Ecuaciones Diferenciales por el método de Coeficientes Indeterminados

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES
POR COEFICIENTES
INDETERMINADOS

2. Este método es utilizado para resolver las ecuaciones diferenciales
lineales no homogéneas de segundo orden de la forma :
a0y(n) + a1y
(n-1) + … + any = Q(x)
donde Q(x) es un polinomio, un exponencial, o una función
trigonométrica, buscando una solución particular yp.
Para comprender mejor este tema veamos primeramente los
principales operadores anuladores. Es decir aquellos operadores
que cumplen con el criterio de L(f(x)=0 siendo L un operador
diferencial lineal con coeficientes constantes.

3. Dn anula 1, x, x2, …, xn-1
(D-α)n anula eαx, x eαx, x2 eαx, …, xn-1 eαx
[D2-2αD+ (α2+β2)]n anula
eαx cosβx, x eαx cosβx, x2 eαx cosβx, …, xn-1 eαx cosβx
eαx senβx, x eαx senβx, x2 eαx senβx, …, xn-1 eαx senβx

4. Para la resolución de éste tipo de ecuaciones:
1. Resolver la ecuación homogénea
Es decir por medio de la ecuación auxiliar obtenemos sus raíces y por
consiguiente obtenemos la función complementaria.
2. Aplicar el operador anulador
Se aplica el operador a ambos lados de la ecuación, eliminando la
función y obteniendo una nueva ecuación auxiliar.
3. Resolver la nueva ecuación auxiliar
La solución general que vamos a obtener estará compuesta por la
función complementaria anteriormente obtenida mas los nuevos
términos, que se convierten en la forma básica de nuestra solución
particular.

5. 4. Derivar la solución particular
De acuerdo al orden de nuestra ecuación homogénea, será el
número de derivadas que obtendremos.
5. Sustituir
Sustituimos con las derivadas obtenidas en la ecuación
principal, y encontramos los coeficientes similares de x.
6. Obtenemos la solución general
La solución general será pues, la suma de la solución particular
más la complementaria.

6. EJEMPLO
y'' + 4y' + 4y = 2x + 6
1. m² + 4m + 4 = 0 =(m + 2) (m + 2) m₁ = m₂ = - 2
Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x
2. Puesto que 2x+6 se elimina con m²
m²(m + 2) (m + 2)=0
3. m₁ = m₂ = -2 m3 =m4=0 Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x +C3+ C4x

7. 4. Yp = Ax + B
Yp´ = A
Yp´´ = 0
5. 0+ 4A + 4Ax+4B = 2x + 6
4Ax = 2x 4A + 4B = 6
4A = 2 4[½] + 4B = 6
A = ½ 4B = 6 – 2
4B = 4
B = 1
6. y= C₁e-2x + C₂x e-2x + ½ x + 1

8. BIBLIOGRAFÍA
• Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado
• Autores Dennis G. Zill, Francisco Sánchez Fragoso
• Traducido por Francisco Sánchez Fragoso
• Edición 8
• Editor Cengage Learning Editores, 2006
• N.º de páginas 464 páginas
• canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf
• http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/edo_3.pdf