¿Sueñan los crackers con ordenadores cuánticos?

¿Cómo funcionan los ordenadores?

Computación clásica

BIT Unidad de información

y f (x )

procesador 1011 0101 clásico

Computación cuántica

QBIT Unidad de información

0 1 0y1

Bit 0: 0 Bit 1: 1

2 2 a b 1

Superposición de estados

|0> z y x |1> Esfera de Bloch

Ninguna medida revela el estado original de un qubit desconocido

No pueden obtenerse a y b

y f (x )

1 Entrada: (0 1) 2

f a0 b 1  a f ( 0) b f (1)

La función f se evalúa para ambos valores a la vez

Salida: superposición de todas las posibles respuestas

0000 0100 0001 1111 0010 0010 0011 0011 0100 0001 0101 0101 0110 0110 0111 procesador 1101 1000 1000 1001 cuántico 0111 1010 1010 1011 1011 1100 1100 1101 1001 1110 0000 1111 1110

Paralelismo cuántico ¡2N cálculos a la vez!

La medida obtendrá un resultado aleatorio

¿Cómo obtener resultados útiles?

Problema búsqueda en la guía telefónica

¿Cuántas búsquedas para encontrar el nombre a partir del número?

N/2 búsquedas en promedio

¿Puede ayudar la mecánica cuántica?

grover

0 X 1 R 2 P 3 A

f ( x ) 1, si x correspond e a P f ( x ) 0, en caso contrario

f ( 2) 1

Superposición de todas las x posibles

00 , 01 , 10 , 11

1 1 (0 1) (0 1) 2 2

1 1 1 1 00 01 10 11 2 2 2 2

|00> |01> |10> |11> 1/2 1/2 1/2 1/2 Oráculo si f(x)=1, invierte la fase 1/2 1/2 1/2 1/4 -1/2 Inversión sobre l*=m-(l-m)=2m-l la media 1

100% probabilidad de encontrar la respuesta correcta

4 qubits

…|0010>… 1/4 7/32 1/4 -1/4 11/16 3/16

47,2% probabilidad de encontrar la respuesta correcta

11/16 3/16 17/128 3/16 -11/16 61/64 5/64

90,8% probabilidad de encontrar la respuesta correcta

¿Cuántas iteraciones para 100% de éxito?

1000 lineal 800 raiz 600 400 200 0 0 200 400 600 800 1000

Guía telefónica con 1 millón de nombres

11 días con algoritmos clásicos

1.000 segundos con algoritmo de Grover

¿Impacto en criptografía?

Búsqueda exhaustiva de claves

Amenaza a la criptografía simétrica

¿Solución?

Claves más largas

¿Qué pasa con la asimétrica?

¿Es seguro RSA?

¿En qué se basa su fortaleza?

Problema de la factorización

¿Factores de 15?

¿Factores de 391?

17 x 23

Último reto RSA 768 bits en 6 meses en 80 PCs 12 de diciembre de 2009

¿Cuánto se tarda en hacer operaciones matemáticas?

Sumar dos números de N bits

Tiempo lineal: O(N)

Multiplicar dos números de N bits

Tiempo cuadrático: O(N2)

Factorizar un número de N bits

Tiempo exponencial: O(eN)

1200 lineal 1000 pol exp 800 600 400 200 0 0 2 4 6 8 10

No se ha probado que RSA sea seguro

Problema difícil, pero ¿imposible?

¿Puede acelerarse cuánticamente?

Transformada de Fourier

1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, …

periodo = 4

71=7, 72=49, 73=343, 74=2401, 75=16807, 76=117649, 77=823453, …

mod 15

7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, …

Exponenciación modular

ax mod N

Si la periodicidad q es par se pueden calcular los factores de N

gcd(aq/2 + 1, N) gcd(aq/2 – 1, N)

Ejemplo a=7, N=15, q=4, ¿factores?

15 = 3 x 5

Los circuitos lógicos cuánticos son rápidos buscando periodicidades

Paso 1 Registro de 2c > N estados superpuestos

|00…000> + |00…001> + |00…010> +…+ |11…110> + |11…111>

Paso 2 Registro de c qubits a |0>

000000

Paso 3 Elegir un número a < N al azar y primo con N

1er registro |0>|0>+|1>|0>+|2>|0>+|3>|0>+|4>|0>+|5>|0>+|6>|0>+… 2º registro N=15 ax mod N a=7 |0>|1>+|1>|7>+|2>|4>+|3>|13>+|4>|1>+|5>|7>+|6>|4>+… Medida en 2º registro |1>|7>+|5>|7>+|9>|7>+|13>|7>+|17>|7>+… Transformada Fourier período = 4

Tiempo polinómico

Jaque mate a RSA

¿Solución?

Problema del logaritmo discreto

ab = c

¡Shor también lo resuelve en tiempo polinómico!

¿Curvas elípticas?

y2 = x3 + ax + b

Modificaciones de Shor rompen ECC y HECC

¿ha muerto la criptografía de clave pública? RSA HECC DH

Sistemas basados en factorización Sistemas basados en LD

Podemos esperar a ver si se construyen o no ordenadores cuánticos …

… o entrar ya en la era post-cuántica

Hashes Celosías Ecuaciones cuadráticas Codificación multivariadas

Necesitamos eficiencia, confianza y usabilidad

Estar preparados para la era post-cuántica… ¡si llega!

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http://www.slideshare.net	9
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¿Sueñan los crackers con ordenadores cuánticos?

by Gonzalo Alvarez on Apr 16, 2010

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