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Ecuaciones Diferenciales Por Coeficientes Indeterminados

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Ecuaciones Diferenciales por el método de Coeficientes Indeterminados

Ecuaciones Diferenciales por el método de Coeficientes Indeterminados

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    Ecuaciones Diferenciales Por Coeficientes Indeterminados Ecuaciones Diferenciales Por Coeficientes Indeterminados Presentation Transcript

    • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
    • Este método es utilizado para resolver las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden de la forma :
      a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = Q(x)
      donde Q(x) es un polinomio, un exponencial, o una función trigonométrica, buscando una solución particular yp.
      Para comprender mejor este tema veamos primeramente los principales operadores anuladores. Es decir aquellos operadores que cumplen con el criterio de L(f(x)=0 siendo L un operador diferencial lineal con coeficientes constantes.
    • Dn anula 1, x, x2, …, xn-1
      (D-α)nanula eαx, x eαx, x2eαx, …, xn-1eαx
      [D2-2αD+ (α2+β2)]nanula
      eαxcosβx, x eαxcosβx, x2eαxcosβx, …, xn-1eαxcosβx
      eαxsenβx, x eαxsenβx, x2eαxsenβx, …, xn-1eαxsenβx
    • Para la resolución de éste tipo de ecuaciones:
      1. Resolver la ecuación homogénea
      Es decir por medio de la ecuación auxiliar obtenemos sus raíces y por consiguiente obtenemos la función complementaria.
      2. Aplicar el operador anulador
      Se aplica el operador a ambos lados de la ecuación, eliminando la función y obteniendo una nueva ecuación auxiliar.
      3. Resolver la nueva ecuación auxiliar
      La solución general que vamos a obtener estará compuesta por la función complementaria anteriormente obtenida mas los nuevos términos, que se convierten en la forma básica de nuestra solución particular.
    • 4. Derivar la solución particular
      De acuerdo al orden de nuestra ecuación homogénea, será el número de derivadas que obtendremos.
      5. Sustituir
      Sustituimoscon las derivadas obtenidas en la ecuación principal, y encontramos los coeficientes similares de x.
      6. Obtenemos la solución general
      La solución general será pues, la suma de la solución particular más la complementaria.
    • EJEMPLO
      y'' + 4y' + 4y = 2x + 6
      m² + 4m + 4 = 0 =(m + 2) (m + 2) m₁ = m₂ = - 2
      Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x
      Puesto que 2x+6 se elimina con m²
      m²(m + 2) (m + 2)=0
      m₁ = m₂ = -2 m3=m4=0 Yc = C₁e-2x + C₂x e-2x +C3+ C4x
    • Yp = Ax + BYp´ = AYp´´ = 0
      0+ 4A + 4Ax+4B = 2x + 6
      4Ax = 2x 4A + 4B = 6
      4A = 2 4[½] + 4B = 6A = ½ 4B = 6 – 2 4B = 4 B = 1
      y= C₁e-2x + C₂x e-2x + ½ x + 1
    • BIBLIOGRAFÍA
      Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado
      Autores Dennis G. Zill, Francisco Sánchez Fragoso
      Traducido por Francisco Sánchez Fragoso
      Edición 8
      Editor Cengage Learning Editores, 2006
      N.º de páginas 464 páginas
      canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf
      http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/edo_3.pdf