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La Linea Recta

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  • 1. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Capítulo III LA LÍNEA RECTA3.1 DEFINICIÓN:Es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si setoman 2 puntos arbitrarios de esa función P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), se cumple que lapendiente “m” es siempre constante. Donde “m” se define como: y − y1m= 2 x2 − x1Es importante notar que la pendiente es numéricamente igual a la tangente delángulo que forma la recta con el eje de las “x” (ángulo “θ”). y − y1Tg ( θ ) = m = 2 x2 − x1El ángulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido derotación de las manecillas del reloj).Problema Resuelto 1:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene una pendientem=2.Solución:Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”. 69
  • 2. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorTan (θ ) = m = 2θ = Tan −1 ( 2) = 63.44ºSe traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x, y).Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y −3m= x−2Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “2”.m=2Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:y−3 =2x−2Se elimina el denominador del término izquierdo: 70
  • 3. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadory − 3 = 2( x − 2)Se simplifica la expresión previa:y − 3 = 2x − 4Se despeja “y”:y = 2x − 4 + 3y = 2x − 1 SoluciónLa expresión encontrada como solución permite una rápida graficación:y = 2x − 1 x y -3 -7 -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5El gráfico que se obtiene es similar al que se presentó previamente.Verificación:Como se esperaba, la recta pasa por el punto A(2, 3).Para verificar que la recta tenga la pendiente apropiada se seleccionan 2 puntosarbitrarios A(2, 3) y B(-2, -5). 71
  • 4. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y 2 − y1m= x 2 − x1 ( −5) − ( 3) − 5 − 3 − 8m= = = ( −2) − ( 2) − 2 − 2 − 4m=2NOTA 1: Si bien la solución presentada es de la forma y = 2x − 1 , igualmente pudohaberse descrito la solución como y − 2x + 1 = 0 (todos los términos se pasaron almiembro izquierdo) o 2 y − 4x + 2 = 0 (la ecuación completa se multiplicó por unaconstante), pues todas esas expresiones son equivalentes.NOTA 2: Para la obtención de la ecuación de la línea recta se ha requerido aplicar ladefinición de pendiente e incluir un punto genérico P(x, y) perteneciente a dicha recta.Problema Resuelto 2:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, -5) y que está inclinada 45ºcon relación al eje positivo de las “x”.Solución:Se dibuja la recta asumiendo que un ángulo positivo se mide antihorariamente (ensentido opuesto a la rotación de las manecillas del reloj) desde el eje positivo de las “x”.La pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje positivo de las“x”.m = Tan (θ) = Tan ( 45º )m =1Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x,y). 72
  • 5. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y − ( −5)m= x −3 y+5m= x −3Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1”.m =1Se igualan las 2 expresiones anteriores:y+5 =1x −3Se elimina el denominador del término izquierdo:y + 5 = x −3Se despeja “y”:y = x − 3− 5Se simplifica la expresión anterior:y = x − 8 SoluciónSe encuentran los puntos que permitan una graficación detallada de la recta:y = x −8 x y 0 -8 1 -7 2 -6 3 -5 4 -4 5 -3 73
  • 6. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 6 -2 7 -1 8 0 9 1El gráfico que se obtiene es:Verificación:Como se esperaba, la recta pasa por el punto (3, -5).Por otro lado, la pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, -5) y B(6,-2). y 2 − y1m= x 2 − x1 ( −2) − ( −5) − 2 + 5 3m= = = (6) − ( 3) 6 −3 3m = 1 VerificadoOTRA DEFINICIÓN DE RECTA: Es el conjunto de puntos que, tomados porparejas, siempre presentan la misma inclinación.3.2 ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE:Como se demostró en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa unarecta y su pendiente, es factible definir la ecuación de la recta.Se toma una recta que pasa por el punto conocido P1 (x1 , y1 ); además se conoce que larecta tiene una pendiente cuyo valor es “m”. 74
  • 7. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 , y1 ) y al puntogenérico P(x, y). y − y1m= Ecuación Punto-Pendiente x − x1Otra forma de presentar la ecuación de la recta se consigue al despejar “y”.y − y1 = m( x − x1)y = m( x − x1 ) + y 1 Ecuación Punto-PendienteProblema Resuelto 3:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene una pendiente m= -1 .Solución:Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.Tg (θ) = m = −1θ = Tan −1 ( −1) 75
  • 8. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorθ = −45ºEl ángulo de “-45º” se debe medir en sentido horario desde el eje positivo de las “x”.Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.Se calc ula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y −1m= x−2Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “-1” (es dato del problema).m = −1Igualando las 2 expresiones anteriores:y −1 = −1x−2Se elimina el denominador del término izquierdo:y − 1 = −1( x − 2)Simplificando:y −1 = −x + 2 76
  • 9. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDespejando “y”:y = −x + 2 +1y = −x + 3 SoluciónPara graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación de valoresen base a la expresión previa.y = −x + 3 x y -3 6 -2 5 -1 4 0 3 1 2 2 1 3 0El gráfico que se obtiene es:Verificación:La recta pasa por el punto (2, 1).La pendiente de la recta se puede calcular con los puntos A(2, 1) y B(-3, 6). y 2 − y1m= x 2 − x1 6 −1 5m= = ( −3) − 2 − 5m = −1El ángulo que forma la recta con el eje positivo de las “x” se puede obtener a partir deque la tangente de ese ángulo es igual a la pendiente.Tan (θ ) = m = −1De donde el ángulo es: 77
  • 10. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorθ = Tan −1 ( −1)θ = − 45º VerificadoNOTA: Se debe observar que han sido necesarias 2 características independientes de larecta (un punto por el que pasa y la pendiente) para poder definir su ecuación.Problema Resuelto 4:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene una pendientem=1/3 .Solución:Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”. 1Tg (θ ) = m = 3 −1  1θ = Tan    3θ = 18.43ºEl ángulo de “18.43º ” se debe medir en sentido antihorario desde el eje positivo de las“x”.Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). 78
  • 11. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y −1m= x −3Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1/3”. 1m= 3Igualando las 2 expresiones anteriores:y −1 1 =x −3 3Eliminando los denominadores:3( y − 1) = 1( x − 3)Simplificando:3y − 3 = x − 3Despejando “y”:3y = x − 3 + 33y = x xy= Solución 3Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación: xy= 3 x y -9 -3 -6 -2 -3 -1 0 0 3 1 6 2 9 3El gráfico que se obtiene es: 79
  • 12. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorNOTA: Es importante mencionar que al no existir término independiente de lasvariables “x” y “y” en la ecuación de la recta, ésta pasa por el origen.Verificación:La recta pasa por el punto (3, 1).La pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, 1) y B(6, 2). y 2 − y1m= x 2 − x1 2 −1m= 6 −3 1m = Verificado 33.3 ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN:Un caso especial de la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado y seconoce su pendiente es aquel en que se fija en qué punto intercepta la recta al eje de las“y” y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuación recibe el nombrede Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.Se toma una recta que corte al eje de las “y” a una distancia “b” desde el origen, y queposee una pendiente “m”.El punto de corte de la recta con el eje de las “y” tiene por coordenadas (0, b), pues suproyección sobre el eje de las “x” es nula, y su proyección sobre el eje de las “y” es “b”. 80
  • 13. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido A(0, b) y al puntogenérico P(x, y). y−bm= x−0Simplificando: y−bm= xDespejando “y”:y−b = m⋅xy = m ⋅ x + b Ecuación Pendiente – Ordenada al OrigenDonde: 81
  • 14. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorm: pendiente de la rectab: ordenada al origenProblema Resuelto 5:Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” cinco unidades por encimadel origen, y tiene una pendiente m=-2 .Solución:La pendiente negativa revela que la recta forma un ángulo horario con relación al ejepositivo de las “x”. Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la recta,que además debe cortar el punto A(0,5) cinco unidades por encima del origen.La ecuación de la recta es:y = m⋅x+ by = (−2) ⋅ x + 5y = −2x + 5 Ecuación de la RectaNOTA 1: Se puede escribir muy rápidamente (inclusive sin necesidad de unarepresentación gráfica) la ecuación de la recta.NOTA 2: Se debe observar que, igual que en la Ecuación Punto – Pendiente, han sidonecesarias 2 características independientes de la recta (la pendiente y el punto de crucecon el eje “y”) para definirla.Problema Resuelto 6:Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” dos unidades por debajo delorigen, y tiene una pendiente m=3/2 .Solución:La pendiente positiva significa que la recta forma un ángulo antihorario con relación aleje positivo de las “ Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la x”.recta, que además debe cortar el punto A(0,-2) dos unidades por debajo del origen. 82
  • 15. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa ecuación de la recta es:y = m⋅x+ b  3y =  ⋅x−2  2 3y = x − 2 Ecuación de la Recta 2Para eliminar los denominadores, se puede multiplicar toda la ecuación por “2”.2 y = 3x − 4Agrupando todos los términos en el miembro izquierdo y cambiando de signo:− 3x + 2 y + 4 = 03 x − 2y − 4 = 0 Ecuación de la RectaProblema Resuelto 7:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m=1 .Solución:La recta debe pasar por el punto O(0, 0) y formará un ángulo positivo de 45º (pendienteigual a 1) con el eje de las “x”.La ecuación de la recta es: 83
  • 16. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadory = m⋅x+ by = (1) x + ( 0)y = x Ecuación de la RectaProblema Resuelto 8:Parte 1:Una empresa fabricante de fundas de basura tiene Costos Fijos de funcionamiento(arriendo, seguridad, administrador) de US$ 1300 mensuales y Costos Variables deproducción (material, mano de obra, depreciación de maquinaria) de 5 centavos (US$0.05) por funda grande reforzada.Describir mediante la ecuación de una línea recta, en función del número de fundasproducidas mensualmente, cuál es el costo total de producción de esas fundas (medir endecenas de miles de fundas), y representar gráficamente la función encontrada.Parte 2:Si todas las fundas pueden ser colocadas en el mercado, y el precio de venta es de 10centavos (US$ 0.10) por unidad, determine ¿cuál debe ser la producción mensual de laempresa para que alcance el punto de equilibrio, en que los ingresos igualan a losegresos?Solución Parte 1:El Costo Total proviene de añadir Costos Fijos y Costos Variables.Costo Total = CostoFijo + CostoVaria bleCT = CF + CVDe acuerdo al texto del problema, los costos fijos mensuales ascienden a US$1300CF = 1300Si se define como “n” al número de fundas producidas mensualmente, los costosvariables representan “0.05” veces “n”, pues producir cada funda cuesta US$ 0.05.CV = (0.05)( n )CV = 0.05nEl costo total es la suma de los costos fijos y los costos variables.CT = 1300 + 0.05n SoluciónSe prepara una tabla que relacione el costo total mensual “ CT” en dólares, con elnúmero de fundas producidas mensualmente “n”:CT = 1300 + 0.05n n CT 0 1300 10000 1800 20000 2300 30000 2800 40000 3300 84
  • 17. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl gráfico correspondiente describe la Función de Costos y es el siguiente:La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada alOrigen, donde:m = 0.05 (5 centavos de costo por funda producida)b = 1300 (costos fijos)Solución Parte 2:Si se define como “n” al número de fundas vendidas mensualmente (que en el presentecaso es igual al número de fundas producidas), y se colocan en el mercado a las fundas aun valor de 0.10 dólares por funda, el monto de ventas será “0.10” veces “n”.MV = (0.10)( n )MV = 0.10n SoluciónSe prepara una tabla que relacione el monto de ventas mensuales “MV” con el númerode fundas producidas mensualmente “n”:MV = 0.10n n MV 0 0 10000 1000 20000 2000 30000 3000 40000 4000En el mismo gráfico anterior se dibuja la nueva función pues tanto el Costo Total comoel Monto de Ventas tienen por unidad los dólares: 85
  • 18. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa ecuación de la nueva recta también pudo calcularse como Pendiente – Ordenada alOrigen, donde:m = 0.10 (10 centavos de precio por funda vendida)b=0El Punto de intersección de las 2 rectas es el Punto de Equilibrio para las finanzas dela empresa, pues los costos incurridos en producción igualan al monto de ventas de esosproductos. 86
  • 19. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorMatemáticamente hablando, el punto que aparece en la intersección debe cumplirsimultáneamente con las ecuaciones de las 2 rectas que en el presente caso requieren uncambio de denominación de variables a “x” y “y”: y = 0.05x + 1300 y = 0.10xIgualando ambas expresiones se tiene:0.05x + 1300 = 0.10 xDespejando “x”:1300 = 0.10 x − 0.05x1300 = 0.05x0.05x = 1300 1300x= 0.05Simplificando:x = 26000 fundas SoluciónEl costo de producir 26000 fundas de basura reforzadas al mes es de US$ 2600, y laventa de 26000 fundas reporta US$ 2600, por lo que una producción de 26000 fundas esel punto de equilibrio de la empresa (los costos igualan a las ventas).Problema Resuelto 9:Se adquirió un vehículo nuevo para una empresa, por un valor de US$ 15000. Elmomento mismo en que el vehículo salió de la casa comercial, tuvo una depreciacióninstantánea del 10% (si se intentara vender el vehículo apenas salido de la casacomercial, solamente se lo podría hacer al 90% del valor original). A partir de esemomento el valor comercial sufre una depreciación adicional del 3% del valor decompra por cada 10000 Km de recorrido. Determinar una ecuación que describa el valorcomercial del vehículo en función del kilometraje recorrido.Solución:La pérdida del 10% del valor significa que con 0 Km de recorrido el valor comercial delvehículo disminuye instantáneamente de US$ 15,000 a US$ 13,500 (90% de US$15,000).Se definen las variables del problema:V: Valor comercial del vehículoK: Kilometraje del vehículoUna representación gráfica tentativa de la variación del valor comercial sería: 87
  • 20. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa depreciación del 3% por cada 10,000 Km es equivalente a 0.03/10000 por cada Km(0.000003).Para efectos de graficación se calcula una tabla con ciertos puntos del valor comercialen función del kilometraje. Kilometraje Valor Depreciación por Kilometraje Valor Comercial (Km) Inicial (US$) (US$) (US$) 0 13,500 0 13,500-0=$ 13,500 20000 13,500 0.000003*20000*$ 15,000=$ 900 13,500-900=$ 12,600 40000 13,500 0.000003*40000*$ 15,000=$ 1,800 13,500-1,800=$ 11,700 60000 13,500 0.000003*60000*$ 15,000=$ 2,700 13,500-2,700=$ 10,800 80000 13,500 0.000003*80000*$ 15,000=$ 3,600 13,500-3,600=$ 9,900 100000 13,500 0.000003*100000*$ 15,000=$4,500 13,500-4,500=$ 9,900Las operaciones de la tabla se reflejan en la siguiente ecuación:V = 13500 − 0.000003( K )(15000 )V = 13500 − 0.045( K ) Ecuación de la Recta de DepreciaciónEvaluando la ecuación se tiene la siguiente tabla simplificada:V = 13500 − 0.045( K ) K V 0 13500 20000 12600 40000 11700 60000 10800 80000 9900 100000 9000 88
  • 21. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 120000 8100 140000 7200 160000 6300 180000 5400El gráfico correspondiente es:Es importante notar que la ecuación deducida es del tipo Pendiente – Ordenada alOrigen, donde la ordenada al origen es el valor inicial de vehículo (US$ 13500), y lapendiente es 0.045 que es el decrecimiento del precio por kilómetro, y va precedido porun signo negativo pues el valor del vehículo disminuye conforme aumenta elkilometraje.Por otro lado, aproximadamente a partir de los 300000 Km de recorrido, la Recta deDepreciación empezaría a tomar valores negativos, lo que en el mundo real no tieneningún sentido. La validez de la Recta de Depreciación está limitada a decrecer hasta unpotencial Valor Residual del bien, o hasta un valor nulo, dependiendo de las políticas dela empresa.3.4 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:Si se conocen 2 puntos por los cuales pasa una recta, se puede determinar la ecuación dela misma. 89
  • 22. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe puede calcular la pend iente de esa recta, basada en las coordenadas de los puntos P1y P2 . y 2 − y1m= x 2 − x1Se grafica un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.Se puede calcular nuevamente la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 ,y1 ) y al punto genérico P(x, y). y − y1m= x − x1Por la definición de recta, las 2 expresiones que describen la pendiente de la recta debenser iguales.y − y1 y 2 − y 1 = Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntosx − x1 x 2 − x1 90
  • 23. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorUna expresión alternativa se puede obtener despejando “y”. y 2 − y1y − y1 = ( x − x1 ) x 2 − x1 y − y1y = y1 + 2 ( x − x 1 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos x 2 − x1NOTA: Es importante mencionar que si se conocen 2 características independientes deuna recta (un punto y su pendiente, o la pendiente y su ordenada al origen, o 2 puntos,etc.), queda definida su ecuación.Problema Resuelto 10:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 1).Solución:Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se calcula la pend iente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 − y1m= x 2 − x1 1− 3 − 2m= = 5− 2 3 2m=− 3Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta. 91
  • 24. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”: y−3m= x−2Igualando las 2 expresiones que definen la pendiente:y−3 2 =−x−2 3Pasando los denominadores a los otros miembros:3( y − 3) = −2( x − 2 )Destruyendo paréntesis:3 y − 9 = − 2x + 4Pasando todos los términos al miembro izquierdo:2x + 3 y − 9 − 4 = 02x + 3y − 13 = 0 Ecuación de la RectaOtra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de laexpresión anterior.3 y = −2 x + 13 2 13y=− x+ Ecuación de la Recta 3 3NOTA: Igual que en las Ecuaciones Punto – Pendiente y Pendiente – Ordenada alOrigen, han sido necesarias 2 características independientes de la recta (2 puntos).Problema Resuelto 11:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3, -1) y B(4, 5). 92
  • 25. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 − y1m= x 2 − x1 5 − ( −1) 5 + 1m= = 4 − ( −3) 4 + 3 6m= 7Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “B” (pudo habersetomado el punto “A” y el resultado final hubiera sido el mismo): y−5m= x−4Igualando las 2 expresiones previas:y−5 6 =x−4 7Pasando los denominadores a los otros miembros: 93
  • 26. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador7 ( y − 5) = 6 ( x − 4)Destruyendo paréntesis:7 y − 35 = 6 x − 24Pasando todos los términos al miembro izquierdo:7 y − 6 x − 35 + 24 = 07 y − 6 x − 11 = 06 x − 7 y + 11 = 0 Ecuación de la RectaOtra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de laexpresión anterior.− 7 y = −6 x − 117 y = 6 x + 11 6 11y= x+ Ecuación de la Recta 7 7Problema Resuelto 12:Parte 1:Un vendedor de telas a domicilio percibe un sueldo básico de US$ 150 mensuales, yadicionalmente se le otorga un 5% sobre las ventas que realiza. Describir mediante unaecuación la variación de su sueldo mensual en función de los montos de sus ventas.Graficar la ecuación.Parte 2:La esposa del vendedor de telas es representante de una empresa de cosméticos, y notiene sueldo básico, pero recibe una comisión del 10% sobre las ventas. Obtener unaecuación que describa sus ingresos mensuales en función de sus ventas. Graficar lafunción.Parte 3:Si esposo y esposa vendieron lo mismo el mes pasado, y ganaron lo mismo, ¿cuántovendieron y ganaron el mes anterior?Solución Parte 1:El sueldo mensual del vendedor tiene dos componentes: un valor fijo (sueldo básico) yun valor variable (sueldo por comisión), y puede representarse mediante la siguienteexpresión:Sueldo Total = Sueldo Básico + Sueldo Por ComisiónST = SB + SCDe acuerdo al texto del problema, el sueldo básico asciende a US$150SB = 150 94
  • 27. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSi se define como “V” al monto mensual de ventas realizadas, el Sueldo por Comisiónrepresenta “0.05” veces “V” (5% de V).SC = 0.05VEl Sueldo Total es:ST = 150 + 0.05 V SoluciónSe prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con elvalor de las ventas realizadas “V”:ST = 150 + 0.05V V ST 0 150 1000 200 2000 250 3000 300 4000 350El gráfico correspondiente es:La ecuación de la recta pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al Origen,donde:m = 0.05 (5% de comisión sobre las ventas)b = 150 (sueldo básico)Solución Parte 2:El sueldo de la esposa del vendedor es variable y tiene un solo componente: el sueldopor comisión, que representa “0.10” veces las Ventas “V” (10% de V).ST = 0.10V SoluciónSe prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con elvalor de las ventas realizadas “V”, por la esposa del ve ndedor: 95
  • 28. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorST = 0.10V V ST 0 0 1000 100 2000 200 3000 300 4000 400El gráfico correspondiente, representado sobre el diagrama anterior, es:La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada alOrigen, donde:m = 0.10 (10% de comisión sobre las ventas)b = 0 (sueldo básico nulo)Solución Parte 3:El único punto de los diagramas, que cumple con tener sueldos iguales para ventasiguales (iguales ordenadas y abscisas) es la intersección de las 2 rectas: 96
  • 29. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorPara calcular las coordenadas de ese punto se debe resolver para la condición decumplimiento simultáneo de las 2 ecuaciones. Para el efecto se cambiarán las variablesa “x” y “y”: y = 150 + 0.05x y = 0.10xIgualando ambas expresiones se tiene:150 + 0.05x = 0.10 xDespejando “x”:150 = 0.10 x − 0.05x150 = 0.05x0.05x = 150 150x= 0.05Simplificando:x = US $ 3000 SoluciónReemplazando el valor de “x” en cualquiera de las 2 ecuaciones simultáneas se tiene:y = 150 + 0.05x = 150 + 0.05(3000) = 150 + 150 = 300y = 0.10x = 0.10(3000) = 300y = US$ 300 SoluciónUna venta de US$ 3000 reporta un sueldo de US$ 300 tanto al esposo como a la esposa.Problema Resuelto 13:Parte 1:Determinar una ecuación lineal que relacione los Grados Centígrados (ºC) con losGrados Fahrenheit (ºF), si se conoce que al nivel del mar el agua se congela a 32 ºF y seevapora a 212 ºF.Parte 2:Los manuales de floricultura establecen que las rosas de calidad deben mantenerse enun ambiente de temperatura controlada entre 62 ºF y 80 ºF. ¿A qué rango detemperatura en grados centígrados corresponden esos datos?Solución Parte 1:Sobre el eje de las “x” se colocan los “ ºC”, y sobre el eje de las “y” los “ ºF”.Se dibujan los 2 puntos A(0ºC, 32ºF) y B(100ºC, 212ºF), y la recta que pasa por esos 2puntos: 97
  • 30. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 − y1m= x 2 − x1 212 − 32 180 18m= = = 100 − 0 100 10 9m= 5Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”: y − 32 y − 32 m= = x−0 xIgualando las 2 expresiones anteriores: y − 32 9 = x 5Pasando el denominador izquierdo al miembro derecho: 9 y − 32 = ⋅ x 5 98
  • 31. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDespejando “y”: 9y = ⋅ x + 32 5Cambiando las variables “x” y “y” a “ ºC” y “ ºF” respectivamente: 9ºF = ⋅ (º C ) + 32 Solución 5Otra manera de presentar la expresión consistiría en despejar los “ ºC”. 5ºC = ⋅ (º F − 32 ) Solución Alternativa 9Solución Parte 2:Aplicando la última expresión (solución alternativa), se asigna temperaturas en gradosFahrenheit y se obtiene su equivalente en grados centígrados (grados Celsius). 5º C = ⋅ (º F − 32 ) 962 ºF equivalen a 16.7 º C.80 º F equivalen a 26.7 ºC.El rango de variación de la temperatura óptima para el cultivo de rosas de calidadestá entre 16.7 ºC y 26.7 ºC.3.5 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA:Si se conocen las distancias a las cuales corta una recta a los ejes “x” y “y”, se puededeterminar la ecuación de la misma.Se dibuja una recta que corta al eje de las “x” a una distancia “a” desde el origen, y aleje de las “y” a una distancia “b”.Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes principales serían: 99
  • 32. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa pendiente de la recta, en función de las coordenadas de los 2 pisos es: y 2 − y1m= x 2 − x1 b−0m= 0 −a bm=− aSe dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta empleando el punto genérico y uno de los puntos decoordenadas conocidas. y−0 ym= = x −a x − aIgualando las 2 expresiones anteriores: y b =−x−a aEliminando los denominadores: 100
  • 33. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadora. y = − b ( x − a )Destruyendo paréntesis:a.y = −b.x + a.bPasando los términos que contienen variables al miembro izquierdo:a.y + b.x = a.bDividiendo ambos miembros para “a.b”:a.y + b.x a.b = a .b a.ba.y + b.x =1 a .bSeparando el miembro izquierdo en 2 fracciones:a.y b.x + =1a.b a .bSimplificando las fracciones:y x + =1b aReordenando las fracciones del miembro izquierdo:x y + = 1 Ecuación Simétrica de la Rectaa bProblema Resuelto 14:Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 5 unidades a la derechadel origen, y al eje de las ordenadas 3 unidades hacia arriba del origen.Solución:Se dibujan los 2 puntos A(5, 0) y B(0, 3), y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se escribe directamente la ecuación de la recta mediante su representación simétrica: 101
  • 34. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx y + =1a bx y + = 1 Solución5 3Como alternativa de presentación se puede multiplicar a toda la ecuación por “15” (5 x3), para eliminar denominadores:3 x + 5 y = 15 Solución AlternativaNOTA: Una de las ventajas de la Ecuación Simétrica de la Recta es que puede serrápidamente deducible a partir de su gráfico; otra de las ventajas es que puede serrápidamente graficable a partir de su representación matemática.Problema Resuelto 15:Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 6 unidades a laizquierda del origen, y al eje de las ordenadas 4 unidades hacia arriba del origen.Solución:Se dibujan los 2 puntos A(-6, 0) y B(0, 4), y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se escribe la ecuación de la recta en su forma simétrica:x y + =1a b x y + =1−6 4 x y− + = 1 Solución 6 4NOTA: “a” y “b” pueden tener valores tanto positivos como negativos. 102
  • 35. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 16:Un vehículo viaja a 30 m/seg (108 Km/h) por una autopista, y se ve obligado a frenar.En cada segundo la velocidad del vehículo disminuye en 8 m/seg (luego de 1 segundo lavelocidad es de 22 m/seg, luego de 2 segundos la velocidad es de 14 m/seg, etc.).Ø Grafique la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo, y describa tal variación mediante una ecuación.Ø Determine ¿cuánto tiempo se necesita para un frenado total?Ø ¿Qué distancia recorre el vehículo desde que empieza a frenar hasta que se detiene?Solución Parte 1:Se prepara una tabla que relacione la velocidad del vehículo con el tiempo. Tiempo Velocidad (seg) (m/seg) 0 30 1 22 2 14 3 6A pesar de no disponer aún de una función explícita, el texto del problema estableceque, cada segundo transcurrido, la velocidad desciende en 8 m/seg., lo que permitiócrear la tabla.Se grafica la función obtenida:Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos (A y B): y 2 − y1m= x 2 − x1 22 − 30 − 8m= = 1− 0 1m = −8Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta: 103
  • 36. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto A: y − y1m= x − x1 y − 30m= x−0 y − 30m= xIgualando las 2 ecuaciones que define una expresión para la pendiente:y − 30 = −8 xEliminando el denominador del miembro izquierdo:y − 30 = −8xReagrupando:8x + y = 30 Ecuación de la RectaSe puede reorganizar la ecuación para expresarla en su forma simétrica:8x + y 30 = 30 308x + y =1 30Se separa el miembro izquierdo en 2 fracciones:8x y + =130 30El número “ se debe pasar al denominador del denominador para llegar a la forma 8”simétrica de la ecuación: x y + =1 30 30 8 104
  • 37. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorReemplazando la fracción “30/8” por su equivalente decimal: x y + = 1 Ecuación Simétrica de la Recta3.75 30La recta corta en “3.75” al eje de las “x” y en “30” al eje de las “y”.Solución Parte 2:Interpretando directamente la ecuación simétrica de la recta, y su representación gráfica,se tiene que luego de “3.75” segundos el vehículo se detiene (su velocidad se vuelvenula).t = 3.75 segundos Tiempo Total de FrenadoNOTA: Es importante mencionar que no tiene ninguna valor físico el tiempo previo alinicio del frenado (tiempo negativo), ni el tiempo posterior al frenado total (mayor a“3.75” segundos)Solución Parte 3:Se calcula cuánto recorre el vehículo durante el primer segundo de frenado, para lo quese define una velocidad promedio “ v ”que coincide con la velocidad instantánea a los“0.5” segundos. El valor de esa velocidad promedio es: v 0 + v1v= 2 30 + 22 52v= = 2 2v = 26 m / segSu representación gráfica sería: 105
  • 38. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl espacio recorrido en el primer intervalo de un segundo es la velocidad promedio “ v ”multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).e = v⋅ t  v + v1 e= 0 ⋅t  2   30 + 22 e=  ⋅ (1)  2 La fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “0” y el tiempo“1” y entre la recta calculada y el eje de las “x” (base mayor más base menor, sobre 2,por altura).El espacio recorrido en el segundo intervalo de un segundo es la velocidad promedio deese intervalo multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).e = v⋅ t  v + v2 e= 1 ⋅t  2   22 + 14 e=  ⋅ (1)  2  106
  • 39. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “1” y el tiempo“2” y entre la recta calculada y el eje de las “x”.El espacio recorrido en los 2 primeros segundos es la suma de los valores anteriores (elespacio recorrido en el primer segundo más el espacio recorrido en el segundosegundo).En términos generales, en un diagrama tiempo-velocidad (tiempo en el eje de las “x” yvelocidad en el eje de las “y”), el espacio es el área bajo la curva. Por tanto, el espaciototal que recorre el vehículo hasta el frenado total es el área del triángulo formado por larecta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”.El área del triángulo es: base × alturaÁrea = 2 (3.75).( 30)Área = 2 107
  • 40. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorÁrea = 56.25Por consiguiente el espacio que recorre el vehículo hasta frenar totalmente es:e = 56.25 m. Longitud de FrenadoNOTA: Un sinnúmero de problemas pueden reducirse al cálculo del área bajo unacurva, siempre que la magnitud que se calcule provenga de multiplicar la magnitud de laordenada por el intervalo de la abscisa, y sea acumulable como en el caso de la longitudtotal recorrida.Problema Resuelto 17:Una empresa incursiona en el mercado con un nuevo producto, y durante la primerasemana en que las ventas son aún sumamente bajas sus costos de producción ycomercialización exceden a sus ventas en US$ 2000. Cada semana que pasa, debido a sucampaña publicitaria y de ventas puerta a puerta, la inversión semanal adicional, poreste concepto, decrece linealmente en US$ 120 semanales (en la segunda semana seinvierte US$ 1880, en la tercera semana se invierte US$ 1760, etc.).Ø Describa la inversión adicional que debe realizar la empresa desde que lanza el producto hasta que las ventas empiecen a producir utilidad.Ø ¿Durante cuánto tiempo la empresa debe realizar esas inversiones adicionales?Ø ¿Cuánto dinero representa la inversión adicional?Ø ¿Después de cuánto tiempo, a partir de la introducción del producto, se recuperará totalmente esa inversión adicional?Solución Parte 1:Se prepara una tabla que relacione la inversión adicional con los intervalos de tiempo enque se producen.y = x −8 Tiempo Inversión (semanas) Semanal (US$) 0-1 2000 1-2 1880 2-3 1760 3-4 1640 4-5 1520 5-6 1400Se grafica la función obtenida: 108
  • 41. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEs evidente que la geometría escalonada de la función no es la que mejor representa elproblema, que debería denotar continuidad.Como se vio en el problema anterior, el punto que mejor representa a un intervalo detiempo, para modelar continuidad, es el punto medio del intervalo, de modo que sefijaran puntos característicos en la mitad de cada intervalo.Se unen todos los puntos fijados, definiéndose una línea recta. 109
  • 42. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos: y 2 − y1m= x 2 − x1 1880 − 2000 − 120m= = 1 .5 − 0 .5 1m = −120Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta:Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto (0.5, 2000): y − y1m= x − x1 y − 2000m= x − 0 .5 110
  • 43. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorIgualando las 2 ecuaciones de pendiente:y − 2000 = −120 x − 0 .5Eliminando el denominador del miembro izquierdo:y − 2000 = −120( x − 0.5)Eliminando paréntesis:y − 2000 = −120 x + 60Reagrupando:120 x + y − 2060 = 0 Ecuación de la RectaSolución Parte 2:Se puede calcular el punto de cruce de la recta con el eje de las abscisas: 2060y = 0 → 120x = 2060 → x = 120x = 17.17 semanas Tiempo que debe mantenerse la inversión adicionalSolución Parte 3:Se calcula el punto de cruce de la recta con el eje de las ordenadas:x = 0 → y − 2060 = 0y = US $ 2060Se calcula la ordenada de la recta luego de transcurrida 1 semana:x = 1 → 120(1) + y − 2060 = 0 → y = 2060 − 120y = US $ 1940La inversión en la primera semana se puede calcular con el promedio de los 2 valoresanteriores (valor al inicio y valor al final de la semana), multiplicado por el tiempotranscurrido de 1 semana. 111
  • 44. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador  2060 + 1940 Inversión 1 =  (1) = US$ 2000  2 La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada,comprendida entre 0 y 1 semanas.La inversión en la segunda semana se puede calcular con el promedio de la ordenadapara 1 semana y la ordenada para 2 semanas.  1940 + 1820 Inversión 2 =  (1) = US$1880  2 La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada,comprendida entre 1 y 2 semanas.En un diagrama Tiempo - Inversión por unidad de tiempo (tiempo en el eje de las “x”e inversión por período de tiempo en el eje de las “y”), la inversió n acumulada es el áreabajo la curva (bajo la recta). Por tanto, la inversión total adicional es el área deltriángulo formado por la recta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”. 112
  • 45. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl área del triángulo es: base × alturaÁrea = 2 (17.17).( 2060)Área = 2Área = 17685Por consiguiente la inversión toral adicional será:e = US$ 17685 Inversión Total AdicionalSolución Parte 4:Del gráfico anterior se puede deducir que a partir de las 17.17 semanas se empieza aformar un triángulo similar al analizado previamente, aunque invertido. 113
  • 46. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorAl representarse ese triángulo con ordenadas hacia abajo, el área representa utilidades.A partir de que las ventas sobrepasen a los costos, se requerirán 17.17 semanasadicionales para recuperar la inversión adicional realizada.NOTA: Desde el punto de vista de la toma de decisiones en la Administración, laInversión Total Adicional de US$ 17,685 es una inversión del orden de los US$ 18,000.De igual manera, una espera de 17.17 semanas para suprimir las inversiones adicionalessemanales significa unas 18 semanas hasta lograr el objetivo propuesto. Así mismo,17.17 semanas de utilidad para cubrir la inversión adicional significa aproximadamente18 semanas adicionales para alcanzar el objetivo.3.6 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:La forma general de la ecuación de la recta es:A .x + B .y + C = 0Problema Resuelto 18:Analizar las siguientes expresiones que constituyen ecuaciones de rectas, y extraerconclusiones acerca de los coeficientes de las variables y los términos independientes.Ø 2 x + 3y − 5 = 0Ø − x+ y + 3 = 0Ø x = 2y + 6Ø y=xØ x=6Ø y = −2Solución:Es importante notar que algunos de los 3 parámetros que identifican a las rectas (“A”,“B” y “C”) pueden ser nulos, pero al menos uno de los coeficientes que multiplican alas variables (“A” o “B”) debe ser no nulo.Problema Resuelto 19:Representar gráficamente las siguientes rectas:Ø 2 x + 3y − 5 = 0Ø − x+ y + 3 = 0Ø x = 2y + 6Ø y=xØ x=6Ø y = −2Solución:La representación gráfica de las 3 primeras rectas es la siguiente: 114
  • 47. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa representación gráfica de las 3 últimas rectas es la siguiente:3.7 PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:Mediante manejos algébricos se puede encontrar una ecuación equivalente a laEcuación General de la Recta, con el formato de Pendiente – Ordenada al Origen.A .x + B.y + C = 0Se despeja “y”:B.y = −Ax − C − Ax − Cy= BSe separa el miembro derecho en 2 fracciones: 115
  • 48. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador A Cy=− ⋅x − B BLa tradicional Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen:y = mx + bComparando las 2 ecuaciones se tiene: Am=− Pendiente de la Ecuación General de la Recta B Cb=− Ordenada al Origen de la Ecuación General de la Recta BProblema Resuelto 20:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:2 x + 3y − 5 = 0Solución:Las constantes del formulario son:A=2B =3C = −5La pendiente es: Am=− B 2m = − Pendiente de la Recta 3La ordenada al origen es: Cb=− B −5b=− 3 5b = Ordenada al Origen 3El gráfico esquemático de la recta es: 116
  • 49. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 21:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:x = 2y + 6Solución:Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentación de la recta:x − 2y − 6 = 0Las constantes del formulario son:A =1B = −2C = −6La pendiente es: Am=− B 1m=− −2 1m = Pendiente de la Recta 2La ordenada al origen es: Cb=− B −6b=− −2b = −3 Ordenada al OrigenEl gráfico esquemático de la recta es: 117
  • 50. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 22:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:x=6Solución:Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentación de la recta:x−6 = 0Las constantes del formulario son:A =1B=0C = −6La pendiente es: Am=− B 1m=− 0m = −∞La recta es verticalLa ordenada al origen es: Cb=− B −6b=− 0b = −∞La recta no corta al eje de las “y”El gráfico esquemático de la recta es: 118
  • 51. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 23:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:y = −2Solución:Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentación de la recta:y+2 = 0Las constantes del formulario son:A=0B =1C=2La pendiente es: Am=− B 0m=− 1m = 0 Pendiente de la RectaNOTA: La recta es horizontal.La ordenada al origen es: Cb=− B 2b=− 1 119
  • 52. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorb = −2 Ordenada al OrigenEl gráfico esquemático de la recta es:3.8 SEGMENTOS DE RECTA:Cuando se toma un tramo de una recta, limitado por 2 puntos extremos, se define unsegmento de recta.El segmento de recta señalado en el gráfico se identifica como AB, y su longitud seespecifica como AB .Problema Resuelto 24:Calcular la longitud del segmento AB, si se conoce que el punto A tiene porcoordenadas (5, 3) y el punto B tiene coordenadas (-4, 1). 120
  • 53. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento AB.La longitud del segmento AB es numéricamente igual a la distancia entre los puntos A yB.AB = [x 2 − x 1 ]2 + [y 2 − y 1 ]2Reemplazando las coordenadas de los puntos A y B se tiene:AB = [(−4) − (5)]2 + [(1) − (3)]2AB = [− 9]2 + [− 2]2 = 81 + 4 = 85AB = 85 Longitud del segmento AB3.9 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Y DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN VARIAS PARTES IGUALES :Es el punto que forma parte del segmento de recta y equidista de los 2 extremos delsegmento.Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta son el promedio de lascoordenadas de los puntos extremos. 121
  • 54. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador xa + x bxm = Coordenada “x” del punto medio 2 ya + ybym = Coordenada “y” del punto medio 2Por analogía las coordenadas de los 2 puntos tercios (puntos intermedios que dividen alsegmento en 3 partes de igual longitud) serían: 2x a + x bx1 = Coordenada “x” de l primer punto tercio 3 2ya + y by1 = Coordenada “y” del primer punto tercio 3 x a + 2x bx2 = Coordenada “x” de l primer punto tercio 3 y a + 2y by2 = Coordenada “y” del primer punto tercio 3De igual manera, las coordenadas de los “n-1” puntos que dividen a un segmento en “n”partes iguales son: (n − i ).x a + i .x bxi = ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “x” de l punto “i” n ( n − i ).y a + i .y byi = ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “y” del punto “i” n 122
  • 55. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 25:Dados los puntos P(-3, 5) y Q(4, -2), determinar las coordenadas del punto medio delsegmento PQ.Solución:Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento PQ.Se ubica de manera aproximada al punto medio M, y se identifican literalmente suscoordenadas. 123
  • 56. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe aplican las ecuaciones del punto medio de un segmento: x p + xqxm = 2 yp + yqym = 2Reemplazando los valores de las coordenadas conocidas se tiene: ( −3) + ( 4)xm = 2 1x m = Coordenada “x” del punto medio 2 (5) + (−2)ym = 2 3y m = Coordenada “y” del punto medio 2Las coordenadas del punto medio M son (1/2, 3/2).Problema Resuelto 26:El punto M(2, -1) es punto medio de un segmento. Si se conoce que uno de losextremos del segmento es el punto A(6, 3), cuáles son las coordenadas del otro extremoB del segmento?Solución:Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos, y la mitad del segmento AB. 124
  • 57. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDado que M es el punto medio del segmento AB, el punto B deberá ubicarse sobre laprolongación de la recta, desde M en dirección opuesta al punto A, exactamente a lamisma distancia.Las expresiones que definen las coordenadas del punto medio son: xa + xbxm = 2 y + ybym = a 2Reemplazando los valores conocidos, que son las coordenadas del punto A y las delpunto medio M se tiene: (6) + x b( 2) = Ecuación 1 2 125
  • 58. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador (3) + y b( −1) = Ecuación 2 2Simplificando y despejando “xb ” de la primera ecuación se tiene: 6 + xb2= 24 = 6 + xb− 2 = xbx b = −2Simplificando y despejando “yb ” de la segunda ecuación se tiene: 3 + yb−1 = 2− 2 = 3+ yb− 5 = yby b = −5Las coordenadas del punto B son (-2, -5), y su representación gráfica es:3.10 RECTAS PARALELAS:Dos rectas son paralelas si forman el mismo ángulo con los ejes de coordenadascartesianas. 126
  • 59. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDebido a que la pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje positivo de las “x”con la recta, dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.Se toman rectas “L1 ” y “L2 ”, cuyas ecuaciones genéricas serían:L1 : A1 .x + B1.y + C1 = 0L2 : A 2 .x + B 2 .y + C 2 = 0Las pendientes de las 2 rectas son: A1m1 = − B1 Am2 = − 2 B2Por la condición de paralelismo las 2 pendientes deben ser iguales:m1 = m2 127
  • 60. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador A1 A− =− 2 B1 B2Cambiando de signo a los 2 miembros de la ecuación:A1 A 2 =B1 B 2Agrupando las expresiones en “A” en el miembro izquierdo, y las expresiones en “B”en el miembro derecho:A1 B1 = Proporcionalidad en Rectas ParalelasA2 B2Matemáticamente se lee: A1 es a A2 como B1 es a B2 .Dos rectas son pa ralelas si los coeficientes de las variables independiente (“x”) ydependiente (“y”) guardan proporcionalidad.NOTA: Para que se cumpla el paralelismo entre rectas NO SE REQUIERE QUE LOSTÉRMINOS INDEPENDIENTES GUARDEN PROPORCIONALIDAD CON LOSCOEFICIENTES DE LAS VARIABLES.Problema Resuelto 27:Demostrar que las siguientes 3 rectas son paralelas:L1 : 2 x + 3y − 5 = 0L2 : 4x + 6 y + 3 = 0L3 : − 2x − 3y − 14 = 0Solución:Se verifica la proporcionalidad de los coeficientes de las variables.Se comparan las 2 primeras ecuaciones:L1 : 2x + 3y − 5 = 0L2 : 4 x + 6y + 3 = 0Se cumple que:2 3 = → L1 y L2 son paralelas4 6Se comparan la primera y tercera ecuaciones:L1 : 2x + 3y − 5 = 0L3 : − 2 x − 3 y − 14 = 0Se cumple que: 2 3 = → L1 y L3 son paralelas− 2 −3 128
  • 61. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorPor consiguiente todas las rectas son paralelas.La representación gráfica de las 3 ecuaciones es:Problema Resuelto 28:Encontrar la ecuación de la recta paralela a:x − 2y + 7 = 0Que pasa por el punto A(1, 3).Solución:Se calcula la pendiente en base a las expresiones de la Ecuación General de la Recta. Am1 = − B 1m1 = − −2 1m1 = 2Por la condición de paralelismo, la nueva recta deberá tener la misma pendiente. 1m2 = 2La nueva recta debe pasar por el punto A(1, 3).En este punto se podría resolver el problema con la metodología de la Ecuación Punto –Pendiente pero, para proporcionar alternativas de solución, se aprovechará la EcuaciónGeneral de la Recta que es:A .x + B.y + C = 0 129
  • 62. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDividiendo la ecuación para “ A”, para eliminar uno de los coeficientes numéricos, setiene:A B C ⋅x + ⋅y+ = 0A A A B Cx+ ⋅y+ = 0 A AEl cociente de 2 constantes es otra constante, por lo que otra manera de representar larecta es:x + B 1 ⋅ y + C1 = 0 Ecuación EquivalenteEs importante mencionar que se desconocen los valores de “B1 ” y “C1 ”, por lo que serequerirán 2 condiciones independientes para calcularlos.La pendiente de la recta es el cociente del coeficiente de “x” para el coeficiente de “y”cambiado de signo. 1 1m=− = B1 2Despejando B1:( −1)( 2) = B1B 1 = −2Reemplazando “B1 ” en la Ecuación Equivalente se tiene:x − 2y + C1 = 0Si la recta pasa por el punto A(1, 3), al reemplazar estas coordenadas (x=1 , y=3) debesatisfacerse la ecuación anterior.(1) − 2(3) + C1 = 0Simplificando:1 − 6 + C1 = 0− 5 + C1 = 0C1 = 5Reemplazando en la ecuación:x − 2y + C1 = 0x − 2 y + 5 = 0 Ecuación de la RectaLa representación gráfica de las 2 rectas es: 130
  • 63. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 29:Una propiedad tiene la siguiente geometría, en la que las coordenadas se miden enmetros:En el lindero DC existe una calle secundaria que el Municipio ha decidido ampliarlapara convertirla en principal, por lo que en la dirección del terreno deberá ensancharseen 10 m.Calcular el área del terreno antes y después de la ampliación de la calle.Solución:Se calcula inicialmente el área del terreno, que por ser un polígono cerrado puededeterminarse mediante el siguiente procedimiento, que se discutió en el capítuloanterior.Ø Se ordenan los vértices con sus respectivas coordenadas, en sentido antihorario, teniendo la precaución de terminar en el mismo punto en que se empezó. A(20, 10) B(60, 20) C(70, 70) 131
  • 64. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador D(10, 70) A(20, 10)Ø Con las coordenadas de los puntos detallados se construye una tabla ordenada de 2 columnas, la primera con la coordenada “x” de cada punto y la segunda columna con la coordenada “y”. x y 20 10 60 20 70 70 10 70 20 10Ø Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la primera columna con números de la segunda columna y se los suma, con su respectivo signo. Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 70) + ( 70 × 70) + (10 × 10) Suma 1 = 400 + 4200 + 4900 + 100 Suma 1 = 9600Ø Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la segunda columna con números de la primera columna y se los suma, con su respectivo signo. Suma 2 = (10 × 60) + (20 × 70) + (70 × 10) + (70 × 20) Suma 2 = 600 + 1400 + 700 + 1400 Suma 2 = 4100Ø Se calcula la diferencia entre las 2 sumas y el resultado es el doble del área del polígono. 2 × Área = 9600 − 4100 2 × Área = 5500 m 2 Área Inicial = 2750 m 2 Solución 1En segundo término se dibuja el recorte del terreno debido al ensanchamiento de lacalle. 132
  • 65. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa recta que representa el límite del recorte define un punto de intersección con ellindero AD (punto E) y otra intersección con el lindero BC (punto F).Para calcular las coordenadas de los puntos E y F se requiere calcular las ecuaciones delas rectas DC, AD y BC, y también la recta EF.Ø Ecuación de la recta DC: La pendiente de la recta DC es: y 2 − y1 m= x 2 − x1 70 − 70 m= 10 − 70 0 m= − 60 m=0 Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto C. 133
  • 66. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y − y1 m= x − x1 y − 70 m= x − 70 Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 70 =0 x − 70 Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 70 = 0( x − 70) Cualquier expresión multiplicada por Cero es Cero. y − 70 = 0 Ecuación de la Recta DC Es importante notar que, debido a que la recta es paralela al eje “x” (es horizontal), no existe expresión en “x” dentro de la ecuación de la recta. Otra manera, más explícita, de escribir la ecuación de la recta DC es: y = 70 Ecuación Equivalente de la Recta DC La expresión anterior significa que forman parte de la recta DC todos los puntos cuya coordenada “y” sea igual a “70”.Ø Ecuación de la Recta EF: El gráfico descriptivo es el siguiente: 134
  • 67. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Por todo lo detallado en la determinación de la recta DC, es fácil escribir directamente la ecuación de la recta EF, que limita el recorte del terreno, que es paralela a y = 70 y que está separada de la recta anterior 10 unidades en dirección del terreno: y = 60 Ecuación de la Recta EFØ Ecuación de la Recta AD: La pendiente de la recta AD es: y 2 − y1 m= x 2 − x1 70 − 10 m= 10 − 20 60 m= − 10 m = −6 Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto D. 135
  • 68. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y − y1 m= x − x1 y − 70 m= x − 10 Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 70 = −6 x − 10 Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 70 = −6( x − 10) Se simplifica la expresión anterior: y − 70 = −6x + 60 6 x + y − 70 − 60 = 0 6x + y − 130 = 0 Ecuación de la Recta ADØ Ecuación de la Recta BC: La pendiente de la recta BC es: y 2 − y1 m= x 2 − x1 70 − 20 m= 70 − 60 50 m= 10 m=5 Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto B. 136
  • 69. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y − y1 m= x − x1 y − 20 m= x − 60 Las 2 expresiones anteriores deben ser iguales: y − 20 =5 x − 60 Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 20 = 5( x − 60) Se simplifica la expresión: y − 20 = 5x − 300 − 5x + y − 20 + 300 = 0 − 5x + y + 280 = 0 Ecuación de la Recta BCEl punto E pertenece tanto a la recta EF como a la AD, razón por la cual debe cumplirsimultáneamente las 2 expresiones: y = 60 6 x + y − 130 = 0Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene:6 x + ( 60) − 130 = 0Simplificando:6 x − 70 = 06 x = 70 70x= 6x = 11.67 137
  • 70. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLas coordenadas del punto E son:E (11.67, 60)El punto F, por su parte, pertenece tanto a la recta EF como a la recta BC, por lo quedebe cumplir con: y = 60 − 5x + y + 280 = 0Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene:− 5x + ( 60) + 280 = 0Simplificando:− 5x + 340 = 05x − 340 = 05x = 340 340x= 5x = 68Las coordenadas del punto F son:F( 68, 60)El área del terreno recortado se calcula con el procedimiento antes descrito:Ø Los puntos ordenados son: A(20, 10) B(60, 20) F(68, 60) E(11.67, 60) A(20, 10)Ø La tabla de referencia para el cálculo del área es: 138
  • 71. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador x y 20 10 60 20 68 60 11.67 60 20 10Ø La suma de los primeros productos diagonales es: Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 60) + ( 68 × 60) + (11.67 × 10) Suma 1 = 400 + 3600 + 4080 + 116.7 Suma 1 = 8196.7Ø La suma de los segundos productos diagonales es: Suma 2 = (10 × 60) + ( 20 × 68) + (60 × 11.67) + (60 × 20) Suma 2 = 600 + 1360 + 700.2 + 1200 Suma 2 = 3860.2Ø La diferencia entre las 2 sumas es el doble del área del polígono. 2 × Área = 8196.7 − 3860.2 2 × Área = 4336.5 m 2 Área Re ducida = 2168.25 m 2 Solución 2PROBLEMAS MISCELÁNEOS:Problema Resuelto 30:Parte 1 (Escenario Base):Luego de la inversión inicial en infraestructura, estudios de mercado y promociónprevia, una empresa lanza un nuevo producto al mercado. Un análisis inicial estableceque durante las primeras 10 semanas de ventas, los accionistas deberán realizar unainversión adicional total de US$ 15.000 (inversión acumulada durante las 10 primerassemanas), y que la inversión semanal decrece de modo lineal.Graficar el comportamiento de la inversión adicional, encontrar la ecuación quedescribe ese comportamiento, y determinar ¿cuánto de esa inversión se utilizará en laprimera semana?Parte 2 (Escenario Pesimista):Un análisis poco optimista establece que la estimación de variación semanal de lainversión adicional es correcta, pero la inversión durante la primera semana podría serun 50% superior a la estimada en el escenario base.Graficar el comportamiento pesimista de la inversión adicional, y describir dichocomportamiento mediante una ecuación. Determinar el tiempo durante el cual losaccionistas deberán continuar realizando inversiones antes de iniciar la recuperación deese dinero, y estimar la inversión adicional total (inversión acumulada) que se requierepara comercializar ese nuevo producto. 139
  • 72. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución Parte 1 (Escenario Base):Se dibuja la variación de la inversión inicial, fijando 10 semanas como tope, a partir decuyo valor la comercialización del producto debería empezar a producir utilidades.Siguiendo un proceso similar al establecido en el Problema Resuelto 17 de estecapítulo, se puede identificar que la inversión adicional acumulada es numéricamenteigual al área del triángulo limitado por el eje de las “x”, el eje de las “y” y la recta quedescribe la inversión adicional.El área del triángulo puede calcularse como base por altura sobre dos. base × alturaArea = = 15000 2Reemplazando los valores fijados para la base y la altura: (10) × bArea = = 15000 2Despejando “b”: 140
  • 73. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador (15000) × ( 2)b= (10)Simplificando:b = US $ 3000 Inversión en la Primera Semana – Escenario BaseLa manera más rápida de obtener la ecuación de la recta consiste en utilizar su formasimétrica:a = 10b = 3000x y + =1a bReemplazando “a” y “b” en la última ecuación: x y + = 1 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario Base10 3000Solución Parte 2 (Escenario Pesimista):El escenario pesimista establece que la inversión adicional durante la primera semana,en lugar de ser de US$ 3000, puede llegar a ser un 50% más alta que la fijada en elescenario base.b 2 = 1.50 × b1b 2 = 1.50(3000)b 2 = 4500 Inversión en la Primera Semana – Escenario PesimistaAdicionalmente se fija que la variación semanal de la inversión inicial será similar a ladel Escenario Base, lo que denota que la pendiente de la segunda recta es igual a lapendiente de la primera recta (ambas rectas son paralelas).Para calcular la pendiente de la primera recta, se definen 2 puntos (A y B)pertenecientes a dicha recta: 141
  • 74. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorCon las coordenadas de los puntos “A” y “B” se puede calcular la pendiente: y 2 − y1m= x 2 − x1 (3000) − (0)m= (0) − (10)Simplificando: 3000m=− 10m1 = −300La recta que modela el Escenario Pesimista tiene la misma pendiente que la delEscenario Base, por lo que:m 2 = −300 Pendiente – Escenario PesimistaSe puede dibujar la recta del Escenario Pesimista: 142
  • 75. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa ecuación de la recta del Escenario Pesimista (pendiente – ordenada al origen) es:y = m.x + by = ( −300).x + ( 4500)y = −300x + 4500 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario PesimistaDe acuerdo al gráfico, los accionistas deberán permanecer 15 semanas manteniendoinversiones adicionales hasta iniciar el período de recuperación de capital por utilidades.Tiempo de Invers ión Adicional = 15 semanasEl monto acumulado de Inversión adicional es el área bajo la nueva recta, que conformaun triángulo con los ejes coordenados positivos. base × alturaInversión Acumulada = Area = 2 (15) × ( 4500)Inversión Acumulada = 2Inversión Acumulada = US$ 33750Problema Resuelto 31:Parte 1 (Impuesto a la Renta del 2003):Las personas naturales deben pagar el impuesto a la renta del año 2003 de acuerdo a lassiguientes reglas:Ø Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 6000 al año no pagarán impuesto.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 6000 y US$ 12000 pagarán el 5% sobre ese exceso de US$ 6000.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 12000 y US$ 24000 pagarán el 10% sobre ese exceso de US$ 12000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 24000 y US$ 36000 pagarán el 15% sobre ese exceso de US$ 24000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 36000 y US$ 48000 pagarán el 20% sobre ese exceso de US$ 48000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables que superen los US$ 48000 pagarán el 25% sobre ese exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2003 enfunción de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, ygraficar tales ecuaciones. 143
  • 76. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorParte 2 (Impuesto a la Renta del 2002):El cálculo del impuesto a la renta del año 2002 se ajusta a las siguientes reglas, bastantesimilares a las anteriormente mencionadas, pero con rangos de validez diferentes:Ø Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 5000 al año no pagarán impuesto.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 5000 y US$ 10000 pagarán el 5% sobre ese exceso de US$ 5000.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 10000 y US$ 20000 pagarán el 10% sobre ese exceso de US$ 10000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 20000 y US$ 30000 pagarán el 15% sobre ese exceso de US$ 20000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 30000 y US$ 40000 pagarán el 20% sobre ese exceso de US$ 30000, más los impuestos de las escalas anteriores.Ø Los ingresos gravables que superen los US$ 40000 pagarán el 25% sobre ese exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2002 enfunción de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, ygraficar tales ecuaciones.Analizar las condiciones de paralelismo entre los segmentos de recta que describen elcálculo del impuesto del 2002 y del 2003.Solución Parte 1 (año 2003):Se prepara una tabla con el cálculo del impuesto en los límites inferior y superior decada intervalo de ingresos gravables: Ingreso Escala Cálculo Impuesto Gravable Causado (US$) (US$) 0 0% 0x0 0 6000 0% 6000x0 0 12000 5% (6000x0.05)+0 300 24000 10% (12000x0.10)+300 1500 36000 15% (12000x0.15)+1500 3300 48000 20% (12000x0.20)+3300 5700 >48000 25% [(Ingreso-48000)x0.25]+5700 …..Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico: 144
  • 77. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa pendiente de cada una de las rectas está dada por la escala de impuesto que lecorresponde al intervalo de ingresos gravables (5% → m=0.05; 10% → m=0.10; 15%→ m=0.15; …).Las coordenadas de los puntos de cambio de rectas también se determinan a partir de latabla anterior.Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante elmodelo Punto – Pendiente. 145
  • 78. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Intervalo de Ecuación del Impuesto a la Renta Ecuación Genérica Ingresos (US$) Gravables (US$) 0-6000 Impuesto = 0 y=0 6000-12000 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 6000) y = 0.05(x–6000) 12000-24000 Impuesto = 0.10 (Ingreso – 12000) + 300 y = 0.10(x–12000)+300 24000-36000 Impuesto = 0.15 (Ingreso – 24000) + 1500 y = 0.15(x-24000)+1500 36000-48000 Impuesto = 0.20 (Ingreso – 48000) + 5100 y = 0.20(x-36000)+3300 >48000 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 96000) + 14700 y = 0.25(x-48000)+5700Solución Parte 2 (año 2002):Se prepara otra tabla para el cálculo de los impuestos del 2002: Ingreso Escala Cálculo Impuesto Gravable Causado (US$) (US$) 0 0% 0x0 0 5000 0% 5000x0 0 10000 5% (5000x0.05)+0 250 20000 10% (10000x0.10)+250 1250 30000 15% (10000x0.15)+1250 2750 40000 20% (10000x0.20)+2750 4750 >40000 25% [(Ingreso-40000)x0.25]+4750 …..Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico de coordenadas:Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante elmodelo Punto – Pendiente. 146
  • 79. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Intervalo de Ecuación del Impuesto a la Renta Ecuación Genérica Ingresos (US$) Gravables (US$) 0-5000 Impuesto = 0 y=0 5000-10000 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 5000) y = 0.05(x–5000) 10000-20000 Impuesto = 0.10 (Ingreso – 10000) + 250 y = 0.10(x–10000)+250 20000-30000 Impuesto = 0.15 (Ingreso – 20000) + 1250 y = 0.15(x-20000)+1250 30000-40000 Impuesto = 0.20 (Ingreso – 30000) + 2750 y = 0.20(x-30000)+2750 >40000 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 40000) + 4750 y = 0.25(x-40000)+4750Al comparar las pendientes de las rectas del impuesto a la renta del 2003 con el 2002, seencuentra que presentan segmentos con impuesto del 0% (m=0.00), segmentos conimpuesto del 5% (m=0.05), segmentos con impuesto del 10% (m=0.10), etc., quedefinen rectas paralelas entre los 2 modelos de pago.Problema Resuelto 32:Parte 1:Un estudio de mercado revela que en la ciudad no existen empresas que vendan relojesparlantes de múltiples servicios (hora, temperatura, humedad, agenda, etc.) para novidentes y personas de baja visión. El mismo estudio indica que si se vendieran relojesde este tipo a US$ 40 cada uno, se colocarían alrededor de 200 unidades por año; si sevendieran a US$ 39 los compradores anuales podrían ser 400; a US$ 38 los potencialesclientes interesados llegarían a 600, a US$ 37 se venderían unos 800 relojes, etc.Representar gráficamente este comportamiento de mercado, y encontrar la función quelo describe.Parte 2:Una empresa ecuatoriana está en capacidad de fabricar los relojes parlantes de esascaracterísticas técnicas, a un costo de US$ 20 por unidad, siempre que se supere una 147
  • 80. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorproducción de 400 unidades anuales. Encontrar gráficamente cuál debería ser laproducción anual de la empresa para alcanzar la mayor utilidad total.Solución Parte 1:Se prepara una tabla que describa la variación de los potenciales clientes con el preciode venta de los relojes: Precio Unitario Número de Venta Potencial de (US$) Relojes Vendidos 40 200 39 400 38 600 37 800 36 1000 35 1200 30 2200 25 3200 20 4200Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico:Para calcular la ecuación de la recta descrita en el gráfico se determina en primer lugarla pendiente tomando como referencia los puntos (200, 40) y (400, 39). y 2 − y1m= x 2 − x1 39 − 40 −1m= = 400 − 200 200 1m=− 200Se calcula nuevamente la pendiente entre el punto (200, 40) y un punto genérico P(x, y). y − y1m= x − x1 148
  • 81. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y − 40m= x − 200Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 40 1 =−x − 200 200Pasando los denominadores a los otros miembros:200( y − 40) = −( x − 200)Simplificando:200 y − 8000 = −x + 200Despejando “y”:200 y = −x + 200 + 8000200 y = − x + 8200 − x + 8200y= 200 1 8200y=− x+ 200 200 1y=− x + 41 Solución 200Solución Parte 2:Se representa en el diagrama anterior el valor constante de producción de US$ 20, apartir de una producción de 400 relojes, y se identifican los costos unitarios deproducción y las utilidades unitarias: 149
  • 82. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDel gráfico se deduce claramente que la utilidad unitaria (utilidad por cada relojvendido) se obtiene restando el costo unitario de producción del valor de mercado delproducto. Así mismo, es evidente que si la producción sobrepasara de 4200 relojes, laempresa perdería dinero.Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado – Costo Unitario de ProducciónEn la expresión anterior el costo unitario de producción es de US$ 20.Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado – US$ 20Así mismo, la utilidad total se obtiene multiplicando la Utilidad Unitaria por el númerode relojes vendidos.Utilidad Total = (Utilidad Unitaria) x (Número de Relojes)Se trasladan a una tabla las expresiones anteriores: Número de Precio Utilidad Unitaria Utilidad Total Relojes Unitario (US$) (US$) Vendidos (US$) 400 39 39-20=19 19x400=7600 600 38 38-20=18 18x600=10800 800 37 37-20=17 17x800=13600 1000 36 36-20=16 16x1000=16000 1200 35 35-20=15 15x1200=18000 2200 30 30-20=10 10x2200=22000 3200 25 25-20=5 5x3200=16000 4200 20 20-20=0 0x4200=0  1   1  − x + 41 − 20 = − x + 21 ⋅ x = x − 1 x + 41  200   200  200 1 1 2 − x + 21 − x + 21x 200 200En la tabla se puede observar claramente que la mayor utilidad total corresponde a unvalor alrededor de 2200 relojes producidos y vendidos. Con el objeto de afinar eseresultado se ampliará la tabla a una producción de 2000, 2100, 2300 y 2400 relojes. 150
  • 83. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorAdemás se puede observar que se han generalizado los cálculos de cada elemento de lamatriz mediante el uso de un formulario descrito en la última fila de la tabla.Por las condiciones del problema no tiene ningún sentido una evaluación de parámetrospara una producción inferior a 400 relojes por año. Número de Precio Utilidad Unitaria Utilidad Total Relojes Unitario (US$) (US$) Vendidos (US$) 400 39 39-20=19 19x400=7600 600 38 38-20=18 18x600=10800 800 37 37-20=17 17x800=13600 1000 36 36-20=16 16x1000=16000 1200 35 35-20=15 15x1200=18000 2000 31 31-20=11 11x2000=22000 2100 30.5 30.5-20=10.5 10.5x2100=22050 2200 30 30-20=10 10x2200=22000 2300 29.5 29.5-20=9.5 9.5x2300=21850 2400 29 29-20=9 9x2400=21600 3200 25 25-20=5 5x3200=16000 4200 20 20-20=0 0x4200=0  1   1  − x + 41 − 20 = − x + 21 ⋅ x = x − 1 x + 41  200   200  200 1 1 2 − x + 21 − x + 21x 200 200En base a los datos anteriores se puede preparar un gráfico que relacione la utilidad total(columna extrema derecha) con el número de relojes vendidos (columna extremaizquierda).Una producción de alrededor de 2100 relojes anuales generaría una utilidadmáxima total aproximada de US$ 22050. 151
  • 84. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorOtro aspecto adicional es que la curva graficada, que proviene del producto de 2funciones lineales, es una parábola de segundo grado.Problema Resuelto 33:La longitud mínima de las pistas aéreas comerciales, al nivel del mar, es de 2800 m.Debido a la disminución de la densidad del aire, con la altitud, por cada 400 m. de alturadebe incrementarse la longitud de la pista aérea en 100 m. Representar gráficamente lasnecesidades mínimas de la pista aérea en función de la altitud geográfica.Identificar en ese gráfico una pista aérea para la ciudad de Guayaquil (50 m.s.n.m. – 50metros sobre el nivel del mar), una pista para la ciudad de Quito (2850 m.s.n.m.) y unapista para el nuevo aeropuerto internacional en Puembo – Tababela (2600 m.s.n.m.).Solución Parte 1:Se prepara una tabla que describa la variación de la longitud mínima de la pista enfunción de la altitud. Altitud Longitud de Pista (m.s.n.m.) (m) 0 2800 400 2900 800 3000 1200 3100 1600 3200 2000 3300 2400 3400 2800 3500La representación gráfica de los puntos es:Es importante reconocer que sobre el eje de las “x” se pudo graficar la altitud y sobre eleje de las “y” se pudo representar a la longitud mínima de la pista, pues esos son 152
  • 85. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorgeneralmente los ejes utilizados para la variable independiente y para la variabledependiente.Los puntos conforman claramente una recta, cuya representación gráfica es:Se puede calcular la ecuación de la recta en base a 2 de los puntos (2800, 0) y (2900,400).La pendiente de la recta es: y 2 − y1m= x 2 − x1 400 − 0 400m= = =4 2900 − 2800 100Si se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta también se puede calcularla pendiente:La pendiente es: 153
  • 86. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y − y1m= x − x1 y−0 ym= = x − 2800 x − 2800Igualando las 2 expresiones anteriores: y =4x − 2800Pasando el denominador de la fracción al otro miembro:y = 4( x − 2800)Simplificando:y = 4 x − 11200 Ecuación de la RectaDespejando “x” se tiene:4 x = y + 11200 y + 11200x= Ecuación Equivalente 4En esta ecuación las ordenadas “ representan la altitud a la que se va a construir l y” apista aérea, y la abscisa “x” representa la longitud mínima de la pista.NOTA: Al haber escogido la variable “x” para representar a la longitud de la pista, serála ecuación en que se despeja esa variable (la segunda) la que se utilice para facilitar ladefinición de la representación gráfica.Solución Parte 2:Para la ciudad de Guayaquil, la altitud es 50 m.s.n.m. (y = 50). Se evalúa la ecuaciónequivalente para ese valor de “y”: 50 + 11200x= 4x = 2812.5 m. Longitud mínima de la pista en GuayaquilPara la ciudad de Quito, la altitud es 2850 m.s.n.m. (y = 2850). Se evalúa la ecuaciónequivalente para ese valor de “y”: 2850 + 11200x= 4x = 3812.5 m. Longitud mínima de la pista en QuitoPara la población de Puembo – Tababela (donde se construirá el nuevo aeropuerto paraQuito, la altitud es 2600 m.s.n.m. (y = 2600). Se evalúa la ecuación equivalente para esevalor de “y”: 2600 + 11200x= 4x = 3450 m. Longitud mínima de la pista en Puembo 154
  • 87. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorAl graficar los puntos que identifican a las 3 pistas se encuentra, como adicional, que laslíneas punteadas horizontales representan el desarrollo de la pista aérea en cada una delas altitudes analizadas:Problema Resuelto 34:Una empresa reporta la siguiente estadística de ventas anuales: Año Ventas (US$) 1999 117000 2000 124000 2001 127000 2002 136000 2003 146000 2004 148000Representar gráficamente la variación de las ventas con el tiempo, y estimar las posiblesventas para los años 2005 y 2006, asumiendo una tendencia lineal del comportamiento.Solución:Se dibujan los datos de ventas de la empresa en cada año, para lo que horizontalmentese asignan los valores de los años, y verticalmente los valores de las ventas realizadaspor la empresa. 155
  • 88. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEn el gráfico se puede observar que los puntos representados no coinciden exactamentecon una única recta. Sin embargo, la tendencia global de los datos está orientada aconfigurar una geometría semejante a una línea recta progresivamente creciente en eltiempo.Se procede a dibujar una recta aproximada que minimice las distancias a todos lospuntos señalados, que se conoce como Recta de Tendencia, en la que las distancias porencima de la recta hacia los puntos equilibren a las distancias por debajo de la rectahacia los otros puntos. 156
  • 89. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEn el gráfico se puede identificar, de manera aproximada, las ventas para los años 2005y 2006; para ello se trazan verticales desde los años correspondientes y se busca elpunto de intersección con la Recta de Tendencia; las ordenadas de esos puntosconstituyen los valores estimados de las ventas.Las ventas proyectadas para el año 2005 son de unos US$ 157000, mientras que lasventas para el año 2006 son aproximadamente de US$ 164000.Si se utilizara una herramienta como Excel, en lugar de minimizar la suma de lasdistancias verticales de los puntos que representan los datos reales, con relación a laRecta de Tendencia, se minimizaría la suma de los cuadrados de esas distancias, y seobtendría la siguiente ecuación para la Recta de Tendencia, cuyo gráfico esprácticamente el mismo que aquel del gráfico anterior.y = −13019714 + 6571.4286x3.11 RECTAS IGUALES:Dos rectas son iguales si todos los puntos pertenecientes a la primera recta forman partede la segunda, y si todos los puntos pertenecientes a la segunda recta forman parte de laprimera.Eso significa que a más de ser paralelas, al menos un punto debe coincidir, para quecoincidan los restantes.Como se demostró en el acápite anterior, la condición de paralelismo se refleja en lasiguiente expresión.A 1 B1 =A2 B2 157
  • 90. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLas Ordenadas al Origen de las 2 rectas son: C1b1 = − B1 Cb2 = − 2 B2Las 2 rectas deben cortar al eje de las “y” en el mismo punto, por lo que:b1 = b 2Reemplazando “b1 ” y “b2 ” por sus expresiones equivalentes: C1 C− =− 2 B1 B2Cambiando de signo a los 2 miembros:C1 C 2 =B1 B 2Agrupando los términos en “C” en el miembro izquierdo, y los términos en “B” en elmiembro derecho:C1 B1 =C2 B 2Escribie ndo en una sola expresión las condiciones de paralelismo y de igualdad en laordenada al origen.A 1 B1 C 1 = = Proporcionalidad en Rectas IgualesA2 B2 C2Dos rectas son iguales si los coeficientes de las variables independiente ydependiente, y los términos independientes de las variables guardanproporcionalidad.Problema Resuelto 35:Demostrar que las siguientes rectas son iguales:2 x + 3y − 5 = 04x + 6y − 10 = 0− 2x − 3y + 5 = 0Solución:Se despeja “y” de la primera ecuación:2x + 3y − 5 = 03y = −2 x + 5 − 2x + 5y= 3 158
  • 91. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe despeja “y” de la segunda ecuación:4 x + 6y − 10 = 06 y = −4 x + 10 − 4x + 10y= 6 − 2x + 5y= 3Se despeja “y” de la tercera ecuación:− 2 x − 3y + 5 = 0− 3y = 2 x − 5 2x − 5y= −3 − 2x + 5y= 3Debido a que las 3 expresiones son idénticas, sus gráficos también serán iguales:La segunda ecuación de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el términoindependiente de la primera ecuación por “ por lo que se cumple la condición de 2”,proporcionalidad de las rectas iguales.4 6 − 10 = = o 4 = 2 × 2 ; 6 = 3 × 2 ; − 10 = ( −5) × 22 3 −5La tercera ecuación de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el términoindependiente de la primera ecuación por “-1”, por lo que también se cumple lacondición de proporcionalidad de las rectas iguales.−2 − 3 5 = = o − 2 = 2 × ( −1) ; − 3 = 3 × ( −1) ; 5 = ( −5) × ( −1) 2 3 −5NOTA: Una manera rápida de detectar dos rectas iguales consiste en observar si una delas ecuaciones se puede obtener multiplicando o dividiendo la otra ecuación por una 159
  • 92. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorconstante. En el ejemplo anterior, la segunda ecuación proviene de multiplicar a laprimera ecuación por “2”, mientras que la tercera ecuación se obtiene multiplicando a laprimera ecuación por “-1”.3.12 RECTAS PERPENDICULARES:Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo de 90º.A partir del gráfico anterior se pueden definir ciertas relaciones importantes, entre las 2rectas perpendiculares (“L1 ” y “L2 ”).En este punto es importante notar que si el ángulo de referencia de la recta “L1 ” (ánguloque se mide desde el eje positivo de las “x” hacia la recta) es un ángulo “α ”, el ángulode referencia de la recta “L2 ”, perpendicular a la recta anterior, es 90º+α .Además, debido a que la pendiente de una recta es numéricamente igual a la tangentedel ángulo que forma con el eje positivo de las “x”, se tienen las siguientes expresiones:m1 = Tan ( α) 160
  • 93. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorm 2 = Tan (90º +α )Por otro lado, partiendo de las propiedades de las funciones trigonométricas, se sabe queentre la tangente y la cotangente de un ángulo existe un desfase de “ ”, y presenta 90ºsignos cambiados, por lo que se tiene la siguiente expresión:m 2 = −C tan( α)Además existe la siguiente relación entre las funciones Tangente y Cotangente: 1C tan( α ) = Tan (α )Reemplazando en la expresión de “m2 ” se tiene: 1m2 = − Tan ( α)Reemplazando la “Tan(α )” por la pendiente “m1 ”: 1m2 = − m1Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de la segunda recta es el inverso dela pendiente de la primera, cambiado de signo.Si en la ecuación anterior se coloca en el miembro izquierdo las dos pendientes, setiene:m 1 ⋅ m 2 = −1Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es “-1”.Problema Resuelto 36:Demostrar que las siguientes rectas son perpendiculares:L1 : 2 x + 3y − 5 = 0L2 : 3 x − 2y − 7 = 0Solución:Se despeja “y” de cada una de las ecuaciones: 2 5L1 : 3y = −2 x + 5 → y = − x + 3 3 3 7L2 : − 2 y = − 3x + 7 → 2 y = 3x − 7 → y = x− 2 2Para representar gráficamente a las 2 rectas se prepara una tabla con coordenadas dealgunos puntos para cada recta: 161
  • 94. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 5 3 7 y=− x+ y= x− 3 3 2 2 x y x y -6 5.67 -6 -12.5 -4 4.33 -4 -9.5 -2 3.00 -2 -6.5 0 1.67 0 -3.5 2 0.33 2 -0.5 4 -1.00 4 2.5 6 -2.33 6 5.5Se dibujan las 2 rectas sobre un diagrama de coordenadas cartesianas:Utilizando la expresión de la ecuación general de la recta se calcula la pendiente de las 2rectas.A .x + B.y + C = 0 Am=− BLa pendiente de la primera recta es: ( 2) 2m1 = − =− (3) 3La pendiente de la segunda recta es: (3) 3m2 = − = ( −2) 2El producto de las pendientes de las 2 rectas es: 162
  • 95. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador  2  3 m 1.m 2 =  −  ⋅    3  2 m1 .m 2 = −1 Se verifica que las 2 rectas son perpendicularesProblema Resuelto 37:Encontrar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta:L1 : 4x − 3 y − 5 = 0Si la recta mencionada pasa por el punto A(1, 2)Solución:Se dibuja la recta “L1 ” y el punto A(1, 2):Se dibuja tentativamente la recta “L2 ” en el gráfico anterior: 163
  • 96. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta “L1 ”: Am=− B ( 4) 4m1 = − = ( −3) 3Se calcula la pendiente de la segunda recta:m 1 ⋅ m 2 = −14  ⋅ m 2 = −13 3m 2 = −1  4 3m2 = − 4La expresión más conveniente para calcular la ecuación corresponde a la Ecuación de laRecta Pendiente – Ordenada al Origen:y = m.x + bReemplazando el valor de la pendiente en la expresión anterior se tie ne:  3y =  − x + b  4La condición de que la recta deba pasar por el punto A(1,2) se simboliza: 164
  • 97. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx=1 → y=2Reemplazando los valores de “x” y “y” en la ecuación:  3( 2) =  − (1) + b  4Simplificando: 32=− +b 4 3b = 2+ 4 11b= 4La ecuación de la recta queda:  3  11 y =  − x +    4 4Multiplicando por “4”:4y = −3x + 11 Ecuación de la rectaProblema Resuelto 38:Encontrar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta:L1 : 2 x − 3y + 6 = 0Si la recta mencionada pasa por el punto A(5, 4)Solución:Se dibuja la recta “L1 ” y el punto A(5, 4): 165
  • 98. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe dibuja tentativamente la recta “L2 ” en el gráfico anterior:Se aprovecha la ecuación, y se la reduce a la forma Pendiente – Ordenada al Origen:2 x − 3y + 6 = 0Dejando la expresión en “y” en el miembro izquierdo de la ecuación:− 3y = −2 x − 6Despejando “y”: − 2x − 6y= −3Descomponiendo en 2 fracciones: − 2x − 6y= + −3 − 3Simplificando los signos en las fracciones: 2x 6y= + 3 3Simplificando la segunda fracción: 2xy= +2 3Representando la expresión en la forma Pendiente – Ordenada al Origen:y = m.x + b 2y =  .x + 2 3De esto se desprende que: 166
  • 99. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2m= Pendiente de L1 3b = 2 Ordenada al Origen de L1La recta perpendicular (L2 ) tendrá por pendiente: 1m2 = − m1 1m2 = −  2    3 3m 2 = − Pendiente de L2 2La ecuación de la recta que es perpendicular a la recta “L1 ” se representa: y = m 2 .x + b 2Reemplazando “m2 ”:  3 y =  − x + b 2  2La recta debe pasar por el punto A(5, 4), por lo que al reemplazar los valores “x= 5” y“y= 4”, deben satisfacerse las condiciones de la ecuación propuesta:  3( 4) =  − (5) + b 2  24 = −7.5 + b 24 + 7.5 = b 2b 2 = 11.5Reemplazando en la ecuación de la recta se tiene:  3 y =  −  x + 11.5 Solución  2Problema Resuelto 39:Encont rar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta:L1 : 2 x − 3y + 6 = 0Si la recta mencionada forma con los ejes positivos “x” y “y”, un triángulo cuya área esde 12 unidades.Solución:La recta “L1 ” es la misma que la del problema anterior, por lo que su gráfico es: 167
  • 100. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe pueden dibujar algunas rectas que siendo perpendiculares a “L1 ”, forman triánguloscon los ejes positivos de las “x” y de las “y”.La recta que se busca debe tener la siguiente pendiente (ver problema ant erior): 3m=− 2Para calcular el área de los triángulos que se forman entre la recta buscada y los ejespositivos “x” y “y”, es conveniente representar a la recta en su forma simétrica. 168
  • 101. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx y + =1a bLa condición de formar un triángulo con un área de 12 unidades se describe mediante lasiguiente expresión:a.b = 12 2a.b = 24Por otro lado, la pendiente de la recta en su forma simétrica es: bm=− a b 3− =− a 2b 3 =a 22 b = 3a 3b= a 2Las 2 expresiones deben cumplirse simultáneamente: a.b = 24 b = ( 3 / 2) aReemplazando la segunda expresión en la primera: 3 a. a  = 24 2 Simplificando: 169
  • 102. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador3 2 a = 242Despejando “a” y simplificando: 2a2 = 24 3a 2 = 16a = ±4Debido a que el problema establece que se debe formar un triángulo con los ejespositivos de las “x” y de las “y”, el valor de “a” debe ser positivo.a=4Reemplazando “a” en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones se tiene:  3b =  a  2  3b =   (4)  2b=6Por consiguiente la ecuación de la recta buscada es:x y + =1a bx y + = 1 Solución4 63.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:Es la menor distancia entre el punto dado y los puntos pertenecientes a la recta. 170
  • 103. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEs igualmente la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el puntoexterior, medida entre ese punto y la intersección de la recta con su perpendicular.Problema Resuelto 40:Encontrar la distancia que existe desde el punto P(6, 4) a la recta 2x + y – 3 = 0.Solución:Para dibujar la recta y el punto, se despeja la variable “y” de la ecuación de la recta:y = −2 x + 3Se encuentran algunos puntos pertenecientes a la recta. x y -3 9 -2 7 -1 5 0 3 1 1 2 -1 3 -3Se dibuja la recta “L1 ” sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.Se puede incluir el punto exterior en el gráfico. 171
  • 104. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe traza la recta “L2 ” perpendicular a la recta “L1 ”, que pasa por el punto “P”.El punto “A” es la intersección de las 2 rectas perpendiculares.Para definir la ecuación de la recta “L2 ” se requiere calcular inicialmente la pendientede la recta “L1 ”.2x + y − 3 = 0 Am=− B 172
  • 105. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador ( 2)m1 = − (1)m1 = −2 Pendiente de la recta L1Por perpendicularidad, debe existir la siguiente relación entre la pendiente de la recta“L2 ” y la de la recta “L1 ”. 1m2 = − m1 1m2 = − −2 1m2 = Pendiente de la recta L2 2En vista de que se conoce la pendiente de la recta “L2 ” y un punto “P(6, 4)” por el quepasa, se requiere definir un punto genérico de la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre los puntos “P” y “Q”, para definir la ecuaciónde la recta “L2 ”. y−4m2 = x −61 y−4 =2 x −6x − 6 = 2.( y − 4)x − 6 = 2y − 8 173
  • 106. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx − 2 y + 2 = 0 Ecuación de la recta L2El punto “ es la intersección de las rectas “L1 ” y “L2 ”, por lo que deberá cumplir A”simultáneamente con ambas condiciones. 2x + y − 3 = 0 x − 2y + 2 = 0Se despeja “y” de la primera ecuación:y = −2 x + 3Esta expresión se reemplaza en la segunda ecuación del sistema: 4y 8 6 74x − 2.(− 2x + 3) + 2 = 0Simplificando:x + 4x − 6 + 2 = 05x = 4 4x= Primera coordenada de la intersección 5Se reemplaza el valor previo en la primera ecuación del sistema: 42  + y − 3 = 0 5Simplificando:8 + y−3= 05 174
  • 107. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 7y= Segunda coordenada de la intersección 5Se calcula la distancia entre los puntos P y A, que por definición es también la distanciaentre el punto P y la recta L1.d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = ( 6 − 0.8) 2 + (4 − 1.4) 2 = ( 5.2) 2 + ( 2.6) 2d = 5.814 Solución3.14 ECUACIÓN DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:Para determinar la distancia entre un punto de coordenadas P(x1,y1) y una rectagenérica “L1”, se traza una segunda recta “L2”, perpendicular a la primera, que pasepor el punto exterior P, utilizando un procedimiento similar al expuesto en el problemaanterior: 175
  • 108. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa ecuación general de la recta “L1” es:A .x + B.y + C = 0La pendiente de la primera recta es: Am1 = − BA continuación se procede a calcular la ecuación de la segunda recta.La pendiente de la recta”L2”, que es perpendicular a la recta “L1” es: 1m2 = − m1 1m2 = − A − B 1m2 = A B Bm2 = ALa ecuación de la recta “L2 ” se puede representar en su forma más sencilla para estecaso, que sería Pendiente – Ordenada al Origen:y = m 2 .x + b 2Reemplazando la pendiente “m2 ” se tiene: By =  .x + b 2 AEsta ecuación, por representar a la recta “L2 ”, debe pasar por el punto P(x1 , y1 ), por loque debe cumplir que:  By1 =  .x1 + b 2 AEn la expresión anterior, el único valor desconocido es “b” (b2 ), que se lo puededespejar: Bb 2 = y 1 −   .x1  ACon los valores de “m2 ” y “b2 ”, se puede definir la ecuación de la recta “L2 ”:y = m 2 .x + b 2 B  B y =  .x +  y1 −  .x 1  A  A  176
  • 109. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador B  By =   .x + y 1 −   .x1 Ecuación de la recta “L2 ”  A  AA continuación se encuentran las coordenadas del punto “C”, que es la intersecciónentre “L1 ” y “L2 ”. Para el efecto se resuelven como ecuaciones simultáneas lasecuaciones “L1 ” y “ 2 ”, pues el punto de intersección debe cumplir simultáneamente Lcon las ecuaciones de las 2 rectas: A .x + B.y + C = 0 B B y =  .x + y1 −  .x 1 A AReemplazando la segunda ecuación en la primera se tiene:  B  B A.x + B. .x + y1 −  .x1  + C = 0  A  A Multiplicando toda la expresión por “A”, para eliminar denominadores:A 2 .x + B.{B.x + [A.y1 − B.x 1 ]}+ A.C = 0Eliminando signos de agrupación:A 2 .x + B 2 .x + A.B.y1 − B 2 .x1 + A.C = 0Agrupando, por separado, los términos en “x” y los términos conocidos:( A 2 .x + B2 .x ) − ( B 2 .x 1 − A.B.y1 − A.C) = 0( A 2 + B 2 ).x − ( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C) = 0Despejando “x”:( A 2 + B 2 ).x = (B 2 .x 1 − A.B.y1 − A.C) B 2 .x 1 − A .B.y 1 − A .CxC = Primera Coordenada del Punto C A2 + B2Reemplazando el valor de “x” en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones setiene: B By =  .x + y1 −  .x1 A  A  B   B .x1 − A.B.y1 − A.C   2 B y =  .  +  y1 −  .x1  A  A +B 2 2    A Simplificando:  B.( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C)   A.y1 − B.x 1 y= +    A.( A 2 + B2 )    A  177
  • 110. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorReduciendo las 2 fracciones a un denominador común único:  B.( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C)   ( A 2 + B2 ).( A.y1 − B.x1 ) y= +     A.( A 2 + B2 )     A.( A 2 + B 2 )    B 3 .x 1 − A.B2 .y1 − A.B.C   A 3 .y1 − A 2 .B.x1 + A.B2 .y1 − B3 .x 1 y= +    A.( A 2 + B 2 )     A.( A 2 + B2 )   B3 .x1 − A.B 2 .y1 − A.B.C + A 3 .y1 − A 2 .B.x1 + A.B 2 .y1 − B3 .x1y= A.( A 2 + B 2 )Simplificando: A.( −B.C + A 2 .y1 − A.B.x 1 )yC = A.( A 2 + B2 ) − B.C + A 2 .y 1 − A .B.x 1yC = Segunda Coordenada del punto C A2 + B2La distancia del punto exterior a la recta es igual a la distancia que existe entre el punto“A” y el punto “C”.d = (x P − x C )2 + ( y P − y C ) 2 2 2   B 2 .x1 − A.B.y1 − A.C        +  y1 −  − B.C + A .y1 − A.B.x 1  2d =  x1 −    A2 + B2    A.( A 2 + B 2 )       Simplificando: 2 2  A.B.y1 + A .C − B 2 .x1   B.C + A.B.x 1 − A 2 .y1 d = x1 +  +  y1 +    A 2 + B2     A 2 + B2   2 2  x1 (A 2 + B2 ) + A .B.y1 + A.C − B 2 .x 1   y1 (A 2 + B2 ) + B.C + A .B.x1 − A 2 .y1 d=  2 2  + 2 2    A +B     A +B   2 2  A 2 .x1 + A.B.y1 + A.C   B2 .y1 + B.C + A.B.x 1 d=  2 2  + 2 2    A +B     A +B  Elevando al cuadrado la ecuación: 2 2  A 2 .x 1 + A.B.y1 + A.C   B 2 .y1 + B.C + A.B.x 1 d = 2  +    A2 + B2     A2 + B2  Resolviendo los cuadrados de las fracciones: 178
  • 111. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador A 4 .x 12 + A 2 .B2 .y12 + A 2 .C 2 + 2 A3 .B.x 1.y1 + 2A 3 .C.x1 + 2A 2 .B.C.y1d2 = + (A 2 +B 2 2 ) B4 .y12 + B 2 .C 2 + A 2 .B2 .x12 + 2B3 .C.y1 + 2A.B3 .x 1.y1 + 2A.B 2 .C.x 1 (A 2 + B2 ) 2Agrupando términos semejantes: A 4 .x 12 + A 2 .B2 .x 12 + A 2 .B2 .y12 + B 4 .y1 2 + 2A 3 .B.x 1.y1 + 2A.B 3 .x 1.y1d2 = + (A 2 +B 2 2 ) 2A 3 .C.x1 + 2A.B2 .C.x1 + 2A 2 .B.C.y1 + 2 B3 .C.y1 + A 2 .C 2 + B2 .C 2 (A 2 + B2 ) 2Factorando:d2 = (A 4 ) ( + A 2 .B 2 .x1 2 + A 2 .B2 + B4 .y1 2 + 2A 3 .B + 2A.B3 .x1 .y1 ) ( ) + (A + B ) 2 2 2 (2 A .C + 2A.B .C).x + (2A .B.C + 2B .C).y + (A .C + B .C ) 3 2 1 2 3 1 2 2 2 2 (A + B ) 2 2 2 A .(A + B ) x + B .(A + B ).y + 2 A.B.(A + B ) x .y 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 2 2d2 = 1 + 1 1 1 (A + B ) 2 2 2 2A.C.(A + B ) x + 2B.C.(A + B ) y + C .(A + B ) .2 2 . 1 2 2 1 2 2 2 (A + B ) 2 2 2Factorando en el numerador la expresión “A2 + B2 ”:d = 2 (A 2 )( 2 2 + B 2 . A 2 .x 1 + B 2 .y1 + 2A .B.x1 .y1 + 2A .C.x1 + 2B.C.y1 + C 2 ) (A 2 + B2 ) 2Simplificando: 2 2 A 2 .x1 + B2 .y1 + 2A.B.x 1.y1 + 2A.C.x 1 + 2B.C.y1 + C2d2 = A 2 + B2Reordenando el numerador para conformar un trinomio cuadrado perfecto: 2 2 A 2 .x1 + B2 .y1 + C 2 + 2A.B.x 1.y1 + 2A.C.x 1 + 2B.C.y1d2 = A 2 + B2Factorando el numerador:d 2 = (A.x1 + B.y1 + C)2 A2 + B2 179
  • 112. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorObteniendo la raíz cuadrada en los 2 miembros de la expresión: A .x 1 + B .y 1 + Cd= Ecuación de la Distancia de un Punto a una Recta 2 2 A +BNOTA: Al utilizar la expresión anterior, en rigor, se debe cuidar que el signo de ladistancia sea positivo. Sin embargo un cambio de signo ayuda a definir la posiciónrelativa del punto con relación a la recta.Problema Resuelto 41:Utilizando la ecuación de la distancia de un punto a una recta, encontrar la distancia queexiste desde el punto P(5, 5) y desde el punto Q(1, 1) a la recta 2x + 3y – 12 = 0.Solución:Para dibujar la recta, se despeja la variable “y” de la ecuación de la recta: 2y= − x+4 3Se encuentran algunos puntos pertenecientes a la recta. x y -4 6.67 -2 5.33 0 4 2 2.67 4 1.33 6 0 8 -1.33Se dibuja la recta sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.Se dibujan los 2 puntos cuya distancia a la recta se intenta calcular. 180
  • 113. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa distancia desde el punto P hasta la recta es: A.x 1 + B.y1 + Cd1 = 2 2 A +B 2.x1 + 3.y1 − 12d1 = 2 2 2 +3 2.(5) + 3.(5) − 12d1 = 2 2 + 32d 1 = 3.606 Distancia desde el punto P a la rectaLa distancia desde el punto Q hasta la recta es: 2.x 2 + 3.y 2 − 12d2 = 2 2 2 +3 2.(1) + 3.(1) − 12d2 = 22 + 32d 2 = −1.941Debido a que la distancia es siempre positiva se tiene:d 2 = 1.941 Distancia desde el punto P a la rectaNOTA: La razón por la que la distancia obtenida al aplicar directamente la ecuación dela distancia a los dos puntos del problema tiene signos opuestos está en que dichospuntos ocupan sectores diferentes del plano cartesiano al toma r como referencia a larecta. 181
  • 114. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador3.15 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS:La distancia entre dos rectas paralelas se mide en la dirección perpendicular a laorientación de tales rectas, por lo que es numéricamente igual a la distancia desdecualquier punto de una de las rectas, hacia la otra recta.Problema Resuelto 42:Encontrar la distancia entre las rectas:L1 : x + 2y - 1 = 0L2 : x + 2y + 4 = 0Solución:Se calcula la pendiente de las 2 rectas a partir de la ecuación general de la recta. 1m1 = m 2 = − 2Las pendientes de las 2 rectas son iguales por lo que L1 y L2 son paralelas.Se dibujan las 2 rectas en un diagrama de coordenadas cartesianas.Se ubica un punto A de coordenadas conocidas en la recta L1, y se dibuja la distanciadesde ese punto hasta la recta L2. 182
  • 115. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la distancia desde el punto A(1, 0) hasta la recta L2. A.x1 + B.y1 + Cd= 2 2 A +B x 1 + 2 .y 1 + 4 (1) + (0) + 4 5d= = = 2 2 (1) + (2) 5 5d = 2.236 Distancia entre las dos rectasProblema Resuelto 43:Encontrar la ecuación de la recta paralela a 5x - 3y + 7 = 0, que diste “3” unidades dedicha recta.Solución:Se dibuja la recta 5x – 3y + 7 = 0 183
  • 116. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe dibuja la recta paralela que diste “3” unidades de la recta previa, notándose que enrealidad existen 2 soluciones al problema: una recta ubicada a la izquierda y por encimade la recta original ( 2), y otra recta ubicada a la derecha y por debajo de la recta Loriginal (L3).Se ubica un punto de coordenadas genéricas (x, y) sobre cualquiera de las 2 rectassolución al problema (en este caso sobre la recta L2).La distancia entre 2 rectas paralelas se mide perpendicularmente a la orientación de lasrectas, por lo que se grafica dicha distancia desde el punto genérico hacia la recta cuyaecuación es conocida (L1). 184
  • 117. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe aplica la ecuación de la dis tancia del punto genérico a la recta, la misma que debevaler “3” unidades, recordando que las coordenadas del punto externo (x1 , y1 ) son (x, y). A.x1 + B.y1 + Cd= 2 2 A +B 5 .x 1 − 3 .y 1 + 7d= 2 2 (5) + ( −3) 5.x − 3.y + 73= ( 5) 2 + ( −3) 2 5.x − 3.y + 73= 34Realizando el desarrollo numérico:3 34 = 5.x − 3.y + 717.49 = 5.x − 3.y + 75.x − 3.y − 10.49 = 0 Ecuación de la primera paralela ubicada a 3 unidades de distanciaLa otra ecuación se obtiene a partir del signo negativo del radical del denominador. 5.x − 3.y + 73= − 34Realizando el desarrollo numérico:− 3 34 = 5.x − 3.y + 7 185
  • 118. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador− 17.49 = 5.x − 3.y + 75.x − 3.y + 24.49 = 0 Ecuación de la segunda paralela ubicada a 3 unidades de distanciaAl dibujar las 2 soluciones obtenidas se tiene:El radical con el signo positivo generó la ecuación de la recta inferior derecha, mientrasel radical negativo produjo la ecuación de la recta superior izquierda.Para verificar que las ecuaciones obtenidas son solución al problema, se debería ubicarun punto de coordenadas conocidas en cada recta, y se debería determinar la distanciade dichos puntos a la recta original.3.16 RECTAS CON CARACTERÍSTICAS ESPECIALES:Dependiendo de los valores que adquieren “A”, “B” y “C”, en la ecuación general, o dela forma de presentación de su ecuación, las rectas pueden tener característicasespeciales, que son rápidamente identificables.a. RECTAS PARALELAS AL EJE “Y”:Las rectas paralelas al Eje “y” tienen la siguiente forma general:x=kDonde “k” es una constante cualquiera.La expresión descrita anteriormente significa que no importa que valor se proporcione ala variable “y”, la variable “x” siempre será constante y única. 186
  • 119. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 44:Representar gráficamente las siguientes rectas:x=4x = −1x=0Solución:El eje de las “y” tiene por ecuación “x = 0”.b. RECTAS PARALELAS AL EJE “X”:Las rectas paralelas al Eje “x” tienen la siguiente forma general:y=kDonde “k” es una constante cualquiera.La expresión descrita anteriormente significa que no importa que valor se proporcione ala variable “x”, la variable “y” siempre será constante.Problema Resuelto 45:Representar gráficamente las siguientes rectas:y = −3y=2y=0 187
  • 120. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:El eje de las “x” tiene por ecuación “y = 0”.c. RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN:Las rectas que pasan por el origen tienen la siguiente forma general:y = k .xDonde “k” es una constante cualquiera.Problema Resuelto 46:Representar gráficamente las siguientes rectas:y=xy = −2 xSolución:Se preparan tablas con coordenadas de puntos para las 2 ecuaciones. y=x y = − 2x x y x y -4 -4 -4 8 -3 -3 -3 6 -2 -2 -2 4 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 1 1 1 -2 2 2 2 -4 3 3 3 -6 4 4 4 -8 188
  • 121. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 47:Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivasque posee.2 x − 3y = 0Solución:Se despeja “y” de la ecuación propuesta. 2y= ⋅x 3Por su forma de expresión, la recta pasa por el origen.Se prepara una tabla con coordenadas de algunos puntos de la recta: 2 y= ⋅x 3 x y -6 -4 -3 -2 0 0 3 2 6 4Se grafica la recta. 189
  • 122. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 48:Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivasque posee.3x + 5 = 0Solución:Se despeja “x” de la ecuación propuesta. 5x=− 3Por su forma de expresión, la recta es paralela al eje “y”.Se grafica la recta obtenida. 190
  • 123. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 49:Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivasque posee. 5y= 4Solución:Por su forma de expresión, la recta es paralela al eje “x”.Se grafica la recta.3.17 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS:Se dibujan 2 rectas sobre el diagrama de coordenadas cartesianas, y se definen susángulos de inclinación (α 1 y α 2 ) con relación al eje positivo de las “ en sentido x”,antihorario para fijarlos como positivos. 191
  • 124. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe identifica el ángulo θ (antihorario) desde la recta L1 hasta la recta L2.Se identifica el ángulo interior faltante en el triángulo formado por las 2 rectas y el ejede las “x”, en función de α 2 .La suma de los ángulos internos de un triángulo es “180º”.α1 + (180 − α 2 ) + θ = 180Simplificando y despejando el ángulo entre las 2 rectas se tiene:α1 − α 2 + θ = 0θ = α 2 − α1 192
  • 125. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe aplica la función Tangente a los 2 miembros de la ecuación:Tan (θ) = Tan (α 2 − α 1 )Desarrollando la tangente de la diferencia de 2 ángulos se tiene: Tan (α 2 ) − Tan (α1 )Tan (θ) = 1 + Tan (α 2 ) ⋅ Tan (α1 )Por definición la pendiente de una recta es numéricamente igual a la tangente del ánguloque forma dicha recta con el eje de las “x”. m 2 − m1Tan (θ ) = Ecuación del ángulo entre dos rectas 1 + m1 ⋅ m 2Problema Resuelto 50:Encontrar el ángulo que forman las siguientes rectas en su punto de cruce.L1 : 2 x − 3y + 4 = 0L2 : x + 4y − 2 = 0Solución:Se dibujan las 2 rectas, sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.Se calcula la pendiente de las 2 rectas, basándonos en la Ecuación General de la Recta. Am=− B 2 2m1 = − = = 0.6667 ( −3) 3 193
  • 126. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 1m2 = − = −0.25 4Se calcula la tangente del ángulo entre las 2 rectas (desde la recta L1 hasta la recta L2). m 2 − m1Tan (θ ) = 1 + m1 ⋅ m 2 (−0.25) − ( 0.6667)Tan (θ) = 1 + ( −0.25) ⋅ ( 0.6667) − 0.25 − 0.6667Tan (θ) = 1 − (0.25) ⋅ ( 0.6667)Tan (θ) = −1.10Se calcula el ánguloθ = Tan −1 ( −1.10)θ = 132.3º Ángulo entre las rectas L1 y L2El gráfico nos permite visualizar el otro ángulo entre las 2 rectas, que debe medirsedesde la recta L2 hacia la recta L1, y cuya magnitud es 47.7º. 194
  • 127. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador3.18 FAMILIA DE RECTAS:Es el conjunto de rectas que cumplen con una condición específica.Es importante recordar que para definir una recta se necesitan definir 2 condicionesindependientes. Las familias de rectas surgen cuando solamente se expresa unacondición general restrictiva.Problema Resuelto 51:Determinar la ecuación que describe a la familia de las rectas que pasan por el punto decoordenadas (3, 2).Solución:Se dibuja un diagrama de coordenadas cartesianas y se ubica el punto A(3, 2). 195
  • 128. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe representan gráficamente algunas de las rectas que pasan por el punto A.Es evidente que se podrían trazar infinitas rectas que pasen por el punto A.Por otro lado, dado que todas las rectas representadas (L1 , L2 , L3 , L4 y L5 ) pasan por elpunto A(3, 2), la característica que las diferencia es la pendiente (m1 , m2 , m3 , m4 y m5 ,respectivamente). Se pueden identificar esas pendientes en el gráfico.Se utiliza a la recta L1 como representativa de todas las rectas de la familia, para lo quese la puede identificar como la recta genérica “L”, cuya pendiente también genérica es“m”. Sobre dicha recta se dibuja un punto igualmente genérico P(x, y). 196
  • 129. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta genérica L, en base a los puntos A(3, 2) y P(x, y). y− 2m= Ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (3, 2) x− 3En la expresión previa “ y “ son las variables tradicionales, y “m” puede tomar x” y”cualquier valor comprendido entre “-∞” y “+∞” (“m” es la variable adicional que surgede haber planteado solamente una condición restrictiva para la recta, en lugar de doscondiciones).Aunque la expresión anterior ya es una ecuación para la familia de rectas analizada, conel objeto de dibujar las rectas de la familia conviene reformularla despejando “y”.y − 2 = m ( x − 3)y = m ( x − 3) + 2 Ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (3, 2)Con la nueva expresión se puede preparar una tabla que permita calcular la ecuaciónespecífica de la recta para pendientes dadas: m Ecuación base Ecuación simplificada -3 y = −3( x − 3) + 2 y = −3x + 11 -1 y = − ( x − 3) + 2 y = −x + 5 -0.5 y = −0.5( x − 3) + 2 y = − 0 .5 x + 3 .5 0 y = 0( x − 3) + 2 y=2 1 y = ( x − 3) + 2 y = x −1 2 y = 2( x − 3) + 2 y = 2x − 4 4 y = 4( x − 3) + 2 y = 4x − 10Todas las rectas obtenidas (las ecuaciones simplificadas) pasan por el punto A(3, 2),pues para un valor de “x = 3” se obtiene “y = 2”. 197
  • 130. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Resuelto 52:Determinar la ecuación que describe a la familia de rectas que son paralelas a 2x–3y+1=0Solución:Se dibuja la recta 2x + 3y + 1 = 0Se dibujan algunas de las rectas paralelas a la recta del gráfico anterior, que son parte dela familia. 198
  • 131. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDado que todas las rectas de la familia son paralelas, tienen en común una únicapendiente, que se puede calcular en función de la primera ecuación, tomando su formageneral. Am=− B 2m=− 3Si se toma como referencia la Ecuación Pendie nte – Ordenada al Origen, la familia derectas tiene pendiente conocida y ordenada al origen variable:y = m.x + b 2y = − ⋅ x + b Ecuación de la familia de rectas paralela a 2x + 3y + 1 = 0 3“b” puede tomar cualquier valor entre “-∞” y “+∞”.Con la ecuación obtenida se prepara una tabla que permita calcular la ecuaciónespecífica de la recta para ordenadas al origen dadas: b Ecuación -6 2 y = − ⋅x−6 3 -3 2 y = − ⋅x−3 3 0 2 y = − ⋅x 3 2 2 y = − ⋅x+2 3Todas las rectas tienen pendiente “-2/3” y por consiguiente son paralelas a 2x+3y+1 = 0Problema Resuelto 53:Determinar la ecuación que describe a la familia de rectas que cortan a los ejes “ y x”“y” en valores positivos, y que forman con esos ejes triángulos cuya área es de 12 u2 .Solución:Se dibuja un diagrama de coordenadas cartesianas con algunas de las rectas que al cortarlos ejes positivos “x” y “y” forman triángulos con dichos ejes cuya área es 12 u2 . 199
  • 132. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl área de cada triángulo está definida por el proceso de cálculo “base por altura sobredos”, por lo que la recta L1 que corta 3 unidades a la derecha del origen al eje “x” y 8unidades arriba del origen al eje “y” es parte de la familia de rectas; así mismo la rectaL2 que corta 4 unidades a la derecha y 6 unidades arriba del origen a los ejescoordenados también es una de las rectas de la familia; lo propio se puede decir de lasrestantes rectas dibujadas.Se utiliza a la recta L1 como representativa de todas las rectas de la familia, para lo quese la puede identificar como la recta genérica “L”, cuya pendiente genérica es “m”.Ya que los datos que permiten calcular el área del triángulo para cada recta son lospuntos de corte de dichas rectas con los ejes positivos “x” y “y”, conviene larepresentación simétrica.x y + =1a bSobre la recta genérica se identifican “a” y “b”. 200
  • 133. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa condición del área del triángulo formado se expresa:a.b = 12 2Despejando “b” de la expresión previa. 24b= aReemplaza ndo en la Ecuación Simétrica de la recta se tiene:x y + =1 Ecuación de la familia de rectas que forman triángulos de 12 u2 dea 24 área aEn la expresión previa “ y “ son las variables tradicionales, y “ es la variable x” y” a”adicional que puede tomar cualquier valor positivo (a pesar de que la letra “a”generalmente se la utiliza para representar constantes, por la función que desempeña enla expresión anterior, “a” ha sido definida como variable).A continuación se preparará una tabla para distintos valores de “ que nos permita a”,definir diversas ecuaciones de rectas que pertenezcan a la familia de rectas. a Ecuación base Ecuación simplificada 2 x y x y + =1 + =1 2 24 2 12 2 3 x y x y + =1 + =1 3 24 3 8 3 201
  • 134. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 4 x y x y + =1 + =1 4 24 4 6 4 6 x y x y + =1 + =1 6 24 6 4 6 8 x y x y + =1 + =1 8 24 8 3 8 12 x y x y + =1 + =1 12 24 12 2 12Todas las rectas forman un triángulo con los ejes positivos “x” y “y”, cuya área es 12 u2 .Problema Resuelto 54:Encontrar la ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo de 30º con la recta x– y + 2 = 0.Solución:Se dibuja la recta x – y + 2 = 0.La pendiente de la recta, a partir de la forma general, es: A 1m=− =− B −1m =1 202
  • 135. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl ángulo que forma la recta con el eje positivo de las “x” es el arco cuya tangente tieneun valor “1”.α = Tan −1 (1)α = 45ºSe dibuja el ángulo de inclinación en el gráfico anterior.Las rectas que cumplen con la condición de la familia de rectas pueden formar con larecta original ángulos de 30º horarios o antihorarios, lo que se puede representar de lasiguiente manera:Los ángulos que forman las familias de rectas analizadas, con el eje positivo de las “x”serán “45º + 30º = 75º” y “45º - 30º = 15º”. 203
  • 136. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEn definitiva, la primera solución es la familia de rectas que forman un ángulo de 75ºcon el eje positivo de las “x”, y la segunda solución es la familia de rectas que forman15º con el eje positivo de las “x”.La pendiente de la familia de rectas que forman un ángulo de 75º con el eje de las “x”es:m1 = Tan (75º ) = 3.732La ecuación de la familia de rectas puede obtenerse a partir de la Ecuación Pendiente –Ordenada al Origen.y1 = m1.x + b1y = 3.752x + b Ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo antihorario de 30º desde la recta x – y + 2 = 0La pendiente de la familia de rectas que forman un ángulo de 15º con el eje de las “x”es:m 2 = Tan (15º ) = 0.268La ecuación de la familia de rectas también puede obtenerse a partir de la EcuaciónPendiente – Ordenada al Origen.y 2 = m 2 .x + b 2 Ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo horario dey = 0.268 x + b 30º desde la recta x – y + 2 = 0Problema Resuelto 55:Encontrar la ecuación de la familia de rectas que distan 4 u. del punto A(3, 2). 204
  • 137. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:Se dibuja el punto A(3, 2) en un diagrama de coordenadas cartesianas.Se dibujan algunas de las rectas (las más fácilmente identificables) que distanexactamente 4 unidades desde el punto A (x = 7, x = -1, y = 6, y = -2)Se pueden dibujar algunas de las otras rectas que distan 4 unidades del punto A, que noson ni verticales ni horizontales. 205
  • 138. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLa ecuación general de la recta es:A .x + B.y + C = 0Con el objeto de manejar exclusivamente 2 condiciones independientes conviene dividirtoda la ecuación para “A”:x + B1.y + C1 = 0La distancia desde el punto A(3, 2) hasta la recta genérica es: (3) + B1 ( 2) + C1 3 + 2B1 + C1d= = 2 2 2 ± (1) + ( B1 ) ± 1 + B1De acuerdo al texto del problema esa distancia debe ser 4 unidades.3 + 2B1 + C1 =4 2 ± 1 + B13 + 2B1 + C1 = ±4 2 1 + B1De la expresión previa, es más fácil despejar “C1 ”.3 + 2B1 + C1 = ±4 1 + B12C1 = −3 − 2B1 ± 4 1 + B1 2Reemplazando en la ecuación general de la recta, con coeficiente unitario para “x”:x + B1.y + C1 = 0 Ecuación de la familia de rectas que distan 4x + B 1 .y − 3 − 2B1 ± 4 1 + B1 2 = 0 unidades del punto A(3, 2)Para encontrar la ecuación de algunas de las rectas (excepto y = -2 y y = 6) se despeja“y”: 206
  • 139. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorB1.y = x + 3 + 2B1 ± 4 1 + B12 x + 3 + 2B1 ± 4 1 + B12y= B1 1 3 + 2B1 ± 4 1 + B 12 Ecuación alternativa de la familia de rectas quey= ⋅x + distan 4 unidades del punto A(3, 2) B1 B1“B1 ” puede tomar cualquier valor entre “- ∞” y “+ ∞”.Se prepara la siguiente tabla tomando en consideración el doble signo de la expresiónradical que es parte del término independiente de las variables (habrá 2 ecuacioneslineales para cada valor de B1 ): B1 Ecuación Base Ecuación Simplificada -∞ y = −2 1 3 + 2( −∞) + 4 1 + ( −∞) 2 y= ⋅x + ( −∞) ( −∞) y=6 1 3 + 2( −∞) − 4 1 + (−∞) 2 y= ⋅x + (−∞) (−∞) -5 y = −0.2x − 2.679 1 3 + 2( -5) + 4 1 + (-5) 2 y= ⋅x + (-5) ( -5) y = −0.2x + 5.479 1 3 + 2(-5) − 4 1 + (-5) 2 y= ⋅x+ (-5) (-5) -2 y = −0.5x − 3.972 1 3 + 2(-2) + 4 1 + (-2) 2 y= ⋅x + (-2) (-2) y = −0.5x + 4.972 1 3 + 2(-2) − 4 1 + (-2) 2 y= ⋅x + (-2) ( -2) -1 y = − x − 6.657 1 3 + 2( -1) + 4 1 + ( -1) 2 y= ⋅x+ (-1) (-1) y = − x + 4.657 1 3 + 2( -1) − 4 1 + ( -1) 2 y= ⋅x+ (-1) (-1) -0.5 y = −2x − 12.944 1 3 + 2( -0.5) + 4 1 + (-0.5) 2 y= ⋅x + (-0.5) ( -0.5) y = −2x + 4.944 1 3 + 2( -0.5) − 4 1 + ( -0.5) 2 y= ⋅x + (-0.5) ( -0.5) 0 Indeterminado 1 3 + 2( 0) + 4 1 + (0) 2 y= ⋅x + (0 ) ( 0) 207
  • 140. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Indeterminado 1 3 + 2( 0) − 4 1 + (0) 2 y= ⋅x + (0 ) ( 0) 0.5 y = 2 x + 16.944 y = 2 x − 0.944 1 y = x + 10.657 y = x − 0.657 2 y = 0.5x + 7.972 y = 0.5x − 0.972 5 y = 0.2 x + 6.679 y = 0.2x − 1.479 ∞ y=6 y = −2Las únicas ecuaciones que no pueden deducirse directamente a partir de la ecuación dela familia de rectas propuesta son y = -2 y y = 6, que están asociadas a las 2indeterminaciones generadas en la tabla anterior.3.19 PROBLEMAS PROPUESTOS:Problema Propuesto 1:Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2, 4) y tiene una pendientem=-2.Ayuda: Identificar el punto en un diagrama de coordenadas cartesianas y graficar larecta buscada.Problema Propuesto 2:La depreciación de un mueble cuyo costo inicial es de US$ 1000 se la realiza medianteuna función lineal durante 10 años. Si el mueble no tiene depreciación instantánea, y suvalor residual es del 10% del valor inicial, determinar una ecuación que describa elvalor comercial del bien en función del tiempo transcurrido, y hasta cuando es válida talecuación.Ayuda: Realizar un gráfico descriptivo del problema y generar una tabla con lasdepreciaciones año a año.Problema Propuesto 3:Una universidad está organizando una maestría internacional con profesoresnorteamericanos. Los costos de realización de los cursos son los siguientes:Ø Honorarios de los profesores: US$ 50000Ø Depreciación y servicios de la infraestructura: US$ 4000Ø Copias para los estudiantes: US$ 600 por estudianteØ Refrigerios para los estudiantes: US$ 500 por estudianteØ Servicios administrativos: US$ 5000 208
  • 141. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSi cada estudiante debe cubrir una colegiatura de US$ 7000 por todo el programa, ¿cuáles el número mínimo de participantes requerido para cubrir los gastos (Punto deEquilibrio)?Ayuda: Identificar los costos fijos y los costos variables, y mediante la ayuda de undibujo calcular la o las rectas necesarias.Problema Propuesto 4:Una empresa tuvo ventas por US$ 62000 en el año 2000, y por US$ 75000 en el 2003.Si durante ese intervalo tuvo un crecimiento aproximadamente lineal, ¿cuáles son lasventas proyectadas para el 2004, y cuál es la ecuación que define la variación de lasventas en el tiempo?Ayuda: Preparar un gráfico en el que aparezcan los 2 datos que permitan modelar elproblema.Problema Propuesto 5:Las ventas de una empresa entre el 2000 y el 2005 se describen mediante la siguienteecuación:y = 4000x − 7940000Donde “y” son las ventas en dólares, y “x” es el año en que se producen esas ventas, apartir del 2000.Si en el 2000 se hubiera realizado una inversión en tecnología, las ventas se hubieranincrementado linealmente desde el 2000, y al 2005 se hubieran elevado en un 30% conrelación a las ventas sin esa inversión.Determinar la ecuación de la recta que relaciona las ventas con el tiempo cuando si serealiza dicha inversión.Determinar cuál hubiera sido el incremento porcentual de ventas hasta el año 2010 coninversión en tecnología, con relación a no efectuar dicha inversión, para el mismo año.Problema Propuesto 6:Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es “-4/3”, que corta a los ejes positivosde las “x” y las “y”, formando un triángulo rectángulo con dichos ejes, si se conoce quela longitud de la hipotenusa del triángulo es 15 unidades.Problema Propuesto 7:Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es “-4/5”, que corta a los ejes positivosde las “x” y las “y”, formando un triángulo rectángulo con dichos ejes, si se conoce queel perímetro del triángulo mide 30 unidades.Problema Propuesto 8:Un triángulo tiene por vértices a los puntos A(1, 1), B(7, 3) y C(6,8). Encontrar laecuación de la recta que pasa por el punto medio del lado más corto y el vértice opuesto.Calcular su pendiente. 209
  • 142. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Propuesto 9:Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a:3x − 2 y + 7 = 0Y pasa por el punto (1, 1)Ayuda: Realizar un dibujo de la recta paralela, el punto y la recta buscada.Problema Propuesto 10:Encontrar la ecuación de la recta “L” que es paralela a 3x – 2y + 5 = 0, y pasa por laintersección de las rectas x – y + 7 = 0, y x + 6y – 9 = 0.Problema Propuesto 11:Demostrar que las siguientes rectas son perpendiculares:L1 : 2x − y +1 = 0L2 : 2x + y + 4 = 0Solución: No son perpendicularesProblema Propuesto 12:Una empresa entrega una bonificación a sus empleados equivalente a US$ 10 por cadaaño de antigüedad (años de trabajo en la empresa).Encontrar la ecuación que relacione la bonificación con los años de antigüedad.Si la empresa decide crear una segunda bonificación, para todos los empleados, de US$35 por el alto costo de la vida, calcular la ecuación que describe la bonificación total(antigüedad más costo de la vida), y demostrar que es paralela a la primera ecuación.Ayuda: Preparar una tabla para cada parte del problema, que permita la elaboración deun gráfico.Problema Propuesto 13:Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes positivos “x” y “y”, formando conellos un triángulo rectángulo, si la recta tiene una pendiente “m = -1”, y la distanciadesde el origen a la recta es “4”.Ayuda: Realizar un gráfico que modele el problema.Problema Propuesto 14:Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes positivos “x” y “y”, formando conellos un triángulo rectángulo, si la recta tiene una pendiente “m = -2”, y la distanciadesde el punto A(1, 2) a la recta es “5”.Ayuda: Realizar un gráfico con los datos conocidos, que ayuda a modelar el problema. 210
  • 143. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorProblema Propuesto 15:Encontrar la ecuación de la recta paralela a 2x – y + 3 = 0, que dista 6 unidades de dicharecta (2 soluciones).Ayuda: Realizar un gráfico explicativo y utilice la ecuación de distancia de un punto auna recta.Problema Propuesto 16:Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, -2) y C(4, 5) son los vértices de un triángulorectángulo y calcular su área.Problema Propuesto 17:El cuadrilátero ABCD tiene una superficie de 12.5 u2. El punto A tiene por coordenadas(2, 4); B tiene por coordenadas (1, 1); y C tiene por coordenadas (5, 2). Encontrar lascoordenadas del vértice D, si la abscisa es igual a la ordenada.Problema Propuesto 18:El punto M(3, -1) es el punto medio del segmento AB. Si el punto B tiene porcoordenadas (-1, -3), encontrar las coordenadas del punto A.Problema Propuesto 19:Desde el punto medio del segmento limitado por los puntos (-3, 5) y (-1, -1) parten dosrectas hacia los puntos tercios del segmento limitado por los puntos (3, 2) y (6, 4).Encontrar el ángulo que forman las 2 rectas.Problema Propuesto 20:Encontrar la ecuación que describe a la familia de rectas que al cortar a los ejes “x” y“y”, la magnitud del corte al eje “x” es “2” unidades mayor a la magnitud del corte conel eje “y”.Ayuda: Utilizar la forma simétrica de la ecuación de la recta para describir unaexpresión que relacione las magnitudes de los cortes con los ejes cartesianos. 211