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# Aula 3 MAT

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### Aula 3 MAT

1. 1. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIAS É TODO CONJUNTO OU GRUPO NO QUAL OS SEUS ELEMENTOS ESTÃO ESCRITOS EM UMA DETERMINADA ORDEM.
2. 2. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIAS O DIÁRIO DE UM PROFESSOR É COMPOSTO PELOS NOMES DE SEUS ALUNOS. ESSES NOMES OBEDECEM A UMA ORDEM (SÃO ESCRITOS EM ORDEM ALFABÉTICA). ESSA LISTA DE NOMES (DIÁRIO) É CONSIDERADA UMA SEQÜÊNCIA.
3. 3. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIAS OS DIAS DO MÊS SÃO DISPOSTOS NO CALENDÁRIO OBEDECENDO A UMA CERTA ORDEM, QUE TAMBÉM É UM TIPO DE SEQÜÊNCIA.
4. 4. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIAS NO ESTUDO DA MATEMÁTICA ESTUDAMOS UM TIPO DE SEQÜÊNCIA, A SEQÜÊNCIA NUMÉRICA.
5. 5. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIA NUMÉRICA CHAMA-SE SEQÜÊNCIA NUMÉRICA A QUALQUER CONJUNTO ORDENADO DE NÚMEROS REAIS OU COMPLEXOS.
6. 6. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO O CONJUNTO ORDENADO A = (3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) É UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA, CUJO PRIMEIRO TERMO É 3, O SEGUNDO TERMO É 5, O TERCEIRO TERMO É 7 E ASSIM SUCESSIVAMENTE.
7. 7. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIA NUMÉRICA AO REPRESENTARMOS UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA, DEVEMOS COLOCAR SEUS ELEMENTOS ENTRE PARÊNTESES.
8. 8. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS PARES POSITIVOS. A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS NATURAIS. A = (10, 20, 30, 40, 50, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS MÚLTIPLOS DE 10. A = (10, 15, 20, 25, 30) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS MÚLTIPLOS DE 5, MAIORES QUE CINCO E MENORES QUE 35.
9. 9. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE SEQÜÊNCIA NUMÉRICA </li></ul><ul><li>FINITA </li></ul><ul><li>INFINITA </li></ul>
10. 10. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIA FINITA É UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA NA QUAL OS ELEMENTOS TÊM FIM, COMO POR EXEMPLO, A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS MÚLTIPLOS DE 5, MAIORES QUE 5 E MENORES QUE 35. A = (10, 15, 20, 25, 30)
11. 11. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIA INFINITA É UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA QUE NÃO POSSUI FIM, OU SEJA, SEUS ELEMENTOS SEGUEM AO INFINITO, COMO POR EXEMPLO, A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS PARES POSITIVOS. A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)
12. 12. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SEQÜÊNCIA NUMÉRICA EM UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA QUALQUER, O PRIMEIRO TERMO É REPRESENTADO POR a 1 , O SEGUNDO TERMO É a 2 , O TERCEIRO a 3 E ASSIM POR DIANTE. EM UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA FINITA DESCONHECIDA, O ÚLTIMO ELEMENTO É REPRESENTADO POR a n . A LETRA n DETERMINA O NÚMERO DE ELEMENTOS DA SEQÜÊNCIA.
13. 13. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS A = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n ) É UMA SEQÜÊNCIA FINITA. A = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , a n , ...) É UMA SEQÜÊNCIA INFINITA.
14. 14. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS LEI DE FORMAÇÃO INTERESSAM À MATEMÁTICA AS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS PARA AS QUAIS É POSSÍVEL ESTABELECER UMA LEI DE FORMAÇÃO, OU SEJA, UMA FÓRMULA QUE PERMITA CALCULAR QUALQUER UM DE SEUS TERMOS, OU EM OUTRAS PALAVRAS, AS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS EM QUE SEUS TERMOS SE SUCEDEM OBEDECENDO A UMA REGRA.
15. 15. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE LEI DE FORMAÇÃO </li></ul><ul><li>POR RECORRÊNCIA </li></ul><ul><li>EM FUNÇÃO DO ÍNDICE DA SEQÜÊNCIA (POSIÇÃO) </li></ul><ul><li>POR PROPRIEDADE DOS TERMOS </li></ul>
16. 16. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS POR RECORRÊNCIA SÃO DADAS DUAS OU MAIS REGRAS: UMA (OU MAIS) QUE DEFINE OS TERMOS INICIAIS DA SEQÜÊNCIA E OUTRA PARA CALCULAR OS DEMAIS TERMOS A PARTIR DE ANTECESSORES.
17. 17. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS OS NÚMEROS DE FIBONNACCI ( LÊ-SE FIBONATI ): DEFINIDOS a 1 = 0 E a 2 = 1 E A REGRA F(n-1) + F(n-2) QUE CORRESPONDE À SOMA DOS DOIS ANTECESSORES PARA DEFINIR OS DEMAIS TERMOS. F(9) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21)
18. 18. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>a 1 = 5, a n = a n -1 + 3 E n = 5 </li></ul><ul><li>a 1 = 5 </li></ul><ul><li>a 2 = a 1 + 3 = 8 </li></ul><ul><li>a 3 = a 2 + 3 = 11 </li></ul><ul><li>a 4 = a 3 + 3 = 14 </li></ul><ul><li>a 5 = a 4 + 3 = 17 </li></ul><ul><li>(5, 8, 11, 14, 17) </li></ul>
19. 19. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EM FUNÇÃO DO ÍNDICE DA SEQÜÊNCIA (POSIÇÃO) </li></ul><ul><li>a n = 2n +3, n = 1, 2, 3, 4, 5 </li></ul><ul><li>(5, 7, 9, 11, 13) </li></ul><ul><li>a n = 2 elevado à n, n NATURAL DIFERENTE DE ZERO (N*) </li></ul><ul><li>(2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) </li></ul>
20. 20. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>POR PROPRIEDADE DOS TERMOS </li></ul><ul><li>A SEQÜÊNCIA CUJOS TERMOS SÃO OS PRIMEIROS </li></ul><ul><li>CINCO NÚMEROS PRIMOS: </li></ul><ul><li>(2, 3, 5, 7, 11) </li></ul><ul><li>A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS INTEIROS ÍMPARES </li></ul><ul><li>MENORES DO QUE 20: </li></ul><ul><li>(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) </li></ul>
21. 21. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMO GERAL É A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE RELACIONA ENTRE SI OS TERMOS DA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA.
22. 22. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMO GERAL SEJA POR EXEMPLO A SEQÜÊNCIA NUMÉRICA DE TERMO GERAL an = n elevado à 2 + 4n + 10, PARA n INTEIRO E POSITIVO. NESTAS CONDIÇÕES, PODEMOS CONCLUIR QUE A SEQÜÊNCIA PODERÁ SER ESCRITA COMO: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ...) a6 = 70 PORQUE a6 = 6 elevado à 2 + 4.6 + 10 36 + 24 + 10 = 70
23. 23. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA É UMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NA QUAL A DIFERENÇA ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS É CONSTANTE.
24. 24. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REPRESENTAÇÃO DE UMA P. A. REPRESENTADO POR a 1 O PRIMEIRO ELEMENTO, POR a 2 O SEGUNDO ELEMENTO DE UMA P. A. E ASSIM SUCESSIVAMENTE, ATÉ O ÚLTIMO ELEMENTO QUE É REPRESENTADO POR a n , TENDO A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO PARA UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA. P. A. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n ) A REPRESENTAÇÃO ACIMA REFERE-SE A UMA P. A. FINITA COM n ELEMENTOS. CASO A SUCESSÃO SEJA INFINITA, UTILIZAMOS A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO: P. A. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n , ...)
25. 25. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) RAZÃO = 4 (P. A. CRESCENTE) B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, ...) RAZÃO = 9 (P. A. CRESCENTE) C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) RAZÃO = 0 (P. A. CONSTANTE) D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) = RAZÃO = -10 (P. A. DECRESCENTE)
26. 26. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA P. A. (5, 7, 9, 11, 13, 15) ACIMA TEMOS A REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA. UM TERMO QUALQUER É IDENTIFICADO POR a n , ONDE n INDICA A POSIÇÃO DESTE TERMO. POR EXEMPLO, O TERMO a 4 REFERE-SE AO QUARTO TERMO DESTA P. A., QUE NO CASO É IGUAL A 11 , JÁ O PRIMEIRO TERMO, a 1 , NESTA P. A. É IGUAL A 5 .
27. 27. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA COMO JÁ INFORMADO, A DIFERENÇA ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P. A. É CONSTANTE. NESTE EXEMPLO ESTE VALOR É IGUAL A 2. POR EXEMPLO, A DIFERENÇA ENTRE O PRIMEIRO E O SEGUNDO TERMO É IGUAL A 2.
28. 28. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA ESTE VALOR CONSTANTE QUE É A DIFERENÇA ENTRE UM TERMO E OUTRO É DENOMINADO RAZÃO DA PROGRES- SÃO ARITMÉTICA E É REPRESENTADO PELA LETRA r . SE REPRESENTARMOS UM TERMO QUALQUER DE UMA P. A. POR a n , ENTÃO PODEMOS DIZER QUE O SEU ANTECEDENTE É IGUAL A a n-1 E QUE SEU CONSEQUENTE É IGUAL A a n+1 . DESTA FORMA PODEMOS DIZER QUE r = a n+1 – a n , OU AINDA r = a n – a n-1 .
29. 29. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA VEJAM OS SEGUINTES EXEMPLOS: r = a 4 – a 3 = 11 – 9 = 2 r = a 3 – a 2 = 9 – 7 = 2
30. 30. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA </li></ul><ul><li>CONSTANTE </li></ul><ul><li>CRESCENTE </li></ul><ul><li>DECRESCENTE </li></ul>
31. 31. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONSTANTE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É CONSTANTE QUANDO A SUA RAZÃO É IGUAL A ZERO. NESTE CASO TODOS OS TERMOS DA P. A. TÊM O MESMO VALOR. EXEMPLO P. A. (0, 0, 0, ...) P. A. (3, 3, ..., 3) P. A. (7, 7, 7) NOTE QUE EM TODAS AS PROGRESSÕES ACIMA r = 0 .
32. 32. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É CRESCENTE QUANDO A SUA RAZÃO É MAIOR QUE ZERO, OU SEJA, QUANDO O CONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MAIOR QUE ESTE TERMO. EXEMPLO P. A. (1, 2, 3, ...) P. A. (15, 21, 27, ...) P. A. (-16, -12, -8) NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA, RESPECTIVA- MENTE 1, 6 e 4 SÃO TODAS MAIORES QUE ZERO.
33. 33. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É DECRESCENTE QUANDO A SUA RAZÃO É MENOR QUE ZERO, OU EM OUTRAS PALAVRAS, QUANDO O CONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MENOR QUE ESTE TERMO. EXEMPLO P. A. (31, 29, 27, ...) P. A. (75, 68, 61, ...) P. A. (9, 0, -9) NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA, RESPECTIVA- MENTE -2, -7 e -9 SÃO TODAS MENORES QUE ZERO.
34. 34. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A. COMO SABEMOS, O PRÓXIMO TERMO DE UMA P. A. É IGUAL AO REFERIDO TERMO MAIS A RAZÃO r . PARA UMA P. A. GENÉRICA PODEMOS DIZER QUE O SEGUNDO TERMO É IGUAL AO PRIMEIRO TERMO, a 1 , MAIS A RAZÃO r : a 2 = a 1 + r O TERCEIRO TERMO É RESULTADO DA SOMA DO SEGUNDO TERMO COM A RAZÃO: a 3 = a 2 + r MAS VIMOS QUE a 2 = a 1 + r, SUBSTITUINDO-O NA EXPRESSÃO TEMOS: a 3 = a 1 + r + r => a 3 = a 1 + 2r
35. 35. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A. RESUMINDO TEMOS: a 2 = a 1 + r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a n = a 1 + (n – 1)r
36. 36. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FORMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A. NA FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. A. SUBTRAÍMOS 1 DE n QUANDO PARTIMOS DO TERMO a 1 , PERCEBA QUE QUANDO PARTIMOS DO TERMO a 2 , SUBTRAÍMOS 2 DE n , ASSIM COMO SUBTRAÍMOS 3 AO PARTIRMOS DE a 3 E 4 QUANDO PARTIRMOS DE a 4 . PARTINDO ENTÃO DE UM TERMO m , PODEMOS REESCRE- VER A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. A. COMO: a n = a m + (n –m)r
37. 37. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A. A SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É IGUAL AO PRODUTO DO NÚMERO DE TERMOS PELA METADE DA SOMA DO PRIMEIRO COM O N-ÉSIMO TERMO. EM NOTAÇÃO MATEMÁTICA TEMOS: S n = n . (a 1 + a n ) / 2
38. 38. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO QUAL É O VIGÉSIMO TERMO DA P. A. (3, 10, 17, ...)? IDENTIFICANDO AS VARIÁVEIS DO PROBLEMA TEMOS: a 1 = 3 r = 7 a n = 20 COMO CONHECEMOS O PRIMEIRO TERMO E A RAZÃO DA P. A., ATRAVÉS DA FÓRMULA DO TERMO GERAL IREMOS CALCULAR O VALOR DO VIGÉSIMO TERMO: a n = a 1 + (n -1)r a 20 = 3 + (20 -1).7 a 20 = 3 + 19.7 = 136
39. 39. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO QUAL É A SOMA DOS NÚMEROS ÍMPARES ENTRE 10 E 30? SABEMOS QUE A DIFERENÇA ENTRE UM NÚMERO IMPAR E O SEU ANTECEDENTE É IGUAL A 2. ESTE É O VALOR DA RAZÃO. O PRIMEIRO NÚMERO ÍMPAR DO INTERVALO INFOR- MADO É 11 É O ÚLTIMO É 29, PORTANTO TEMOS AS SEGUINTES VARIÁVEIS: a 1 = 11 r = 2 a n = 29
40. 40. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>EXERCÍCIO </li></ul><ul><li>PARA CALCULARMOS A SOMA DOS TERMOS, PRIMEIRA- </li></ul><ul><li>MENTE PRECISAMOS IDENTIFICAR QUANTOS TERMOS </li></ul><ul><li>SÃO. ATRAVÉS DA FÓRMULA DO TERMO GERAL IREMOS </li></ul><ul><li>OBTER O NÚMERO DE TERMOS DA SUCESSÃO: </li></ul><ul><li>a n = a 1 +(n – 1)r </li></ul><ul><li>29 = 11 + (n – 1).2 </li></ul><ul><li>29 – 11 = 2n – 2 </li></ul><ul><li>18 = 2n – 2 </li></ul><ul><li>2n = -2 -18 </li></ul><ul><li>2n = - 20 ( x -1) </li></ul><ul><li>2n = 20 </li></ul><ul><li>n = 20/2 = 10 </li></ul>
41. 41. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO AGORA QUE SABEMOS QUE A SUCESSÃO POSSUI 10 TERMOS, PODEMOS CALCULAR A SUA SOMA: S n = n . (a1 + an) / 2 S 10 = 10 . (11 + 29) / 2 S 10 = 10 . 40 / 2 S 10 = 10 . 20 S 10 = 200
42. 42. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A PARTIR DA SEQÜÊNCIA S , CUJO TERMO GERAL SEJA DADO POR a n = 3n + 5 , ONDE n É UM NÚMERO NATURAL NÃO NULO, QUAL SERIA O VALOR DE n = 20? a n = 3n + 5 a 20 = 3.20 + 5 a 20 = 60 + 5 a 20 = 65 PORTANTO O VIGÉSIMO TERMO DESSA SEQÜÊNCIA (a 20 ) É IGUAL A 65.
43. 43. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO A PARTIR DA SEQÜÊNCIA S , CUJO TERMO GERAL SEJA DADO POR a n = n2 + 4n + 10 , ONDE n É UM NÚMERO NATURAL NÃO NULO, QUAL SERIA A SEQÜÊNCIA DOS 7 PRIMEIROS TERMOS? (15, 22, 31, 42, 55, 70, 87)
44. 44. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É UMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NA QUAL A O QUOCIENTE ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS É CONSTANTE.
45. 45. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REPRESENTAÇÃO DE UMA P. G. REPRESENTADO POR a 1 O PRIMEIRO ELEMENTO, POR a 2 O SEGUNDO ELEMENTO DE UMA P. G. E ASSIM SUCESSIVAMENTE, ATÉ O ÚLTIMO ELEMENTO QUE É REPRESENTADO POR a n , TENDO A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO PARA UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. P. G. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n ) A REPRESENTAÇÃO ACIMA REFERE-SE A UMA P. G. FINITA COM n ELEMENTOS. CASO A SUCESSÃO SEJA INFINITA, UTILIZAMOS A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO: P. G. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n , ...)
46. 46. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS A = (3, 12, 48, 192, 768, ...) RAZÃO = 4 (P. G. CRESCENTE) B = (1, 2, 4, ...) RAZÃO = 2 (P. G. CRESCENTE) C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) RAZÃO = 0 (P. G. CONSTANTE) D = (-35, -105, -315, ...) = RAZÃO = -3 (P. G. DECRESCENTE)
47. 47. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA P. G. (3, 12, 48, 192, 768) ACIMA TEMOS A REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA. UM TERMO QUALQUER É IDENTIFICADO POR a n , ONDE n INDICA A POSIÇÃO DESTE TERMO. POR EXEMPLO, O TERMO a 3 REFERE-SE AO TERCEIRO TERMO DESTA P. G., QUE NO CASO É IGUAL A 48 , JÁ O PRIMEIRO TERMO, a 1 , NESTA P. G. É IGUAL A 3.
48. 48. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA COMO JÁ INFORMADO, O QUOCIENTE ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P. G. É CONSTANTE. NESTE EXEMPLO ESTE VALOR É IGUAL A 4. POR EXEMPLO, A DIVISÃO DO SEGUNDO PELO PRIMEIRO TERMO É IGUAL A 4.
49. 49. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA ESTE VALOR CONSTANTE QUE É O QUOCIENTE ENTRE UM TERMO E OUTRO É DENOMINADO RAZÃO DA PROGRES- SÃO GEOMÉTRICA E É REPRESENTADO PELA LETRA q . SE REPRESENTARMOS UM TERMO QUALQUER DE UMA P. G. POR a n , ENTÃO PODEMOS DIZER QUE O SEU ANTECEDENTE É IGUAL A a n-1 E QUE SEU CONSEQUENTE É IGUAL A a n+1 . DESTA FORMA PODEMOS DIZER QUE q = a n+1 / a n , OU AINDA q = a n / a n-1 .
50. 50. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS TERMINOLOGIA VEJAM OS SEGUINTES EXEMPLOS: q = a 4 / a 3 = 192 / 48 = 4 q = a 3 / a 2 = 48 / 12 = 4
51. 51. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA </li></ul><ul><li>CONSTANTE </li></ul><ul><li>CRESCENTE </li></ul><ul><li>DECRESCENTE </li></ul><ul><li>ALTERNANTE OU OSCILANTE </li></ul>
52. 52. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONSTANTE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É CONSTANTE QUANDO A SUA RAZÃO É IGUAL A 1 (HUM), OU QUANDO O PRIMEIRO TERMO É IGUAL A ZERO. NESTE CASO TODOS OS TERMOS DA P. G. TÊM O MESMO VALOR. EXEMPLO P. G. (0, 0, 0, 0, ...) P. G. (5, 5, ..., 5) P. G. (9, 9, 9) NO PRIMEIRO EXEMPLO TEMOS QUE a1 = 0 E NOS OUTROS DOIS q = 1 .
53. 53. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CRESCENTE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É CRESCENTE QUANDO O CONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MAIOR QUE ESTE TERMO. ISTO OCORRE QUANDO q > 1 e a 1 > 0 , OU QUANDO 0 < q < 1 e a 1 < 0 . EXEMPLO P. G. (1, 2, 4, ...) P. G. (-480, -120, -30, ...) NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA É RESPECTIVA- MENTE 2 e 0,25 . NO PRIMEIRO CASO, q > 1 e a 1 > 0 E NO SEGUNDO CASO TEMOS 0 < q < 1 e a 1 < 0 .
54. 54. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DECRESCENTE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É DECRESCENTE QUANDO O CONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MENOR QUE ESTE TERMO. ISTO OCORRE QUENO q > 1 e a 1 < 0 , OU QUANDO 0 < q < 1 e a 1 > 0 . EXEMPLO P. G. (-35, -105, -315, ...) P. G. (1400, 560, 224, ...) NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA É RESPECTIVA- MENTE 3 e 0,4 . NO PRIMEIRO EXEMPLO, q > 1 e a 1 < 0 E NO SEGUNDO EXEMPLO TEMOS QUE 0 < q < 1 e a 1 > 0 .
55. 55. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ALTERNANTE OU OSCILANTE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CUJOS TERMOS ALTERNEM OU OSCILEM DE POSITIVO PARA NEGATIVO E VICE-VERSA, É DENOMINADA P. G. OSCILANTE OU P. G. ALTERNANTE. ISTO OCORRE QUANDO q < 0 e a 1 ≠ 0 . EXEMPLO P. G. (-3, 6, -12, ...) P. G. (729, -218.7, 65.61, -19.683, ...) EM AMBOS OS CASOS a 1 ≠ 0 . NO PRIMEIRO CASO A RAZÃO É IGUAL A -2 , LOGO q < 0 E NO SEGUNDO TEMOS QUE A RAZÃO É IGUAL A -0,3 , PORTANTO TAMBÉM TEMOS q < 0 .
56. 56. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G. SABEMOS QUE O TERMO SEGUINTE A UM TERMO DE UMA P. G. É IGUAL AO REFERIDO TERMO MULTIPLICADO PELA RAZÃO q . PARA UMA P. G. GENÉRICA, PODEMOS DIZER QUE O SEGUNDO TERMO É IGUAL AO PRIMEIRO TERMO, a 1 , VEZES A RAZÃO q : a 2 = a 1 . q O TERCEIRO TERMO É RESULTADO DA MULTIPLICAÇÃO DO SEGUNDO TERMO PELA RAZÃO: a 3 = a 2 . q NO ENTANDO COMO VIMOS QUE a 2 = a 1 . q, SUBSTITUINDO-O NA EXPRESSÃO TEMOS: a 3 = a 1 . q . q => a 3 = a 1 . q2
57. 57. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G. RESUMINDO TEMOS: a 2 = a 1 . q a 3 = a 1 + q2 a 4 = a 1 + q3 a 5 = a 1 + q4 a n = a 1 + q(n – 1)
58. 58. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FORMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G. NA FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. G. SUBTRAÍMOS 1 DE n QUANDO PARTIMOS DO TERMO a 1 , PERCEBA QUE QUANDO PARTIMOS DO TERMO a 2 , SUBTRAÍMOS 2 DE n , ASSIM COMO SUBTRAÍMOS 3 AO PARTIRMOS DE a 3 E 4 QUANDO PARTIRMOS DE a 4 . PARTINDO ENTÃO DE UM TERMO m , PODEMOS REESCRE- VER A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. G. COMO: a n = a m . q(n –m)
59. 59. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. PODEMOS UTILIZAR A FÓRMULA ABAIXO PARA CALCULAR- MOS A SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA P. G. FINITA E TAMBÉM DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G. QUALQUER, DESDE QUE q ≠ 1 . S n = a 1 (q elevado à n – 1) / q - 1 PARA q = 1 TEMOS UMA FÓRMULA MAIS SIMPLES: S n = a 1 . n
60. 60. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FORMULA DO PRODUTO GERAL DE UMA P. G. A FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P. G. FINITA, OU DO PRODUTO DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G. É: P n = a 1 elevado à n . q elevado à n(n – 1) / 2
61. 61. PROAB 2010 AULA 3 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIO INTERPOLE QUATRO MEIOS GEOMÉTRICOS ENTRE 4 E 128, TENDO n = 6. 1º PASSO: 4 _ _ _ _ 128 2º PASSO: SABENDO QUE a 1 = 4, n = 6 e a 6 = 128, TEMOS: a n = a 1 . q elevado à n – 1 a6 = a1 . q elevado à 6 – 1 128 = 4 . q elevado à 5 q elevado à 5 = 128 / 4 q elevado à 5 = 32 q = 2