Tutoria Algebra I Bimestre 20082

ESCUELA : NOMBRES ALGEBRA FECHA : Ing. Germania Rodriguez SEPTIEMBRE 2008 – FEBRERO 2009 Escuela de Ciencias de la Computación

I BIMESTRE

Teoría de conjuntos

Conceptos Fundamentales de Algebra

Ecuaciones y Desigualdades

Funciones y gráficas

Funciones Polinomiales y racionales

Funciones exponenciales y logaritmicas

Teoría de Conjuntos Definición Pertenencia є Tabulación y Comprensión Tipos de conjuntos: Vacio, Unitario, Finito, Infinito, Potencia Relaciones: Inclusión, Comparables c Operaciones: Unión, Intersección, Diferencia, Diferencia Simétrica EJEMPLO: A={b,c,d,e} ; B={c,e,h,f,k} y C={a,b,e,h}

Sistema de Números Reales -∞ ………-30/3….. -√25.. -∏ -3/2 -1 0 1 3/2 ∏ √25…30/3…….∞

Exponentes y Radicales Leyes de los exponentes Ley Ejemplo a 0 = 1 30 = 1 a -n = 1 / a 3 -3 = 1 / 3 3 = 1 /27 a m a n = a m+n 2 3 .2 4 = 2 3+4 =128 (a m ) n = a m.n 2 3 .2 2 = 2 3.2 =64

Exponentes y Radicales Leyes de los exponentes

Ejemplo:

Ley Ejemplo (ab) n = a n b n (20) 3 = (2.10) 3 =2 3 10 3 =8.1000 = 8000 (a / b) n = a n /b n (2 / 10) 3 = 2 3 /10 3 = 8 / 1000 a m / a n = a m-n a n / a m = a n-m 2 5 / 2 3 = 2 5-3 = 2 2 = 4 2 3 / 2 5 = 2 3-5 = 2 -2 = 1/2 2 =1/4

Exponentes y Radicales Leyes de los radicales Exponentes Racionales

Ejemplo:

Ley Ejemplo n √a.b = n √a. n √b √ 25.2 = √25. √2 = 5 √2 n √(a/b) = n √a / n √b √ 25 / 2 = √25 / √2 = 5 / √2 m √ n √a = mn √ a √ 3 √64 = 2.3 √64 = 6 √2 6 a 1/n = n √ a 27 1/3 = 3 √ 27 = 3 a m/n = ( n √ a) m = n √ a m 2 3/2 = ( 2 √2) 3 = 3 √2 3 = 3 √8

Expresiones Algebraicas

Colección de variables y números reales

POLINOMIOS:

Suma de cualquier número de monomios (una expresión de la forma ax n )

a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 Polinomio de Grado n

OPERACIONES

Suma, Resta, Multiplicación y División

Ejemplo: x 3 – 3x 2 +4 y x 2 +x+2

Expresiones Algebraicas Fórmulas de Productos

Ejemplo:

p 8 – q 8 =

Fórmula Ejemplo (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (2a + 3)(2a - 3) = (2a) 2 – 3 2 = 4a 2 - 9 (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (2a - 3) 2 = (2a) 2 –2(2a)(3)+ 3 2 = 4a 2 -12a+ 9 (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) (2a+3) 3 = (2a) 3 –3(2a) 2 (3)+ (2a)3 2 +3 3 = 8a 3 +36a 2 + 18a +27

Expresiones Algebraicas Factorización

Ejemplo:

x 3 – 8 =

Fórmula Ejemplo ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) 4a 2 – 9 = (2a) 2 – 3 2 = (2a + 3)(2a - 3) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (8a 3 - 27) = (2a) 3 – 3 3 = (2a – 3)(4a 2 +6a+ 9) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 ) (125a 3 + 8) = (5a) 3 +2 3 = (5a+2)(25a 2 -10a+ 4)

Expresiones Fraccionarias Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios

Ejemplo:

Cociente Denominador 0 si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3 Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3

CAPITULO II Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones.

Problemas aplicados.

Ecuaciones cuadráticas

Números complejos

Otros tipos de ecuaciones

Desigualdades.

Ecuaciones Son expresiones algebraicas (igualdades) que contienen al menos un valor desconocido incógnita tienen una sola solución; para resolverla se debe obtener expresiones equivalentes y para esto se debe sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación o también se puede multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad, tratando de aislar la incógnita a un solo lado de la ecuación Las ecuaciones más básicas donde la incógnita esta elevada a potencia 1 ose denominan Ecuaciones Lineales son de la forma ax + b = 0 para resolverla aplicamos resolución de las ecuaciones Ejemplo ax + b - b = 0 – b ax / a = -b / a x = -b / a

Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática posee la incógnita a la segunda potencia, su forma general es: ax 2 +bx+c = 0;a ≠0 Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces (soluciones).

Para resolverla se puede aplicar:

Factorización que consiste en transformar a la ecuación cuadrática en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener así las soluciones.

Ecuaciones Cuadráticas

Completar el trinomio cuadrado perfecto método que consiste en agregar la mitad del coeficiente del término en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuación, obteniéndose así un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el método de la raíz cuadrada

El método más fácil y más sencillo es el de aplicar la fórmula cuadrática :

x=(−b±√b 2 −4ac)/2a donde b 2 −4ac es el discriminante de la ecuación si es mayor a cero las soluciones son dos raíces reales y diferentes, y si es menor a cero la solución no esta en los números reales

Ejemplo:

x 2 + 2x – 3 =

Números Complejos Los números complejos se necesitan para expresar la solución de ecuaciones que no se halla en el conjunto de números reales, por ejemplo la raiz cuadrada de un número negativo Ejm: x 2 = -9 para poder expresar la solución de este tipo de ecuación se utiliza i = √-1 de donde i 2 = -1 Con este término x = √-9 la solución sería x=3i Los números complejos contienen a los reales normalmente se forman de una combinación de un real y el imaginario. Se puede realizar operaciones entre ellos como suma, resta, multiplicación, división

Otro tipo de ecuaciones

Ecuaciones con valor absoluto

2|4x-1| + 1 = 7

Solución de una Ecuación por agrupación

20x 3 +8x 2 -35x-14=0

Ecuaciones con exponentes racionales

y 3/2 = 5y

Ecuaciones con radicales

√ (3x+1) - √(x+4) = 1

Desigualdades También llamada inecuación para resolverla se debe encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Una desigualdad puede tener un número infinito de soluciones que se representan en la recta numérica o en intervalos. Se resuelven igual que las ecuaciones aislando la incógnita aplicando operaciones iguales en ambos lados, con la diferencia que al multiplicar ambos lados por un valor negativo la desigualdad cambia de sentido Ejm: 4x – 3 < 2x + 5 Desigualdad continua 4 ≥ 3x+5 > -1 Desigualdad racional 4 / (3x+2) ≥ 0

Desigualdades

Desigualdad con valor absoluto

PROPIEDADES

|a| < b equivale a –b < a < b

|a| > b equivale a a < –b o a > b

Ejemplo:

|x+5| < 3, |x+5| > 3 y |x+5| = 3

Desigualdad Cuadrática

Factorar y utilizar diagrama de signos

Ejemplo 25x 2 – 9 < 0

CAPITULO III Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangulares

Gráficas de ecuaciones.

Rectas

Definición de función

Gráficas de funciones

Tipos de funciones

Funciones cuadráticas

Operaciones sobre funciones

Sistema de coordenadas rectangulares Formado por la intersección de dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical llamados ejes coordenados, que forman cuatro semirectas y cuatro cuadrantes; el punto de intersección se denomina origen. Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas P(a,b), que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados. P(a,b) a b O II I III IV

Sistema de coordenadas rectangulares De manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación. Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma: d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2

Gráfica de ecuaciones Graficar una ecuación quiere decir representar en un sistema de coordenadas todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 2y=x 2 algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), (−2,2) etc. Si representamos estos pares ordenados y luego los unimos tendríamos: (0,0) (2,2) (1,1/2) (-2,2)

Gráfica de ecuaciones Cuando se grafica se debe considerar algunas definiciones: INTERSECCIONES: que son los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados x o y. Estos valores se encuentran x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 SIMETRIAS: La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje x reemplazamos y por − y en la ecuación, y viceversa para el eje y reemplazamos x por -x

Gráfica de ecuaciones CIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado. La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera: (x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: r 2 = x 2 + y 2 Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. EJEMPLO: Obtener la ecuación dado centro (2,-3) radio 5 y Obtener el centro y el radio dada x 2 + y 2 +4y -117 = 0

Rectas La ecuación de la recta tiene la forma ax + by = c Dada la ecuación podemos obtener la recta calculando las intersecciones. EJEMPLO 2x – 5y = 8 La pendiente de la recta es M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) PARALELAS: dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente M PERPENDICULARES: dos rectas son perpendiculares cuando M 1 .M 2 = -1

Función Una relación es una correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos Ejemplo relaciones familiares, laborales, numéricas. Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de y de E. D E f(x) = x 3 y = x 3 x y -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8

Función Se debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso x se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y). Además gráficamente el Rango se ubica en el eje x y el dominio en el eje y PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Es una forma de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función; caso contrario no

Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.

Función creciente, decreciente o constante

En un intervalo I del dominio de una función f

f es creciente en I si f (b) > f (a) siempre que b > a en el intervalo I

f es decreciente en I si f (b) < f (a) siempre que b < a en el intervalo I

f es constante en I si f (b) = f (a) siempre que b = a en el intervalo I

Continuidad una función es continua cuando la gráfica esta unida en todo su dominio, es decir no existen punto en x que no tengan valor en y

Paridad de una función

Al reemplazar la variable x por –x

Si f (-x) = f (x) la función es par

Si f (-x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y

Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen

EJEMPLOS:

Si f (x) = x 2 – 1 entonces f (-x) = (-x) 2 – 1 = x 2 – 1  función par

Si f (x) = 2x – 3 entonces f (-x) = 2(-x) – 3 = -2x – 3  función impar

Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parabola

Operaciones con Funciones Con las funciones se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas suma, resta, multiplicación y división, pero además tienen una operación propia llamada composición que se denota con o se da entre dos o más funciones La función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x)) EJEMPLO: Si f(x) = 1/x y g(x) = x 2 + 3x - 2 obtener (f o g )(x) y (g o f)(x)

CAPITULO IV Funciones polinomiales y Racionales

Funciones polinomiales de grado mayor que 2

Funciones racionales.

Funciones polinomiales y Racionales

Tienen la forma

f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ….. + a 1 x + a 0

Que es un polinomio de grado n y con a n ≠ 0

Los casos para grado de 0 a 2 se resumen en la siguiente tabla:

Todas las gráficas de las funciones polinomiales son continuas

Grado de f Forma de f(x) Gráfica de f (con intersección en y) 0 f(x) = a 0 Recta horizontal 1 f(x) = a 1 x+a 0 Recta con pendiente a 1 2 f(x) = a 2 x 2 +a 1 x+a 0 Parábola con eje vertical

Funciones polinomiales de grado mayor a 2 Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto a n son cero entonces: f(x)=ax n en donde a=a n ≠0 Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen EJEMPLO f(x) = ½ x 3 y= ½ x 3 x y -2 -8/2=-4 -1,5 -27/16=-1,7 -1 -1/2=-0,5 0 0 1 ½=0,5 1,5 27/16=1,7 2 8/2=4

Si n es par f es una función par por tanto la gráfica es simétrica respecto a y, algunos ejemplos Funciones polinomiales de grado mayor a 2

Normalmente se puede obtener una gráfica muy precisa con los siguientes pasos Pág. 263

Calcule ƒ(-x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría

Calcule el intersecto ƒ(0) en y.

Factorice el polinomio.

Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ƒ(x) = 0.

Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ƒ(x) > 0 y donde ƒ(x) < 0.

Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario

Funciones polinomiales de grado mayor a 2 EJEMPLO: x 3 + x 2 – 4x - 4

Funciones racionales Tienen la forma R(x) = P(x) donde Q(x) ≠ 0 Q(x) Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma R(x)= a m x m +.......+a 1 x+a 0 b n x n +.......+b 1 x+b 0 donde a m ,b n ≠0 División de polinomios objeto bajar el grado de un polinomio TEOREMA ASINTOTAS HORIZONTALES: Pág. 308 1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m =n, la recta y=a m b n es una asíntota horizontal. 3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

Gráfica de Funciones racionales

Si f(x) = g(x) / h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas: Pág. 309

Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0

Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x) = 0

Encontrar las intersecciones con y, obteniendo f(0), trazamos la intersección (0,f(0))

Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c

Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c

Trazar la gráfica en cada región

EJM: x 2 – x - 6

x 2 - 2x - 3

CAPITULO V Funciones exponenciales y Logarítmicas

Funciones exponenciales.

Función exponencial natural

Funciones logarítmicas.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Funciones Exponenciales Tienen la forma f(x)=a x En donde x es cualquier número real. Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales .

Funciones Exponenciales

El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).

El rango de ƒ es el conjunto de las reales positivos. (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).

El intersecto en y para la gráfica de ƒ es 1.

La gráfica no tiene intersectos en x. El eje x es una asíntota horizontal para la gráfica de ƒ.

La función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.

La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

Funciones Exponenciales Otra forma de funciones exponenciales podría ser: f(−x) = 3 (−x) 2 =3 x 2 = f(x) Lo que implica que ƒ es una función par. En consecuencia la gráfica es simétrica con el eje y. El intersecto en y de la gráfica es ƒ(0) = 3 0 = 1. Utilizando esta información y marcando los puntos que resultan de la tabla anexa podemos graficar la función que se muestra a continuación. x y -2 81 -1 9 0 1 1 9 2 81

Funciones Logarítmicas FUNCION EXPONENCIAL NATURAL La base e.- El número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=e x FUNCION LOGARITMICA La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por log a Sus valores se representan como log a (x) o como log a x, puesto que: f −1 (x) sí y solo sí x=f(y) La definición de log a se puede expresar de la siguiente manera: y=log a (x) sí y solo sí x=a y Pág. 349

Funciones Logarítmicas EJEMPLOS Gráficas características

Graficar Funciones Logarítmicas METODO 1 Pág 352 Dado y=log a x donde a x es su inversa graficamos y = x a trazamos la línea y = x y reflejamos la gráfica METODO 2 Dado y=log a x con x= a k donde y=log a x=k es el número real nos proporciona los puntos de la gráfica METODO 3 Pasar a la forma exponencial y=log a x donde x = a y dar valores a y para encontrar a x y graficas EJEMPLO: f(x) = log 2 (x+4)

Funciones Logarítmicas

Propiedades de las gráficas

El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales positivos (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo).

El rango de ƒ es el conjunto de las reales (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje de las x)

El intersecto en x para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersecto en y.

El eje x es una asíntota vertical para la gráfica de ƒ.

La función ƒ es creciente en el intervalo (0, ∞) si a > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0< a < 1.

La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

Propiedades Funciones Logarítmicas Se aplican igual para logaritmos comunes como para logaritmos naturales Pág. 349 EJEMPLO: log 4 (x+1) = 2 + log 4 (3x-2) log u.w = log u + log w log u / w = log u - log w log u c = c log u

BIBLIOGRAFIA Algebra y Trigonometría con geometría analítica, Eart Swokowski y Jeffery Cole, THOMSON, Décima Edición Guía Álgebra, Informática, Ing. Julio González Zuñiga, Editorial UTPL

Ing. Germania Rodríguez Morales UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA Gestión del Conocimiento Mail: [email_address] Skype: grrodriguez78