Ecuaciones Diferenciales Lineales Por Variacion De Parametros

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR VARIACION DE PARAMETROS

Éste método consiste en proponer la solución particular como:
yp= uy1 + vy2 con u’y1 +v’y2 =0
ya que la solución general de una ecuación diferencial de la forma:
y’’+ f(x)y’ + g(x)y=0 es y= c1y1(x) + c2y2(x)
Entonces derivamos:
yp’=uy1’+vy2’
yp’’=uy1’’+u’ y1’+vy2’’+v’ y2’
Sustituimos en la ecuación no homogénea:
uy1’’+u’ y1’+vy2’’+v’ y2’+f(x)( uy1’+vy2’)+g(x)( uy1+vy2)= Q(x)

Sacamos a u y v como factor común:
u(y1’’+f(x)y1’+g(x)y1) + v(y2’’+f(x)y2’+g(x)y2) + u’y1’+v’y2’=Q(x)
Como y1 + y2 son soluciones, se vuelven cero:
u’y1 +v’y2 =0 u’y1’+v’y2’=Q(x)
Y obtenemos sus wronskianos, para después integrar.

Pero todo esto podemos resumirlo en los siguientes pasos:
Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y’’ sea uno.
Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la ecuación auxiliar y su función complementaria.
Se calcula el wronskiano.
Calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y v’.
Integramos para obtener u, v y la solución particular.
Para obtener la solución general, sumamos la solución particular mas la complementaria.

EJEMPLO
y" ‑ 4y' + 4y = (x + 1)e2X .
1.
2. m2 ‑ 4m + 4 = (m ‑ 2)2 = 0
yc = c1e2x + c2xe2x Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x
3.
4.

5. Integramos para obtener u
6. Sumamos la solución particular mas la complementaria y obtenemos la solución general

BIBLIOGRAFÍA
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado
Autores Dennis G. Zill, Francisco Sánchez Fragoso
Traducido por Francisco Sánchez Fragoso
Edición 8
Editor Cengage Learning Editores, 2006
N.º de páginas 464 páginas
canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf
http://www.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/edo_3.pdf