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Monografia da Especialização UFRJ
 

Monografia da Especialização UFRJ

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Tema: O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL

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    Monografia da Especialização UFRJ Monografia da Especialização UFRJ Document Transcript

    • O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL GREGSON BARROS DA SILVA MONOGRAFIA DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 2009
    • UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA – IM–UFRJ CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA1 O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL 2 por Gregson Barros da Silva Orientadora: Professora Lúcia Tinoco Monografia apresentada como requisito para a conclusão do Curso de Especialização para Professores de Matemática Rio de Janeiro – RJ 2009
    • “A alegria não chega apenas no encontro doachado, mas faz parte do processo da busca. E ensinar e aprender não pode dar-se fora da procura, fora da boniteza e da alegria.” Paulo Freire
    • AGRADECIMENTOSAgradeço a Deus, aos meus pais que nunca me negaramesforços para que eu chegasse aonde cheguei e nas minhasdificuldades estiveram comigo. Agradeço por terem meincentivado a terminar meu curso de Especialização e pelaboa vontade de me acompanharem na viagem cansativa desexta-feira. Agradeço a professora e Orientadora LúciaTinoco pela atenção e dedicação dada para que eu fizesseminha monografia.
    • DEDICATÓRIA Aos meus pais e a todos os meus alunos e professores que me auxiliaram neste trabalho.
    • 3 SUMÁRIO PáginaIntrodução 1Capítulo 1 – Objetivos 2Capítulo 2 - Concepções e ideias da Álgebra 3Capítulo 3 - O simbolismo e a linguagem algébricos 11Capítulo 4 - Trabalho de campo 17Capítulo 5 - Conclusão 26Referências Bibliográficas 27Anexo 284
    • UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÀTICACURSO DE ESPECIALIZAÇÂO EM ENSINO DE MATEMÁTICA Monografia submetida à coordenação de curso de Especialização para professores de matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para a conclusão do curso Gregson Barros da Silva Orientadora Lúcia Tinoco 2009
    • Introdução Nesse trabalho será discutida a necessidade de a Álgebra ser tratada em sala deaula, como um assunto menos complexo do que usualmente é considerada pelos alunos.A escolha deste tema foi motivada por inquietações surgidas em minha trajetóriaprofissional e tem como base ideias referentes à Álgebra e ao Currículo. Pretendo aquirefletir sobre o papel deste tópico na Matemática escolar e evidenciar possibilidadespedagógicas para o seu ensino e aprendizagem, com compreensão. Também desejoexaminar a abordagem das diferentes concepções da Álgebra e a contribuição daintegração entre elas para propiciar a desejada significação da atividade algébrica. Muitas das dificuldades que os alunos encontram na aprendizagem da Álgebrapodem ser resultados do fato de o professor ensinar apenas procedimentos e regras,limitando a capacidade de esses alunos compreenderem conceitos e procedimentos, quesão de extrema importância para o domínio da Álgebra. Entretanto, as dificuldades de realizar tarefas algébricas podem ser atenuadas pormeio de práticas e estratégias desenvolvidas pelo professor, sugeridas em textos eartigos existentes sobre o ensino da Álgebra, analisados neste trabalho. Com base em tais textos, foi planejado o trabalho de campo, envolvendo alunose professores. Uma parte das informações obtidas na pesquisa de campo foram resultadoda análise da produção de alunos na resolução de atividades aplicadas em sala de aula, afim de verificar os problemas de aprendizagem em álgebra. Professores também foramentrevistados para reconhecer os problemas observados por eles no ensino eaprendizagem da Álgebra em diversos níveis de escolaridade. Os resultados obtidos evidenciam as dificuldades desses alunos em relação aodesenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico.Capítulo 1 – Concepções e ideias da álgebra
    • Encontrar motivos para não gostar de álgebra certamente não é difícil. Na escola,ela aparece quando os alunos deixam de fazer contas com simples números e passam alidar com símbolos, na maioria da vezes, letras como x, y, a e b. É quando as notascomeçam a cair e os alunos a reclamar, e citar aquela velha e conhecida frase: “para queserve isso”? (Álgebra). É verdade que não se pode aprender Álgebra sem uma certadisciplina e paciência, nem sempre disponíveis, mas, na maioria das vezes, ela éensinada de maneira desnecessariamente fria, trabalhosa e chata. No entanto, é disparateachar que a álgebra não serve para nada. Hoje em dia, a Álgebra ocupa lugar de destaque no currículo de matemática nasescolas de ensino fundamental e médio, ocupando um espaço bem maior que o daGeometria, por exemplo. Representa para muitos alunos tanto a culminação de anos deestudo de aritmética como o início de mais anos de estudos de outros ramos damatemática. Poucos contestaram sua importância, embora muitos alunos só tenhamnoções superficiais de seu significado e seu alcance. Em muitas salas de aula, os alunos continuam sendo treinados para armazenarinformações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulaçõesalgorítmicas. E, embora níveis adequados de informação e de técnicas sejam resultadosimportantes do programa de álgebra, a necessidade maior dos alunos é umacompreensão sólida dos conceitos algébricos e a capacidade de usar o conhecimento emsituações novas e às vezes inesperadas. É importante citarmos duas questões fundamentais, relacionadas com afinalidade do ensino e aprendizagem de Álgebra, propostas em COXFORD e SHULTE(1994, página 12): A primeira questão, que envolve o ensino de Álgebra na escola média hoje, diz respeito sobre até que ponto se deve exigir dos alunos capacidade de manejar, por si próprios, diversas técnicas manipulatórias. A segunda questão, relacionada com o currículo de Álgebra, é a do importante papel das funções e do momento de introduzi-las. Geralmente, as funções são tratadas pelos livros do primeiro ano de Álgebra como um tópico relativamente insignificante e só passam a ter importância na álgebra do segundo ano. Contudo, os currículos de algumas escolas elementares introduzem ideias sobre funções já na primeira série, e outros defendem que as funções deveriam ser usadas como veículo principal para a introdução das variáveis e da álgebra. Devemos observar também que as finalidades da Álgebra são determinadas por,ou relacionam-se com concepções diferentes da Álgebra que correspondem à diferentediferença da importância relativa dada aos diversos usos das variáveis.
    • Passamos a analisar algumas dessas concepções (Ideias da Álgebra, COXFORD,Arthur F. e SHULTE, Alberto P., 1994)Concepção 1: A Álgebra como Aritmética Generalizada Nessa concepção, é natural o uso das variáveis como generalizadoras demodelos. Por exemplo, generaliza-se 4 + 3 . 2 = 3 . 2 + 4 como a + b = b + a. O modelo2 . 5 = 101.5=50.5=0é estendido de modo abranger a multiplicação por números negativos (o que, nestaconcepção, muitas vezes é considerado álgebra e não aritmética):- 1 . 5 = -5- 2 . 5 = - 10Generalizam-se essas ideias de modo a tirar propriedades como:-x . y = -xy (o produto do oposto de um número por outro é igual ao oposto do produtodos dois números)Exemplo: Seja x = -2 e y = 3 e xy = -6-x . y = - (-2) . 3 = 6 = - (-6 ) = - (xy) Dentro dessa concepção da Álgebra, as instruções para o aluno são traduzir egeneralizar. Trata-se de técnicas importantes, não só para a Álgebra, mas também paraa Aritmética. Numa síntese de aplicações da Aritmética, concluímos que é impossívelestudar Aritmética adequadamente sem lidar implícita ou explicitamente com variáveis.O que é mais fácil, “O produto de qualquer número por zero é zero”, ou “ Para todo n,n . 0 = 0”? A superioridade da linguagem algébrica sobre a linguagem corrente, nasdescrições de relações numéricas, se deve à questão da sintaxe. A descrição algébricaassemelha-se à descrição numérica; a descrição em linguagem corrente, não. Historicamente, o avanço da notação algébrica, em 1564 teve efeitos imediatos.Em cinquenta anos, a geometria analítica foi inventada e levada a uma forma avançada.Em cem anos surgiu o cálculo. Esse é o poder da Álgebra como Aritméticageneralizadora.
    • Concepção 2: A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certostipos de problemas Consideremos o seguinte problema:Adicionando 5 ao triplo de um certo número, a soma é 44. Qual é este número?Traduzindo para a linguagem algébrica:3x + 5 = 44 Dentro da concepção anterior, isto é, concepção da álgebra como generalizaçãode modelos, generalizamos relações conhecidas entre números. Sob essa concepção, oproblema terminou, pois já encontramos o modelo geral (3x + 5 = 44). Porém, dentro daconcepção da álgebra como um estudo de procedimentos, iremos resolver a equaçãocom um procedimento, por exemplo, somemos, -5 a ambos os membros:3x + 5 + (-5) = 44 + (-5)Façamos então a simplificação, e temos: 3x = 39. A seguir resolvemos essa equação de alguma maneira, obtendo x = 13. O “certonúmero” no problema é 13 e podemos testar o resultado. Ao resolver problemas deste tipo, muitos alunos têm dificuldades na passagemda aritmética para a álgebra. Enquanto a resolução aritmética (“de cabeça”) consiste emsubtrair 5 e dividir por 3, a forma algébrica 3x + 5 envolve a multiplicação por 3 eadição por 5, as operações inversas. Isto é, para armar a equação, devemos racionarexatamente a maneira contrária a que empregamos para resolver o problemaaritmeticamente. Nessa concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes.Enquanto as instruções no uso de uma variável como generalizadoras de modelos sãotraduzir e generalizar, neste caso as instruções são simplificar e resolver. Na verdade,“simplificar” e “resolver” são, às vezes, dois nomes diferentes para a mesma idéia. Porexemplo, pedimos aos alunos para resolver | x – 2 | = 5 para obter a resposta x = 7 ou x= -3, mas poderíamos pedir aos alunos: “Reescreva | x – 2| = 5 sem usar valor absoluto”.Poderíamos então obter a resposta (x – 2)² = 25, que é uma outra sentença equivalente.Concepção 3: Álgebra como estudo de relações entre grandezas
    • A diferença desta concepção para a anterior é que nesta as variáveis variam. O que acontece com o valor de quando x se torna cada vez maior? A questão parece simples, mas é suficiente para confundir muitos alunos. Não épedido o valor de x, logo x não é uma incógnita. Dentro dessa concepção, uma variável é um argumento (isto é, representa osvalores do domínio de uma função) ou parâmetro (isto é, representa um número doqual dependem os outros) e pode-se usar como instruções-chave a manipulação e ajustificativa. Só no contexto dessa concepção existem as noções de variávelindependente e variável dependente. A notação funcional (como f(x) = 3x + 5) é umaidéia nova. De fato, o uso de f(x) para denotar uma função é visto por algunseducadores, como um dos fatores que dificultam a compreensão do conceito.Concepção 4: A álgebra como estudo da estruturas O estudo da álgebra nos cursos superiores envolve estruturas como grupos,anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Isso parece ter poucasemelhança com a álgebra do ensino médio, embora os corpos dos números reais e dosnúmeros complexos e os vários anéis de polinômios fundamentem a teoria da álgebra eas propriedades dos domínios de integridade e dos grupos expliquem por que certasequações podem ser resolvidas e outras não. Contudo reconhecemos a álgebra como oestudo das estruturas pelas propriedades que atribuímos às operações com números reaise polinômios. Consideraremos o seguinte exemplo: Fatorar: 3x² + 4ax – 132 a² A concepção de variável nesse caso não coincide com nenhuma daquelasdiscutidas anteriormente. Não se trata de nenhuma função ou relação; a variável não éum argumento. Não há equação a ser resolvida, de modo que a variável não atua comouma incógnita. Também não há nenhum modelo aritmético a ser generalizado. Aresposta à questão é (3x + 22a)(x – 6a). Surge aqui um dilema sutil. Desejamos que os alunos tenham em mente osreferenciais (geralmente números reais) quando utilizam as variáveis. Mas tambémdesejamos que eles sejam capazes de operar com as variáveis sem ter que voltar sempreao nível desse referencial.
    • Em problemas dessa natureza, a variável tornou-se um objeto arbitrário de umaestrutura estabelecida por certas propriedades. Essa é a visão da variável na álgebraabstrata. Muitas críticas têm sido levantadas contra o domínio de um “simbolismoextremado” nas primeiras experiências com a álgebra. Chamamos isso de manipulação“cega” quando o condenamos; e de técnica “automática” quando o elogiamos. Emúltima análise, todos desejam que os alunos tenham facilidade suficiente com ossímbolos algébricos, para poderem lidar abstratamente com as técnicas adequadas. Masa chave da questão é: O que significa “facilidade suficiente”? Depois desse resumo sobre estas concepções da álgebra, seria uma tolice, definira atividade algébrica como somente “cálculo com letras”, ou seja, manipulação desímbolos, sendo a álgebra muito mais que isso, porém muitas pessoas acham assim. Porquê? A razão é clara: é o que se ensina nas escolas; é o que vai para o trabalho de casa;é o que está nos exercícios, nos testes e nas provas; concluindo, é como os professoresde Matemática passam a maior parte do tempo a ensinar os alunos a praticar álgebra.Com isso, alunos que sabem manipular símbolos obtêm boas classificações. Também não podemos deixar de comentar dois aspectos (citados emCOXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P., 1994, página 3) de grande importânciatanto em relação ao conteúdo, quanto ao ensino e às aplicações da álgebra nas escolas.Forças sociais Todas as pessoas ligadas ao ensino direta ou indiretamente, continuam a exigirprestação de contas da excelência de resultados, o que muitas vezes é interpretadoerroneamente como somente obtenção de notas mais altas nos exames padronizados.Assim, de um lado há uma necessidade urgente de novos instrumentos de avaliação dosalunos, que possam avaliar adequadamente os níveis superiores do raciocínio e a suacapacidade de resolver problemas. De outro, há o perigo permanente de responder àsexigências de notas mais altas, enfraquecendo o processo de avaliação mais ainda ou“ensinando para o exame (prova e testes)”, enfatizando apenas as habilidades mecânicasque são fáceis de medir, isto é, avaliar. A álgebra é vulnerável às consequências dessas decisões. No entanto, a álgebramuitas vezes é um ponto crítico na decisão tomada pelo aluno de continuar ou nãoestudando matemática. A qualidade do ensino dessa matéria pode influir decisivamentena escolha do aluno. Mais do que isso, os professores com pouca qualificação ou
    • experiência em matemática provavelmente não empreenderão as mudanças curricularese do ensino da álgebra necessárias.Tecnologia da computação Uma das forças que atuam mais decisivamente nos dias de hoje sobre o currículoé a tecnologia da computação, envolvendo os computadores e as calculadoras.Surpreendentemente, talvez, os educadores tendem a aceitar muito mais oscomputadores do que as calculadoras. Na verdade, mesmo uma calculadora simples,destinada a tópicos como cálculo das quatro operações elementares, de logaritmos e deraízes quadradas, estão sendo quase sempre eliminadas das salas de aula. Apesar disso,muitos desses educadores, tendo provavelmente a licenciatura em Matemática, e quepodem fazer cálculos aritméticos mais rápida e rigorosamente do que a maior parte daspessoas, quando fazem o balanço de seu talão de cheques, por exemplo, usam ascalculadoras, quando é realmente importante. Além disso, quando se fazem os cálculos mais maçantes com uma calculadora,pode-se tornar os problemas mais reais, complexos e mais interessantes, ligados mais aonosso dia a dia. Contudo até mesmo mudanças relativamente pequenas geramresistências por parte de alguns educadores, que não conseguem imaginar um currículodesprovido dos tópicos tradicionais e que não se baseiem nos métodos tradicionais deensino. Esses educadores tendem a esquecer que no passado, antes do surgimento datecnologia do papel e da imprensa, os cálculos eram efetuados mediante a manipulaçãode “contadores” físicos, como por exemplo, pedras. A tecnologia do papel e daimprensa mudou esse quadro. Desenvolveram-se algoritmos que substituíram amanipulação de objetos pela manipulação de símbolos, capacitando assim as pessoas aelaborar uma matemática mais complexa, e o que, em última instância, levou a novosprogressos, tanto na matemática como nas matérias afins, especialmente na área daciência. A tecnologia da computação terá implicações naquilo que ensinamos dentro docurrículo da álgebra. De certo modo, os algoritmos terão seu papel diminuído erealçado: diminuído, quanto à sua memorização com o propósito de produzir resposta,porém, realçado no que se refere a aprender a planejar e criar algoritmos para execuçãopelas pessoas e pelo computador. Os educadores da área de matemática discutem uma definição das técnicasmatemáticas básicas que se estenda para além dos cálculos fundamentais. Na álgebra,
    • também, deve-se conceber a habilidade algébrica básica como algo que ultrapassa apura manipulação de símbolos. Assim, são de importância primordial: a compreensãode conceitos como de variável e o de função; a representação de fenômenos na formaalgébrica e na forma gráfica; a destreza na apresentação e interpretação de dados,avaliação e aproximação, e na formulação e resolução de problemas. O ambiente de aprendizagem sugerido por esses instrumentos tecnológicos tempouca semelhança com o da aula de álgebra tradicional, e a história nos ensina que asmudanças educacionais não ocorrem facilmente. A matemática na vida real é feita com tecnologia. Muito poucos, ou mesmonenhum, matemáticos profissionais e engenheiros fazem manipulações algébricascomplicadas à mão. No mundo de hoje, não ensinar os alunos a utilizar a tecnologia éprestar-lhes um mau serviço.As deficiências da álgebra Umas das maiores deficiências do ensino da matemática, e, em particular daálgebra, é a pouca ênfase dada ao seu uso cotidiano. Os alunos são expostos apouquíssimas situações que ilustrem o processo de estabelecimento de modelosmatemáticos no dia a dia. Tratar de assuntos do cotidiano em classe despertaria nosalunos um maior interesse, porque esses assuntos, como saúde, economia, política,esporte, trabalho, alimentação, meteorologia e pesquisas de opinião, dizem respeito àsua vida, principalmente, quando são apresentados de maneira atraente pelos meios decomunicação, em tabelas, diagramas, fluxogramas, gráficos. Todos eles podem serusados como contextos significativos para aprendizagem dos conceitos e procedimentosmatemáticos neles envolvidos ou com campo de integração com os conteúdos de outrasáreas do currículo. Esse estudo favorece também o desenvolvimento de atitudes críticasdiante das informações divulgadas pela mídia. Outro problema do ensino e aprendizagem da álgebra seria oaparecimento tardio da álgebra na escola (por volta do 7º e 8º anos de escolaridade). Seaos alunos forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricasde modo informal, já a partir dos anos iniciais, o estudo da álgebra se tornaria maisinteressante para eles, e, com isso, mais efetivo, fazendo com que os alunosdesenvolvam a habilidade de pensar “abstratamente”. Assim, os alunos irão adquirirbase para uma aprendizagem de álgebra mais sólida e rica em significados.O professortem a tendência de privilegiar o estudo do cálculo algébrico e das equações, muitas
    • vezes, descolados dos problemas. É mais proveitoso propor situações que levem osestudantes a construir noções algébricas pela observação de regularidade em tabelas egráficos, estabelecendo relações em vez de trabalhar com expressões e equações deforma meramente mecânica. Uma outra dificuldade que os alunos têm é a de simplificar expressões como 3a+ 4 b para 7ab. Esse problema pode ocorrer porque os alunos têm uma dificuldade em“aceitar a ausência de fechamento”, pois no contexto do estudo de equações, as criançasconsideram o sinal igual ( = ) como símbolo unidirecional que precede uma respostanumérica.. Muitos alunos parecem ter dificuldades enormes para resolver certos tipos de problemasalgébricos, bastante simples, em particular quando envolvem uma tradução da linguagem escritapara a linguagem matemática. De acordo com pesquisas realizadas por Clement, Lochhead eMonk, relatadas no livro “As idéias da álgebra”(p.145), cerca de 37% dos alunos queresolveram o problema abaixo cometeram erros. “Escreva uma equação usando as variáveis A e P para representar a seguinteafirmação: Há seis vezes mais alunos do que professores numa Universidade. Use Apara indicar o número de alunos e P para indicar o número de professores”. Os alunos que cometeram erro escreveram: 6A = P , trocando a posição dasvariáveis. As causas desses erros estão relacionadas à forte tendência que os alunos têm defazer uma associação com a ordem das palavras, da esquerda para a direita, aotraduzirem “alunos e professores”. Outra causa é que os alunos muitas vezesconfundem variáveis com rótulos. Os símbolos “A” e “P” muitas vezes sãointerpretados como rótulos para “alunos” e “professores” em vez de variáveis pararepresentar “o número de alunos” e o “número de professores”. Para extirpar essas concepções erradas, muitas vezes um determinado tópico damatemática e dar-lhes algumas explicações. Para resolver essa situação, não basta simplesmente dizer aos alunos que elescompreenderam incorretamente o problema. Seguem-se três passos que podemcontribuir, baseados no problema citado anteriormente.1) Compreensão qualitativa. O primeiro passo consiste em explorar a compreensão qualitativa. No exemplotrabalhado, pergunta-se aos alunos se há mais alunos ou mais professores.2) Compreensão quantitativa.
    • O segundo passo consiste em explorar a compreensão quantitativa. Para o exemplodado, pergunta-se algo como: “Suponha que houvesse 100 professores numa escola.Quantos alunos haveria?”.3) Compreensão conceitual. O terceiro passo consiste em sondar a compreensão conceitual, solicitando a todosos alunos da classe que escrevam uma equação que represente a relação expressa noenunciado do problema. Eis algumas das respostas erradas que se pode esperar:6 A = P, 6 A / P, 6 A = 6P Pede-se agora para os alunos que escrevam o que representaram a fim deverificarem através de substituições. Se a resposta estiver de acordo com a lógica dasituação, então, o problema foi equacionado corretamente.Capítulo 2 – O simbolismo e a linguagem algébrica Ao iniciar o 7º ano de escolaridade, os alunos entram em um mundo matemáticocompletamente avesso a todo o seu conhecimento, que, até então, era mais aritmético.Agora, envolvida de símbolos, a álgebra vem carregada de técnicas e aplicações, semsentido algum para os alunos. A princípio o aluno não consegue relacionar qualquer significado aosprocedimentos algébricos, buscando apenas memorizar técnicas de resolução ao invésde ler e entender uma situação proposta. Isso ocorre devido ao excesso de simbologia
    • que é apresentada ao aluno, sem que compreenda a verdadeira ideia representada porela. Segundo Polya (1995, p 101):(...) “ a linguagem dos símbolos matemáticos ajuda o raciocínio. Auxiliá-lo nessaexperiência constitui uma das mais importantes tarefas do professor.” O professor deve observar que para haver aprendizagem é necessário que existaum elo entre o que se quer ensinar e a experiência prévia de quem aprende. Fey (1990) tenta definir a importância do “sentido do símbolo” com base numconjunto razoável de objetivos para ensiná-lo que inclui os seguintes temas básicos: • “Habilidade de explorar – correr os olhos sobre uma expressão algébrica para fazer estimativas brutas dos padrões que emergirão numa representação numérica ou gráfica...” • “Habilidade de fazer comparações conscientes das ordens de magnitude para funções com leis do tipo n, n², n³, ...., ...” • “Habilidade de explorar rapidamente uma tabela de valores de uma função ou um gráfico ou de interpretar verbalmente condições expressas, de identificar a forma adequada de uma lei algébrica que expresse determinado padrão...” • “Habilidade de inspecionar operações algébricas e prever a forma do resultado ou, como na estimativa aritmética, de inspecionar o resultado e julgar a possibilidade de que tenha sido executada corretamente...” • “Habilidade de determinar qual entre as várias formas equivalentes pode ser mais apropriada para responder questões particulares...” Segundo Arcavi (1995), “(...) sentido do símbolo deveria incluir além da sua própria função relevante de símbolo e seu uso adequado, a apreciação do seu verdadeiro sentido numa situação e a forma pela qual se dá a comunicação, afim de mostrar relações que a aritmética não consegue. O uso do símbolo deve-se fazer presente quando existir uma necessidade verdadeiramente adequada ou indispensável, pois muitas vezes, a forma aritmética pode ser aplicada àquela situação, mas o vício em algebrizar impede tanto o professor quanto o aluno de pensar de outra forma que não seja algébrica.” Vejamos o exemplo a seguir: Para que valores de a, o par de equações:
    • possui: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 soluções? (Arcavi, 19995, p.45) Problemas como este, pela forma em que são apresentados, induzem umasolução algébrica. Portanto, muitos iniciarão a sua solução utilizando os recursosalgébricos e não percebem que a forma escolhida poderá induzi-los ao erro. A solução mais elegante para o exemplo dado seria observar um gráficocartesiano e subseqüentes considerações geométricas: o número de interseções entre asduas diagonais do plano cartesiano (dados por , precisamente )euma família de círculos com raio unitário e cujos centros estejam sobre o eixo dasabscissas (dados pela equação . Em outras palavras, o sentido do símbolo incluiria a sensibilidade para perceberquando devem ser usados os símbolos e também quando podem ser abandonados. Além de manipulações algébricas, saber ler através de símbolos também é deextrema importância. Segundo Whitehead (1911): “(...) com auxílio do simbolismo, podemos fazer transições no raciocínio quase mecanicamente com os olhos, o que de outra maneira exigiria a atuação das altas faculdades do cérebro. É uma afirmação profundamente errônea, repetida por todos os livros didáticos e por pessoas eminentes quando eles estão fazendo discursos, que deveríamos cultivar o hábito de pensar naquilo que estamos fazendo. É exatamente o caso oposto. A civilização avança ampliando o número de operações importantes que podemos executar sem pensar sobre as mesmas. As operações de pensamento são como investidas da cavalaria numa batalha – elas são estritamente limitadas em número, elas que requerem cavalos descansados, e apenas devem ser feitas em momentos decisivos.” Por exemplo, enquanto simplificava uma equação linear, uma estudante chegouao seguinte: (esse exemplo é contrário à afirmação anterior) Ao invés de resolver mecanicamente, ela utilizou a leitura simbólica. Observouque de modo a obter 4x do lado direito da equação a partir de 3x do lado esquerdo,precisamos adicionar 1x, portanto a quantidade real acrescida (5) deve ser o valor de 1x. Para resolver situação como esta, o aluno deve ter uma certa maturidade para, aose deparar com uma equação, tente ler o significado contido nos símbolos, antes deexecutar procedimentos mecânicos. Mas para isso, cabe ao professor estimular o aluno ater este tipo de pensamento.A evolução histórica da álgebra
    • Estranha e intrigante é a origem da palavra “álgebra”. Ela não se sujeita a umsignificado claro, como por exemplo, a palavra “aritmética”, que deriva do gregoarithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, usada notítulo de um livro, Hisab al-jabr wal-muqalalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. Este trabalho de álgebra éfrequentemente citado, abreviadamente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência da restauração (oureunião) e redução”, mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição ecancelamento” – ou, conforme Boher, “a transposição de termos subtraídos para o outromembro da equação” e “o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membrosopostos da equação”. Assim, dada a equação: x + 7 x + 4 = 4 − 2x + 5 x al-jabr 2 3fornece x + 7 x + 4 = 4 + 5 x e al-muqabalah fornece x + 7 x = 5 x . 2 3 2 3 Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das equações”. Durante a fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., odesenvolvimento da notação algébrica evolui ao longo de três estágios: o retórico (ouverbal), o sincopato (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. Noúltimo estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-serazoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que hoje, não hátotal uniformidade no uso dos símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem“3,1416” como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem “3,1416”. Como aálgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estiloretórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo graude sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontradosem escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi.A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indoarábica em vez de notação sexagesimal cuneiforme. Eis o exemplo: (1) Comprimento, largura – Multipliquei o comprimento por largura, obtendo assima área 252. Somei o comprimento e largura, obtendo resultado 32. Pede-se:comprimento e largura. (2) Dado: 32 soma; 252 área x+y =k x.y = P }...( A )
    • (3) Resposta: 18 comprimento; 14 largura k (4) Segue-se este método: Tome metade de 32 (que é 16) 2 2 k    16 x 16 = 256 2 2 k    256 – 252 = 4 2 - P = t 2 }...(B) 2 k    −P = t A raiz quadrada de 4 é 2 2 k    16 + 2 = 18 (comprimento) 2 + t = x 2 k    16 – 2 = 14 (largura) 2 - t = y (5) Prova: Multipliquei 18 comprimento por 14 largura  k    k    k 2  2  2  + t  ⋅  2  − t  =  4  − t = P = x.y   18 x 14 = 252         Nota-se que na etapa (1) o problema é formulado, na etapa (2) os dados sãoapresentados, na etapa (3) a resposta é dada, na (4) o método de solução é explicadocom números e, finalmente, na (5) a resposta é testada. A “receita” acima é usada repetidamente em problemas semelhantes e apresentasignificado histórico até hoje. A álgebra grega, conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides, erageométrica. Por exemplo, o que se escreve como (a + b) = a + 2ab + b era 2 2 2concebido pelos gregos em termos de diagrama apresentado na figura abaixo e eracuriosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4, como: “Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linhatoda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulocontido nas partes” (isto é, (a + b) = a + 2ab + b ). 2 2 2 Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato,seguiam os métodos padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou
    • registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhe-se o teoremacorrespondente ao problema babilônico acima. Fig. 1 Séculos mais tarde o matemáticogrego Diofanto deu um novo impulso àálgebra introduzindo o estilo sincopadode escrever equações ao representar pela primeira vez uma abreviatura especial para aincóginta. (BAUMGART, Jonh K., 1992, página 31):Isto é, x³ 2 x8 – x² 5 1.4 = 44ou 2x³ + 8x – (5x² + 4) = 44 é uma abreviação de (KUBOS, “cubo”)s é uma abreviação de arithmos, “número”) é uma combinação de e em (LEIPSIS, “menos") é uma abreviação de (DUNAMIS, “potência”)M é uma abreviação de (MONADES, “unidades”) A igualdade é expressa por (“é igual a”) e também por para (isos,“igual”). Deste período em diante, os matemáticos foram lentamente incorporando letras e sinais no lugar de abreviaturas, surgindo então, o estágio simbólico. Os exemplos dados por BAUMGART, pág. 33) mostram os estágios do processo de aperfeiçoamento e padronização da notação: Cardano (1545) cubus 6 rebus aequalis 20 x³ + 6x = 20 Viète (1591) I QC – 15 QQ + 85 C – 225 Q + 274 N aequatur 120 - 225 Harriot (1631) aaa – 3bba = 2 ccc
    • Descartes (1637) x3 – 6xx + 13x – 10 Wallis (1693)Capítulo 3 –Trabalho de campo Para o trabalho de campo foram utilizados dois instrumentos: um teste aplicadoa alunos e um questionário respondido por professores. Realizaram o teste 35 alunos com idade entre 13 e 15 anos do 8º ano do EnsinoFundamental do Colégio Estadual Ministro Raul Fernandes e responderam aoquestionário 09 professores de Matemática que lecionam em anos de escolaridadediversos da própria instituição e de outras. O Trabalho com os alunos1ª Parte – Preparação No início da aplicação dos testes, os alunos desconheciam qualquer noçãoalgébrica, pois estavam com o conteúdo defasado. Por isso, a aula se iniciouinformalmente, com o seguinte desafio:
    • Na sequência de figuras, os alunos tinham que definir uma lei para a formaçãodaqueles quadrados. A sequência tinha quatro figuras e os alunos tinham que definirquantos quadrados havia na 5ª figura, na 6ª figura e na enésima figura. Desta forma, osalunos já iam usando intuitivamente a noção de função para generalizar uma dadasituação. Após muito observarem, os alunos observaram a seguinte regularidade entre asfiguras:Fig 1 1 x 1 = 1 quadradoFig 2 2 x 2 = 4 quadradosFig 3 3 x 3 = 9 quadradosFig 4 4 x 4 = 16 quadrados Então foi perguntado a eles quantos quadrados haveria na 5ª figura. Um dosalunos respondeu: - É simples professor, na figura 5 tem 5 x 5 = 25 quadrados. E na 6ª figura?Os alunos responderam:
    • - 6 x 6 = 36 quadrados. Quando foi perguntado quantos quadrados haveria em uma figura qualquer, osalunos não souberam responder, talvez pela ausência do pensamento genérico, típico daatividade algébrica. Então foi sugerido aos alunos que pensassem em uma figura de ladon unidades. Se todas as figuras eram quadrados, então a figura de lado n unidadestambém era um quadrado de lado n, logo se cada lado valia n unidades o enésimoquadrado teria n x n lados, aplicando a ideia de potência: n x n = n². Com isso, chegamos a uma forma generalizada de uma situação geométrica.Depois que os alunos descobriram uma “fórmula” para aquela sequência de quadrados,foi solicitado que aplicassem a relação encontrada para as figuras já conhecidas dasequência afim de verificar se a fórmula era válida para as figuras conhecidas e para asfiguras que não estavam relacionadas na sequência dada.Exemplo: 1) O quadrado da figura 5 tem _____ quadradinhos.Resposta: fig 5 5² = 25 quadradinhos.2) Em que linha temos uma figura formada por 121 quadradinhos?Resposta: fig n = n² 121 = n² n= n = 11 (11ª figura da sequência)2ª Parte – O Teste Em um segundo momento, os alunos resolveram individualmente três atividadesenvolvendo noções algébricas.ATIVIDADE 1Agência de TurismoA agência de turismo Pequeno Mundo deixa claro como compõe o salário que paga aseus funcionários, afixando o seguinte cartaz na parede. AGÊNCIA DE TURISMO PEQUENO MUNDO Salário/hora Comissão/Passagem Parte fixa do salário(a) João, empregado por essa agência de viagens, trabalhou 80 horas e vendeu 22bilhetes aéreos durante o mês de abril passado. Que total João recebeu em abril? R$ 72,00 R$ 105,00 RS 350,00(b) Num certo mês, Marcus trabalhou 50 h e Léo trabalhou 30 h. Pode-se afirmar que,no final desse mês, Marcus ganhou mais do que Léo? Por quê?(c) Escreva uma fórmula que represente o salário total de um funcionário que trabalheum total de h horas e venda b passagens.
    • A primeira atividade tinha o objetivo de fazer com que os alunos identificasseme representassem algebricamente as informações dadas em um cartaz em linguagemverbal e aritmética, envolvidas num esquema. O gráfico a seguir indica a porcentagem de acertos e erros em cada questão. Gráfico 1 O item A era uma questão que abordava operações aritméticas, que alunos jávinham estudando desde o 5º ano do Ensino Fundamental. Muitos conseguiramorganizar o raciocínio, mas a maioria ou errou nos cálculos, ou faziam os cálculosincompletos, não seguindo a sequência de informações dadas na tabela, conforme oexemplo abaixo. Isso sugere dificuldade de os alunos reconhecerem todas asinformações na linguagem do cartaz. Esse aluno esqueceu de somar a parte fixa do salário aos outros ganhos (além deter feito o cálculo incorreto do valor recebido pela venda de bilhetes).
    • No item B, alguns alunos conseguiram reconhecer que para determinar o salárioera necessário ter a quantidade de passagens vendidas embora outros alunos tenhamatribuído a quem trabalhou mais tempo, o maior salário. Essa dificuldade talvez se devaao fato de que os alunos raciocinem sobre as suas idéias, sem levar em conta o que diz otexto. Vejamos algumas soluções. O item C teve o maior índice de erros, talvez pelo pouco contato que os alunostiveram com expressões algébricas, formas de interpretar situações algébricas e,principalmente de criar esse tipo de expressão. Pôde-se também perceber que os alunos não sabiam lidar com a soma deexpressões algébricas (ao somar duas variáveis, eles atribuíam como resultado umavariável diferente, por exemplo, x + y = z). Neste caso, os alunos ainda presos apropriedades aritméticas, utilizaram a propriedade de fechamento para justificar oresultado. Percebeu-se que os alunos ainda não aceitaram que o resultado de uma contapode ser representado por uma expressão algébrica. Por isso que muitos delesatribuíram à soma de duas variáveis um valor numérico, conforme o primeiro exemploque segue abaixo. Eis algumas respostas dadas pelos alunos neste item.
    • ATIVIDADE 2No último campeonato brasileiro Flamengo marcou z gols e Vasco h gols.(a) Quantos gols os dois times marcaram?(b) Se você soubesse quanto vale z e quanto vale h, que operação você faria paracalcular o total de gols? Na segunda atividade, o objetivo era reconhecer a operação envolvida emquestão (item B) e depois generalizá-la (item A). Vale ressaltar que nesta atividade, oaluno poderia ter feito uma relação aritmética para que, em seguida, fizesse ageneralização do problema, porém, conclui-se que grande parte alunos tiveramdificuldade em admitir a representação de valores genéricos por variáveis e operar comelas. Mais uma vez, os alunos aplicaram a propriedade de fechamento, conformemencionado na primeira atividade. Alguns alunos identificavam que a operação era a deadição após ler o item B e, em seguida, voltavam ao item A e representavam a situaçãopor z + h = n (alguns outros escreveram z.h = x). Provavelmente, o item B sugeriu que os alunos pensassem em valores numéricospara as variáveis z e h e só assim eles conseguiram pensar em uma das possíveissoluções, mencionadas acima. O gráfico a seguir, mostra uma inversão das colunas oque comprova que os alunos ainda não adquiriram maturidade suficiente pararepresentar uma situação algébrica, devido a pouca familiarização que tiveram com aálgebra e, por lidarem há bastante tempo com questões aritméticas obtiveram êxito emresolver o item A.
    • Gráfico 2ATIVIDADE 3O AlvoEste é o alvo de um jogo de dardos: 5 pontos 10 pontos 15 pontos(a) João acertou 50 pontos4 vezes no e 5 vezes no . Quantos pontos ele fez? Como vocêcalculou?(b) Quantos pontos fez uma pessoa que acertou:3 vezes no e y vezes no ?f vezes no e p vezes no ?a vezes no , 5 vezes no e y vezes no ?(c) Numa partida, um jogador fez 10a + 15b pontos e outro fez 10a + 5d pontos. Épossível que os dois tenham feito o mesmo número de pontos? Justifique.(d) Tiago jogou o dardo b vezes e fez 10b pontos. Em que região (ões) Tiago pode teracertado?Complete a tabela para representar algumas dessas possibilidades.b jogadas10b pontosRegião (ões)Na terceira atividade, o principal objetivo era o aluno transpor para uma linguagemalgébrica o resultado de um jogo que estava sendo representado por legendas.
    • O item A foi resolvido com êxito pela maioria dos alunos, pois não havia apresença de incógnitas ou variáveis, isto é, era uma aplicação aritmética da situaçãodescrita. No item B, os alunos tiveram um pouco de dificuldade de representar o númerode pontos obtidos em um jogo por expressão que tinha letras e números misturados. No item C, os alunos conseguiram resolver, relacionando as legendas aosvalores, não percebendo a existência da redução de termos semelhantes, pois ainda nãotinham estudado monômios e suas operações. A resolução do item D foi opcional. A maioria dos alunos não resolveu, sendoque apenas 02 tentaram mesmo sentindo dificuldade, mas não conseguiram resolver atéo fim pois não entenderam o enunciado, nem as informações contidas na tabela.Portanto, não há soluções para serem comentadas neste item e o nível de acertos (5%)só foi mencionado no gráfico pela tentativa desses dois alunos em resolvê-lo. Gráfico 3 O Questionário dos Professores Agora analisaremos as respostas dos professores ao anexo I, onde responderam09 professores. Todos possuem Licenciatura Plena em Matemática, 78% trabalha apenas na redepública de ensino, enquanto 22% na rede pública e particular. Quatro lecionam apenasno Ensino Médio e o restante nos Ensinos Médio e Fundamental. A maioria dos professores disse que iniciariam uma aula de álgebra para o 7º anodo Ensino Fundamental, abordando uma situação-problema que envolva “valordesconhecido”, ou seja, começariam a falar de álgebra usando o conteúdo Equação do
    • 1º grau com uma incógnita. Quando foi perguntado aos professores quanto aopercentual de aulas de Matemática na Educação Básica que se gasta com o ensino deálgebra, obtivemos o seguinte resultado mostrado no gráfico abaixo: Gráfico 4 Uma professora respondeu da seguinte forma: “Geralmente prefere-se ensinarÁlgebra, pois em muitas escolas, nem existe aula de Geometria, e muitas vezes os livrosadotados fixam muito essa parte de Álgebra.” E todos concordaram que o nível de aproveitamento não condiz com opercentual apresentado, alegando que os alunos têm muita dificuldade em transitar dalinguagem aritmética para a linguagem algébrica (“Os alunos têm muita dificuldadepara entender letras” – Maria do Perpétuo Socorro). Os professores consideraram queos assuntos da Aritmética que servem de base para o Ensino da álgebra são: as quatrooperações, propriedades da adição e multiplicação (principalmente a propriedadedistributiva) e os números racionais. Para os professores é importante na resolução deproblemas algébricos que o raciocínio aritmético não seja esquecido, e sim unido aopensamento algébrico. Os professores entrevistados concordaram que é possívelintroduzir o conceito de função antes do 9º ano de escolaridade através de cálculos deperímetros, áreas, equações do primeiro grau, inequações, regra de três simples etc.
    • Conclusão Nos capítulos anteriores, citamos algumas ideias e concepções para o ensino deálgebra que nos respaldam para um comentário final. Trata-se de algumas sugestõespara a melhoria do ensino de álgebra. Como publicado em NCTM (2000, pág. 37), opensamento algébrico diz respeito ao estudo das estruturas, à simbolização, à modelaçãoe ao estudo da variação: compreender padrões, relações e funções (estudo dasestruturas), representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolosalgébricos (simbolização), usar modelos matemáticos para representar e compreenderrelações quantitativas (modelação), analisar mudança em diversas situações (estudo davariação). Um dos principais elementos do pensamento algébrico é a capacidade demanipulação dos símbolos. Um fato que auxiliaria no ensino da álgebra seria osprofessores estimularem seus alunos pensar em alternativas que desenvolvessem oraciocínio algébrico, conforme alguns exemplos que foram mencionados no capítulo 4deste trabalho. Desta forma, os alunos poderiam elaborar seu próprio raciocínio, ou seja,um procedimento completamente avesso ao que costumamos trabalhar em sala de aula. No capítulo 3,vimos que a fase de transição entre o pensamento aritmético e oalgébrico, traz grandes transtornos para os alunos, pois eles deixam de lidar comnúmeros “puros” e passam a lidar com símbolos. Este processo de transição deveria sera longo prazo, assim como foi no contexto histórico da álgebra, em que a representaçãoatravés de símbolos não fora imediata, conforme mostra o capítulo 3, página16, destetrabalho, a evolução do processo de padronização e aperfeiçoamento algébrico. Estavisão de separação da aritmética e da álgebra não é totalmente correta. É necessáriocomeçar mais cedo o trabalho com a álgebra, de modo que esta e a aritméticadesenvolvam-se juntas, pois é impossível pensar em aritmética sem pensar em álgebra. A tarefa de modificar o currículo de álgebra exigirá um enorme esforço, pois ésomente através de uma troca de idéias que poderemos ter condições de ensinonecessárias para conseguirmos alguma mudança. Concluindo, o principal objetivo de se ensinar álgebra não é tornar nossos alunosgrandes algebristas, mas sim em conscientizá-los de qual é a capacidade algébrica quedeve ser utilizada para resolver determinadas situações-problema ou investigar umadeterminada situação. Com esta ideia a álgebra deixará de ser algo que ficará somenteno domínio da escola, e uma consequência disso é que os alunos verão que o alcance daálgebra é maior do que eles imaginavam.
    • Referências BibliográficasCOXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da Álgebra. 1ª ed. São Paulo:Atual Editora LTDA, 1995.BAUMGART, John K. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula.Volume 4 – Álgebra. Atual, São Paulo, 1992.TINOCO, Lucia A. A (coord). Álgebra: pensar, calcular, comunicar....IM –UFRJ –Projeto Fundão, Rio de Janeiro, 2008.NCTM. Principles and Standards for school mathematics. E.U.A., 2000.GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática (A Invenção dos números). 8ªed. São Paulo: Editora Ática, 1992.ARCAVI, Abrahan. Artigo: O sentido do símbolo. Atribuindo um sentido informal amatemática formal. Israel, 1995.ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática – 6ª série. 1ªed. São Paulo: Editora doBrasil S/AEducação Algébrica e Resolução de Problemas. http://www.novaescola.com.brAcessado dia 10 de maio de 2009.História da Álgebra. http://www.somatematica.com.br/algebra.php.Acessado dia 17 de agosto de 2009.Anexo (Questionário para professores) O Ensino de Álgebra no Segundo Segmento do Ensino Fundamental1. Nome: ____________________________________________________________2. Há quanto tempo leciona? ________________________________________3. Leciona em que tipo de instituição? ( )particular ( ) pública4. Em que ano(s) de escolaridade leciona? _____________________________5. Como você iniciaria uma aula de Álgebra no 7º ano do Ensino Fundamental?______________________________________________________________________6. De acordo com a sua experiência, qual o percentual do total do tempo das aulas deMatemática na Educação Básica que é dedicado à Álgebra? Justifique. ( ) Menos do que 40%. ( ) Entre 60% e 80%. ( ) Entre 40% e 60%. ( ) Mais do que 80%.____________________________________________________________________________________________________________________________________________
    • 7. Você considera que o aproveitamento dos alunos em Álgebra é coerente com opercentual apontado? Justifique.____________________________________________________________________________________________________________________________________________8. Que assuntos da Aritmética são importantes para o aprendizado em Álgebra (cite pelomenos 3 assuntos).____________________________________________________________________________________________________________________________________________9.Ao abordar uma situação-problema, você utiliza em geral a aritmética ou o álgebra?____________________________________________________________________________________________________________________________________________Depois que seus alunos aprendem álgebra, você recomenda que eles abandonem oraciocínio aritmético na resolução de problemas? Por quê?____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10. É possível dar noções, mesmo informais, de variável e função antes do 9º ano deescolaridade? Dê um exemplo.