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Ensino de matemática com materiais didáticos alternativos
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  • 1. PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA ENSINO DE MATEMÁTICA COMMATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS DOCENTE: JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO Fortaleza-Ceará 2008
  • 2. ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR FACULDADE ATENEU COORDENADOR GERAL: PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE COORDENADORAS PEDAGÓGICAS: PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO DISCIPLINA: ENSINO DE MATEMÁTICA COMMATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS DOCENTE: JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO Fortaleza-Ceará 2008
  • 3. Sumário A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7 B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7 C. Carga horária...................................................................................................... 71. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAISDIDÁTICOS MANIPULÁVEIS ................................................................................... 8 1.1. Introdução .......................................................................................................... 8 1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ............................................... 9 1.2.1. Algumas concepções de LEM ........................................................................ 9 1.2.2. A construção do LEM .................................................................................. 10 1.2.3. Objeções ao uso do LEM ............................................................................. 12 1.3. Material didático (MD) .................................................................................... 16 1.3.1. MD manipulável ........................................................................................... 16 1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18 1.3.3. O professor e o uso do MD .......................................................................... 19 1.3.4. Potencialidades do MD ................................................................................ 21 1.3.5. Obstáculos ao uso do MD ............................................................................ 25 1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM ....................................................... 25 1.5. Referências bibliográficas do texto.................................................................. 262. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NOENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................................................... 27 Referências bibliográficas do texto ............................................................................ 363. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37 3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38 3.2. Lista de materiais ............................................................................................. 39 3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regular ............................................ 40 3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular ............................................ 41 3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular ........................................... 42 3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais ............................... 424. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO .......................... 44 4.1. Introdução ........................................................................................................ 44 4.2. Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45 4.3. Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49 Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 5
  • 4. 4.4. Sobre a definição do jogo ................................................................................ 51 4.5. Origem do jogo ................................................................................................ 55 4.6. Características do jogo ..................................................................................... 57 4.7. Conclusões ....................................................................................................... 585. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NAAPRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60 5.1. Introdução ........................................................................................................ 60 5.2. Motivação ........................................................................................................ 60 5.3. O Jogo Didático ............................................................................................... 616. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64 6.1. Introdução ........................................................................................................ 64 6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? ................................................ 65 6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? ....................................... 67 6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? ................................................... 68 6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? .............................................. 69 6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? ..................................... 70 6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? ...................................................... 71 6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72 Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 6
  • 5. A. Objetivo do móduloO módulo se insere em uma perspectiva teórica que propõe discutir a metodologia doensino da matemática, diante das novas necessidades de mudanças no paradigma deensinar e aprender, no contexto social e tecnológico.Também, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de refle-xão e ação dos professores sobre as próprias vivências de sala de aula. B. Ementa do módulo 1. O papel do professor de Matemática na formação do pensamento científico. 2. A influência da concepção desse papel na prática pedagógica. 3. Análise de temas do ensino da matemática, como: dificuldades básicas, materiais didáticos convencionais, materiais didáticos alternativos, etc. 4. Aplicar materiais didáticos manipuláveis e alternativos através da utilização de experimentos em aulas teóricas e práticas. 5. Despertar o interesse pela matemática experimental como método de ensino. 6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do conteúdo ma- temático e ampliar o repertório de estratégias do professor. C. Carga horária12 horas-aula Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 7
  • 6. 1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS1 2 Sérgio Lorenzato 1.1. Introdução Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram aimportância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem.Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-sedo concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e quesó se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensívelpara alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou aexperiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, porvolta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; namesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial.Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando aimportância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, ePoincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Maisrecentemente, Montessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos eatividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmentedo tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletidasobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que asexperiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seuraciocínio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduosobre o objeto é básica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a açãopedagógica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didáticopode desempenhar na aprendizagem. Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justiça, nomes comoo de Claparède (defensor da inclusão de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet(que recomendava o uso de cantinhos temáticos na sala de aula), que valorizavam aativida-de como fator básico para a aprendizagem. Essa lista de nomes de expoentes da educação que reconheceram a eficácia domaterial didático na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensinoda matemática, se lembrarmos das contribuições de Willy Servais, Caleb Gattegno,Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-LouisNicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, JúlioCésar de Mello e Souza3 - isto é, Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros,muito contribuíram para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas1 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 3.2 É licenciado em matemática pela UNESP (Rio Claro), mestre em educação pela UnB (Brasília), doutorem educação pela UNICAMP (Campinas) e pós-doutor em educação matemática pela Université Laval(Canadá). Docente da Faculdade de Educação da UNICAMP.3 J ú l i o César de Mello e Souza (1957), Técnicas e procedimentos didáticos no ensino da matemática,Rio de Janeiro, Aurora.4 Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didático no ensino da matemática, Rio de Janeiro,Diretoria do Ensino Secundário/ Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário/MEC. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 8
  • 7. de matemática. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemático quepercebeu a influência do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciouisso quando escreveu a Eratóstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: “é meudever comunicar-te particularidades de certo método que poderás utilizar para descobrir,mediante a mecânica, determinadas verdades matemáticas [...] as quais eu pudedemonstrar, depois, pela Geometria” (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedesrevelou o modo pelo qual fazia descobertas matemáticas e confirmou a importância dasimagens e dos objetos no processo de construção de novos saberes. Nessa mesma linhade pensamento está um antigo provérbio chinês, que diz: “se ouço, esqueço; se vejo,lembro; se faço, compreendo”, o que é confirmado plenamente pela experiência detodos, especialmente daqueles que estão em sala de aula. Enfim, não faltam argumentosfavoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas,como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapávelnecessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiaisdidáticos de diferentes tipos. 1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Nossa sociedade pressupõe e, até mesmo, exige que muitos profissionais tenhamseus locais apropriados para desempenharem o trabalho. É assim para o dentista,cozinheiro, médico-cirurgião, veterinário, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitosoutros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodoprofissional depende também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis. Em muitasprofissões, a prática difere pouco do planejamento; não é o caso do magistério, devido àcriatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensável à escola. Assimcomo nossas casas se compõem de partes essenciais, cada uma com uma funçãoespecífica, nossas escolas também devem ter seus componentes, e um deles deve ser oLaboratório de Ensino de Matemática (LEM). No entanto, alguém poderia lembrar-se de que foi, e ainda é possível, ensinarassuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professordispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de nós aprendemos (e ensinamos?) afazer contas desse modo. Porém, para aqueles que possuem uma visão atualizada deeducação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológicaporque, mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidadesespeciais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades. 1.2.1. Algumas concepções de LEM Mas o que é um LEM? Existem diferentes concepções de LEM. Inicialmente elepoderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessíveis para asaulas; neste caso, é um depósito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiaismanipuláveis, transparências, filmes, entre outros, inclusive matérias-primas einstrumentos para confeccionar materiais didáticos. Ampliando essa concepção deLEM, ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regularesde matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores dematemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas,avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local paracriação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção demateriais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica.Facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 9
  • 8. matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que umdepósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemática, o LEM é o lugarda escola onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais com-preensível aos alunos. O LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situaçõespedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas peloprofessor em seu planejamento mas imprevistas na prática, devido aos questionamentosdos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentesmateriais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente paraestruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço parafacilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar,experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender. Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem serum laboratório onde se dão as aprendizagens da matemática. Essa é uma utopia queenfraquece a concepção possível e realizável do LEM, porque ela pode induzirprofessores a não tentarem construir o LEM num certo local da escola em que traba-lham, seja este numa sala, num canto ou num armário. O LEM, mesmo em condições desfavoráveis, pode tornar o trabalho altamentegratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o aluno,se o professor possuir conhecimento, crença e engenhosidade. Conhecimento porque,tendo em vista que ninguém ensina o que não sabe, é preciso conhecer matemática mastambém metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formaçãomatemática e pedagógica; crença porque, como tudo na vida, é preciso acreditar naquiloque se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequen-temente, é exigida do professor uma boa dose de criatividade, não só para conceber,planejar, montar e implementar o seu LEM, como também para orientar seus alunos etransformá-los em estudantes e, de preferência, em aprendizes também. Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Platão, convém que surjamquestionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim sãodenominados? Quem foi Platão? Quais foram suas contribuições para a matemática?Por que os poliedros de Platão são somente cinco, isto é, quais são suas características?Quais são os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros estão presentes? Uma lista de indagações, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que oprofessor e os alunos se ponham à procura das respostas ao longo dos dias seguintespara, então, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmoa encontrar respostas, é mais importante para a formação do indivíduo do que asrespostas às indagações. Note, também, que, mesmo dispondo de um LEM, o professorpode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definiçãode cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... eprovavelmente dois professores com concepções bem diferentes de educação e de LEM. 1.2.2. A construção do LEM É difícil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mantê-lo.Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupai, de uma conquista deprofessores, administradores e de alunos. Essa participação de diferentes segmentos daescola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituição, por meio das possíveis e Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 10
  • 9. indispensáveis contribuições dos professores de história, geografia, educação artística,educação física, português, ciências, entre outros. A contribuição dos alunos para a construção da LEM é muito Importante para oprocesso educacional deles, pois é fazendo que se aprende. Orientados pelo professorresponsável pelo LEM, os alunos, distribuídos em grupos, podem solicitar, dosprofessores das áreas mencionadas, exemplos de interseção dessas áreas com a ma-temática. Certamente, a coleta será quantitativamente maior do que esperavam,principalmente se contarem com o apoio bibliográfico ou computacional; em seguida,será necessário preparar o material para apresentação do que foi coletado. Assim, oLEM irá constituindo-se de acordo com as condições locais e até mesmo tornará pos-sível uma exposição escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudoaconteça, é preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, quereconheçam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem naconstrução dele e que considerem as possibilidades da escola. A respeito da construção do LEM, é também fundamental considerar a quem elese destina; se o LEM se destina para crianças de educação infantil, os materiais devemestar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aosprocessos mentais básicos - correspondência, comparação, classificação, se-qiienciação,seriação, inclusão e conservação -, os quais são essenciais para a formação do conceitode número; além desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que poderão favorecer apercepção espacial (formas, tamanhos, posições, por exemplo) e a noção de distância,para a construção do conceito de medida. Se o LEM se destina às quatro primeiras séries do ensino fundamental, o apeloao tátil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar maisdiretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção danecessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim,aos objetivos matemáticos. Essa característica deve continuar presente no LEM para as séries seguintes doensino fundamental, mas agora também devem compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocínio lógico-dedutivo(paradoxos, ilusões de ótica) nos campos aritmético, geométrico, algébrico,trigonométrico, estatístico. Ao LEM do ensino médio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas,problemas de aplicação da matemática, questões de vestibulares, desafios ao raciocíniotopológico ou combinatório, entre outros. E também várias questões ou situações-problema referentes a temas já abordados no ensino fundamental, mas que agorademandam uma análise e interpretação mais aprofundadas por parte dos alunos. E o que dizer do LEM para os cursos de formação de professores? Que ele é,simplesmente, mais que necessário para as instituições de ensino que oferecem taiscursos. É inconcebível que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem anecessidade da autoconstrução do saber, a importância dos métodos ativos de apren-dizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito às diferençasindividuais, mas, na prática de ensino e no estágio supervisionado, os seus alunos nãodisponham de instrumentos para a realização da prática pedagógica. Se lembrarmos quemais importante do que ter acesso aos materiais é saber utilizá-los corretamente, entãonão há argumento que justifique a ausência do LEM nas instituições responsáveis pela Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 11
  • 10. formação de professores, pois é nelas que os professores devem aprender a utilizar osmateriais de ensino; é inconcebível um bom curso de formação de professores de mate-mática sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessário, presente noestudo didatico-metodológico de cada assunto do programa de metodologia ou didáticado ensino da matemática, pois conteúdo e seu ensino devem ser planejados e ensinadosde modo simultâneo e integrado. Existem diversos tipos de LEM, em razão dos seus diferentes objetivos econcepções. Apesar dessa diversificação, a lista seguinte de sugestões de materiaisdidáticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituição de muitosLEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido. De modo geral, o LEM pode constituir-se de coleções de:• Livros didáticos;• Livros paradidáticos;• Livros sobre temas matemáticos;• Artigos de jornais e revistas;• Problemas interessantes;• Questões de vestibulares;• Registros de episódios da história da matemática;• Ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos;• Jogos;• Quebra-cabeças;• Figuras;• Sólidos;• Modelos estáticos ou dinâmicos;• Quadros murais ou pôsteres;• Materiais didáticos industrializados;• Materiais didáticos produzidos pelos alunos e professores;• Instrumentos de medida;• Transparências, fitas, filmes, softwares;• Calculadoras;• Computadores;• Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos. A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; umavez construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige queo professor se mantenha atualizado. 1.2.3. Objeções ao uso do LEM Na prática escolar, é facilmente constatável que muitos professores nãoconhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal. Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodológica, ele possuilimitações didáticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamosalgumas questões referentes a esses assuntos: 1. O LEM é caro, exige materiais que a escola não dá ao professor e raríssimas escolas possuem um LEM.Lecionar numa escola que não possui LEM é uma ótima oportunidade para construí-locom a participação dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo é diminuto etodos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessa Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 12
  • 11. forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos não sãoutilizados por desconhecimento de suas aplicações. Afinal, mais importante do quereceber pronto ou comprar o LEM é o processo de construção dele. 2. O LEM exige do professor uma boa formação.É nossa obrigação estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemáticaàqueles que nos são confiados. Além disso, qual é o método de ensino que não exige doprofessor uma boa formação matemática e didático-pedagógica? Na verdade, comprofessor despreparado, nenhum método produz aprendizagem significativa. 3. O LEM possibilita o “uso pelo uso”.Sim, como todo instrumento ou meio. Daí a importância dos saberes do professor,indispensáveis para a utilização tia quadra e dos equipamentos de esportes, dabiblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o “uso pelo uso” delecomo também o seu mau uso. Tudo dependerá do professor. Aqui cabe uma analogia:dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor és. 4. O LEM não pode ser aplicado a todos os assuntos do programa.Realmente o LEM não é uma panaceia para o ensino, não é um caminho para todos osmomentos da prática pedagógica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversifi-cação de meios e uma excelente prontidão ao uso deles como nenhuma outra alternativaoferece. 5. O LEM não pode ser usado em classes numerosas.Em educação, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Porisso, em turmas de até trinta alunos, é possível distribuí-los em subgrupos, todos estu-dando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idênticos, e com o professor dandoatendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o “fazer” é substituídopelo “ver”, e o material individual manipulável é, inevitavelmente, substituído pelomaterial de observação coleti-va, pois a manipulação é realizada pelo professor, caben-do aos alunos apenas a observação. 6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar.Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, é precisoconsiderar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dosalunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por quê? Apesar de asrespostas a essas questões de penderem do perfil profissional do professor, dos interes-ses dos alunos e dos objetivos da escola, é provável que o uso do LEM desperte nosalunos indagações não previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos,o ensino demandará mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o usodo LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo. 7. É mais difícil lecionar utilizando o LEM.Essa frase insinua uma limitação do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento demovimentação e de motivação dos alunos e de troca de informações entre eles, causadaspelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente daexigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos,influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difíceis ou fora do planejamento daaula, então, realmente, usar o LEM pode ser mais difícil para parte dos professores. Emambos os casos, não se trata de limitação própria ao LEM, mas sim de situações em queos alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem à explanação do Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 13
  • 12. professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudança decomportamento. 8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades matemáticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulável ou gráfico.Dependendo do nível de desenvolvimento dos alunos, é altamente desejável que essaafirmação seja verdadeira, pois, até o aparecimento do raciocínio lógico-dedutivo porvolta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisição do conhecimento apóia-se fortemente noverbal (audição), no gráfico (visão) e na manipulação (tato). Confiando plenamentenaquilo que vêem, pois praticam o “é verdade porque vi”, “vale porque tem a mesmamedida”, “se vale para dois ou ires casos então valerá para todos”, confundemconstatação de natureza perceptual com demonstração, e não sentem a necessidade deprovas lógico-dedutivas porque tomam a percepção visual como prova. Quando osjovens adquirem o poder de dedução lógica, é importante mostrar-lhes sofismas,falácias e paradoxos matemáticos com o objetivo de eles perceberem que conclusõesbaseadas apenas na intuição ou naquilo que se vê podem contrapor-se ao que oraciocínio lógico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocínio dedutivo seráfundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, deagora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente éverdadeiro. Mas onde encontrar uma coleção de sofismas, falácias e paradoxos? No LEM.Seguem-se alguns exemplos: a) Se 2 - 2 = 3 - 3, então 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo? b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois trapézios e dois triângulos, conforme mostra a figura 1, cuja área é 64cm2. Agora, com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retângulo, conforme mostra a figura 2, cuja área é 65cm2. Assim, você acabou de descobrir que 64 = 65. c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferência de raio igual a 1 é n ou 2? Sa- bendo que o comprimento da circunferência é dado por C = 2nr, temos que o comprimento da semicircunferência da figura é 7ir e, se o raio vale 1, então o comprimento pedido mede 7r. Simples, não é? No entanto, observemos as figuras 4 e 5, em cuja construção cada curva gera duas outras menores e o diâmetro de cada curva maior é igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este processo (figura 6), a curva limite se constituirá de círculos infinitamente peque- Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 14
  • 13. nos, quando então ela se confundirá com o segmeto AE, cuja medida é 2, porque vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2? d) Observe a figura 7, em que estão representadas duas rodas A e B, de tamanhos diferentes e firmemente unidas entre si; elas rolam ao mesmo tempo sobre dois trilhos C e D co- locados em níveis diferentes. As rodas partem da posição 1 e rolam até a posi- ção 2, conforme mostra a figura 8, sem deslizarem, percorrendo uma distância igual ao comprimento da roda maior. Nessas condições, quando a roda maior completar uma volta a menor também completará uma volta porque uma está fixa na outra, percorrendo, assim, a mesma distância que vai do ponto 1 ao 2. Mas como explicar que as medidas das circunferências são iguais se as rodas são de diferentes tamanhos? e) Veja a figura 9. As retas r e 5 são paralelas? Elas se parecem paralelas? Se, por um lado, é importante o professorpropor situações que realcem o perigo de se acreditar emconclusões baseadas apenas no que foi percebido pelossentidos, por outro lado, não menos desastroso seráconduzir os alunos à total descrença em tudo que a observação e a intuição nos revelam Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 15
  • 14. ou sugerem. Estas são um bom começo para investigar e para aprender. 1.3. Material didático (MD) Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, umquebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenasum dos inúmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podemdesempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, oprofessor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar umassunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, parafacilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão aescolha do MD mais conveniente à aula. Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar deensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, oMD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e nãosubstitui o professor. Devido à impossibilidade de abordar a utilização didática dos distintos tipos deMD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulávelconcreto. 1.3.1. MD manipulável Existem vários tipos de MD. Alguns não possibilitam modificações em suasformas; é o caso dos sólidos geométricos construídos em madeira ou cartolina, porexemplo, que, por serem estáticos, permitem só a observação. Outros já permitem umamaior participação do aluno: é o caso do ábaco, do material montessoriano (cuisenaireou dourado), dos jogos de tabuleiro. Existem, ainda, aqueles dinâmicos, que, permitindo transformações por continui-dade, facilitam ao aluno a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e aconstrução de uma efetiva aprendizagem. É o caso da estrela (ver figura 10) construídacom 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaços de garrote simplesnos pontos ímpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de váriasmaneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotação, reflexão, triângulo, Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 16
  • 15. hexágono, tetraedro, hexaedro, isomeria ótica, entre outros assuntos. Seguem algumasdas formas possíveis: a) Ponha os vértices ímpares no centro da estrela (figura 11) b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12) c) Superponha 1 ao 7 (figura 13) d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14) Utilizando-se de questões tais como as seguintes, será possível estimular osalunos para operações além das simplesmente manipulativas:• Que figura plana pode ser construída colocando-se o 4 junto ao 10?• Quantas diferentes figuras planas podem ser construídas?• Qual delas tem o maior perímetro? E a maior área?• Qual é a relação entre a área da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a?• É possível formar um tetraedro (espacial)?• Qual é a área total do hexaedro?• Qual é a diferença entre a representação de uma figura e a sua imagem mental? Convém termos sempre em mente quea realização em si de atividades manipulativasou visuais não garante a aprendizagem. Paraque esta efetivamente aconteça, faz-senecessária também a atividade mental, porparte do aluno. E o MD pode ser um excelen-te catalisador para o aluno construir seu sabermatemático. Neste tipo de saber, os lados nãopossuem largura nem espessura, só compri-mento. Largura e espessura são necessárias àrepresentação, seja por imagem, seja pormaterial concreto. Um outro exemplo de MD é aquele que se refere ao Teorema de Pitágoras: elecompõe-se de um triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os respectivoslados do triângulo. Este material estático pode transformar-se em dinâmico,interessante, desafiador e inspirador, se for construído em acrílico: são duas placasidênticas (no formato do estático), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possamreter algum material moldável, como óleo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B ede C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posição 1 (figura15) para a posição 2 (figura 16), o líquido (ou areia) interno se transferirá dos dois Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 17
  • 16. quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existência de uma equivalênciaentre os quadrados. Qual será o tipo de MD que os alunos irão preferir: o estático ou odinâmico? 1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem A utilização do MD está sempre intimamente relacionada com um processo deensino que possui uma característica aparentemente paradoxal. Vejamos por quê. É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humanocaracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ouutilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quandoouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, semprecisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento,forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorrepela separação mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332).Esse processo começa com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele é aparentementeparadoxal porque, pan se chegar no abstrato, é preciso partir do concreto. O abstrato,segundo Kopnin (1978, p. 54), é o “isolamento de alguma propriedade sensorialmenteacessível do objeto”. Faz-se necessário partir do concreto. O concreto pode ter duasinterpretações: uma delas refere-se ao palpável, manipulável, e outra, mais ampla, incluitambém as imagens gráficas; ainda sobre o concreto, às vezes, o real tem sidoconfundido com o concreto. Essa trajetória é semelhante à que se deve fazer paraconseguir o rigor matemático: para consegui-lo, com seus vocábulos, expressões,símbolos e raciocínios, é preciso começar pelo conhecimento dos alunos, que é umponto distante e oposto ao rigor matemático, porque é empírico e baseado no concreto. O avião retrata bem essa característica aparentemente contraditória do processoeducacional: ele é feito para voar, mas, para voar, precisa partir do chão. Talcaracterística poderia ser considerada de somenos importância se não conduzisse algunsprofissionais à falsa conclusão de que o uso do MD retarda o desenvolvimentointelectual do aluno. Não seria a ausência do MD a causa de possíveis retardamentos? Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 18
  • 17. Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficiência do ensino com MD foi realizada emBrasília, com cerca de 180 crianças cursando a 5” série, com idades variando entre 11 e12 anos e com semelhantes condições de conhecimento matemático, conforme resultadode pré-teste. Essas crianças pertenciam a distintas escolas e a diferentes níveissocioeconômicos, e 70% delas consideravam a matemática uma disciplina difícil paraaprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numautilizando MD, na outra, não. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado comMD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questões fáceis como de mé-dias e de difíceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD. 1.3.3. O professor e o uso do MD A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Paraque os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor disponha de umLEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizarcorretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o re-vólver, a enxada, a bola, o automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino,exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza. Assim, o professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se:será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algummaterial didático? Com qual? Em outras palavras, o professor está respondendo asquestões: “Por que material didático?”, “Qual é o material?” e “Quando utilizá-lo?”. Emseguida, é preciso perguntar-se: “Como este material deverá ser utilizado?”. Esta últimaquestão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer umaaprendizagem significativa. Tomemos, por exemplo, a representação de um triângulo qualquer, feita emcartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo ostrês “vértices”, que a “soma dos três ângulos dá 180 graus”. Note que essa atitude doprofessor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, é um meroreforço à memorização do enunciado matemático que pode ser encontrado nos livrosdidáticos. No entanto, as consequências do uso do material podem ser mais abrangentese positivas, se cada aluno desenhar um triângulo qualquer (equilátero, isósceles,escaleno ou retângulo, grande ou pequeno, e em diferentes posições), recortar e dobrarsua figura e mostrar aos colegas suas observações, descobertas ou conclusões. Algumasdestas podem ser:• Quando juntados os três ângulos, dá meio círculo;• Dá sempre 180 graus, em qualquer tipo de triângulo;• Mas tem que dobrar os lados ao meio, se não, não junta os três ângulos;• O ponto onde se juntam os três ângulos depende das medidas dos ângulos;• O ponto onde se juntam os três ângulos varia de triângulo para triângulo;• O ponto onde se juntam os três ângulos é o pé da altura do triângulo;• Todo triângulo pode ser transformado em dois retângulos;• A área do triângulo é o dobro da área de cada retângulo;• O perímetro do triângulo é maior do que o de cada retângulo.5 Sérgio Lorenzato (1976), Subsídios metodológicos para o ensino da matemática:cáculo de áreas dasfiguras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 19
  • 18. A diferença entre as duas maneiras distintas de utilização de MD aquiapresentadas ressalta que a eficiência do MD depende mais do professor do que dopróprio MD, e ainda mostra a importância que a utilização correta do MD tem nodesenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno. O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepção do professor arespeito da matemática e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemáticacomo um conjunto de proposições dedutíveis, auxiliadas por definições, cujosresultados são regras ou fórmulas que servem para resolver exercícios em exames,avaliações, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro,mostrar ou provar aos alunos que a soma dos três ângulos dá ISO graus e, em seguida,dar alguns exercícios para auxiliar a memorização dessa propriedade. Para muitos denós, a matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza eharmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocadoa nosso serviço. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdadesmatemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, amelhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazerconstatações, a satisfa-çlo do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser umbicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar. Com referência à manipulação propriamente dita do MD pelos alunos, convémlembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza oudificuldade e propiciar noções superficiais, ideias incompletas e percepções vagas ouerróneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tem-po para que realizem uma livre exploração. Todas as pessoas passam por essa primeiraetapa em que, através da observação, conhecem o superficial do MD, tal como suaspartes e cores, tipos de peças e possibilidade de dobra ou decomposição. São essesbanais conhecimentos que possibilitarão, com ou sem o auxílio do professor, a procura ea descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pelafigura 17, feito em papelão, onde os pontos A a B são fixos e Pé móvel; os três pontosA, B, P são unidos por um fio; para representar vários triângulos, o P deve deslocar-sepelo corte no papelão, entre C e D. Os triângulos são diferentes quanto às formas, mastodos têm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se ABfor paralelo a CD? O que se pode dizer das áreas desses diferentes triângulos? E de seusperímetros? Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 20
  • 19. Diante desse MD, é provável que os alunos se deparem inicialmente observandoe testando o possível movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD.Feito isso, as questões anteriores se tornarão fáceis aos alunos, se souberem os conceitosde perímetro e de área. Aqui, é importante que seja realizada entre os alunos averbalização dos pensamentos, isto é, a comunicação das ideias, raciocínios, ações econclusões deles. Será nesse momento que o professor poderá avaliar como e o que osalunos aprenderam; além disso, a socialização das estratégias, processos, erros e conclu-sões, entre os alunos, não é menos importante para a formação deles. Após averbalização, é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conformesuas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas eabstraías, por eles realizadas. 1.3.4. Potencialidades do MD Todo MD tem um poder de influência variável sobre os alunos, porque essepoder depende do estado de cada aluno e, também, elo modo como o MD é empregadopelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, há uma diferença pedagógicaentre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com umMD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas osresultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque,de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez quepoderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar osresultados obtidos durante suas atividades. Existem também diferenças de potencialidadeentre o MD manipulável e sua representação gráfica,porque, apesar de todas as contribuições da perspectiva,ela não retrata as reais dimensões e posições dos lados efaces dos objetos, uma vez que ela camufla operpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostraa figura 18. Talvez a melhor das potencialidades do MD sejarevelada no momento de construção do MD pelospróprios alunos, pois é durante esta que surgemimprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrircaminhos e soluções. Vejamos, então, algumas potencialidades mais específicas dos MD. Raios X Analise o seguinte diálogo, frequente em nossas salas de aula, até mesmo emcursos de aperfeiçoamento para experientes professores de ensino fundamental. Aos alunos é dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo comprimento, representando um losango, flexível nos pontos 1, 2, 3 e 4. Professor - Procurem transformar esta figura em outras e digam o que observaram. Alunos - “Um segmento”; “um triângulo”; “outros losangos”; “quando o ângulo 1 aumenta, o ângulo 2 diminui”; “os ângulos opostos são iguais”, “outros paralelogramos”, “um quadrado”. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 21
  • 20. Professor - A sequência de movimentos que transformou losango em quadrado destruiu alguma característica (propriedade) dos losangos? Alunos - Não, os lados continuaram iguais. Professor - Então, o quadrado é losango? Alunos - Não, losango é losango, quadrado é quadrado. Note que:a) Esta última resposta indica que esses alunos estão no primeiro nível da proposta deVan Hiele6.b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatarconceitos que precisam ser revistos ou ampliados.c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raiosX é para o médico ou dentista. Complicador Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, às vezes, elepode ser um complicador. Em outras palavras, é muito mais fácil dar aula sem MD, mastambém é mais difícil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir umdeterminado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realização de observações,constatações, descobertas e até mesmo o levantamen-to de hipóteses e a elaboração etestagem de estratégias que, às vezes, não estavam previstas no planejamento nem eramdo conhecimento do professor. No entanto, é preciso reconhecer que essa dificuldadevem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Umexemplo disso (figura 20) é o que pode acontecer quando se dá ao aluno um triângulo(dobrável pelos pontos médios dos lados), esperando que ele redescubra que “a somados três ângulos é 180 graus” (figura 21), como foi sugerido em 3.3: Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformação anterior,frequentemente dizem que “o triângulo se transformou em dois retângulos”, o que éuma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que não consta nos livrosdidáticos; ou, então, os alunos dizem que “no triângulo sempre cabem seis triângulos”,referindo-se à propriedade “todo triângulo pode ser decomposto em seis triângulosmenores congruentes dois a dois”. Outra observação dos alunos que pode surpreenderalguns professores é a de que a área do retângulo (figura 21) é a metade da área dotriângulo inicial (figura 20). Tal constatação é válida, mas, também, é contraditória para6 Van Hiele propõe que o desenvolvimento do pensamento geométrico pode se dar em cinco níveis. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 22
  • 21. quem se lembrar das fórmulas para cálculo da área de retângulo e de triângulo. Como seexplica essa contradição? Só para crianças A experiência tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer queseja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD só deve serutilizado com crianças. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstraçãoé essencial para a aprendizagem da matemática, quanto mais o MD concreto forutilizado, mais retardado será o processo de abstração, de matematização do aluno. Aqueles que assim pensam provavelmente ainda não fizeram a seguinteexperiência: escolha pessoas adultas que não estudaram geometria espacial e diga a elasque “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides”. Se elas nãocompreenderem a mensagem, e certamente não a compreenderão, apresente o desenhoda figura em questão; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas nãocompreenderá o que está sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado ummodelo tridimensional para manusear, imediatamente indicarão ter compreendido osignificado da frase. Então, por que utilizar MD só com crianças? Na verdade, o importante é verificar se o assunto é novidade para os alunos, enão a idade deles. Regulador O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vezque ele possibilita ao aluno aprender em seu próprio ritmo e não no pretendido peloprofessor. Por isso, o emprego de MD pode “atrasar o programa”, e essa é uma dascríticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilização de MD pode inicialmentetornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido à compreensão adquirida pelo aluno,o ritmo aumentará e o tempo gasto no início será, de longe, recompensado emquantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, é uma questão de opção:valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender comcompreensão, lembrando que, se não há aprendizagem, não podemos considerar quehouve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunosapresentando questões que os auxiliem em suas reflexões, fazendo acontecer a chamadadescoberta dirigida. Portanto, é possível interferir no ritmo dos alunos. Modificador Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em três pirâmides pode-se verificarque a utilização do MD favorece a alteração de ordem de abordagem do conteúdoprogramático, pois a dupla MD e imaginação infantil quase sempre abre um leque depossibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, poroutro se torna mais difícil para ser conduzido dentro de uma visão fechada, diretiva epredeterminada. É importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento doassunto; ao contrário, ele quase sem-pre propicia a antecipação da abordagem. Outroexemplo que ilus-n.i liem isso é o seguinte: diante do triângulo cujos ângulos se juntampara mostrar que a soma é 180 graus (assunto de 7a e 8a séries), crianças de 1a sériedisseram que “as três pontas dá meia roda”. Longe de observar erro de português oufalta de rigor na linguagem matemática, é preciso exaltar que intuitivamente as criançasem fase escolar inicial já conseguem detectar a verdade matemática e expressá-la emsua linguagem. E isso é uma façanha, porque eles ainda não construíram os conceitos detriângulo, ângulo, grau, adição, círculo e medida. Será que isso significa que é preciso Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 23
  • 22. abrir mão do rigor para se conseguir o rigor? Será que isso indica que a dosagem seriadadeve merecer uma atenção maior do que a escola tem dado? Ou será isso uma indicaçãode que o MD permite antecipar a abordagem de conteúdos programáticos no currículoescolar? Outro tipo de alteração que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere aonível de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrência da motivação queele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que paramuitas pessoas pode significar bagunça. Dosagem seriada A prática pedagógica tem confirmado a necessidade e a conveniência da adoçãodo currículo em espiral, tão recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo dasséries, os mesmos assuntos são retomados e, a cada vez, os conhecimentos sãoampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a série cal-culem áreas de figuras planas sem usar fórmulas (por equivalência de áreas), o processopode começar na educação infantil através da montagem/desmontagem de figurasquaisquer; em seguida, na la/4a séries, devem vir jogos livres com figuras de diferentesformas e cores, explorando a equivalência de suas áreas (por transformação) para, então,finalmente na 5a série, serem calculadas as áreas por meio de medidas. Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porém, em diferentes níveisde conhecimento. É o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitágoras, apresentadono item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepção da existênciade uma equivalência entre “os quadrados”; mais tarde, com o apoio de con-tagcm oumedida, os conhecimentos avançam para a constatação numérica (área), a condicional(triângulo retângulo), depois para a demonstração (prova) e finalmente para ampliaçõesdo tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra“quadrado” no enunciado refere-se à forma ou à área de figura? Em quais condições oteorema vale para três dimensões (volume)? Quais aplicações práticas são previsíveis? Computador Uma outra crítica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com achegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessário. Primeiramente, épreciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à grande maioria dasescolas brasileiras; e isso é mais sério do que parece, porque muitas escolas que já seequiparam com computadores não sabem bem o que fazer com eles. tudo indica quecomprar o equipamento e conseguir o espaço físi-CO para ele é o mais fácil: o maisdifícil é conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparadopara elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos quetivemos até hoje. Em segundo lugar, o MD manipulável tem-se mostrado um eficienterecurso para muitos alunos que, não compreendendo a mensagem (visual) da tela docomputador, recorrem ao MD (manipulável) e então prosseguem sem dificul-dades como computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a função de umpré-requisito para que se dê a aprendiam através do computador. Funciona sempre? Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode nãoapresentar o sucesso esperado pelo professor. Como já vimos no item 3, para que se dêuma significativa aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e nãosomente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD como Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 24
  • 23. um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, elesó produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita sercorretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quandocolocá-lo em cena. Caso contrário, o MD pode ser ineficaz ou até prejudicial àaprendizagem. Efeitos colaterais Se for verdadeiro que “ninguém ama o que não conhece”, então fica explicadoporque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não foi dado conhecer amatemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de MD, oprofessor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com com-preensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de seremcriadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a de ser ela umadisciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outrassemelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante duranteas aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídospela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será oaumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno. 1.3.5. Obstáculos ao uso do MD De modo geral, pode-se dizer que os obstáculos ao uso do MD são de ordemextrínseca a ele, pois é fácil constatar que a própria política educacional emanada pelosgovernos federal, estaduais ou municipais geralmente não preconiza ou orienta oseducadores ao uso do MD; que raras são as escolas de ensino fundamental ou médio quepossuem seu LEM; que poucas são as instituições responsáveis pela formação deprofessores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrência, muitos professoresnão sentem falta de MD em suas práticas pedagógicas, ou não dispõem de MD, ou nãoacreditam nas influências positivas do uso do MD na aprendizagem, ou não sabemutilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentesmotivos, resistem às mudanças didáticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o usodo MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7. Enfim, as causas da ausência do MD nas salas de aulas não são devidas a elepropriamente. 1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM• O que é um LEM?• Quais são os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM?• Por que escolas de formação de professores devem possuir seus LEMs?• O que você pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM?• Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem?• Quando o uso do MD é recomendável? Justifique.• Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD:o cognitivo, o afetivo, o histórico, o pedagógico ou o epistemológico?• Por quais maneiras se pode dar a má aplicação do MD?• Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo?• O uso de MD facilita ou dificulta o magistério? Justifique.7 Sérgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminário sobre Prática do Ensino, UNESP, Rio Claro, em1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRN, em 1990. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 25
  • 24. • A ausência de MD torna deficiente o ensino? Justifique.• Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD?• Quais são as características de um bom MD?• Por que os alunos preferem aulas com MD?• Quais são os argumentos favoráveis ao uso de MD no ensino?• Quais são os seus argumentos para não usar MD em suas aulas?• Dê exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexão dos alunos.• Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreensão.• Comente: O MD só deve ser usado com crianças.• Comente: A aritmética e a álgebra escolares podem tornar-se mais fáceis aos alunosse ilustradas com o apoio das formas, pois é a geometria que, por possibilitar asrepresentações visuais, intermedeia as sensações iniciais do mundo físico com asabstrações exigidas pelo processo de formação dos conceitos matemáticos.• Comente: As características dos MD devem ser distintas de acordo com os níveisescolares ou com as faixas etárias a que se destinam.• Comente: As secretarias de educação deveriam implantar LEM em suas escolas. 1.5. Referências bibliográficas do textoCASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la matemática moderna. Tradução de FelipeRoblelo Vasquez. México (DF), Trillas.DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalización en la ensenanza. 2. reimpresión.Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educación.FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). “Uma reflexão sobre o uso de materiaisconcretos e jogos no ensino da matemática”. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n. 7.KOPNIN, P.V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro,Civilização Brasileira, vol. 123 (Coleção Perspectivas do Homem).LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos nacriança. Tradução de Auriphebo B. Simões. Porto Alegre, Artmed.MANSUTTI, M. A. (1993). “Concepção e produção de materiais institucionais emeducação matemática”. Revista de Educação Matemática - SBEM, São Paulo, ano 1, n.l, pp. 17-29.NICOLET, J.L. (1967). “Intuición matemática y dibujos animados”. In: COMISIONINTERNACIONAL PARA EL ESTÚDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS.El material para la ensenanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina.Madrid, Aguilar, pp. 55-73.POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo.Rio de Janeiro, Interciência.RÊGO, R.G. & RÊGO, R.M. (2000). Matematicativa. João Pessoa, Ed. UFPb.STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Tradução de MariaHelena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar.THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools.London, G. Bell e Sons. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 26
  • 25. 2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DI- DÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA8 Rômulo Marinho do Rego9e Rogéria Gaudêncio do Rego10 A filosofia e política do Laboratório de Estudos e Pesquisa da AprendizagemCientífica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemática do Centro de Ciên-cias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraíba (CCEN/UFPb), vêmsendo elaboradas e discutidas desde a sua fundação, em 1991. Baseiam-se na crençade que a construção do saber matemático é acessível a todos e que a superação dosbaixos índices de desempenho de nossos alunos requer também conhecimentos exter-nos à matemática; compromissos políticos na direção de mudanças, envolvendo a es-cola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condições de tra-balho e por uma formação inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa,visando o desenvolvimento de materiais didáticos adequados à realidade das nossasescolas e de sua divulgação por meio de livros, as ações da equipe do LEPAC estavaminicialmente direcionadas para a formação de especialistas, lançando as condiçõesde superar as limitações dos cursos de pós-graduação de caráter tecnicista, passandoposteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantação de clubes e labora-tórios de matemática; na montagem de módulos e projetos de feiras de ciências naárea de matemática; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemá-tica, além da realização de uma exposição anual intitulada "Matemática e imagina-ção", nos moldes da exposição francesa "Horizontes matemáticos". As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemáticos a-pontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanças - entre as quais:resolução de problemas, jogos e quebra-cabeças, história da matemática - estão inte-gradas às diversas ações da equipe do LEPAC, que já executou mais de vinte projetosinstitucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11 e realizoucursos e exposições em instituições de ensino fundamental, médio e superior em es-tados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renova-do e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na área de ensino de matemática, com-posto de kits didáticos, jogos e quebra-cabeças, coleção de elementos da natureza,ricos de conexões com a matemática, entre outros recursos. As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um en-sino voltado para a promoção do desenvolvimento da autonomia intelectual, criati-vidade e capacidade de ação, reflexão e crítica pelo aluno. Para tanto, faz-se neces-8 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) –Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 39.9 Bacharel e mestre em matemática e doutor em educação matemática. E professor do Departamento de Matemá-tica e Estatística da Universidade Estadual da Paraíba (UEPb) e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro deEducação da Universidade Federal da Paraíba (UFPb).10 Bacharel em matemática, mestre em filosofia e doutora em educação matemática. É professora do Departa-mento de Matemática da UFPb e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da mesmauniversidade.11 Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educação para a Ciência; PADCT -Programa de Apoio ao Desen-volvimento Científico e Tecnológico; CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; PRO-GRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduação - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb;PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extensão - UFPb Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 27
  • 26. sário a introdução da aprendizagem de novos conteúdos de conhecimentos e de me-todologias que, baseadas na concepção de que o aluno deve ser o centro do processo deensino-aprendizagem, reconheça, identifique e considere seus conhecimentos pré-vios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidadão em uma socie-dade submetida a constantes mudanças. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) em uma escola constitui umimportante espaço de experimentação para o aluno e, em especial, para o professor,que tem a oportunidade de avaliar na prática, sem as pressões do espaço formal tradi-cional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas dis-ponibilizados na literatura (ver sugestões em Rego & Rego, 2004), ampliando suaformação de modo crítico, ou seja, quando associado à formação docente, oportunizaa realização de atividades em que professores da educação básica e alunos de cursosde licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliação pessoal do sistema de ensinoadotado em nossas escolas e construir modelos viáveis de superação de seus aspectosnegativos. Quando instalados em instituições de ensino superior, os laboratórios de en-sino, além de incentivar a melhoria da formação inicial e continuada de educadoresde matemática, promovendo a integração das ações de ensino, pesquisa e extensão,possibilitam:i. Estreitar as relações entre a instituição e a comunidade, atuando como parceira nasolução dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensi-no e constituindo um espaço de divulgação e de implantação de uma cultura de basecientífica;ii. Estimular a prática da pesquisa em sala de aula, baseada em uma sólida forma-ção teórica e prática; eiii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando à instalaçãode clubes e laboratórios de matemática, além de oficinas e cursos de formação conti-nuada para seus professores. Uma das linhas de investigação e ação em um LEM compreende a elaboração,adaptação e uso de materiais didáticos de matemática, considerando-se os objetivoseducacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem deconhecimentos de naturezas diversas (informações, conceitos, habilidades ou atitu-des), seu alcance e suas limitações e a sua adequação à competência dos alunos, le-vando-se em conta conhecimentos prévios, faixa etária, entre outros elementos. Seconcebermos uma aula de matemática como um espaço em que os alunos vão expe-rimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades deaprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiaisadequados são necessários. Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didático no ensino damatemática, suas principais funções (1962, pp. 10-13): i. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível; ii. Acabar com o medo da matemática que, criado por alguns professores e alimentado pelos pais e pelos que não gostam de matemática, está aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matéria e iii. Interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência. Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didático pode ser,caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem não reside em Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 28
  • 27. sua estrutura física ou na simples ação sobre ele, mas resulta do aprofundamento dereflexões sobre essa ação. Acreditava-se, há até relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam deigual maneira, acumulando informações e regras. Sabemos, entretanto, que cada alu-no tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, es-tando seu pensamento em constante processo de mudança. A aprendizagem pelacompreensão é um processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo,embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocínio o que quase sempre édeixado apenas como tarefa para a memória. As interações do indivíduo com o mun-do possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idéias e organizar informações, inter-nalizando-os. Por meio de experiências pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gos-to pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para vencê-los, desenvolven-do conhecimentos na direção de uma ação autônoma. Porém, como afirmava Igná-tiev, ainda no ano de 1911, "a independência mental, a reflexão e a criatividade nãopodem ser metidas em nenhuma cabeça", sendo seguros apenas os resultados doscasos em que a introdução no campo da matemática ocorrer de forma prazerosa, "ba-seando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criativi-dade e interesse correspondentes" (IGNÁTIEV, 1986). Nessa concepção de aprendi-zagem, o material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua utiliza-ção adequada, os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para que a-prender matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a a-prendizagem pela formação de idéias e modelos. Assim, as atividades realizadas em um LEM estão voltadas para o desenvol-vimento de conhecimentos matemáticos e a formação geral do aluno, auxiliando-o a:i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas;ii. Adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações;iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais;iv. Iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática;v. Estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade;vi. Promover a troca de idéias através de atividades em grupo;vii. Estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminaçãovisual e a formação de conceitos. Em razão das características socioeconômicas da nossa população, um dosgrandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam à frente de LEMs com-preende a socialização dos resultados de seus trabalhos. Nossa experiência pessoalaponta para a possibilidade de produção e de massificação de materiais de baixo cus-to e grande potencial didático, dentro de padrões de segurança que não coloquem emrisco o seu usuário, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadasagradáveis aos sentidos, contribuindo para formação do senso estético e direcionan-do a atenção e a percepção para os aspectos cognitivos a serem trabalhados. Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoção de ativi-dades didáticas em um LEM, apresentamos algumas sugestões, aqui descritas de mo-do sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula poderão ser encontrados com deta-lhes nos textos já publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, RE-GO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicação pela equipe do LEPAC. É Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 29
  • 28. importante lembrar que os roteiros de sugestão de uso de qualquer recurso instrumen-tal devem ser vistos como possíveis caminhos que poderão ou deverão ser reestrutu-rados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem de-senvolvidos, e não como receituários, seguidos fielmente sem a promoção de refle-xões. A primeira atividade, intitulada estudo de quadriláteros (RÊGO & REGO,1999a), demanda apenas papel (ofício, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Suge-rimos que seja desenvolvida no estudo de quadriláteros, sendo indicada para alunosde todas as séries da educação básica. O que deverá variar, em cada caso, são as exi-gências formais envolvidas, no que trata da análise das propriedades das figuras ob-tidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nívelda turma e dos objetivos a serem alcançados. O procedimento a ser adotado inicia-secom o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimentoe 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anelcomum, como indicado na figura 1. Iniciar a discussão questionando aos alunoso que acontece quando cortamos um desses anéis aomeio, ao longo da linha pontilhada, como indicado nafigura l (o pontilhado não precisa ser feito, na ilustra-ção serve apenas para indicar onde deverá ser realiza-do o corte). Depois de feitas as previsões, cortar oanel e conferir o resultado. Em seguida, colar dois anéis iguais ao pri-meiro, com mesmo diâmetro e largura, um perpendi-cular ao outro, como indicado na figura 2, estimandoo que acontece quando cortarmos ao meio os doisanéis colados, como feito no anel da questão inicial.Verificar o resultado obtido confrontando-o com ashipóteses levantadas. Vale notar que, quando o primeiro anel é cor-tado, o conjunto fica semelhante a uma algema (umatira com duas argolas, uma em cada extremidade).Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta cor-responde a uma das argolas que estavam inicialmen-te coladas. Os alunos poderão em seguida investigar:i. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um losango (não quadrado)?ii. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-los) para que o resultado seja um retângulo (não quadrado)?iii. Como devem ser os anéis, e como colá-los, para que o resultado seja um paralelo-gramo (não quadrado)? Outras investigações podem ser feitas:i. Colar três anéis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortaros três ao meio, tentando estimar e verificando o resultado; Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 30
  • 29. ii. Colar três anéis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior,ou três iguais colados inclinados um em relação ao outro, estimando e verificando osresultados, entre outras. Solicitar aos alunos que façam um pequeno relatório ou tabela, descrevendo adimensão dos anéis (se todos são de mesmo tamanho ou não); a quantidade de anéisutilizada em cada caso; como estavam colados uns em relação aos outros (se perpen-diculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nível da turma, osalunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definições einterseções entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado é um re-tângulo, embora o contrário não aconteça. Essa atividade enseja oportunidade deabordar de maneira intuitiva questões relativas aos quantificadores universais e exis-tenciais e de suas negações; levar o aluno a diferenciar o que é uma definição e umconceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemática comoum conhecimento social, em permanente processo de construção. Após cada ativi-dade, além do registro e da busca de associação do conhecimento desenvolvido den-tro da linguagem, abre-se um espaço para discutir as habilidades que estão sendodesenvolvidas com a realização e reflexão sobre ela. Ainda em geometria, sugerimos para a confecção de esqueletos de poliedros,que poderão ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de sólidos,planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos decabelo (de metal, comuns) e canudos de refrigerante. O processo de confecção dospoliedros é bastante simples e as vantagens do material são muitas: baixo custo, faci-lidade de uso, rapidez do processo e possibilidade de reaproveitamento do material.O número de canudos utilizados em um poliedro será igual a seu número de arestas eo número de grampos será igual à soma do número de arestas que convergem para ca-da vértice do sólido. Acompanhe o seguinte exemplo, com a construção do esqueletode um tetraedro (pirâmide de base triangular) regular, para o qual iremos precisar deseis canudos e doze grampos de cabelo. Inicialmente prender cada grupo de trêsgrampos entre si, formando quatro sistemas de articulação, como indicado na ilustra-ção do centro na figura 3. Depois de prontas as articulações, inserir a parte ondulada dos grampos no in-terior dos canudos (ilustração da direita na figura 3), correspondendo a cada con-junto de três grampos um vértice do tetraedro. Este poderá ser posteriormentedesmontado e grampos e canudos serem utilizados na construção de outrospoliedros, modificando-se a quantidade de canudos e/ou a quantidade de gramposem cada sistema de articulações, de acordo com a necessidade. Nesse caso, como em qualquer caso de construção de esqueletos depoliedros, a rigidez da figura dependerá da forma de suas faces: se apenas Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 31
  • 30. triangulares a figura será rígida, caso contrário ficará flexível. Os grampos de cabelopoderão ainda ser substituídos por clipes de papel de tamanho adequado, isto é, comlargura igual ao diâmetro interno do canudo, onde eles serão inseridos após seremagrupados entre si, de modo semelhante aos grampos. Em cursos de formação inicial ou continuada, uma experiência interessanteconsiste em dividir a turma em grupos, cada um deles produzindo esqueletos depoliedros utilizando um material específico (canudos de refrigerante e grampos decabelo, clipes de papel, barbante, fita adesiva, arame ou outros, e conexões feitascom borracha de soro e canudos de churrasco ou pirulito. Ver foto 1), conversando,depois, sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos materiais empregados,referentes a custo, disponibilidade local dos insumos, tempo de elaboração, riscos deacidentes no processo, durabilidade, resistência, direcionamento para os objetivoscognitivos programados e resultados estéticos. Dentre os diversos materiais didáticos que "evoluíram" no LEPACdestacamos o Geoespaço, aqui exemplificando o processo de constanteaperfeiçoamento de nosso acervo, visando criar ou adaptar kits existentes àrealidade das escolas, considerando, como já afirmamos, objetivos, potencialidade elimitações, custo, durabilidade, resistência, segurança e apresentação. Baseado emum material sugerido para a construção e o estudo de prismas e pirâmides em umapublicação de uma mostra de materiais concretos para o ensino de matemática,realizada em Madrid em 1958 (ADAM, 1958), desenvolvemos um modelo de fácilconfecção e uso. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 32
  • 31. Simplificamos omodelo apresentadoutilizando uma base demadeira, quatro cantoneirasque dão sustentação a umaplaca quadrada de acrílicotransparente de 4 mm. Nosdois planos (base demadeira e placa deacrílico) são traçadasmalhas quadriculadassemelhantes, comquadrados de 3 cm delado, em cujos vérticessão fixados pequenosganchos de cobre,utilizados pela indústria demobiliário (e facilmente encontrados em casas de ferragens). Os esqueletos dossólidos são construídos com ligas de borracha, presas entre os ganchos dos doisplanos, delimitados por ligas que formam polígonos nas duas malhas quadriculadas(ver exemplo na foto 2). Um simples deslocamento de um dos polígonos e das borrachascorrespondentes possibilita a rápida transformação de um prisma reto em um prismaoblíquo de mesma base, tendo-se a visualização das vistas do poliedro facilitada pelatransparência do acrílico, assim como a identificação e compreensão dos elementosque caracterizam um determinado tipo de sólido. O modelo pode ser desmontável,facilitando o seu transporte e armazenamento. Os dois últimos recursos apresentados, além da grande versatilidade, possibilitamtrabalhar com geometria espacial em sala de aula com modelos tridimensionais, evitando-se recorrer apenas a figuras planas (no quadro ou livro) com representações de sólidos paratal. O desenvolvimento dehabilidades específicas,como a percepçãoespacial, a visualização decortes e planos desimetria, relações entrevolumes, entre outras,requer a realização deatividades voltadas paraesses fins,preferencialmenteiniciando-se com mate-riais presentes nocotidiano do aluno, aexemplo de uma eoleçãode embalagens diversas, e Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 33
  • 32. posteriormente ampliando-se o estudo dos sólidos geométricos por meio das figuras obtidascom os canudos ou no Geoespaço, na direção da representação destes no plano. Os recursosapresentados nas fotos seguintes, descritos de modo sucinto, indicam a possibilidade deconcretização de ideias criativas para um LEM, facilmente reprodutíveis, sem demandarcustos financeiros degrande monta. O material da foto3 é utilizado para substituiros blocos lógicos, nasdiversas atividadespossíveis de seremrealizadas com essematerial, sendosocialmente maissignificativo e rico emtermos de propriedadesgerais, o que ampliaconsideravelmente ascategorias paraclassificação emsubconjuntos, entre outrasvantagens. Na foto 4, temos dois jogos para as séries iniciais, um compreendendo uma trilhacom círculos concêntricos feita com uma base descartável para bolo e outro uma mancala12com copos de iogurte. Na foto 5, temos umjogo de pares, feito compotes para filmesfotográficos, com materiaissemelhantes em seu interior(dois potes cheios até ametade com areia, doisoutros com arroz, dois comclipes de papel, etc.) que,depois de misturados,devem ser separados pelosalunos em pares,identificados pelasemelhança do som queproduzem. Estimulam, alémdo trabalho com a idéia depar e a classificação de elementos sonoros, a concentração e a prática da auto-avaliação,uma vez que o próprio aluno pode, abrindo as tampas, conferir se suas respostas estão12 Mancala é um jogo de tabuleiro de origem africana, com mais de quatro mil anos, e que apresentainúmeras variantes. As regras podem ser encontradas na internet ou em livros sobre jogos. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 34
  • 33. corretas. As roletas, confeccionadas em EVA e tampas de potes de mostarda ou ketchup, oucom tampas plásticas circulares, substituem com eficiência os dados comuns, podendo sernumeradas de acordo com as necessidades específicas de uma atividade. O terceiro e últimomaterial da foto é produzido em EVA e restos de espirais de encadernação, compreendendoum quebra-cabeça com peças articuladas que, quando dobrado, pode gerar figuras dediversas formas, que podem ser classificadas pelos alunos de acordo com o número delados, concavidade ou convexidade, ângulos internos, número de diagonais, entre outros. Na foto 6 um bingo feito com garrafas PET de diferentes tamanhos transforma-se em um atraente material para a prática do cálculo mental em sala de aula. O ábaco aberto, com base em EVA, pinos em lápis marcadores para quadro- branco e argolas de bases fixadoras de tampas de garrafas PET (de refrigerante ou água mineral) pode ser usado na representação e leitura de números na basedez, destacando-se as características de nosso sistema de numeração, a exemplo dovalor posicional. É importante frisar que a utilização de todo e qualquer recurso didático exigecuidados básicos por parte do professor, entre os quais destacamos:i. Dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante que os alunos o explorem livremente);ii. Incentivar a comunicação e troca de ideias, além de discutir com a turma os diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos;iii. Mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das ati-vidades por meio de perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou coleti-vo das ações realizadas, conclusões e dúvidas;iv. Realizar uma escolha responsável e criteriosa do material;v. Planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom senso para adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a sugestões e modificações ao longo do processo, evi. Sempre que possível, estimular a participação do aluno e de outros professores na confecção do material. Alguns princípios a serem promovidos em sala de aula, defendidos por IreneAlbuquerque (1951), dentre os quais, possibilitar variadas experiências de ensinorelativas a um mesmo conceito matemático; atribuir significado para aaprendizagem; criar situações para que o aluno redescubra padrões, regras e relaçõese "criar um ambiente agradável em torno do ensino de matemática, promovendo osucesso e evitando o fracasso", são facilitados no espaço de um LEM. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 35
  • 34. Tais princípios, desenvolvidos em todos os níveis de ensino, deverão estarteoricamente bem fundamentados, baseados em um profundo conhecimento dosconteúdos matemáticos, dos resultados de pesquisas, da elaboração, estudo econfecção de recursos didáti-cos e na execução de projetos envolvendo escolas daregião, o que possibilita uma permanente avaliação qualitativa do trabalho realizado. Finalizamos defendendo a importância de um LEM em escolas de educaçãobásica e em instituições superiores envolvidas em cursos de formação de professores,considerando em especial o grande distanciamento entre a teoria e a prática, hojeainda predominante nas salas de aula em todos os níveis de ensino; a baixa conexãoentre os conteúdos de matemática e destes com as aplicações práticas do dia-a-dia e anecessidade de promoção do desenvolvimento da criatividade, da agilidade e dacapacidade de organização do pensamento e comunicação de nossos alunos.Referências bibliográficas do textoADAM, P. Puig (1958). El material didático matemático actual. Madrid, Espanha,Inspeccion Central de Ensenanza Media.ALBUQUERQUE, Irene de (1951). Metodologia da matemática. Rio de Janeiro,Conquista.BEZERRA, Manoel Jairo (1962a). Recreações e material didático de matemática. Riode Janeiro. ________ . (1962b). O material didático no ensino de matemática. Rio de Janeiro,MEC/Caderno CEDES.GROSSNICKLE, F.E. &BftUECKNER,Leo J. (1965). O ensino da aritmética pelacompreensão. Rio de Janeiro, Fundo de Cultura.IGNÁTIEV, E.I. (1986). En el reino dei ingenio. Moscou, Mir.REGO, Rogéria G. & REGO, Rômulo M. (2004). Matematicativa. 3. ed. João Pessoa,EdUFPb. ________ (1999a). Matematicativa II. João Pessoa, EdUFPb._________. (1999b). Figuras mágicas. João Pessoa, EdUFPb.REGO, Rogéria G.; REGO, Rômulo M. & GAUDENCIO JR., Severino (2003). A geometriado origami. João Pessoa, EdUFPb. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 36
  • 35. 3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de livros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificu dificul- dade ppara o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. sinar Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mostrada nafigura ao lado. Pode-se ensinar geometria espacial por i se in- termédio da montagem de sólidos, em que a criança tagem recorta um desenho numa folha de cartolina e, atr atra- vés de dobraduras e colagem, monta um sólido ge geo- métrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, a- lém de possibilitar que a criança construa e e estruturas e "brinque" com a geometria espacial, totorna possível a visualização de alguns elementos que na atividade com cartolina são menos notados. Estes elementos nossão as arestas e os vértices dos sólidos. A estrutura mais simples para se montar é a ado tetraedro (poliedro de quatro f faces) que possui 6arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota nota-se quecada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. edroPortanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 locanudos de refrigerante. Ligar um canudo ao ou- tro pode parecer algo compl compli- cado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algalgu- mas tentativas. Para começar a construção da estrutura deve iniciar pela deve-se base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o triângulo deverá ser equilátero. A constr ção da base começa pa construção pas- sando-se sando o barbante por três canu- dos. Depois de passar o barbante pelos canudos pa pas-sa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse sejeito não será preciso dar um nó, ai ainda. Concluída esta etapa temos a estrutura comomostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantaro tetraedro, que também é uma pirâmide de base tria trian-gular. Pegamos a ponta do barbante que acabamos depassar pelo canudo da base e passamos por dois ou outros canudos. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 37
  • 36. Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá naoutra extremidade e poderemos passá pelo último canudo. passá-la Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o tte-traedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostradona figura. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duasvezes pelo mesmo canudo. Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas. Em vez deusar barbante para unir os canudos pode se usar bolinhas de isopor ou massa de mod pode-se mode-lar. Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ouseja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices aopostos. Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar deformar-se. Para construí-la serão necessários 8 canudos. la 3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos Um dodecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono ecaedrode lado l. Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas p . po-demos perceber que três pentágonos compartilham o me mes-mo vértice, resultando em 60/3 = 20 vértices ao todo. O mesmo procedimento é utilizado para as arestas:temos 5 arestas em cada pentágono, o que resultaria em5·12 = 60 arestas no dodecaedro. Contudo, notamos quedois pentágonos são ligados pela mesma aresta. Assim t te-remos 60/2 = 30 arestas neste sólid sólido. Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro.Porém um jeito que achei mais interessante é através da Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 38
  • 37. estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se nota que cada aresta co cor-responderá a um canudo, ou seja, 30 canudos. Todavia, d dependendo do método que se ousa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderávirar um "tortaedro".Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrut estrutu-ra ficar firme, precisei ligar todos os vértices ao centro do dodecaedro, como mostrado vérticesna figura. Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao t to-do será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm compr compri-mentos diferentes. Veja a figura: A construção começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a p nstrução pi-râmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do pr pro-cesso 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma alturaespecífica. Através das características do pentágono podemos encontrar a apótema a e a dis- avéstância b do centro ao vértice do pentágono. Depois de alguma álgebra é possível concluir que a altura h da pirâmide vale: Lembre-se que l é o lado do pentágono, e também o comprimento dos canudos comprimentoque formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento doscanudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4· , ou seja, se você for construir um 1,4·l,dodecaedro de arestas medindo 20 cm, então os canudos internos deverão medir 1,4·20 deverão= 28 cm. 3.2. Lista de materiais 30 canudos de comprimento l para as arestas; 20 canudos de comprimento 1,4· 1,4·l,para a estrutura interna; no mínimo um barbante de comprimento 116· , que corresponde 116·l,a duas passadas em cada canudo; e muita paci paciência. Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos comcanudos: Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 39
  • 38. Pirâmide de base penta- gonal OctaedroPirâmide de base quadrada5 faces, 5 vértices, 8 arestas e 6 faces, 6 vértices, 10 ares- 8 faces, 6 vértices, 12 es, 8 canudos. tas e 10 canudos. arestas e 12 canudos. Decaedro Dodecaedro Icosaedro 12 faces, 20 vértices, 3010 faces, 7 vértices, 15 arestas arestas e 50 canudos (30 20 faces, 12 vértices, 30 e 15 canudos. das arestas e 20 dos vérti- arestas e 30 canudos canudos. ces).Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser umabrincadeira interessante.Segundo este teorema, se pegarmos um poliedro de F faces, V vértices e A arestas, te-remos a seguinte relação: F + V – A = 2.Mas, será que funciona mesmo? Vamos ver:Tetraedro: F = 4, V = 4, A = 6: F+V-A = 4+4-6 = 2;Pirâmide de base quadrada: F = 5, V = 5, A = 8: F+V-A = 5+5-8 = 2;Cubo: F = 6, V = 8, A = 12: F+V-A = 6+8-12 = 2;Octaedro: F = 8, V = 6, A = 12: F+V-A = 8+6-12 = 2;Decaedro: F = 10, V = 7, A = 15: F+V-A = 10+7-15 = 2;Dodecaedro: F = 12, V = 20, A = 30: F+V-A = 12+20-30 = 2;Icosaedro: F = 20, V = 12, A = 30: F+V-A = 20+12-30 = 2. 3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regularMaterial a ser utilizado:Ø Um metro de linha nº 10; º Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 40
  • 39. Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros).Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo umtriângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais doispedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos lados doprimeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelopedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura representa asarestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção estãorepresentadas abaixo:Nas construções das estruturas é importante observar que, para se dar firmeza aos vérticesde uma estrutura, é necessário reforçá-los passando o fio de linha mais de uma vez porcada pedaço de canudo, ligando-o aos outros dois. Observe a figura abaixo: 3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regularMaterial a ser utilizado:Ø Dois metros de linha nº 10;Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (novamente sugiro a medidade 8 centímetros).Com pedaços de canudos e o fio de linha, construa quatro triângulos e os uma, dois a dois,conforme o esquema apresentado abaixo: Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 41
  • 40. 3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regularMaterial a ser utilizado:Ø Três metros de linha nº 10;Ø Trinta pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro a medida de 7 centí-metros).Construa quatro triângulos seguindo o esquema abaixo e os una obtendo uma pirâmideregular de base pentagonal, como a desenhada na figura b (abaixo). Repita essa construção,obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma das pirâmides através dos vértices das bases,por meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cincocanudos. 3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonaisMaterial a ser utilizado:Ø Dois metros de linha nº 10;Ø Doze pedaços de canudo de mesma cor medindo 8 centímetros cada;Ø Seis pedaços de canudo de mesma cor (cor diferente dos canudos mencionados aci-ma) medindo 11,3 centímetros.Com os doze pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Paraisso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro doprimeiro canudo, construindo um quadrado. Considerando um dos lados desse quadradoe passando a linha por mais três canudos, construa mais um quadrado. Observe queainda faltam dois canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira acompletá-lo. Se você não conseguir realizar essa tarefa, observe o esquema abaixo: Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 42
  • 41. Se você observou que a estrutura construída não tem rigidez própria, pois os seus ladosnão ficam por si só perpendiculares à superfície da mesa, então é necessário tornar essaestrutura rígida. Nesse processo, notamos que se construirmos triângulos nas facesdessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecerá.Dando continuidade a esse raciocínio, sugiro a seguinte tarefa: com os seis pedaços decanudo de cor diferente (11,3 centímetros), construa uma diagonal em cada face, demoda que em cada vértice que determina a diagonal cheguem mais duas diagonais.Que estrutura você construiu? Observe a figura abaixo: Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 43
  • 42. 4. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO13 Jesus Paredes Ortiz14 4.1. Introdução O jogo está intimamente ligado à espécie humana. A atividade lúdica é tãoantiga quanto a humanidade. O ser humano sempre jogou, em todas as circunstâncias eem todas as culturas. Desde a infância, joga às vezes mais, às vezes menos e, através dojogo, aprendeu normas de comportamento que o ajudaram a se tornar adulto; portanto,aprendeu a viver. Atrevo-me a afirmar que a identidade de um povo está fielmenteligada ao desenvolvimento do jogo, que, por sua vez, é gerador de cultura. O jogo é um fenômeno antropológico que se deve considerar no estudo do serhumano. É uma constante em todas as civilizações, esteve sempre unido à cultura dospovos, à sua história, ao mágico, ao sagrado, ao amor, à arte, à língua, à literatura, aoscostumes, à guerra. O jogo serviu de vínculo entre povos, é um facilitador dacomunicação entre os seres humanos. Entretanto, ele não era bem-visto pela pedagogia tradicional; a educação e o jogonão eram considerados bons aliados. Apesar disso, as crianças aprendem jogando, jáque fazem da própria vida um jogo constante. Felizmente, a posição da pedagogia atualconverteu "o princípio do jogo ao trabalho" (Marin, 1982) em máxima da didáticainfantil. O jogo deve ser utilizado como meio formativo na infância e na adolescência.A atividade lúdica é um elemento metodológico ideal para dotar as crianças de umaformação integral. Alguns teóricos (Huizinga, 1938; Gruppe, 1976; Cagigal, 1979; Moor, 1981;Blanchard e Cheska, 1986) classificam-no como elemento antropológico fundamentalna educação. Sob este ponto de vista, o jogo potencializa a identidade do grupo social.Contribui para fomentar a coesão e a solidariedade do grupo e, portanto, favorece ossentimentos de comunidade. Aparece como mecanismo de identificação do indivíduo edo grupo. "Jogar não é estudar nem trabalhar, mas, jogando, a criança aprende aconhecer e a compreender o mundo social que a cerca" (Ortega, 1990). Dessa forma, a criança aprende valores humanos e éticos destinados à formaçãointegral de sua personalidade e ao desenvolvimento motor e intelectual. O jogo,portanto, é um caminho para a solução defendida por Einstein (1981): "Asupervalorização do intelectual em nossa educação, dirigida à eficácia e à praticidade,prejudicou os valores éticos". O ensino deve favorecer uma participação mais ativa por parte da criança noprocesso educativo. Deve-se estimular as atividades lúdicas como meio pedagógico que,junto com outras atividades, como as artísticas e musicais, ajudam a enriquecer apersonalidade criadora, necessária para enfrentar os desafios na vida. Para qualqueraprendizagem, tão importante como adquirir, é sentir os conhecimentos. "O verdadeirovalor do jogo reside na quantidade de oportunidades que oferece para que a educaçãopossa ser levada a cabo" (Gruppe, 1976). A esse respeito, Giles Ferry (citado por Bandet13 Aprendizagem através dos jogos. Organizado por Juan Antonio Moreno Murcia; traduzido por ValérioCampos. Porto Alegre: Artmed, 2005. (páginas 9 a 28)14 Universidade Católica San Antonio de Murcia Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 44
  • 43. e Abbadie, 1975) acrescenta que, na escola do futuro, não se tratará de adquirir conheci-mentos, mas de aprender a transformar-se, a mudar. As características do jogo fazem com que ele mesmo seja um veículo deaprendizagem e comunicação ideal para o desenvolvimento da personalidade e dainteligência emocional da criança. Divertir-se enquanto aprende e envolver-se com aaprendizagem fazem com que a criança cresça, mude e participe ativamente do processoeducativo. A importância e a necessidade do jogo como meio educativo foi além doreconhecimento e se converteu em um direito inalienável das crianças: "A criançadesfrutará plenamente do jogo e das diversões, que deverão estar orientados parafinalidades perseguidas pela educação; a sociedade e as autoridades públicas seesforçarão para promover o cumprimento desse direito" (Declaração Universal dosDireitos da Criança, art. 7º). O jogo deve cumprir duas funções na escola como conteúdo e como finalidade: aeducação através do jogo e para o jogo. A aprendizagem, necessária para alcançar odesenvolvimento completo, está continuamente presente, tanto na escola quanto naprópria vida. E necessário aprender em todas as etapas da vida para formar de maneiraharmónica a personalidade da criança e com ela desenvolver e manter um fio vital deexpressão e de entendimento com o mundo que a cerca. Aprender jogando é o primário,o mais simples e natural na criança, já que é o menos traumático. O jogo é a primeiraexpressão da criança, a mais pura e espontânea, logo, a mais natural. Atendendo a essasduas funções que o jogo deve cumprir, primeiro na vida escolar e depois em sua vidaprofissional, a criança deve ser protagonista de sua educação (Imeroni, 1980) e jogarpor jogar é a primeira disciplina a ser cursada (Feslikenian, 1974). O jogo é um elemento transmissor e dinamizador de costumes e condutassociais. Pode ser um elemento essencial para preparar de maneira integral os jovens paraa vida. "Seria ideal que o objetivo máximo da educação fosse a felicidade e, então, ojogo teria um papel predominante" (Delgado, 1991). Este objetivo aponta para a buscado equilíbrio vital, a realização pessoal e social. Rojas (1998) vai ainda mais longe e fazuma afirmação tão categórica quanto bela: "A meta do homem na vida é ser feliz". 4.2. Sobre a etimologia do termo jogo Fazendo referência à importância do verdadeiro significado dos termos e suaaplicação à cultura, encontramos um estudo de Dehoux (1965) que inclui a seguintecitação de Flaubert: "As causas principais dos nossos erros provêm, quase todas, do mauuso das palavras". Buytendijk (1935) oferece-nos uma análise etimológica da palavra "jogo",tentando deduzir os sinais característicos dos processos a que se refere. Nos fala do"movimento de vaivém" (hind und her bewegung), da espontaneidade, da alegria e dolazer. Diz que a criança distingue muito bem o que é jogo e o que não merece sê-lo. A palavra jogo aparece como uma simples atividade humana. Aceitou-se com anaturalidade de um simples ato, como comer ou dormir. A complexidade do termo édeterminada pela preocupação de explicar melhor a natureza humana. Assim, essapalavra está em constante movimento e crescimento, e faz parte de nossa maneira deviver e de pensar; jogo é sinônimo de conduta humana. A seguir, mostraremos brevemente a etimologia das palavras que significamjogo em distintas sociedades. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 45
  • 44. A raiz do vocábulo jogo aparece em indoeuropeu como *aig-, que significaduvidar, oscilar e mover-se. O sânscrito possui diferentes raízes para se referir ao conceito de jogo. O termomais usado é kridati, que descreve o jogo das crianças, dos adultos e dos animais. Servetambém para se referir ao agitar do vento e às ondas, podendo se referir, inclusive, asaltos ou à dança em geral. Com significado parecido, há a raiz nrt, que se refere a todoo campo da dança e à representação dramática. Divyati refere-se ao jogo de dardos, porum lado, e, por outro, ao brincar em geral, ao aprontar, ao burlar, ao zombar, mesmoque seu primeiro significado seja jogar fora, relacionando-se também com o termo irra-diar. Na raiz las, de que procede vilasa, juntam-se os significados de irradiar, aparecerrepentinamente, soar de novo, vaivém, jogar e estar ocupado ou fazer algo. A raiz lilaaparece em lilayati, que significa oscilar, balanço. Assim se expressou o aéreo, o ligeiro,o alegre, o livre e o transcendental do jogo. Além disso, "lila" também é o aparente, aimitação própria do jogo. O ponto semântico comum em todas essas palavras queexpressam o conceito jogo parece ser um movimento rápido. Presente também apareceem sânscrito como kliada, com o significado de jogo, alegria. Em hebraico, aparece, no Antigo Testamento, a forma sahaq. Refere-se ao jogo,mesmo que seu significado primário seja rir, brincar e também dançar e jogar. Emantigo índio, temos a forma éjati e também íngati, que significa algo que se move. Em chinês, sabemos de palavras mais importantes para se referir à função lúdica:wan, relativo ao jogo infantil; tscheng, para se referir a qualquer jogo competitivo, e sai,competição em que se obtém prémio ou então campeonato, torneio. Em japonês, utiliza-se o substantivo asobi para se referir a jogo e o verbo asobu,que significa jogar, diversão, distração, excursão, recreação, jogar dardos. As coisas sãoapresentadas como se as classes superiores sempre se expressassem jogando. Nosidiomas semíticos, o jogo é marcado pela raiz laab, que significa jogar; expressãosimilar é laat, que é brincar, zombar, rir. Em árabe, laiba é jogar em geral, zombar. Também é interessante comprovar osignificado de "jogar um instrumento musical", que tem em comum o árabe la’iba comalguns idiomas modernos, os germânicos e o francês em representação dos românicos.O francês é o único idioma românico que utiliza essa forma, o que poderia indicaralguma influência germânica. Em castelhano, com o sentido de tocar, conserva-se emalgumas canções tradicionais. Em hebreu-aramaico, laab significa zombar e rir. No gótico, laikan significajogar e saltar. Em grego clássico, a palavra mais usada é "παιδια", a qual se refere a jogo,especialmente ao infantil. É da mesma etimologia, mas se diferencia no acento, dapalavra "παιδια/παιδεια", cujo significado é infância e educação das crianças. Tambémse utiliza o termo "παιγνια", que significa jogo, diversão e, com a mesma etimologia,aparece "παιγνιωδησ", não apenas limitada ao jogo infantil, mas também ligada a bomhumor e diversão, algo como "criancices". Ainda há: "παιζω", jogar e "παιγµα e παιγνιον", com referência a todas as formas de jogo ede brinquedos. "αθυρω e αδυρµα" referem-se à ação de jogar, de brincadeira e dediversão. "αγων" é o jogo de competição e luta, mas também se refere aos grandes jogos(é impossível separar a competição no mundo grego do trinômio jogo, festa e atosagrado). O grego possui uma expressão para o jogo infantil com o sufixo "inda", que Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 46
  • 45. significa jogar. Por exemplo, as crianças gregas jogam com a bola "σφαιριδα"; com acorda, "ελκυστινδα"; jogo de lançamento, "στρεπτινδα"; brincam de ser rei,"βασιλινδα". No antigo alemão, utilizava-se o substantivo leich, com referência a jogo, dançae exercícios corporais. No antigo anglo-saxão, lâc e lâcan, jogo, saltar, mover-se,sacrifício, oferenda, presente em geral, um favor e até generosidade. No velho nórdico,leikr, leika, jogo, dança e exercícios físicos. No holandês antigo, havia três formas de se referir a jogo com os seguintessignificados: huweleec, huweleic (contrair matrimonio); feestelijk (festa); vechtelic(combate). No velho frisão: fyuchtleek. A partir do século XII, em antigo eslavo, russoantigo e atual urpá (igrá). Em antigo escandinavo, eiken (atrevido, selvagem). Em antigo eslavo, russo antigo e atual UGPÁ (igrá). Em ucraniano: RRA (grá); em servo-croata: URRA (igrá). Em bielo-russo: IRRÁ (igrá); em búlgaro: URRA (igrá). Em esloveno: IGRA (igra); em tcheco: HRA (hra). Em eslovaco: HRA (hra); em polonês: GRA (grã). Em húngaro: JÁTEK (játek); em norueguês: spill; em sueco, spel, spelet. Em romeno e catalão: joc; em português e galego: jogo; em basco: jolas, joko. Em italiano: giuoco; em alemão: spilan, movimento rápido e suave como o dopêndulo, que produz grande prazer; em neerlandês, spel. Em inglês play (jogo, diversão, jogada, brincar, tocar um instrumento); do pontode vista semântico, tal expressão origina-se do velho inglês plega, plegan, que significajogo e jogar. Também significa movimento rápido e tocar um instrumento. Este plegancorresponde exatamente ao plegan do velho alto-alemão e ao plega do alto frisão, deque procedem o alemão pflegen e o holandês plegen (em latim vulgar, plegium). Eminglês, também se utiliza game (jogo, esporte, diversão, passatempo, desafio). Afirma Corominas (1984) que o vocábulo jogo procede etimologicamente dolatim iocus -i (brincadeira, gozação, ligeireza, passatempo, diversão); ioci, jogos,diversões, passatempo. Segundo Huizinga (1952), iocus -i, iocari não designa overdadeiro sentido do jogo ou o jogo autêntico. Trapero (1971) afirma que jocussignifica chiste, brincadeira, diversão. Na Idade Média, essa palavra era usada para sereferir ao significado de burla. Têm relação direta com essa palavra: ioculator, jongleur,juglar, significando bardo, cantor, músico e malabarista; corresponde a spielman,homem que joga, músico. Vimos que as línguas germânicas utilizam o verbo jogar parase referir também a tocar algum instrumento musical. No castelhano medieval, apareceyogar com vários sentidos, entre os quais tocar instrumentos. Para o estudo etimológico, deve-se considerar também ludus -i, vocábulo latinoque abarca o campo do jogo, diversão. Ludo, lusi, lusum é o ato de jogar, é o gosto peladificuldade gratuita, alegria. De onde deriva-se lusus -us, jogo, diversão; e tambémprovém ludicrus, de ludicer -era, -crum, divertido, entretenimento, ou ludicrum -i, jogopúblico, espetáculo, dando lugar a lúdicro e não-lúdicot mesmo que aceito emcastelhano. Segundo Huizinga, ludus, ludere abarca o jogo infantil, o recreio, a competição,a representação litúrgica e teatral e os jogos de azar. A expressão lares ludentessignifica dançar. A base etimológica de ludere seguramente se encontra no que não é Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 47
  • 46. sério, no simulacro e na trapaça, mais do que no campo do "mover rápido". O próprioautor destaca que o termo que abarca o conceito de |ogo e jogar desaparece, nãodeixando marca nas línguas românicas. Segundo o dicionário etimológico do latim (Ernout-Meillet), do vocábulo ludus -i não há apenas palavras indo-européias conhecidas para essa noção; pode se tratar deum termo criado com a instituição, sem dúvida religiosa, que designava, possivelmentede origem etrusca. Seguir historicamente a evolução fonética da palavra jogo é um trabalho difícil,mas que não impede detectar que todas as línguas românicas ampliaram seus vocábulosiocus, iocari, quando utilizados no campo do jogo e de jogar, permanecendo em umnível menos avançado os termos ludus, ludere. Em castelhano, juego e jugar; emcatalão, joc e jogar; em francês, jeu ejouer; em italiano, giuoco e giocare; emportuguês, jogo e jogar; em romeno, joc e juca. Segundo Huizinga, o desaparecimentodo termo ludus pode ser devido tanto a causas fonéticas quanto semânticas. Ao mesmotempo, ao se referir aos termos jogo e jogar, manifesta que a abstração do fenómenojogo teve lugar em algu-tnas culturas de modo secundário, enquanto a própria função dejogar teve caráter primário. Em alguns idiomas, designa-se o jogo com apenas um vocábulo; em outros, usa-se mais de um termo. Por exemplo, em inglês usa-se play para se referir ao jogo comoatividade pouco codificada, espontânea e, por vezes, turbulenta, e game quando se aludeao seguimento de uma prática lúdica que se caracteriza por regras estritas. Corominas (1984) assegura que as primeiras documentações da palavra jogo,com relação às origens idiomáticas, aparecem no Mio Cid e em Gonzalo de Berceo. NoDicionário da Real Academia Espanhola de 1837, aparece juego (ludus),entretenimento, diversão ejugar (ludere), entreter-se, divertir-se com algum jogo,brincar. No Dicionário da Real Academia Espanhola atual, temos juego (iocus), ação eefeito de jogar, passatempo e diversão; exercício recreativo submetido a regras, em quese ganha ou perde; ação deflagrada espontaneamente pela mera satisfação querepresenta; jugar (iocari), fazer algo com o único propósito de se entreter ou divertir,participar de um jogo. Os vocábulos juego e jugar têm muitas acepções e interpretações. A palavrajuego é empregada com o significado de entretenimento ou diversão e jugar, quesignifica brincar, se divertir, também pode ser utilizada em sentido figurado, como faltade responsabilidade, fazer algo de modo arriscado, como se depreende da expressão"brincar com fogo"; outras vezes, há conotações eróticas, como no alemão spielen, quesignifica brincar, formando com ela a palavra spielkin, para se referir aos filhosilegítimos frutos da brincadeira; como em castelhano, el juego del amor, em outrasocasiões, a relação é com a arte, tanto em inglês quanto em francês: to play the piano,jouer du piano; também se pode empregar com o sentido de se aproveitar ou zombar dealguém, "brincar com uma pessoa", ou como obra de honestidade, "jogar limpo"; ocuparcerta posição, "desempenhar um papel imprescindível"; ser um herói, "jogar-se à vida";para investidores, "jogar na bolsa"; para descrever um ato fácil ou inocente, "brincadeirade crianças"; ajuste de contas, "pôr em jogo"; azucrinação, "era hrincadeirinha";comportar-se de forma desleal, "jogar"; aventura ou risco, "jogar com a sorte"; dramasemilitúrgico, "jogo de Adão"; obras dramáticas e novelas, "jogos de emoções"; lugarespara o jogo de bola no México e na Guatemala, "Jogo de bola"; juramento do "Jogo de Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 48
  • 47. bola", promessa solene feita pelos deputados franceses do Terceiro Estado (23-6-1789);competição poética, "jogos florais". Houve má familiarização com o termo jogo. Como vimos, foi associado a todoato de falta de seriedade ou feito de forma leviana; à ideia de luta; também háconotações de tipo erótico, em países germânicos; e, em muitas ocasiões, relaciona-seao meio artístico e estético. Como pudemos comprovar, emprega-se o vocábulo tanto no sentido figuradocomo no direto ou fundamental, o que nos interessa. Para Petrovski (citado por Elkonin), o significado de "jogo" apresenta algumasdiferenças entre povos distintos. Para os gregos antigos, o jogo significava as açõespróprias das crianças e expressava principalmente o que entre nós, hoje, se denomina"criancices". Entre os hebreus, a palavra jogo era empregada com relação a risadas ebrincadeiras. Entre os romanos, ludus -i significava alegria. Em sânscrito, kliada, jogo,alegria. Entre os germânicos, a antiga palavra spilan definia um movimento rápido esuave como o do pêndulo que produzia um grande prazer. Posteriormente, a palavrajuego (jogo, play, joc, game, spiel, jeu, gioco, urpa, giuoco, jolas, joko, etc.) começou asignificar em todas as línguas um grande grupo de ações que não requerem trabalhoárduo e proporcionam alegria, satisfação, diversão e que ocupam tanto a vida central dacriança como o tempo de ócio e recreio do adulto, do jogo mais infantil à mais trágicadas encenações no teatro ou à mais divertida comédia circense; ou da mais inocentecriança à mais séria aposta na bolsa de valores com a finalidade de ganhar dinheiro. Segundo diferentes estudiosos do tema, é difícil saber em que momentoaparecem e qual o significado dessas locuções e suas conotações, mas o certo é que elasexistem e em diferentes idiomas. 4.3. Sobre o conceito de jogo A palavra jugar (do latim iocari) significa fazer algo com espírito de alegria ecom a intenção de se divertir ou de se entreter. A palavra jogo provémetimologicamente do vocábulo latino iocus, que significa brincadeira, graça, diversão,frivolidade, rapidez, passatempo. Para seu estudo, deve-se considerar também osignificado do vocábulo ludus -i: o ato de jogar, o prazer da dificuldade gratuita. Essevocábulo latino dá mais um sentido ao jogo: ludus-ludere, ludus-us e ludicrus (ou cer -era, crum)". O aspecto lúdico do jogo (do latim de ludicrus) é essa atividade secundáriarelativa ao jogo, que se cultiva unicamente pelo prazer. É quase impossível compreender os traços de uma pesquisa para o significadoetimológico, já que aparece a transposição de significados na história datransnominação. Por outro lado, as crianças adquirem a palavra jogo dos adultos. ParaElkonin (1980), a brincadeira não é um conceito científico no sentido estrito. O ser humano pratica atividades ao longo de sua vida, denominadas lúdicas, quelhe servem de distração, recreação, educação, entretenimento, relaxamento de outrasatividades consideradas mais sérias, como, por exemplo, o trabalho. Mas quando seestuda a brincadeira no mundo infantil, observamos tanta seriedade como no trabalhomais responsável do adulto. Há contrastes: seriedade e alegria; divertimento eresponsabilidade acompanhada de alegria, prazer, paixão ou amor. A esse respeito,Delgado e Del Campo (1993) nos explicam a brincadeira como necessidade na vida,recordando uma citação de Sófocles: "Quem se esquece de brincar que se afaste do meucaminho, porque, para o homem, é perigoso". Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 49
  • 48. Tal necessidade psicobiológica nasce com a criança e acompanha o ser humanoao longo da vida, mesmo que com diferentes objetivos, até a mais avançada idade, comoo binômio seriedade-regozijo. A brincadeira envolve toda a vida da criança, é um meiode aprendizagem espontâneo e exercita hábitos intelectuais, físicos, sociais e/ou morais.Isto também pode seguir vivo no estado adulto, como a outra face do trabalho. Abrincadeira nasce espontânea e cresce junto com a criança durante os diferentes estadosevolutivos até chegar, como ela e com ela, ao estado adulto e à velhice, superando aidade biológica mesmo que com conteúdo diferente e cumprindo distintos objetivos navida. O sábio sabe que brinca e saboreia jogar, seriamente, qualquer jogo. Assim, pode brincar consigo mesmo. A brincadeira, o humor, o sorriso, a ternura brotam com a compaixão do quebra-cabeças da vida (Delgado e Del Campo, 1993). Assim, todos os jogos fazem jogo. Traduz-se como espírito, estado emocional doser humano e se mostra através do ato motor em movimento, em sua energia,traduzindo-se em matéria. O jogo é parte do caráter do ser humano em sua formação,em sua personalidade, na configuração da inteligência, na própria vida. O adultotambém aprende, se realiza, se desafoga, necessita de distração, precisa de humor, enem por isso deixa de ser séria a realização pessoal do humano adulto. O ser humanonecessita permanentemente de entusiasmo, da seriedade e da alegria. Tudo isso pode serproporcionado pelas vivências do jogo: um enriquecimento integral, em suas distintasformas. O jogo transcorre no mundo da fantasia, uma realidade mais ou menos mágica e,por conseguinte, mais ou menos relacionada com a vida cotidiana. Brincar, divertir-se e aprender são modos verbais inerentes ao ser humano,indispensáveis na vida de qualquer grupo sociocultural. A simplicidade da ação de jogaré absolutamente universal, plural, heterogénea, flexível e tão ambivalente quantonecessária. Contudo, sua gratuidade foi classificada como prova de que é pouco importante,complementar, não-séria, improdutiva, muitas vezes associada à perda de tempo, emoutras, ao vício ou ao pecado, e sempre visto como algo insignificante. Apesar dessa observação pessimista, brincar está presente na necessidade demotricidade que enriquece a evolução do feto no ventre e vai acompanhar a vida decada um de nós até a velhice. Mesmo que nem sempre se queira reconhecer, é uma constante de nossas vidas,não apenas na etapa infantil, mas na maioria das iniciativas racionais que tomamosdiariamente. O jogo é uma constante vital na evolução, no amadurecimento e naaprendizagem do ser humano. Acompanha o crescimento biológico, psicoemocional eespiritual do homem. Cumpre a missão de nutrir, formar e alimentar o crescimentointegral da pessoa. Graças à racionalidade, o verbo jogar, ao se modelar sob parâmetros voluntáriosou obrigatórios, ao ser acompanhado de regras ou normas, torna-se jogo, realidadelógica, cenário impulsionador de ordem, de tomada de responsabilidade individual oucoletiva, de entretenimento e seriedade nos atos. O jogo não carece de seriedade; alémdisso, com ele aprendemos a aproveitar, na idade adulta, o ócio, o entretenimento e aalegria. O jogo entre crianças é muito sério. Tente mudar uma regra ou improvisar paraver o que acontece. Por acaso carece de seriedade e concentração o ato de lutar, a luta Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 50
  • 49. para obter uma bola e mantê-la, diante de tantos adversários, sem infringir algumaregra? Jogando com a incerteza do resultado final, mesmo lutando para vencer, torna-separte dessa realidade intersubjetiva. O jogo de condição ambivalente (qualitativo, quantitativo, passado, presente,ganhar, perder, certo e incerto) resiste a uma definição categórica. Sua significação épolissêmica, pois implica um amplo leque de significados e sua leitura é múltipla. Oconceito de jogo é tão versátil e elástico que escapa a uma localização conceituaidefinitiva. Nesse sentido, qualquer tentativa, por mais erudita que seja, somente serácapaz de captar uma parte da verdade do jogo, não global ou total. A capacidade lúdica desenvolve-se articulando as estruturas psicológicas globais(cognitivas, afetivas e emocionais) mediante as experiências sociais da criança (Ortega,1980). Alguns autores afirmam que toda atividade é jogo desde os primeiros meses daexistência humana, excetuando a nutrição ou as emoções observadas, como medo ouraiva. Piaget (1946), contudo, não situa a aparição ou a formação do jogo até o 2aestágio do período sensório-motor (respostas circu-lares primárias, até o segundo outerceiro mês). Nesse período, podemos ob-servar <|ue a criança reproduz determinadascondutas somente pelo prazer que isso lhe dá, como seus sons guturais, as brincadeirascom as mãos em seu Campo visual, pegar e largar objetos. Assim, a brincadeira é a"assimilação do real ao eu", ou seja, quando a criança pratica repetindo um fato paraencaixá-lo e consolidá-lo, fazendo dele uma conduta conhecida. O jogo se formará a partir de ações que a criança não domina com suficientedestreza, não compreende ou, devido ao amadurecimento de certos órgãos ou funçõesevolutivas, utilizará e praticará para incorporá-las e dominá-las em seu eu de forma acontinuar crescendo plena e harmoniosamente. Por outro lado, Bajo e Betrán (1998) afirmam que o jogo infantil tende areproduzir em pequena escala as predileções dos adultos. Acrescentam que, por meio dabrincadeira, a criança projeta um relativo distanciamento do mundo dos adultos, atuacomo se o seu mundo fosse o deles, mas também como se esse mundo criado por elafosse real. 4.4. Sobre a definição do jogo A Real Academia da Língua Espanhola diz do jogo: "ação de jogar, passatempoou diversão". Vimos que, independentemente do idioma que falem, todas as crianças usam apalavra jogo atribuindo-lhe um significado simples e claro: simplesmente definem-najogando. íJogo ou jogar expressa algo claro, fácil, evidente. Nenhum sábio foi capaz dedefini-lo, porque essa palavra refere-se a uma condição ou realidade primordial da vida.O jogo é algo vital para o ser humano: o "homo ludens" passa quase metade da vida emvigília" (Cagigal, 1981). Segundo Kollarits (citado por Elkonin, 1980), a definição de "jogo" não épossível, sequer uma delimitação exata na vasta esfera de atividade do homem e dosanimais e toda busca dessas definições deve ser classificada de jogo científico. O antropólogo Bateson (1958) explica a confusão diante da tentativa dedefinição do jogo por seu caráter paradoxal. E sua complexidade responde à sua Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 51
  • 50. especificidade e indefinição. O jogo constitui um desafio, vivendo-se como real e commais intensidade que o trabalho sério e responsável, algo que é uma ficção. Poderia se assegurar de que qualquer definição não é mais que uma aproximaçãoparcial do fenómeno lúdico e, às vezes, resultado ou conclusão da teoria que acontempla. A seguir, algumas definições:- "(...) uma atividade que os seres vivos superiores realizam sem um fim aparentemente utilitário, como meio de eliminar seu excesso de energia" (Spencer, 1855).- "(...) o jogo é uma atividade estética. O excesso de energia é apenas uma condição para a existência do prazer estético que o jogo proporcio na". "Fique claro que o homem somente joga quando é plenamente tal e somente é um homem completo quando joga. O jogo não é uma fuga da vida; constitui parte integrante desta e permite a todos entender melhor e a compreender nossas vidas" (Schiller, 1935).- "(...) o jogo é uma atividade geradora de prazer que não se realiza com finalidade exterior a ela, mas por si mesma" (Russel, 1980).- "A atividade lúdica contribui para a paidéia - a educação - e proporciona as forças e as virtudes que permitem fazer a si mesmo na sociedade (...) O jogo prepara para a entrada na vida e o surgimento da personalidade" (Chateâu, 1958).- "Tanto o animal como o homem jogam com imagens: a imagem é a expressão do caráter que o sujeito projeta sobre a realidade; é essencialmente ficção, combinação espontânea e símbolo" (Buytendijk, 1935).- "A brincadeira é filha do trabalho. Não há forma de brincadeira que não tenha como modelo alguma ocupação séria que lhe precede no tempo" (Wundt, 1887).- "(...) o jogo é uma ação livre, executada e sentida como estando fora da vida cotidiana, mas que, apesar de tudo, pode absorver por completo o jogador, sem que haja nela qualquer interesse material, nem se obtenha proveito algum; que se executa dentro de um determinado tempo e de um determinado espaço; que se desenvolve em uma ordem submetida a regras e que dá origem a associações propensas a cercar-se de mistério ou a se disfarçar para se destacar do mundo habitual".- (...) "o jogo é uma ação ou atividade voluntária, realizada dentro de certos limites fixados no tempo e no lugar, seguindo uma regra livremente consentida, mas completamente imperiosa, com um fim em si mesma, acompanhada de um sentido de tensão e de desfrute e da consciência de ser diferente da vida cotidiana" (Huizinga, 1938).- "(...) o jogo é uma forma privilegiada de expressão infantil" (Gulton, 1968).- "(...) é uma atividade livre que tem seu fim em si mesma" (Stern, 1977).- "No jogo, pode entrar a exigência e a liberação de quantidades muito mais consideráveis de energia do que as que exigiria uma tarefa obrigatória" (Wallon, 1980).- "O jogo é a manifestação de uma livre espontaneidade e a expansão de uma atividade em expansão" (Karl Groos, 1901).- "O jogo situa-se na intersecção do mundo exterior com o mundo interior" (Winnicott, 1979).- "O que define o jogo é que se joga sem razão e que não deve haver motivo para jogar; fazê-lo já é razão suficiente. Nele está o prazer da ação livre, sem rédeas, com a direção que o jogador quer lhe dar, que se parece com a arte, o impulso criador" (Lin Yutang, 1988). Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 52
  • 51. - Um passo do fantasma ao símbolo. Jogar é negar e superar o fantasma arcaico" (Freud, 1923).- "A brincadeira infantil é meio de expressão, instrumento de conhecimento, fator de socialização, reguladora e compensadora da afetividade, um instrumento efetivo de desenvolvimento das estruturas do movimento; em uma palavra, meio essencial de organização, desenvolvimento e afirmação da personalidade" (Zapata, 1988).- "(...) a função própria do jogo é o jogo mesmo. Este exercita atitudes que são as mesmas que servem para o estudo e para as atividades sérias do adulto. A atividade lúdica caracteriza-se pela improdutividade". (Cillois, 1958).- "O jogo é a arte ou a técnica que o homem possui para suspender virtualmente sua escravidão dentro da realidade, para fugir, levar-se para o mundo irreal. (...) é um esforço que, não sendo provocado pelo utilitarismo que inspira o esforço imposto por uma circunstância do trabalho, repousa em si mesmo sem esse desassossego, que infiltra no trabalho a necessidade de conseguir um fim a todo custo" (Ortega e Gasset, 1971).- "O jogo é mais agradável e mais puramente jogo quanto maior é a naturalidade, a ausência de esforço exagerado e habilidade com que se realiza" (Russel, 1967).- "O jogo é um diálogo experimental com o meio ambiente" (Eibl-Eibesfeldt (1967).- "O jogo é recreação (...) porque continuamente cria a sociedade em que se realiza" (Stone e Orlick, 1982).- "Brincar é o que se faz quando se está livre para fazer o que se quer" (Gulich, 1970).- "O mundo lúdico origina-se nos primeiros jogos de perda e recuperação, encontro e separação" (Aberastury, 1988).- "O jogo tem duplo significado. De um lado, refere-se a uma forma de se comportar e sentir e, de outro, a uma série de atividades concretas claramente delimitadas" (Martinez Criado, 1988). "O jogo é uma atividade que o homem desenvolve, sem dúvida, como fator de equilíbrio psicológico em sua vida, tanto no nível individual, no sentido de equilibrar as situações de preocupação, tristeza e dor, quanto no nível social, para estabelecer um meio de relação otimista e positiva com os outros homens (...) o jogo é algo muito importante em nossa vida: ajuda-nos a dar uma via de realização à nossa imaginação, oferece-nos um meio de relação social, exerce sobre nós um grau de encanto e absorção de que carecem outras atividades da vida cotidia- na que é psicologicamente liberador e nos proporciona a oportunidade de comparar nossa capacidade com a dos outros" (Castellote, 1996).- "O jogo é intrinsecamente essencial para a criatividade (...) Uma pessoa que não sabe brincar está privada, ao mesmo tempo, da alegria de fazer e criar e seguramente está mutilada em sua capacidade de se sentir viva" (Rosemary Gordon, citada por Trigo, 1994).- "O jogo leva a experimentar uma sensação de fluir que nos transporta a um entorno em que abstraímos a realidade e outras situações cotidianas, para passar a expressar- se como somos, com toda a personalidade, nossas carências e virtudes" (Ciskszentmihalyi, 1997).- "O jogo é uma atividade multidimensional, que se ajusta sempre às necessidades do ser humano com relação à incerteza, à diversão, ao exercício ou à atividade coletiva" (Lagardera, 1996).- "O jogo é uma das manifestações mais enriquecedoras do tempo livre, na busca do Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 53
  • 52. desenvolvimento, da autonomia e do desfrute da pessoa" (Lavega, 1997). Do ponto de vista fisiológico, pode-se entender o jogo como atividade que osseres vivos superiores realizam sem um fim aparentemente utilitário e com o objetivo deeliminar o excedente de energia. Como comportamento vital, poderiam existiratividades necessárias e vitais e atividades desinteressadas, dentro das quais o jogo(definição do poeta Schiller modificada pelo filósofo Spencer). Um conceito de jogo que possa ser aplicado transculturalmente é essencial paraa antropologia da motricidade humana e o esporte. Segundo Blanchard e Cheska (1986),"o jogo é um fenómeno não apenas universal dos seres humanos como é comum aoutros animais. A maioria das espécies animais executa, de vez em quando, algumaforma de brincadeira, sobretudo durante a infância". Numerosos etólogos estudaram ojogo social dos animais, mas, de fato, são poucas as definições satisfatórias de taisatividades. Bekoff (citado por Blanchard e Cheska) propõe o seguinte conceito etológico:"O jogo é o comportamento que se observa nas interações sociais que comportam umadiminuição da distância social entre os protagonistas, na ausência de toda pesquisasocial ou de comportamentos agonísticos ou passivos/submissos por parte dos membrosde uma díade (tríade, ete), mesmo que tais ações possam ocorrer como atos derivadosdurante o jogo". Huizinga (1938) afirma que o desenvolvimento da civilização deve-se amecanismos lúdicos e também, sobretudo, ao trabalho, com um denominador comum: odesejo de melhorar a qualidade de vida. Começa sua obra dizendo que o jogo é como"uma atividade livre mantida conscientemente fora da vida cotidiana, porque carece deseriedade, mas, ao mesmo tempo, absorve, intensa e profundamente, quem a exerce.Uma atividade desprovida de todo interesse material, que não traz qualquer proveito eque se desenvolve ordenadamente dentro de seus próprios limites de tempo e espaço, deacordo com regras preestabelecidas e que promove a criação de agrupamentos sociaisque tendem a atuar secretamente e a se distinguir do resto da sociedade por seusdisfarces e por outros meios". Realmente, Huizinga considera o jogo uma forma de cultura mais do que umcomponente formal da cultura. Deveria, portanto, ser auto-suficiente e dispor de seupróprio significado e justificativa. O jogo permite que se exteriorizem outras facetas dacultura (ritual, direito, saúde, política, amor, etc). O jogo é criança, adolescente, homem, velho, percorre as etapas evolutivas,nasce, viaja, acompanha o ser humano e morre com ele. Nasce, desenvolve-se e morrecom o sentimento ou o campo das emoções do ser humano. Há uma necessidadeescondida de crescer, amadurecer e ser junto ao jogo espontâneo, como diferentesetapas evolutivas. O jogo não morre com o final da infância ou da adolescência, masdeve crescer e evoluir em suas formas junto ao homem para ajudá-lo em suas diferentesetapas. Faz-se necessário o jogo em seus diferentes contextos para a busca antropológicada verdadeira natureza do homem. O sociólogo Norbeck (1971) define o jogo daseguinte maneira: "Seu comportamento fundamenta-se em um estímulo ou em umapropensão biologicamente herdados, que se distinguem por uma combinação de traços:é voluntário, até certo ponto descartável, diferenciado temporalmente de outroscomportamentos por sua qualidade transcendental ou fictícia". Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 54
  • 53. Puigmire-Stoy (1966) define o jogo como a participação ativa em ativida-desfísicas ou mentais prazerosas para obter satisfação emocional. Segundo os antropólogos Blancjard e Cheska, "(...) o jogo é uma forma decomportamento que inclui tanto dimensões biológicas como culturais, que se define nãopor eliminação dos demais comportamentos, mas por uma variedade de traços. Éagradável, intencional, singular em seus parâmetros temporais, qualitativamente fictícioe deve sua realização à irrealidade". Comprovamos que, por meio do jogo, o ser humano se introduz na cultura e,como veículo de comunicação, amplia sua capacidade de imaginação e de representaçãosimbólica da realidade. Realmente, poderíamos dizer que, com o jogo, é intensificada avida cultural do homem, ela se enriquece. O jogo nasce espontâneo, sem outro fim que anecessidade e a alegria de jogar. Por que o ser humano quer modificar isso ao longo desuas diferentes etapas evolutivas? Com elas, o jogo deve evoluir, crescer e acompanhardurante toda a vida o ser humano e a sua cultura. Pelo jogo se conhece o espírito. Poderia ser a expressão mais pura e simples docomportamento humano integral, expressão da criatividade do homem como resultadodas emoções, dos sentidos e do pensamento, plasmada na obra da vida, na obra do jogo.Pensar, querer e fazer: tudo pode ser. O jogo faz cultura, a cultura faz vida: o jogo évida e a vida, cultura. O mundo mágico do jogo torna possível todo tipo de realizações, diz MartinezCriado (1998). As atividades realizadas no contexto do jogo são produto da ilusão. Nojogo, podemos conseguir tudo o que desejamos. Corredor (1998) afirma que qualquer atividade acompanhada de alegria e/ou risoconsciente também é uma forma de jogo. Em seu desenvolvimento, busca com ohomem um significado que cumpra necessidades biológicas, emocionais ou espirituais,além de fazer parte da realização da capacidade cognitiva de observação, recordações,simbolismo e ação. Trata-se de uma atividade praticada em todas as épocas e culturas, semprepresente na vida do homem. Através dos jogos, experimentamos a realidade das coisas,nos aproximamos da comunicação com o mundo que nos rodeia, conectamos nossomicromundo ao macromundo onde vivemos. O jogo não é material, é espiritual e se materializa ao ser criado, ao se fazer comsua alegria ou amor, ao se expressar através de emoções. Atrevo-me a afirmar que ojogo nos serve de cordão umbilical ou união com a nossa natureza mais íntima, significaa raiz da vida do ser humano e a própria vida. O ser humano necessita da realidade dojogo para recuperar seu comportamento natural, seu equilíbrio vital. 4.5. Origem do jogo O jogo é parte fundamental do desenvolvimento harmónico infantil e deimportância tal que o conhecimento dos interesses lúdicos, sua evolução, seuamadurecimento e sua observação sistemática são imprescindíveis para a vida. O jogo em sua formação não necessita de aprendizagem, surge esponta-neamente, é algo instintivo que responde às necessidades da dinâmica infantil. Por queas crianças brincam ou que causas as levam a brincar? A própria criança poderiaresponder simplesmente porque sim, porque gosto, para brincar. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 55
  • 54. Mas o jogo aparece, atrevo-me a dizer, como resposta possivelmentepsicobiológica à vida. Diferentes autores apontam uma série de razões pelas quais sejoga:- Forma de descanso para o organismo e o espírito (Schiller, 1935).- Forma de se liberar da energia excedente por falta de outras atividades mais sérias em que investi-la (Spencer, 1897).- Forma de recapitulação de filogênese; reprodução da evolução de atividades de gerações passadas (Hall, 1904).- Forma de se preparar para a vida adulta. Seria um exercício preparatório das atividades que serão enfrentadas no futuro (assim como osfilhotes dos animais) (Gross, 1901).- Forma catáltica para reduzir as tensões, defender-se das frustrações, fugir da realidade ou reproduzir as situações de prazer (Freud, 1920; Klein, 1955; Erikson, 1959; Adeler, 1960).- Forma de aprender, interceptar e conservar os novos hábitos adquiridos (Piaget, 1946; Secadas, 1977).- Forma de aprendizagem e crescimento harmónico. Autoformação (Château, 1958; Froébel, citado por Mune, 1980; Delcroy e Monchamp, 1986).- Forma de fixação de hábitos adquiridos e de garantir as novas habilidades (Bhuler, 1931; Case, 1989).- Forma de passar do fantasma ao símbolo: brincar é negar e superar o fantasma arcaico (Freud, 1923).- Forma de atividade livre, com fim em si mesma (Stern, 1977).- Forma privilegiada de expressão infantil (Gutton, 1982; Linaza, 1991).- Forma de atividade lúdica funcional (Buhler, 1924).- Forma de terapia e liberdade de criar (Winnicott, 1979; Berne, 1996).- Forma motivante como princípio motor do jogo (Château, 1958).- Forma de elaboração (Klein, 1955).- Forma de organização, desenvolvimento e afirmação da personalidade (Zapata, 1986; Aquino, 1988).- Forma de cenário pedagógico natural (Ortega e cols., 1988).- Forma de intervenção educativa baseada no conhecimento do desenvolvimento da criança e na busca de metodologia adaptada ao pensamento das crianças e sua forma espontânea de construir conhecimentos (Canal e Porlán, 1987; Garcia e cols., 1987; Garcia, 1992).- Forma de construção de conhecimentos sociais e psicológicos da criança (Flavell e Ross, 1981).- Forma original da risada e do prazer (Delgado, 1991; Csikzentmilhalyi, 1997).- Forma de atividade voluntária com fim em si mesma, acompanhada de uma sensação de tensão e de júbilo e da consciência de ser diferente da vida real (Huizinga, 1938).- Forma de improdutividade (Caillois, 1958).- Forma de evasão da realidade: não se busca um resultado utilitário. O jogo está relacionado com a capacidade criadora do homem e traduz a necessidade da criança de atuar sobre o mundo (Rubinstein, 1946).- Forma de transformação da realidade segundo as necessidades do eu (Piaget, 1986).- Forma de prolongamento de traços da espécie posteriores ao amadurecimento Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 56
  • 55. humano (Bruner, 1972).- Forma de atividade que somente cabe definir a partir do próprio organismo imerso nela (Piaget, 1946; Vygotsky, 1982; Csikzentmilhalyi, 1997).- Forma de assegurar a transmissão de valores promovidos por diferentes culturas (Sutton-Smith, 1966; Robert, 1980).- Forma ecológica, física e cultural (Pellegrini, 1955; Bronfenbrenner, 1979).- Forma de incorporação da criança a uma instituição educativa (Linaza, 1991).- Forma de criatividade (Marin Ibánez, 1986; Trigo, 1989; Caneque, 1991).- Forma de resposta emocional e intelectual às experiências sensoriais (Brierley e Goleman, 1990). À medida que a criança cresce, seu organismo responde de diferentes formas eutiliza distintas atividades lúdicas, ou seja, a brincadeira evolui com o desenvolvimentointegral, intelectual, afetivo e físico da criança e se adapta aos períodos críticos de seudesenvolvimento (aos seus conflitos pessoais e sociais). O jogo cresce com a criança atéa idade adulta, permanecendo até a velhice. 4.6. Características do jogo Ao estudá-lo, podemos vislumbrar uma série de características. De acordo comautores como Huizinga, Caillois, Groos, Cagigal, Bandet, Sarazanas, Russel, Piaget,Brunner, Moyles, González, Ortega e Caneque, entre outros, temos algumas das maisrepresentativas:- O jogo é uma atividade desinteressada e autotélica.- O jogo deve ser limpo. A finalidade do jogo deve ser ele mesmo.- O jogo deve ser espontâneo, impulso inato que não requer especialização nem aprendizagem prévia, mesmo que a prática sucessiva leve a isso.- O jogo é uma atividade livre. É um acontecer voluntário, ninguém é obrigado a jogar. Joga-se pelo prazer de jogar, não se trata de uma atividade utilitária.- O jogo é improvisado, deriva-se da palavra paidia.- O jogo é separado. Sempre se localiza em limitações espaciais e imperativos temporais estabelecidos de antemão.- O jogo é incerto. Sendo uma atividade criativa, espontânea, original, cujo resultado final flutua constantemente, e cativa a todos.- O jogo é gratuito ou improdutivo. É uma manifestação que tem um fim em si mesma, é desinteressada. Não cria bens nem riqueza ou qualquer elemento novo de espécie alguma e, salvo deslocamento de propriedade no seio do círculo de jogadores, acaba em situação idêntica à do começo. Tal característica é muito importante na brincadeira infantil, por não possibilitar qualquer fracasso.- O jogo é fictício. É um mundo à parte, é como uma história contada com ações, distante do cotidiano, é uma contínua mensagem simbólica. O jogo possui uma auréola mágica.- O jogo é um comportamento de caráter simbólico e de desenvolvimento social.- O jogo é uma forma natural de troca de ideias e experiências.- O jogo é convencional e regulamentado. Todo jogo coletivo é um acordo social, estabelecido pelos jogadores, que determinam suas regras, ordens e limitações.- O jogo deve ser prazeroso. Essa talvez seja uma de suas características centrais, mesmo que isoladamente não o defina, pois apresenta características. Prazer do tipo sensorial, físico e prazer moral ou psíquico, superação de algum tipo de obstáculo. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 57
  • 56. - O jogo permite à criança relacionar-se com a realidade.- O jogo é uma atitude, é parte da vida. A criança brinca sempre, não importa onde e nem com quem, brinca de diferentes maneiras conforme o meio em que se encontre. O que se entende como jogo ou brincadeira abarca uma infinidade de ações eatividades. Tudo o que vivemos pode tomar parte na brincadeira. O mundo mágico dojogo torna possível todo tipo de conexões ou interações para atingir diversasrealizações. Os atos do jogo são produto da ilusão, da vontade, da.ilegria, do otimismo.No jogo, podemos conseguir tudo o que desejamos. O benefício dessa prática preencheo desejo de realização e nos proporciona prazer ou satisfação. O jogo é incompatível com circunstâncias vitais da doença. É, portanto, umacaracterística da saúde. É realizado em situações de bem-estar e sem pe-rlgo à vista.Somente quando a criança conhece o ambiente brinca, porque sente-se confortável,espontânea, desinibida e natural. O jogo tem um efeito estimulante, relaxante,restaurador. Nenhuma criança se cansa de brincar. Responde à necessidade demotricidade, de estar ou ser ativo, se mover, explorar, imitar e à necessidade deenriquecimento por meio do movimento. O mundo real e o mundo criado pelo jogo semovem em um mesmo plano, já que constantemente estão trocando informações, estãointercalados, porque a passagem de um ao outro é constante e contínua. Por isso, mesmoque não seja o Único, parece-me, contudo, o mais importante veículo para odesenvolvimento evolutivo e a adaptação ao meio vital. 4.7. Conclusões Talvez este título não seja o adequado, por isso vou apenas mencionar ideias quepodem servir de proposta para encontrar uma definição do tema. Já que a aprendizagemé infinita, deixemos a porta aberta para continuar aprendendo com quem sente o desejode explorar esse maravilhoso e mágico mundo do jogo:- O jogo é como uma vela que ilumina o comportamento do ser humano: é o resultado da busca das melhores coisas escondidas no mais íntimo do ser.- O comportamento lúdico é universal, pertence a todas as pessoas. É um símbolo de humanidade, sem preconceitos, bandeira da paz e laço de união entre os povos.- O jogo é respeitoso, solidário. Tão somente procura a recompensa de um gesto ou de um sorriso como conteúdo mínimo de comunicação. Não necessita passaporte nem entende de idioma, bandeira ou moeda, porque não tem fronteiras.- O jogo não tem fronteiras porque não as conhece e se propaga rapidamente como o fogo, superando montanhas, desertos e bosques; viaja tão puro como a água através de rios e oceanos; voa como as nuvens pelo ar e se hospeda como a terra em todos os povos e países.- O jogo é como uma bandeira com todas as cores, como uma moeda comum, como um idioma internacional. Faz com que se entendam crianças, adultos e velhos de maneira imediata, sem nenhum outro vínculo de comunicação, porque nasce da bondade humana.- O jogo reflete em cada momento a forma com que a criança atua, compreende e se relaciona com o mundo.- O comportamento lúdico nasce com a criança e cresce com o interesse e a curiosidade por explorar o seu corpo e o mundo que a cerca. Essa curiosidade cresce saciando-se de conhecimentos e oportunidades de aprendizagem. Há na criança uma forte necessidade de se expressar e de comunicar-se. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 58
  • 57. - Com o jogo, coloca-se em conexão o nosso micromundo (pessoa) com o macro mundo (sociedade) em que vivemos; nesse sentido, nos preparamos para a vida ensaiando papéis que desenvolveremos posteriormente na sociedade, quando adultos.- Mediante o jogo, a criança aprende normas de comportamento para crescer e aprender a viver na sociedade de forma integral. O jogo fomenta a capacidade para a elaboração de normas da infância à vida adulta. A criança cresce aprendendo hábitos de convivência necessários para viver em sociedade. O jogo proporciona ao ser humano um interesse pelo conhecimento, uma atitude ativa, positiva e crítica, que lhe permite se integrar de maneira gradual na família, na escola e na vida.- Os jogos evoluem com a criança e ajudam a formar a estrutura de sua personalidade, desenvolvendo os aspectos motor, Intelectual, criativo, emocional, social e cultural.- O jogo serve-nos de ligação com a natureza. As crianças e os adultos necessitam da realidade do jogo para conservar ou recuperar seu comportamento natural: seu equilíbrio vital.- O modo natural de aprender é através do jogo, porque as crianças praticam continuamente e de forma simples os comportamentos e as tarefas necessárias para se converterem em adultos.- Com o jogo, as crianças expressam-se de forma natural, pois escolhem uma solução adequada às suas necessidades e possibilidades, uma solução saudável. Já que o jogo promove habilidades sociais (talentos maravilhosos), ajuda a canalizar, reduzir ou processar condutas agressivas (base para a segurança do indivíduo e do ambiente), aumenta a auto-estima (vive-se em um ambiente harmónico), fomenta as relações sociais frutíferas (aprender as limitações, relacionar-se bem com os outros e fazer amigos), promove a participação e a atividade (com a base da criatividade, colaboração e cooperação: todas as crianças querem brincar), gera valores humanos positivos para a vida e, por fim, melhora a saúde física e emocional.- Alguns teóricos afirmam que a brincadeira é o trabalho da criança; se poderia afirmar que é uma realidade, instrumento que lhe ajuda a entender a vida e a sua própria vida. Assim, dada sua importância vital (por seu caráter multidisciplinar, pelos valores que origina e pelos efeitos que produz), podemos considerar a brincadeira como um modo mágico de entender o trabalho.- A magia da brincadeira se converteria, por um lado, em um elemento ideal para reconciliar, na escola, a mente e o coração da criança e, por outro lado, em um modo de expressão com que se atua, explora, comunica, pesquisa, vive-se em meio a um processo de aprendizagem global, participativo e significativo: processo que se amplia ao longo da vida.- A brincadeira proporciona situações que estimulam o senso de humor como estado de espírito. Uma atitude necessária para encarar a vida diária, que nos ajuda a encará- la com o otimismo necessário para manter um estado emocional estável e que possa nos proporcionar uma sensação de bem-estar.- Desenvolver a inteligência emocional, fomentar a curiosidade, estimular o senso de humor, bem como o estado de espírito, além de alcançar a felicidade são objetivos prioritários da educação para evitar o fracasso escolar. Nesse caso, a ferramenta- chave para a aprendizagem é o jogo. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 59
  • 58. 5. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NA APRENDIZAGEM15 5.1. Introdução Inúmeros são os fatores que interferem na aprendizagem. Fatores que podería-mos classificar de pessoais, ou seja, aqueles inerentes à própria pessoa, à sua psique, oupsicológico, ou ego, ou personalidade, ou espiritual, ou seja, lá que nome queiramosdar. Fatores físicos que tanto podem ser do tipo alimentação, estado geral de saúde co-mo também iluminação e adequação do espaço físico. Fatores sociais como as oportuni-dades de interações como as outras que podem ser do mesmo nível ou de nível diferentee que promovem e desenvolvem o espírito de cooperação. Fatores culturais, e econômi-cos... Poderíamos tecer várias considerações sobre cada um desses fatores e a formacomo influenciam o ser humano em seu processo de aprendizagem. Não vamos entre-tanto nos ater a isso. Renomados estudiosos, psicólogos e filósofos já o fizeram e comamplo domínio desse campo do conhecimento. Poderíamos particularizar focalizando oprocesso ensino aprendizagem na nossa área – Matemática. Também não o faremos.Entendemos que ao se falar em um se fala em outro. 5.2. Motivação De todos os fatores que apresentamos ou possamos apresentar queremos abordarum ponto que em nossa opinião é o mais essencial e imprescindível no desenrolar doprocesso aprendizagem – a motivação. Muitos de nós professores de matemática nos deparamos, no desenvolvimentode nossa atividade didática, com um impasse: nossos alunos não têm interesse naquiloque pretendemos lhes ensinar, ou, em outras palavras – naquilo que achamos que elesdeveriam aprender. Consideremos a aprendizagem como uma mudança estável e intencional decomportamento e para que isso ocorra, muitas vezes é preciso repetir várias vezes, sobdiversos aspectos e com experiências variadas uma determinada ação para que ela sejaaprendida. Sabemos que certos condicionamentos externos, processos mecânicos podemlevar a repetir uma ação tornando-a automática. Nossa pergunta é: basta isso para quehaja aprendizagem? Essa modificação interna, profunda do ser humano com mudançasnas operações mentais e atitudes não necessitam de algo mais do que um estímulo ex-terno? Não será necessário uma força, um motivo inerente a própria pessoa. Julgamosque sim. O processo de aprendizagem é desencadeado por um motivo que pode ser anecessidade, a utilidade, a agradabilidade. Geralmente o que vai acontecer: procura-se oagradável e por ele chegamos ao útil ou necessário. O que é a motivação? Nada mais doque a predisposição interna que impulsiona a busca de um objetivo. Muitas vezes o aluno não se interessa por determinada situação de aprendizagemexatamente porque não vê motivos para realizar aquela atividade. Faz-se necessárioentão que o professor crie uma situação em que surja o interesse, faz-se necessário de-sencadear o processo através de um impulso externo – a incentivação. As legítimas motivações para a aprendizagem são raras, considerando que se tra-ta de “trabalhar”, “estudar”. Cabe ao professor através de uma variedade de recursos,métodos, procedimentos de criar uma situação favorável. São muitas essas condições15 Texto retirado da II Reunião da SBM - Profª M.Emília Tavares/UFPEL Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 60
  • 59. favoráveis e não são apenas materiais, mas especialmente pessoais, sociais e psicológi-cas. A criança e o jovem e porque não dizer também o adulto – precisa sentir naquiloque fez uma auto-realização, digamos assim – um prazer pessoal e isso fará com que sesinta livre e responsável por sua realização. Acreditamos que o professor de Matemática deve estar preocupado em alcançarum despertar a motivação em seus alunos, sabendo que é ela a força impulsionadora detoda a aprendizagem. Não temos “receita” para esse despertar do querer aprender. So-mos de opinião que essa receita não exista. Mas ainda achamos que acima de tudo oprofessor é um dos fatores mais preponderantes nesse processo motivador – sua perso-nalidade, o “amor” que ele sente pelos seus alunos e por eles é percebido, o entusiasmoque tem, e demonstra, pela Matemática. Mas isso não é tudo, sabemos. “A Matemáticatem significado diferente para pessoas diferentes.” O despertar desse gosto pela Mate-mática depende em grande parte do professor, mas também é resultante dos recursosque ele emprega no ensino. É ele que a partir do conhecimento da sua turma de alunosvai promover no momento exato, o estímulo adequado. Isso é fundamental: que tenha-mos sempre presente que o “dar certo” para um grupo de alunos num dado momentonão significa uma “fórmula de dar certo” em qualquer momento, com qualquer grupo dealunos e qualquer professor. Essa incentivação visando orientar o interesse do aluno pela Matemática comoobjetivo de estudo e trabalho tem formas variadas – já o dissemos – de ser obtida, comopor exemplo:• Pela correlação com o real;• Pela importância de valores históricos;• Pela aplicação às demais ciências;• Pelos livros e revistas de divulgação da Matemática;• Pela utilização de meios audio-visuais;• Pela construção de modelos, aparelhagens, gráficos, murais;• Pelas atividades recreativas;• Pelos clubes de matemática;• Pelas atividades lúdicas;• Pela seleção adequada de problemas. Queremos nessa oportunidade, dentre esses vários aspectos focalizar um em es-pecial: 5.3. O Jogo Didático Porque o fazemos? Não é porque o consideremos a mais eficiente forma de des-pertar a motivação – já expusemos nossas idéias sobre o que é “mais eficiente”. Não étambém porque essa atividade apenas possa ser utilizada como elemento propulsor daforça motivadora. O fazemos, isso sim, - porque a atividade lúdica é intrínseca ao pró-prio ser humano. Basta se ter observado – em grande escala o fenômeno que acontecenos jogos olímpicos, mobilizando de crianças a velhos, independente de qualquer tipode sectarismo, ou – em menor escala – o que acontece a volta de uma “pelada de rua”ou de um “volei familiar”- porque é uma atividade ainda pouco utilizada em sala de aulae que ainda não conseguiu impor o seu espaço como elemento propulsor no processoensino-aprendizagem – porque é uma atividade que ainda não ganhou a confiança demuitos professores, especialmente dos que trabalham com 2º grau e alegam ou que “os Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 61
  • 60. alunos não gostam (só que nunca vivenciaram!) pois são grandes para brincar” ou quenão “dá tempo”, ou que se sentem constrangidos de fazer joguinhos. Por tudo isso, destacamos o jogo didático, e porque durante o tempo em que tra-balhamos com “Prática de Ensino de Matemática” tivemos a oportunidade de com osnossos estagiários elaborar e aplicar vários tipos de jogos didáticos e ouvir, com satisfa-ção, após o vivenciar da experiência e muitas vezes, só então a resistências vencidas –comentários do tipo “como eles gostaram!”, “vou ter que fazer outro”, “bah!, foi o con-teúdo que eles mais gostaram e se saíram melhor”, “não pensei que eles iam se entusi-asmar e trabalhar tão bem!” A seguir vamos analisar o jogo didático quanto as finalidades, tipos e objetivos. a) Alguns dos objetivos do jogo didático na sala de aula:• Incutir no aluno o espírito de disciplina através do cumprimento e/ou elaboração das regras do jogo;• Combater certos complexos, pelo próprio entusiasmo com que os participantes se congregam;• Educar a atenção;• Cultivar o espírito de solidariedade;• Desenvolver a lealdade – mesmo que inicialmente isso se faça por “fiscalização”;• Educar para competir;• Reavivar a simpatia pelo professor e pela disciplina. b) Escolha e/ou criação do jogo: A escolha ou elaboração do jogo a ser aplicado deve merecer a maior atenção doprofessor a fim de que se verifique a adequação entre o jogo e a turma para o qual édestinado. Em outras palavras é a aplicação desse ou daquele jogo não é inteiramentearbitrário. Um jogo realizado com êxito numa turma pode redundar em verdadeiro fra-casso quando aplicado noutra turma, noutra época. Cabe ao professor portanto escolhercom cuidado o jogo mais adequado à maturidade da turma, número de alunos, tamanhoda sala, grau de sociabilidade, material e tempo disponível. c) Classificação quanto ao material: De acordo com o material empregado o jogo pode ser considerado:- Simples – aquele em que o professor só utiliza material de uso em sala de aula;- Com material improvisado – aquele em que o professor distribui entre os participan- tes, material por ele preparado previamente.- Com material permanente – aquele em que o professor utiliza o material já fabricado especialmente para a finalidade, como dominó, jogos de armar. Não somos rígidos quanto a esse tipo de classificação, na verdade nem nos preo-cupamos com ela em demasia. d) Planejamento e execução do Jogo Como qualquer outra atividade didática o jogo didático a ser praticado em auladeve ser cuidadosamente planejado. Nesse planejamento deve o professor atender ao seguinte:• A finalidade específica do jogo;• Se o jogo será simples ou vai exigir material;• Se o jogo será com competição ou sem competição;• Se o jogo será individual, de grupo ou coletivo; Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 62
  • 61. • O tempo a ser empregado no jogo;• Como será feito a motivação;• Como será apresentado o jogo;• A designação que será dada no jogo. Antes de iniciar o jogo deverá o professor explicar, em termos bem claros, as re-gras que devem presidir a atividade lúdica. Tratando-se do jogo com competição é indispensável que o professor esclareça aturma:1) Sobre o número de partidas;2) Sobre a contagem de pontos. Nos jogos escritos, o maior cuidado do professor é evitar e suprimir a fraude.Não havendo esse cuidado o jogo deixará de ter função educativa. Quando o professor surpreender um aluno em atitude irregular deverá adverti-locom serenidade, mas com bastante energia. e) Avaliação: Após a aplicação de um jogo didático o professor deve fazer uma avaliação, ana-lisando se as finalidades foram alcançadas, assinalando se as finalidades foram alcança-das, assinalando os pontos que podem ser aperfeiçoados ou que devem ser mudados.Enfim o professor tem um jogo testado – o que não significa que deva ser aplicado “ce-gamente” em nova oportunidade, mas sim que é possível de novas aplicações desde queem condições equivalentes e/ou com adaptações convenientes. Lembramo-nos de que “o jogo deve ser uma forma de levar o aluno a querer tu-do o que faz e não a fazer tudo o que quer”. f) Sugestão de roteiro do jogo didáticoI – DADOS DE IDENTIFICAÇÃONome do Jogo:Curso:Disciplina: Série: Nº de alunos:Duração:Aplicador (a):II – OBJETIVOSIII – CONTEÚDOSIV – MATERIAL UTILIZADOV – DESENVOLVIMENTOVI – AVALIAÇÃOVII – OBSERVAÇÕES Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 63
  • 62. 6. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS16 6.1. Introdução Existe a possibilidade de se ministrar um tema de História ou Geografia, Mate-mática ou Ciências, Língua Inglesa ou Portuguesa sem ficar à frente da classe expondoe, dessa forma, impondo a monotonia e o cansaço? Pode esse tema, posteriormente avaliado, garantir igual ou maior compreensão elucidez por parte dos alunos, que se ministrado através de aula expositiva? É possível naregência dessa aula, conquistar a certeza de que sua apresentação não suscitará indisci-plina, desinteresse e apatia? Pode esse tema garantir ao professor menos dispêndio deenergia que o imposto por aula tradicional? A resposta a essa pergunta é afirmativa e, ainda de quebra, a ela outras conquis-tas positivas se agregará. Será possível com esse trabalho alcançar não apenas as disci-plinas acima relacionadas como outra qualquer, poderá esse trabalho, devidamente a-daptado, ser executado em qualquer série ou nível de escolaridade e, bem mais que ape-nas uma compreensão literal do que se expõe, será possível trabalhar-se simultaneamen-te o texto e contexto, desenvolvendo do raciocínio lógico e levando os alunos a umaaprendizagem significativa e exploração de habilidades operatórias mais amplas que asprovocadas por simples explanação. No desempenho desse trabalho o professor poderá estar se aproximando dos so-nhos de Piaget, ao levar o aluno não a conquistar um conhecimento interiorizando-o defora para dentro, mas construindo-o interiormente em um processo de assimilação, tor-nando o apreendido compatível com as estruturas mentais do apreendente e, dessa for-ma, específico para cada um. E tudo isso apenas com a coragem em se substituir umatradicional exposição por um envolvente e motivador Jogo de Palavras. Mas, como fazê-lo? Em primeiro lugar garantindo que os alunos tenham “alguma idéia” sobre otema, conquistada através de uma leitura ou de outro processo de informação. Em segundo lugar, organizando os alunos em duplas, trios ou quartetos e, dessaforma, fazendo-os falar e, por falar estimular as estruturas mentais do pensar; por últimoorganizando, com critério e acuidade, uma, duas ou três sentenças sobre o assunto es-colhido. Após a seleção dessas questões, extremamente pertinentes e significativas em re-lação a essência e objetivos do texto, fragmentá-las separando cada uma das palavras eescrevendo cada palavra em um pequeno quadrado de papel. Mais fácil é quadricular-se uma folha antes, escrever as palavras em cada dos quadrados e somente depois cortá-la. Esse emaranhado de palavras, amontoadas ao acaso e unidas fora de ordemcompõe o recurso material do “jogo de palavras”. Com tantas cópias desse material, quantas duplas, trios ou grupos se contam emclasse, basta entregá-la aos alunos destacando que sua tarefa, à imagem de quem montaquebra-cabeças, será tentar ordenar as frases, emprestando-lhe sentido lógico. Algo, porexemplo, similar que afirmar “É construção coisa não que de, mas fora processo o inte-16 http://www.celsoantunes.com.br/pt/projetos.php Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 64
  • 63. rativo de um conhecimento vem do interior” e que ordenado expressaria “O conheci-mento não é uma coisa que vem de fora, mas processo interativo de construção interi-or”. Ao se envolverem no desafio que essa atividade abriga, os alunos encontrariammotivação por ver substituída sua postura passiva de ouvinte por ação solidária de joga-dor; motivados, não se desviariam da tarefa e, portanto, estariam interessados e discipli-nados, o professor economizaria energia, pois estaria substituindo tradicional discurso,por ajuda interativa e, essa aula, levaria o aluno a falar, trocar idéias, buscar esquemasde solução e por essas vias pensar, usando habilidades que envolveriam análise e sínte-se, comparação e classificação, dedução e contextualização. Ao invés de se colocaremde forma passiva diante de um texto, estariam exercitando esquemas de assimilação ematividade pura diante do objeto da aprendizagem, simbolizado pelo texto fragmentado,ao qual buscariam uma estrutura lógica. Nessa atividade o professor transformou textoem contexto, colocou em ação mecanismos de uso dos hemisférios cerebrais direito eesquerdo e, levando a seus alunos jogo desafiador e atraente, através do mesmo ensinouque o novo conhecimento não se sobrepõe aos conhecimentos anteriores, mas a eles secompõe modificando-o. 6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? O Autódromo é um jogo operatório dos mais interessantes, mas deve ser aplica-do uma vez ou outra, alternando-o com outros jogos operatórios e aulas expositivas di-versas. Embora cause motivação, interesse, envolvimento e participação dos alunos, afreqüência de uso constante acaba desgastando-o Para essa interessante atividade, osalunos necessitam estar agrupados em equipes e cada equipe deve abrigar um mínimode quatro e, um máximo de sete componentes. Cada equipe deve ter um nome escolhido livremente pelos alunos. Com as equi-pes constituídas o professor explica o(s) tema(s) ou conteúdos que serão cobrados du-rante o Autódromo. Com a classe dividida em equipes e os componentes de cada equipe sentadospróximos uns aos outros, o professor organiza uma listagem de questões sobre o assuntotrabalhado. Essas questões devem estar agrupadas duas a duas, como no exemplo abai-xo, e como cada questão pode ser verdadeira (V) ou falsa (F) as duas juntas permitemquatro respostas possíveis: VV – As duas questões são verdadeiras VF – A primeira questão é verdadeira e a segunda falsa FF – As duas questões são falsas FV – A primeira questão é falsa e a segunda verdadeira. Exemplo Questão 1 – A soma de quatro mais sete é onze / Extraindo-se seis de onze o re-sultado é quatro. Como é fácil perceber, a resposta correta a essa questão é VF, pois a primeira (4+ 7 = 11) é verdadeira, mas a segunda é falsa (Extraindo-se seis de onze o resultado écinco e não quatro). Com dez a quinze questões duplas como demonstrado no exemplo e naturalmen-te dentro do assunto marcado para a atividade, o professor possui o material necessárioao Autódromo. Solicita, a seguir, que cada grupo prepare em meia folha de papel, com Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 65
  • 64. giz colorido, quatro papeletas diferentes, onde aparecem com letras graúdas as alternati-vas possíveis de respostas (VV – VF – FF – FV). Organiza a lousa para o Autódromo e, portanto, escreve o nome das equipes umabaixo do outro como demonstra o exemplo e ao alto, na vertical, a sucessão de pontosque o desempenho das equipes possibilitará alcançar. A lousa, portanto, ficaria assim: Equipes 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Verde Amarela Azul Vermelha Branca Laranja Roxo Com a “pista” do Autódromo desenhada na lousa, cada grupo com suas quatropapeletas e o professor com a relação das questões, estão prontos os recursos essenciaisa aplicação do Autódromo. Antes de iniciá-lo, entretanto, o professor passará em cadaequipe iniciando pela que mais alunos tiver e atribuirá aleatoriamente a cada um delesuma letra do alfabeto. Assim um aluno será o “A” ou outro “B” e assim por diante. Procederá da mesma forma nas demais equipes e caso uma delas tenha menosalunos um mesmo ficará com duas letras. Por exemplo: A equipe Verde possui seis alu-nos e dessa forma um aluno será o “A”, o outro o “B” até o último que será o “F”. Diri-gindo-se a equipe Amarela e percebendo que na mesma existem apenas quatro alunos,um deles será o “A” e “F”, o outro “B” e “E”, o terceiro “C” e o quarto “D”. Agindodessa forma cada equipe contará com representantes para todas as letras atribuídas. É, então, hora de começar o Autódromo. O professor lê a primeira questão dupla, concede as equipe um espaço de tempode dez a quinze segundos para optarem por uma das quatro respostas possíveis e apósesse tempo, dá um sinal avisando que o prazo terminou. Chama a seguir uma letra, porexemplo, a letra “C” e os alunos de todas as equipes que tiverem essa letra deverão ficarimediatamente de pé, com uma das quatro papeletas escolhidas voltadas contra o peito. A seguir o professor chama cada uma das equipes e o aluno exibe a papeletacom a qual acredita ser a resposta correta. O professor anota essa resposta na lousa, semanunciá-la como “certa” ou como “errada” e após a manifestação do último grupo, a-nuncia a resposta correta. Em seguida, marco no espaço da lousa os grupos que acerta-ram e passam a fazer juz a cem pontos. Vamos supor que apenas as equipe AMARELAe BRANCA acertaram. A lousa ficará assim: Equipes 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Verde Amarela X Azul Vermelha Branca X Laranja Roxo Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 66
  • 65. Registrado o desempenho das equipes, faz-se a segunda questão e assim sucessi-vamente até o final da aula. O sucesso do Autódromo depende sempre da qualidade das questões organiza-das. Uma relação de questões apenas memorativa em nada contribui para a aprendiza-gem dos alunos, mas o professor que prepara questões intrigantes e desafiadoras, obteráempenho, interesse e sobretudo aprendizagem. 6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? O Jogo do telefone é outro Jogo Operatório dos mais interessantes e que possui apropriedade de despertar envolvimento, interesse, criatividade e plena participação dosalunos. Tal como o Jogo de Palavras ou o Autódromo, deve ser desenvolvido uma vezou outra, evitando o desgaste inevitável de uma repetitividade constante. A atividade, talcomo os jogos operatórios anteriores, necessita que os alunos estejam organizados emdiferentes equipes. Para a realização dessa atividade é necessário que o professor prepare um diálo-go telefônico imaginário entre duas pessoas, abordando o assunto escolhido para a ati-vidade. Veja o exemplo. Ricardo: – Oi Juliana. Você poderia dizer o que vai cair na prova de Históriaamanhã? Juliana: – Pois não, Ricardo. A professora vai organizar questões sobre os pri-meiros cinqüenta anos da História do Brasil. Portanto você deve estudar desde as Gran-des Navegações dos Séculos XV e XVI e passar pelo Descobrimento do Brasil e a orga-nização das Capitânias Hereditárias... Ricardo: – Puxa! É bastante matéria e creio que estou um pouco perdido em re-lação às Grandes Navegações. O que esse tema, que não aconteceu no Brasil, tem a vercom as Capitanias Hereditárias... Como destaca o exemplo acima, o diálogo prossegue com cada um dos persona-gens apresentando umas oito a dez falas até encerrar-se a “conversa”. Com o diálogo telefônico bem organizado, basta preparar-se uma cópia para ca-da equipe, tomando, entretanto o cuidado de apresentar a fala de apenas um dos perso-nagens (Juliana ou Ricardo) cabendo aos alunos, organizados em grupos, construírema fala do outro personagem, baseando nos elementos que dispõe. A tarefa dos grupos não é a de adivinhar o texto originalmente preparado peloprofessor, mas tomando por base as colocações de um dos personagens criar uma estru-tura de seqüência do diálogo. E evidente que a resposta de um grupo jamais será idênti-ca a de outro, mas podem revelar qualidade se no trabalho existir coerência e envolvi-mento lógico. O Jogo do Telefone exige de cada equipe pleno domínio do conteúdo marcadopara a atividade e extrema criatividade e, após a realização do Jogo uma ou duas vezes,o professor poderá ir progressivamente apresentando outros com dificuldades crescen-tes, exigindo assim estudo, empenho, criatividade. Com o tempo, personagens históricosou não humanos podem compor a dupla do diálogo e, dessa forma, criar-se diálogostelefônicos imaginários entre, por exemplo, Cabral e Pero Vaz de Caminha, entre umaMonocotiledônea e uma Dicotiledônea, entre uma Rocha Sedimentar e uma Rocha Me-tamórfica e inúmeros outros. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 67
  • 66. 6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? O cochicho é um jogo operatório vibrante que envolve e emociona os alunos, ese presta ao desenvolvimento de qualquer conteúdo curricular para qualquer série ouciclo de estudos. Vale-se da organização dos alunos em grupos ou equipes de quatro asete componentes e para seu desenvolvimento é essencial que o professor trabalhe umtema do qual os alunos tenham algum conhecimento. Embora realizado pelos alunosorganizados em grupo permite identificar o desempenho individual de cada aluno. Para que exista esse conhecimento prévio sobre o tema, o professor pode solici-tar uma leitura, pesquisa bibliográfica ou apresentar uma síntese, enriquecida por per-guntas diversas que os alunos devem buscar responder. Com o tema ou conteúdo escolardefinido e os alunos organizados em grupos marca-se a aula em que se aplicará o Co-chicho. Iniciada a atividade, solicita-se que cada aluno disponha de uma tira de papelcom aproximadamente vinte centímetros de altura e quatro de largura. Essa tira de pa-pel, deverá ser dividida em outras duas, a primeira formando um pequeno quadrado dequatro por quatro centímetros onde cada aluno deverá anotar seu nome e no verso onome da equipe a que pertence. Com a tira de papel restante, se anotará ao alto o nomedo grupo. Um aluno de cada grupo deverá recolher o pedaço de papel em que consta o no-me de cada participante, trazer à mesa do professor, amontoá-los deixando separado deoutros montes com nomes de alunos de outras equipes. O professor irá retirando um porum os papéis sobre sua mesa e anunciando a formação de duplas entre aluno de umaequipe contra aluno de outro até esgotar-se o último papel. Caso a quantidade de alunosem sala seja um número impar, os três últimos formarão um trio. Após esse sorteio to-dos os alunos já saberão com quem deverão jogar, isto é o nome do colega de outra e-quipe com a qual irão se defrontar. Nessa oportunidade, o professor sinaliza para quecada aluno sente-se em qualquer lugar da classe, desde que ao lado do colega de outraequipe que forma a dupla – ou eventualmente – o trio sorteado. O aluno deverá levarconsigo uma caneta e a tira de papel com o nome do grupo que preparou logo no inícioda aula, como explicado acima. Com os alunos organizados, o professor inicia o Cochicho formulando questõesrelativas ao tema estudado. Essas questões necessitam ser “fechadas” isto é, verdadei-ro/falso ou de múltiplas alternativas ou ainda apresentarem resposta que sejam expres-sas por poucas palavras. Ao organizar essas questões o professor deve evitar as de natu-reza essencialmente memorativas e que, portanto, não explorem a reflexão, análise, de-dução e conclusão. Por exemplo: evitar questões do tipo “Nome da capital do Estado doPará”, preferindo outras como “nome de uma cidade, situada na Região Norte, capitalde um Estado que se destaca por importante atividade mineral, agroindústria e pecuáriae que no passado se identificava como grande produtor de castanha e borracha”. Dispondo de uma lista de questões reflexivas e envolventes sobre o tema marca-do pelo Cochicho, o professor apresenta a primeira questão e oferece aos alunos umtempo para refletirem e anotar sua resposta. Após esses lapsos de tempo, solicita quecada aluno apresente sua resposta ao parceiro e, em seguida, anuncia a resposta correta.Após esse anúncio em cada dupla de alunos assiste três posições possíveis: zero a zero(os dois erraram), um a zero (um dos dois acertou e o outro não) e um a um (os doisacertaram). Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 68
  • 67. O Cochicho prossegue com a formulação de outra e depois mais outra questão,até o limite de tempo possível. Cerca de dez minutos antes de encerrar a aula, o profes-sor afere a contagem final; isto é, quantos pontos – acertos – foi realizado pelo conjuntode alunos de cada equipe. Caso a quantidade de alunos por equipe não seja uniforme,deve extrair a média de acertos de cada equipe, dividindo-se o total de respostas corretaspelos alunos que participaram do Cochicho. Ao final da aula, registra o quadro com a classificação das equipes, destacandoas que mais pontos fizeram. O uso ou não dos pontos conquistados no Cochicho comoatributo de uma média do aluno é possível caso o professor assim pretenda e será expli-cado em outro capítulo deste trabalho. Parece importante destacar que o sucesso de um Cochicho depende menos daforma com é a atividade organizada pelo professor e bem mais da qualidade reflexivadas questões organizadas. Estas devem visar sempre uma aprendizagem efetivamentesignificativa, explorando diversas habilidades operatórias. 6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? O Arquipélago é outro jogo operatório muito interessante a atraente e se organi-zado com questões reflexivas, ajuda a construção do conhecimento e domínio de conte-údos. Ainda que se preste para inúmeras outras formas de utilização seu uso principalvisa a análise, interpretação e assimilação de um texto de qualquer disciplina em qual-quer nível de escolaridade. O nome “Arquipélago” deriva do fato dos alunos na maiorparte do tempo sentarem-se juntos, organizados em equipes, tal como “ilhas” de umconjunto. O desenvolvimento do Arquipélago organiza-se através de quatro etapas. Previ-amente os alunos deverão ser informados sobre o texto que deverão analisar, sendo de-sejável leituras e discussões prévias sobre o mesmo. Com os alunos reunidos o profes-sor dá início ao Arquipélago solicitando que individualmente façam uma atenta leiturasobre o texto, levantando o braço no caso de dúvidas. Enquanto essa leitura é feita, oprofessor percorre os diferentes grupos, ajudando os alunos no esclarecimento de suasdificuldades. Concluída essa releitura prévia, tem início a primeira etapa do Arquipélago: Primeira etapa. O professor escolhe um aluno de cada grupo que deverá sentar em outro grupoque não o seu, levando um pedaço de papel e uma caneta. Com os alunos acomodados,solicita que anotem no papel o nome de seu grupo e a seguir propõe quatro a seis ques-tões sobre o texto, possibilitando “respostas fechadas”, como VV, VF, FF ou FV ouainda outras. Após anotar as respostas os alunos que representam seu grupo devem re-tornar ao mesmo, deixando na equipe que os recebeu o papel com suas respostas. Oprofessor aguarda esse retorno e anuncia as respostas certas que deverá ser corrigidapelo grupo que acolheu esse aluno visitante. São atribuídos pontos (50, 100 ou 150 paracada resposta certa) sendo facultado ao professor “descontar ou não pontos” pelas res-postas erradas. A equipe que acolheu o aluno, após a correção, informa o resultado quedeve ser registrado pelo professor na lousa ou em seu diário de classe. Segunda etapa. O professor autoriza nova e breve consulta sobre o texto e após a mesma formu-la uma questão geral que cada grupo deverá responder por escrito. Informa o valor dessaquestão (por exemplo, 400 pontos) e os mesmos serão divididos entre as equipes que Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 69
  • 68. acertaram. Assim, se duas equipes acertaram a resposta apresentada, cada uma delasacrescentará 200 pontos ao saldo acumulado pela participação do aluno representante naprimeira etapa. Com esse resultado o “placar” vai se alterando e as equipe vão ou nãoacumulando mais pontos. Terceira etapa. A terceira etapa é semelhante à primeira, mas desta vez cabe a equipe o direitode escolha de seu representante. Este se dirige a outra equipe, levando papel e caneta,para responder as questões formuladas pelo professor. Após essa etapa ainda uma vez o“placar” vai sendo progressivamente alterado, destacando a(s) equipe(s) que revela(m)maior capacidade de compreensão do texto. Quarta etapa. A derradeira etapa do Arquipélago é similar à segunda ou então se caracterizapela abertura para que uma equipe formule uma questão a outra, de maneira que todaspossam dispor da mesma possibilidade de respostas. Assim a equipe Verde, por exem-plo, formula uma questão à Amarela, a equipe Amarela à equipe Azul e assim por dian-te. Concluída a quarta etapa encerra-se o Arquipélago com o devido registro dospontos acumulados pelas equipes. Nas primeiras oportunidades em que essa estratégia éaplicada é essencial que o texto seja bastante simples assim como as perguntas formula-das pelo professor com respeito a sua interpretação, mas a sucessão de atividades permi-te que progressivamente seja aumentada a complexidade do texto e das questões desafi-adoras propostas. Alternando participações individuais (na primeira e na terceira etapa)com decisões consensuais (na segunda e a na quarta etapa) a atividade é extremamentedinâmica e envolvente, altamente motivadora e permite significativo exercício de a-prendizagem significativa, através de análises e interpretações de texto. 6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? O Hiper-Arquipélago é um jogo operatório extremamente simples e seu nomederiva da estratégia anteriormente exposta, pois constitui em ocupar durante todo otempo de uma aula, de uma única etapa do Arquipélago. Como foi explicada no “Arqui-pélago”, a primeira etapa caracteriza-se pela participação de um único aluno que, repre-sentando sua equipe, respondia questões formuladas pelo professor. Pois bem, o Hiper-Arquipélago, tal como na primeira etapa do Arquipélago ou na última etapa do PainelIntegrado é constituído pelo envolvimento dos alunos, todos eles, respondendo indivi-dualmente as questões formuladas pelo professor e ao fazê-lo, representar sua equipe. Nesse sentido, o Hiper-Arquipélago assemelha-se a uma prova tradicional, comcada aluno e sua carteira, respondendo individualmente e por escrito as questões formu-ladas pelo seu professor. Ocorre, entretanto, que em uma prova convencional o alunoresponde as questões em seu nome pessoal e os acertos que conquista representam pon-tuação própria, enquanto que no Hiper-Arquipélago os alunos, individualmente, res-pondem para sua equipe e desta for, os pontos que auferem são computados globalmen-te para o grupo. Procure conceber o Hiper-Arquipélago, imaginando a seguinte situação. Carteiras enfileiradas, uma atrás das outras, como arrumadas para uma provaconvencional. Em cada carteira um aluno com uma tira de papel que leva ao alto nãoseu nome, mas o nome de seu grupo. A frente da classe, o professor com uma listagemde questões significativas que propõe respostas simples (por exemplo: A, B, C, D, E Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 70
  • 69. como em um teste de múltipla escolha, VVV, VVF, VFF. FFF, FVV, FVF, VFV, FFV.Ou ainda questões que proponham o resultado de uma operação matemática, uma fór-mula ou mesmo um conceito apresentado de forma sintética) e que formulará aos alu-nos. Apresentadas as questões, um aluno de cada equipe recolhe as de seu grupo, trazà frente e o professor passa as questões de um grupo para outro responder, de tal formaque todos os alunos recebam a folha com as respostas, sem possibilidade de identificar ocolega que respondeu uma vez que essa folha traz apenas nome dos grupos. Nessa opor-tunidade o professor solicita aos alunos que verifiquem se existem questões rasuradas,nesse caso autenticando-as com uma rubrica, para evitar que a rasura possa ser provoca-da pelo aluno que corrige e que demonstre interesse em prejudicar a equipe concorrente. Concluída essa providência, apresenta as respostas corretas para a devida corre-ção. Após essas respostas, solicita aos alunos de uma equipe – que estão corrigindoquestões de outras equipes – que fiquem de pé e informem quantos acertos existem nasfolhas corrigidas. Soma esses acertos e registra na lousa, chamando a seguir outra equi-pe até que obtenha a pontuação de todas as equipes. Como é provável que existam equipes com mais ou com menos alunos é sempreimportante calcular-se a média dos acertos e, dessa forma, se a equipe Amarela, porexemplo, totalizou 42 acertos como seis representantes, sua média será sete (uma vezque 42 dividido por seis, corresponde a média sete), igual a da equipe Azul que obteve35 acertos, com cinco representantes. Estabelecida a posição dos grupos e o empenho dos alunos está concluído o Hi-per-Arquipélago. É importante destacar que atividades que individualizam a participa-ção dos alunos ocasionam inevitáveis ressentimentos dos que obtendo maior número deacertos, descobrem que a pontuação da equipe ficou reduzida pelo insucesso de alguns.É por esse motivo que todo trabalho em grupo necessita que o educador faça um pacien-te e persistente trabalho com os alunos, mostrando a importância de uma ação solidáriae a necessidade de aceitar-se em uma coletividade a desigualdade na produção que, a-tingindo este hoje pode alcançar outro amanhã. É interessante mostrar aos alunos queem uma equipe esportiva, por exemplo, “nem todos são craques”, mas que a solidarie-dade se constrói com uma construção laboriosa e recíproca, com alguns alunos maiscapazes, ajudando outros em seu preparo para trabalhar esta ou aquela atividade. Como acima se disse um trabalho dessa natureza não prepara os alunos apenaspara as contingências de se aceitar o outro em atividades escolares, mas até mesmo paraa vida social, para o mundo do trabalho cooperativo que, por certo necessitarão vivenci-ar. É por essa razão que esse trabalho não pode ser refletido como “um ou outro eventu-al conselho”, mas como uma proposta de educação solidária que deve ser assumida pelamaior parte dos professores, mesmo pelos que eventualmente optem por não trabalharcom grupos. 6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? O Torneio é uma atividade pedagógica que simula um campeonato esportivo on-de todas as equipes se enfrentam, responde questões significativas, preparadas pelo pro-fessor, sobre um tema específico. Esse tema pode ou não ter sido antes explicado e emcaso positivo o Torneio seria uma oportunidade de se proceder a revisão do conteúdoefetivamente apreendido. Em outra circunstância, o professor pode marcar um conteúdo Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 71
  • 70. a ser estudado, indicar diferentes fontes de pesquisa, propor o desafio de algumas per-guntas sobre esse tema e sugerir que os alunos se preparem, estudando individualmentee reunindo-se em grupos para avaliarem-se. Optando-se por essa forma, o professorantes da realização do Torneio deve abrir um espaço para o devido esclarecimento dedúvidas e somente após a certeza de terem sido todas efetivamente superadas é que devedar início a atividade. Para que o Torneio se concretize é essencial a existência de uma “tabela” como aque abaixo sugerimos, supondo a existência de seis equipes em uma classe. Após a di-vulgação da tabela, o professor informa, se assim julgar válido, a pontuação que cadaequipe receberá por seu desempenho (Por exemplo: 1º colocado = 700 pontos; 2º colo-cado = 600 pontos; 3º colocado = 500 pontos e assim por diante). Com essas providências tomadas, tem inicio o torneio com o professor formu-lando quatro, cinco, seis ou mais questões fechadas sobre o assunto marcado e dandoum tempo para que as equipes apresentem suas respostas. Cabe ao professor estabelecerse a construção das mesmas será ou não realizadas com consultas e a forma como serãoapresentadas. Esgotado o tempo previsto, solicita a um membro de cada equipe que tra-ga à frente as anotações das respostas, confere-as e apresenta o resultado. Da mesma maneira como em um campeonato esportivo, pode atribuir três pon-tos para a equipe que venceu seu adversário e um ponto em caso de empate ou aindaconsiderar como pontuação da equipe o total de acertos. (Por exemplo: Na primeira ro-dada a equipe Verde acertou 5 das sete questões e portanto venceu a equipe Azul queacertou 3 das sete questões – 5 a 3 – e nesse caso a equipe Verde conquistou três pontospor sua vitória e a equipe Azul nenhum ou, caso o professor prefira, a Equipe Verdeconquistou cinco pontos e a equipe Azul conquistou 3). Anotados os resultados da pri-meira rodada, inicia-se a segunda e assim por diante até a rodada final, com a classifica-ção definitiva. Modelo de uma tabela para o Torneio 1ª Rodada 2ª Rodada 3ª Rodada Verde Amarela Verde Laranja Verde Azul Azul Branca Azul Vermelha Amarela Laranja Vermelha Laranja Amarela Branca Branca Vermelha 4ª Rodada 5ª Rodada Verde Branca Azul Amarela Amarela Vermelha Branca Laranja Laranja Azul Vermelha Verde 6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? A primeira e mais importante questão, a se formular sobre o título deste capítuloé sem dúvida, por que transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? Não existe apossibilidade de uma resposta única. Essa questão constitui decisão específica do professor. Caso pretenda desenvol-ver jogos operatórios sem lhes atribuir valor que se transformem em notas, está agindode forma tão correta quanto outro colega que opta por fazer dos jogos operatórios umaforma de se obter notas mais elevadas. A avaliação da aprendizagem escolar não podese implantar por novas rígidas, uma vez que deverá ser sempre meio para se aferir a Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 72
  • 71. efetiva aprendizagem. A nota vale apenas como uma referência para que o aluno saibaseu desempenho, jamais um critério para selecionar bons ou maus alunos. O verdadeiro compromisso do professor é com a aprendizagem significativa e anota que atribui apenas um elemento que expressa essa aprendizagem. Portanto a trans-formação de pontos ganhos pelas equipes em notas constitui decisão do professor quepoderá dispensá-la se acredita que os alunos estão aprendendo o que ensina de formasignificativa. Caso, entretanto, julgue que o desempenho dos alunos nos Jogos Operatórios de-senvolvidos resultou de um esforço construtivo e deseje expressar a diferença entre osque mais e que menos se esforçaram, apresentamos uma proposta de transformação depontos em notas que poderá ou não ser adotada pelo professor. Alguns, por exemplo,combinam com a classe que o primeiro lugar em seu desempenho nos diferentes jogospode valer um ou dois pontos na avaliação final e, dessa forma, atribui pontos sem, en-tretanto, estabelecer uma relação direta entre cada atividade e o desempenho revelado.Também está agindo de maneira correta quem assim procede. Outra forma de avaliação consiste em se somar os pontos obtidos pelos gruposnos diferentes jogos propostos, tal como o de equipes que disputam um campeonato,chegando a uma classificação. Por exemplo: Durante um bimestre, o professor trabalhoucom a classe ministrando aulas expositivas diversas e ainda aplicou, por exemplo, umArquipélago, um Autódromo e um Cochicho. Totalizou os pontos e o resultado final dobimestre foi: Equipes Arquipélago Autódromo Cochicho Total Verde 500 400 500 1.400 Amarela 600 500 600 1.700 Azul 300 400 400 1.100 Vermelha 400 400 400 1.200 Branca 600 600 600 1.500 Laranja 600 300 600 1.800 No exemplo destacado acima, a equipe que mais pontos somou no bimestre foi aequipe Branca ( ) e, nessa circunstância merece receber a mais alta nota (que podeser 10,0). Considerando que pontos equivalem a 10,0, uma regra de três simplesnos revela que cada 180 pontos conquistados por qualquer equipe deve equivaler a 1,0.(Um) Portanto: Equipe Pontuação Nota Verde 1.400 7,7 (pois ) Amarela 1.700 9,4 Azul 1.100 6,1 Vermelha 1.200 6,6 Laranja 1.500 8,3 Branca 1.800 10,0 Considerando esse exemplo, cada aluno de cada equipe, se tivesse participado detodos os Jogos Operatórios teriam direito a nota recebida pela equipe. Fica a critério deo professor descontar ou não do aluno que não tenha participado de um ou de outrojogo, os pontos auferidos pela equipe durante sua aplicação. Por exemplo: A equipe Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 73
  • 72. Laranja conquistou 600 pontos no Cochicho e caso um de seus integrantes tenha faltadosem justificativa quando da aplicação do mesmo, estaria perdendo 3,3 pontos (pois 600 180 = 3,3) e, dessa forma, recebendo 5,0 por sua atuação em Jogos Operatórios e não8,3 pontos como os recebidos por seus colegas que participaram de todas as atividades). Os pontos ganhos pelos alunos nos Jogos Operatórios poderiam compor uma desuas notas e esta teria o peso correspondente, atribuído pelo professor. Seria assimpossível o professor atribuir, por exemplo, peso sete para as provas individuais e pesotrês para a participação dos alunos em Jogos Operatórios. Torna-se importante destacar que a idéia proposta por este capítulo serve apenascomo uma sugestão e que, dessa forma, deverá ser submetida a apreciação, análise doprofessor envolvido, da Coordenação e Direção da Escola e, se possível, do conheci-mento de toda equipe discente e docente. Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 74