Criptografía Cuántica
Gonzalo Álvarez Marañón

¿Ordenadores cuánticos?

0
(cero, null, nada)

ORION
D-Wave, 2007

ENIAC
Universidad de Pensilvania, 1946

Transistor
Laboratorios Bell, 1947

¿Transistor cuántico?

La tecnología está por
descubrir

Algoritmos cuánticos de
criptografía

0
(cero, null, nada)

Distribución Cuántica de Claves

¿Qué claves?

Vernam
DES
IDEA
AES 3DES
Las claves de siempre

NEW
¿Dónde está la novedad?

Distribución segura de
claves

El problema más
importante en criptografía

2
tipos de criptografía

Criptografía simétrica
o
clave secreta

Una sola clave

Debe mantenerse en
secreto

DES
ejemplo paradigmático

¿Es seguro DES?

¿Por qué no?

Fuerza bruta

Longitud
128 a 256 bits

Son muy rápidos

Audio y vídeo
Discos duros
Base de datos
Comunicaciones de red
Cifran cantidades grandes

Clave
Claro Claro
Cifrado
Cifrar Descifrar

A B
¿Cómo distribuir la clave?

Criptografía asimétrica
o
clave pública

Diffie y Hellman (1976)

2
claves: pública y privada

Clave pública
la conoce todo el mundo

Clave privada
sólo la conoce una persona

Clave
púb
Clave
priv
Cifrar Descifrar
Claro Cifrado Claro

1024
bits de longitud mínima

Son muy lentos

Cifran cantidades pequeñas

Clave
púb
Clave
priv
Cifrar Descifrar
Ks EKpub(Ks) Ks
Claves secretas

Mensaje Firma Mensaje
Des
Hash KPub Hash
Cifrar
H
H2 H1
=
Cifrar KPriv
EKPriv(H)
Firma
Hashes

Certificados
digitales
PKI
Autoridades de
certificación
Elementos adicionales

RSA

Clave pública
n = p*q
e, primo con (p-1)*(q-1)

Clave privada
d, tal que d*e mod (p-1)(q-1) = 1

Cifrado
e
c= m mod n

Descifrado
d
m= c mod n
=
me

Ejemplo
p=5, q=11, n=55, e=13, d=37,
m=36, ¿c?

¿Es seguro RSA?

¿En qué se basa su
fortaleza?

Problema de la
factorización

¿Factores de 15?

3x5

¿Factores de 391?

17 x 23

Último reto RSA
640 bits en 5 meses en 80 PCs

¿Cuánto se tarda en hacer
operaciones matemáticas?

Sumar dos números de N
bits

Tiempo lineal: O(N)

Multiplicar dos números de
N bits

Tiempo cuadrático: O(N2)

Factorizar un número de N
bits

Tiempo exponencial: O(eN)

1200
lineal
1000
pol
exp
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10

No se ha probado que RSA
sea seguro

Problema difícil, pero
¿imposible?

Ordenadores cuánticos

¿Podrán resolver en
tiempo polinómico
problemas intratables?

¿Cómo funcionan los
ordenadores?

NOT
OR
XOR
AND
NAND
Puertas lógicas

entrada salida

Suma de dos bits

+ 0 1
0 00 01
1 01 10

Suma = x XOR y

Acarreo = x AND y

x suma
y
acarreo

¿Pueden usarse estados
cuánticos?

Bit 0:
Bit 0: 00
Bit 1: 11
Bit 1:

Pueden existir como una
superposición de estados

a0 b1

2 2
a b 1

|0>
z
y
x
|1>
Esfera de Bloch

Ninguna medida revela el
estado original de un qubit
desconocido

No pueden obtenerse a y b

1
(0 1)
Entradas:
2

Superposición de estados

Computación clásica

y f (x )

Computación cuántica

f
b 1  a f ( 0)
a0 b f (1)

La función f se evalúa para
ambos valores a la vez

0+0
0+1
1+0
1+1

Salida: superposición de
todas las posibles
respuestas

La medida obtendrá un
resultado aleatorio

¿Cómo obtener resultados
útiles?

Las puertas lógicas
anteriores no sirven con
estados cuánticos

AND, OR, XOR son
irreversibles

Pérdida de información

En mecánica cuántica no
es posible perder
información sin medir

Puertas cuánticas
reversibles

Mismo nº de entradas y
salidas

NOT

CNOT

Control 1  Cambia el blanco
Control 0  No cambia el
blanco

01 01

00 00
01 01
10 11
11 10

1
(0 1)
Control:
2

0
Blanco:

Entrada

1 1
(0 1)0 ( 00 10 )
2 2

1
00
2
Superposición de:
1
10
2

1
( 00 10 )
2
CNOT
1 1
00 11
2 2

1
( 00 11 )
2

Enredo cuántico

No pueden expresarse
como producto de dos
estados

Medir el estado de una
partícula determina el
estado de la otra

1
( 00 11 )
2

1
(0 1)
Control:
2

1
(0 1)
Blanco:
2

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

1
( 00 01 10 11 )
2
CNOT
1
( 00 01 11 10 )
2

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

No hay enredo

Resultado definido de la
medida

Importantes aplicaciones

Juego mental
CNOT rota

Control desconectado

00 00
01 01
10 10
11 11

Control loco

00 01
01 00
10 11
11 10

Una sola medida por puerta

¿Cómo encontrar la CNOT
buena?

Las combinaciones
clásicas no funcionan

1
( 00 01 10 11 )
2
CNOT
desconectada
1
( 00 01 10 11 )
2

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

1
( 00 01 10 11 )
2
CNOT loca
1
( 01 00 11 10 )
2

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

1
( 00 01 10 11 )
2
CNOT
1
( 00 01 11 10 )
2

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

Resultado definido:
+1 ó –1

Funciones constantes y
funciones equilibradas

f (0) 0; f (1) 1
f (0) 1; f (1) 0
f (0) 0; f (1) 0
f (0) 1; f (1) 1

¿Es posible averiguar si f
es constante o
equilibrada?

Se resuelve como la CNOT
loca

No se calculan todos los
valores f(x)

Se averigua si es constante
o equilibrada

Juego mental: moneda
trucada

?

ordenador
1011 0101
clásico

0000 0100
0001 1111
0010 0010
0011 0011
0100 0001
0101 0101
0110 0110
ordenador
0111 1101
1000 1000
cuántico
1001 0111
1010 1010
1011 1011
1100 1100
1101 1001
1110 0000
1111 1110

Problema
búsqueda en la guía
telefónica

N/2 búsquedas en
promedio

¿Puede ayudar la mecánica
cuántica?

Algoritmo de Grover

0 X
1 R
2 P
3 A

f ( x ) 1, si x correspond e a P
f ( x ) 0, en caso contrario

f ( 2) 1

Superposición de todas las
x posibles

00 , 01 , 10 , 11

1 1
(0 1) (0 1)
2 2

1 1 1 1
00 01 10 11
2 2 2 2

|00> |01> |10> |11>
1/2 1/2 1/2 1/2
si f(x)=1, invierte la fase
Oráculo
1/2 1/2 1/2
1/4
-1/2
Inversión sobre
l*=m-(l-m)=2m-l
la media
1

100%
probabilidad de encontrar
la respuesta correcta

4 qubits

…|0010>…
1/4
7/32
1/4
-1/4
11/16
3/16

47,2%
probabilidad de encontrar
la respuesta correcta

11/16
3/16
17/128
3/16
-11/16
61/64
5/64

90,8%
probabilidad de encontrar
la respuesta correcta

¿Cuántas iteraciones para
100%?

N
4

1000
lineal
raiz
800
600
400
200
0
0 200 400 600 800 1000

Guía telefónica con 1
millón de nombres

11
días con algoritmos
clásicos

1.000
segundos con algoritmo de
Grover

Impacto en criptografía

Búsqueda exhaustiva de
claves

Amenaza a la criptografía
simétrica

¿Qué pasa con la
asimétrica?

Problema de la
factorización

Tiempo exponencial

¿Puede acelerarse
cuánticamente?

Algoritmo de Shor

Transformada de Fourier

1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, …

periodo = 4

1=7,
7
72=49,
3=343,
7
74=2401,
5=16807,
7
6=117649,
7
77=823453,
…

mod 15

7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, …

Exponenciación modular

ax mod N

Si la periodicidad es par se
pueden calcular los
factores de N

q/2
gcd(a + 1, N)
– 1, N)
q/2
gcd(a

Ejemplo
a=7, N=15, q=4, ¿factores?

15 = 3 x 5

Los circuitos lógicos
cuánticos son rápidos
buscando periodicidades

QFT

Paso 1
c
Registro de > N estados
2
superpuestos

|00…000> + |00…001> + |00…010> +…+ |11…110> + |11…111>

Paso 2
Registro de c qubits a |0>

000000

Paso 3
Elegir un número a < N al azar y
primo con N

1er registro
|0>|0>+|1>|0>+|2>|0>+|3>|0>+|4>|0>+|5>|0>+|6>|0>+… 2º registro
N=15
ax mod N
a=7
|0>|1>+|1>|7>+|2>|4>+|3>|13>+|4>|1>+|5>|7>+|6>|4>+…
Medida en 2º registro
|1>|7>+|5>|7>+|9>|7>+|13>|7>+…
Transformada Fourier
período = 4

Tiempo polinómico

¿El fin de la criptografía
clásica?

Cifrado de Vernam

10011110100
00101100010
10110010110
Secreto perfecto

e m k

Matemáticamente 100%
seguro …

… si se utiliza una sola vez

e1 e2
( m1 k) ( m2 k)
( m1 m2 ) (k k)
m1 m2

… y si la clave es 100%
aleatoria

¿Cómo generar claves
aleatorias?

Teoría de la comunicación de
Shannon

Problema de la distribución

Distribución (y generación)
cuántica de claves

Polarización de la luz

Dirección de oscilación del
campo eléctrico

Haces de luz

vertical horizontal

+ =

 
vtotal v1 v2

Lámina de
retardo de fase

 
Uvvertical vhorizontal

divisor óptico

divisor óptico

Fotones individuales

?

La polarización siempre se
mide en relación a una
base

Sólo existen dos
resultados posibles:
+1 ó –1

fotón aH bV

2 2
a b 1

1
fotón (H V)
2

Al medir: o H o V

Parejas de fotones

H 1V 2

V 1H 2

(a H b V 1) H
1 2

¿Qué pasa al medir el
primer fotón?

Supongamos se obtiene H

H 1H 2

El 2º fotón no se ve
afectado

H 1V 2
Combinamos
V 1H 2

1
( H 1V V H 2)
2 1
2

¿Por qué?

No puede escribirse como
el producto de dos estados

Enredo cuántico

Aplicación a la cinta
aleatoria

Alicia Benito
0
1 0
1

¿Es seguro?

Eva
de a
0
Alicia Benito
0
1 1

Requisito 1
Eva no puede obtener la clave

Requisito 2
Si lo hace, será detectada

Aleatoriedad
Giremos el divisor 45º

1
H ( 45 45 )
2

1
P (H )
2

0 0
1 1

¿Acordar las bases de
antemano?

Elección de bases aleatoria
e independiente

Revelarlas a posteriori a
través de un canal público

La mitad del tiempo, las
bases coinciden

La clave está cribada (l/2)

¿Más seguro que antes?

Alicia Eva Benito
1 0

Alicia Eva Benito
1 0

Eva no obtiene
inmediatamente
información sobre los bits

Tras el acuerdo de bases,
Eva obtiene el 50% de los
bits

Benito obtiene el 25% de
los bits

¿Cómo detectar a Eva?

Verificar una parte de la
clave a través de un canal
público

Si coincide, nadie ha
escuchado

Si no coinciden, hubo un
espía

BB84

Bennett y Brassard (1984)

0110100110001011

0110100110001011
0 0
1 1

0110100110001011
001 10 11100 00

0110100110001011
001 10 11100 00

0110100110001011
001 10 11100 00

0110100110001011
001 10 11100 00

0110100110001011
001 10 11100 00

0 10 11 00 0
0 10 11 00 0

0 10 11 00 0
0 10 11 00 0

0 10 11 00 0

01011000

¿Y si Eva clona los
fotones?

Obtendrá el 50% de la clave

La mecánica cuántica
prohíbe la clonación

¿Y si Eva intercepta 1 de
cada 10?

Eva obtiene el 5% de los
bits

Benito obtiene un 2,5% de
error

Corrección de errores

El XOR de bits prefijados

No revela información a
Eva

Amplificación de la
privacidad

Menor clave para Eva

Alicia y Benito
0011010010
00101

Alicia y Benito
0011010010
00101
Eva
0110010011
11100

Problema de autenticación

¿Cómo sabe Alicia que
está hablando con Benito?

Semilla inicial aleatoria

¿Dónde estamos?

Sistemas comerciales

A B
Distancias

Fibra óptica

70, 100, 122 Km

Espacio

140 Km

Velocidad

A1 Kbps se
tardaría más
de 1 año en
enviar 1 DVD

Previsiones

Sistemas comerciales a
gran escala en 10 años

La computación cuántica
mucho más lejos

Quantum Bits and
Quantum Secrets
How Quantum Physics is
revolutionizing Codes and
Computers
—Oliver Morsch

Lo que la mecánica
cuántica amenaza…

… la mecánica cuántica
protege

GonzaloAlvarez.com
CC BY:
ElArteDePresentar.info