Curvas especiales

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Curvas especiales

  1. 1. 1 Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M
  2. 2. Astroide Catenaria Bicorn Cicloide Bruja de Circulo Agnessi Cardiode Cissoid de DioclesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 2
  3. 3. Cochleoid Curva de KappaConchoid Curva Del DiabloConchoid de Curvas De lade Sluze Cáscara De DürerCorazónCurva de Curva delfrecuencia OchoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 3
  4. 4. Curva de EspigaPersecuciónElipse espiral de ArquímedesEpicicloide Espiral de Fermatepitrochoide Espiral logarimicaEscarabajo Espiral HiperbólicoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 4
  5. 5. Espiral HipérbolaEquiangularEspirales Involuta delsinusoidales circuloFolium InsectoFolium de Gotica de aguaDescartesFolium Doble HipotrochoideDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 5
  6. 6. Hipocicloide Lissajous Kampyle de Lituus Eudoxus Lemniscata de Mariposa I Bernoulli Limacon de Mariposa II Pascal Línea recta Molino de vientoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 6
  7. 7. Nephroid Parábola de Neile Nephroid de Parábola de Freeth Newton Ovalo Plateau Cartesiano Óvalos de Perlas de Cssinian Sluze Parábola Quadratrix de HippiasDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 7
  8. 8. Quartic en Sextic deforma de pera CaileyRosa de StrophoidGrandi derechoSecciones de Super elipseSpiricSerpentina TalbotDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 8
  9. 9. Torpedo Trident de Newton Tractrix Trifolium Trébol Trisectrix de Equilátero Maclaurin Tricuspoid Tschirnhaus CúbicoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 9
  10. 10. WattDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 10
  11. 11. Astroide Ecuación Paramétrica Ecuación cartesiana x = a cos3(t), y = a sin3(t ) x2/3 + y2/3 = a2/3Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 11
  12. 12. Bicorn Ecuación cartesiana: y 2 ( 2 - x 2) = ( x 2 + 2 ay - a) 2 Curva estudiada por Sylvester en 1864 , Cayley en 1867.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 12
  13. 13. Bruja de Agnesi Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana x = at, y = a/(1 + t2) Y = a3 / ( x2 + a2 ) Curva estudiada por Agnesi en1748, Fermat y Guido Grandi en 1703.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 13
  14. 14. Cardiode Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 2a (1 + cos ) (x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2) Curva estudiada por Romer, 1674 ;Vaumesle, 1678 ; La Hire, 1708 ; Castillon, 1741.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver mas 14
  15. 15. Ovalo Cartesiano Ecuación cartesiana ((1 - m2)(x2 + y2) + 2m2cx + a2 - m2c2)2 = 4a2(x2 + y2)Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 15
  16. 16. CicloideEcuación Paramétrica x = r(t- sent) ; y = r(1 – cost )Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver mas 16
  17. 17. Óvalos de Cassinian Ecuación polar Ecuación Cartesiana (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) + a4 - c4 = 0r4 -2a2r2cos2 + a4 = b4 Curva estudiada por Cassini en 1680 y Malfatti en 1781.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver mas 17
  18. 18. Catenaria y = acosh(x/a) Curva estudiada por Leibniz, Huygens, y Johann BernoulliDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 18
  19. 19. Sextic De Cayley Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 4a cos3( /3) (x2 + y2 - ax)3 = 27a2(x2 + y2)2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por CayleyDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 19
  20. 20. Cissoid de Diocles Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 2asen tag y 2 = x 3 /(2 a - x) y 4 3 2 1 0 x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 Curva inventada por Diocles en el año 180 Ac Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver mas 20
  21. 21. Cochleoid Ecuación Polar r = a sin( )/6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por J. Peck en 1700Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 21
  22. 22. Conchoid de De Sluze Ecuación Polar Ecuación Cartesiana a(r cos( ) + a) = k2cos2( ) a(x + a)(x2 + y2) = k2x2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por René de Sluze en 1662Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 22
  23. 23. Conchoid Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = a + b sec( ) y (x - b)2(x2 + y2) - a2x2 = 0 15 10 5 0 x-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 Curva estudiada por Nicomedes Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 23
  24. 24. Curva Del Diablo Ecuación Polar( Caso especial) Ecuación Cartesianar = √[(25 - 24tan2( ))/(1 - tan2( ))] y4 - x4 + a y2 + b x2 = 0 Curva estudiada por G. Cramer in 1750 y Lacroix in 1810Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 24
  25. 25. Folium Doble Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 4a cos sen2 (x2 + y2)2 = 4axy2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Longchamps, 1886 ; Brocard, 1887.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver mas 25
  26. 26. Curvas De la Cáscara De Dürer Ecuación Cartesiana (x2 + xy + ax - b2)2 = (b2 - x2)(x - y + a)2 a= 0.4 , b= 2 Curva estudiada por Dürer en 1525.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 26
  27. 27. EpicycloideEcuación Paramétricax = (a + b) cos(t) - b cos((a/b + 1)t),y = (a + b) sen(t) - b sen((a/b + 1)t) Estas curvas fueron estudiadas por Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de LHôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745),Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 27
  28. 28. Epitrochoid Ecuación Paramétricax = (a + b) cos(t) - c cos((a/b + 1)t), y = (a + b) sin(t) - c sin((a/b + 1)t) Estas curvas fueron estudiadas por la Hire, Desargues, Leibniz, NewtonDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 28
  29. 29. Espiral Equiangular Ecuación Polar r = a exp( cot b) A=1.5 , b=8 Inventada por Descartes en 1638 y trabajada por TorricelliDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 29
  30. 30. Espiral De Fermat Ecuación Polar r2 = a2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Discutida por Fermat en 1636 Ir a un mundo de EspiralesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 30
  31. 31. Elipse Ecuación paramétrica Ecuación cartesiana x = a cos(t), y = b sin(t) x2/a2 + y2/b2 = 1 Curva estudiada por Menaechmus, Euclides , Apolonio, Pappus.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 31
  32. 32. Folium Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = -b cos + 4a cos sin2 (x2 + y2)(y2 + x(x + b)) = 4axy2 y 4 3 2 1 0 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 En el folium hay tres casos: Si b = 4a : Folium simple, b = 0: Doble folium , b = a :TrifoliumDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 32
  33. 33. Nephroid De Freeth Ecuación Polar r = a(1 + 2sin( /2)) Curva trabajada por el matemático Inglés T J Freeth)Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 33
  34. 34. Gotica de Agua Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana x= acos2t ; y=a2cos3tsent b2y2 = x3(a – x ) Curva estudiada por Wallis en 1685 et Bonnet en 1844.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 34
  35. 35. Curva De Frecuencia Ecuación Cartesiana y = √(2 ) exp(-x2/2) Curva estudiada por de Moivre in 1733, Laplace y GaussDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 35
  36. 36. Espiral Hiperbólico 6 y Ecuación Polar 4 r = a/ 6 y 2 4 x 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 2 -2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -4 -2 -6 -4 -6 Descubierta por Pierre Varignon en 1704 y estudiada por Johann Bernoulli entre 1710 y 1713 y Cotes en 1722.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 36
  37. 37. El Escarabajo Ecuación Polar Ecuación Cartesiana (x2 +y2)2 = (x2 + y2)(ax +by) +rx(x2 -3y2) r = acos + bsen - rsen cos 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Laurent et PainvinDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 37
  38. 38. Hipocicloide Ecuación Paramétrica x = (a - b) cos(t) + b cos((a/b - 1)t) y = (a - b) sin(t) - b sin((a/b - 1)t) Esta curva fue estudiada por :Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de LHôpital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 38
  39. 39. Involuta de un círculo Ecuación Paramétrica x = a(cos(t) + t sin(t)), y = a(sin(t) - t cos(t)) Esta curva fue estudiada por HuygensDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 39
  40. 40. Hypotrochoide Ecuación Paramétrica x = (a - b) cos(t) + c cos((a/b -1)t), y = (a - b) sin(t) - c sin((a/b -1)t)Esta curva fue estudiada por: La Hire, Desargues, Leibniz, Newton.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 40
  41. 41. Hipérbola Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana x = a sec(t), y = b tan(t) x2/a2 - y2/b2 = 1Curva estudiada por Euclides , Aristaeus ,Apolonius, PappusDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 41
  42. 42. El Círculo • Ecuación Cartesiana (x – a )2 + (y – b)2 = r2 Cuando a = b = 0 ,el circulo asume la posición canónicaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 42
  43. 43. Insecto Ecuación Paramétricar = (5sen3 ( /2).cos2(4 ))/ tan(3 /2) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 43
  44. 44. Lemniscate de Gerono o del Ocho Ecuación Polar Ecuación Cartesianar2 = a2 ( cos2 )/ cos4 x4 = a2(x2 – y2) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Grégoire de St Vincent en 1647, Cramer en 1750, Aubry en 1895 , Christophe GeronoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 44
  45. 45. Corazón Ecuación Paramétrica x= 2sen7 t y= - 4.5cost(1+1.2cost) + (cos2t )1/8 + 2.5Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 45
  46. 46. Espiral Logarítmica Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana r = a.ebDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 46
  47. 47. Kampyle de Eudoxus Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = b2/(a cos2( )) a2x4 = b4(x2 + y2) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Esta curva fue estudiada por EudoxusDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 47
  48. 48. Curva De Kappa Ecuación Polar Ecuación cartesiana r = a cot( ) y2(x2 + y2) = a2x2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Esta curva fue estudiada por Newton y Johann Bernoulli.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 48
  49. 49. Molino de Viento Ecuación Polar r = tan(2 ) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 49
  50. 50. Lemniscate de Bernoulli Ecuación Polar Ecuación cartesiana r2 = a2cos(2 ) (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Jacob Bernoulli en 1694Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 50
  51. 51. Limacon o Caracol de PASCAL Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = b + 2a cos( ) (x2 + y2 - 2ax)2 = b2(x2 + y2) y 8 6 4 2 0 x-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 Esta curva fue descubierta por Étienne Pascal , padre de Blais Pascal y estudiada por Dürer en 1525 Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Mas 51
  52. 52. Curvas De Lissajous Ecuación Paramétrica x= a sen(nt + c), y = b sen(t) Curva estudiada por lissajousDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 52
  53. 53. Parábola Ecuación Cartesiana y = ax2 + bx + c Curva estudiada por Menaechmus ,Euclides, Apolonio, pappus, Pascal, Galileo, Gregory y Newton.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 53
  54. 54. Parábola De Neile Ecuación Cartesiana y3 = a x2 Curva estudiada por William NeileDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 54
  55. 55. Parábolas divergentes de Newton Ecuación Cartesiana ay2 = x(x2 - 2bx + c), a > 0 Curvas estudiadas por Isac NewtonDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 55
  56. 56. Perlas de de Sluze Ecuación Cartesiana yn = k ( a - x)p xmCurva estudiada por de Sluxe para los valores n = 4, k = 2, a = 4, p = 3, m = 2.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 56
  57. 57. Quartic En forma de Pera Ecuación Cartesiana b 2 y 2 = x 3 ( a - x) Esta curva fue estudiada por G de Longchamps en 1886Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 57
  58. 58. Curvas De Plateau Ecuación Paramétrica x = a sen(m+n)t/sen(m-n)t,y = 2a sen(mt) sen(nt)/sen(m - n)t Esta curva fue estudiada por Belgium y por PlateauDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 58
  59. 59. Curva De Persecución Ecuación Cartesiana y = cx2 - log(x) Curva estudiada por Pierre Bouguer en 1732Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 59
  60. 60. Quadratrix de Hippias Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 2a /( sin( )) y = x cot( x/2a) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6Curva descubierta por Hippias y estudiada por DinostratusDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 60
  61. 61. Strophoid Derecho Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = acos(2 )/cos( ) y 2 = x 2 ( a - x)/( a + x) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Esta curva fue estudiada por Barrow , Torricelli ,RobervalDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 61
  62. 62. Serpentina Ecuación Cartesiana x 2 y + aby - 2x = 0, ab > 0 Curva estudiada por Isac Newton en 1701Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 62
  63. 63. Espirales Sinusoidales Ecuación Polar rp = ap cos(p ) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Maclaurin. si p = -1 : línea; si p =1: circulo ; si p =1/2:cardiode ;si p =-1/2:parábola; si p =-2: hipérbola; si p =2: lemiscta de BernulliDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 63
  64. 64. Secciones De Spiric Ecuación Cartesiana (r2 - a2 + c2 + x2 + y2)2 = 4r2(x2 + c2) Curva estudiada por PerseusDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 64
  65. 65. Línea Recta Ecuación Polar Ecuación Cartesianar = b / ( sen - m cos ) Y=mx+b 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 65
  66. 66. Curva De Talbot Ecuación Paramétrica x = (a2 + f2sen2(t))cos(t)/a, y = (a2 - 2f2 + f2sen2(t))sen(t)/b Esta curva fue estudiada por TalbotDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 66
  67. 67. El Torpedo Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = acos cos2 = (asen4 /4sen ) 6 y (x2 + y2)2 = ax(x2 – y2 ) 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Mas 67
  68. 68. Tricuspoid Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana x = a(2cos(t) +cos(2t)), (x2 +y2+12ax + 9a2)2 = 4a(2x + 3a)3 y = a(2sin(t) - sin(2t)) Esta curva fue estudiada por Euler en 1745 y Steiner en 1856Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 68
  69. 69. Trident de Newton Ecuación Cartesiana xy = cx3 + dx2 + ex + f Esta curva fue estudiada por Isac NewtonDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 69
  70. 70. Trisectrix de Maclaurin Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = 2a sin(3 )/sin(2 ) y2(a + x) = x2(3a - x) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Colin Maclaurin en 1742Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 70
  71. 71. Tschirnhaus Cúbico Ecuación Cartesiana 3a y2 = x(x-a)2 Esta curva fue estudiada por Tschirnhaus, de LHôpital y CatalanDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 71
  72. 72. Curva de Watt 8 y Ecuación Polar 6r2 = b2 - [a sin( ) √ (c2 - a2cos2( ))]2 6 y 4 4 2 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 Curva estudiada por James WattDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 72
  73. 73. Trifolium RegularEcuación Polar Ecuación Cartesiana r = a cos (4sin2 - 1) (x2 + y2)(y2 + x(x + b)) = 4axy2 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Longchamps en 1885, Brocard y dOcagne en 1887. Al trifolium regular se le llama rosa de tres pétalosDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 73
  74. 74. Trébol Equilátero Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r = a /cos3 x(x2 – 3y2) = a(x2 + y2 ) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Longchamps en 1888Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 74
  75. 75. Tractriz o curva del Perro Ecuación Paramétrica x = 1 / cosh(t) y = t – tanh(t) Esta curva fue estudiada por Huygens en 1692, Leibniz, Johann BernoulliDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 75
  76. 76. NEFROIDE Ecuación Paramétrica x = a(3cos(t) - cos(3t)), y = a(3sen(t) - sen(3t)) Curva estudiada por Huygens en 1678Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 76
  77. 77. Rosa de Grandi Ecuación Polarr = acosn o r = asen(n ) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Grandi en 1723. Esta curva también recibe el nombre de Rhodonnee, Multifolium, rosetón de Troya . El valor de n determina el número de pétalosDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 77
  78. 78. Curva de Lame o Super Elipse Ecuación Paramétrica Ecuación Cartesiana x(θ) = a cos2/n(θ) (x/a)n + (y/b)n = 1 y(θ) = b sin2/n(θ) Curva estudiada por Gabriel Lameen 1818 , Piet Hein .Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 78
  79. 79. Espiral de Arquímedes Ecuación Polar r= a y 60 40 20 0 x-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 -20 -40 -60 Curva estudiada por Arquímedes Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 79
  80. 80. Lituus 8 y Ecuación Polar 6 r 2 = a2 y 4 10 2 5 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 0 x -2-15 -10 -5 0 5 10 15 -4 -5 -6 -10 -8 Curva estudiada por Maclaurin en 1722Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 80
  81. 81. Mariposas Matemáticas I Ecuación Paramétrica x = asen (5t) cos (t) y = asen (5t) sen (4t)Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Aplicaciones 81
  82. 82. Mariposas Matemáticas II Ecuación Paramétrica x = asen (5t) cos (t) y = asen (5t) cos (4t)Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 82
  83. 83. Espiga Ecuación Polar r = a / cos(n ) o r = a / sen(n ) 6 y 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por Aubry en 1895 . También se conoce con el nombre de espiral de CotesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Ver Mas 83
  84. 84. Folium de Descartes Ecuación Polar Ecuación Cartesiana r= (3asen cos )/(cos3 + sen3 ) 6 y x3 + y3 = 3axy 4 2 0 x -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 Curva estudiada por DescartesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 84
  85. 85. Aplicaciones de las curvasDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 85
  86. 86. Propiedades de reflexión de la parábolaEsto se basa en el hecho de que,en los espejos planos, cóncvos yconvexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales. Existe la leyenda que dice que Arquímedes de Siracusa (287-212 AC) utilizó esta propiedad para incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 86
  87. 87. Arcos parabólicos Fuentes del Paseo del Prado de Madrid El Gateway Arch, en San Luis EE.UU.,es un arco parabólico que mide 192 metros de alturaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 87
  88. 88. Arcos parabólicosDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 88
  89. 89. Arcos parabólicosDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 89
  90. 90. Arcos parabólicosDiciembre 7 de 2006 Arco parabolico Hernan OtalvaroGarabit ingo. Luis Viaducto de M 90
  91. 91. Arcos parabólicosDiciembre 7Parque de 2006 de Lion ingo. Luis Hernan Otalvaro M 91
  92. 92. Forma de trazar una parábola mediante el método del sastre• El método del sastre es uno de los más sencillos. Lo usan esos profesionales cuando quieren coser una tela en forma de curva.• Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los dos lados, numeradas empezando en ambos casos por el vértice. Se unen los puntos cuyos valores suma una constante, por ejemplo 11, (se puede hacer con cualquier otro número). La envolvente de las rectas obtenidas es una parábola. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 92
  93. 93. La parábola en el billarDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 93
  94. 94. La CatenariaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 94
  95. 95. La CatenariaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 95
  96. 96. La CatenariaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 96
  97. 97. La hipérbola en el billarDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 97
  98. 98. LITUUSDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 98
  99. 99. Espiral de ArquímedesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 99
  100. 100. Gotica de AguaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 100
  101. 101. Molino de VientoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 101
  102. 102. El TorpedoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 102
  103. 103. El TorpedoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 103
  104. 104. El TorpedoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 104
  105. 105. El TorpedoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 105
  106. 106. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 106
  107. 107. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 107
  108. 108. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 108
  109. 109. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 109
  110. 110. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 110
  111. 111. La Super-Elipse Jardines del VaticanoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 111
  112. 112. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Plaza de san 112 pedro
  113. 113. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 113
  114. 114. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 114
  115. 115. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 115
  116. 116. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 116
  117. 117. Circulo Pintura de EscherDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 117
  118. 118. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Pintura de Escher 118
  119. 119. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M Pintura de Escher 119
  120. 120. CirculoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 120
  121. 121. PeraDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 121
  122. 122. SerpentinaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 122
  123. 123. Línea RectaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 123
  124. 124. Línea RectaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 124
  125. 125. Línea RectaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 125
  126. 126. Línea RectaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 126
  127. 127. InsectoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 127
  128. 128. InsectoDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 128
  129. 129. MariposaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 129
  130. 130. MariposaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 130
  131. 131. Un Mundo de EspiralesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 131
  132. 132. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 132
  133. 133. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 133
  134. 134. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 134
  135. 135. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 135
  136. 136. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 136
  137. 137. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 137
  138. 138. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 138
  139. 139. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 139
  140. 140. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 140
  141. 141. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 141
  142. 142. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 142
  143. 143. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 143
  144. 144. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 144
  145. 145. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 145
  146. 146. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 146
  147. 147. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 147
  148. 148. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 148
  149. 149. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 149
  150. 150. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 150
  151. 151. Turbina de avión airbusDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 151
  152. 152. Algunas animaciones de curvasDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 152
  153. 153. La Ciclode• La cicloide se produce cuando se hace rodar un disco sobre una superficie horizontal.• Esta curva fue estudiada por Charles Bouvelles en 1501, Mersenne y Galileo en 1599, Roberval en 1634, Torricelli en 1644Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 153
  154. 154. La Parábola Las parábolas son las curvas que se obtiene al cortar una superfice cónica con un plano paralelo a una sóla generatriz (arista).Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 154
  155. 155. La ParábolaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 155
  156. 156. La Hipérbola Las hipérbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 156
  157. 157. La HipérbolaDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 157
  158. 158. La ElipseLas elipses son las curvas que se obtienencortando una superficie cónica con un planoque no es paralelo a ninguna de susgeneratrices. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 158
  159. 159. La ElipseDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 159
  160. 160. Cardioide• Se trata de una curva epicicloide. Estas curvas son descritas por un punto de una circunferencia rodante que gira exteriormente, sin deslizamiento, sobre otra circunferencia fija.• Dependiendo de la relación entre los radios se obtienen distintas hipocicloides. Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 160
  161. 161. CardioideDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 161
  162. 162. LIMAÇON DE PASCALDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 162
  163. 163. LIMAÇON DE PASCALDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 163
  164. 164. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 164
  165. 165. Rosa de GrandiDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 165
  166. 166. BifoliumDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 166
  167. 167. Espiral de ArquímedesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 167
  168. 168. Espiral de ArquímedesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 168
  169. 169. Espiral de ArquímedesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 169
  170. 170. Espiral de ArquímedesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 170
  171. 171. LITUUSDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 171
  172. 172. Espiga o espiral de CotesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 172
  173. 173. Óvalos de CassiniDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 173
  174. 174. Cisoide de DioclesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 174
  175. 175. Cisoide de DioclesDiciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 175
  176. 176. Las Cónicas• El Matemático griego Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas, y fue Apolonio de Perga (262-190 A.C.) el primero en estudiarlas detalladamente, y encontrar la propiedad plana que las define.• Apolonio, descubrió que se pueden clasificar en tres tipos, y les dio el nombre de elipse, hipérbolas y parábolas.• En el libro I de su tratado sobre las cónicas presenta los modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.Diciembre 7 de 2006 ingo. Luis Hernan Otalvaro M 176

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