestran la lógica binaria 28 L
  • 39. f Voltios Tolerancia Lógica l nominal permitida para la lógica 1 La transiciónocur¡e entre estosIímites Tolerancia Lógica 0 nominal permitida para la lógica0 -0,5 Figura l-5 Ejemplo de señalesbina¡ias corte (interruptor abierto). En vez de cambiar manualmente el interrup- tor el circuito de interrupción electrónico usa señalesbinarias para con- trolar el estado de conducción o no conducción del elemento activo. Las señaleseléctricas tales como voltajes o corrientesexisten por todo el sis- tema digital en cualquierade los dos valores reconocibles (exceptodurante la transición). Los circuitos operadospor voltaje respondena dos niveles separadoslos cuales representanuna variable binaria igual a lógica 1 o lógica 0. Un sistema digital en particular podría definir la lógica 1 como una señal de valor nominal de 3 voltios y la lógica 0 como una señal de valor nominal de 0 voltios. Como se muestra en la Figura 1-5 cada nivel de voltaje tiene una desviación aceptable de la nominal. La región interinedia entre las regiones permitidas se cruza solamente durante las transiciones de estado. Los terminales de entrada de los circuitos digitales aceptan se- ñales binarias dentro de las tolerancias permisibles y respondenen el termi-' nal de salida con señalesbinarias que caen dentro de las tolerancias espe- cíficas. Compuertaslógicas Los circuitos digitales electrónicosse llaman circuitos lógicosya que con las entradas adecuadasestablecen caminos de manipuleo lógico. Cual- quier información deseadapara calcular o controlar, puede ser operada pasando señales binarias a través de varias combinacionesde circuitos iógico* con cada señal que representa una variable y trasporta un bit de inlormación. Los circuitos lógicos que ejecutan las operacioneslógicas de AND, OR y NOT se muestran con sus respectivossímbolosen la Figura 1-6. 29 -J
  • 40. I x ( a ) CompuertaAND de (b) CompuertaOR de (c) Compuerta NOT dosentradas dos entradas o inversor a---.fA F - ABC ,$ G: A* B -¡c + D BcL)- Bjf (d) CompuertaAND de (e) Compuerta OR de tres ent¡adas cuatro entradas Figura l-6 Símbolos para los circuitos lógicos Estos circuitos, llamados conlpuertas son bloques de circuitería que producen señalesde salida de lógica 1 o lógica 0, si se satisfacenlas cón- diciones de las entradas lógicas. Nótese que se han usado cuatro nom- bres diferentes para el mismo tipo de circuito: circuitos digitales, circuitos de conmutación, circuitos lógicos y compuertas. '.fodos los cuatro nombres se usan a menudo pero se hará referencia a los circuitos como compuertas AND, OR y NOT. La compuertaNOT se denominaalgunasvecescomocjr- cuito inuersorya que invierte la señal binaria. Las señales de entrada r y y en las compuertas de dos entradas de la Figurl 1-6 pueden existir en uno de los cuatro estadosposibles:00, 10, 11 ó 01. Estas señalesde entrada se muestran en la Figurá 1-? conjuntamen- te con las señalesde salida de las compuertasAND y oR. Los diagramas de tiempo de la Figura 1-7 ilustran la respuesta de cada circuito a cada una de las posibles combinaciones binarias de entrada. La razón para el nombre quot;inversorquot; dado a la compuerta NOT es aparente al comparar la señal ¡ (entrada del inversor) y la señal r' (salida del inversor). Las compuertas AND y OR, pueden tener más de dos entradas como la compuerta AND con tres entradas y la compuerta OR con cuatro entradas de la Figura 1-6. La compuerta AND de tres entradas respondecon la salida de lógica 1 si todas las tres señalesde entrada son de lógica 1. La salida pro- duce una señal de lógica 0 si cualquier entrada es de lógica 0. La compüer- ta 0 de cuatro entradas respondecon lógica 1 cuando cualquier enirada es de lógica 1. Su salida será de lógica 0 si todas las señalesde entrada son de lógica 0. ' ol-T--Tlo o _v o, ofTlo AND: ;r . y o o.f--Tl o o OR:¡*y fr NOT: ¡' W Figura l-7 señales de entrada-salida para las compuertas (a), (b) y (c) de la Figura l-6 30
  • 41. 1-9 C I R C U I T O SN T E G R A D O S I I 3 El sistema matemático de lógica binaria es mejor conocido como de Bole o álgebra de conmutación. Esta álgebra se usa convenientemente :,ara describir la operación de conjuntos complejos de circuitos digitales. ',,s diseñadoresde los sistemas digitales usan el álgebra de Boole para ::asformar los diagramas de circuito a expresiones algebraicaso vicever- -a. Los capítulos 2 y 3 se dedican al estudio del álgebra de Boole, sus :ropiedadesy su capacidad de manipuleo. El Capítulo 4 muestra cómo .. atgebra de Boole puede usarse para expresar matemáticamente las .:lrerconexiones entre los enlaces de compuertas. .-9 C I R C U I T O SN T E G R A D O S I Los circuitos digitales están construidos invariablemente con circuitos .ntegrados.Un clrcuito integrado (abreviado CI) es un cristal semicon- juct'or de silicón, llamado pastilla, que contiene componenteseléctricos :ales como transistores, diodos, resistenciasy condensadores. Los diver- :os componentes están interconectados dentro de la pastilla para formar un circuito electrónico. La pastilla está montada en un empaqueplástico con sus conexionessoldadasa las patillas externas para conformar el cir- cuito integrado. Los circuitos integrados difieren de otros circuitos elec- t¡ónicos compuestosde elementosdiscretos en que los componentes -CI indi- viduales del no pueden ser separadoso desconectados que el circuito y dentro del paqueteie hace accesible solamente por medio de las patillas externas. Los circuitos integrados vienen en dos clases de pastillas, la pastilla plana y la pastilla de hilera doble de patillas* tal como se ve en la Figura i-s. Lá pu.li¡a de hilera doble es la más comúnmente usada debido a su bajo costo y fácil instalación en los circuitos impresos. La protección del ciicuito iniegrado se hace de pl:ístico o cerámica. La mayoría de las pas- tillas tienen tamaños normalizados y el número de patillas varían entre g y &. cada circuito integrado tiene su designación numérica impresa .oÉtquot; su superficie, para poder identificarlo. Cada fabricante publica un libro de características o catálogo para suministrar la información correspondientea los diversos productos. Pastilla plana Pastilla de hilera doblede patillas Figura l-8 Circuitos integrados * En inglés se usa (DIP) Dual-in-line package.
  • 42. 32 S I S T E M A SE I N A R I O S CAP, 1 El tamaño del c,ircuito integrado es bastante pequeño. por ejemplo, cuatro compuertas AND están escapsuladasdentro de una pastilla de 14 patillas en hilera doble con dimensiones 20x 8x B milímetios. un micro- de procesador completo está encapsulado de una pastilla de 40 patillas en hilera doble con dimensiones 50 X 15X 4 milímetros. de Además de la reducción sustancial de tamaño el cI ofrece otras ven- tajas y beneficios comparados con los circuitos electrónicos con compo- nentes discretos. El costo de los CI es bastante bajo, lo cual los háce económicosde usarlos.- bajo consumo de poder haóe los sistemasdigi- Su tales más econémicos operar. Tienen una gran confiabilidad de no faliár de y por tanto menos reparaciones. velocidad de operaciónes alta hacién- La - dolos más adecuados para operaciones alta velocidad. El uso de los cI de reduce el número de conexiones externas ya que la mayoría están inter- namente dentro de la pastilla. Debido a todas estas ventajas, Ios sistemas digitales se construyencon circuitos integrados. Los circuitos integrados se clasifican en dos categorías generales: lineales y digitales. Los cI lineales operan con señales'contiñuas para producir funciones electrónicas tales como amplificadbres y res de voltaje. Los circuitos integrados digitale!, operan con quot;o-prtquot;do- señáles bi- nar'ias y se hacen de compuertas digitales interconictadas. Aquí se tra- tará solamentecon los circuitos integradosdigitales. A medida que mejora la tecnología de los cI, el número de compuertas que pueden encapsularse una pastilla de silicón, ha aumentado consi- en derablemente.La forma de diferenciar aquellos cI que tengan unas pocas compuertas, con las que tienen cientos de compuertas, eJ referirse a la pastilla como un elementode integraciónpequeña-, medianao grande.unas pocas compuertasen una sola pastilla constituyen un elemento de inte- gración pequeña (ssD.* Para poder calificar como un elemento de inte- gración mediana (MSI)* el circuito integrado debe cumplir una función lógica c-ompletay tener una complejidad de 10 a 100 compuertas. un ele- mento-de integración a gran escala (LSD* realiza una función lógica con más-de_1_00_ compuertas.Existe también una integración de muy- grande escala (vLSI). para aquellos elementosque contienen miles de áoñrp,rquot;r- tas en una sola pastilla. Muchos diagramas de circuitos digitales considerados este libro, en se muestran en detalle hasta describir las compuertasindividuales y sus interconexiones.Tales diagramas son útiles para demostrar la conjtruc- ción Iógica de una función particular. sin embargo,dcbemostener en cuenta en Ia práctica que una función dada se obtiene de u.t elemento de mediana o gran integración(MSI y LSI), al cual el usuariosólo tiene acceso las en- a t¡adas externas o salidas pero nunca a las entradas o salidas de las com- puertas intermedias. Por ejemplo, un diseñador que desee incorporar un registro en,su sistema debe preferiblemente escogertal función de un circui- !o -9quot;.mediana integración (MsI), en vez de diseñar los circuitos digitales individuales como se muestra en el diagrama. 'En inglés se usa: SSI (Small scale integration) Integración de pequeña escala; MSI (Medium scale integration) lntegración de mediana escala; LSI (Lar'ge'scale integration) Integración a gran escala; VLSI (Very large scale integration) Iniegrición a muy-grande escala.
  • 43. PROBLEMAS 33 REFERENCIAS 1. Richard, R. K., Arithmetíc Operations in Digítat Computers. Nueva York: Van Nostrand Co., 1955. 2. Flores, 1., The Logic of computer Arithmetic. Englewoodcliffs, N. J.: Prentice- Hall, Inc., 1963. 3. Chu, Y., Dígitat Cornputer Design Fundamentals. Nueva York: McGraw-Hill Book Co., 1962,CaPítulos 1 Y 2. 4. Kostopoulos,G. K., Digital Engineering. Nueva York: John wiley & sons, Inc., 1975,Capítulo 1. N. J.: 5. Rhyne, Y. T., Fundamentalsof Digitat sysüemsDesign. Englewood cliffs, Prentice-Hall. Inc., 19?3,Capítulo 1. PROBLEMAS 1-1. Escriba los primeros 20 dígitos decimales en base 3' L-2. sume y multiplique los siguientes números en la base dada sin convertirlos a decimal. (a) (1230)+ (23)¿ Y (c) (367)' v (715)a (b) (135,4)6 (43,2)o v ( d ) ( 2 9 6 ) t zY ( 5 7 ) t z 1-3. convierta el número decimal 250,5a base 3, 4,7,8 y 16 respectivamente. t-4. Convierta los siguientes números decimales a binarios: 12,0625,104, 673,23 y 1.998. 1-5. Convierta los siguientes binarios a decimales: 1 0 , 1 0 0 0 1 ,0 1 1 1 0 , 0 1 01 1 1 0 1 0 1 , 1 11 1 0 1 1 0 1 ' 1 1 1 . 1 1, 0, 1-6. convierta los siguientes números en base a las bases que se indican: (a) El decimal 225,225 binario, octal y hexadecimal' a (b) El binario 11010111,110decimal, octal y hexadecimal' a (c) El octal 623,77 decimal, binario y hexadecimal' a (d) El hexadecimalzAC5,D a decimal, octal y binario' l-7. Convierta los siguientesiúmeros a decimal: (a) (1001001,011), (b) (12121)3 (c) (1032,2)o (d) (4310)5 (e) (0,342)u (f) (50)? (g) (8,3)g (h) (1e8),, 1-8. Obtenga el complementode 1 y de 2 de los siguientes números binarios: 1010101,0111000,0000001,10000,00000 1-9. obtenga el complemento de 9 y de 10 de los siguientes números decimales: 13579,09900, 90090. 10000,00000.
  • 44. 34 s r s r E M A sB l N A R t o s C A P .1 1-10. Encuentre el complementode 10 de (935),,. 1-11. Haga la sustracción de los números decimalesa continuación, usando (1) el complemento de 10 (2) el complemento de 9. Compruebe la respuestapor medio de la resta directa. (al 52ñ-32I (b) 3570- 2100 (c) 753-864 (d) 20- 1000 l-L2. Realice la sustracción, de los siguientes números binarios usando (1) el complemento de 2 (2) el complemento de 1. Compruebela respuestapor sus- tracción directa. ( a ) 1 1 0 1 0 -1 1 0 1 (b) 11010- 100m ( c ) 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 1 (d) 100- 110000 1-13. Pruebe el procedimiento expuesto en la Sección 1-5 para la sustracción de dos númeroscon complementode (r- i). 1-14. Para los-códigoscargados(a) B, B, 2, 1 V (b) 4,4,9, _2para númerosdeci- males, determine_todaslas tablas posibles de tal manera que el complemen- to de 9 de cada dígito decimal se obtenga mediante el cambio de unos a ceros y de ceros a unos. 1-15. Representeel número decimal 8620 (a) en BDC, (b) en código de exceso3, (c) el código 2, 4, 2, 1 v (d) como número binario. 1-16' Un código binario usa diez bits para representar cada uno de los diez dígi- tos decimales. A cada dígito se le asigna un código de nueve ceros y un r. El código binario.para-6,.por_ejemplo, 0001000000. es Determine el cóáigo bi- nario para los dígitos decimales restantes. L-r7. obtenga el código binario cargado para los dígitos de base 12 usando las cargas de 542L. 1-18' Determine el bit d9 paridad impar generadocuando el mensaje consiste en d r e zd i g i t o sd e c i m a l e s n e l c ó d i g o9 , 4 , _ 2 , _ 1 . e 1-19. Determine otras dos combinaciones distintas al código reflejado mostrado en Ia Tabla 1-4. l-20. obtenga un código binario para representar todos los dígitos en base 6 de tal manera que el complemento de 5 se cbtenga re-plarquot;rráo I por 0 y por 0 1 en cada uno de los bits del código. 1-21' Asigne un código binario de alguna manera ordenada a las b2 cartas de la baraja. Se debe usar el menor número de bits. L-22. Escriba su norrbre y apellidos en un código de ocho bits compuesto de los siete bits ASCII.de la Tabla 1-5 v un brt dquot;eparidaá pquot;i Lquot;quot;rúao un tquot; po- sición más significativa. Incluya los espaciósentre las partes del nombre y el punto despuésde la inicial del segundoapellido. L-23' Muestre la configuración de un registro de 24 celdas cuando su contenido representa(a) el número (295),s en binario, (b) el número decimal 2g5;; BDC y (c) los caracteres Xyb en ngCOtC
  • 45. ¡t PROBLEMAS 35 l-24. El estadode un registrode 12 celdases 010110010111.¿Qué significa su con- tenido si este representa (a) tres dígitos decimales en BDC, (b) tres dígitos decimales en código de exceso 3, (c) tres dígitos decimales en código 2, 4, 2, 1 V (d) dos caracteresen el código interno de la Tabla 1-5? I-25. Muestre el contenido de todos los registros en Ia Figura 1-3 si los dos nú- meros binarios agregados tienen el equivalente decimal de 257 y 1050.Asuma un registro¡c{on celdas. 8 L-26. Exprese el siguiente circuito de conmutación en notación lógica binaria. AL I'Lrente de voltaje 1-27. Muestre las señales(usando un diagrama similar al de la Figura 1-7) de las s a l i d a s F y G d e l a Figura 1-6. Use señales arbitrarias en Ias entradas A, B,CyD.
  • 46. Algebra d e Boole ly compuertaslógicas 2-1 D E F I N I C I O N E SO G I C A S L EI álgebra de Boole, como cualquier otro sistema matemático deductivo puede ser definida por un conjunto de e.lementos, conjunto de opera- un dores, un número de axiomas o postulados.Un conjunto de elementoses una colección de objetos que tienen una propiedad común. Si S es un conjunto y x y y son objetos ciertos, entonces¡€S denota que r es un miembro del conjunto S y y G S denota que y no es un elementode S. Un conjunto con un número finito de elementosse representapor medio de llaves:A:11, 2, 3, 4f , es decir Ios elementos del conjunto A son los nú- meros l, 2, 3 y 4. Un operador binario definido en un conjunto S de ele- mentos, es una regla que asigna a cada par de elementosde S un elemento único de S. Por ejemplo,considérese relacióna*b: c. Se dice que * es la un operador binario si éste especificauna regla para encontrar c de un par (o, b) y también si a, b, ceS. Por otra parte, * no es un operadorbi- nario si a, beS mientrasque la regla encuentre que cG S. Los postuladosde un sistema matemático forman las suposiciones de las cuales se deducen las reglas, teorías y propiedadesdel mismo. Los postulados más comúnmente usados para formular varias extructuras algebraicas son: 1. Conjunto cerrado. Un conjunto S es cerrado con respecto a un operadorbinario, si para cada par de elementosde S, el operador binario especificauna regla para obtener un elemento único de S. El conjunto de los números naturales N: I 1, 2, B, 4, l, po. ejemplo, es cerrado con respectoal operador binario ( + ) por las reglas de la suma aritmética ya que por cada a, b e N se obtiene una ce N única por la operación a+b: c. El conjunto de los nú- meros naturales no es cerrado con respecto al operador binario menos ( - ) por las reglas de la sustracción aritmética ya que 2-3: -t y 2,8€ N mientras ue(- l) € N. q 2. Ley asociatiua. Se dice que un operadorbinario * en un conjunto S es asociativosi: 36
  • 47. sEc.2-1 D E F I N I C I O N E S I C A S3 7 LOG (x*Y)+z : ¡*(Y*z) Paratoda x,Y, z €S 3. Ley conmutatiDo. Se dice que un operador binario * en un con- junto S es conmutativo si: x*y : y*x para toda x,y € S 4. Elemento de identidod. Se dice que un conjunto S tiene un ele- * en S mento de identidad con respecto a la operación binaria si existe un elemento e € S con la propiedad: e*x: x*e: x paratodax€S Ejemplo: El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto a l a o p e r a c i ó n e n e l c o n j u n t od e e n t e r o s : l * I ,-3, -2, -7, 0 , 1 , 2 , 3 , . . . 1 Y aq u e : x*0:0+x:xParatoda x€I El conjunto de números naturales N no tiene elemento de identi- dad ya que el 0 es excluido del mismo. 5. Inuerso.Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e con respectoa un operadorbinario *, tiene un inverso si para cada ¡ € S existe un elementoy C S tal que: x*!:€ ffimplo: En el conjunto de enteros I con e: 0, el inverso del ele- m e n t oo e s ( - o ) Y a q u e o + ( - o ) : 0 . 6. Ley distributiua. Si * y . son dos operadores binarios en un con- ¡unto S, se dice Que * es distributivo con respectoa ' si: x * ( quot; y 'z ) : ( x * , ¡ ' ) ( x * z ) ' Un ejemplo de una extructura algebraicaes un compo. Un campo es un conjunto de elementos agrupadoscon dos operadoresbinarios, cada uno de los cuales tiene las propiedades a 5 que se combinan para dar Ia 1 propiedad 6. El conjunto de números reales conjuntamente con los ope- iadóres binarios + y . forman el campo de los númerosreales.El campo de los números reales es la base de la aritmética y el álgebra ordinaria. Los operadores postulados tienen los siguientessignificados: y El operadorbinario * define la suma. La identidad aditiva es 0. El inverso aditivo define la sustracción. El operadorbinario . define la multiplicación. La identidad multiplicativa es 1. El inverso multiplicativo de a:l/a define la división, es decir, a.l/a : 1. La única ley distributiva aplicable es la de ' sobre f : a-(b + c): (a'b) + (a'c)
  • 48. 2.2 D E F I N I C I OA X I O M A T I C A N DELALGEBRA OOLEANA B Boole (1) introdujoun tratamientosistemático lógica En 1854George de !' para ello desarrolló un sistema algebraico que hoy en día llamamos ríl- gebra de Boole. En 1938 C. E. Shannon (2) introdujo una álgebra de Boole de dos valores llamada álgebra de conmutación en la cual él demos- tró que las propiedades de los circuitos de conmutación eléctricas bies- tables pueden ser representadas por esta álgebra. Se usarán los postulados formulados por E. v. Huntington (3) en 1g04 para la definición formal del álgebra de Boole. Estos postulados y axiomas no son únicos para definir el álgebra de Boole ya que se ha usado otro conjunto de postulados. *El álgebra de Boole es una estructura algebraica definida para un conjunto de elementos B juntamente con dos operadores binarios + y ., de tal forma que se satisfagan los siguientes postulados (Huntington): 1. (a) Conjunto cerrado con respectoal operador +. (b) Conjunto cerrado con respecto al operador .. 2. (a) Un elemento de identidad con respecto a f designado por el 0:rf0:0+x:x. (b) Un elemento de identidad con respecto a . designado por 1: r.1: 1.r: ¡. 3 . ( a ) C o n m u t a t i v o c o n r e s p e c t oa + : x + y : ! * x . (b) Conmutativo con respectoa . i x,y:y.x. (b) * e s d i s t r i b u t i v os o b r e . : r + ( y . z ) : ( x * y ) . ( x - t z ) . 5. Para cada elemento ¡ € B, existe un elementor' € B (llamado el com- p l e m e n t od e ¡ ) t a l q u e : ( a ) x + x ' : 1 V ft) x.x':0. 6. Existen al menos dos elementos r, ye B tales que xty. Al comparar el álgebra de Boole con la aritmética y el álgebra ordina- ria (el de los núme¡os reales) se notan las siguientes diferencias: 1. Los postulados de Huntington no incluyen la ley asociativa. Sin embargo esta ley es válida para el álgebra de Boole y puede dedu- cirse (para muchos operadores) de otros postulados. 2. La ley distributiva de + sobre ., es decir, r+(y.z):(x*y) . (x -l z ) es válida para el álgebra de Boole pero no para el álgebra ordinaria. 3. EI álgebra de Boole no tiene inversos aditivos o multiplicativos y por tanto no hay operaciones de sustracción o división. 4. El postulado 5 define un operador Ilamado complemenúo el cual no está disponible en el álgebra ordinaria. *Ver por ejemplo Birkoff y'Bartee (4),'Capítulo b. ?9
  • 49. - sEc. 2-2 D E F I N I C I O N X I O M A T I C A E L A L G E B R AB O O L E A N A 3 9 A D 5. EI álgebra ordinaria trata con los números reales, Ios cuales cons- tituyen un conjunto infinito de elementos. EI álgebra de Boole trata con los elementos B hasta ahora no definidos pero que se definen a continuación para el álgebra de Boole de dos valores (de mucho interés para el uso ulterior de esta álgebra), B está definido como un conjunto de solamente dos elementos, 0 y 1. El álgebra Boole se asemeja al álgebra ordinaria en algunos aspectos. La escogencia de los símbolos + y . es intencional con el fin de facilitar Ias manipulaciones con álgebra de Boole por parte de personas familiari- zadas con el álgebra ordinaria. Aunque no se puede usar algunos conoci- mientos derivadós del álgebra ordinaria para tratar con álgebra de Boole, el principiante debe ser muy cuidadoso de no sustituir las reglas del ál- gebra ordinaria donde no sean aplicables. Es muy importante distinguir entre los elementos del conjunto de una estrucfura álgebraica y las variables de un sistema algebraico. Por ejemplo, los elementos del campo de los números reales son números -i.ni.ur que las variables tales como a, b, c, etc., usadas en el álgebra ordinaria son símbolos que se establecen para los números reales. Simi- larmente en el álgebra de Boole se definen los elementos de un conjunto B y las variables, tales que x, !, z sean simplemente símbolos que repre- senten los elementos. A estas alturas es importante darse cuenta que para tener una álgebra de Boole se debe demostrar: 1. los elementos del conjunto B, 2. las reglas de operación de los dos operadores binarios, y 3. que el conjunto de elementos B, juntamente con los dos operado- res, satisfaga los seis postulados de Huntington. Se pueden formular muchas álgebras de Boole dependiendo de la es- cogencia de los elementos de B y las reglas de operacióni En el trabajo suÉsiguiente, se tratará solamente con una álgebra de Boole bivalente, es deóir, una con dos elementos. EI álgebra'de Boole bivalente tiene apli- caciones en Ia teoría de conjuntos (el álgebra de enseñanza) y en la lógica de proposiciones. El interés en este libro es en la aplicación del álgebra de Boole a los circuitos con compuertas' Algebra booleana bivalente Una álgebra de Boole bivalente se define sobre un conjunto de dos ele- mentos B: I 0, 1f , con reglas para los operadores binarios * y de Ia manera como se muestra en las siguientes tablas de operador. (La regla para el operador complemento es para verificación del postulado 5): Estas reglas son exactamente las mismas que las operaciones AND, OR y NOT respectivamente y que se han definido en la Tabla 1-6. Se debe demos- oVer por (7), o Birkhoff y Bartee (4) ejemplo, Hohn (6) Whitesitt j ñ
  • 50. r 40 A L G E E R A E B O O L EY C O M P U E R T A S O G T C A S D L C A P .2 0 0 0 0 I 0 I I trar que los postuladosHuntington son válidos para el conjunto B: | 0, 1l y para los dos operadoresbinarios definidos anteriormente. r. Et conjunto cercadoes obvio a partir de las tablas ya que er resul- t a d o d e c a d ao p e r a c i ó n s 1 ó 0 y 1 , 0 € . B . e 2. De las tablas se observaque: (a)0+0:0 0+l:l*0=l (b)l.l:l l'0:0'l:0 lo cual establece dos elementosde identidad 0 para f los y 1 para . de la manera como se definen en el postulado2. 3. Las leyes conmutatíuasson obvias de la simetría de las tablas de los operadoresbinarios. 4. (a) La ley distributiua x. (y * z) : (x.y ) * (¡. z ), puede dernos- trarse que es verdadera de las tablas del operador,al formar la tabla de verdad de todos los valores posibles de x, y y z. Para cada combinaciónse puede de¡ivar x.(y*e) y demos- trar que esevalor es el mismo que (¡.y) + (x.z). rYz y+z x'(y + z) x'y x'z (x.y) + (x. z) 000 0 0 0 0 0 001 I 0 0 0 0 010 I 0 0 U 0 0l I I 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 l0l I I 0 I l ll0 I I I 0 I lll I l I I I ( b ) La ley dístributiua de + sobre . puede demostrarseque es verdadera,mediante una tabla de verdad similar a la descrita anteriormente. 5 . D e Ia tabla de complementosse puede demostrar fácilmente que: (4, f +f':1, y a q u e0 * 0 ' : 0 + 1:1 y 1+ 1':1*0:1 (b) Í.x':0, ya que 0.0':0.1:0 y 1.1,:1.0:0 lo cual veri_ fica el postulado5.
  • 51. i s E c .2 - 3 T E O R E M A S A S I C O S P R O P I E D A D ED E L A L G E B R AB O O L E A N A 4 1 B Y S 6. El postulado 6 se satisface, ya que el álgebra bivalente tiene dos e l e m e n t o sd i s t i n t o s 1 y 0 c o n 1 1 0 . Se ha establecidouna álgebra de Boole bivalente que tiene un conjun- to de dos elementos 1 y 0, dos operadores binarios con reglas de operación equivalentes a las operaciones AND y OR y el operador complemento equiva- lente al operador NOT. Así, el álgebra de Boole ha sido definida de una ma- nera matemática formal y se ha demostrado que es equivalente a la lógica binaria representada heurísticamente en la Sección 1-8. La representación heurística es una ayuda para entender la aplicación del álgebra de Boole a los circuitos tipo compuertas. La representación formal es necesaria para desarrollar los teoremas y propiedades del sistema algebraico. El álgebra de Boole bivalente definida en esta sección, es llamada por los ingenieros quot;ál- gebra de conmutaciónquot;. Para darle énfasis a la similitud que hay entre el álgebra de Boole bivalente y otros sistemas binarios, se Ie ha llamado quot;lógi- ca binariaquot; en la Sección 1-8. De aquí en adelante se omitirá el adjetivo bi- valente del álgebra de Boole en las discusiones subsiguientes. 2-3 TEOREMAS ASICOS PROPIEDADES B Y DELALGEBRA OOLEANA B Duaidad l Los postulados Huntingtonhan sido listadosen paresy repartidos de en parte (a) y parte (b). Una parte puede obtenersede otra si los operadores binarios y los elementos de identidad son intercambiables.Este princi- pio importante del álgebra de Boole se llama el princípio de dualídad. Este último establece que las expresionesalgebraicasdeducidas de los postulados del álgebra de Boole permanecenválidos si se intercambian y los operadores elementosde identidad. En el álgebrade Boole bivalente, los elementosde identidad y los elementosdel conjunto B son los mismos: 1y 0. EI principio de dualidad tiene muchasaplicaciones. se desea Si una expresiónalgebraicadual, se intercambia simplementelos operadores OR y AND y se remplazaunos por cerosy cerospor unos. Teoremas básicos En la Tabla 2-1 se listan los seis teoremasdel álgebra de Boole y cuatro de sus postulados.La notación se simplifica omitiendo el toda vez que no cause confusión. Los teoremasy postuladoslistados son las relaciones más básicasen el álgebrade Boole. Se advierte al lector que debe familia- rizarse con ellas tan pronto como pueda. Tanto los teoremascomo los pos- tulados se listan en paresy cada relación es dual con la que está apareada. Los postuladosson axiomas básicos de la extructura algebraicay no ne- cesitan prueba. Los teoremas deben probarsea partir de los postulados. Las pruebas de los teoremas con una variable se presentan a continua- ción. En la parte derecha se lista el número del postulado que justifica l cada paso de la prueba.
  • 52. Tabla 2-l Postulados y teoremas del álgebra de Boole Postulado2 (a)x*0=x ( b )x ' l : x Postulado5 (a)x+x':l (b) x'x' = 0 Teorema I (a)x4'x:x (b)x.x = x Teorema 2 (a)x+l:l (b)x'0:0 Teorema3, involución (x')' : x Postulado3, conmutativo(a) x * y : y * x (b) xy : yx Teorema4, asociativo (a) x + (y + z): (x + y)+ z (b) x(yz): (xy)z Postulado4, distributivo (a) x(y i z¡:' xy i xz (b)x+yz:(x+y)(x+z) Teorema 5, DeMorgan (a) (x + y), : xiy, , Teorema 6, absorción O) (rv)' = x' * /' (a) x + A : x (b) x(r + y): x TEOREMA l(a): ¡ * x: x. x+x:(x*x).1 del postulado:2(b) : (x + x)(-r * x,) 5(a) :x*xx, 4(b) :x*0 -x 5(b) 2(a) TEOREMA l(b): ¡. r: .,r. x-x:xx*0 del postulado:2(a) :xx+xx' 50) : x(x * x') 4{a) : x. l 5(a) :x 20) -Nóteseque el teorema1(b) es el dual del teorema1(a) y que cada pa_ so de la prueba en parre (b) es el dual de la parte a;J.-¿;quot;lq;ier teoreiia dual puede derivarsesimilarmente de la prueba de u.r'pur-.ár.quot;rpondiente. TEOREMA 2(a: x + 1: 1. x*l:l'(-r+l) del postulado:2(b) : (x + x')(x + l) 5(a) :x*x'.1 (b) : x'* x' 2(b) :l 5(a) TEOREMA 2(b): ¡.0: 0 por dualidad. TEOREMA 3. (Í )' : x.. Del postulado5, se tiene ¡ :0, io cual define el complementó r. I x, : I y x. x, de Er c'omplu-quot;quot;tá áu ,, ., , y también (¡')quot; Así comoel complemento único t*atquot;-quot;r es que (r,),: x. quot;. 42
  • 53. s E c .2 - 3 T E O R E M A S A S I C O S P R O P I E D A D ED E L A L G E B R AB O O L E A N A 43 B Y S Los teoremas que comprenden dos o tres variables pueden ser probados algebraicamenté los postuladosy de los teoremasya probados.Tómese de por ejemplo el teorema de absorción. TEOREMA 6(a): ¡ i xY: x. x * xy : x' I I xY del Postulado2(b) : x(l * y) del Postulado4(a) : x(Y + l) del Postulado3(a) : x. I del teorema2(a) - x del postulado 2(b) TEOREMA 6(b): ¡(¡ *l') ::r por dualidad' Los teoremas del álgebra de Boole pueden demostrarsepor medio de las tablas de verdad. En estas tablas, ambos lados de la relación se com- prueban para arrojar resultados idénticos para todas las combinaciones posibles áe los variables integrantes. La siguiente tabla de verdad verifi- ca el primer teorema de absorción. xy x+ xy 0 0 0 0 I 0 I 0 0 I I I Las pruebas algebraicas de la ley asociativa y del teorema de De Morgan son largas y no se dará una prueba de ellas. Sin embargo, su validez es fácilmente demostrable mediánte las tablas de verdad. Por ejemplo, la tabla de verdad para el p r i m e r t e o r e m a d e D e M o r g a n ( r * J ) ' : ¡ ' y ' s e muestra a continuación: x+y (x + v)' x'y I I 0 0 0 0 0 0 P r i o r i d a dd e l o P e r a d o r La prioridad del operadorpara la evaluaciónde las expresiones Boole es de (1) él paréntesis,(l) NoT, (3) AND y (4) OR. En otras palabraslas expresio- nes déntro de un paréntesis deben ser evalUadasantes de otras operacio- nes. La siguiente óperaciónen orden prioritario es el complemento,luego sigue la AÑn y finálmente la OR. Como ejemplo, considérese tabla de la uquot;.dud del teorema de De Morgan. El lado izquierdo de la expresión es
  • 54. 44 A L G E B R A E B O O L EY C O M P U E R T A S O G I C A S D L CAP. 2 (r-1--r )'. Así, la expresión dentro del paréntesis es evaluada primero y luego se complementa el resultado. El lado derecho de Ia expresión es ¡'-r''. Por tanto. el complemento de r y el complemento de ¡ se evalúan primero y el resultado se somete a una operación AND. Nótese que en la aritmética se tiene en cuenta la misma prioridad (excepto para ei comple- mento) cuando la multiplicación y la suma se remplazan por AND y OR respectivamente. Diagrama de Venn Una figura útil que puede ser usada para visualizar las relaciones entre las variables del álgebra de Boole es el diagrama de Venn. Este diagrama consiste en un rectángulo tal como el que se muestra en la Figura 2-1, en el cual se dibujan círculos traslapados para cada una de Ias variables. Cada círculo es designado por una variable. Se asignan todos los puntos dentro del círculo como pertenecientes a dichas variables y todos ios puntos por fuera del círculo como no pertenecientes a Ia variable. .Tóme- se por ejemplo el círculo designado r. Si estamos dentro del círculo, se dice que ¡:1 y cuando estamos fuera de él se dice que r:0. Ahora bien, con dos círculos traslapados se forman cuatro áreas distintas dentro del r e c t á n g u l o : e l á r e a q u e n o p e r t e n e c en i a ¡ n i a y ( x ' y ' ) , e l á r e a d e n t r o d e l círculo y pero por fuera de r (r',r'), el área dentro del círculo y pero por fuera de -v (rJ') y el área dentro de ambos círculos (ry). Los diagramas de Venn se usan para demostrar los postulados del álgebra de Boole y para demostrar la validez de los teoremas. La Figura 2-2, por ejemplo, muestra que el área que pertenece a :r1' está dentro del círculo r y por tanto ¡*¡-r':.r. La Figura 2-3 ilustra la ley distributiva r (y + zl: xy f rz. En este diagrama se tienen tres círculos traslapados para cada una de las variables-r, J'y z. Es posible distinguir ocho áreas diferentes en el diagrama de Venn de tres variables. Para este ejemplo en particular, se demuestra la le¡' distributiva al notar que el área de Figura 2-1 Diagrama de Venn de dos variables Figura 2-2 liustración del diagrama de Venn x: ry + r
  • 55. .r r--->l'-- . I f f a t+ 1 l:, :li;tl I #./ FZ{ l _/- .¡ (.r' ¡) Figura2-3IlustracióndeldiagramadeVennparalaleydistributiva intersección entre el círculo f con el área que contiene y ó 2 es la misma área que pertenece a x)' o rz' 2-4 FUNCIONES OOLEANAS B es una una variablebinaria puedetomar el valor 0 ó 1. una función de Boole formada cán variables binarias, dos operadoresbinarios OR y quot;.p.ñ¿quot; operadorNOT, el paréntesis el signo igual' Para un valor dado de AÑD, el y- -Consid¿resé .ruriquot;útquot;r,'la función p-tquot;áquot;'tquot;t 0 ó 1. por ejemplo la función de Boole: Ft: xvz' Ft:0' L a f u n c i ó nF , e s i g u a la 1 s i r : 1 y y : 1 y z ' : l ; d e o t r a m a n e r a Et e;emplo anterio'r es una función de Boole representada como una ex- por me- p.u.iór, algebraica.Una función de Boole puede ser representada dlo dquot; .rná tquot;blu de verdad. Para hacerlo se ttecesita una lista de 2quot; y column^a combinaciones r.ro, y ceros de las n variables binarias una- de -ártrquot;'¿o las combinquot;quot;ionquot;, para las cuales la función es igual a 1 ó 0' Como se muestra en la Tabia 2-2 existen ocho posibles combinaciones diferente, para asignar bits en las tres variables. La columna demarcada La Tabla F1 contiene un 0 ó-u.r l para cada uxa de estas combinaciones. -- mlestra que la función i, es igual a 1 solamente cuando x: !, y I i ):0. Para cualquierotra'combilnación F' :0' (Nóteseque la afirmación z' :1 es equivalenie a decir que z : 0.) Considérese siguiente función:la Fz: x * )quot;2 x : 1 e n l a sú l t i - F z : l s i ¡ : 1 ó s i ! : 0 , m i e n t a s - e : 1 ' 8 quot; l a T a b l a2 - 2 , mas cuatro filas y ít:Ot en las filas 001 y 191'La última combinaciónse para hacer Fr:1. u¡iquot;u también páíu-r: i. Aquot;i, hay cinco óombinaciones io-o tercer ejemplo, considérese función: la Ft: x'Y'z + x'Yz + xY' Fn es lo Esto se muestra en la Tabl a 2-2 con cuatro unos y cuatro ceros. mismo que F3 y se consideraa continuación: 45
  • 56. Tabla 2-2 Tablas de verdad para F, : ry2,, Fz: x * y,z, Ft: x'y,z * x,yz * A,, ! Fa: ry,+ x,z Fl F2 F3 F4 000 00 00 001 0l ll 010 00 00 0ll 00 100 0l r0l 0l ll0 ll 00 lll 0l 00 cualquier función ^deBoole puede ser representada verdad. El número de filas en la tabla es de 2quot; por una tabla de donde n es el número de variables binarias de Ia función. Las combinacio.res pueden obtener fácilmente para cada fila de unos y ceros se de los n,imerosbi.rario. contan- do desde0 a2quot; - 1. para cada fira de la tabra, hay un valor para la función igual a 1 ó 0' se formula ahora la pregun_ta: íHuv equot;f.esio' algebraica única para una función de Boole^ dáa? nquot; quot;quot;upulutrur, ¿Es posibre encontrar dos expresiones quot;t.quot;, algebraicaspara especificarla misma función? L.a respuestapara estas preguntas es sí. De hecho, la manipulación del álgebra de Boole se aprica rirayormenteal proble.nquot; Jquot; éncontrar expre_ siones más simples para ra mlsma función. considéresepor ejernplo la función: Fq: xY'* x'z De la Tabla 2-2 se.encuentra que es idéntica a Fr, ya que ambastie- nen unos y ceros idénticos para cada combinació.t quot;n dó'uJorquot;s de las tres variables binarias. En general, dos funciones de n variables binarias son iguales si ellas tienen el mi.mo uulo. puru todas ras 2^ combinaciones posiblesde las n variables. una función de Boole puede ser trasformada de una expresión alge- braica a.un diagrama lógico óompuestoaquot; realización de las cuatro funciónes introducidas oR y NoT. La quot;o*pquot;quot;rtquot;;lñi;,la anterior en se muestra en la FigurT,2.-4.Los diagramas discusión quot;quot;n lógicos iquot;quot;I,tv.., un circuito para cada va.¡iablepresente ,u forma de complemento. (El ll-I:::quot;r rnversor no es necesariosi se cuenta con el complementodé la uuriquot;bi*) Hay una compuertaAND para cada té¡mino de la y una compuerta oR para combina¡ dos o más términos.-be l;; quot;*prquot;.io., ;iquot;quot;;;;; ouuio que para completar Fo se requieren menos compuertasy quot;i entradas que F3. como $ v Fr son funciones de Boolg igoui;., es más económicollevar a cabo la.forma F, que la fo¡ma Ir. Paü encontrar circuitos más sencillos, se debe conocercómo manipulaquot;rlas funliones de Boole para-obtenerfuncio- nes iguales pero simplificadas_I,o que constituye la iiejo, fbrma de una expresión de Boole, dependede la áplicación pártiquot;rrür.' ñ., esta sección se considerael criterio de minimizacibn de quot;q.ripo. 46
  • 57. f (a) Fr - ,xr-¿ (b) F2 . (c) F3 :x'Y'2. +.r'-): ir)' (d) F4 - xr'* 'r'z Figura 2-4 Ejecución de las funciones de Boole con compuertas M a n ip u l a c i ó na l g e b r a i c a cuando una función de :lJn literal es una variable tildada o no tildada. B o o l e s e e j e c u t a c o n c o m p u e r t a s l ó g i c a s , c a d a l i t e r a l realiza d e l a f u n c i ó n o l e t r a con una il.quot;quot;; entrada u compuertay cada término se- quot;quot;du literales y el número de tér- compuerta. La minimi zación def ,rúmeó de quot;;á menos componentes'No es minos dará como ,quot; ,rltu¿o un circuito con tie- siempre posible *iquot;;;i;;; unl¡o, simultáneamente.Por lo regular se nen disponiblesotros.'itquot;'io'' Por el momento se limitará el criterio de minimización a la -lquot;iÁirquot;.ión de literales. Posteriormente discuti- se 5. EI número de literales en una función rán otros criterios algebraicas' de Boole puede ser minimizado por medio de manipulaciones quot;quot;'.i-óquot;pitquot;lo 47
  • 58. I 48 A I - G E B R A E B O O L EY C O M P U E R T A S O G I C A S D L C A P ,2 Desafortunadamente'o hay regras específicasa seguir que garanticen una respuestafinal. El único método disponible es elquot;p.ocedimiento,,tra_ tar y acortarquot; usando.los.posturados,loi teoremas básicosy cualesquier otros métodos de manipulación que se hagan familiaies- con er uso. Los siguientesejemplosilustran este irocedimiénto. EJEMPI O 2-_t; Simplifiquesela siguiente función de Boole al mínimo número de literáles. l. x * x'y : (x + x,)(x * y) : I . (x + y) : x * y 2. x(x' * y): xx' * ry:0 '- xy : xy 3. x'y'z + x'yz * xy' : x,z(y,+ y) + ry' : x,z * ry, 4. xy * x'z * yz= xy * x,z * yz(x I x,) : xy + x'z * xyz * x,yz : xy(l * z) + x,z(l + y) - xy * x'z 5. (x + y)(x, + z)(y + z): (x + y)(x,* z) por dualidad de la función 4. Las funciones I y 2 son duales entre sí y usan expresiones duales en Ios pasoscoirespondientes. función B muestra la La igualdad de las funciones Fe y Fn tratadas anteriormente. La cuarta demquot;uestia qu. un aumento en el número de lite¡ales, algunas veces,produce ,rrquot; final más simple. La función b no se hittimiza iiiquot;quot;tquot;-*iquot; quot;quot;p=rquot;rión oquot;.Joquot;quot;de deducirse de la dual de los pasosusadospara deducir la función 4. C o m p l e m e n t od e u n a f u n c i ó n El complementode la función F es .tquot; y se obtiene del intercambio de ceros a unos y un.s a ceros en el valor de F. El complemento puede derivarse algehraicamente de una función del teorema de be Morgan. Este par de teoremasestán listados en la Tabla 2-1 para dos variablés. Los teóremas de De-Morgan pueden extendersea tres o más variables. La forma de tres variablbs del primer teorema de De Morgan se deriva a continuación. Los postuladosy los teoremasson aquellos liÁtados en ta fabü z_f. (A+B+C)':(A+X)' hágase B+ C: X : A,X, del teorema5(a) (De Morgan) = A' .(B + C)' sustitúyaseB+ C: X : A, . (8,C,) del teorema5(a) (De Morgan) = A'B'C' del teorema4(b) (asociativo) Los teoremas de De- Morgan para cualquier número de variables se pare- cen al caso de las dos.variabiesy puquot;dquot;rr,a.ri*i.quot; por Justitucionessu- cesivas similares al método usadó én la dórivaci¿n tiecha anteriormente. Estos teo¡emas pueden generalizarsede la siguiente ;;;;quot;,
  • 59. sEc.2-5 F O E M A SC A N O N I C A N O R M A L I Z A D A 4 9 Y (A+B +C+ D+''' +F)':A'B'C'D'-quot;.F' (ABCD''' F)' : A' + B' + C' + D' + quot;' +F' La forma generalizada del teorema de De Morgan expresa que el comp_le- AND y OR mento de una función se obtiene intercambiandolos operadores y complementando cada literal. EJDMPLO 2-2: Encuéntrese el complemento de las funcio- nes F1 : x'yz' + x'y'z Y Fz: x(y'z' *yz' Aplicandoel teoremade De Morgan tantas veces como sea necesariose obtienen los com- plementosde la siguientemanera: Fi : (x'yz' * x'y'z)' : (x'yz')'(x'y'r)' : (x + y' + z)(x + y + z') Fi:lx(y'z'+ y z ) ) ' = x ' + ( y ' t ' + y z ) ': x ' + ( y ' z ' ) ' ' ( y z ) ' = x' + (y + z)(Y' + z') Un procedimiento más sencillo para derivar el complemento de una función es tomando el dual, de una función y complementando cada lite- ral. Este método se deduce del teorema de De Morgan generalizado.Se debe recordar que el dual de cada función se obtiene intercambiandolos operadores AND y OR y los unos y ceros. EJEMPL,2.S..EncontrarelcomplementodelafunciónF1 y Fz del Ejemplo 2-2 tomando los d¡*ales y complementando cada literal. I Ft: x'Yz'+x'Y'2. El dual de F, es (x' * Y * z')(x' * Y' I z). Complemeniando cada literal: (¡ *y' * z)(x *y * z'): FI' 2. Fz: x(Y'z'+Yz). E l d u a l d e F 2 e sx + ( Y ' * z ' ) ( Y * z ) . Complemenlando cadaliteral: r' + (y ¡ z)(l' t z') : Fí' 2.5 F O R M A SC A N O N l C A Y NORMALIZADA Términosmínimos y términos máximos una variable binaria puede aparecer en su forma normal (¡) o en Ia forma de complemento(r'). considéreseahora dos variablesbinarias f y y com- binadas con la operación AND; como cada variable puede aparecerde cual- quier forma, habiá cuatro combinaciones posiblestx'y-', !'1, xl'y ry' Cada úno de estos cuatro términos AND representan una de las diferentes áreas áui¿iquot;gtquot;-a de Venn de la Figura 2-{ y se llaman términos mínimos (min' term) áe un producto normalizado. De igual manera, se _puedencambiar n l,quot;riublquot;. para formar 2quot; términos mínimos. Los 2quot; diferentes térrni- nos mínimos pueden determinarse por un método similar al mostrado en
  • 60. Tabla 2-3 Términos mínimos y máximos para tres variables binarias Términosmínimos Términosmáximos x Y z Término Designación Término Designación 00 0 x'y'z' mo x+y+z Mo 00 I ml x+y+z' Ml 0l 0 x'yz' m2 x+y'+z M2 0l I l7l3 x+y'+z' M3 l0 0 xy'z' m, x'+y+z M4 l0 I m5 x'+y+z' Ms ll 0 m6 x'+y'+z M6 ll I xyz tlt7 x'+y'+z M1 la Tabla 2-3 para tres variables.Los númerosbinariosde 0 a z^ -r se lis- tan bajo las n variables.cada término mínimo seo¡iiene áL un termino AND de n variablescon cada variable tildada, si el bit correspondiente nú_ al mero binario es 0 y si no está tirdada a l. un símbolopára cada término mínimo se ilustra en la tabla en la fbrma de m¡, dondej denota,el equiva_ Iente decimal del número binario der término ií.ri.rro correspondiente. De manera similar, las n va¡iables formandoun término oR, con variable tildada o no tildada, darán 2quot; combinaciones cada posibles llamadas términos máximos (maxterms) de las sumasnormalizados. Los ocho tér_ minos máximos de las tres_variables, conjuntamente con la simbología -i¿.-irros asignada, se listan en ra Tabla 2-3. cuálesquie. iquot; para n variables pueden determinarsede manera similar. cada término máximo se obtiene de un término oR de n variabres ,rquot;iia¡le no tirdada si .el.correspondiente es 0 y tildada .i ;; quot;o., üIiquot;. ;;quot; cada término bit i¡- quot;uáu máximo es el complementode su cor¡espondiente términá mínimo y vice- versa. una función de -Boole puede ser expresadaargebraicamente partir de una tabla de verdad dada, confoi-uquot;ao a un t¿.iii.ro mír,imo por cada combinación de las variables qu. proá.rquot;en -Fo. un 1 en la función para luego obtener la oR de todos ros términb.. ejemplo, l, rrrrrquot;lár,en la Tabla 2-4 se determina expresandolas combinaciones 00rquot;, 100, lrJ. comox,y,z, xy'z',y r y- z respectivamente. como cada uno ¿quot; resultaen /, : 1, se tiene: mínimos quot;.t*?rrninos ft: x'y'z * xy'z'* ryz : m, * mo* m, De manera similar, se puede fácilmente verificar que: . f z : x ' y z* x y ' z* r y 2 , * x y z : m r * m , i mui m, 'Algunos textos definen un término máximo (maxterms) como un término oR de n va- riables con cada variable no tildada si el bit es I y tildada si es 0. La definición adoptada en -runquot;lon., este libroes preferible ya que lleva a conve¡sionesmás no¡malquot;. u.ri.quot; iu. tipo tér- mino máximo y término minimo. 50
  • 61. Tabla 2-4 Funciones de tres variables xy z Funciónft Función/2 0 0 0' 0 0 00 t I 0 010. 0 0 0l I 0 I 100 I 0 i 101 0 I I l0 0 I lll I I Estos ejemplos demuestran una propiedad importante del álgebra de Boole. óuaiquie. función de Boole puede ser expresadacomo una suma de términos mínimos (por quot;sumaquot; se quiere decir la suma oR de los tér- minos). Cánsidérese ahora el complementode una función de Boole. Este pue- de Ieersede una tabla de ueidad formando un término mínimo por cada combinaciónque produce un cero y luego haciendo la función OR de esos términos. El complementode /r se lee así: 'l .fí: *'Y'z' I x'Yz' * x'Yz * xY'z ryz' Si se obtiene el complementode /i se obtiene la función /t: * y * z')(x' 1-y' * z) ft: (x * y * z)(x + y' + z)(x + y' + z')(x' : Mo'Mr'Mt'Ms'Mu De igual manera, es posible leer Ia expresión/2 de la tabla: + + z) f z : G * y * z ) ( x + y + z ' ) ( x* Y ' * z ) x ' Y : MoMlM2Ma Estos ejemplos demuestran una segunda propiedad importante del álge- bra de Boole: cualquier función de Boole puede expresarse como un pro- ducto de términqs máximos (por quot;productoquot; se implica el producto AND de los términos). El procedimiento para obtener el producto de términos máximos directamente de una tabla de verdad se logra de la siguiente manera: fórmese un término máximo para cada combinación de variables que produzcanun 0 en la función y luegoforme la función AND de todos los términos máximos. A las funciones de Boole expresadas como una suma de términos mínimos o producto de términos máximos se les dice que están en forma canónica. S u m a d e t é r m i n o sm i n i m o s Se había dicho antes que para n variables binarias, se pueden-obtener 2' términos mínimos diferentes y que cualquier función de Boole puede 5l
  • 62. 52 A L G E B R AD E B O O L EY C O M P U E R T A S O G I C A S L CAP,2 expresarsecomo una suma de términos mínimos. Los términos mínimos cuya suma define la función de Boole son aquellosque dan el 1 de la fun- ción en una tabla de verdad. como la función prruáquot; ser 1 ó 0 para cada térm^ino-mínimoy -ya que hay 2quot; términos mínimos, se pueden carcular las funciones posiblesque puéden formarse con n variabrés it. ¡r_ gunas veces es convenienteexpresar la función de Boole quot;quot;-o en Ia forma d.e suma de términos mínimos. si no está en esta forma, se puede Ilegar a ella expandiendo primero.la expresióna una suma de términos AND. Luego se inspeccionacada término pára uer si contiene tquot;dquot;. i; variables. Si le hace falta una o más variabreé, aplica la función Áñt;;quot; se una expresión tal como x I x', donde r sea una de las variables fartantes. El siguiente ejemplo aclara este procedimiento. EJEMPLO .2-4: Expresa¡ la función de Boole F : A + B, C como suma de términos mínimos. La función tiene tres variables: A, B y c. como el primer término A no tiene las otras dos va¡ia- bles por tanto: A : A(B + B'): AB + AB, Como la expresión carece de una variable: A:AB(C+C,)+AB,(C+C,) = ABC + ABC' + AB'C + AB,C, El segundotérmino B'c carecetambién de una variable: B'C : B'C(A + A'): AB,C + A'B,C Combinando todos los términos se obtendrá: F: A + B,C : ABC + ABC' + AB'C + AB'C' + AB'C + A'B'C Pero como AB'c aparecedos veces,y de acuerdo al teorema 1 (¡*¡: ¡), es posible quitar uno de óllos. Rearreglando tér- los minos en orden ascendente obtendrá finalmentei se F: A,B,C+ AB,C,+ AB,C + ABC,+ ABC m t + m 4 + m s+ m u * m , Es conveniente algunas veces, expresar la función de Boole cuando está compuestade una suma de términos mínimos por medio de ra siguien- te forma simplificada: F ( A ,B , C ) : ) ( 1 , 4 , 5 , 6 , 7 ) El símbolo de sumatoria I implica los términos a los cuales se les lplica la función OR. Los térm-iios entre paréntesisson los términos míni-
  • 63. s E c .2 - 5 FORMAS CANONICAY NORMALIZADA 53 mos de la función. Las letras entre paréntesisa continuación de la F for- man la lista de las variablesen el orden tomado cuando el término mínimo se convierteen un término AND. Productode términos máx¡mos Cada una de las 22' funciones de n variables binarias pueden expresarse como un producto de términos máximos. Para expresar las funciones de Boole comb un producto de términos máximos se debeprimero llevar a una forma de términos OR. Esto puede lograrse usando la ley distributiva ¡ * yz-- (x*y)(¡ *z) y si hay una variabler faltante en cada término OR se le aplicarrí la función OR conjuntamente con ff'. Este procedimientose clarifica por medio del siguiente ejemplo: EJEMPLO 2-5: Expresar la función de Boole F:xy*x'z como un producto en la forma de términos máximos. Primero con- viértase la función a términos oR usando la ley distributiva: F: xl I x'z : (xy + x')(xy + z) : (x * x')(y + x')(x + z)(y + z) - (x' t yXx + z)(Y + z) La función tiene tres variables:x, y y z. A cada término oR le hace falta una variable, Por tanto: x' + y : x' + y * zz' : (x' * y * z)(x' I Y * z') x + z : x * z * yy' : (x I y -l z)(i + y' + z) y + z : y + z * xx' : (x 4 Y + z)(x' + Y + z) Combinando todos los términos y quitando aquellos que aparez- can más de una vez se obtendrá finalmente: F : (x * y * z)(x + y' + zl(x' -r y * zl(x' * y + z' : MoMzMqMs una forma convenientede expresaresta función es de la siguien- te manera: F(x,y,z): fI(0,2,4,5) El símbolo de producto II denota la aplicación de la función AND a los términos máximos. Los números teptesetttanlos términos máximos de la función. Conversión entre las formas canónicas El complementode una función expresadacomo la suma de términos mí- nimos es igual a la suma de los términos mínimos faltantes de la función orllinat. Equot;stoúltimo es debido a que la función original es expresadapor
  • 64. A L G E B R A E E O O L EY C O M P U E R T A S O G I C A S D L CAP. 2 aquellos términos mínimos que hacen la función igual a r mientras que un complementoes ul 1 para aquellostérminos mínimos en que Ia función es un 0. Como ejemplo considérése función: la F ( A ,B , C ) : X l , 4 , 5 , 6 , 7 ) Esta función tiene un complernentoque puede expresarse así: t F'(A, B, C) : )(0, 2,3) : mn * m, * m, Ahora si se obtiene el complementode F' por el teorema de De Morgan obtendremos una F de manéra diferente: F : (mo I m, * mt)' : m[. mL. m: MoMzM3: fI(0, 2, 3) I La última definición se de¡iva de la definición de los términos mínimos y términos máximos que fig'ran en la Tabra 2-3. De iquot; tquot;¡tu, .ú;; qr; es válida la siguienterelación: quot;. I I ^j: M¡ Esto es, el término máximo con suscrito j es un complemento de un tér- t mino mínimo con el mismo suscritoj y vióeversa. I I , El último ejemplo demuestra Ia óonversiónent¡e una función expre- sada como una suma de términos mínimos a su equivalente to de términos máximos. con- un. arg'umentosimilar se como produc- mostrará que la I conversiónentre el producto de términos máximos y i minos mínimos es similar. Se estableceahora ü **quot; de los tér_ proquot;quot;¿imiento de con- versión general. Para hacer la conversión de quot;quot; rir-quot; i lanónica a otra, intercámbieselos símboros quot;quot;u I v II y lístese que fal_ tan en la forma original. Comñotro ejemplo,la función: quot;ququot;iiá.-ntmeros F(*,y,2): II(0,2,4,5) se.expresa como producto de la forma de términos máximos. su conver_ sión a la suma de términos mínimos será: F(r,y,z): )(1,3,6,7) Nótese que para poder encontrar los términos faltantes, se debe tener en cuenta que el número total de términos mínimos y tr;;i;o. 2n en donde n es el número variable binario en la -función. máximos es Formas normalizadas Las dos formas del álgebra de Boole son formas básicas que se obtienen al leer la función de la tabla de verdad. n.tu. io.-u. ,,iuj ,uru-ente son las que tienen el menor número de literales dquot;tú;-quot;-i; cada término mínimo o término máximo, debe contener por definiciónl Ldos las varia- bles complementadas no. o otra forma de expresar ras funciones de Boole es la forma normariza- do. En esta configuraiión, los términos que forman la función deben con_
  • 65. I LOGICAS 55 OTRAS OPERACIONES s E C .2 - 6 Hay dos tipos de formas tener uno, dos o cualquier número de literales' ,roitnufirquot;¿as: la suma de productosy el producto de sumas' que contiene térmi- La suma de prod,ucto's una expresión de Boole es o más literales cada uno' La nos AND llamados t¿rÁiquot;ot producto.de uno sun-¿a denota la aptiquot;áciáquot; ¿quot;'ru función oR de estostérminos. un ejemplo productos es: á. tr.tu función eipresada en suma de Ft: !' * xy * x'Yz' uno' dos y tres literales Esta expresión tiene tres términos producto de ;J; respectivamente'Su suma es en efecto una operación oR' rquot;^;, p r o d u c t o d . e s u m a s e s u n a e x p r e s i ó n d e B o o l e q u e c o n t i e nnú-é r m i - Jn et puede tener cualquier nos OR, llamados tirÁ¡'iát iquot;io. Cada término mero de literales. ,Át ;;;á;;;; áenota la aplicació1 de 11 función AND a ttt-inos. Un de una expresión en producto de sumas es: quot;.to* quot;j.-pto Fz: x(Y'+ z)(x'* Y * z'* w) y cuatro literales cada La expresióntiene tres términos suma de uno, dos uno. El producto El uso de las palabrasproducto y quot;r'quot;ü quot;pltación-AND. AND y el p-roducto sutna se estableced;idquot; ; la simi¡t,ud de la operación OR con la suma áiitÁ¿t]quot;quot; (multipl'iácián) y la similitud de lá operación aritmética (adición). UnafuncióndeBoolepuedeSerexpresadaenunaformanonormali- zada.Por ejemPlola función: F 3 : ( A B + c D ) ( , q ' n '+ c ' D ' ) cambiarse a una no es ni surna de productos ni producto de sumas' Puede forma normalizadr';;;á; la ley distributiva para quitar el parentesis: Ft: A'B'CD + ABC'D' 2-6 OTRAS OPERACIONES OGICAS L cuando los operadores binarios AND y oR se colocan entre las dos variables y !+y'respectivamente' t y y, ellas iorman las funcionesde Poole x'y é.'quot;quot;.iubt..ió previarnente que hay 22' funciones de n variables binarias' para dos variables,'i-Z númeio de funcionesde Boole posiblese-s^16' p.riquot;quot;tquot; las funciones AND quot;l' y OR son solamente dos del total de las 16 fun- ;ilrquot;;; posibles for-udu. do, variables primarias. Sería muy instruc- quot;o., 14 funciones e investigar sus,propiedades' tivo encontrar las otras Las tablas dquot; ;; i;t- i6 f,r.tquot;iottquot;squot;formadásóon dos variables quot;;;á;d binarias x y !,.quot; ri.fquot;quot; la Tabla 2-5. En esta tabla, cada una de las 16 po- quot;quot; columnas Fo a F,r-iquot;prr..quot;tan una tabla de verdad de una función las funcionesse de- sible para las dos uquot;rüb1quot;quot; dadas x y y'Nótese.que que pueden ser asig- terminan a partir d; l;. 16 combinaóiottquot;. binarias, símbolooperador' nadas a F. Algunas de las funcionesse muestran con un pói ejquot;-plo, F, .upr*enta la tabla de verdad para una AND y Ft represen-
  • 66. I Tabla 2-5 Tablas de verdad para las 16 funciones de dos variables binarias Y v Fo Ft F2 F3 F4 F5 F6 F7 Fs Fs Fto F,, F,z F,¡ Ft. F,, 00 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I I I I 0l 0 0 0 0 I I t I I I 0 0 0 0 I l0 0 0 I I I I I 0 0 I I 0 0 I I ll 0 I 0 0 I I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I Símbolo operador o + ú c f I ta la tabla de verdad para la oR. Los símbolos operadorespara estas fun_ cionesson (.) y (*) iespectiva-quot;.ri* Las 16 funciones lisiadas Luu.de verdad pueden ser expresa- das algebraicamente.pormedio quot;*u expresio.ru. de aquot;- go;lJ]'n.to se puede ver en la primera columna ae la rabiá 2-6. Las expresiones Boole de tadas están simplificada. lis_ -iquot;iÁJquot;.r?,...o de rite¡ares. quot;t Aunque cada función puede .quot;, res de Boole AND, oR v ñot, en t¿rminou de ros operado- quot;rpquot;quot;.quot;dapara operadores especiales para expresa¡ no poder asignar símboros quot;;-itü;;quot;ón otras las operadoresse listan funciones. Tales símbolos tquot; .quot;guiráu ¿quot; rquot; iquot;¡lquot;l_0. quot;rt quot;ol-ürru si., embargo, Tabla 2-G Expresionesde Boole para 16 funciones de dos variables Funcionesde Boole Símbolo Nombre Comentarios operador Fo:0 Nulo Constante Ft=x! binaria 0 x.y AND Fz = xy' ryy x/v Inhibición r pero noy Ft: * Trasferencia x F¿ = x'Y y/, Inhibición y pefo no ¡ Fs: / Trasferencia F6= xy'+ x'y v x@y OR-exclusiva F 1: x I y r óy perono ambas x+y OR Fr: (x + y)' xóy xIv NOR Fg= xy * x'y' No-OR xoy Equivalencia* Frc: /' r igual ay v' Complemento Noy Ftt=x1y, x Cl Implicación Siy entonces.r F,, : ,, x' Complemento No¡ Fn:x'*y x)l Implicación Si r entoncesy Ftq: (ry)' xlv NAND No-AND 4s=l Identidad Constante binaria 1 *Equiualenciaesconocidatambiéncomoigualdad,Ñ. 56
  • 67. LOGICAS 57 OTRAS OPERACIONES sEc.2-6 oR- todos los símbolos nuevosimostrados, con excepción d9J símbolo de la por parte de los.diseñadores digitales' exclusiva O, no.ott á. uso común su correspon- Cada una de las funcionesen la Tabla 2-6 se lista con diente nombre V .otquot;quot;quot;lquot;tio que explica su función de forma simple. Las io n listadas pueden subdividirse en tres categoias: quot;quot;ioquot;quot;s 1. Dos funcionesque producen una constante0 ó 1' 2. Cuatro funciones con operaciones unarias de complementoy tras- ferencia. 3. Diez funciones con operadoresbinarios que definen ocho operacio- nes diferentesAND, ÓR, NINO, NOR, OR-exclusiva,equivalencia, inhibición e imPlicación. cualquier función puede ser igual a una constante,pero una función pro- binaria püede ser igual solamente a-1 ó 0. La función complemento 'complemenio áquot;.quot; de cada una de las variables. A Ia función que es y.a rgquot;;l quot;f lá váriable de entrada se le ha dado el nombre de trasferencia ; dquot;quot; tquot; variable x ó y es trasferida_ través de compuertas que forman- la a flnción sin cambiar su valor. De los ocho operadores binarios, dos (inhi- trición e implicación) son usadospor los logistas,perofnuyfara vez se usan en lógica dL computadores.Los óperadoresAND y OR se-han mencionado conjuirtamente con el álgebra de Boole. Las otras cuatro funciones se usan mucho en el diseño de sistemas digitales. La función NOR es el complemento de la función oR y su nornbre es una contracción de not-OR. De manera similar, NAND es el complemento de AND y es una contracción de noü-AND. La OR-exclusiva, abreviado yy XOR ó EbR es similar al OR pero excluye la combinaciónde ambos x igoquot;l u 1. La equivalencia es una función que es l,cuando las dos variables .;;igquot;quot;I.., es'decir, cuando ambas son cero o ambas son 1. La OR-exclu- ;i;;; la ¡quot;nción de equivalencia son complelrentarias entre sí. Esto puede ser v-erificadofácilmente al inspeccionar ia Tabla 2-5. La tabla de verdad pá.u tu OR-exclusiva es Fo y paf la equivalencia-es Fn y estas dos fun- iio.rquot;, se complementan Por está razón la función de equivalencia se -- quot;ti.ó quot;i. llama a menudo NoR-exclusiva, es decir oR-exclusiva NOT. ñiárgquot;bra de Boole tal como se ha definido en la Sección2-2, tiene dos operadore-s binarios que nosotros hemos llamado AND y OR y el operador unario NOT (complemento). De las definiciones, se ha deducido un número de propiedades dó estos operadoresy se han definido ahora otros op€ra- dores binarios en términos de los primeros. No hay nada especiquot;l -u:T..quot; d.t ( este procedimiento. se hubiera podido comenzar con el operador NOK i )' por ejemplo, para posteriormentl definir AND, OR y NOT en términos del iti-üto.'Nó ob.tquot;trtquot;, estas son buenas razones para introducir el álgebra y quot;lo-tquot; de BOOIede la fOrma que se ha hecho. LOs Conceptosquot;a.ndquot;, quot;orquot; son familiares y la genie los usa día a día para expres_arideas lógicalr 49quot;- ;Á, lo. postuiadosie Huntington reflejan la naturaleza doble del álgebra haciendo-énfasisen la simetría de * Y ' entre sí'
  • 68. 2-7 C O M P U E R T A SL O G I C A S D I G I T A L E S como las funcionesde Boole se expresanen términos de operaciones AND, oR y Nor, es más fácil llevar a cabo una función de Boole con esre tipó de compuertas.La posibilidad de construir compuertaspara las otras ope- raciones lógicas es de interés práctico. Los factoresque van a ser valori- zados cuando se considera la construcción de otros iipos de compuertas Iógicas son (1) la factibilidad y economíade producir la compuerra con compuertasfísicas, (2) la posibilidad de expandir Ia compuerta a más de dos entradas, (3) las propiedades básicas del operadorbinario tales como conmutatividad y asociatividad y (a) la habilidad de la compuerra para Ilevar a cabo las funcionesde Boole por sí solaso conjuntamentecon otras. De las 16 funciones definidas en la Tabra 2-6, dos son iguales a una constante y las otras cuatro se repiten dos veces.euedan solamentediez funciones para ser consideradascomo candidatas pu.u lógi- cas. Dos de ellas, la inhibición e implicación no son conmutativaso a*- quot;o.rrp.rertas ciativas y por tanto imprácticas de usar como compuertaslógicas norma- lizadas;Las ot¡as ocho:complemento, trasferencia,AñD, OR, ñAND, NOR, oR-exclusiva y- equivalenciase usan como compuertasnormalizadár pquot;rá el diseño digital. Los símbolos gráficos y las tablas de verdad de las ocho compuertas se muestran en la Figura 2-5. Cada compuerta tiene una o dos entradas variables designadascomo r y y y una variable de salida binaria desig- nada como F. Los circuitos AND, oR e inversorfueron definidosen la Figü- ra 1-6. El circuito inversor invierte el sentido lógico de una variable binaiia y producela función NoT o complemento.El círculo pequeño la salida del a símbolo gráfico de un inversor implica un complemuntotagiquot;o. El símbolo triángulo designa para sí solo un circuito sepárador(buffér). un circuito separador produce la función de trasferenoa pero no produce ninguna operaciónlógica particular ya que el valor binario de la salida es iguál al valor binario de la entrada. Este circuito se usa solamentepara amplifi- cación Ce señal de potencia y es equivalentea dos inversoresconectatlos en cascada. La función NAND es el complemento la función AND tal comose in- de dica por el símbolo gráfico que cons.iste un símbolo gráfico AND seguido en de un pequeño círculo. La función NoR es el complemquot;ito dquot; la funciói oR y ylq un símbolo gráfico oR seguidode un pequeñocírculo. Las compuertas NAND y NoR se usan mucho como compueriaslógicas normalizadasy de hecho son más popularesgy9_!ascomp.,eria. AND toR. Ello se debe a que las compuertasNAND y NoR puedenconstruirsefácilmente con transisto- res y ademásporque las funciones de Boole pueden llevarse a cabo fácilmen- te con ellas. La compuerta oR-exclusiva tiene un símbolo gráfico similar al de la compuerta oR excepto por una línea curva adicional del lado de la entrada. La equivalenciao compuerta NoR-exclusiva es el complementode la oR- exclusiva de la manera como indica un pequeñocírculo áel lado de la salida del símbolo gráfico. 58
  • 69. Nombre Símbolo Función Tabla de gráfico algebraica verdad x-----ñ 00 0 AND | )-F F:x./ 0l 0 v -------l-/ l0 0 ll I 0 OR i--1- ' F:x*v '| 0 I 'l F .Inversor quot; ->- F F:x', 0lt ll0 Separador ' --)-. F:x x-----ñ. NAND I F_-F F:(xy)' )'-----l-/ ¡ =-ñ. 00 I NOR I >--F F:(x+y)' 0l 0 , -----1-/ l0 0 ll 0 x --1]- F: ry' I x'/ 00 0 oR-exclusiv¿ F 0l I (xoR) v-+l-/ :x@Y l0 I ll 0 ri x NoR-exclusiva F : ry + x'y' o Jf_. ' :xoy y---lLJ- equivalencia Figura 2-5 Compuertas lógicas digitales 59
  • 70. 60 A L G E B R AO E B O O L EY C O M P U E R T A SO G I C A S L CAP.2 E x p a n s i ó na e n t r a d a s m ú l t i p l e s Las compuertasmostradas. la Figura 2-b a excepcióndel inversor en -una y el sepa-radorpueden expandirse más de dos entradas. -binaria quot; puede expandirsea múltiples entradas si la operaci¿n quot;o-puárü que repre_ senta es conmutativa y asociativa.Las operaciones AND y oR dehnidasen el álgebra de Boole tienen estas dos própiedades. pa¡a ia función oR se tiene: **y:y+x conmutativo y (x + y) * z: , + (y * z): x * y * z asociativo lo cual.indi_cgque las compuertasde entrada puedenintercambiarsey que la función OR puedeextenderse tres o más variables. a Las funcionesNAND y NoR son conmutativasy sus compuertaspue- den expandirse para más de dos entradas si se tiene en cuenta que la ope- ración se modifica un poco. La dificultad es que iquot;.-quot;párquot;aquot;rquot;quot; N¡ñií v NOR no son asociativos,es decir, (r t g J l)-* ll;i-;;, como se ve a continuación: (xly)It:f (quot; + y), + ,f,: ( x r y ) 2 , : x z ,+ y z , xl}!z):1quot; + (y + ,),1,= x,(t * z): x,y r x,z Para vencer esta dificultad, se define u.na compuerta NoR múltiple (ó NAND) comouna oR complementada AND). equot;i, poi Jquot;rirriquot;io'se (ó tiene: xlyl,z:(xty*z)' xlylz : (ry2)' Los..símbolosgráficos.de las compuertas de tres entradas se muestran en la Figura 2-7. Al esc¡ibir operaciones con NoRv NÁño tener en cuenta el co¡recto rso del paréntesis pu.quot; i-piitrr se debe quot;quot;larcada la secuencia adecuadade las compuertas. para demostrar lo anterior considéreseel ci¡- l . rl y ) I r : ( x * , r , ) z , Figura 2-6 Demostración de la no asociatividad del operador NO_O; (xtry)l,z x(y!z) +
  • 71. I '____ñ. x--ñ I ___- (.r r r, *:) I --{ p- (.r.r'z)' )o_ z ---L_./ z -----l-./ (a) CompuertaNOR de tres entradas (b) CompuertaNAND de tres entradas A B C -- F = |(ABC)' ' (DE)'l' ABC + DE (c) Compuertas NAND en cascada y compuertas NAND Figura 2-7 Compuertas NOR en cascada y de multi-entrada debeescribir- cuito de la Figura 2-7(c).La función de Boole para el circuito SE ASí: : F :I(A B C )'(D E )'f' ABC+ DE Esta mues- La segundaexpresión se obtiene del teorema de De Morgan' tru q.,1 se puede ,quot;ilii^, una expresión en suma de productos por medio las compuertas de co*prrertas NAND. Posteriormente se tratará sobre NAND v NOn en las Secciones 3-6,4-7y 4-8' Las compuertasQR-exclusiva y de equivalencia- son ambas conmuta- tivas y asociativquot;. y' prr-aen extánderse a más de dos entradas' Sin comunes las compuettquot;i OR-quot;*clusiva de multientrada no son quot;-¡urÉo punt' Oquot; desde el de-ior ciicuitos. En efecto, aun una función de dos entradquot;. ,quot; .r..rut*ente con otro tipo de compuertas' Así' quot;i.ü -íunciones la definició., aquot; quot;orrquot;i.rryquot; debe modificarse cuando se expande a quot;quot;iu. La función oR-exclusiva es impar, es decir, es igual más de dos variables. impar de unos' La fun- a 1 si las variabler-dquot; áquot;1.quot;¿a tienen un número va- en una función por' es decir' es -igual a 1 si las quot;quivalencia quot;i¿n-¿quot; de entrada tienen un número riables par de ceros' La construcción de F=Yoy@z 0 00 0 0 0l I (a) Usando compuertas de dos entrad¿ 0 l0 I 0 tl 0 --t{-. 00 I quot; ____# .t ---H-/ >- t' = Y +.1'+ : 0l 0 z l0 0 ll I (b) Una compue¡tade tres entradas (c) Tabla de verdad Figura 2-8 Compuerta OR-exclusiva de tres ent¡adas 6l
  • 72. A L G E B R AD E E O O L EY C O M P U E R T A SO G I C A S L CAP.2 una función oR-exclusiva de t¡es entradas se muestra en la Figura 2_g. Esto último se realiza normalmquot;.,Ja-'quot;orrquot;quot;tando en cascada compuertas de dos entradas como se muestra en (a). Cr¿n.urnquot;.rt., se puede repre_ sentar con una sola compuerta de tres entradas como se irústra Gi . La tabla de verdad en (cj indica qquot;. ü,quot;iiáá F es igual a 1 quot;; quot;ruru,'uniquot; si solamenteuna entracraes igual a 1 o si todas las entrádas son igual a 1, es decir, cuando el número total de unos de las variables de entrada es impar' una ulterior discusión .ob.e el on-quot;*r*i;;-i;'quot;qrivalencia se verán en la Sección4-9. 2-8 F A M I L I A SD E C I R C U I T O S N T E G R A D O S I L O G I C OD I G I T A L E S El circuito integrado se introdujo en la Sección 1-g, donde se dijo que los circuitos digitales se construíán invariablemquot;r,tquot;'* dos. Después de haber tratado varias compuertas integra_ quot;i.cuitos lógicas digitales en la sección. anterior, se está en posición de presentar las compuertasde cir_ cuitos integradosy de_discuti, ..r. propiedades gquot;quot;quot;*1quot;..-' . Las compuertas digitares de .irquot;,rito. iquot;tquot;l.uáo.- rquot; clasifican no solamentepor su opu.ación lógica, sino por ra faniiria áe lógicos, específicos la cual pertenecén. cada familia a tiene un quot;lrquot;rrito, electró_ circuito nico básico propio, médiante el cual se desarrollan ru.rcio.res circuitos y digitales- más complelos,El circuito beri.o en cada puerta NAND ó una NoR. Las compuertas famiria es o una com- elect¡ó.riquot;u. ,r.ádquot;s en la cons- trucción de circuitos básicos-seusan para determinar el nombre de la fami- lia lógica. Hav muchas familias ió;ü;dquot; circuitos integradosdigitalesque han sido introducidos comercialménte. Aquelras que han alcanzadobuena popularidadse listan a continuación. TTL Lógica de transistores (transistor-transistor logic) ECL Lógica de acoplamiento de emisor (emitter-coupled logic) MOS Semiconductorde óxido de metal (metal-oxide semicon- ductor) cMos semiconductorde óxido de metal complementario (com- plementary metal_oxide semiconductor) I:L Lógica de inyección integrada (integrated_injection logic) La TTL tiene una lista extensa de funciones mente la familia lógica más popular. La digitales y es común- ECL .; ;.;-quot;quot;;-sistemas que re_ qureren operaciones alta velocidad. de quot;rquot; Lo. Mós;l;i urquot;r, en cir_ cuitos que requieren alta densidad de componentesy la CMOS se usa para_s-lstemas requierenbajo que consumo de poder- quot; El análisis de ros circuitos erequot;t.ár,icos ¡¿Jicos- cada familia rógica en se representaen el Capítulo 13. El lector que está familiarizado con elec_ trónica básica puede róferirse.at capiiutquot; it con er fin de familiarizarru con estos circuito. quot;;;;;;;;;,se limitará Aquí la discu_ quot;iici.¿nicos.
  • 73. s E C .2 - 8 siónalaspropiedadesgenerales'delasdiferentescompuertasencrrcul. ;;:'iquot;tquot; g;quot;dfs disponibles comercialmente' los tran- LOGICO IGITALES 63 F A M I L I A SD E C I R C U I T O SN T E G R A D O S I D l Debido u ru urtu'áJquot;tiá;e con l1 qü. puedatt:quot;t -f1b-tl:udos sistores con MOS ; I;il;t;. dg: fuyiliás se usan principalmente^-nllf en las funciones LSL Las ;;;'t; i;milias TTL, BCL v 9y9S se usan com- d. .o.npnertasMSI v. SSI. Las compuertas y quot;;';; ;;;'ñ;o LSI pequeñode compuer- puertas SSI son uqquot;quot;ffquot;t'qquot;e contienen un número de circuito .r, Ia Sección 6-2) en una pastilla tas o flip_flops (preJe-nlquot;áu. sSI es el de_circuitosen un componente integrado. El límite'áJ*--.ro por ejemplo' Una nquot;ttiflquot; qquot; t1 tllt'llquot;s' número de patillas de la pastilla' una' ya puede alojar solamente cuatro tornpttquot;ttquot;t de dos entradas cada 3 patiila^sexternas: dos para entradas v una que cada compuquot;tti ;;t;tit; patillas restantes para la salida,.pquot;; á;;;; totai de 1.2patillas' Las dos potencia a los circuitos' se usan para el 'u-i]litt'o de 2-9' Cada circuito Algunos SSI se muestran eT la Figura quot;i,cquot;iiot pa*tillquot; d9 f,a o 16 pati[as' Las patillas se nu- está encapsrrluao cone- quot;'iquot;quot;'iu at la pastilia y se especifican las nteran a lo largo d; bt*¿5; üáát áibquot;:udas áentro del circuito xiones que pueden hace'se' Lu' quot;otp'iquot;it* t'o pttquot;dquot;tt verseya que en la para iquot;r**áti¿quot; totutquot;ttquot;l integrado son at lquot; forma ilustrada en la Figura realidad el circuito integrado aparece t-t. por la de- circuitos integrados TTL. se_distinguen_comúnmente numérica t,u designación .e.ie s¿óo v zquot;+oo. signación nrr*¿ri.u^i'quot;-t'.orrro ra quot;oquot; intquot;g.udo. están numerados de la serie ?400 implica que los quot;ir'Ñár fabricantquot;ei^ tiquot;quot;quot;quot; clrcuitos integrados TTL 7 400,7 40I, Z¿Ozetc.''Ñ*quot;quot;1 como la serie disponibles iilu'*iquot;' ¿tquot;ignuquot;ioquot;quot;t tumétiquot;ut tales quot;o,, n*Jquot;tffi;ra ssl. El ?404viene con cua- 2-9(a) ilustra dos circuitos TTL y io. terminales marcados v¿6' tro compuertas ÑÁNO de 2 entra¿quot;.. un voltaje GND son pquot;rquot; rquot;quot;'pquot;inf* la fue.ntedel poder que requieren -aquot; de 5 voltios para la adecuadaoperaclon' La Figura El tipo ECL;;;;;;;quot; -gcL. aquot;1gquot;a 99-9 la serie 10'000' tquot; Elquot; 10102viene con cuatro compuertas 2_g(b) muestra ¿quot;quot;quot;quot;;r.quot;iiquot;quot; NoR de 2 entradas. ñótquot;.quot; que la .o-p.rquot;*u ECL pry{e tener dos entradas,