Tema 7Series de Fourier                                                                    ´    Nuestro principal objetivo...
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7.1. Series de Fourier                                                                   3                        a+b   b−...
4                                                                            Tema 7. Series de Fourier7.1.1      Convergen...
7.2. F´rmula de Parseval        o                                                                                 57.2    ...
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7.4. Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo                         77.4       Desarrollos para funciones ...
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7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier                                                   9Definici´n 7.5 (Producto esca...
10                                                                 Tema 7. Series de Fourier7.6     Filtrado de series de ...
7.7. Series finitas de Fourier                                                                                         11im...
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  1. 1. Tema 7Series de Fourier ´ Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist´ricamente oal resolver por el m´todo de separaci´n de variables un problema de contorno de ecuaciones e oen derivadas parciales. Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos omatem´ticos pensaron que era imposible expresar una funci´n f (x) cualquiera como suma a ode senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos opara convencer al mundo cient´ıfico de tal posibilidad.7.1 Series de FourierDefinici´n 7.1 (Serie de Fourier) o Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−π, π] a: o ∞ a0 f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) (∗) 2 n=1 A los coeficientes a0 , a1 , · · · , an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier def(x) en [−π, π]. Debido a que π 0 si n = m π π sen mx sen nx dx = cos nx dx = 0 sen nx dx = 0 −π =0 si n = m −π −π 1
  2. 2. 2 Tema 7. Series de Fourier π 0 si n = m π cos mx cos nx dx = sen mx cos nx dx = 0 −π =0 si n = m −π e integrando t´rmino a t´rmino en la igualdad (∗) obtenemos: e e π π 1 π f (x) cos nx dx = an cos2 x dx = an π ⇒ an = f (x) cos nx dx −π −π π −π π a0 1 π f (x) dx = 2π ⇒ a0 = f (x) dx −π 2 π −π π π 1 π f (x) sen nx dx = bn sen2 x dx = bn π ⇒ bn = f (x) sen nx dx −π −π π −π Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en queel sistema {1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar π(f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi´n de un o −πvector f (x) como combinaci´n lineal de los vectores de la anterior base ortogonal. oDefinici´n 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−L, L] o oa: ∞ a0 nπ nπ f (x) ∼ + an cos x + bn sen x 2 n=1 L L 1 L 1 L nπdonde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx L −L L −L L 1 L nπ bn = f (x) sen x dx L −L L Este hecho se basa en que el sistema de vectores πx 2πx πx 2πx 1, sen , sen , · · · , cos , cos ,··· L L L Les un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar L (f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx −L An´logamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´n f (x) definida en un a o a+bintervalo [a, b] haciendo una traslaci´n del punto medio o al origen. 2
  3. 3. 7.1. Series de Fourier 3 a+b b−a a+b a−b Tomo L = b − = −L=a− = 2 2 2 2Definici´n 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [a, b] a o o ∞ a0 nπ nπ f (x) = + an cos b−a x + bn sen b−a x 2 n=1 2 2 2 b 2 b 2nπdonde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx b−a a b−a a b−a 2 b 2nπ bn = f (x) sen x dx b−a a b−a Las series anteriores tambi´n se podr´ haber escrito de la forma: e ıan ∞ f (x) ∼ C0 + Cn cos(nω0 t − θn ) n=1 andonde Cn = a2 + b2 , n n cos θn = a2 + b2 n n bn bn sen θn = θn = arctang a2 + b2 n n an π 2π siendo ω0 = 1, , seg´n hayamos utilizado una de las tres f´rmulas anteriores. u o L b−a La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´sima arm´nica e ode la funci´n peri´dica. La primera arm´nica se conoce comunmente con el nombre de o o o 2πfundamental porque tiene el mismo periodo que la funci´n y ω0 = o se conoce con Tel nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ´ngulos θn se aconocen como amplitudes arm´nicas y ´ngulos de fase, respectivamente. En M´sica, a la o a uprimera arm´nica, segunda arm´nica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono, o osegundo tono, etc. Quedan muchas cuestiones por resolver: • ¿ Qu´ debe cumplir f (x) para que su serie de Fourier converja? e • Si converge, ¿ lo hace a f (x)? • ¿ Es posible integrar t´rmino a t´rmino?. ¿ Y derivar? e e Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.
  4. 4. 4 Tema 7. Series de Fourier7.1.1 Convergencia de las series de FourierTeorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier) Si f(x) y f ’(x) son continuas a trozos en [−L, L], entonces ∀x ∈ (−L, L) se verifica: ∞ a0 nπ nπ 1 + an cos x + bn sen x = f (x+ ) + f (x− ) 2 n=1 L L 2 1 Para x = ±L la serie de Fourier converge a f (−L+ ) + f (L− ) . 2Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier) Sea f(x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Si f ’(x) es continua a otrozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en[−L, L] y por consiguiente en cualquier intervalo.7.1.2 Diferenciaci´n de series de Fourier oTeorema 7.3 Sea f(x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Sean f ’(x), of ”(x) continuas por segmentos en [−L, L]. Entonces la serie de Fourier de f ’(x) se puedeobtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciaci´n t´rmino a t´rmino. En o e eparticular, si ∞ a0 nπ nπ f (x) = + an cos x + bn sen x 2 n=1 L Lentonces ∞ nπ nπ nπ f (x) = −an sen x + bn cos x n=1 L L L7.1.3 Integraci´n de series de Fourier oTeorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [−L, L] con serie de Fourier ∞ a0 nπ nπ f (x) ∼ + an cos x + bn sen x 2 n=1 L Lentonces ∀x ∈ [−L, L] se verifica: ∞ x x a0 x nπ nπ f (t) dt = + an cos t + bn sen t dt −L −L 2 n+1 −L L L
  5. 5. 7.2. F´rmula de Parseval o 57.2 F´rmula de Parseval o Los tres resultados te´ricos m´s importantes para el manejo de las series de Fourier o ason: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, seg´n el cual todo desarrollo en userie trigonom´trica, de una funci´n, es su desarrollo de Fourier, y la f´rmula de Parseval. e o oTeorema 7.5 (F´rmula de Parseval) o Sea f una funci´n continua a trozos en el intervalo [−π, π]. Sean a0 , an y bn los ocoeficientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se verifica: ∞ 1 π 1 [f (x)]2 dx = a2 + a2 + b2 π −π 2 0 n=1 n n Demostraci´n Aunque esta f´rmula es v´lida para todas las funciones continuas a o o atrozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourierconverge uniformemente a f en el intervalo [−π, π]. ∞ a0 Partiendo de la relaci´n: o f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) −π <x<π 2 n=1uniformemente. Multiplicando por f (x) se obtiene: ∞ a0 [f (x)]2 = f (x) + (an f (x) cos nx + bn f (x) sen nx) −π <x<π 2 n=1uniformemente. Por tanto, al integrar t´rmino a t´rmino, se obtiene: e e ∞ π 1 [f (x)]2 dx = a2 π + a 2 π + b2 π −π 2 0 n=1 n nde donde, dividiendo por π, obtenemos el resultado deseado.7.3 Funciones pares e imparesDefinici´n 7.4 (Funci´n par, funci´n impar) o o o Decimos que una funci´n f(x) es par si f(-x) = f(x). o Decimos que una funci´n f(x) es impar si f(-x) = - f(x). o
  6. 6. 6 Tema 7. Series de FourierPropiedades • El producto de dos funciones pares es par. • El producto de dos funciones impares es par. • El producto de una funci´n par por una impar es impar. o a a • Si f(x) es par ⇒ f (x) dx = 2 f (x) dx −a 0 a • Si f(x) es impar ⇒ f (x) dx = 0 −aDesarrollo en serie de Fourier de una funci´n par o Sea f (x) una funci´n par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [−L, L]. o 1 L 2 L a0 = f (x) dx = [por ser f par] = f (x) dx L −L L 0 1 L nπ 2 L nπ an = f (x) cos x dx = f (x) cos x dx por ser f (x) y cos x fun- L −L L L 0 Lciones pares con lo que su producto es tambi´n una funci´n par. e o 1 L nπ bn = f (x) sen x dx = 0 por ser el producto de una funci´n par (f (x)) por o L −L Luna impar (sen x) una funci´n impar. o Luego ∞ a0 nπ f (x) ∼ + an cos 2 n=1 L Es decir, la serie de Fourier de una funci´n par en el intervalo [−L, L] es una serie en ola que s´lo aparecen cosenos. oDesarrollo en serie de Fourier de una funci´n impar oHaciendo c´lculos an´logos se obtiene a0 = an = 0 a a Es decir, la serie de Fourier de una funci´n impar en el intervalo [−L, L] es una serie oen la que s´lo aparecen senos. o ∞ nπ f (x) ∼ an sen n=1 L
  7. 7. 7.4. Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo 77.4 Desarrollos para funciones definidas en medio in- tervalo Supongamos que tenemos una funci´n definida en el intervalo [0, L]. Para hallar su odesarrollo en serie de Fourier podemos optar por definirla en el intervalo [−L, 0] de lassiguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.Caso IExtendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n par. o Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos. ıCaso IIExtendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n impar. o Obtenemos as´ un desarrollo en serie de senos. ıCaso IIIExtendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n peri´dica de o operiodo L. Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos y senos. ı7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas seriesen t´rminos de los exponenciales complejos e±jnω0 t . e Si se considera la serie de Fourier de una funci´n peri´dica f (t),como o o ∞ 1 f (t) = a0 + (an cos nω0 t + bn sen ω0 t) 2 n=1 2πdonde ω0 = . T
  8. 8. 8 Tema 7. Series de Fourier Sabemos que : 1 jnω0 t cos nω0 t = e + e−jnω0 t 2 1 jnω0 t sen nω0 t = e − e−jnω0 t 2j Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier: ∞ 1 1 j f (t) = a0 + an ejnω0 t + e−jnω0 t − bn ejnω0 t − e−jnω0 t 2 n=1 2 2 1 Como = −j , podemos expresar f (t) como j ∞ 1 1 1 f (t) = a0 + (an − jbn ) ejnω0 t + (an + jbn ) e−jnω0 t 2 n=1 2 2 1 1 1 LLamando c0 = a0 , cn = (an − jbn ) , c−n = (an + jbn ) , entonces: 2 2 2 ∞ f (t)=c0 + cn ejnω0 t + c−n e−jnω0 t = n=1 ∞ −∞ ∞ =c0 + cn ejnω0 t + cn e−jnω0 t = cn ejnω0 t n=1 n=−1 n=−∞ Esta ultima ecuaci´n se denomina serie compleja de Fourier de f (t). ´ o Los coeficientes de Fourier se pueden evaluar f´cilmente en t´rminos de an y bn , los a ecuales ya los conocemos: 1 1 T /2 c0 = a0 = f (t) dt 2 T −T /2 1 1 T /2 cn = (an − jbn ) = [desarrollando] = f (t)e−jnω0 t dt 2 T −T /2 1 1 T /2 c−n = (an + jbn ) = [desarrollando] = f (t)ejnω0 t dt 2 T −T /2 1 2 donde |cn | = a + b2 2 n n
  9. 9. 7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9Definici´n 7.5 (Producto escalar en C) o l Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) definimos su producto escalar complejo enel intervalo [a, b] como b (f (t), g(t)) = f (t) · g(t) = f (t)g ∗ (t) dt adonde g ∗ (t) representa el conjugado complejo de g(t).Definici´n 7.6 ( Sistema ortogonal en C) o l un conjunto de funciones complejas {f1 (t), f2 (t), · · · , fn (t)} se dicen que es un sistemaortogonal en el intervalo [a, b] si b 0 para k = m ∗ fm (t)fk (t) dt = a rk para k = mProposici´n 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier {ejnω0 t } , on = 0, ±1, ±2, · · ·, forman un sistema de funciones ortogonales.Definici´n 7.7 (Espectros de frecuencia compleja) o La gr´fica de la magnitud de los coeficientes complejos cn de la serie de Fourier a ∞ cn ejnω0 t frente a (versus) la frecuencia ω (frecuencia angular) se denomina es-n=−∞pectro de amplitud de la funci´n peri´dica f(t). o o La gr´fica del ´ngulo de fase ϕn de cn = |cn |e−jϕn frente a ω se denomina espectro a ade fase de f(t). Como el ´ ıdice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase noson curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta nω0 ; por consiguiente, seles denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de l´ ıneas. La representaci´n de los coeficientes complejos cn frente a la variable discreta nω0 , oespecifica la funci´n peri´dica f (t) en el diminio de la frecuencia, as´ como f (t) versus t o o ıespecifica la funci´n en el dominio del tiempo. oProposici´n 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funci´n peri´dica no tiene efecto o o osobre el espectro de amplitud, pero modifica el espectro de fase en una cantidad de −nω0 τradianes para la componente de frecuencia nω0 si el desplazamiento en el tiempo es τ .
  10. 10. 10 Tema 7. Series de Fourier7.6 Filtrado de series de Fourier Supongamos que deseamos obtener la tensi´n (o corriente) de salida de un sistema olineal y sabemos que la entrada es una se˜al peri´dica no lineal. Utilizando la serie n ode Fourier para descomponer la se˜al de entrada, en sus componentes senoidales, pode- nmos hacer pasar separadamente cada componente a trav´s del sistema. (Se pueden usar em´todos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Por esuperposici´n, sabemos que la se˜al de salida total es la suma de todas las salidas de las o ncomponentes senoidales. Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la se˜al de entrada no nsenoidal. Es la respuesta particular del sistema a la se˜al de entrada no senoidal. nEs decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo suficiente paraque haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a lascondiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicadola se˜al de entrada). n Un filtro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funci´n de transferencia H(jω) ode las siguientes caracter´ ısticas: 1 −ωc < ω < +ωc /H(jω) = 0 |H(jω)| = 0 otros valores Esto significa que si una se˜al peri´dica no senoidal se aplica al filtro, la salida es- n otar´ formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuya afrecuencia angular sea inferior a ωc . Para que una onda peri´dica de forma arbitraria pase sin distorsi´n a trav´s de un o o esistema lineal , llamada transmisi´n sin distorsi´n (por ejemplo, un amplificador de o oalta fidelidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro-porcional al n´mero del arm´nico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que el u o´ngulo de la funci´n de transferencia del sistema /H(jω) , sea una funci´n lineal de laa o ofrecuencia.7.7 Series finitas de Fourier Supongamos que, dada una funci´n peri´dica, intentamos obtener una serie aproxi- o omada utilizando s´lo un n´mero finito n de t´rminos arm´nicos. Designemos esta aprox- o u e o
  11. 11. 7.7. Series finitas de Fourier 11imaci´n de n t´rminos por fn (t): o e n fn (t) = αk ejkω0 t (7.1) k=−ndonde el valor num´rico αk tiene que ser calculado. Si para evaluar los t´rminos de la e eecuaci´n ( 7.1), tomamos espec´ficamente o ı 1 t0 +T αk = f (t)e−jkω0 t dt T t0podemos llamar a nuestra aproximaci´n serie de Fourier truncada. o En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximaci´n fn (t) y la onda oreal f (t) es el error en (t) en (t) = f (t) − fn (t) Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en laaproximaci´n vamos a elegir el error cuadr´tico medio, definido por o a 1 t0 +T e2 (t) = n e2 (t) dt n T t0 Desarrollando  2 n 1 t0 +T 2 1 t0 +T f (t) − jkω0 t  e2 (t) = n [f (t) − fn (t)] dt = αk e dt T t0 T t0 k=−n Buscamos el conjunto de coeficientes αk que minimizan este error cuadr´tico medio. a ∂e2 (t) n Para ello, se debe verificar = 0 ∀k ∂αk Consideremos el coeficiente m-´simo: e   2   1 n   ∂e2 (t) n ∂ t0 +T = f (t) − αk ejkω0 t  dt =0 ∂αm ∂αm  T  t0 k=−n   Es decir   n 1 t0 +T 2 f (t) − αk ejkω0 t  [−ejmω0 t ] dt = 0 T t0 k=−n
  12. 12. 12 Tema 7. Series de Fouriero n 2 t0 +T 2 t0 +T − f (t)ejmω0 t dt + αk ej(k+m)ω0 t dt = 0 (7.2) T t0 T t0 k=−n La integral del segundo t´rmino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuenta ela propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = −m. Para k = −m la ecuaci´n ( 7.2) se puede expresar como o t0 +T t0 +T t0 +T − f (t)ejmω0 t dt + α−m dt = − f (t)ejmω0 t dt + α−m (t0 + T − t0 ) = 0 t0 t0 t0de donde 1 t0 +T α−m = f (t)ejmω0 t dt T t0 o 1 t0 +T αk = f (t)e−jkω0 t dt T t0que es la definici´n de los coeficientes de Fourier. o En consecuencia, los coeficientes de Fourier minimizan el error cuadr´tico medio entre ala funci´n real f (t) y cualquier serie arm´nica aproximada de longitud finita. o o Evidentemente, cuantos m´s arm´nicos tomemos en la serie, mayor ser´ la aproxi- a o amaci´n y, en consecuencia, menor ser´ el error cuadr´tico medio. Sin embargo, a´n o a a uutilizando un n´mero infinito de t´rminos, si la funci´n tiene alguna discontinuidad (por u e oejemplo la funci´n de onda cuadrada), nunca podremos lograr una r´plica perfecta de la o eoriginal f (t). Cualquier discontinuidad producir´ un transitorio que sobrepasa la onda apor la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitoriostiene una elongaci´n m´xima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectiva o adiscontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs. Adema´, cualquier aproximaci´n de t´rminos finitos de Fourier corta a cada discon- s o etinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).

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