Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos

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Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos

  1. 1. PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA ENSINO DE MATEMÁTICA COMMATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS DOCENTE: JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO Fortaleza-Ceará 2008
  2. 2. ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR FACULDADE ATENEU COORDENADOR GERAL: PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE COORDENADORAS PEDAGÓGICAS: PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO DISCIPLINA: ENSINO DE MATEMÁTICA COMMATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS DOCENTE: JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO Fortaleza-Ceará 2008
  3. 3. Sumário A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7 B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7 C. Carga horária...................................................................................................... 71. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAISDIDÁTICOS MANIPULÁVEIS ................................................................................... 8 1.1. Introdução .......................................................................................................... 8 1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ............................................... 9 1.2.1. Algumas concepções de LEM ........................................................................ 9 1.2.2. A construção do LEM .................................................................................. 10 1.2.3. Objeções ao uso do LEM ............................................................................. 12 1.3. Material didático (MD) .................................................................................... 16 1.3.1. MD manipulável ........................................................................................... 16 1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18 1.3.3. O professor e o uso do MD .......................................................................... 19 1.3.4. Potencialidades do MD ................................................................................ 21 1.3.5. Obstáculos ao uso do MD ............................................................................ 25 1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM ....................................................... 25 1.5. Referências bibliográficas do texto.................................................................. 262. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NOENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................................................... 27 Referências bibliográficas do texto ............................................................................ 363. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37 3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38 3.2. Lista de materiais ............................................................................................. 39 3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regular ............................................ 40 3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular ............................................ 41 3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular ........................................... 42 3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais ............................... 424. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO .......................... 44 4.1. Introdução ........................................................................................................ 44 4.2. Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45 4.3. Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49 Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 5
  4. 4. 4.4. Sobre a definição do jogo ................................................................................ 51 4.5. Origem do jogo ................................................................................................ 55 4.6. Características do jogo ..................................................................................... 57 4.7. Conclusões ....................................................................................................... 585. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NAAPRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60 5.1. Introdução ........................................................................................................ 60 5.2. Motivação ........................................................................................................ 60 5.3. O Jogo Didático ............................................................................................... 616. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64 6.1. Introdução ........................................................................................................ 64 6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? ................................................ 65 6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? ....................................... 67 6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? ................................................... 68 6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? .............................................. 69 6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? ..................................... 70 6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? ...................................................... 71 6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72 Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 6
  5. 5. A. Objetivo do móduloO módulo se insere em uma perspectiva teórica que propõe discutir a metodologia doensino da matemática, diante das novas necessidades de mudanças no paradigma deensinar e aprender, no contexto social e tecnológico.Também, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de refle-xão e ação dos professores sobre as próprias vivências de sala de aula. B. Ementa do módulo 1. O papel do professor de Matemática na formação do pensamento científico. 2. A influência da concepção desse papel na prática pedagógica. 3. Análise de temas do ensino da matemática, como: dificuldades básicas, materiais didáticos convencionais, materiais didáticos alternativos, etc. 4. Aplicar materiais didáticos manipuláveis e alternativos através da utilização de experimentos em aulas teóricas e práticas. 5. Despertar o interesse pela matemática experimental como método de ensino. 6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do conteúdo ma- temático e ampliar o repertório de estratégias do professor. C. Carga horária12 horas-aula Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 7
  6. 6. 1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS1 2 Sérgio Lorenzato 1.1. Introdução Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram aimportância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem.Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-sedo concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e quesó se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensívelpara alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou aexperiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, porvolta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; namesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial.Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando aimportância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, ePoincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Maisrecentemente, Montessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos eatividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmentedo tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletidasobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que asexperiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seuraciocínio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduosobre o objeto é básica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a açãopedagógica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didáticopode desempenhar na aprendizagem. Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justiça, nomes comoo de Claparède (defensor da inclusão de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet(que recomendava o uso de cantinhos temáticos na sala de aula), que valorizavam aativida-de como fator básico para a aprendizagem. Essa lista de nomes de expoentes da educação que reconheceram a eficácia domaterial didático na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensinoda matemática, se lembrarmos das contribuições de Willy Servais, Caleb Gattegno,Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-LouisNicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, JúlioCésar de Mello e Souza3 - isto é, Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros,muito contribuíram para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas1 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 3.2 É licenciado em matemática pela UNESP (Rio Claro), mestre em educação pela UnB (Brasília), doutorem educação pela UNICAMP (Campinas) e pós-doutor em educação matemática pela Université Laval(Canadá). Docente da Faculdade de Educação da UNICAMP.3 J ú l i o César de Mello e Souza (1957), Técnicas e procedimentos didáticos no ensino da matemática,Rio de Janeiro, Aurora.4 Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didático no ensino da matemática, Rio de Janeiro,Diretoria do Ensino Secundário/ Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário/MEC. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 8
  7. 7. de matemática. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemático quepercebeu a influência do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciouisso quando escreveu a Eratóstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: “é meudever comunicar-te particularidades de certo método que poderás utilizar para descobrir,mediante a mecânica, determinadas verdades matemáticas [...] as quais eu pudedemonstrar, depois, pela Geometria” (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedesrevelou o modo pelo qual fazia descobertas matemáticas e confirmou a importância dasimagens e dos objetos no processo de construção de novos saberes. Nessa mesma linhade pensamento está um antigo provérbio chinês, que diz: “se ouço, esqueço; se vejo,lembro; se faço, compreendo”, o que é confirmado plenamente pela experiência detodos, especialmente daqueles que estão em sala de aula. Enfim, não faltam argumentosfavoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas,como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapávelnecessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiaisdidáticos de diferentes tipos. 1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Nossa sociedade pressupõe e, até mesmo, exige que muitos profissionais tenhamseus locais apropriados para desempenharem o trabalho. É assim para o dentista,cozinheiro, médico-cirurgião, veterinário, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitosoutros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodoprofissional depende também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis. Em muitasprofissões, a prática difere pouco do planejamento; não é o caso do magistério, devido àcriatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensável à escola. Assimcomo nossas casas se compõem de partes essenciais, cada uma com uma funçãoespecífica, nossas escolas também devem ter seus componentes, e um deles deve ser oLaboratório de Ensino de Matemática (LEM). No entanto, alguém poderia lembrar-se de que foi, e ainda é possível, ensinarassuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professordispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de nós aprendemos (e ensinamos?) afazer contas desse modo. Porém, para aqueles que possuem uma visão atualizada deeducação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológicaporque, mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidadesespeciais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades. 1.2.1. Algumas concepções de LEM Mas o que é um LEM? Existem diferentes concepções de LEM. Inicialmente elepoderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessíveis para asaulas; neste caso, é um depósito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiaismanipuláveis, transparências, filmes, entre outros, inclusive matérias-primas einstrumentos para confeccionar materiais didáticos. Ampliando essa concepção deLEM, ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regularesde matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores dematemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas,avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local paracriação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção demateriais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica.Facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 9
  8. 8. matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que umdepósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemática, o LEM é o lugarda escola onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais com-preensível aos alunos. O LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situaçõespedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas peloprofessor em seu planejamento mas imprevistas na prática, devido aos questionamentosdos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentesmateriais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente paraestruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço parafacilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar,experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender. Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem serum laboratório onde se dão as aprendizagens da matemática. Essa é uma utopia queenfraquece a concepção possível e realizável do LEM, porque ela pode induzirprofessores a não tentarem construir o LEM num certo local da escola em que traba-lham, seja este numa sala, num canto ou num armário. O LEM, mesmo em condições desfavoráveis, pode tornar o trabalho altamentegratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o aluno,se o professor possuir conhecimento, crença e engenhosidade. Conhecimento porque,tendo em vista que ninguém ensina o que não sabe, é preciso conhecer matemática mastambém metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formaçãomatemática e pedagógica; crença porque, como tudo na vida, é preciso acreditar naquiloque se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequen-temente, é exigida do professor uma boa dose de criatividade, não só para conceber,planejar, montar e implementar o seu LEM, como também para orientar seus alunos etransformá-los em estudantes e, de preferência, em aprendizes também. Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Platão, convém que surjamquestionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim sãodenominados? Quem foi Platão? Quais foram suas contribuições para a matemática?Por que os poliedros de Platão são somente cinco, isto é, quais são suas características?Quais são os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros estão presentes? Uma lista de indagações, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que oprofessor e os alunos se ponham à procura das respostas ao longo dos dias seguintespara, então, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmoa encontrar respostas, é mais importante para a formação do indivíduo do que asrespostas às indagações. Note, também, que, mesmo dispondo de um LEM, o professorpode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definiçãode cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... eprovavelmente dois professores com concepções bem diferentes de educação e de LEM. 1.2.2. A construção do LEM É difícil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mantê-lo.Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupai, de uma conquista deprofessores, administradores e de alunos. Essa participação de diferentes segmentos daescola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituição, por meio das possíveis e Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 10
  9. 9. indispensáveis contribuições dos professores de história, geografia, educação artística,educação física, português, ciências, entre outros. A contribuição dos alunos para a construção da LEM é muito Importante para oprocesso educacional deles, pois é fazendo que se aprende. Orientados pelo professorresponsável pelo LEM, os alunos, distribuídos em grupos, podem solicitar, dosprofessores das áreas mencionadas, exemplos de interseção dessas áreas com a ma-temática. Certamente, a coleta será quantitativamente maior do que esperavam,principalmente se contarem com o apoio bibliográfico ou computacional; em seguida,será necessário preparar o material para apresentação do que foi coletado. Assim, oLEM irá constituindo-se de acordo com as condições locais e até mesmo tornará pos-sível uma exposição escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudoaconteça, é preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, quereconheçam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem naconstrução dele e que considerem as possibilidades da escola. A respeito da construção do LEM, é também fundamental considerar a quem elese destina; se o LEM se destina para crianças de educação infantil, os materiais devemestar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aosprocessos mentais básicos - correspondência, comparação, classificação, se-qiienciação,seriação, inclusão e conservação -, os quais são essenciais para a formação do conceitode número; além desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que poderão favorecer apercepção espacial (formas, tamanhos, posições, por exemplo) e a noção de distância,para a construção do conceito de medida. Se o LEM se destina às quatro primeiras séries do ensino fundamental, o apeloao tátil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar maisdiretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção danecessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim,aos objetivos matemáticos. Essa característica deve continuar presente no LEM para as séries seguintes doensino fundamental, mas agora também devem compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocínio lógico-dedutivo(paradoxos, ilusões de ótica) nos campos aritmético, geométrico, algébrico,trigonométrico, estatístico. Ao LEM do ensino médio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas,problemas de aplicação da matemática, questões de vestibulares, desafios ao raciocíniotopológico ou combinatório, entre outros. E também várias questões ou situações-problema referentes a temas já abordados no ensino fundamental, mas que agorademandam uma análise e interpretação mais aprofundadas por parte dos alunos. E o que dizer do LEM para os cursos de formação de professores? Que ele é,simplesmente, mais que necessário para as instituições de ensino que oferecem taiscursos. É inconcebível que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem anecessidade da autoconstrução do saber, a importância dos métodos ativos de apren-dizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito às diferençasindividuais, mas, na prática de ensino e no estágio supervisionado, os seus alunos nãodisponham de instrumentos para a realização da prática pedagógica. Se lembrarmos quemais importante do que ter acesso aos materiais é saber utilizá-los corretamente, entãonão há argumento que justifique a ausência do LEM nas instituições responsáveis pela Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 11
  10. 10. formação de professores, pois é nelas que os professores devem aprender a utilizar osmateriais de ensino; é inconcebível um bom curso de formação de professores de mate-mática sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessário, presente noestudo didatico-metodológico de cada assunto do programa de metodologia ou didáticado ensino da matemática, pois conteúdo e seu ensino devem ser planejados e ensinadosde modo simultâneo e integrado. Existem diversos tipos de LEM, em razão dos seus diferentes objetivos econcepções. Apesar dessa diversificação, a lista seguinte de sugestões de materiaisdidáticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituição de muitosLEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido. De modo geral, o LEM pode constituir-se de coleções de:• Livros didáticos;• Livros paradidáticos;• Livros sobre temas matemáticos;• Artigos de jornais e revistas;• Problemas interessantes;• Questões de vestibulares;• Registros de episódios da história da matemática;• Ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos;• Jogos;• Quebra-cabeças;• Figuras;• Sólidos;• Modelos estáticos ou dinâmicos;• Quadros murais ou pôsteres;• Materiais didáticos industrializados;• Materiais didáticos produzidos pelos alunos e professores;• Instrumentos de medida;• Transparências, fitas, filmes, softwares;• Calculadoras;• Computadores;• Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos. A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; umavez construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige queo professor se mantenha atualizado. 1.2.3. Objeções ao uso do LEM Na prática escolar, é facilmente constatável que muitos professores nãoconhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal. Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodológica, ele possuilimitações didáticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamosalgumas questões referentes a esses assuntos: 1. O LEM é caro, exige materiais que a escola não dá ao professor e raríssimas escolas possuem um LEM.Lecionar numa escola que não possui LEM é uma ótima oportunidade para construí-locom a participação dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo é diminuto etodos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessa Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 12
  11. 11. forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos não sãoutilizados por desconhecimento de suas aplicações. Afinal, mais importante do quereceber pronto ou comprar o LEM é o processo de construção dele. 2. O LEM exige do professor uma boa formação.É nossa obrigação estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemáticaàqueles que nos são confiados. Além disso, qual é o método de ensino que não exige doprofessor uma boa formação matemática e didático-pedagógica? Na verdade, comprofessor despreparado, nenhum método produz aprendizagem significativa. 3. O LEM possibilita o “uso pelo uso”.Sim, como todo instrumento ou meio. Daí a importância dos saberes do professor,indispensáveis para a utilização tia quadra e dos equipamentos de esportes, dabiblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o “uso pelo uso” delecomo também o seu mau uso. Tudo dependerá do professor. Aqui cabe uma analogia:dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor és. 4. O LEM não pode ser aplicado a todos os assuntos do programa.Realmente o LEM não é uma panaceia para o ensino, não é um caminho para todos osmomentos da prática pedagógica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversifi-cação de meios e uma excelente prontidão ao uso deles como nenhuma outra alternativaoferece. 5. O LEM não pode ser usado em classes numerosas.Em educação, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Porisso, em turmas de até trinta alunos, é possível distribuí-los em subgrupos, todos estu-dando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idênticos, e com o professor dandoatendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o “fazer” é substituídopelo “ver”, e o material individual manipulável é, inevitavelmente, substituído pelomaterial de observação coleti-va, pois a manipulação é realizada pelo professor, caben-do aos alunos apenas a observação. 6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar.Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, é precisoconsiderar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dosalunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por quê? Apesar de asrespostas a essas questões de penderem do perfil profissional do professor, dos interes-ses dos alunos e dos objetivos da escola, é provável que o uso do LEM desperte nosalunos indagações não previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos,o ensino demandará mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o usodo LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo. 7. É mais difícil lecionar utilizando o LEM.Essa frase insinua uma limitação do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento demovimentação e de motivação dos alunos e de troca de informações entre eles, causadaspelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente daexigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos,influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difíceis ou fora do planejamento daaula, então, realmente, usar o LEM pode ser mais difícil para parte dos professores. Emambos os casos, não se trata de limitação própria ao LEM, mas sim de situações em queos alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem à explanação do Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 13
  12. 12. professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudança decomportamento. 8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades matemáticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulável ou gráfico.Dependendo do nível de desenvolvimento dos alunos, é altamente desejável que essaafirmação seja verdadeira, pois, até o aparecimento do raciocínio lógico-dedutivo porvolta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisição do conhecimento apóia-se fortemente noverbal (audição), no gráfico (visão) e na manipulação (tato). Confiando plenamentenaquilo que vêem, pois praticam o “é verdade porque vi”, “vale porque tem a mesmamedida”, “se vale para dois ou ires casos então valerá para todos”, confundemconstatação de natureza perceptual com demonstração, e não sentem a necessidade deprovas lógico-dedutivas porque tomam a percepção visual como prova. Quando osjovens adquirem o poder de dedução lógica, é importante mostrar-lhes sofismas,falácias e paradoxos matemáticos com o objetivo de eles perceberem que conclusõesbaseadas apenas na intuição ou naquilo que se vê podem contrapor-se ao que oraciocínio lógico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocínio dedutivo seráfundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, deagora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente éverdadeiro. Mas onde encontrar uma coleção de sofismas, falácias e paradoxos? No LEM.Seguem-se alguns exemplos: a) Se 2 - 2 = 3 - 3, então 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo? b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois trapézios e dois triângulos, conforme mostra a figura 1, cuja área é 64cm2. Agora, com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retângulo, conforme mostra a figura 2, cuja área é 65cm2. Assim, você acabou de descobrir que 64 = 65. c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferência de raio igual a 1 é n ou 2? Sa- bendo que o comprimento da circunferência é dado por C = 2nr, temos que o comprimento da semicircunferência da figura é 7ir e, se o raio vale 1, então o comprimento pedido mede 7r. Simples, não é? No entanto, observemos as figuras 4 e 5, em cuja construção cada curva gera duas outras menores e o diâmetro de cada curva maior é igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este processo (figura 6), a curva limite se constituirá de círculos infinitamente peque- Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 14
  13. 13. nos, quando então ela se confundirá com o segmeto AE, cuja medida é 2, porque vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2? d) Observe a figura 7, em que estão representadas duas rodas A e B, de tamanhos diferentes e firmemente unidas entre si; elas rolam ao mesmo tempo sobre dois trilhos C e D co- locados em níveis diferentes. As rodas partem da posição 1 e rolam até a posi- ção 2, conforme mostra a figura 8, sem deslizarem, percorrendo uma distância igual ao comprimento da roda maior. Nessas condições, quando a roda maior completar uma volta a menor também completará uma volta porque uma está fixa na outra, percorrendo, assim, a mesma distância que vai do ponto 1 ao 2. Mas como explicar que as medidas das circunferências são iguais se as rodas são de diferentes tamanhos? e) Veja a figura 9. As retas r e 5 são paralelas? Elas se parecem paralelas? Se, por um lado, é importante o professorpropor situações que realcem o perigo de se acreditar emconclusões baseadas apenas no que foi percebido pelossentidos, por outro lado, não menos desastroso seráconduzir os alunos à total descrença em tudo que a observação e a intuição nos revelam Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 15
  14. 14. ou sugerem. Estas são um bom começo para investigar e para aprender. 1.3. Material didático (MD) Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, umquebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenasum dos inúmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podemdesempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, oprofessor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar umassunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, parafacilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão aescolha do MD mais conveniente à aula. Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar deensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, oMD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e nãosubstitui o professor. Devido à impossibilidade de abordar a utilização didática dos distintos tipos deMD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulávelconcreto. 1.3.1. MD manipulável Existem vários tipos de MD. Alguns não possibilitam modificações em suasformas; é o caso dos sólidos geométricos construídos em madeira ou cartolina, porexemplo, que, por serem estáticos, permitem só a observação. Outros já permitem umamaior participação do aluno: é o caso do ábaco, do material montessoriano (cuisenaireou dourado), dos jogos de tabuleiro. Existem, ainda, aqueles dinâmicos, que, permitindo transformações por continui-dade, facilitam ao aluno a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e aconstrução de uma efetiva aprendizagem. É o caso da estrela (ver figura 10) construídacom 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaços de garrote simplesnos pontos ímpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de váriasmaneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotação, reflexão, triângulo, Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 16
  15. 15. hexágono, tetraedro, hexaedro, isomeria ótica, entre outros assuntos. Seguem algumasdas formas possíveis: a) Ponha os vértices ímpares no centro da estrela (figura 11) b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12) c) Superponha 1 ao 7 (figura 13) d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14) Utilizando-se de questões tais como as seguintes, será possível estimular osalunos para operações além das simplesmente manipulativas:• Que figura plana pode ser construída colocando-se o 4 junto ao 10?• Quantas diferentes figuras planas podem ser construídas?• Qual delas tem o maior perímetro? E a maior área?• Qual é a relação entre a área da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a?• É possível formar um tetraedro (espacial)?• Qual é a área total do hexaedro?• Qual é a diferença entre a representação de uma figura e a sua imagem mental? Convém termos sempre em mente quea realização em si de atividades manipulativasou visuais não garante a aprendizagem. Paraque esta efetivamente aconteça, faz-senecessária também a atividade mental, porparte do aluno. E o MD pode ser um excelen-te catalisador para o aluno construir seu sabermatemático. Neste tipo de saber, os lados nãopossuem largura nem espessura, só compri-mento. Largura e espessura são necessárias àrepresentação, seja por imagem, seja pormaterial concreto. Um outro exemplo de MD é aquele que se refere ao Teorema de Pitágoras: elecompõe-se de um triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os respectivoslados do triângulo. Este material estático pode transformar-se em dinâmico,interessante, desafiador e inspirador, se for construído em acrílico: são duas placasidênticas (no formato do estático), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possamreter algum material moldável, como óleo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B ede C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posição 1 (figura15) para a posição 2 (figura 16), o líquido (ou areia) interno se transferirá dos dois Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 17
  16. 16. quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existência de uma equivalênciaentre os quadrados. Qual será o tipo de MD que os alunos irão preferir: o estático ou odinâmico? 1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem A utilização do MD está sempre intimamente relacionada com um processo deensino que possui uma característica aparentemente paradoxal. Vejamos por quê. É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humanocaracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ouutilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quandoouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, semprecisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento,forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorrepela separação mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332).Esse processo começa com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele é aparentementeparadoxal porque, pan se chegar no abstrato, é preciso partir do concreto. O abstrato,segundo Kopnin (1978, p. 54), é o “isolamento de alguma propriedade sensorialmenteacessível do objeto”. Faz-se necessário partir do concreto. O concreto pode ter duasinterpretações: uma delas refere-se ao palpável, manipulável, e outra, mais ampla, incluitambém as imagens gráficas; ainda sobre o concreto, às vezes, o real tem sidoconfundido com o concreto. Essa trajetória é semelhante à que se deve fazer paraconseguir o rigor matemático: para consegui-lo, com seus vocábulos, expressões,símbolos e raciocínios, é preciso começar pelo conhecimento dos alunos, que é umponto distante e oposto ao rigor matemático, porque é empírico e baseado no concreto. O avião retrata bem essa característica aparentemente contraditória do processoeducacional: ele é feito para voar, mas, para voar, precisa partir do chão. Talcaracterística poderia ser considerada de somenos importância se não conduzisse algunsprofissionais à falsa conclusão de que o uso do MD retarda o desenvolvimentointelectual do aluno. Não seria a ausência do MD a causa de possíveis retardamentos? Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 18
  17. 17. Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficiência do ensino com MD foi realizada emBrasília, com cerca de 180 crianças cursando a 5” série, com idades variando entre 11 e12 anos e com semelhantes condições de conhecimento matemático, conforme resultadode pré-teste. Essas crianças pertenciam a distintas escolas e a diferentes níveissocioeconômicos, e 70% delas consideravam a matemática uma disciplina difícil paraaprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numautilizando MD, na outra, não. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado comMD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questões fáceis como de mé-dias e de difíceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD. 1.3.3. O professor e o uso do MD A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Paraque os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor disponha de umLEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizarcorretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o re-vólver, a enxada, a bola, o automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino,exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza. Assim, o professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se:será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algummaterial didático? Com qual? Em outras palavras, o professor está respondendo asquestões: “Por que material didático?”, “Qual é o material?” e “Quando utilizá-lo?”. Emseguida, é preciso perguntar-se: “Como este material deverá ser utilizado?”. Esta últimaquestão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer umaaprendizagem significativa. Tomemos, por exemplo, a representação de um triângulo qualquer, feita emcartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo ostrês “vértices”, que a “soma dos três ângulos dá 180 graus”. Note que essa atitude doprofessor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, é um meroreforço à memorização do enunciado matemático que pode ser encontrado nos livrosdidáticos. No entanto, as consequências do uso do material podem ser mais abrangentese positivas, se cada aluno desenhar um triângulo qualquer (equilátero, isósceles,escaleno ou retângulo, grande ou pequeno, e em diferentes posições), recortar e dobrarsua figura e mostrar aos colegas suas observações, descobertas ou conclusões. Algumasdestas podem ser:• Quando juntados os três ângulos, dá meio círculo;• Dá sempre 180 graus, em qualquer tipo de triângulo;• Mas tem que dobrar os lados ao meio, se não, não junta os três ângulos;• O ponto onde se juntam os três ângulos depende das medidas dos ângulos;• O ponto onde se juntam os três ângulos varia de triângulo para triângulo;• O ponto onde se juntam os três ângulos é o pé da altura do triângulo;• Todo triângulo pode ser transformado em dois retângulos;• A área do triângulo é o dobro da área de cada retângulo;• O perímetro do triângulo é maior do que o de cada retângulo.5 Sérgio Lorenzato (1976), Subsídios metodológicos para o ensino da matemática:cáculo de áreas dasfiguras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 19
  18. 18. A diferença entre as duas maneiras distintas de utilização de MD aquiapresentadas ressalta que a eficiência do MD depende mais do professor do que dopróprio MD, e ainda mostra a importância que a utilização correta do MD tem nodesenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno. O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepção do professor arespeito da matemática e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemáticacomo um conjunto de proposições dedutíveis, auxiliadas por definições, cujosresultados são regras ou fórmulas que servem para resolver exercícios em exames,avaliações, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro,mostrar ou provar aos alunos que a soma dos três ângulos dá ISO graus e, em seguida,dar alguns exercícios para auxiliar a memorização dessa propriedade. Para muitos denós, a matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza eharmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocadoa nosso serviço. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdadesmatemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, amelhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazerconstatações, a satisfa-çlo do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser umbicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar. Com referência à manipulação propriamente dita do MD pelos alunos, convémlembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza oudificuldade e propiciar noções superficiais, ideias incompletas e percepções vagas ouerróneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tem-po para que realizem uma livre exploração. Todas as pessoas passam por essa primeiraetapa em que, através da observação, conhecem o superficial do MD, tal como suaspartes e cores, tipos de peças e possibilidade de dobra ou decomposição. São essesbanais conhecimentos que possibilitarão, com ou sem o auxílio do professor, a procura ea descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pelafigura 17, feito em papelão, onde os pontos A a B são fixos e Pé móvel; os três pontosA, B, P são unidos por um fio; para representar vários triângulos, o P deve deslocar-sepelo corte no papelão, entre C e D. Os triângulos são diferentes quanto às formas, mastodos têm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se ABfor paralelo a CD? O que se pode dizer das áreas desses diferentes triângulos? E de seusperímetros? Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 20
  19. 19. Diante desse MD, é provável que os alunos se deparem inicialmente observandoe testando o possível movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD.Feito isso, as questões anteriores se tornarão fáceis aos alunos, se souberem os conceitosde perímetro e de área. Aqui, é importante que seja realizada entre os alunos averbalização dos pensamentos, isto é, a comunicação das ideias, raciocínios, ações econclusões deles. Será nesse momento que o professor poderá avaliar como e o que osalunos aprenderam; além disso, a socialização das estratégias, processos, erros e conclu-sões, entre os alunos, não é menos importante para a formação deles. Após averbalização, é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conformesuas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas eabstraías, por eles realizadas. 1.3.4. Potencialidades do MD Todo MD tem um poder de influência variável sobre os alunos, porque essepoder depende do estado de cada aluno e, também, elo modo como o MD é empregadopelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, há uma diferença pedagógicaentre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com umMD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas osresultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque,de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez quepoderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar osresultados obtidos durante suas atividades. Existem também diferenças de potencialidadeentre o MD manipulável e sua representação gráfica,porque, apesar de todas as contribuições da perspectiva,ela não retrata as reais dimensões e posições dos lados efaces dos objetos, uma vez que ela camufla operpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostraa figura 18. Talvez a melhor das potencialidades do MD sejarevelada no momento de construção do MD pelospróprios alunos, pois é durante esta que surgemimprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrircaminhos e soluções. Vejamos, então, algumas potencialidades mais específicas dos MD. Raios X Analise o seguinte diálogo, frequente em nossas salas de aula, até mesmo emcursos de aperfeiçoamento para experientes professores de ensino fundamental. Aos alunos é dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo comprimento, representando um losango, flexível nos pontos 1, 2, 3 e 4. Professor - Procurem transformar esta figura em outras e digam o que observaram. Alunos - “Um segmento”; “um triângulo”; “outros losangos”; “quando o ângulo 1 aumenta, o ângulo 2 diminui”; “os ângulos opostos são iguais”, “outros paralelogramos”, “um quadrado”. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 21
  20. 20. Professor - A sequência de movimentos que transformou losango em quadrado destruiu alguma característica (propriedade) dos losangos? Alunos - Não, os lados continuaram iguais. Professor - Então, o quadrado é losango? Alunos - Não, losango é losango, quadrado é quadrado. Note que:a) Esta última resposta indica que esses alunos estão no primeiro nível da proposta deVan Hiele6.b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatarconceitos que precisam ser revistos ou ampliados.c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raiosX é para o médico ou dentista. Complicador Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, às vezes, elepode ser um complicador. Em outras palavras, é muito mais fácil dar aula sem MD, mastambém é mais difícil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir umdeterminado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realização de observações,constatações, descobertas e até mesmo o levantamen-to de hipóteses e a elaboração etestagem de estratégias que, às vezes, não estavam previstas no planejamento nem eramdo conhecimento do professor. No entanto, é preciso reconhecer que essa dificuldadevem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Umexemplo disso (figura 20) é o que pode acontecer quando se dá ao aluno um triângulo(dobrável pelos pontos médios dos lados), esperando que ele redescubra que “a somados três ângulos é 180 graus” (figura 21), como foi sugerido em 3.3: Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformação anterior,frequentemente dizem que “o triângulo se transformou em dois retângulos”, o que éuma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que não consta nos livrosdidáticos; ou, então, os alunos dizem que “no triângulo sempre cabem seis triângulos”,referindo-se à propriedade “todo triângulo pode ser decomposto em seis triângulosmenores congruentes dois a dois”. Outra observação dos alunos que pode surpreenderalguns professores é a de que a área do retângulo (figura 21) é a metade da área dotriângulo inicial (figura 20). Tal constatação é válida, mas, também, é contraditória para6 Van Hiele propõe que o desenvolvimento do pensamento geométrico pode se dar em cinco níveis. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 22
  21. 21. quem se lembrar das fórmulas para cálculo da área de retângulo e de triângulo. Como seexplica essa contradição? Só para crianças A experiência tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer queseja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD só deve serutilizado com crianças. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstraçãoé essencial para a aprendizagem da matemática, quanto mais o MD concreto forutilizado, mais retardado será o processo de abstração, de matematização do aluno. Aqueles que assim pensam provavelmente ainda não fizeram a seguinteexperiência: escolha pessoas adultas que não estudaram geometria espacial e diga a elasque “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides”. Se elas nãocompreenderem a mensagem, e certamente não a compreenderão, apresente o desenhoda figura em questão; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas nãocompreenderá o que está sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado ummodelo tridimensional para manusear, imediatamente indicarão ter compreendido osignificado da frase. Então, por que utilizar MD só com crianças? Na verdade, o importante é verificar se o assunto é novidade para os alunos, enão a idade deles. Regulador O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vezque ele possibilita ao aluno aprender em seu próprio ritmo e não no pretendido peloprofessor. Por isso, o emprego de MD pode “atrasar o programa”, e essa é uma dascríticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilização de MD pode inicialmentetornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido à compreensão adquirida pelo aluno,o ritmo aumentará e o tempo gasto no início será, de longe, recompensado emquantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, é uma questão de opção:valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender comcompreensão, lembrando que, se não há aprendizagem, não podemos considerar quehouve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunosapresentando questões que os auxiliem em suas reflexões, fazendo acontecer a chamadadescoberta dirigida. Portanto, é possível interferir no ritmo dos alunos. Modificador Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em três pirâmides pode-se verificarque a utilização do MD favorece a alteração de ordem de abordagem do conteúdoprogramático, pois a dupla MD e imaginação infantil quase sempre abre um leque depossibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, poroutro se torna mais difícil para ser conduzido dentro de uma visão fechada, diretiva epredeterminada. É importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento doassunto; ao contrário, ele quase sem-pre propicia a antecipação da abordagem. Outroexemplo que ilus-n.i liem isso é o seguinte: diante do triângulo cujos ângulos se juntampara mostrar que a soma é 180 graus (assunto de 7a e 8a séries), crianças de 1a sériedisseram que “as três pontas dá meia roda”. Longe de observar erro de português oufalta de rigor na linguagem matemática, é preciso exaltar que intuitivamente as criançasem fase escolar inicial já conseguem detectar a verdade matemática e expressá-la emsua linguagem. E isso é uma façanha, porque eles ainda não construíram os conceitos detriângulo, ângulo, grau, adição, círculo e medida. Será que isso significa que é preciso Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 23
  22. 22. abrir mão do rigor para se conseguir o rigor? Será que isso indica que a dosagem seriadadeve merecer uma atenção maior do que a escola tem dado? Ou será isso uma indicaçãode que o MD permite antecipar a abordagem de conteúdos programáticos no currículoescolar? Outro tipo de alteração que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere aonível de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrência da motivação queele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que paramuitas pessoas pode significar bagunça. Dosagem seriada A prática pedagógica tem confirmado a necessidade e a conveniência da adoçãodo currículo em espiral, tão recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo dasséries, os mesmos assuntos são retomados e, a cada vez, os conhecimentos sãoampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a série cal-culem áreas de figuras planas sem usar fórmulas (por equivalência de áreas), o processopode começar na educação infantil através da montagem/desmontagem de figurasquaisquer; em seguida, na la/4a séries, devem vir jogos livres com figuras de diferentesformas e cores, explorando a equivalência de suas áreas (por transformação) para, então,finalmente na 5a série, serem calculadas as áreas por meio de medidas. Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porém, em diferentes níveisde conhecimento. É o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitágoras, apresentadono item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepção da existênciade uma equivalência entre “os quadrados”; mais tarde, com o apoio de con-tagcm oumedida, os conhecimentos avançam para a constatação numérica (área), a condicional(triângulo retângulo), depois para a demonstração (prova) e finalmente para ampliaçõesdo tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra“quadrado” no enunciado refere-se à forma ou à área de figura? Em quais condições oteorema vale para três dimensões (volume)? Quais aplicações práticas são previsíveis? Computador Uma outra crítica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com achegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessário. Primeiramente, épreciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à grande maioria dasescolas brasileiras; e isso é mais sério do que parece, porque muitas escolas que já seequiparam com computadores não sabem bem o que fazer com eles. tudo indica quecomprar o equipamento e conseguir o espaço físi-CO para ele é o mais fácil: o maisdifícil é conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparadopara elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos quetivemos até hoje. Em segundo lugar, o MD manipulável tem-se mostrado um eficienterecurso para muitos alunos que, não compreendendo a mensagem (visual) da tela docomputador, recorrem ao MD (manipulável) e então prosseguem sem dificul-dades como computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a função de umpré-requisito para que se dê a aprendiam através do computador. Funciona sempre? Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode nãoapresentar o sucesso esperado pelo professor. Como já vimos no item 3, para que se dêuma significativa aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e nãosomente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD como Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 24
  23. 23. um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, elesó produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita sercorretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quandocolocá-lo em cena. Caso contrário, o MD pode ser ineficaz ou até prejudicial àaprendizagem. Efeitos colaterais Se for verdadeiro que “ninguém ama o que não conhece”, então fica explicadoporque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não foi dado conhecer amatemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de MD, oprofessor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com com-preensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de seremcriadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a de ser ela umadisciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outrassemelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante duranteas aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídospela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será oaumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno. 1.3.5. Obstáculos ao uso do MD De modo geral, pode-se dizer que os obstáculos ao uso do MD são de ordemextrínseca a ele, pois é fácil constatar que a própria política educacional emanada pelosgovernos federal, estaduais ou municipais geralmente não preconiza ou orienta oseducadores ao uso do MD; que raras são as escolas de ensino fundamental ou médio quepossuem seu LEM; que poucas são as instituições responsáveis pela formação deprofessores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrência, muitos professoresnão sentem falta de MD em suas práticas pedagógicas, ou não dispõem de MD, ou nãoacreditam nas influências positivas do uso do MD na aprendizagem, ou não sabemutilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentesmotivos, resistem às mudanças didáticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o usodo MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7. Enfim, as causas da ausência do MD nas salas de aulas não são devidas a elepropriamente. 1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM• O que é um LEM?• Quais são os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM?• Por que escolas de formação de professores devem possuir seus LEMs?• O que você pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM?• Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem?• Quando o uso do MD é recomendável? Justifique.• Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD:o cognitivo, o afetivo, o histórico, o pedagógico ou o epistemológico?• Por quais maneiras se pode dar a má aplicação do MD?• Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo?• O uso de MD facilita ou dificulta o magistério? Justifique.7 Sérgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminário sobre Prática do Ensino, UNESP, Rio Claro, em1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRN, em 1990. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 25
  24. 24. • A ausência de MD torna deficiente o ensino? Justifique.• Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD?• Quais são as características de um bom MD?• Por que os alunos preferem aulas com MD?• Quais são os argumentos favoráveis ao uso de MD no ensino?• Quais são os seus argumentos para não usar MD em suas aulas?• Dê exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexão dos alunos.• Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreensão.• Comente: O MD só deve ser usado com crianças.• Comente: A aritmética e a álgebra escolares podem tornar-se mais fáceis aos alunosse ilustradas com o apoio das formas, pois é a geometria que, por possibilitar asrepresentações visuais, intermedeia as sensações iniciais do mundo físico com asabstrações exigidas pelo processo de formação dos conceitos matemáticos.• Comente: As características dos MD devem ser distintas de acordo com os níveisescolares ou com as faixas etárias a que se destinam.• Comente: As secretarias de educação deveriam implantar LEM em suas escolas. 1.5. Referências bibliográficas do textoCASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la matemática moderna. Tradução de FelipeRoblelo Vasquez. México (DF), Trillas.DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalización en la ensenanza. 2. reimpresión.Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educación.FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). “Uma reflexão sobre o uso de materiaisconcretos e jogos no ensino da matemática”. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n. 7.KOPNIN, P.V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro,Civilização Brasileira, vol. 123 (Coleção Perspectivas do Homem).LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos nacriança. Tradução de Auriphebo B. Simões. Porto Alegre, Artmed.MANSUTTI, M. A. (1993). “Concepção e produção de materiais institucionais emeducação matemática”. Revista de Educação Matemática - SBEM, São Paulo, ano 1, n.l, pp. 17-29.NICOLET, J.L. (1967). “Intuición matemática y dibujos animados”. In: COMISIONINTERNACIONAL PARA EL ESTÚDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS.El material para la ensenanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina.Madrid, Aguilar, pp. 55-73.POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo.Rio de Janeiro, Interciência.RÊGO, R.G. & RÊGO, R.M. (2000). Matematicativa. João Pessoa, Ed. UFPb.STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Tradução de MariaHelena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar.THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools.London, G. Bell e Sons. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 26
  25. 25. 2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DI- DÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA8 Rômulo Marinho do Rego9e Rogéria Gaudêncio do Rego10 A filosofia e política do Laboratório de Estudos e Pesquisa da AprendizagemCientífica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemática do Centro de Ciên-cias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraíba (CCEN/UFPb), vêmsendo elaboradas e discutidas desde a sua fundação, em 1991. Baseiam-se na crençade que a construção do saber matemático é acessível a todos e que a superação dosbaixos índices de desempenho de nossos alunos requer também conhecimentos exter-nos à matemática; compromissos políticos na direção de mudanças, envolvendo a es-cola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condições de tra-balho e por uma formação inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa,visando o desenvolvimento de materiais didáticos adequados à realidade das nossasescolas e de sua divulgação por meio de livros, as ações da equipe do LEPAC estavaminicialmente direcionadas para a formação de especialistas, lançando as condiçõesde superar as limitações dos cursos de pós-graduação de caráter tecnicista, passandoposteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantação de clubes e labora-tórios de matemática; na montagem de módulos e projetos de feiras de ciências naárea de matemática; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemá-tica, além da realização de uma exposição anual intitulada "Matemática e imagina-ção", nos moldes da exposição francesa "Horizontes matemáticos". As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemáticos a-pontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanças - entre as quais:resolução de problemas, jogos e quebra-cabeças, história da matemática - estão inte-gradas às diversas ações da equipe do LEPAC, que já executou mais de vinte projetosinstitucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11 e realizoucursos e exposições em instituições de ensino fundamental, médio e superior em es-tados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renova-do e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na área de ensino de matemática, com-posto de kits didáticos, jogos e quebra-cabeças, coleção de elementos da natureza,ricos de conexões com a matemática, entre outros recursos. As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um en-sino voltado para a promoção do desenvolvimento da autonomia intelectual, criati-vidade e capacidade de ação, reflexão e crítica pelo aluno. Para tanto, faz-se neces-8 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 39.9 Bacharel e mestre em matemática e doutor em educação matemática. E professor do Departamento de Matemá-tica e Estatística da Universidade Estadual da Paraíba (UEPb) e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro deEducação da Universidade Federal da Paraíba (UFPb).10 Bacharel em matemática, mestre em filosofia e doutora em educação matemática. É professora do Departa-mento de Matemática da UFPb e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da mesmauniversidade.11 Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educação para a Ciência; PADCT -Programa de Apoio ao Desen-volvimento Científico e Tecnológico; CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; PRO-GRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduação - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb;PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extensão - UFPb Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 27
  26. 26. sário a introdução da aprendizagem de novos conteúdos de conhecimentos e de me-todologias que, baseadas na concepção de que o aluno deve ser o centro do processo deensino-aprendizagem, reconheça, identifique e considere seus conhecimentos pré-vios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidadão em uma socie-dade submetida a constantes mudanças. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) em uma escola constitui umimportante espaço de experimentação para o aluno e, em especial, para o professor,que tem a oportunidade de avaliar na prática, sem as pressões do espaço formal tradi-cional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas dis-ponibilizados na literatura (ver sugestões em Rego & Rego, 2004), ampliando suaformação de modo crítico, ou seja, quando associado à formação docente, oportunizaa realização de atividades em que professores da educação básica e alunos de cursosde licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliação pessoal do sistema de ensinoadotado em nossas escolas e construir modelos viáveis de superação de seus aspectosnegativos. Quando instalados em instituições de ensino superior, os laboratórios de en-sino, além de incentivar a melhoria da formação inicial e continuada de educadoresde matemática, promovendo a integração das ações de ensino, pesquisa e extensão,possibilitam:i. Estreitar as relações entre a instituição e a comunidade, atuando como parceira nasolução dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensi-no e constituindo um espaço de divulgação e de implantação de uma cultura de basecientífica;ii. Estimular a prática da pesquisa em sala de aula, baseada em uma sólida forma-ção teórica e prática; eiii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando à instalaçãode clubes e laboratórios de matemática, além de oficinas e cursos de formação conti-nuada para seus professores. Uma das linhas de investigação e ação em um LEM compreende a elaboração,adaptação e uso de materiais didáticos de matemática, considerando-se os objetivoseducacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem deconhecimentos de naturezas diversas (informações, conceitos, habilidades ou atitu-des), seu alcance e suas limitações e a sua adequação à competência dos alunos, le-vando-se em conta conhecimentos prévios, faixa etária, entre outros elementos. Seconcebermos uma aula de matemática como um espaço em que os alunos vão expe-rimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades deaprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiaisadequados são necessários. Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didático no ensino damatemática, suas principais funções (1962, pp. 10-13): i. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível; ii. Acabar com o medo da matemática que, criado por alguns professores e alimentado pelos pais e pelos que não gostam de matemática, está aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matéria e iii. Interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência. Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didático pode ser,caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem não reside em Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 28
  27. 27. sua estrutura física ou na simples ação sobre ele, mas resulta do aprofundamento dereflexões sobre essa ação. Acreditava-se, há até relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam deigual maneira, acumulando informações e regras. Sabemos, entretanto, que cada alu-no tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, es-tando seu pensamento em constante processo de mudança. A aprendizagem pelacompreensão é um processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo,embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocínio o que quase sempre édeixado apenas como tarefa para a memória. As interações do indivíduo com o mun-do possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idéias e organizar informações, inter-nalizando-os. Por meio de experiências pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gos-to pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para vencê-los, desenvolven-do conhecimentos na direção de uma ação autônoma. Porém, como afirmava Igná-tiev, ainda no ano de 1911, "a independência mental, a reflexão e a criatividade nãopodem ser metidas em nenhuma cabeça", sendo seguros apenas os resultados doscasos em que a introdução no campo da matemática ocorrer de forma prazerosa, "ba-seando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criativi-dade e interesse correspondentes" (IGNÁTIEV, 1986). Nessa concepção de aprendi-zagem, o material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua utiliza-ção adequada, os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para que a-prender matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a a-prendizagem pela formação de idéias e modelos. Assim, as atividades realizadas em um LEM estão voltadas para o desenvol-vimento de conhecimentos matemáticos e a formação geral do aluno, auxiliando-o a:i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas;ii. Adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações;iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais;iv. Iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática;v. Estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade;vi. Promover a troca de idéias através de atividades em grupo;vii. Estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminaçãovisual e a formação de conceitos. Em razão das características socioeconômicas da nossa população, um dosgrandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam à frente de LEMs com-preende a socialização dos resultados de seus trabalhos. Nossa experiência pessoalaponta para a possibilidade de produção e de massificação de materiais de baixo cus-to e grande potencial didático, dentro de padrões de segurança que não coloquem emrisco o seu usuário, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadasagradáveis aos sentidos, contribuindo para formação do senso estético e direcionan-do a atenção e a percepção para os aspectos cognitivos a serem trabalhados. Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoção de ativi-dades didáticas em um LEM, apresentamos algumas sugestões, aqui descritas de mo-do sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula poderão ser encontrados com deta-lhes nos textos já publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, RE-GO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicação pela equipe do LEPAC. É Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 29
  28. 28. importante lembrar que os roteiros de sugestão de uso de qualquer recurso instrumen-tal devem ser vistos como possíveis caminhos que poderão ou deverão ser reestrutu-rados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem de-senvolvidos, e não como receituários, seguidos fielmente sem a promoção de refle-xões. A primeira atividade, intitulada estudo de quadriláteros (RÊGO & REGO,1999a), demanda apenas papel (ofício, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Suge-rimos que seja desenvolvida no estudo de quadriláteros, sendo indicada para alunosde todas as séries da educação básica. O que deverá variar, em cada caso, são as exi-gências formais envolvidas, no que trata da análise das propriedades das figuras ob-tidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nívelda turma e dos objetivos a serem alcançados. O procedimento a ser adotado inicia-secom o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimentoe 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anelcomum, como indicado na figura 1. Iniciar a discussão questionando aos alunoso que acontece quando cortamos um desses anéis aomeio, ao longo da linha pontilhada, como indicado nafigura l (o pontilhado não precisa ser feito, na ilustra-ção serve apenas para indicar onde deverá ser realiza-do o corte). Depois de feitas as previsões, cortar oanel e conferir o resultado. Em seguida, colar dois anéis iguais ao pri-meiro, com mesmo diâmetro e largura, um perpendi-cular ao outro, como indicado na figura 2, estimandoo que acontece quando cortarmos ao meio os doisanéis colados, como feito no anel da questão inicial.Verificar o resultado obtido confrontando-o com ashipóteses levantadas. Vale notar que, quando o primeiro anel é cor-tado, o conjunto fica semelhante a uma algema (umatira com duas argolas, uma em cada extremidade).Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta cor-responde a uma das argolas que estavam inicialmen-te coladas. Os alunos poderão em seguida investigar:i. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um losango (não quadrado)?ii. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um retângulo (não quadrado)?iii. Como devem ser os anéis, e como colá-los, para que o resultado seja um paralelo-gramo (não quadrado)? Outras investigações podem ser feitas:i. Colar três anéis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortaros três ao meio, tentando estimar e verificando o resultado; Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 30
  29. 29. ii. Colar três anéis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior,ou três iguais colados inclinados um em relação ao outro, estimando e verificando osresultados, entre outras. Solicitar aos alunos que façam um pequeno relatório ou tabela, descrevendo adimensão dos anéis (se todos são de mesmo tamanho ou não); a quantidade de anéisutilizada em cada caso; como estavam colados uns em relação aos outros (se perpen-diculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nível da turma, osalunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definições einterseções entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado é um re-tângulo, embora o contrário não aconteça. Essa atividade enseja oportunidade deabordar de maneira intuitiva questões relativas aos quantificadores universais e exis-tenciais e de suas negações; levar o aluno a diferenciar o que é uma definição e umconceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemática comoum conhecimento social, em permanente processo de construção. Após cada ativi-dade, além do registro e da busca de associação do conhecimento desenvolvido den-tro da linguagem, abre-se um espaço para discutir as habilidades que estão sendodesenvolvidas com a realização e reflexão sobre ela. Ainda em geometria, sugerimos para a confecção de esqueletos de poliedros,que poderão ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de sólidos,planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos decabelo (de metal, comuns) e canudos de refrigerante. O processo de confecção dospoliedros é bastante simples e as vantagens do material são muitas: baixo custo, faci-lidade de uso, rapidez do processo e possibilidade de reaproveitamento do material.O número de canudos utilizados em um poliedro será igual a seu número de arestas eo número de grampos será igual à soma do número de arestas que convergem para ca-da vértice do sólido. Acompanhe o seguinte exemplo, com a construção do esqueletode um tetraedro (pirâmide de base triangular) regular, para o qual iremos precisar deseis canudos e doze grampos de cabelo. Inicialmente prender cada grupo de trêsgrampos entre si, formando quatro sistemas de articulação, como indicado na ilustra-ção do centro na figura 3. Depois de prontas as articulações, inserir a parte ondulada dos grampos no in-terior dos canudos (ilustração da direita na figura 3), correspondendo a cada con-junto de três grampos um vértice do tetraedro. Este poderá ser posteriormentedesmontado e grampos e canudos serem utilizados na construção de outrospoliedros, modificando-se a quantidade de canudos e/ou a quantidade de gramposem cada sistema de articulações, de acordo com a necessidade. Nesse caso, como em qualquer caso de construção de esqueletos depoliedros, a rigidez da figura dependerá da forma de suas faces: se apenas Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 31
  30. 30. triangulares a figura será rígida, caso contrário ficará flexível. Os grampos de cabelopoderão ainda ser substituídos por clipes de papel de tamanho adequado, isto é, comlargura igual ao diâmetro interno do canudo, onde eles serão inseridos após seremagrupados entre si, de modo semelhante aos grampos. Em cursos de formação inicial ou continuada, uma experiência interessanteconsiste em dividir a turma em grupos, cada um deles produzindo esqueletos depoliedros utilizando um material específico (canudos de refrigerante e grampos decabelo, clipes de papel, barbante, fita adesiva, arame ou outros, e conexões feitascom borracha de soro e canudos de churrasco ou pirulito. Ver foto 1), conversando,depois, sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos materiais empregados,referentes a custo, disponibilidade local dos insumos, tempo de elaboração, riscos deacidentes no processo, durabilidade, resistência, direcionamento para os objetivoscognitivos programados e resultados estéticos. Dentre os diversos materiais didáticos que "evoluíram" no LEPACdestacamos o Geoespaço, aqui exemplificando o processo de constanteaperfeiçoamento de nosso acervo, visando criar ou adaptar kits existentes àrealidade das escolas, considerando, como já afirmamos, objetivos, potencialidade elimitações, custo, durabilidade, resistência, segurança e apresentação. Baseado emum material sugerido para a construção e o estudo de prismas e pirâmides em umapublicação de uma mostra de materiais concretos para o ensino de matemática,realizada em Madrid em 1958 (ADAM, 1958), desenvolvemos um modelo de fácilconfecção e uso. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 32
  31. 31. Simplificamos omodelo apresentadoutilizando uma base demadeira, quatro cantoneirasque dão sustentação a umaplaca quadrada de acrílicotransparente de 4 mm. Nosdois planos (base demadeira e placa deacrílico) são traçadasmalhas quadriculadassemelhantes, comquadrados de 3 cm delado, em cujos vérticessão fixados pequenosganchos de cobre,utilizados pela indústria demobiliário (e facilmente encontrados em casas de ferragens). Os esqueletos dossólidos são construídos com ligas de borracha, presas entre os ganchos dos doisplanos, delimitados por ligas que formam polígonos nas duas malhas quadriculadas(ver exemplo na foto 2). Um simples deslocamento de um dos polígonos e das borrachascorrespondentes possibilita a rápida transformação de um prisma reto em um prismaoblíquo de mesma base, tendo-se a visualização das vistas do poliedro facilitada pelatransparência do acrílico, assim como a identificação e compreensão dos elementosque caracterizam um determinado tipo de sólido. O modelo pode ser desmontável,facilitando o seu transporte e armazenamento. Os dois últimos recursos apresentados, além da grande versatilidade, possibilitamtrabalhar com geometria espacial em sala de aula com modelos tridimensionais, evitando-se recorrer apenas a figuras planas (no quadro ou livro) com representações de sólidos paratal. O desenvolvimento dehabilidades específicas,como a percepçãoespacial, a visualização decortes e planos desimetria, relações entrevolumes, entre outras,requer a realização deatividades voltadas paraesses fins,preferencialmenteiniciando-se com mate-riais presentes nocotidiano do aluno, aexemplo de uma eoleçãode embalagens diversas, e Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 33
  32. 32. posteriormente ampliando-se o estudo dos sólidos geométricos por meio das figuras obtidascom os canudos ou no Geoespaço, na direção da representação destes no plano. Os recursosapresentados nas fotos seguintes, descritos de modo sucinto, indicam a possibilidade deconcretização de ideias criativas para um LEM, facilmente reprodutíveis, sem demandarcustos financeiros degrande monta. O material da foto3 é utilizado para substituiros blocos lógicos, nasdiversas atividadespossíveis de seremrealizadas com essematerial, sendosocialmente maissignificativo e rico emtermos de propriedadesgerais, o que ampliaconsideravelmente ascategorias paraclassificação emsubconjuntos, entre outrasvantagens. Na foto 4, temos dois jogos para as séries iniciais, um compreendendo uma trilhacom círculos concêntricos feita com uma base descartável para bolo e outro uma mancala12com copos de iogurte. Na foto 5, temos umjogo de pares, feito compotes para filmesfotográficos, com materiaissemelhantes em seu interior(dois potes cheios até ametade com areia, doisoutros com arroz, dois comclipes de papel, etc.) que,depois de misturados,devem ser separados pelosalunos em pares,identificados pelasemelhança do som queproduzem. Estimulam, alémdo trabalho com a idéia depar e a classificação de elementos sonoros, a concentração e a prática da auto-avaliação,uma vez que o próprio aluno pode, abrindo as tampas, conferir se suas respostas estão12 Mancala é um jogo de tabuleiro de origem africana, com mais de quatro mil anos, e que apresentainúmeras variantes. As regras podem ser encontradas na internet ou em livros sobre jogos. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 34
  33. 33. corretas. As roletas, confeccionadas em EVA e tampas de potes de mostarda ou ketchup, oucom tampas plásticas circulares, substituem com eficiência os dados comuns, podendo sernumeradas de acordo com as necessidades específicas de uma atividade. O terceiro e últimomaterial da foto é produzido em EVA e restos de espirais de encadernação, compreendendoum quebra-cabeça com peças articuladas que, quando dobrado, pode gerar figuras dediversas formas, que podem ser classificadas pelos alunos de acordo com o número delados, concavidade ou convexidade, ângulos internos, número de diagonais, entre outros. Na foto 6 um bingo feito com garrafas PET de diferentes tamanhos transforma-se em um atraente material para a prática do cálculo mental em sala de aula. O ábaco aberto, com base em EVA, pinos em lápis marcadores para quadro- branco e argolas de bases fixadoras de tampas de garrafas PET (de refrigerante ou água mineral) pode ser usado na representação e leitura de números na basedez, destacando-se as características de nosso sistema de numeração, a exemplo dovalor posicional. É importante frisar que a utilização de todo e qualquer recurso didático exigecuidados básicos por parte do professor, entre os quais destacamos:i. Dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante que os alunos o explorem livremente);ii. Incentivar a comunicação e troca de ideias, além de discutir com a turma os diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos;iii. Mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das ati-vidades por meio de perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou coleti-vo das ações realizadas, conclusões e dúvidas;iv. Realizar uma escolha responsável e criteriosa do material;v. Planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom senso para adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a sugestões e modificações ao longo do processo, evi. Sempre que possível, estimular a participação do aluno e de outros professores na confecção do material. Alguns princípios a serem promovidos em sala de aula, defendidos por IreneAlbuquerque (1951), dentre os quais, possibilitar variadas experiências de ensinorelativas a um mesmo conceito matemático; atribuir significado para aaprendizagem; criar situações para que o aluno redescubra padrões, regras e relaçõese "criar um ambiente agradável em torno do ensino de matemática, promovendo osucesso e evitando o fracasso", são facilitados no espaço de um LEM. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 35

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