Ecuaciones Diferenciales Por Coeficientes Indeterminados

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR COEFICIENTES INDETERMINADOS

Este método es utilizado para resolver las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden de la forma :
a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = Q(x)
donde Q(x) es un polinomio, un exponencial, o una función trigonométrica, buscando una solución particular yp.
Para comprender mejor este tema veamos primeramente los principales operadores anuladores. Es decir aquellos operadores que cumplen con el criterio de L(f(x)=0 siendo L un operador diferencial lineal con coeficientes constantes.

Dn anula 1, x, x2, …, xn-1
(D-α)nanula eαx, x eαx, x2eαx, …, xn-1eαx
[D2-2αD+ (α2+β2)]nanula
eαxcosβx, x eαxcosβx, x2eαxcosβx, …, xn-1eαxcosβx
eαxsenβx, x eαxsenβx, x2eαxsenβx, …, xn-1eαxsenβx

Para la resolución de éste tipo de ecuaciones:
1. Resolver la ecuación homogénea
Es decir por medio de la ecuación auxiliar obtenemos sus raíces y por consiguiente obtenemos la función complementaria.
2. Aplicar el operador anulador
Se aplica el operador a ambos lados de la ecuación, eliminando la función y obteniendo una nueva ecuación auxiliar.
3. Resolver la nueva ecuación auxiliar
La solución general que vamos a obtener estará compuesta por la función complementaria anteriormente obtenida mas los nuevos términos, que se convierten en la forma básica de nuestra solución particular.

4. Derivar la solución particular
De acuerdo al orden de nuestra ecuación homogénea, será el número de derivadas que obtendremos.
5. Sustituir
Sustituimoscon las derivadas obtenidas en la ecuación principal, y encontramos los coeficientes similares de x.
6. Obtenemos la solución general
La solución general será pues, la suma de la solución particular más la complementaria.

EJEMPLO
y'' + 4y' + 4y = 2x + 6
m² + 4m + 4 = 0 =(m + 2) (m + 2) m₁ = m₂ = - 2
Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x
Puesto que 2x+6 se elimina con m²
m²(m + 2) (m + 2)=0
m₁ = m₂ = -2 m3=m4=0 Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x +C3+ C4x

Yp = Ax + BYp´ = AYp´´ = 0
0+ 4A + 4Ax+4B = 2x + 6
4Ax = 2x 4A + 4B = 6
4A = 2 4[½] + 4B = 6A = ½ 4B = 6 – 2 4B = 4 B = 1
y= C₁e-2x + C₂x e-2x + ½ x + 1

BIBLIOGRAFÍA
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado
Autores Dennis G. Zill, Francisco Sánchez Fragoso
Traducido por Francisco Sánchez Fragoso
Edición 8
Editor Cengage Learning Editores, 2006
N.º de páginas 464 páginas
canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf
http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/edo_3.pdf

http://www.slideshare.net	289
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