Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова
Структуры и алгоритмы обработки данных
Лекция: Анализ алгоритмов
Николай Гребенщиков, www.grebenshikov.ru

Анализ алгоритмов - теоретическое исследование произво-
дительности компьютерных программ и потребляемых ими
ресурсов.
1

Что важнее, чем производительность?
2

• Правильность
• Удобство и простота использования
• Простота поддержки (простая архитектура)
• Безопасность
• Расширяемость
3

Зачем исследовать алгоритмы и производительность?
4

Производительность - это капитал, который тратится на
функции программы.
5

Задача: Cортировка
Дано: последовательность чисел < a1, a2, ..., an >
Найти: перестановку < a1, a2, ..., an >, что a1 ≤ a2 ≤, ..., ≤ an
6

Insertion-Sort(A, n)
1 for j ← 2 to n
2 do key ← A[j]
3 £ Insert A[j] into the sorted sequence A[1 . . j − 1].
4 i←j−1
5 while i > 0 and A[i] > key
6 do A[i + 1] ← A[i]
7 i←i−1
8 A[i + 1] ← key
7

8

Пример работы сортировки методом вставок
9 (1) 5 7 3 2
1 9 (5) 7 3 2
1 5 9 (7) 3 2
1 5 7 9 (3) 2
1 3 5 7 9 (2)
1 2 3 5 7 9
9

Время работы
• зависит от входных данных (например, отсортированный
массив)
• зависит от размера входных данных
• необходимо знать верхнюю границу (гарантия)
10

Виды анализа
• Найхудший случай: T (n) - максимальное время для лю-
бых входных данных размера n.
• Средний случай: T (n) - ожидаемое время для любых вход-
ных данных размера n. (Необходимо допущение???)
• Наилучший случай - надувательство.
11

Время работы InsertionSort в наихудшем случае?
Зависит от компьютеров
• относительная скорость (одна и та же машина)
• абсолютная скорость (раные машины)
12

Решение: Ассимтотический анализ
• Игнорировать влияние копьютера на время работы алго-
ритма
• Исследовать рост T (n) при n → ∞
13

Ассимтотическия нотация
• Θ-нотация. Отбросить менее значимые части формулы
и коэфициенты.
4n3 + 12n2 − 10n + 1234 = Θ(n3)
14

Сравнение алгоритмов Θ(n3) и Θ(n2)
15

Анализ: сортировки вставками
Наихудший случай: входные данные отсортированны в об-
ратном порядке.
n
T (n) = Θ(n) = Θ(n2) (арифметическая прогрессия)
2
Быстра ли данная сортировка?
• Да, для малых n
• Нет, для больших n
16

Сортировка слиянием A[1..n]
1. Если n = 1, то конец.
2. Рекурсивно сортируем A[1.. n/2 ] и A[ n/2 + 1..n].
3. Слияние отсортированных массивов.
17

Пример слияния отсортированных массивов?
T (n) = Θ(n), где n - общее число элементов
18

T (n) - Сортировка слиянием A[1..n]
1. Θ(1) - Если n = 1, то конец.
2. 2T (n/2) - Рекурсивно сортируем A[1.. n/2 ] и A[ n/2 +
1..n].
3. Θ(n) - Слияние отсортированных массивов.
19

Рекурсия
Θ(1) n=1;
T (n) =
2T (n/2) + Θ(n) n>1.
Дерево рекурсии: T (n) = 2T (n/2) + cn, c − const, c > 0
20

Дерево рекурсии
Дерево рекурсии: T (n) = 2T (n/2) + cn, c − const, c > 0
21

Дерево рекурсии
22

Дерево рекурсии
23

Дерево рекурсии
T (n) = cn·log2(n)+Θ(n) = Θ(n)·log2(n)+Θ(n) = Θ(n·log2(n)+
n) = Θ(n · log2(n))
24

Сравнение алгоритмов сортировки
• Сортировка вставками - Θ(n2)
• Сортировка слиянием - Θ(n ∗ log2(n))
25

Список литературы
• Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных и
алгоритмы. - М. : Издательский дом “Вильямс”, 2000.
сс.27-36.
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгорит-
мы: построение и анализ, 2-е издание. - М. : Издатель-
ский дом “Вильямс”, 2007. сс.11-15.
26