ÉTODOS ITERATIVOS
RA LA RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES
EN UNA VARIABLE
lEstimación inicial
x0 tal que f(x0) ≅ 0
l Proceso iterativo
x1, x2,..., xk, x* :
f(x*)=0
l Criterio de parada
|f(xk)| < ...
METODO DE LA
BISECCIÓN
Teorema de Bolzano
Sea f:A continua  
y sean a,b A
con f(a)f(b) < 0.
Entonces, existe
c [a,b] con f(c) = 0.
a
b
f(b
...
Algoritmo de Bisección
c =(a+b)/2;
if f(a)*f(c)<=0 %elige [a,c]
b=c;
end
if f(c)*f(b)<=0 %elige [c,b]
a=c;
endTeorema: El ...
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
A, B , F(x),
E, I
I=1
E=1
P=0
P=(A+B)
/2
F(A)*F(B)
<=0
N
O
S
I
“La raíz
no se
encuentra
en I”
FIN
...
Método de
Regula-Falsi
¸ Elegir, entre [a,c] y [c,b],
un intervalo en el que la
función cambie de signo.
¹ Repetir los pasos 2 y 3
hasta consegui...
Bisección Regula Falsi
K Convergencia lineal
de razón 1/2.
J Cota de la raíz:
(b-a)/2 .
L La aproximación
obtenida puede s...
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
A, B , F(x),
E, I
I=1
P=A -
F(A)*F(B)
<=0
N
O
SI
“La raíz
no se
encuentra
en I”
FIN
|B-A|<E
F(A)*F...
Método del Punto Fijo
¶ Transformar la ecuación f(x) = 0 en una ecuación
equivalente de punto fijo: x = g(x).
· Tomar una estimación inicial x0 ...
Convergencia del Método del
Punto FijoAplicar el método del punto
fijo a:
ò g(x) = cos x, x0
ò g(x) = 2/x2, x0=1
ò g(x) = ...
Algoritmo de Punto Fijo
Datos
Estimación inicial: x0
Precisión deseada: tol
Tope de iteraciones: maxiter
Proceso: mientras...
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
F(x),P0, E,
T
I=1
T<=I
N
O
S
I
“La Raíz
Aproximad
a Es” R
FIN
|R-P0|
<=E
S
I
N
O
1
“INGRESE LA
FUN...
Método de Newton Rapson
l Ecuación de la tangente
l Intersección con OX
l Paso genérico
))((')( 000 xxxfxfy −=−
)x('f)x(fxx 0001 −=
)(')(1 nnnn xf...
Convergencia del método de
Newtonl Newton como iteración de
punto fijo
l Derivada de la función de
iteración
l Convergenci...
Algoritmo de Newton
Datos
l Estimación inicial: x
l Precisión deseada: tol
l Tope de iteraciones: maxiter
Proceso: mientra...
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
F(x),P0, E,
T
I=1
E=1
T<=I
N
O
S
I
“La Raíz
Aproximad
a Es” P
FIN
|P-P0|
<=E
S
I
N
O
1
P0=P
I=I+1
...
METODO DE LA
SECANTE
)()( 00 xxmxfy −=−
mxfxx )( 002 −=
01
01
xx
)f(x)f(x
m
−
−
=
l Ecuación de la secante
l Intersección con OX
l Pendiente
x0...
Algoritmo de la secante
l Datos: x0, x1, y0
l Calcular: y1 = f(x1)
l Calcular: incr = -y1(x1-x0)/(y1-y0)
l Nueva estimació...
Newton versus Secante
l El método de Newton, cuando converge, lo hace
cuadráticamente, a costa de evaluar la derivada en c...
A diferencia del de bisección y regla falsa, casi
nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al
principio, y después el ...
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
F(x),A,B,
E, T
I = 1
E = 1
T<=I
N
O
S
I
“La Raíz
Aproximad
a Es” C
FIN
|A-B|
<=E
S
I
N
O
1
A = B
B...
Método de
Steffensen
ACELERADOR DE
CONVERGENCIA AITKEN
P=P0
Pn+1=G(P)
Pn+2=G(Pn+1)
Pn = Pn -
(Pn+1-pn)^2
(Pn+2-2Pn+1+P)
El método de Aitken pue...
AITKEN PUNTO FIJO
DIAGRAMADE
FLUJO
INICIO
F(x),P0, E,
T
I = 1
T<=I
N
O
S
I
“La Raíz
Aproximad
a Es” P
FIN
|R-P|
<=E
S
I
N
O
1
“INGRESE LA
FU...
MÉTODO DE MULLER
Consideraciones
Este es un método para encontrar las
raíces de ecuaciones polinomiales de
la forma general:
Donde n es el ...
El método de Müller, trabaja de manera
similar al método de la secante, pero en lugar
de hacer la proyección de una recta
...
MÉTODO DE
MULLER
MÉTODO DE LA
SECANTE
se busca esta parábola para intersectar los tres
puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. Los
coeficientes de la ecu...
Definiendo de esta forma:
Sustituyendo en el sistema:
Teniendo como resultado los coeficientes:
010 xxh −= 121 xxh −=
01
2...
Hallando la raíz, se implementar la solución
convencional, pero debido al error de
redondeo potencial, se usará una formul...
INICIO
F(X);
XO,X1,X2,ER
ROR
Error<T
OL
HO=X1-X0
H1=X2-X1
S0=(FX2-FX0)/HO
S1=(FX2-FX1)/H1
A=(S1-S0)/(H1-
HO)
B=A*H1+S1
C=F...
MÉTODO DE LIN
BAIRSTOW
Consideraciones
En análisis numérico, el método de Bairstow
es un algoritmo eficiente de búsqueda de las
raíces de un poli...
Utilizando el método de NR calculamos f2(x) =
x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de
fn(x)/ f2(x) sea igual a cer...
Al dividir entre f2(x) =
x2 – rx – s, tenemos
como resultado el
siguiente polinomio
fn-2(x) = bnxn-2 + bn-
1xn-3 + … + b3x...
 
donde los valores de r y s están
dados y calculamos los
incrementos dr y ds que hacen
a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr,
s+dr) ...
donde
Sustituyendo término
GRACIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA
E. A. P. DE INGENIERIA CIVIL
ME...
68806235 metodos-numericos
68806235 metodos-numericos
68806235 metodos-numericos
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

68806235 metodos-numericos

325 views
247 views

Published on

metodos numericos de ingenieria

Published in: Technology
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
325
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
11
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

68806235 metodos-numericos

  1. 1. ÉTODOS ITERATIVOS RA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN UNA VARIABLE
  2. 2. lEstimación inicial x0 tal que f(x0) ≅ 0 l Proceso iterativo x1, x2,..., xk, x* : f(x*)=0 l Criterio de parada |f(xk)| < tol ó dk = |xk+1 - xk| < tol Tipos de convergencia l Error del paso k ek = |xk - x*| |xk - xk-1| l Convergencia lineal ek+1 / ek cte l Convergencia cuadrática ek+1 / ek2 cte
  3. 3. METODO DE LA BISECCIÓN
  4. 4. Teorema de Bolzano Sea f:A continua   y sean a,b A con f(a)f(b) < 0. Entonces, existe c [a,b] con f(c) = 0. a b f(b ) f(a )
  5. 5. Algoritmo de Bisección c =(a+b)/2; if f(a)*f(c)<=0 %elige [a,c] b=c; end if f(c)*f(b)<=0 %elige [c,b] a=c; endTeorema: El método de la bisección genera una sucesión {xn} que converge a una raíz de f con xn- (b-a)/2n. 
  6. 6. DIAGRAMADE FLUJO INICIO A, B , F(x), E, I I=1 E=1 P=0 P=(A+B) /2 F(A)*F(B) <=0 N O S I “La raíz no se encuentra en I” FIN |B-A|<E F(A)*F(P) <=0 S I N O S I N O A= P B=P I=I+ 1 1 1 2 2 “La raíz es :” P FIN
  7. 7. Método de Regula-Falsi
  8. 8. ¸ Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que la función cambie de signo. ¹ Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión deseada. )()( afbf ab f(a)ac − − −= ¶ Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signo distinto de f(b). · Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partes proporcionales a f(a) y f(b). Sea a bc
  9. 9. Bisección Regula Falsi K Convergencia lineal de razón 1/2. J Cota de la raíz: (b-a)/2 . L La aproximación obtenida puede ser peor que la del paso anterior. J Más rápido al principio. K Convergencia lineal. L Error estimado por: |xn-xn-1| L Se aproxima a la raíz por un lado. n
  10. 10. DIAGRAMADE FLUJO INICIO A, B , F(x), E, I I=1 P=A - F(A)*F(B) <=0 N O SI “La raíz no se encuentra en I” FIN |B-A|<E F(A)*F(P) <=0 S I N O S I N O A= P B=P I=I+ 1 1 2 2 “La raíz es :” P FIN F(A)*(B-A) F(B)-F(A) T<=I N O S I 2 1
  11. 11. Método del Punto Fijo
  12. 12. ¶ Transformar la ecuación f(x) = 0 en una ecuación equivalente de punto fijo: x = g(x). · Tomar una estimación inicial x0 del punto fijo x* de g [x* punto fijo de g si g(x*) = x*]. ¸ Para k=1, 2, 3, … hasta que converja, iterar xn+1 = g(xn). Teorema del punto fijo: Sea g:[a,b] [a,b] continua, entonces: a) g posee almenos un punto fijo. b) Si además g’(x) k<1, x [a,b], entonces el punto fijo es   único y si tomamos x0 [a,b], la sucesión xn+1 = g(xn)
  13. 13. Convergencia del Método del Punto FijoAplicar el método del punto fijo a: ò g(x) = cos x, x0 ò g(x) = 2/x2, x0=1 ò g(x) = sqrt(2/x) , x0=1 y analizar los resultados. Sugerencia: Usar la orden ITERATES(g(x), x, x0, n) de DERIVE y comparar los dos últimos con 2^(1/3). Tomando x0 cercano al punto fijo x* si |g’(x*)| < 1 los iterados convergen linealmente a x*. si |g’(x*)| > 1 los iterados no convergen a x*. si g’(x*) = 0 los iterados convergen cuadráticamente a x*.
  14. 14. Algoritmo de Punto Fijo Datos Estimación inicial: x0 Precisión deseada: tol Tope de iteraciones: maxiter Proceso: mientras no converja repetir Nueva estimación: x = g(x0) Incremento: incr = |x - x0| Actualización: x0 = x Resultado Estimación final: x
  15. 15. DIAGRAMADE FLUJO INICIO F(x),P0, E, T I=1 T<=I N O S I “La Raíz Aproximad a Es” R FIN |R-P0| <=E S I N O 1 “INGRESE LA FUNCION DESPEJADA X=G(X)=” P=P0 R=F(P) P0=R I=I+1 2 2 1
  16. 16. Método de Newton Rapson
  17. 17. l Ecuación de la tangente l Intersección con OX l Paso genérico ))((')( 000 xxxfxfy −=− )x('f)x(fxx 0001 −= )(')(1 nnnn xfxfxx −=+ (x0, f (x0)) x1 f(x)
  18. 18. Convergencia del método de Newtonl Newton como iteración de punto fijo l Derivada de la función de iteración l Convergencia cuadrática J Ventaja: converge cuadráticamente si - la estimación inicial es buena - no se anula la derivada L Inconveniente: usa la derivada - coste de la evaluación - disponibilidad )x('f)x(fx)xg( −= 2 )(' )(")( )('g xf xfxf x = 0)('si0)( ≠= * xf * x'g
  19. 19. Algoritmo de Newton Datos l Estimación inicial: x l Precisión deseada: tol l Tope de iteraciones: maxiter Proceso: mientras no converja repetir l Incremento: incr = - f(x)/f’(x) l Nueva estimación: x = x + incr Resultado l Estimación final: x
  20. 20. DIAGRAMADE FLUJO INICIO F(x),P0, E, T I=1 E=1 T<=I N O S I “La Raíz Aproximad a Es” P FIN |P-P0| <=E S I N O 1 P0=P I=I+1 2 2 P=P0 - F(P0) F’(P0) 1
  21. 21. METODO DE LA SECANTE
  22. 22. )()( 00 xxmxfy −=− mxfxx )( 002 −= 01 01 xx )f(x)f(x m − − = l Ecuación de la secante l Intersección con OX l Pendiente x0 x 1 f(x) x 2 (x1,f(x1) ) (x0,f(x0 ))
  23. 23. Algoritmo de la secante l Datos: x0, x1, y0 l Calcular: y1 = f(x1) l Calcular: incr = -y1(x1-x0)/(y1-y0) l Nueva estimación: x2 = x1 + incr l Actualizar para el paso siguiente: x0=x1; y0=y1; x1=x2
  24. 24. Newton versus Secante l El método de Newton, cuando converge, lo hace cuadráticamente, a costa de evaluar la derivada en cada paso. l Sin usar la derivada, el método de la secante proporciona convergencia superlineal. l Las ecuaciones polinómicas pueden resolverse por el método de Newton, puesto que la derivada se obtiene fácilmente.
  25. 25. A diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.
  26. 26. DIAGRAMADE FLUJO INICIO F(x),A,B, E, T I = 1 E = 1 T<=I N O S I “La Raíz Aproximad a Es” C FIN |A-B| <=E S I N O 1 A = B B = C I=I+1 2 2 1 C = B - (B - A) * F(B)F(B) – F(A)
  27. 27. Método de Steffensen
  28. 28. ACELERADOR DE CONVERGENCIA AITKEN P=P0 Pn+1=G(P) Pn+2=G(Pn+1) Pn = Pn - (Pn+1-pn)^2 (Pn+2-2Pn+1+P) El método de Aitken puede ser usado para acelerar la convergencia de cualquier sucesión que converja linealmente, independientemente de su origen.
  29. 29. AITKEN PUNTO FIJO
  30. 30. DIAGRAMADE FLUJO INICIO F(x),P0, E, T I = 1 T<=I N O S I “La Raíz Aproximad a Es” P FIN |R-P| <=E S I N O 1 “INGRESE LA FUNCION DESPEJADA X=G(X)=” P=RRR I=I+1 2 2 1 P=P0 R=G(P) RR=G(R) RRR= RR -(RR-R)^2 (RR-R)-(R-P)
  31. 31. MÉTODO DE MULLER
  32. 32. Consideraciones Este es un método para encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales de la forma general: Donde n es el orden del polinomio y las son coeficientes constantes. Continuando con los polinomios, estos cumplen con las siguientes reglas: n nn xaxaxaaxf ++++= .......)( 2 210
  33. 33. El método de Müller, trabaja de manera similar al método de la secante, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola. Para esto necesitaremos de tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La aproximación la podemos escribir como: El método consiste en obtener los coeficientes de los tres puntos, sustituirlos en la fórmula cuadrática y obtener el punto donde la parábola intercepta el eje x. La aproximación
  34. 34. MÉTODO DE MULLER MÉTODO DE LA SECANTE
  35. 35. se busca esta parábola para intersectar los tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación anterior se evalúan al sustituir uno de esos tres puntos para dar: La última ecuación genera que, , de esta forma, se puede tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: cxxbxxaxf +−+−= )()()( 20 2 200 cxxbxxaxf +−+−= )()()( 21 2 211 cxxbxxaxf +−+−= )()()( 22 2 222 )()()()( 20 2 2020 xxbxxaxfxf −+−=− )()()()( 21 2 2121 xxbxxaxfxf −+−=−
  36. 36. Definiendo de esta forma: Sustituyendo en el sistema: Teniendo como resultado los coeficientes: 010 xxh −= 121 xxh −= 01 21 0 )()( xx xfxf − − =δ 12 12 1 )()( xx xfxf − − =δ 1100 2 1010 )()( δδ hhahhbhh +=+−− 11 2 11 δhahbh =− 01 01 hh a + − = δδ 11 δ+= ahb )( 2xfc =
  37. 37. Hallando la raíz, se implementar la solución convencional, pero debido al error de redondeo potencial, se usará una formulación alternativa: La gran ventaja de este método es que se pueden localizar tanto las raíces reales como las imaginarias. Hallando el error este será: acbb c xx 4 2 223 −± − += %100 3 23 ⋅ − = x xx Ea 23 xxEa −=
  38. 38. INICIO F(X); XO,X1,X2,ER ROR Error<T OL HO=X1-X0 H1=X2-X1 S0=(FX2-FX0)/HO S1=(FX2-FX1)/H1 A=(S1-S0)/(H1- HO) B=A*H1+S1 C=F(X2) RAÍZ=(B^2- 4AC)^0.5 AUS=|B + RAÍZ| AUS2=|B - RAÍZ| AUS>AU S2 SI X3=X2+((- 2*C)/AUS) X3=X2+((- 2*C)/AUS2) ERROR=|X3-X2| X0=X1 X1=X2 X2=X3 “La Raíz Aproximada Es” X3 N O 1 1 2 2 N O SI 3 3 FIN DIAGRAMADE FLUJO
  39. 39. MÉTODO DE LIN BAIRSTOW
  40. 40. Consideraciones En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático: El procedimiento general para el método de Bairstow es:
  41. 41. Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero. Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general. Se calcula fn-2(x)= fn(x)/ f2(x). Hacemos fn(x)= fn-2(x) Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2 Si no terminamos La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e
  42. 42. Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio fn-2(x) = bnxn-2 + bn- 1xn-3 + … + b3x + b2  con un residuo R =
  43. 43.   donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos
  44. 44. donde Sustituyendo término
  45. 45. GRACIAS UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA E. A. P. DE INGENIERIA CIVIL METODOS NUMERICOS AUTOR: Est. Ing. Civil SOTELO DE LA TORRE,Christian Orlando HUÁNUCO - PERU

×