Este documento fornece um resumo da evolução da Física como ciência experimental ao longo da história, desde as primeiras civilizações até os dias atuais, destacando figuras importantes como Galileu, Newton e Einstein e como suas descobertas revolucionaram o campo. Ele também discute os conceitos fundamentais da Física como leis, fenômenos e o método científico de observação e experimentação.

1. 1

2. SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 ___________________________________________ 4
• Evolução da Física -------------------------------------------------------------- 04
• A importância a Física -------------------------------------------------------------- 07
• Lei da Física -------------------------------------------------------------- 10
• Método da Física -------------------------------------------------------------- 11
• Sistemas Internacional de Unidades -------------------------------------------------------------- 12
• Potencia de Dez -------------------------------------------------------------- 15
• Ramos da Física -------------------------------------------------------------- 17
• Divisões da Mecânica -------------------------------------------------------------- 17
CAPÍTULO 2 ___________________________________________ 19
• Definições e Conceitos (Ponto Material) -------------------------------------------------------------- 19
• Repouso Movimento e Referencial -------------------------------------------------------------- 19
• Trajetória -------------------------------------------------------------- 20
• Posição Escalar -------------------------------------------------------------- 21
• Função Horária -------------------------------------------------------------- 21
• Deslocamento e Espaço Percorrido -------------------------------------------------------------- 23
• Velocidade Escalar Média -------------------------------------------------------------- 27
CAPÍTULO 3 ___________________________________________ 33
• Movimento Uniforme (Definição) -------------------------------------------------------------- 33
• Funções Horárias -------------------------------------------------------------- 34
CAPÍTULO 4 ___________________________________________ 47
• Movimento Uniforme Variado (Definição) -------------------------------------------------------------- 47
• Funções Horárias -------------------------------------------------------------- 48
• Lei de Torricelli -------------------------------------------------------------- 54
CAPÍTULO 5 ___________________________________________ 59
• Queda dos Corpos (Introdução) -------------------------------------------------------------- 59
• Lançamento Vertical para Cima -------------------------------------------------------------- 61
• Lançamento Vertical para Baixo -------------------------------------------------------------- 65
CAPÍTULO 6 ___________________________________________ 70
• Força e Movimento (Princípios Funda- -------------------------------------------------------------- 70
mentais)
• 1ª Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 70
• 2ª Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 72
• Peso de Um Corpo -------------------------------------------------------------- 77
• 3ª Lei de Newton ou Princípio da Ação e -------------------------------------------------------------- 79
Reação
2

3. CAPÍTULO 7 ___________________________________________ 93
• Energia (Introdução) -------------------------------------------------------------- 93
• Trabalho de Uma Força -------------------------------------------------------------- 94
• Trabalho da Força Peso -------------------------------------------------------------- 101
CAPÍTULO 8 ___________________________________________ 106
• Energia Cinética -------------------------------------------------------------- 106
• Teorema da Energia Cinética -------------------------------------------------------------- 108
• Energia Potencial Gravitacional -------------------------------------------------------------- 114
• Força Conservativa -------------------------------------------------------------- 117
• Energia Potencial Elástica -------------------------------------------------------------- 118
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4. A FÍSICA COMO CIÊNCIA EXPERIMENTAL
O homem tem grande capacidade de acumular conhecimentos. Isso permite a cada gera-
ção partir do ponto em que a anterior chegou, sem precisar recomeçar do zero. A primeira tare-
fa do estudioso é, então, conhecer o que já foi feito na sua área de estudo, para não correr o
risco de arrombar portas abertas.
Todavia, a construção do conhecimento não se faz por simples acúmulo. A cada nova des-
coberta devemos incorporar conhecimentos anteriores.
O espírito crítico é um dos postulados da ciência. A história da Física nos oferece muitos
exemplos disso: Copérnico, Galileu ou Einstein se notabilizaram tanto pelas proposições novas
como pela negação do que era aceito como verdade.
As descobertas no campo da Física remontam à Pré-História. Assim, quando o homem te-
ve a idéia de usar uma pedra para abrir o crânio de um animal ou fez um arco para atirar uma
flecha, ele estava incorporando conhecimentos elementares de Mecânica.
Posteriormente, as primeiras civilizações, que surgiram na Mesopotâmia e no Egito, apren-
deram, entre outras coisas, a bombear água para as plantações, a transportar e levantar enor-
mes blocos de pedras, a construir monumentos.
Esses numerosos conhecimentos, obtidos na tentativa de resolver problemas práticos, não
estavam sistematizados em uma teoria explicativa, como é próprio da ciência moderna. As so-
luções e os inventos surgiram lentamente a partir da experiência empírica, misturados à religi-
ão.
Com os gregos nasceu a filosofia, ou seja, uma tentativa de explicar o mundo através da
razão.
Os gregos não foram um povo nem mais nem menos iluminado do que os outros, mas her-
deiros de um longo processo de desenvolvimento cultural que ocorreu nas regiões próximas do
Mediterrâneo.
Ao procurar a razão de ser das coisas, os gregos formularam princípios explicativos do
movimento, da constituição da matéria, do peso, do comportamento da água etc. Porém eles
valorizaram demasiadamente as idéias e muito pouco a experimentação. Além disso, preocu-
pavam-se muito pouco com a aplicação prática dos conhecimentos, pois o trabalho braçal era
realizado por escravos.
A decadência do Mundo Antigo e o advento da Idade Média representaram um enorme re-
trocesso para a ciência.
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5. Uma sociedade basicamente rural, dominada pela religião, com o uso muito restrito da es-
crita e de livros, poucas possibilidades oferecia ao desenvolvimento científico.
O renascimento do comércio e da vida urbana, no final da Idade Média, criou um ambiente
próprio para a renovação cultural que lançou as bases da ciência moderna. Foi nesse universo
urbano em formação que viveu, no século XVI, o personagem símbolo dessa ciência: Galileu
Galilei.
Galileu Galilei ousou contestar as verdades de Aristóteles, que haviam sido reforçadas pela
combinação da filosofia com o cristianismo. A Igreja Católica contribuía, com sua autoridade,
para dificultar a contestação do pensamento de Aristóteles.
ARISTÓTELES (384-322 a.C.)
Filósofo, educador e cientista grego, foi
um dos maiores e mais influentes pensado-
res da cultura ocidental. Como cientista é
conhecido pelo realismo e pelo senso de
observação: para ele a ciência é a busca de
causas universais que dão uma explicação
comum a um grupo de fenômenos.
Aristóteles cometeu erros monumentais no campo da Física e Galileu os corrigiu. Com ba-
se na experimentação, verificou que Aristóteles estava errado ao afirmar, por exemplo, que
quanto mais pesado fosse um objeto, mais rápida seria a sua queda. Desse modo, Galileu in-
troduziu um procedimento fundamental para o cientista: a necessidade de testar, com experi-
ências concretas, as formulações teóricas. Além disso, o genial italiano mostrou, com sua prá-
tica, que o cientista precisa criar situações favoráveis de observação, eliminando fatores que
interfiram na análise do fenômeno a ser estudado ou a prejudiquem.
GALILEU GALILEI (1564-1642)
Astrônomo e físico italiano, é considera-
do o fundador da ciência experimental mo-
derna. Descobriu as leis da queda dos cor-
pos e a lei que rege o movimento do pêndu-
lo. Enunciou o princípio da composição dos
movimentos. Aperfeiçoou instrumentos,
como o relógio e o telescópio. Suas conclu-
sões eram baseadas mais em observações e
nos resultados dos experimentos do que na
lógica dedutiva.
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6. Atualmente, há consenso entre os cientistas de que a maioria dos experimentos só pode
ser feita mediante situações artificialmente montadas.
Outro momento importante na constituição do conhecimento ligado à Física ocorreu no sé-
culo XVII, com Isaac Newton. Ele realizou a primeira grande síntese da história da Física, atra-
vés da formulação de leis gerais, possibilitando investigações novas em diversos campos.
Newton criou, ainda, um sistema matemático para resolver problemas de Física que antes
não tinham soluções.
ISAAC NEWTON (1643-1727)
Físico e matemático inglês, tornou-se
uma das maiores figuras da ciência em todos
os tempos. Em Física, formulou os três prin-
cípios da Mecânica, conhecidos como leis de
Newton, e a teoria da Gravitação Universal.
Em Matemática, criou o cálculo infinitesimal.
Em 1666 fez as suas descobertas mais importantes. Interrogado, sobre como as conse-
guia, respondeu: "Para descobrir todos os fenômenos que deseja, basta ao sábio três coisas:
pensar, pensar, pensar."
A partir dos fundamentos lançados por Newton ocorreram importantes inovações científi-
cas e técnicas. No decorrer dos séculos XVIII e XIX, o progresso material oriundo dessas ino-
vações foi notável.
O final do século XIX foi uma fase de excessivo otimismo. Muitos estudiosos julgavam co-
nhecidos os princípios e as leis fundamentais do funcionamento do universo.
A teoria da relatividade, publicada por Einstein em 1905, provocou uma verdadeira revolu-
ção no campo científico. As mais arraigadas certezas, baseadas nas leis mecânicas de New-
ton, tiveram que ser revistas.
ALBERT EINSTEIN (1879-1956)
Físico alemão, criou a teoria da relativi-
dade, que completou a Mecânica clássica
onde esta era insuficiente. Em 1921, recebeu
o Prêmio Nobel de Física pela formulação da
lei do efeito fotoelétrico. Sua famosa equa-
ção E = mc2 (a energia é igual ao produto da
massa pelo quadrado da velocidade da luz)
tornou-se a pedra fundamental do desenvol-
vimento da energia atômica.
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7. De lá para cá, os avanços no campo da Física foram enormes. A obtenção de energia a
partir da desintegração atômica, os satélites e as viagens espaciais são alguns importantes
exemplos de progresso recente.
Muitos outros cientistas estão ligados à evolução do conhecimento humano acerca do
mundo físico. Essa evolução não é resultado da ação individual de alguns homens notáveis,
mas fruto de uma obra coletiva. São as condições históricas de uma determinada sociedade
que favorecem ou não a ampliação do saber. Alguns países produzem um grande número de
conhecimentos, enquanto a maior parte das nações não consegue sequer assimilá-los.
Não é uma simples coincidência o fato de os países que conseguiram todo esse progresso
científico e técnico serem os mesmos que, no passado, realizaram a Revolução Industrial.
Quanta diferença entre os equipamentos ultra-sofisticados — telescópios gigantescos,
aceleradores de partículas, supercomputadores — usados atualmente e os instrumentos ru-
dimentares construídos por Galileu!
Ao iniciar aqui os seus estudos de Física, você provavelmente compreenderá uma das li-
ções mais importantes da ciência: a de que a aparência é muito enganadora. Desconfiemos,
pois, da obviedade.
Uma das ciências mais antigas, a Física é responsável por grande parte do desenvolvi-
mento científico alcançado pela humanidade.
Ela tem aplicações em praticamente todos os campos da atividade humana: na Medicina,
nos transportes, nos esportes, nas comunicações, na indústria etc. Com a ajuda da Física, po-
demos utilizar algumas formas de energia e fazê-las trabalhar para nós:
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8. Energia elétrica: enceradeira, geladeira, computador, ferro elétrico etc.
Energia sonora: rádio, disco, telefone, ultra-som, instrumentos musicais etc.
Energia mecânica: pontes, naves espaciais, rodoviárias, prédios etc.
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9. Energia luminosa: máquina fotográfica, telescópio, raio laser, análise de matérias etc.
Energia calorífica: máquina a vapor, câmaras frigoríficas, motores de automóvel etc.
Energia nuclear: energia elétrica, bomba atômica etc.
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10. A palavra fenômeno vem do grego phainómenon, cujo significado é "aquilo que parece".
Etimologicamente, podemos dizer então que fenômenos são aquelas coisas que se nos apre-
sentam.
É comum considerarmos como fenômeno algo misterioso, como um arco-íris, um furacão,
uma tempestade etc. Em nosso curso, consideraremos como fenômeno toda e qualquer mani-
festação no tempo e no espaço, como, por exemplo, o movimento de um carro, o tiro de um
canhão, o aquecimento da água etc.
Os fenômenos não se produzem ao acaso: entre eles existe uma interdependência. Tais
relações de interdependência constituem as leis.
Para estudar os fenômenos, a ciência procura, inicialmente, estabelecer uma relação quan-
titativa entre eles — as leis quantitativas.
Veja alguns exemplos:
o calor dilata o ferro;
a pressão diminui o volume dos gases;
o atrito produz calor.
O conhecimento dessas leis não é suficiente; um estudo mais profundo sugere medidas
quantitativas. Veja:
de quanto se dilata a barra de ferro entre duas temperaturas?
de quanto diminui o volume do gás quando a pressão duplica?
quantas calorias são produzidas por um carro ao brecar e parar?
Quando é possível medir aquilo de que se está falando e exprimir essa medida por núme-
ros, estabelecemos uma lei física.
Lei física é a relação matemática entre as
grandezas que participam de um mesmo
fenômeno.
Exemplo:
A relação matemática V = V0 é uma lei física que relaciona o volume do gás com a tempe-
T T0
ratura Kelvin numa transformação isobárica (lei de Gay-Lussac)
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11. Na pesquisa de um fenômeno e das leis que o regem, deve-se obedecer a uma ordem
progressiva, que constitui o método da ciência. Nesse sentido, a Física utiliza-se de dois pro-
cessos: a observação e a experimentação.
Observação: consiste no exame atento de um fenômeno e na pesquisa das circunstân-
cias que o envolvem.
Neste caso, podemos utilizar os nossos sentidos ou instrumentos que aumentem o seu al-
cance (microscópio, luneta, telescópio, satélite, balança, amperímetro etc).
Experimentação: consiste em produzir o fenômeno artificialmente, em condições ideais
para a observação.
Neste caso, fazemos variar as circunstâncias que rodeiam o fenômeno para verificar quais
dessas circunstâncias influem nele. Consideremos, por exemplo, o movimento oscilatório de
um pêndulo e algumas circunstâncias que o rodeiam:
Podemos questionar:
a massa do pêndulo influi no tempo de
oscilação?
o comprimento do fio influi no período?
a temperatura e a pressão modificam o
fenômeno?
o local onde é realizada a experiência in-
flui no tempo de oscilação?
Quando os fatores que intervêm direta ou indiretamente numa lei física podem ser avalia-
dos quantitativamente, isto é, podem ser medidos, passam a constituir uma grandeza física.
As grandezas físicas são classificadas em escalares ou vetoriais.
Grandezas escalares: são caracterizadas por um número real, positivo ou negativo, a-
companhado de uma unidade de medida.
Exemplos:
1) massa (A massa de um corpo é de 3 kg.)
2) volume (O volume de um cubo é de 20 cm3.)
Grandezas vetoriais: são caracterizadas por um número real denominado módulo ou in-
tensidade, acompanhado de uma unidade de medida, uma direção e um sentido.
Como exemplo, considere um carro se movimentando numa estrada retilínea, com veloci-
dade de 20 km/h.
Para que a grandeza física velocidade fique caracterizada, precisamos conhecer seu mó-
dulo, sua direção e seu sentido.
Neste exemplo, temos:
módulo: 20
direção: horizontal
sentido: da esquerda
para direita
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12. Nem sempre as unidades de medida usadas para medir o comprimento ou a massa de um
corpo foram as mesmas em todo o mundo. Até meados do século XX eram usadas diferentes
unidades de medida ou padrão.
Observe, nos quadros, alguns desses padrões e os países em que eram utilizados.
Unidades de Nome da Valor aproximado em me-
comprimento unidade tros (m)
Inglaterra e jarda 0,914
Estados Unidos polegadas 0,025
tsun 0,06
China
jin 58,8
Rússia versta 0,66
Unidade de Nome da Valor aproximado
massa unidade em quilogramas (kg)
Inglaterra e libra 0,45
Estados Unidos onça 0,028
China pecul 71
Egito rotolo 0,69
Como cada país fixava o seu próprio padrão, as relações comerciais e as trocas de infor-
mações científicas entre os países se tornavam muito difíceis.
Para resolver os problemas oriundos desse fato, foram criados padrões internacionais.
Surgiu, assim, o Sistema Internacional de Unidades (SI).
O SI estabelece sete unidades de base, cada uma delas correspondente a uma grandeza.
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
intensidade de corrente elétrica ampère A
temperatura termodinâmica kelvin K
quantidade de matéria mol mol
intensidade luminosa candela cd
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13. O SI é também denominado MKS, onde as letras M, K e S correspondem às iniciais de três
unidades do SI:
Comprimento Massa Tempo
MKS m kg s
Existem ainda dois outros sistemas, o CGS e o MKgfS:
Comprimento Massa Tempo
CGS cm g s
MKgfS m u.t.m. s
u.t.m. = unidade técnica de massa
O correto é usarmos apenas as unidades do SI, mas é comum o emprego, em algumas
situações, das unidades dos sistemas CGS e MKgfS.
Observações importantes:
1) Quando escritas por extenso, as iniciais das unidades devem ser sempre minúsculas, mes-
mo que sejam nomes de pessoas. Exemplo: metro, newton, quilômetro, pascal etc.
2) A unidade de temperatura da escala Celsius, o grau Celsius, é a única exceção à regra.
Neste caso, utilizamos a letra maiúscula.
3) Os símbolos representativos das unidades também são letras minúsculas. Entretanto, serão
maiúsculas quando estiverem se referindo a nomes de pessoas.
Exemplos:
Unidade ampere newton pascal metro
Símbolo A N Pa m
4) Os símbolos não se flexionam quando escritos no plural. Assim, para indicarmos 10 new-
tons, por exemplo, usamos 10 N e não 10 Ns.
5) As unidades de base, combinadas, formam outras unidades, denominadas unidades deriva-
das, que serão estudadas no decorrer de nosso curso.
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14. Algumas unidades do SI são empregadas conjuntamente com outras que n fazem parte
ão juntamente não
do SI, já estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir:
Grandeza Nome Símbolo
S mbolo Valor em unidade do SI
quilômetro
metro km 1 km = 1 000 m
decímetro
metro dm 1 dm = 0,1 m
comprimento
centímetro
metro cm 1 cm = 0,01 m
milímetro mm 1 mm = 0,001 m
minuto min 1 min = 60 s
tempo hora h 1 h = 60 min = 3 600 s
dia d 1 d = 24 h = 86 400 s
grau °
ângulo plano minuto
’
segundo „
volume litro ℓ 1 ℓ = 1 dm3 = 10-3 m3
tonelada t 1 t = 1 000 kg
massa
grama g 1 g = 0,001 kg
1 - Dê os seguintes valores em unidades do SI:
ê
a) 7 km
b) 5 min
c) 8 h
d) 580 cm
e) 15 000 mm
f) 85 cm
g) 600 g
h) 4 t
i) 3 200 g
2 - Escreva os seguintes valores em unidades do SI:
a) 2 km2
b) 0,08 km2
c) 9 000 cm2
d) 12 000 mm2
e) 150 dm2
f) 10 cm2
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15. 3 - Transforme em unidades do SI:
a) 1 000 cm3
b) 500 ℓ
c) 60 dm3
d) 10 ℓ
e) 36 km/h
f) 1 200 cm/min
4 - Um fenômeno foi observado desde o instante 2 horas e 30 minutos até o instante 7 horas e
45 minutos. Quanto tempo durou esse fenômeno?
5 - (Fuvest-SP) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2 cm. A massa de
cada folha é de 1,2 g e a massa de cada capa do livro é de 10 g.
a) Qual a massa do livro?
b) Qual a espessura de uma folha?
6 - Num campo de futebol não-oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Con-
siderando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30,48 cm, qual a largura, em jardas, que
mais se aproxima desse gol?
Na prática, escrevemos o valor de uma grandeza como um número compreendido entre
1 e 10, multiplicado pela potência de 10 conveniente.
Quando um número é representado nesta forma, dizemos que está em notação científi-
ca.
1º caso: o número é muito maior que 1.
1 36 000 = 1,36 • 105
5 casas
Exemplos:
1) 2 000 000 = 2 • 106 O expoente do dez indica o número
2) 33 000 000 000 = 3,3 • 1010 de vezes que devemos deslocar a vírgu-
3) 547 800 000 = 5,478 • 108 la para a direita.
2º caso: o número é muito menor que 1.
0, 000000412 = 4,12 • 10– 7
7 casas
Exemplos: O expoente negativo do dez indica o
número de vezes que devemos deslo-
1) 0,0034 = 3,4 • 10– 3 car a vírgula para a esquerda.
2) 0,0000008 = 8 • 10– 7
3) 0,0000000000517 = 5,17 • 10– 11
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16. Veja, no quadro abaixo, algumas grandezas físicas expressas em notação científica:
• velocidade da luz no vácuo = 3 • 108 m/s
• massa de um próton = 1,6 • 10– 24 g
• raio de átomo de hidrogênio = 5 • 10– 9 cm
• número de Avogadro = 6,02 • 1023
Para evitar que se tenha que expressar grandezas muito pequenas ou muito grandes com
o uso de números zeros, o SI contém prefixos que permitem a formação de múltiplos e submúl-
tiplos decimais das unidades do SI.
Fator pelo qual a
Prefixo Símbolo
unidade é multiplicada
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
deci d 10– 1
centi c 10– 2
mili m 10– 3
micro µ 10– 6
nano n 10– 9
pico p 10– 12
Exemplo:
A distância do Sol até Plutão é de 6 Tm (seis terametros), ou seja, 6 • 1012 m.
7- Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 3 400 000
b) 700 000
c) 12 000
d) 5 000 000 000
e) 2 000
f) 150
g) 0,001
h) 0,000054
i) 0,0006
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17. 8 - Expresse em notação científica:
a) o volume da Terra (1 070 000 000 000 000 000 000 m3)
b) o volume do Sol (1 400 000 000 000 000 000 000 000 000 m3)
c) o volume da Lua (22 000 000 000 000 000 000 m3)
9 - Expresse em unidades do SI os seguintes valores:
a) 1 ns (1 nanossegundo)
b) 1 mg (1 miligrama)
c) 1 dm (1 decímetro)
d) 1 µm (1 micrômetro)
10 - O Escreva em unidades do SI:
a) 1 MW (1 megawatt)
b) 1,2 GW (1,2 gigawatt)
c) 5 Ts (5 terassegundo)
Para fins didáticos, dividimos a Física nas seguintes partes:
Mecânica: estuda o movimento e as condições em que ele se realiza.
Termologia: estuda o calor e suas aplicações.
Acústica: estuda a teoria do som.
Óptica: estuda a luz.
Eletrologia: trata da eletricidade e de suas aplicações.
Física Moderna: estuda a estrutura do átomo, a radioatividade, a teoria da relatividade etc.
Também podemos dividir a Física em Clássica (antes de 1900) e Moderna (após 1900).
A Mecânica pode ser dividida em três partes:
Cinemática: estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas.
Estática: estuda os corpos sólidos ou os fluidos em equilíbrio.
Dinâmica: estuda o movimento dos corpos, considerando suas causas.
Observe, no exemplo a seguir, essas três partes.
Considere um carrinho de brinquedo, inicialmente parado, sobre uma mesa.
A parte da Física que estuda em que condições o carrinho fica em repouso é a Estática.
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18. Empurre o carrinho até que entre em movimento.
A parte da Física que estuda o movimento do carrinho sem levar em consideração a sua causa (empurrão) é a
Cinemática.
A parte da Física que estuda o movimento levando em consideração a sua causa é a Dinâmica.
1 - Um ano tem 365,25 dias. Quantos segundos existem em um ano?
2 - Um viajante demorou 3h 50min para ir de uma cidade C1 até uma cidade C2 e demorou o
dobro desse tempo para ir de C2 até uma cidade C3. Quanto tempo o viajante demorou para ir
de C1 até C3?
3 - Uma certa região do país tem, em média, 10 habitantes por quilômetro quadrado. Se esta
região tem área igual a I05 km2, qual é a população que vive nela?
4 - A pressão normal dos pneus de um automóvel, segundo o fabricante, é igual a 28 unidades.
O proprietário do automóvel calibra os pneus 10% acima da indicação do fabricante. Qual a
pressão, nessas unidades, dos pneus calibrados pelo proprietário?
5 - Qual é, em metros quadrados, a área de um retângulo cuja medida da base é o quádruplo
da medida da altura, sabendo-se que a sua área aumenta de 114 m2 quando suas dimensões
sofrem um acréscimo de 2 m?
6 - Um jardineiro prepara um canteiro em forma de losango, no qual as diagonais medem 3,20
m e 2,40 m. Se eu plantar uma muda de flor por decímetro quadrado, quantas mudas dessa
flor plantarei no canteiro todo?
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19. DEFINIÇÕES E CONCEITOS
A figura mostra um carro que se desloca de uma cidade para outra, por uma estrada muito
extensa.
Observe que as dimensões do carro são muito pequenas quando comparadas com o com-
primento da estrada. Nesta situação, as dimensões do carro podem ser desprezadas e o carro
é dito um ponto material ou partícula.
Ponto material é todo corpo cujas dimen-
sões não interferem no estudo de um de-
terminado fenômeno.
Suponha agora o mesmo carro do
exemplo anterior estacionado numa
garagem.
Aqui as dimensões do carro não
podem ser desprezadas, pois neste
caso elas não são muito menores que
as dimensões da garagem. Nesta situ-
ação, o carro é dito um corpo extenso.
Para determinar se um corpo se encontra ou não em movimento é necessário ver se a sua
posição muda em relação a outros corpos que o rodeiam.
Na figura, vemos um homem sentado na poltrona de um trem que anda para a direita, a-
cenando para uma mulher na estação.
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20. Quando tomamos o trem em movimento como referência, a distância do homem sentado
na poltrona, em relação ao trem, não varia. Dizemos que o homem está em repouso em rela-
ção ao trem.
Se tomamos como referência a mulher na estação, verificamos que a distância dele em re-
lação a ela varia com o tempo. Portanto, dizemos que o homem está em movimento em rela-
ção à mulher.
O corpo que tomamos como referência para dizer se um outro corpo está em movimento
ou em repouso é denominado referencial.
Do exposto, podemos dizer que:
Um corpo está em repouso quando a distância entre este corpo e o re-
ferencial não varia com o tempo.
Um corpo está em movimento quando a distância entre este corpo e o
referencial varia com o tempo.
Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento,
dependendo do referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e movimento são relati-
vos.
A escolha do referencial é arbitrária, e só depois que ele foi escolhido é que podemos dizer
se um corpo está em repouso ou em movimento.
No estudo da Física, quando o referencial não é indicado, fica implícito que é a Terra.
A foto mostra um esquiador em movimento.
A marca que o esquiador deixa na neve represen-
ta o caminho percorrido por ele em relação a uma pes-
soa parada no solo. Essa marca é denominada trajetó-
ria.
Trajetória é a linha determinada pelas
diversas posições que um corpo ocupa
no decorrer do tempo
A trajetória depende do referencial adotado.
Suponha, por exemplo, um avião voando com velocidade constante. Se num certo instan-
te ele abandonar uma bomba, ela cairá segundo uma trajetória vertical em relação às pessoas
do avião. Para um observador parado no solo, vendo o avião de lado, a trajetória da bomba
será parabólica.
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21. De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes:
movimento retilíneo: a trajetória é uma reta;
movimento curvilíneo: a trajetória é uma curva.
Na Cinemática Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo da sua
trajetória, sem nos preocuparmos com a forma da trajetória. Nesse estudo, vamos considerar a
posição do ponto material, a sua velocidade e aceleração como grandezas escalares.
Quando conhecemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição
no decorrer do tempo através de um único número chamado abscissa do corpo.
Exemplo:
Consideremos um corpo se movimentando sobre a trajetória da figura.
Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um
ponto O sobre a trajetória, ao qual chamamos origem das posições, e orientamos a trajetória —
por exemplo, positivamente para a direita — a partir de O.
Para conhecer a posição do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distância
em relação ao ponto O.
21

22. Essa posição será positiva, se o corpo estiver à direita da origem, e negativa, se estiver à
esquerda.
Costumamos representar a posição de um corpo num dado instante pela letra s.
Na trajetória a seguir, temos:
a posição do corpo no instante t = 1 h é s = - 4 km;
a posição do corpo no instante t = 2h é s = 3 km.
No estudo da Cinemática não existe preocupação em explicar o movimento mas somente
em descrevê-lo no sentido estritamente geométrico. Este estudo se restringe à escolha de um
referencial e ao registro, em termos matemáticos, das sucessivas posições ocupadas por um
corpo no decorrer do tempo.
Assim, partindo da posição atual do corpo, num determinado referencial, pode-se determi-
nar a sua posição futura no mesmo referencial.
Dados o aqui e o agora do corpo — posição e instante iniciais — para um dado observa-
dor, podemos prever o ali e o depois — posição e instante finais — do corpo em relação ao
mesmo observador.
Para prevermos o ali e o depois usamos a função horária, que relaciona a posição s ocu-
pada pelo corpo com o tempo t.
Toda função horária é do tipo s = f(t).
Exemplo:
Consideremos um móvel percorrendo a trajetória retilínea indicada na figura, segundo a
função horária s = 2 + 3t. (no SI)
Quando t = 0 → s0 = 2 + 3 • 0 = 2 ∴ s0 = 2 m.
Quando t = 4 s → s4 = 2 + 3 • 4 = 14 ∴ s4 = 14 m.
Portanto, s0 é a posição do móvel no instante zero e s4 a posição no instante 4 s.
22

23. Consideremos um móvel percorrendo uma pista circular com 3 m de raio conforme indica a
figura.
Suponha que o móvel tenha partido do ponto A e atingido o ponto B, deslocando-se no
sentido anti-horário.
A distância percorrida ou o espaço percorrido pelo móvel é igual à metade do comprimento
da circunferência, ou seja, 3π m.
A distância entre as posições final (ponto B) e inicial (ponto A) chama-se deslocamento e,
nesse caso, é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, 6 m.
Observe que os valores encontrados são diferentes. Portanto, deslocamento e distância
percorrida são conceitos físicos diferentes.
O deslocamento ∆s pode ser dado pela diferença entre a posição final sf e a posição inicial
si.
∆ s = sf - si
O deslocamento fornece, através do módulo, a distância que se fica do ponto de partida.
Informa, também, em que sentido da trajetória o móvel se movimenta.
Assim:
se o movimento for no sentido positivo da trajetória (sf > si ), ∆s será positivo:
∆s = sf - si → ∆s = 40 - 10 = + 30 km
O móvel deslocou-se no sentido positivo.
23

24. se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória (sf < si ), ∆s será negativo:
∆s = sf – si → ∆s = 30 - 50 = - 20 km
O móvel deslocou-se no sentido negativo.
Se o móvel mudar de sentido, teremos deslocamentos positivos e deslocamentos negati-
vos. Nesse caso, a distância total percorrida (espaço percorrido) é igual à soma dos módulos
de cada um dos deslocamentos.
1 - Um carrinho se movimenta do ponto A para o ponto C, e depois para D, descrevendo a tra-
jetória da figura.
a) Qual a posição inicial do carrinho? E a final?
b) Qual o deslocamento efetuado pelo carrinho?
c) Quantos metros ele percorreu no total?
Resolução
a) Se o carrinho parte do ponto A, sua posição inicial é si = - 30 m. A posição final é indicada
pela abscissa do ponto D, que é igual a sf = - 80 m.
b) O deslocamento é dado pela diferença entre as posições final e inicial.
∆s = sf - si → ∆s = - 80 - (-30) → ∆s = - 50 m
O deslocamento foi no sentido contrário ao sentido positivo da trajetória.
Em módulo, |∆s| = 50 m.
c) A distância total percorrida (espaço percorrido) é dada por:
d = AC + CD → d = |100 - (-30)| + | - 80 - 100| → d = 310 m
Respostas:
a) si = -30 m; sf = - 80 m;
b) ∆s = - 50 m;
c) 310 m
24

25. 1 - O que é ponto material?
2 - Quando podemos dizer que um corpo está em movimento?
3 - A forma da trajetória de uma partícula depende do referencial adotado? Dê um exemplo.
4 - O livro que está sobre sua carteira pode estar em movimento? Justifique.
5 - Um parafuso se desprende do alto do mastro de um veleiro que se desloca com velocidade
constante, paralelamente à margem de uma lagoa, no sentido indicado na figura. Um observa-
dor X, dentro do veleiro, e outro Y, na margem, observam o parafuso caindo.
Desenhe as trajetórias do parafuso, vistas pelos observadores X e Y.
6 - Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do siste-
ma de referência estabelecido. Com base nisso é correto afirmar que:
I) um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro
referencial.
II) um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referen-
cial adotado, sua posição não varia com o tempo.
III) em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso. Po-
rém, em relação ao Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento.
7 - O que é deslocamento escalar?
8 - A tabela indica a posição de um móvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetória retilínea.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
s (m) -2 4 10 16 22 28 34 40 46 52
Determine o deslocamento efetuado pelo móvel entre os instantes:
a) 0 e 2 s
b) 4 s e 9 s
25

26. 9 - A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posições s, em metros, refe-
rentes ao movimento de um ponto material sobre uma trajetória retilínea.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6
s (m) 60 40 20 0 - 20 - 40 - 50
a) Verifique se houve mudança de sentido do movimento.
b) Qual o espaço percorrido de 0 a 6 s?
c) Qual o módulo do deslocamento de 0 a 6 s?
10 - Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a
trajetória da figura.
a) Qual a posição inicial da pessoa? E a posição final?
b) Qual o módulo do deslocamento efetuado pela pessoa?
c) Quantos metros ela percorreu no total?
D A B C
- 120 - 40 0 80 s (m)
11 - Consideremos um carro percorrendo uma pista circular com 4 m de raio. Determine o des-
locamento e o caminho percorrido pelo carro durante:
a) 1 de volta
4
b) meia volta
c) uma volta
d) duas volta
12 - Partindo do ponto A, uma pessoa caminha, passando na ordem, pelos pontos B, C, D, B e
E, onde pára. Calcule o espaço percorrido e o deslocamento da pessoa nesse trajeto.
26

27. Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades.
Sabemos que o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante todo o trajeto, isto
é, sua velocidade varia com o tempo.
Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimen-
to de uma forma global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada.
A velocidade escalar média (vm ) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-
la, dividimos a distância total percorrida pelo tempo gasto na viagem.
Vejamos um exemplo:
Numa viagem de São Paulo a São José dos Campos, um carro percorreu uma distância de
100 km em 2 horas. Então:
distância total percorrida 100 km
vm = → vm= 2h → vm = 50 km/h
tempo gasto no percurso
E óbvio que durante o trajeto a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maior, e
outras vezes menor do que 50 km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade cons-
tante que o carro deveria manter para, partindo da mesma posição inicial, chegar à mesma po-
sição final gastando o mesmo tempo.
A velocidade escalar média também pode ser definida num intervalo de tempo. Como e-
xemplo, vamos considerar um carro percorrendo a trajetória indicada na figura.
Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço ∆s = s2 — s1, o carro leve o tempo
∆t = t2 – t1.
Define-se como velocidade escalar média do carro, entre os instantes t1 e t2, a grandeza vm
dada por:
∆s s2 – s1
vm = =
∆t t2 – t1
A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo, que se indica por m/s. Podemos,
também, utilizar o quilômetro por hora (km/h).
Observe que:
1º) Se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos:
s1 > s2 → ∆s > 0 ∴ vm > 0
27

28. 2º) Se o carro se movimentar no sentido contrário ao sentido positivo da trajetória, teremos:
s2 < s1 → ∆s < 0 ∴ vm < 0
2 - Transforme:
a) 90 km/h em m/s
b) 10 m/s em km/h
Resolução
a) Sabemos que 1 km = 100 m e 1h = 60 min = 3 600 s.
Portanto, 90 km/h = 90 • 1 000 m = 90 = 25 m/s.
3 600 s 3,6
b) Sabemos que 1 m = 1 km e 1 s = 1 h.
1 000 3 600
1 km
Portanto, 10 m/s = 10 • 1 000 = 10 • 3,6 = 36 km/h.
1 h
3 600
Na prática, para transformar km/h em m/s, divi-
de-se a expressão por 3,6 e para transformar
m/s em km/h, multiplicando-se a expressão por
3,6
Respostas:
a) 25 m/s
b) 36 km/h
28

29. 3 - Calcule a velocidade média entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 2 s de um móvel que realiza um
movimento segundo a função horária s = 5 + 4t (SI).
Resolução
s = 5 + 4t
Para t1 = 1 s, temos s1 = 9 m.
Para t2 = 2 s, temos s2 = 13 m.
Então:
vm = ∆s = s2 – s1 = 13 – 9 = 4
∆t t2 – t1 2–1 1
vm = 4 m/s
Resposta: vm = 4 m/s
13 - Como se determina a velocidade media de um carro da Fórmula 1 durante uma volta com-
pleta?
14 - Qual é, em metros por segundo, a velocidade de um carro cujo velocímetro indica
72 km/h?
15 - Transforme 8 m/s em km/h.
16 - Um ciclista percorre 12 m em cada segundo. Qual a sua velocidade em km/h?
17 - Um carro passa pelos pontos A e B de uma estrada, nos instantes indicados na figura.
Determine a velocidade escalar média desse carro entre os pontos A e B.
18 - (Unip-SP) O corredor Joaquim Cruz, ganhador da medalha de ouro nas Olimpíadas de
Los Angeles, fez o percurso de 800 m em, aproximadamente, 1 min 40s. Determine a velocida-
de escalar média no trajeto.
29

30. 19 - (UMC-SP) Um ônibus partiu de São Paulo às 6 horas com destino a Mogi das Cruzes.
Permaneceu parado em um grande congestionamento por aproximadamente 20 minutos, che-
gando, finalmente, ao seu destino às 7 horas e 30 minutos.
Sabendo-se que a distância total percorrida foi de 60 km, calcule a velocidade escalar média
do ônibus nessa viagem, em km/h.
20 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea obedecendo à função horária s = 3t + 6 (no SI).
Determine a velocidade média desse móvel no intervalo de tempo de 1 s a 5 s.
21 - Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade de 1 m/s. Que distância
essa pessoa percorrerá, andando durante 15 minutos?
22 - (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um passageiro decide calcular a veloci-
dade escalar média do ônibus. Primeiramente verifica que os marcos indicativos de quilometra-
gem na estrada estão dispostos de 2,0 km em 2,0 km. O ônibus passa por três marcos conse-
cutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre o primeiro e o terceiro
marco é de 3 minutos. Calcule a velocidade escalar média do ônibus neste trecho da viagem,
em km/h.
23 - (Fuvest-SP) A figura representa a trajetória de um caminhão de entregas que parte de A,
vai até B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminhão mantém uma velocidade média de
30 km/h; na volta, de B até A, gasta 6 minutos. Qual o tempo gasto pelo caminhão para ir de A
até B? Qual a velocidade média do caminhão quando vai de B até A, em km/h?
24 - (UFPel-RS) Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de
tempos, isto é, a medida do intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito.
O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no Japão, pertenceu ao austríaco Gerard Berger,
piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5 874 m da pista em cerca de 1 min 42s. Com ba-
se nesses dados, responda:
a) quanto vale o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo corres-
pondente a uma volta completa no circuito?
b) qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco, em sua me-
lhor volta no circuito? Justifique suas respostas.
25 - (Unicamp-SP) Um carro, a. uma velocidade constante de 18 km/h, está percorrendo um
trecho de rua retilíneo. Devido a um problema mecânico, pinga óleo do motor à razão de 6 go-
tas por minuto. Qual é a distância entre os pingos de óleo que o carro deixa na rua?
30

31. 4 - Um carro percorre a primeira metade de um percurso com a velocidade escalar média de
40 km/h e a segunda metade com a velocidade escalar média de 60 km/h. Determine a veloci-
dade escalar média do carro durante todo o percurso.
Resolução
No trecho AM, temos:
vm1 = ∆s1 → 40 = AM → ∆t1 = x dd
∆t1 ∆t1 40
No trecho MB, temos:
vm2 = ∆s2 → 60 = MB → ∆t2 = x ffffff
∆t2 ∆t2 60
No percurso total AB, temos:
vm = ∆s → vm = AM + MB → vm = x + x → vm = 48 km/h
∆t ∆t1 + ∆t2 x + x vvv
40 60
Resposta: A velocidade media em todo o percurso é de 48 km/h.
26- (UFMS) Um carro percorre um trecho de 30 km de uma estrada horizontal retilínea, man-
tendo uma velocidade constante de 60 km/h. A seguir, percorre 60 km em linha reta, mantendo
uma velocidade constante de 40 km/h. Qual a velocidade escalar média, em km/h, para todo o
percurso?
27 - Sejam M e N dois pontos de uma reta, e P o ponto médio de MN. Um homem percorre MP
com velocidade constante de 4,0 m/s, e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. Determine a
velocidade média do homem entre M e N.
31

32. 28 - (Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista
350 km da capital, às 11 horas e 30 minutos. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproxima-
damente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h.
a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo — Jabuticabal?
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí — Campinas?
29 - (UFOP-MG) Uma partícula está em movimento retilíneo no sentido positivo do eixo x, con-
forme a figura abaixo.
0 x1 x2 x3 x
a) Se no instante t1 sua abscissa é x1 e no instante t2 sua abscissa é x2, sendo t2 maior que t1,
escreva a expressão da velocidade média dessa partícula.
b) Se a partícula percorre o trajeto x1x2, de 60 km, com velocidade média de 60 km/h, e o traje-
to x2x3 , de 80 km, com velocidade média de 40 km/h, calcule a velocidade média da partícu-
la no trajeto x1x3.
32

33. MOVIMENTO UNIFORME
Suponha que você esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do velocímetro fi-
que sempre na mesma posição, acusando, por exemplo, uma velocidade de 50 km/h, no decor-
rer do tempo.
Nessa condição, você irá percorrer 50 km a cada hora. Então, se em 1 hora você percorre
50 km, em 2 horas percorrerá 100 km, e assim por diante.
Desse modo, o carro percorrerá distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Para que
isso ocorra, a velocidade escalar instantânea do carro deve ser igual à velocidade escalar mé-
dia em qualquer intervalo de tempo.
Consideremos agora um carrinho transportando um vasilhame com uma certa quantidade
de líquido, em que está instalada uma torneira que pinga gotas desse líquido a intervalos de
tempo iguais.
As distâncias entre as marcas deixadas sobre um papel pelas gotas do líquido durante o
movimento do carrinho são iguais.
Isso mostra que o carrinho percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.
Como o carro e o carrinho dos exemplos vistos percorrem distâncias iguais em intervalos
de tempo iguais, dizemos que eles realizam um movimento chamado movimento uniforme
(MU).
No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais
em intervalos de tempo iguais.
33

34. O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relógio e a
viagem de uma nave interplanetária são exemplos bem próximos do movimento uniforme.
Na prática, os movimentos não são perfeitamente uniformes.
Se a trajetória for retilínea, o movimento é dito movimento retilíneo e uniforme. (MRU).
Conhecidas as características do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o
movimento uniforme. Se a forma da trajetória for conhecida, essas leis permitem determinar,
em cada instante, a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em movimento.
Posição em função do tempo [s = f (t)]
Seja um móvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a
v) a trajetória da figura.
Considere:
s0 = a posição do móvel no instante t0 = 0
s = a posição do móvel no instante t
A velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t - t0 = t é:
vm = ∆s = s – s0 , onde vm = v = constante
∆t t – t0
v = s – s0 → s – s0 = vt
t
s = s0 + vt , função horária das posições do MU
34

35. Em que:
s0 = posição ou espaço inicial
v = velocidade
t = tempo
A função horária das posições de um móvel em movimento uniforme em relação ao tempo
é função do 1º grau. Essa função permite obter a posição de um móvel em movimento em
qualquer instante.
Velocidade em função do tempo [ v = f (t)]
v = f (t) = constante ≠ 0
Isto significa que o móvel tem, em toda a trajetória, a velocidade do início do movimento.
Aceleração em função do tempo [ a = f (t)]
a = f(t) = 0
Isto quer dizer que não existe variação de velocidade durante o movimento.
5 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária
s = 10 + 2t (no SI).
Pedem-se:
a) sua posição inicial
b) sua velocidade
c) sua posição no instante 3 s
d) o espaço percorrido no fim de 6 s
e) o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m
f) o esquema do movimento em um eixo orientado
Resolução
a) e b) A função horária s = 10 + 2t é do 1º grau. Portanto, o movimento é uniforme.
Então, por comparação:
s = 10 + 2t
s = s0 + vt
s0 = 10 m e v = 2 m/s
c) No instante 3 s → s3 = 10 + 2t = 10 + 2 • 3 = 10 + 6
s3 = 16 m ( posição no instante 3 s)
d) No instante 6 s → s = 10 + 2t = 10 + 2 • 3 = 10 + 6
s6 = 22 m (posição no instante 6 s)
O espaço percorrido será calculado por:
∆s = s6 – s0 = 22 – 10 → ∆s = 12 m
e) Quando s = 36 m:
s = 10 + 2t → 36 = 10 + 2t → 2t = 36 – 10 ∴ t = 13 s
35

36. f)
Respostas: a) s0 = 10 m; b) v = 2 m/s; c) s3 = 16 m; d) ∆s = 12 m; e) t = 13 s;
f) vide resolução
30 - Na frase, "O motorista está em movimento retilíneo uniforme", o que significa a palavra
retilíneo? E a palavra uniforme?
31 - (Mauá-SP) Ao longo de uma pista de corrida de automóveis existem cinco postos de ob-
servação onde são registrados os instantes em que por eles passa um carro em treinamento. A
distância entre dois postos consecutivos é de 500 m. Durante um treino registraram-se os tem-
pos indicados na tabela.
Posto 1 2 3 4 5
Instante de passagem (s) 0 24,2 50,7 71,9 116,1
a) Determine a velocidade média desenvolvida pelo carro, no trecho compreendido entre os
postos 2 e 4.
b) É possível afirmar que o movimento do carro é uniforme? Justifique a resposta.
32 - Um móvel desloca-se com movimento retilíneo segundo a lei horárias = 20 + 8t (no SI).
Determine:
a) a posição inicial do móvel
b) a posição do móvel quando t = 5 s
c) o instante em que o móvel passa pela posição 100 m
d) a distância percorrida pelo móvel durante o 10º segundo
e) o módulo do deslocamento e do espaço percorrido pelo móvel no intervalo de 5 s a 20 s
33 - (UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a Marte. Na figura a seguir estão in-
dicadas as posições da Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do foguete da Terra,
quando no instante de sua chegada a Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete
chega a Marte no instante em que a Terra completa 3 de uma volta em torno do Sol.
4
Calcule quantos meses durou a viagem deste foguete da Terra até Marte.
Marte no instante
da chegada
Terra no instante
da chegada
Terra no instante Marte no instante
do lançamento do lançamento
36

37. 34 - A tabela representa as posições ocupadas por um ponto material em função do tempo. O
ponto material realiza um movimento retilíneo e uniforme.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
s (m) - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40
a) Escreva a função horária das posições do movimento dessa partícula.
b) Qual a posição desse ponto material no instante 50 s?
c) Em que instante ele passa pela posição 200 m?
35 - Qual é o movimento de um corpo no qual a velocidade instantânea é sempre igual à velo-
cidade média?
6 - Um ciclista A está com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue
com velocidade constante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distância que os separa é de
80 m.
a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levará para alcançar o ciclista A?
b) Determine a posição dos ciclistas quando se encontraram.
c) Calcule a distância percorrida pelos dois ciclistas.
Resolução
a)
sA = s0A + vAt → sA = 80 + 10 t
sB = s0B + vBt → sB = 95 t
9
No encontro:
sA = sB → 80 + 10t = 95 t → t = 144 s
9
b) Para achar a posição do encontro devemos substituir t = 144 s em qualquer uma das fun-
ções horárias, pois, nesse instante, as posições dos ciclistas são iguais. Assim:
sA = sB → sB = 95 • t → sB = 95 • 144 = 1 520 m
9 9
c)
B A A=B
0 1 520 s (m)
80
∆sA = 1 520 - 80 = 1 440 m
∆sB = 1 520 - 0 = 1 520 m
37

38. Respostas:
a) 144 s;
b) 1 520 m;
c) ∆sA = 1 440 m; ∆sB = 1 520 m
36 - Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea representada pelo eixo ori-
entado.
No início da contagem dos tempos suas posições são A = 10 m e B = 80 m. Ambos percor-
rem a pista no sentido positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e
vB = 20 m/s. Pedem-se:
a) o instante em que A alcança B
b) a posição do encontro em relação ao marco zero da pista
37 - Os carros A e B indicados nas figuras têm velocidades constantes e iguais a vA = 30 m/s e
vB = 10 m/s. Se ambos se movimentam no sentido positivo da trajetória, calcule, em cada caso,
o instante e a posição de encontro desses móveis.
a)
b)
38 - Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos A e B e deslocam-se em movimento
uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s.
Qual a distância inicial entre esses móveis, sabendo que o encontro deles ocorre 50 s após a
partida?
38

39. 39 - (PUC-PR) Um caminhão trafegando pela BR 116 em direção a Porto Alegre, passa por
Curitiba a uma velocidade de 60 km/h. Trinta minutos depois, pelo mesmo ponto e com o
mesmo destino, passa um automóvel com velocidade de 20 m/s. Supondo que os dois veículos
mantenham as velocidades constantes, a que distância de Curitiba se dará a ultrapassagem?
7 - Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para a-
travessar um túnel de 1 800 m de comprimento?
Resolução
A figura representa o início e o término da ultrapassagem.
Considerando o ponto A (traseira do trem) como origem das posições, temos:
s = s0 + vt → s = 0 + 20t → s = 20t
Quando o trem atravessa o túnel, a posição do ponto A em relação à origem é
(400 + 1 800 = 2 200 m).
Assim:
s = 20 t → 2 200 = 20 t → t = 110 s ou t = 1 min 50s
Resposta: 1 min 50s
8 - Dois motociclistas, A e B, partem de um mesmo ponto de uma estrada retilínea e horizontal,
com velocidades constantes e iguais a 36 km/h e 108 km/h, respectivamente. Sabendo-se que
movem no mesmo sentido e que o motociclista B parte 3 s após a partida de A, determine:
a) o instante no qual os dois motociclistas se encontrem após a partida de A
b) a posição do encontro
Resolução
a)
Este problema envolve uma defasagem de tempo. Ao acionarmos um cronômetro após a
partida de A e efetuarmos a leitura do tempo decorrido, teremos:
39

40. Cronômetro Motociclista A Motociclista B
5s 5s ( 5 – 3) s
6s 6s ( 6 – 3) s
7s 7s ( 7 – 3) s
t t ( t – 3) s
Função que regem os movimentos (MU):
motociclista A motociclista B
s0A = 0 s0B = 0
vA = 36 km/h = 10 m/s com vB = 108 km/h = 30 m/s
tA = t tB = (t – 3)
sA = s0A + vAtA sB = s0B + vBtB
sA = 10t sB = 30 (t – 3)
No encontro, sA = sB → 10t = 30 (t – 3) → t = 4,5 s
b) Podemos substituir em sA ou sB . Substituindo t = 4,5 em sA, temos:
sE = sA = sB = 10 • 4,5 ∴ sE = 45 m
Respostas:
a) 4,5 s
b) 45 m
40 - (UnB-DF) Qual o tempo gasto para que um trem de metrô de 200 m de comprimento com
movimento uniforme e velocidade escalar de 180 km/h atravesse um túnel de 150 m de com-
primento?
41 - (ESAL-MG) Um trem viaja por es-
trada retilínea com velocidade constante
de 36 km/h. Calcule o comprimento do
trem, sabendo que ele leva 15 s para
atravessar uma ponte de 60 m de com-
primento.
42 - Dois móveis, A e B, partem com movimentos uniformes dos pontos indicados na figura.
40

41. Sabendo que se movem no mesmo sentido, com velocidades vA = 6 m/s e vB = 4 m/s, e
que A parte 5 s após a partida de B, determine:
a) o instante em que ocorre a ultrapassagem em relação à partida do móvel B
b) o instante em que a distância entre eles é de 90 m, em relação à partida de B
43 - (UFBA) Os móveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilíneo unifor-
me, em momentos diferentes. B parte 2 minutos após A, e ambos desenvolvem a mesma velo-
cidade. C parte por último, gastando 10 minutos para alcançar B e mais 5 minutos para alcan-
çar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a partida de A e a de C.
9 - Dois carros, A e B, de comprimentos 4 m e 5 m, percorrem uma mesma estrada retilínea
com movimentos uniformes e velocidades constantes e iguais a 25 m/s e 20 m/s, respectiva-
mente. Determine o tempo de ultrapassagem, nos seguintes casos:
a) eles se movem no mesmo sentido
b) eles se movem em sentidos contrários
Resolução
a) mesmo sentido
origem início da ultrapassagem término da ultrapassagem
Vamos tomar como referência os pontos 1 e 2, cujas posições estão indicadas na figura,
marcando o início e o término da ultrapassagem. Como o movimento é uniforme, as funções
são:
carro A carro B
s1 = s01 + v1t s2 = s0 + v2t
2
s0 = 0 s0 = 9 m
v1 = 25 m/s com v2 = 20 m/s
s1 = 25t s2 = 9 + 20t
Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura.
25t = 9 + 20t → t = 1,8 s
41

42. b) sentidos contrários
início da
ultrapassagem
origem término da ultrapassagem
As funções horárias do movimento são:
carro A carro B
s1 = s01 + v1t s2 = s02 + v2t
s1 = 0 + 25t v2 = - 20 m/s (retrógrado)
s1 = 25t s2 = 9 - 20t
Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura.
25t = 9 – 20t → t = 0,2 s
Respostas:
a) 1,8 s
b) 0,2 s
44 - (UFU-MG) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, em movimento retilíneo uni-
forme.
Determine:
a) o intervalo de tempo para que um trem ultrapasse completamente o outro, a partir da posi-
ção indicada na figura 14,4 s
b) o correspondente deslocamento de cada um dos trens
42

43. 45 - (Unip-SP) Um trem, de comprimento L = 200 m, em trajetória retilínea, tem velocidade es-
calar constante vT = 20 m/s. Um automóvel, de comprimento L’ = 2,00 m, está em uma trajetó-
ria paralela à do trem, com velocidade escalar constante vA, caminhando no mesmo sentido de
movimento do trem e vai ultrapassá-lo.
vT
vA
L’ L
O intervalo de tempo decorrido desde o início até o fim da ultrapassagem completa do trem
é de 10,1 s.
Qual o valor, em km/h, de vA?
46 - (Unitau-SP) No instante t0 = 0, a distância entre dois carros A e B é de 375 km. Eles se
movem um ao encontro do outro com velocidades constantes e de módulos respectivamente
iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma trajetória retilínea.
Com a trajetória orientada conforme indica a figura e adotando como origem dos espaços a
posição inicial de A, pedem-se:
a) as funções horárias dos espaços que descrevem os movimentos dos carros A e B
b) o instante em que os carros se encontram
c) a posição do ponto de encontro
47 - Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem li-
nhas retilíneas e paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h
e vB = 72 km/h. Determine o tempo gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se mo-
vem em sentidos contrários.
48 - Duas partículas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com velocidades escala-
res constantes e de módulos respectivamente iguais a 3 m/s e 5 m/s.
A distância entre A e B é 20 m e 0 é o ponto médio de AB. A trajetória está orientada de A para
B e os sentidos dos movimentos estão indicados na figura. Considere 0 como origem das posi-
ções.
a) Escreva as funções horárias das posições das partículas A e B.
b) Qual o instante em que a distância entre elas é 500 m?
43

44. 10 - Um atirador aciona o gatilho de sua arma, que aponta para um alvo fixo na Terra. A veloci-
dade da bala ao sair do cano da arma é 660 m/s. Depois de 2 s ele ouve o barulho da bala a-
tingindo o alvo. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é 340 m/s, calcule a distância do
atirador ao alvo.
Resolução
atirador alvo
x
Sejam:
t1 = tempo gasto pela bala para atingir o alvo
t2 = tempo gasto pelo som para chegar ao atirador após a bala atingir o alvo
x = distância entre o atirador e o alvo
Temos:
t1 + t2 = 2 → t1 = 2 – t2
● na ida (bala): ● na volta (som):
s = s0 + vt s = s0 + vt
x = 660t1 1 x = 340t2 2
Igualando-se 1 e 2 , vem:
660t1 = 340t2 → 660 (2 – t2) = 340t2 → t2 = 1,32 s
Substituindo-se em 2 , vem:
x = 340 • 1,32 → x = 448,8 m
Resposta: x = 448,8 m
49 - (UMC-SP) Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede refletora de
som. O atirador ouve o eco do disparo 2,5 s depois de disparar o tiro. Supondo que o som viaje
no ar com velocidade de 340 m/s, calcule a distância que separa o atirador da parede refletora,
em metros.
50 - (Fuvest-SP) Um trecho dos trilhos de aço de uma ferrovia tem a forma e as dimensões
dadas abaixo. Um operário bate com uma marreta no ponto A dos trilhos. Um outro trabalha-
dor, localizado no ponto B, pode ver o primeiro, ouvir o ruído e sentir com os pés as vibrações
produzidas pelas marretadas no trilho.
44

45. a) Supondo que a luz se propague instantaneamente, qual o intervalo de tempo t decorrido
entre os instantes em que o trabalhador em B vê uma marreta e ouve o seu som?
b) Qual a velocidade de propagação do som no aço, sabendo-se que o trabalhador em B, ao
ouvir uma marretada, sente simultaneamente as vibrações no trilho?
(Dado: a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Para fazer as contas, use π = 3.)
3 300 m
255 m
510 m
3 300 m
51 - (UFMG) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade um
indivíduo ouve dois sons, com uma diferença de tempo de 0,18 s. O primeiro se propaga atra-
vés dos trilhos, com velocidade de 3 400 m/s, e o segundo através do ar, com velocidade de
340 m/s. Determine, em metros, o comprimento do trilho.
52 - Dois corredores saem ao mesmo tempo para percorrer um determinado trajeto; o primeiro
com velocidade constante de 18 km/h, e o segundo com velocidade de 16,5 km/h. O primeiro
sofre um acidente em que perde 20 minutos e, em conseqüência desse atraso, os dois chegam
juntos no término do trajeto.
a) Quanto tempo levaram para percorrer esse trajeto?
b) Qual o comprimento do trajeto percorrido?
7 - (Unitau-SP) Numa dada trajetória, um ponto material tem a função horária s = 10 - 2,0t, on-
de s é a distância em metros e t é o tempo em segundos.
a) Qual a forma da trajetória?
b) Qual a posição do ponto material no instante t1 = 3,0 s?
c) Qual o instante (t0) em que o ponto material passa pela origem dos espaços?
8 - (Unitau-SP) Um móvel, com velocidade escalar constante, passa pela posição s = 100 m no
instante t = 0 e 3,0 s após passar pela posição s = 70 m. Pedem-se:
a) a velocidade escalar do móvel
b) a função horária das posições
c) a classificação do movimento
9 - Em uma estrada observam-se um caminhão e um jipe, ambos correndo no mesmo sentido.
Suas velocidades são respectivamente iguais a 54 km/h e 72 km/h. No instante zero, o jipe es-
tá atrasado de 100 m em relação ao caminhão. Determine:
a) o instante em que o jipe alcança o caminhão
b) o caminho percorrido pelo jipe até alcançar o caminhão
45

46. 10 - (UFCE) Determine o intervalo de tempo para que um trem de 240 m, com velocidade esca-
lar constante de 108 km/h, atravesse completamente um túnel de comprimento 1 980 m.
11 - Os veículos A e B, indicados na figura, têm velocidades constantes iguais a vA = 30 m/s e
vB = 10 m/s. Calcule o instante e a posição de encontro desses móveis.
A B
vA vB
- 80 0 220 s (m)
46

47. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral não permanecem
constantes, variando, portanto, no decorrer do tempo. São os chamados movimentos variados.
Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tem-
po, isto é, se ocorrerem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempos iguais,
o movimento é denominado movimento uniformemente variado (MUV).
Para que isto ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração escalar média deve ser
constante, diferente de zero e igual à aceleração escalar instantânea.
am = a = constante ≠ 0
Observe a tabela abaixo que registra a velocidade indicada pelo velocímetro de um auto-
móvel no decorrer do tempo.
v (km/h) 8 12 16 20 24 28 32
t (s) 0 1 2 3 4 5 6
Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a cada se-
gundo decorrido. Portanto, a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar instantâ-
nea.
am = a = ∆v
∆t
a = 12 – 8
1–0
a = 4 km/h
s
Então esse automóvel executa um movimento uniformemente variado.
Movimento uniformemente variado é aquele em que a velocidade escalar é
variável e a aceleração escalar é constante e não-nula.
No caso de a trajetória ser retilínea, o movimento é denominado movimento retilíneo unifor-
memente variado (MRUV).
47

48. Vamos estudar agora as funções que permitem a descrição matemática de um movimento
uniformemente variado.
Velocidade em função do tempo [v = f (t)]
Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura.
v0 v
t0 = 0 t
Sejam:
v0 = a velocidade do móvel no instante t0 = 0
v = a velocidade do móvel no instante t
A aceleração média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t – t0 = t é:
am = ∆v = v – v0, onde am = a = constante
∆t t – t0
a = v – v0 → v – v0 = at → = v0 + at
v
t
Em que:
v0 = velocidade inicial; a = aceleração e t = tempo.
Observe que esta função é do 1º grau em relação a t.
11 - Um ponto material em movimento adquire velocidade que obedece à expressão v = 10 - 2t
(no SI). Pedem-se:
a) a velocidade inicial
b) a aceleração
c) a velocidade no instante 6 s
d) o instante em que o ponto material muda de sentido
e) a classificação do movimento (acelerado ou retardado) no instante 4 s
Resolução
A função v = 10 - 2t é do 1º grau. Portanto, o movimento é uniformemente variado. Logo, por
comparação:
v = 10 - 2t
v = v0 + at
a) v0 = 10 m/s
b) a = - 2 m/s2
48

49. c) Quando t = 6 s → v = 10 - 2t = 10 - 2 • 6 = 10 - 12
v = - 2 m/s (Tem sentido contrário ao sentido da trajetória.)
d) O ponto material muda de sentido quando v = 0.
v = 10 - 2t → 0 = 10 - 2t → t = 5 s
Observe o quadro:
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
v (m/s) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
sentido do positivo sentido contrário
da trajetória (v > 0) muda de sentido ao positivo da
trajetória (v < 0)
e) Quando t = 4 s → v = 10 • 2t → v = 10 – 2 • 4
v = 2 m/s Mas: a = - 2m/s2 (constante)
Portanto: Sendo v > 0 e a < 0 o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sinais
contrários).
Respostas:
a) v0 = 10 m/s
b) a = - 2 m/s2
c) v = - 2 m/s
d) t = 5 s
e) retardado
12 - Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velo-
cidade de 360 km/h, em 25 s. Qual o valor da aceleração em m/s2?
Resolução
Se o avião parte do repouso, sua velocidade inicial é v0 = 0. Após 25 s, a velocidade final
do avião é v = 360 km/h =100 m/s. Assim:
v = v0 + at → 100 = 0 + a • 25
a = 4 m/s2
Resposta: 4 m/s2
53 - Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada e sua velocidade varia com o tempo
de acordo com a tabela.
t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
v (m/s) 14 18 22 22 22 22 22 20 18 15 11
a) Em quais intervalos de tempo a aceleração é positiva? E negativa?
b) Em que intervalo de tempo a aceleração é nula?
c) Em quais intervalos o movimento do carro é uniformemente variado?
49

50. 54 - O que caracteriza um movimento uniformemente variado? E um movimento variado qual-
quer?
55 - A velocidade de um móvel no decorrer do tempo é indicada pela tabela seguinte:
t (s) 0 2 4 6 8 10 12
v (m/s) 40 30 20 10 0 - 10 - 20
Qual a função horária da velocidade desse móvel?
56 - Um ponto material em movimento retilíneo adquire velocidade que obedece à função
v = 15 - 3t (no SI). Pedem-se:
a) a velocidade inicial
b) a aceleração
c) a velocidade no instante
d) o instante em que o ponto material muda de sentido
e) a classificação do movimento (acelerado ou retardado) nos instantes 3 s e 7 s
57 - Um móvel leva 5 s para passar da velocidade de 30 m/s para 60 m/s em movimento uni-
formemente variado. Calcule sua aceleração escalar.
58 - (UNIU-Passo Fundo-RS) Uma pessoa estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade
de 72 km/h, quando acionou os freios e parou em 4,0 s. Determine a aceleração imprimida à
motocicleta pelos freios.
59 - (ESPM-SP) Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e
atinge a velocidade de 432 km/h, em 20 s. Qual o valor da aceleração em m/s2?
60 - Classifique as seguintes sentenças em verdadeiras ou falsas.
a) No movimento acelerado, a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade.
b) No movimento retardado, a aceleração tem sinal oposto ao da velocidade.
c) No movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é variável.
61 - Um móvel pode inverter o sentido do seu movimento quando sua aceleração for constante
e positiva? Caso a resposta seja afirmativa, dê um exemplo. Caso seja negativa, explique por
quê.
Posição em função do tempo [s = f (t)]
Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura.
Sejam:
• s0 = a posição do móvel no ins-
tante t0 = 0
• v0 = a velocidade do móvel no
instante t0 = 0
• s = a posição do móvel no instan-
te t
+ • v = a velocidade do móvel no ins-
tante t
• a = a aceleração
50

51. O gráfico da função v = v0 + at é uma reta (é
função do 1º grau).
A área do trapézio fornece o espaço percorrido
∆s no intervalo de tempo ∆t = t – t0. Portanto:
∆s = v + v0 • t
2
Mas: v = v0 + at
∆s = s – s0
Substituindo-se, vem:
s – s0 = v0 + at + v0 • t → s – s0 = 2v0 + at • t → s – s0 = v0t + at2
2 2 2
s = s0 + v0t + 1 • at2
2
Observe que esta função é do 2º grau em relação a t.
Aceleração em função do tempo [a = f (t)]
a = f (t) = constante ≠ 0
Portanto, a aceleração (variação da velocidade) em todo o percurso é a mesma do início
dele.
13 - Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária s = - 15 - 2t + t2 (no SI).
Calcule:
a) o tipo do movimento (MU ou MUV)
b) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração
c) a função v = f (t)
d) o instante em que o móvel passa pela origem das posições
Resolução
a) A função horária s = - 15 - 2t + t2 é do 2º grau, portanto o movimento é uniformemente
variado.
b) Por comparação:
s = -15 - 2t + 1 • t2
s = s0 + v0t + 1 • at2 → s0 = -15 m (no instante t = 0 o móvel estava a 15 m da origem)
2
v0= - 2 m/s
1 • a = 1 → a = 2 m/s2
2
c) v = v0 + at → v = - 2 + 2t
d) Na origem das posições (s = 0):
s = - 15 – 2t + t2 → 0 = - 15 – 2t + t2
51

52. Resolvendo a equação, temos: t = 5 s
Em Cinemática só consideramos tempo positivo.
Respostas: Vide resolução
62 - Considere as seguintes funções horárias das posições, em que s é medido em metros e t,
em segundos:
I) s = 20 + 6t + 5t2
II) s = - 40 + 2t – 4t2
III) s = - 8t + 2t2
IV) s = 70 + 3t2
V) s = t2
Determine, para cada uma dessas funções:
a) a posição e a velocidade iniciais
b) a aceleração
c) a função horária da velocidade
63 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado, con-
forme indica a figura.
s0 = 15 m 2
v0 = 10 m/s
0 +
t=0
No instante inicial (t = 0) sua velocidade é de 10 m/s em movimento retardado de acelera-
ção 2 m/s2.
a) Escreva as funções s = f (t) e v = f (t) desse movimento.
b) Qual a posição e a velocidade escalar do móvel no instante t = 8 s?
64 - Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, e a lei horária do movimento é dada por
s = - 4 + 5t + 6t2, com s em metros e t em segundos.
a) Qual a aceleração da partícula?
b) Qual o instante em que a partícula passa pela origem das posições?
c) Qual a velocidade da partícula no instante 10 s?
65 - Um móvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo à função horária s = 6 - 5t + t2 (no SI).
Determine:
a) a função v = f(t)
b) o instante em que o móvel inverte o sentido do seu movimento
c) o espaço percorrido entre os instantes 4 s e 9 s
66 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária
s = 20 + 15t - 2t2 (noSI).
Classifique o movimento em acelerado ou retardado, nos instantes:
a) 3 s
b) 8 s
52

53. 67 - Um ciclista tem uma aceleração constante de 2 m/s2
e parte do repouso.
a) Que velocidade tem após 8 s?
b) Que distância percorreu em 8 s?
c) Qual sua velocidade média durante os primeiros 8 s?
d) Quantos metros o ciclista percorreu até o instante
em que sua velocidade atinge 30 m/s?
68 - (UFPR) Dois móveis, A e B, partem simultaneamente de um mesmo ponto, com direções
perpendiculares entre si. O móvel A tem velocidade constante igual a 10 m/s e o móvel B, mo-
vimento uniformemente acelerado, partindo do repouso com aceleração de 4 m/s2. Determine a
distância entre os dois móveis após 5 s de movimento.
69 - Um ponto material parte do repouso e percorre, em linha reta, 120 m em 60 s, com acele-
ração constante. Calcule sua velocidade no instante 60 s.
70 - (UFMS) Um motorista conduz seu carro em uma rua, com velocidade de 72 km/h. Em um
dado instante, ele percebe que a rua está fechada, a 106 m de sua posição atual. Imediata-
mente ele freia o carro, provocando uma aceleração de - 5 m/s2. A quantos metros do ponto em
que a rua está fechada o carro irá parar?
71 - (PUCCAMP-SP) Um veículo em movimento retilíneo uniformemente variado percorre a
distância de 60 m, que separa dois pontos, A e B, em 5,0 s.
Sabendo-se que a velocidade escalar em A era de 10 m/s, pedem-se:
a) a velocidade escalar em B
b) a aceleração escalar
14 - Um automóvel está parado diante de um semáforo. Imediatamente após o sinal ter aberto,
um caminhão o ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o mo-
torista do automóvel arranca com uma aceleração de 4 m/s2 em perseguição ao caminhão.
a) Após quanto tempo o automóvel alcançará o caminhão?
b) Quanto terá percorrido o automóvel?
Resolução
a) As funções horárias do movimento são:
● automóvel (MUV):
sA = s0A + v0A t + 1 • aA t2 → sA = 0 + 0 + 1 • 4 • t2 → sA = 2t2
2 2
● caminhão (MU)
sC = s0C + vCt → sC = 0 + 20t → sC = 20t
Quando o automóvel alcança o caminhão, temos:
t = 0 (não satisfaz)
sA = sC → 2t2 = 20t → 2t2 – 20t = 0 → = 10 s
t
c) sA = 2t2 → sA = 2 • 102 → sA = 200 m
Respostas:
a) 10 s
b) 200 m
53

54. 72 - (UFMG) No instante em que um sinal de trânsito muda para o verde, um carro que estava
parado arranca com uma aceleração constante de 0,50 m/s2. Nesse instante, um ônibus ultra-
passa o carro com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Ambos se movimentam em uma linha
reta.
a) Determine a que distância do sinal estarão o ônibus e o carro, depois de 20 s.
b) Calcule o tempo que o carro levará para alcançar o ônibus.
73 - Um carro e um caminhão partem do repouso no mesmo instante, estando o carro a uma
determinada distância atrás do caminhão.
O carro acelera a 3 m/s2 e o caminhão a 2 m/s2. O carro alcança o caminhão após percorrer
37,5 m.
a) Quantos metros o carro estava atrás do caminhão?
b) Quais as velocidades do carro e do caminhão quando um alcança o outro?
74 - (Fuvest-SP) Um trem freou quando sua velocidade escalar era de 9,0 km/h e parou em
4,0 s.
a) Qual a sua aceleração escalar (desaceleração), suposta constante?
b) Quanto ele andou até parar?
75 - Um trem é constituído de uma locomotiva e de um vagão, cada um com 12 m de compri-
mento. A locomotiva gasta 1 s para passar diante de um observador à beira da estrada e o va-
gão gasta 2 s. Admitindo que o movimento do trem seja uniformemente variado, determine a
intensidade da aceleração do trem.
Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua veloci-
dade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma fórmula que possibilite conhecer a ve-
locidade de um móvel sem saber o tempo.
54

55. A fórmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida
eliminando-se o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.
s = s0 + v0t + at2 1
2
v = v0 + at 2
Isolando-se o tempo t na segunda igualdade:
t = v – v0
a
Substituindo-se na primeira, vem:
2
a 2 ( )
s = s0 + v0 • v – v0 + 1 • a v – v0
a
s – s0 = v0v – v02 + 1a • v2 – 2vv0 + v02
a 2 a2
s – s0 = v0v – v02 + v2 – 2vv0 + v02
1 a 2a
Reduzindo-se ao mesmo denominador:
2a (s – s0) = 2v0v – 2v02 + v2 – 2vv0 + v02
2a (s – s0) = - v02 = v2
v2 = v02 + 2a (s – s0)
v2 = v02 + 2a∆s
Em que:
v = velocidade final
v0 = velocidade inicial
a = aceleração
∆s = variação do espaço
15 - Determine a aceleração que deve ter um móvel para que adquira a velocidade de
144 km/h ao percorrer 50 m, partindo do repouso.
Resolução
v = 144 km/h = 40 m/s
Dados: ∆s = 50 m
v0 = 0
Aplicando a fórmula de Torricelli, temos:
v2 = v02 + 2a∆s → 402 = 0 + 2 • a • 50 → a = 16 m/s2
Resposta: 16 m/s2
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56. 76 - Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de 10 m/s2. Um motociclista de-
seja percorrer uma distância de 500 m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velo-
cidade de 100 m/s. Determine que velocidade inicial deve ter o motociclista para atingir esse
objetivo.
77 - Determine a aceleração de um corpo que, partindo do repouso, se move em movimento
uniformemente acelerado por 2,4 s, percorrendo 28,8 m.
78 - (UFPE) Um carro viaja a 72 km/h e, de repente, o motorista pisa no freio. Sabendo que a
máxima desaceleração que o freio produz é 4,0 m/s2, calcule:
a) a distância mínima que o carro percorre até parar
b) o intervalo de tempo mínimo para o carro parar
79 - (UFPE) Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um
bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada uniformemente até parar. Qual o tempo
que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior
foi igual a 10 cm?
80 - (OMEC) Um carro, partindo do repouso, move-se com aceleração escalar constante e per-
corre, em 10 s, a distância de 100 m. Calcule a sua velocidade escalar ao final dos 10 s.
81 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea, em relação a um dado sistema de referência,
com movimento uniformemente variado.
Ao passar pelo ponto A, sua velocidade é de 2 m/s; no ponto B, sua velocidade é de 6 m/s.
Sabendo que a distância BC é o dobro de AB, calcule a velocidade do móvel ao atingir o ponto
C.
82 - (FEI-SP) Um veículo, de 5,0 m de comprimento, penetra em um túnel com velocidade es-
calar de 54 km/h, deslocando-se com movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o
veículo sai do túnel com velocidade escalar de 72 km/h. Qual o comprimento do túnel, suposto
retilíneo?
83 - (Unesp-SP) Um jovem afoito parte com seu carro, do repouso, numa avenida horizontal e
retilínea, com uma aceleração constante de 3 m/s2. Mas, 10 s depois da partida, ele percebe a
presença da fiscalização logo adiante. Nesse instante ele freia, parando junto ao posto onde se
encontram os guardas.
a) Se a velocidade máxima permitida nessa avenida é 80 km/h, ele deve ser multado? Justifi-
que.
b) Se a frenagem durou 5 s com aceleração constante, qual a distância total percorrida pelo
jovem, desde o ponto de partida ao posto de fiscalização?
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57. 84 - (UFAC) Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso,
com uma aceleração de 3 m/s2 e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distância entre os pontos A
e B?
12 - Um carro, partindo do repouso, move-se com aceleração constante e percorre, em 20 s, a
distância de 100 m. Calcule a sua aceleração e velocidade ao final dos 10 s.
13 - Um motorista está viajando com velocidade constante de 72 km/h quando percebe que o
semáforo fica vermelho. O tempo gasto até que o motorista freie, devido a seus reflexos nervo-
sos, é de 0,4 s, e o carro pára após 4 s.
a) Qual é a desaceleração da frenagem?
b) Se o início do cruzamento dista 60 m do ponto em que o motorista avista o semáforo ver-
melho, o automóvel conseguirá parar antes do semáforo?
14 - Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante
passa por ele outro ciclista, B, com velocidade constante de 5,0 m/s, e no mesmo sentido que o
ciclista A.
a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
15 - (UECE) Um automóvel desloca-se numa estrada reta com velocidade constante de
36 km/h. Devido a um vazamento, o carro perde óleo à razão de uma gota por segundo. O mo-
torista pisa no freio, introduzindo uma aceleração constante de retardamento, até parar. As
manchas de óleo deixadas na estrada, durante a freada, estão representadas na figura.
movimento uniforme carro sob a ação dos freios
Calcule o módulo da aceleração de retardamento do automóvel.
16 - (UEMA) Um trem viajando a uma velocidade escalar de 54 km/h pára em um intervalo de
tempo de 1 minuto após a aplicação dos freios. Considere o movimento do trem, durante a fre-
ada, uniformemente retardado.
Calcule, durante a freada:
a) a aceleração escalar do trem
b) a distância percorrida pelo trem
17 - (Cesgranrio-RJ) Um automóvel partindo do repouso leva 5,0 s para percorrer 25 m em
movimento uniformemente variado.
a) Qual a velocidade escalar média neste percurso?
b) Qual a velocidade escalar final?
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