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  1. 1. EJERCICIOS PROPUESTOS UNIVERSIDAD FERMIN TORO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ESTRUCTURA DISCRETAS II GUILLERMO PINTO C. I. 18.655.120
  2. 2. EJERCICIO 1
  3. 3. a) Matriz de adyacencia                                                     0 1 1 1 0 0 1 1   V8     1 0 0 1 1 1 0 1   V7     1 0 0 1 0 1 1 0   V6     1 1 1 0 1 1 1 0   V5     0 1 0 1 0 1 0 1   V4     0 1 1 1 1 0 1 1   V3     1 0 1 1 0 1 0 1   V2     1 1 0 0 1 1 1 0   V1                             V8 V7 V6 V5 V4 V3 V2 V1    
  4. 4. b) Matriz de incidencia                       1 0 1 0 0 0 0 0 a20   1 0 0 1 0 0 0 0 a19   1 1 0 0 0 0 0 0 a18   0 1 0 1 0 0 0 0 a17   0 0 1 1 0 0 0 0 a16   0 1 0 0 1 0 0 0 a15   0 0 0 1 1 0 0 0 a14   0 0 0 1 0 1 0 0 a13   0 1 0 0 0 1 0 0 a12   0 0 0 0 1 1 0 0 a11   0 0 1 0 0 0 1 0 a10   1 0 0 0 0 0 1 0 a9   0 0 0 1 0 0 1 0 a8   0 0 1 0 0 1 0 0 a7   1 0 0 0 0 0 0 1 a6   0 1 0 0 0 0 0 1 a5   0 0 0 0 1 0 0 0 a4   0 0 0 0 0 1 1 0 a3   0 0 0 0 0 1 0 1 a2   0 0 0 0 0 0 1 1 a1   V8 V7 V6 V5 V4 V3 V2 V1  
  5. 5. <ul><li>c) Es conexo?. Justifique su respuesta </li></ul><ul><li> Si, es conexo porque todos sus vértices están conectados entre si, existe una cadena para cada par de vértices </li></ul><ul><li>d) Es simple?. Justifique su respuesta </li></ul><ul><li>Si, es simple porque no contiene lazos y entre cada par de vértices distintos no hay más de una arista </li></ul>
  6. 6. <ul><li>e) Es regular?. Justifique su respuesta </li></ul><ul><li>No, no es regular porque no todos los vértices tienen igual grado, algunos tienen grado 4, otros 5 y otros 6 </li></ul><ul><li>f) Es completo?. Justifique su respuesta </li></ul><ul><li>Si, es completo porque es simple y entre cada par de vértices distintos existe exactamente una arista </li></ul>
  7. 7. <ul><li>g) Una cadena simple no elemental de grado 6 </li></ul><ul><li>C=[V1,a1,V2,a3,V3,a2,V1,a5,V7,a18,V8,a20,V6] </li></ul><ul><li>h) Un ciclo no simple de grado 5 </li></ul><ul><li>Por definición no existen los ciclos no simples, ya que para ser un ciclo es necesario que no se repita ningún vértice a excepción del primero, que seria el mismo del final. Y para que no sea simple debe pasar por una misma arista más de una vez y para que ocurra debe repetir mas de un vértice </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Árbol generador aplicando el algoritmo constructor </li></ul><ul><li>Selecciono V3, y H1={V3} </li></ul><ul><li>Ahora selecciono arista 2 y H2={V3,V1} </li></ul><ul><li>3) Selecciono arista 4 y H3={V3,V1,V4} </li></ul><ul><li>4) Luego tomo arista 3 y H4={V3,V1,V4,V2} </li></ul><ul><li>5) Ahora arista 13 y H5={V3,V1,V4,V2,V5} </li></ul><ul><li>6) Arista 17 y H6={V3,V1,V4,V2,V5,V7} </li></ul><ul><li>7) Arista 19 y H7={V3,V1,V4,V2,V5,V7,V8} </li></ul><ul><li>8) Por ultimo arista 20 y H8={V3,V1,V4,V2,V5,V7,V8,V6} </li></ul>
  9. 9. <ul><li>j) Subgrafo parcial </li></ul><ul><li>El árbol generador del ejercicio anterior es un subgrafo parcial </li></ul><ul><li>k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury </li></ul><ul><li>Podríamos aplicar Fleury pero no llegaríamos a nada, por teorema sabemos que no es euleriano porque todos sus vértices no tienen el grado par </li></ul>
  10. 10. <ul><li>l) Demostrar si es hamiltoniano </li></ul><ul><li>Por teorema verificamos que cumple las condiciones para ser hamiltoniano </li></ul><ul><li>1) Es simple . La cumple </li></ul><ul><li>2) Tiene 3 o más vértices?. Si, la cumple tiene 8 </li></ul><ul><li>3) Todo vértice V de G tiene gr(V) >=n/2 donde n es el numero de vértices. Como todos los vértices tienen grado de 4, 5 o 6 cumple la tercera condición </li></ul><ul><li>Por lo tanto es hamiltoniano. </li></ul>
  11. 11. EJERCICIO 2
  12. 12. a) Encontrar matriz de conexión                                             0 1 0 0 0 0   V6     1 0 1 0 1 0   V5     1 0 0 0 0 1   V4     0 1 1 0 0 0   V3     1 0 1 1 0 0   V2     0 1 0 1 1 0   V1                         V6 V5 V4 V3 V2 V1    
  13. 13. <ul><li>b) Es simple?. Justifique su respuesta </li></ul><ul><li>Si es simple porque no hay arcos paralelos ni lazos </li></ul><ul><li>c) Encontrar cadena no simple no elemental de grado 5 </li></ul><ul><li>C=[V1,a6,V5,a10,V2,a4,V6,a14,V5,a10,V2] </li></ul><ul><li>d) Encontrar ciclo simple </li></ul><ul><li>C=[V1,a1,V2,a4,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1] </li></ul>

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