Unidad Nº1

UNIDAD UNO “NÚMEROS”

¿De qué se tratará esta Unidad?

Para esto seguramente será necesario que repases las operaciones básicas para que las ocupes en distintas situaciones. Consiste en profundizar los conceptos aprendidos en educación Básica sobre los números enteros, fraccionales y decimales, positivos y negativos.

Números Números Naturales Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor Números Enteros Números Racionales Números Irracionales Números Reales ¿ QUÉ PRENDERÁS

Sistema de Evaluación

Se realizarán evaluaciones formativas y una prueba sumativa al terminar la Primera Unidad.

Las evaluaciones formativas serán mediante prueba escrita, trabajos en clase o revisión de cuaderno con los ejercicios resueltos.

A lo largo de la historia el hombre ha tenido la necesidad de contar y de solucionar problemas. Los primeros números escritos de los que tenemos noticia nacieron en Egipto y Mesopotamia hace unos 5.000 años. Unos 3.000 años después, los romanos inventaron nuevos símbolos utilizando letras. INTRODUCCIÓN

Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Números.

Pero el más notable de todos los sistemas numéricos primitivos fue el sistema de numeración de los mayas, un pueblo de América Central. La matemática se ha ido construyendo recopilando información de diversas culturas hasta lo que hoy conocemos.

La invención del cero se ha atribuido, por lo general, a los hindúes (en una fecha anterior al año 800 d. C. que todavía no se ha podido precisar) y aún se discute si los primeros fueron ellos o los babilonios. El cero es un interesante ejemplo de los orígenes independientes de las ideas matemáticas en culturas diferentes. Un poco de Historia…….

A INVESTIGAR ¡¡¡¡

Señala dos ventajas que para la humanidad ha tenido la invención del cero.

Cuadrados Mágicos Un cuadrado mágico es un conjunto de números ordenados en igual cantidad de columnas y filas, de manera que los números de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo .

Por ejemplo, en el siguiente cuadrado los números de cada fila, columna y diagonal suman 34: Columnas Filas 15 14 4 1 En la primera fila: En la segunda columna: 15 + 6 + 10 + 3= 34, etc. 1 + 15 + 14 + 4 = 34 Diremos entonces que el número mágico de este cuadrado es 34 . 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

A trabajar ¡¡¡¡¡¡ Completa en tu cuaderno los siguientes cuadrados mágicos, determinando en primer lugar el número mágico: 15 4 12 9 8 11 5 3 2 16 9 2 11 3 19 12 13 6 4 14 7 5 23 15 8 1 17

Números Naturales En cursos anteriores ya has estudiado los números naturales y sus operaciones. ¿Qué recuerdas de ellos? Encontrarás los números naturales en muchas situaciones y anuncios como los siguientes:

TERREMOTO DEJA UNA CIFRA DE 1.080 DAMNIFICADOS COMBO 1: 1 HOTDOG BEBIDA PAPAS FRITAS $1.080 SE VENDE: Departamento de 2 y 3 dormitorios desde 1.080 UF Si observas la cifra que aparece en cada anuncio, podrás notar que el número es el mismo, sin embargo, representan algo distinto dependiendo del contexto en que esté.

El Conjunto de los Números Naturales se designa por la letra lN. Se expresa por extensión como: lN =  1, 2, 3, 4, 5,...  Si a este conjunto agregamos el cero obtenemos el conjunto . =  0, 1, 2, 3, 4, 5,... 

Las propiedades en el conjunto de los números naturales son las siguientes :

Tiene primer elemento ( el 1 ).

Es infinito, o sea, no tiene último elemento.

Entre dos números consecutivos, no existe otro.

El conjunto es DISCRETO.

Está ordenado por la relación “menor” ,“mayor o igual”.

Se aplica la propiedad de tricotomía.

( Dos números , se pueden comparar con una sola

de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o “igual”.)

Además de las propiedades anteriores, este conjunto se puede separar en dos “subconjuntos”: los pares y los impares , y ningún número pertenece a ambos. Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10… y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9… Además a veces se pueden escribir secuencias con números naturales que cumplen con alguna característica común o regularidad. Por ejemplo, en la secuencia 12, 15, 18, 21,… cada número se obtiene agregándole 3 al anterior.

En el siguiente ejemplo, verifica que en cada fila las igualdades sean verdaderas. 5 = 1 · 5 5 + 7 = 2 · 6 5 + 7 + 9 = 3 · 7 5 + 7 + 9 + 11 = 4 · 8 ¿Cuál sería la décima fila? Para resolver este problema observa cómo son las sumas que están a la izquierda y los factores correspondientes de la derecha.

Los problemas anteriores se caracterizan porque debes descubrir la regularidad numérica, el patrón o ley de formación de la secuencia.

Trabajo en Equipo:

Observen y verifiquen las siguientes igualdades:

1 · 9 + 2 = 11

12 · 9 + 3 = 111

123 · 9 + 4 = 1.111

1.234 · 9 + 5 = 11.111

¿Cuál será la octava fila?

Según el patrón dado, ¿Cuánto sería 1.234.567 · 9 + 8?

2. En el siguiente problema las fichas circulares están colocadas en arreglos triangulares.

¿Cuántas fichas se necesitarán para los dos arreglos triangulares siguientes?

Si en el arreglo triangular del lugar 28 se necesitaron 406 fichas, ¿cuántas se necesitarán para el del lugar 29?

Los números naturales los encontramos no sólo en los diversos tipos de información, sino en las actividades diarias. Los utilizamos cuando hacemos las compras en el supermercado, cuando pagamos cuentas como la del teléfono, el agua, el gas o la luz; cuando pagamos el pasaje en una micro, y en muchas otras ocasiones. En todos estos casos no basta conocerlos, sino que es importante saber operar con ellos, es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir.

En lN se definen las siguientes operaciones, con sus respectivas propiedades :

Cerrada,

a, b  lN  a  b = c , c  lN

ii) Asociativa,

 a, b, c  lN ;

(a  b)  c = a  ( b  c)

iii) Elemento Neutro,

 a  lN   ! 1  lN tal que

a  1  1  a  a

( todo número natural multiplicado por 1 da el número natural ).

iv) Conmutativa,

 a, b  lN , a  b = b  a

v) Distributividad de la multiplicación

con respecto a la adición :

 a, b, c  lN ;

a  ( b + c ) = a  b + a  c

Cerrada,

 a, b  lN , a + b = c , c  lN

( al sumar dos naturales, el resultado es también un natural).

Asociativa,

 a, b, c  lN ;

(a + b) + c = a + ( b + c)

Conmutativa,

 a, b  lN , a + b = b + a

MULTIPLICACION ADICION

EJERCICIOS CON LOS NÚMEROS NATURALES : 4. Se compran 8 libros a $ 2.500 cada uno, 5 lápices a $ 1.200 cada uno y 4 lápices Parker a $4.100 cada uno. Si se vende todo a $ 40.800 ¿Cuánto se descuenta ? 3. Si a · b · c = 30 ¿ Cuánto vale b · a · c = ...... y c · a · b = ...... 2. Clarifica por medio de un ejemplo el concepto de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. 1. ¿ Porqué el conjunto de los números naturales no tiene elemento neutro para la suma ?

Compré 14 trajes a $ 30.000 cada uno; 22 sombreros a $ 2.000 cada

uno y 8 bastones a $ 5.000 cada uno. Vendo los trajes por un total de

$ 560.000, cada sombrero a $ 1.000 y cada bastón a $ 3.000. ¿ Gano o

pierdo ? ¿ Cuánto ?

5. Un auto sale de Osorno al Sur a 70 km/hra y otro vehículo sale hacia el Norte a 85 Km/hra. Si ambos salen a las 10 de la mañana ¿A qué distancia se hallarán a la 1 de la tarde ?

Números Primos Los números primos son aquellos números naturales que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo número.

EJEMPLO

El 17 es un número primo, porque al escribirlo como producto resulta:

1 · 17 = 17 o 17 · 1 = 17, es decir, sus únicos factores son el uno y el mismo 17.

El 27 “ NO ES UN NÚMERO PRIMO ”, porque al escribirlo como producto resulta:

1 · 27 = 27 o 27 · 1 = 27 o 9 · 3 = 27 o 3 · 9 = 27 , es decir, sus factores pueden ser el 1, el 3, el 9 y el 27.

Se dice entonces que el 27 es un “NÚMERO COMPUESTO”.

OBSERVACIONES:

El número uno no es un número primo ni compuesto.

Los primeros números primos son:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,……

La demostración de que existen infinitos números

primos fue hecha por Euclides, en el siglo II

a. de C., y es considerada una de las más bellas

en la Historia de la matemática.

Una de las propiedades importantes de los números primos es que cualquier número natural mayor que 1 es primo o se puede expresar como producto de números primos. Por ejemplo, el número 120 se puede expresar como 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120 o escrito en potencias: 2 3 · 3 1 · 5 1 = 120

Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el estudio de las propiedades de los números; entre ellas, los divisores de un número, el cálculo del máximo común divisor (MCD) y del mínimo común múltiplo (mcm). Para descomponer un número en factores primos procederemos dividiendo el número sucesivamente por los números primos hasta llegar al último factor primo, tal como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

Descomponer el número 2.700 en factores primos:

Por lo tanto, la descomposición de 2.700 en factores primos corresponde a: 2 2 · 3 3 · 5 2. 2 3 3 3 5 5 1.350 675 225 75 25 5 1 2 2.700

Trabajito:

Clasifica los siguientes números naturales en primos o compuestos.

29, 101, 67, 71, 13, 79, 91, 677, 479, 386, 401.

¿ Por qué el número uno no es primo?

Descompón los siguientes números en sus factores primos:

144

136

228

350

Escribe todos los números primos desde el 23 al 61.

(Son 10).

MÚLTIPLOS Y DIVISORES En una radioemisora, cada 15 minutos una locutora anuncia la hora mediante una grabación programada automáticamente a través de una computadora. Por lo tanto, las horas son anunciadas a los 15, 30, 45, 60 minutos,… después de la primera vez. Estos números corresponden a los múltiplos de 15 y son el producto de 15 por los números naturales 1, 2, 2, 4, 5,…,etc.

El conjunto de todos los múltiplos de 12 lo designaremos con el símbolo M(12) y corresponde a : {12,24,36,48,60,…}

Si quisiéramos saber si 168 es múltiplo o no de 12, es decir, si pertenece al conjunto anterior, tenemos que saber si 168 es el producto de 12 por algún otro número natural, es decir, averiguar si 12 divide exactamente a 168. Ya que 168 = 14 · 12; podemos asegurar que 168 es múltiplo de 12 o que 12 es divisor de 168.

Los conceptos de múltiplo y divisor están fuertemente relacionados. Si designamos por a y b dos números naturales, podemos establecer: “ Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a”.

Para determinar en forma rápida si un número es divisible o no por otro existen las llamadas reglas de divisibilidad, algunas de las cuales se presentan a continuación: 12 es múltiplo de 4. 3.712 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro. 4 1+5+4+2=12 y éste es múltiplo de tres. 1.542 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 3 6 es número par. 2.536 Su última cifra es un número par. 2 Ya que Ejemplo Cuando Un número es divisible por

(2+9)-(6+5)=0 6.259 La suma de las cifras ubicadas en un lugar impar restada con la suma de las cifras ubicadas en el lugar par da cero o es múltiplo de 11 11 Termina en 0. 2.360 Su última cifra es cero. 10 5+8+1+4=18 Y éste es múltiplo de nueve. 5.814 La suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. 9 4 es número par y 2+2+1+4=9 y éste es múltiplo de 3. 2.214 Es divisible por dos y tres a la vez. 6 Termina en 5. 2.685 Su última cifra es 0 o 5. 5

Observación

Los divisores de un número se pueden obtener de diferentes maneras:

Usando las reglas de divisibilidad.

Descomponiendo el número en diversas multiplicaciones de dos factores. Por ejemplo:

24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6,

entonces los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Ayuda:

Tú puedes calcular cuántos divisores tiene un número multiplicando los sucesores de los exponentes de la factorización prima.

Por ejemplo:

Su factorización prima es: 90 = 2 1 · 3 2 · 5 1 , luego los exponentes son 1,2 y 1. Finalmente multiplicamos los sucesores, es decir, 2 ·3 ·2 = 12 3 3 5 45 15 5 1 2 90

Por lo tanto 90, tiene 12 divisores. D(90)={1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

ACTIVIDAD:

Descompón los números 72 y 180 en factores primos y determina cuatro divisores comunes.

Mínimo Común Múltiplo Y Máximo Común Divisor Revisemos las siguientes situaciones de la vida diaria en que se aplica el cálculo del mcm y del MCD: En el taller: Juan ha comprado un vehículo y leyendo el manual observó que el cambio de aceite debía hacerse cada 6.000 km, el cambio de filtro de aceite cada 10.000 km, y la revisión de frenos cada 12.000 km. Al leer esto se preguntó: ¿en cuántos kilómetros más tendré que hacer las tres cosas a la vez?

Juan decidió anotar los kilómetros en que tendrá que hacer los cambios de aceite, de filtro de aceite y la revisión de frenos, y ordenarlos, con lo que obtuvo: Cambio de aceite: 6.000, 12.000, 18.000, 24.000, 30.000, 36.000, 42.000, 48.000, 54.000, 60.000,66.000,…… Cambio de filtro: 10.000, 20.000, 30.000, 40.000, 50.000, 60.000,…. Revisión de frenos: 12.000, 24.000, 36.000, 48.000, 60.000, 72.000,… ¿Puedes decir ahora a los cuántos kilómetros le corresponden los tres servicios?

El número que debe calcular Juan corresponde al menor de los múltiplos comunes, es decir, al mcm ( mínimo común múltiplo ). El cálculo del mcm se puede realizar utilizando la descomposición en factores primos de los números. 6.000= 2 4 ·3 · 5 3 10.000=2 4 · 5 4 12.000= 2 5 · 3 · 5 3 Ahora, para hallar el mcm se deben multiplicar todos los factores primos distintos que aparecen en las descomposiciones, elevados al mayor exponente que tenga cada uno. En este caso el mcm es: 2 5 · 3 · 5 4 =60.000

RECUERDA: El MCD se puede calcular desarrollando la descomposición prima y multiplicando posteriormente los factores comunes elevados cada uno al menor exponente que tenga en las descomposiciones.

Ejemplo: Clara está a cargo del festival del colegio y debe empapelar una parte de una pared con cuadrados de cartulina de diversos colores. El pliego de cartulina de color tiene un tamaño de 72 por 96 cm y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles para que no sobre material en cada pliego. ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado para que cumpla con lo anterior?

Para resolver esto, Clara debería calcular el máximo común y divisor (MCD) de 72 y 96. 72 =