Aula 1 MAT

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Aula 1 MAT

  1. 1. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>ESTUDO DOS NÚMEROS </li></ul><ul><li>NÚMEROS NATURAIS </li></ul><ul><li>NÚMEROS INTEIROS </li></ul><ul><li>NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>NÚMEROS IRRACIONAIS </li></ul><ul><li>NÚMEROS REAIS </li></ul>
  2. 2. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DEFINIÇÃO NÚMERO É UM OBJETO DA MATEMÁTICA USADO PARA DESCREVER QUANTIDADE, ORDEM OU MEDIDA. O CONCEITODE NÚMERO PROVAVELMENTE FOI UM DOS PRIMEIROS CONCEITOS MATEMÁTICOS ASSIMILADOS PELA HUMANIDADE NO PROCESSO DE CONTAGEM.
  3. 3. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DEFINIÇÃO PARA ISTO, OS NÚMEROS NATURAIS ERAM UM BOM COMEÇO. O TRABALHO DOS MATEMÁTICOS NOS LEVOU A DESCOBRIR OUTROS TIPOS DE NÚMEROS. OS NÚMEROS INTEIROS SÃO UMA EXTENSÃO DOS NÚMEROS NATURAIS QUE INCLUEM OS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS. OS NÚMEROS RACIONAIS , POR SUA VEZ, INCLUEM FRAÇÕES DE INTEIROS. OS NÚMEROS REAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS RACIONAIS MAIS OS NÚMEROS IRRACIONAIS.
  4. 4. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS O USO MAIS COMUM DOS NÚMEROS NATURAIS É A CONTAGEM “ HÁ 4 QUADROS NA PAREDE ” OU A ORDENAÇÃO “ ESTA É A 2ª MAIOR CIDADE DO PAÍS ”.
  5. 5. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS NATURAIS NÚMERO NATURAL É UM NÚMERO INTEIRO NÃO NEGATIVO (0, 1, 2,...). EM ALGUNS CONTEXTOS, O NÚMERO NATURAL É DEFINIDO COMO UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO, ISTO É, O ZERO NÃO É CONSIDERADO COMO UM NÚMERO NATURAL.
  6. 6. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS NATURAIS OS MATEMÁTICOS USAM O “ N ” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS. ESTE CONJUNTO É INFINITO E CONTÁVEL POR DEFINIÇÃO. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....}
  7. 7. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS NATURAIS PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMO MOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
  8. 8. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOI EXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}
  9. 9. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 2 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 3 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 4 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 5 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 6 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 7 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 8 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 9 </li></ul><ul><li>DIVISIBILIDADE POR 10 </li></ul>
  10. 10. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 2 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 2 QUANDO TERMINA EM 0, 2, 4, 6 ou 8, ISTO É, QUANDO É PAR.
  11. 11. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 3 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 3 QUANDO A SOMA DOS VALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS FOR DIVISÍVEL POR 3. EXEMPLO 360 (3 + 6 + 0) = 9 -> É DIVISÍVEL
  12. 12. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 4 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 4 QUANDO OS DOIS ÚLTIMOS ALGARISMOS FOREM ZERO OU FORMAREM UM NÚMERO DIVISÍVEL POR 4. EXEMPLO 416 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 16 [4 x 4]) -> É DIVISÍVEL 200 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 00 -> É DIVISÍVEL
  13. 13. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 5 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 5 QUANDO TERMINA EM 0 ou 5. EXEMPLO 2.654.820 -> É DIVISÍVEL 54.525 -> É DIVISÍVEL
  14. 14. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DIVISIBILIDADE POR 6 </li></ul><ul><li>UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 6 QUANDO É DIVISÍVEL </li></ul><ul><li>POR 2 E POR 3. </li></ul><ul><li>EXEMPLO </li></ul><ul><li>414 -> É DIVISÍVEL POR 6, POIS </li></ul><ul><li>É PAR -> É DIVISÍVEL POR 2 </li></ul><ul><li>4 + 1 + 4 = 9 -> É DIVISÍVEL POR 3 </li></ul>
  15. 15. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 7 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 7 QUANDO SEPARANDO-SE O ULTIMO ALGARISMO DO PRIMEIRO, SUBTRAÍMOS O DOBRO DO SEGUNDO E O RESULTADO É DIVISÍVEL POR 7. EXEMPLO 453 -> SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOS COM 45 E 3. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DO SEGUNDO, OU SEJA, 45 – 6 = 39. COMO 39 NÃO É DIVISÍVEL POR 7, LOGO O NÚMERO 453 TAMBÉM NÃO É.
  16. 16. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 7 EXEMPLO 784 -> SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOS COM 78 E 4. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DO SEGUNDO, OU SEJA, 78 – 8 = 70. COMO 70 É DIVISÍVEL POR 7, LOGO O NÚMERO 784 TAMBÉM É.
  17. 17. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 8 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 8 QUANDO OS 3 ÚLTIMOS ALGARISMOS FOREM 0 OU FORMAREM UM NÚMERO MÚLTIPLO DE 8. EXEMPLO 24.512 -> 512 É UM NÚMERO DIVISÍVEL POR 8, LOGO O NÚMERO 24.512 TAMBÉM É. 51.000 -> TERMINA COM 3 ZEROS, LOGO É DIVISÍVEL.
  18. 18. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 9 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 9 QUANDO A SOMA DOS VALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS FOR DIVISÍVEL POR 9. EXEMPLO 927 (9 + 2 + 7) = 18 -> É DIVISÍVEL
  19. 19. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISIBILIDADE POR 10 UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 10 QUANDO TERMINA EM ZERO. EXEMPLO 154.870 -> É DIVISÍVEL
  20. 20. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS INTEIROS OS INTEIROS, OU NÚMEROS INTEIROS, CONSISTEM DOS NÚMEROS NATURAIS (0, 1, 2,...) E DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS (-1, -2, -3, .....). O CONJUNTO DE TODOS OS INTEIROS É NORMALMENTE CHAMADO DE “ Z ”, QUE VEM DE ZAHLEN (QUE QUER DIZER NÚMERO EM ALEMÃO).
  21. 21. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS INTEIROS INTEIROS PODEM SER ADICIONADOS OU SUBTRAÍDOS, MULTIPLICADOS E COMPARADOS. A PRINCIPAL RAZÃO PARA A EXISTÊNCIA DOS NÚMEROS NEGATIVOS É QUE TORNOU-SE POSSÍVEL RESOLVER TODAS AS EQUAÇÕES DA FORMA A + X = B PARA A INCÓGNITA X. NOS NÚMEROS NATURAIS APENAS ALGUMAS DESTAS EQUAÇÕES ERAM SOLÚVEIS.
  22. 22. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS INTEIROS TEMOS COMO EXEMPLO O SEGUINTE CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS: Z = {....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....}
  23. 23. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS INTEIROS PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMO MOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
  24. 24. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOI EXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Z* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
  25. 25. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Z+ = {0, 1, 2, 3, .....}
  26. 26. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Z- = {....., -3, -2, -1, 0}
  27. 27. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ * e + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTE DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Z*+ = {1, 2, 3, .....}
  28. 28. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ * e - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Z*- = {....., -3, -2, -1}
  29. 29. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>NOTAS </li></ul><ul><li>Z+ = N </li></ul><ul><li>Z*+ = N* </li></ul>
  30. 30. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUE PODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COM O NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTES AOS NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES POSITIVAS E NEGATIVAS .
  31. 31. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAIS É NORMALMENTE CHAMADO DE “ Q ”, QUE VEM DE QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).
  32. 32. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU, VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS INTEIROS , GERALMENTE ESCRITA NA FORMA a/b , ONDE b É UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO .
  33. 33. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR: Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*} , AONDE LÊ-SE Q IGUAL A “ a ” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “ b ”, TAL QUE, “ a ” PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “ b ” PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE “ Z ” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “ Z* ” O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.
  34. 34. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTES IGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO. ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA E A DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.
  35. 35. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>OS SEGUINTES NÚMEROS: </li></ul><ul><li>29/8 </li></ul><ul><li>3 QUE É IGUAL A 3/1 </li></ul><ul><li>-29/8 </li></ul><ul><li>3 5/8 </li></ul><ul><li>0 QUE É IGUAL A 0/1 </li></ul><ul><li>-3 QUE É IGULA A -3/1 </li></ul>
  36. 36. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMO MOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
  37. 37. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}
  38. 38. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}
  39. 39. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DE DIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO, 3/6 = 2/4 = 1/2 A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEM DIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA FORMA COMO ESTA.
  40. 40. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS RACIONAIS DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DE UM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO a/b , DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTES IGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR, ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR. EXEMPLO A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8. ELA É IGUAL A 7 POIS 7 x 8 = 56.
  41. 41. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE FRAÇÕES </li></ul><ul><li>PRÓPRIA </li></ul><ul><li>IMPRÓPRIA </li></ul><ul><li>MISTA </li></ul><ul><li>APARENTE </li></ul><ul><li>EQUIVALENTES </li></ul><ul><li>UNITÁRIA </li></ul><ul><li>DECIMAIS DE ESCRITA FINITA </li></ul><ul><li>DÍZIMAS </li></ul>
  42. 42. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES PRÓPRIA O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR. EXEMPLO 1/2, 1/4, 2/4
  43. 43. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES IMPRÓPRIA O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR. EXEMPLO 7/3, 5/2, 9/4
  44. 44. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES MISTA É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMA PARTE FRACIONÁRIA. EXEMPLO 2 1/2, 4 1/4, 7 2/4
  45. 45. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES APARENTE É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR É MÚLTIPLO DO DENOMINADOR. EXEMPLO 12/2, 20/4, 10/5
  46. 46. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES EQUIVALENTES SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃO DE OUTRA FRAÇÃO. EXEMPLO 4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3
  47. 47. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES UNITÁRIA O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADOR É UM INTEIRO POSITIVO. EXEMPLO 1/3, 1/5, 1/7
  48. 48. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADO SÃO FINITAS. EXEMPLO 8,35 ou 4,59 ou 1,23
  49. 49. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FRAÇÕES DE DÍZIMAS SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADO NÃO SÃO FINITAS. EXEMPLO 8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...
  50. 50. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>TIPOS DE DECIMAIS </li></ul><ul><li>DECIMAIS EXATOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA PERIÓDICA </li></ul><ul><ul><li>DÍZIMA SIMPLES </li></ul></ul><ul><ul><li>DÍZIMA COMPOSTA </li></ul></ul>
  51. 51. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS EXATOS </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>1/2 = 0,5 </li></ul><ul><li>1/5 = 0,2 </li></ul>
  52. 52. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS PERIÓDICOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA SIMPLES </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>2/3 = 0,666666... </li></ul><ul><li>5/3 = 1,6666... </li></ul>
  53. 53. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>DECIMAIS PERIÓDICOS </li></ul><ul><li>DÍZIMA COMPOSTA </li></ul><ul><li>EXEMPLOS </li></ul><ul><li>7/6 = 1,166666... </li></ul>
  54. 54. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS <ul><li>OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS </li></ul><ul><li>MULTIPLICAÇÃO </li></ul><ul><li>DIVISÃO </li></ul><ul><li>ADIÇÃO </li></ul><ul><li>SUBTRAÇÃO </li></ul><ul><li>EXPONENCIAÇÃO </li></ul><ul><li>EXPOENTE FRACIONÁRIO </li></ul><ul><li>SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES </li></ul>
  55. 55. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SI E OS DENOMINADORES ENTRE SI. EXEMPLOS 3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35 1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20
  56. 56. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE É UMA FRAÇÃO CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM). EXEMPLOS 3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4 4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5
  57. 57. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, A MULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORES RESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL. EXEMPLO 1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6 DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS: 3/2
  58. 58. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MULTIPLICAÇÃO COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICAR ANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO. EXEMPLO 1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2
  59. 59. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DIVISÃO COMO JÁ VISTO, A DIVISÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA MULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE TER ISSO EM MENTE PARA RESOLVER UMA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES. EXEMPLO 3/5 / 7/2 PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDA FRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO, ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO: 3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
  60. 60. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÁXIMO DIVISOR COMUM O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIOR DIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b , VULGARMENTE ABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON- TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS. EXEMPLO mdc(24,40) 24 | 2 40 | 2 12 | 2 20 | 2 6 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 8 3 | 3 5 | 5 ___ ___ 1 | 2 ³ x 3 1 | 2³ x 3
  61. 61. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM EXEMPLO mdc(16,8) 16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___ 1 | 2 4 1 | 2³
  62. 62. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENOR MÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b , VULGAR- MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIRO ENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS. EXEMPLO Mmc(24,40) 24, 40 | 2 12, 20 | 2 6, 10 | 2 x 3, 5 | 3 1, 5 | 5 ____ 1, 1 | 120
  63. 63. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM EXEMPLO Mmc(6,8) 6, 8 | 2 3, 4 | 2 3, 2 | 2 x 3, 1 | 3 __ 1, 1 | 24
  64. 64. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ADIÇÃO CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO, ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENOR MÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES: 2/3 + 3/5 ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UM DOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADO DESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE: 15/3 = 5 e 5 x 2 = 10 15/5 = 3 e 3 x 3 = 9
  65. 65. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ADIÇÃO SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUAR A ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES: 10+9 / 15 = 19/15
  66. 66. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SUBTRAÇÃO A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOS PASSOS DA ADIÇÃO: 2/3 - 3/5 ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UM DOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADO DESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE: 15/3 = 5 e 5 x 2 = 10 15/5 = 3 e 3 x 3 = 9
  67. 67. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SUBTRAÇÃO SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUAR A SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES: 10-9 / 15 = 1/15
  68. 68. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXPONENCIAÇÃO É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRA A EXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO: (1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25 EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃO OBTÉM-SE O MESMO RESULTADO: (1/2)² = (0,5)² = 0,25
  69. 69. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXPOENTE FRACIONÁRIO DA MESMA FORMA QUE NA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES, A OCORRÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO CAUSA A INVERSÃO DA OPERAÇÃO: 8⅔ = A RAIZ CÚBICA (3) DE OITO ELEVADO AO QUADRADO = 8 ² = 64 = 4
  70. 70. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDO NUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS ENTRE SI: 8/4 PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃO QUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É DO TIPO IRREDUTÍVEL: 8 : 4 / 4 : 4 = 2/1
  71. 71. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.
  72. 72. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAIS É NORMALMENTE CHAMADO DE “ I ”. O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR: I = R - Q
  73. 73. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRE NOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO: √ 2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828... (Pi)  = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
  74. 74. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS IRRACIONAIS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRE NOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO: √ 2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828... (Pi)  = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
  75. 75. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAIS E PELOS NÚMEROS RACIONAIS. OS MATEMÁTICOS USAM O “ R ” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.
  76. 76. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS COM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, FORMANDO O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETA PREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS OS SEUS PONTOS. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.
  77. 77. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ PARTE DO MESMO. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOI EXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
  78. 78. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ + ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R+ = {0, 1, 2, 3, .....}
  79. 79. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NOTAÇÃO COLOCAMOS UM SÍMBOLO “ - ” AO LADO DO NOME DO CONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS. PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO: R- = {....., -3, -2, -1, 0}
  80. 80. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.
  81. 81. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS NÚMEROS REAIS ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
  82. 82. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS MÓDULO DE UM NÚMERO REAL O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x, É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE X E –x, ISTO É: |x| = MÁXIMO{x,y} OU AINDA POR: x SE x > 0 0 SE x = 0 -x SE x < 0
  83. 83. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS |+5| = 5 |0| = 0 |-6| = 6
  84. 84. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITE DEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZERO E OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO. EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DA SEGUINTE MANEIRA: a ≤ b se b – a ≥ 0
  85. 85. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLO -15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0 -15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0 -15 ≤ 5 se 20 ≥ 0
  86. 86. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS REFLEXIVA : PARA TODO x EM R: x ≤ x ANTI-SIMÉTRICA : SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO: x = x TRANSITIVA : SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO: x < z
  87. 87. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL É O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO NATURAL n SERÃO RESPECTIVAMENTE: RESPOSTA: n + 1 e n - 1
  88. 88. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PAR SERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO? RESPOSTA: ÍMPAR.
  89. 89. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROS PARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO: 2n + 1 = IMPAR 8n – 6 = PAR 6n -1 = IMPAR 5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n
  90. 90. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOIS ALGARISMOS? RESPOSTA: 99 E 10.
  91. 91. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOIS ALGARISMOS DIFERENTES? RESPOSTA: 98 E 10.
  92. 92. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPAR DE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES? RESPOSTA: 9.875 E 1.235.
  93. 93. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS O VALOR DE X QUE É SOLUÇÃO, NOS NÚMEROS REAIS, DA EQUAÇÃO 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 É IGUAL A? RESPOSTA: 6 + 4 + 3 / 12 = x/48 13/12 = x/48 X = 52
  94. 94. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58. SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA, QUAL SERÁ O NOVO TOTAL? RESPOSTA: x + y + z = 58 X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82
  95. 95. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO: - [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)] RESPOSTA: PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELE TINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM COM OS SINAIS TROCADOS: - [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6] LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES: 3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6
  96. 96. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO: { - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] } RESPOSTA: PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES: { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] } DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3: { - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }
  97. 97. PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTES DESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL: { - 5 - 8 + 15 – 3 } LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉM NÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR: - 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1

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