Presentazione rally

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  • 1. Rinnovare la didattica per una nuova immagine della Matematica: L a proposta del RA L L YMA TE MA TIC O TRA NSA L PINO Daniela Medici & Maria Gabriella Rinaldi 17 ottobre 2011
  • 2. Rally Matematico Transalpino
  • 3. Che cos’è il Rally Matematico TransalpinoÈ una gara di matematica per classi.È rivolta agli alunni delle classi dalla terza, elementare alla seconda superioreÈ nato nel 1992 in Svizzera su idea di François Jaquet, ricercatore presso l’IRDP (Institut de recherche et de documentation pédagogique) di Neuchâtel
  • 4. Che cos’è il Rally Matematico TransalpinoBen presto si è esteso ad altri Paesi (Italia, Francia, Belgio, Lussemburgo, Quebec, Israele, Argentina, Algeria).In Italia ci sono varie sezioni dell’ “Associazione Rally Matematico Transalpino” (ARTM).Attualmente le sezioni del Rally sono 23.Informazioni su: http://www.math.unipr.it/~rivista/RALLY/19_RMT.html http://maachmath.web.myschool.lu/
  • 5. ARMT Associazione Rally Matematico TransalpinoLARMT è unassociazione culturale (ai sensi degliarticoli 60 e seguenti del codice civile svizzero) il cui obiettivo è “promuovere la risoluzione diproblemi per migliorare lapprendimento elinsegnamento della matematica tramite unconfronto fra classi.Lassociazione non persegue obiettivi lucrativi.Le attività dellassociazione possono svolgersiovunque nel mondo”.
  • 6. Obiettivi principali del Rally
  • 7. • fare matematica nel risolvere “buoni” problemi (insoliti, interessanti, motivanti);• sviluppare le capacità, oggi essenziali, di lavorare in gruppo nel farsi carico dell’intera responsabilità di una prova;• apprendere le regole elementari del dibattito scientifico nel discutere e risolvere le diverse soluzioni proposte;• imparare ad argomentare spiegando per iscritto le procedure risolutive e i ragionamenti scaturiti dal gruppo.
  • 8. AUTOMAT FÜR LECKERMÄULER (Kat. 31, 32) ©ARMT 2011 - 19° - II provaMartina hat eine 20 Cent-Münze, eine 50 Cent-Münze und eine 1 €-Münze.Sie will sich eine Schleckerei aus dem Automaten holen und merkt, dass es sechs verschiedene Sorten zu folgenden Preisen gibt: Waffel Chips Erdnüsse Schokorie Tüte mit Packung gel Bonbons mit Keksen€ 0,70 € 1,00 € 1,20 € 1,40 € 1,70 € 2,00Leider funktioniert der Automat nur, wenn man die Münzen so auswählt, dass der Preis der Schleckerei genau stimmt.Martina entscheidet sich für eine der Schleckereien, welche sie sehr mag.Sie stellt fest, dass sie zwar genug Geld hat, aber mit ihren Münzen schafft sie es nicht, den genauen Betrag in den Automaten zu werfen.Welche Schleckerei will Martina kaufen?Erklärt genau wie ihr eure Antwort gefunden habt.
  • 9. IL DISTRIBUTORE DI MERENDINE (Cat. 3, 4)Marta ha in tasca una moneta da 20 centesimi, una da 50 centesimi ed una da 1 euro.È davanti ad un distributore automatico che propone sei tipi di merendine ai prezzi seguenti: Salatini Patatine Noccioline Barretta di Sacchetto di Pacchetto di cioccolato caramelle biscotti€ 0,70 € 1,00 € 1,20 € 1,40 € 1,70 € 2,00Il distributore funziona solo se si mettono monete che danno esattamente il prezzo indicato.Marta sceglie una delle sei merendine di cui è molto golosa.Ella si accorge di avere abbastanza soldi per comprare la merendina desiderata, ma di non poter inserire nel distributore il prezzo richiesto con le monete che ha.Qual è la merendina che Marta vorrebbe acquistare?Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
  • 10. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: calcoli con monete Analisi del compito Comprendere che si deve tener conto delle quattro condizioni indicate nell’enunciato: Marta ha scelto una delle sei merendine, ha sufficiente denaro per prenderla, il distributore richiede l’importo esatto, Marta non ha l’importo esatto. Partire dai prezzi delle merendine e cercare di formare ciascun prezzo con le monete possedute da Marta: Salatini Patatine Noccioline Barretta di Sacchetto di Pacchetto di cioccolato caramelle biscotti0,70 = 0,20+0,50 1=1 1,20 = 1+0,20 1,40 1,70 = +0,50+0,20 2 SI SI SI impossibile SI impossibile Concludere che Marta desidera acquistare una barretta di cioccolato al prezzo di € 1,40. Il pacchetto di biscotti è da escludere perché Marta non ha abbastanza soldi per arrivare a € 2. Oppure: partire dalle monete di Marta e formare le sette possibili somme: 0,20; 0,50; 0,70 (0,20 + 0,50); 1; 1,20 (1 + 0,20); 1,50 (1 + 0,50) e 1,70 (1 + 0,20 + 0,70). Arrivare alla conclusione che Marta desidera acquistare una barretta di cioccolato al prezzo di € 1,40 e che non ha soldi sufficienti per il pacchetto di biscotti che costa € 2 (tale importo non figura tra le somme possibili ed è superiore alla somma di denaro che possiede Marta).
  • 11. Attribuzione dei punteggi4 Risposta esatta (barretta di cioccolato) con spiegazione o lista esaustiva dei calcoli3 Risposta errata (barretta di cioccolato o pacchetto di biscotti) senza tener conto della condizione che Marta deve avere abbastanza soldi, con spiegazione2 Risposta esatta con lista non esaustiva dei calcoli1 Risposta esatta senza spiegazione0 Incomprensione del problemaLivello: 3, 4Origine: Genova
  • 12. MediaCategoria 3 3.58 N. classi 53 Media 2,95Categoria 4 N. classi 68
  • 13. 18. IMMER MEHR QUADRATE (Kat. 8)Charles zeichnet eine Folge von Quadraten.Er beginnt mit einem Quadrat derSeitenlänge1 cm. Beim zweiten Quadrat fällt eine derSeiten zusammen mit einer Diagonalen desersten Quadrates, (siehe Abbildung), beim 6edritten Quadrat fällt wieder eine Seitezusammen mit einer Diagonalen des 4ezweiten Quadrates usw. Auf der Abbildung 2eseht ihr die 6 ersten Quadrate, welche 1Charles zeichnete. 3e 5eWelches ist die Seitenlänge von Charles’11. Quadrat ?Wenn Charles weiterzeichnen würde,welches wäre dann die Seitenlänge des100. Quadrates?Erklärt wie ihr eure Antwortengefunden habt.
  • 14. 18. LA SAGA DEI QUADRATI (Cat. 8, 9, 10)Carlo si diverte a disegnare dei quadrati.A partire da un quadrato di lato 1 cm, disegna ilsecondo in modo che abbia un lato coincidentecon una delle diagonali di questo quadrato, ilterzo con un lato coincidente con la diagonaledel secondo e così via. La figura mostra i primisei quadrati disegnati da Carlo. 6oQuale é la lunghezza del lato dell’undicesimoquadrato che ha disegnato Carlo? 4oQuale sarebbe quella del lato del centesimo 2oquadrato se Carlo potesse disegnarlo? 1 3o 5oSpiegate come avete trovato le vostre risposte.
  • 15. ANALISI A PRIORIAmbito concettuale- Geometria: quadrato e sue proprietà; diagonale del quadrato e Teorema di Pitagora- Aritmetica: progressione geometrica- Algebra: calcolo letteraleAnalisi del compito- Osservare come sono formati i quadrati successivi: il primo, il terzo, il quinto, etc, cioè quelli di posto “dispari”, si susseguono nella stessa posizione del primo, mentre il secondo, il quarto, il sesto, etc., cioè quelli di posto pari, si susseguono nella stessa posizione del secondo, “obliquamente”. - Per trovare la lunghezza del lato del 2° quadrato, calcolare la lunghezza della diagonale del primo e trovare quindi che misura cm con il Teorema di Pitagora, oppure ricordarsi la relazione tra lato l e diagonale d di un quadrato: d=l . - Per trovare la lunghezza del lato del 3° quadrato, si può procedere sia con l’applicazione del Teorema di Pitagora (o direttamente con la relazione lato e diagonale di un quadrato) per arrivare a trovare × cioè 2 (in cm), sia con una quadrettatura della figura (quadretto unità coincidente con il primo quadrato) dalla quale si evince che il terzo quadrato è costituito da quattro quadrati di lato 1 cm. In sostanza il lato del terzo quadrato è il doppio del lato del primo quadrato.- Per trovare la lunghezza del lato del quarto quadrato, si può sia moltiplicare il lato del terzo per , oppure, tramite la quadrettatura della figura, capire che il quarto quadrato è formato da otto quadrati unità e che quindi la lunghezza del lato vale cm = 2cm.…
  • 16. Oppure: comprendere che le misure delle lunghezze dei lati dei quadrati “dispari” sono in una progressione geometrica di ragione 2, di primo termine 1 (ovvero, la lunghezza del lato di un quadrato “dispari” di rango 2k + 1 è ottenuta moltiplicando 2 per se stesso k volte). Tenendo presente tale progressione, la lunghezza del lato dell’undicesimo quadrato si può esprimere come: 25 = 32 (in cm).- Osservare poi come si “comportano” i lati dei quadrati “pari”.In effetti capire che la successione delle misure delle lunghezze dei lati dei quadrati “pari” sono in progressione geometrica di ragione 2, di primo termine la lunghezza della diagonale del primo quadrato (ovvero, la lunghezza del lato di un quadrato di lato «pari» di rango 2k è ottenuta moltiplicando la lunghezza della diagonale del quadrato unitario per il prodotto di 2 per se stesso k-1 volte).- Calcolare la lunghezza del lato del centesimo quadrato: × 249 cm.
  • 17. Attribuzione dei punteggi 4 Le due risposte corrette (32 cm e × 249 cm) con spiegazione chiara (tabelle, descrizione della procedura, …) (si può ammettere come risposta corretta per la 100-esima figura una scrittura ottenuta con la calcolatrice del tipo: 7,961…× 1014) 3 Le due risposte corrette ma senza spiegazione o senza l’esplicitazione delle varie fasi che portano alla soluzione oppure la risposta corretta per l’11° quadrato con spiegazione, e la risposta 7,961…E14 (copia del display della calcolatrice) per la seconda richiesta o, ancora per la seconda richiesta, la risposta 249) 2 La prima risposta corretta con spiegazione oppure la prima risposta corretta con spiegazione incompleta e inizio di ricerca per la seconda richiesta 1 La prima risposta corretta senza alcuna spiegazione 0 Incomprensione del problema
  • 18. risultati 21 sections18. La saga dei quadrati 18RMT II /sezionipoints Occ 0 Occ 1 Occ 2 Occ 3 Occ 4 Total m Cat. 8 219 76 100 19 31 445 1,03 Cat. 9 71 17 36 12 8 144 1,09Cat. 10 46 14 26 8 15 109 1,38 tot 290 93 136 31 39 589 1,04
  • 19. VICTOR UND SEINE SCHOKO-RIEGEL (Kat. 31, 32)©ARMT 2011 - 19° - I provaVictor hat verschiedene Schoko-Riegel: vier Riegel Milch-Schokolade, zwei Riegel weiße Schokolade und einen Riegel Nuss-Schokolade.Er will ab Montag an jedem Tag der Woche einen Riegel Schokolade essen. Er will jedoch nicht an zwei aufeinander folgenden Tagen dieselbe Sorte Schokolade essen.Welche Sorte Schokolade kann er an den einzelnen Wochentagen essen?Gebt alle Lösungen an, die ihr gefunden habt.
  • 20. LE TAVOLETTE DI CIOCCOLATO (cat. 3, 4)©ARMT 2011 - 19° - I provaVittorio ha ricevuto quattro tavolette di cioccolato nero, due di cioccolato bianco e una di cioccolato con le mandorle.Decide di mangiare una tavoletta ogni giorno della settimana, a partire da lunedì;ma non vuole mangiare lo stesso tipo di cioccolato per due giorni di seguito.Dite che tipo di cioccolato potrà mangiare ogni giorno della settimana.Indicate tutte le soluzioni che avete trovato.
  • 21. Che cosa intendiamo per “problema”(F.Jaquet) Una situazione per la quale non si disponga di una soluzione immediata e che ci obbliga a inventare una strategia, a fare dei tentativi, a tornare sui propri passi, a verificare. Una situazione è un problema solo la prima volta che la si affronta. Quando se ne è trovata la soluzione, diventa parte delle conoscenze organizzate e riconoscibili in classi di "problemi risolti".
  • 22. L’ immagine della matematica• Evitare che la matematica sia vista come una successione di regole, più o meno sensate, da imparare a memoria, ricette dettate dall’insegnante e inventate da chissà chi e chissà perché, algoritmi da applicare acriticamente• Evitare che ci si abitui a non capire: paradossalmente, si rinuncia ad usare la propria testa, proprio in matematica, più che nelle altre materie.A volte anche chi ama la matematica non ne ha una immagine corretta
  • 23. Beatrice, di una terza elementare di Genova scriveLe mie impressioni sul Rally.• A me piace il Rally matematico perché, secondo me è bello lavorare in gruppo e provare tante soluzioni, sapere i pareri di tutti i componenti del gruppo e aiutarsi a vicenda.• In questo modo ci si esercita con la matematica e soprattutto si impara ad aiutarsi. A me piacciono i problemi del Rally perché non sono i soliti problemi da risolvere con le operazioni, ma in quelli bisogna usare la logica e si possono trovare tante soluzioni differenti. Lavorando in gruppo si riesce a confrontare le proprie idee con quelle degli altri e in questo modo si riescono a risolvere i problemi fra bambini, senza laiuto dellinsegnante.
  • 24. Il Rally offre agli gli insegnantil’opportunità di:• rinnovare la didattica• valutare i propri allievi durante le prove di allenamento, in un contesto informale e insolito• collaborare e confrontarsi con i colleghi nella valutazione delle prove
  • 25. L’insegnante ricopre un ruolo essenziale nell’attività di risoluzione di problemi.Nell’attività connessa al Rally dovrebbe: • riprendere l’analisi dei problemi con gli allievi • rilanciare in caso di difficoltà non superate • validare e valutare, • generalizzare, istituzionalizzare, per assicurarsi che l’attività sia utile per costruire o rafforzare conoscenze matematiche.
  • 26. Cosa dicono gli insegnantiIl Rally matematico è un momento importante per riflettere e ragionare assieme,nella convinzione comune che tutti siamo tessere “diverse”, ma ugualmente indispensabili, di un meraviglioso puzzle.Un grazie sincero ai miei alunni per aver condiviso con me questa bellissima esperienza didattica, metodologica e soprattutto educativa. Maestra Rossella
  • 27. Commenti liberi, anonimi, in un questionario sul Rally:Insegnanti di scuola elementare:• I problemi sono stati di stimolo per una metodologia più “nuova”, dinamica e meno tradizionalista• Ho rinnovato il modo di fare matematica. Ho potuto approfondire e riflettere su temi matematici• Ho avuto la possibilità di offrire agli alunni esperienze coinvolgenti, piacevoli e divertenti
  • 28. • Argomentare per esprimere le proprie idee è difficile, tuttavia con le prove del Rally i bambini si stanno avviando ad acquisire tale capacità• Il Rally ha favorito l’acquisizione di un metodo per la risoluzione dei problemi• Gli alunni vengono stimolati ad intervenire, a fare osservazioni, trovare regole e a comunicarle agli altri• Dopo aver fatto l’esperienza del Rally mi sembra di aver acquisito una maggior tolleranza dell’errore e una maggior disponibilità alla spiegazione
  • 29. Insegnanti di scuola media• Sono venuta a contatto con un modo più coinvolgente di affrontare i concetti matematici, che agli studenti appaiono spesso “freddi”• Dall’analisi a posteriori ho capito meglio quali sono i ragionamenti degli alunni• Ho cambiato l’ottica di proporre la matematica in aula, ho utilizzato spesso problemi del RMT per “fare” lezione o per giocare (come dicevano i ragazzi)• Spesso, anche per argomenti del programma, è nato un dibattito scientifico nella classe• Si crea un avvicinamento fra insegnante e studente perché l’uno e l’altro si trovano di fronte a situazioni nuove da risolvere
  • 30. Regolamento della garaL a gara preved e d iverse tappe:• una prova di allenamento, in novem bre o d icem bre• una prima prova, in gennaio o febbraio, second o le sezioni• una seconda prova in m arzo o aprile• una finale, a cui acced ono le classi d i una stessa sezione che hanno ottenuto i punteggi pi ù alti nelle d ue prove preced enti
  • 31. regole• L a d urata d ella prova è d i 50 minuti• la sorveglianza d eve essere obbligatoriamente assicurata da una persona " neutrale" , d iversa d al titolare d ella classe• gli allievi possono utilizzare tutto il materiale che reputano necessario: forbici, colla, righello, com passo, carta, m atite, calcolatrice, etc.
  • 32. valutazione• Un numero di punti da 0 a 4 è attribuito a ciascun problema da una commissione della sezione, secondo i criteri determinati a livello internazionale.• Le correzioni vengono effettuate collegialmente.• Le classifiche sono per categoria.
  • 33. premi• O gni allievo riceverà un attestato d i partecipazione e un regalino particolarizzato con la scritta propria d ella ed izione d el Rally, a ricord o d ella partecipazione• Ai partecipanti alla finale sarà consegnato un ulteriore gad get e alle classi vincitrici (una per categoria), una coppa.• A second a d elle ed izioni sarà regalato alla scuola o agli insegnanti responsabili qualche buona pubblicazione o l’abbonam ento ad una rivista m atem atica.
  • 34. “collaborazione”Parola chiave del Rally ad ogni livello:• Tra gli allievi• Tra gli insegnanti• Tra gli ideatori di problemi e gli organizzatori della gara
  • 35. Incontri internazionali• 1997 : 1° incontro internazionale a Brigue (CH)Dal 1998: Brigue, Siena, Neuchatel, Parma, Lussemburgo, Bourg-en-Bresse, Nivelles, Besancon, Aosta, Riva del Garda2011 (28-30 ottobre): 15° Incontro a BARLETTA
  • 36. organizzazione• Comitato internazionale• Responsabili di sezione• Collaboratori di sezione• Insegnanti responsabili di scuola
  • 37. DIE ZUGFAHRT (Kat. 42, 71, 81)In Mathepolis fährt jede volle Stunde (00 Minuten) ein Zug ab in Richtung Geocity.Ein anderer Zug fährt ebenfalls jede volle Stunde in Geocity ab in Richtung Mathepolis.Die Fahrtzeit dauert genau 10 h für jeden Zug.Wie viele entgegenkommende Züge kreuzt jeder Zug auf der gesamten Fahrstrecke?Erklärt eure Überlegungen.
  • 38. VIAGGIO IN TRENOA Transalpinia, ci sono treni che, allo scoccare di ogni ora (00 minuti), lasciano la stazione di Matepolis in direzione di Geocity. Altri treni lasciano Geocity in direzione di Matepolis, anch’essi allo scoccare di ogni ora.La durata del viaggio è esattamente di 10 ore per tutti i treni.Durante il suo tragitto, quanti treni che fanno il percorso in senso inverso, incrocerà ciascun treno?Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
  • 39. ANALISI A PRIORIAmbito concettuale- LogicaAnalisi del compito- Trovare un modo per modellizzare la situazione (tabella, riga graduata, disegno, … ). Per esempio per un treno che parte da Matepolis alle 12.00, il primo treno che incontra è quello che è partito da Geocity alle 3.00 (non incrocia quello che è partito alle 2.00, che arriva proprio alle 12.00): GEOCITY MATEPOLIS 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22hSi contano 19 incroci sul grafico, tutte le mezz’ore, dalle 12.30 alle 21.30.Oppure, distinguere tre «tipi» di treni: - quelli che sono già in viaggio, vale a dire i treni partiti da 9 ore, 8 ore, …e 1 ora, che sono 9 - quello che parte nello stesso momento, ma dall’altra stazione - quelli che partiranno dopo il treno considerato, cioè quelli che partiranno dopo 1 ora, 2 ore, …, 9 ore, che sono ancora 9. In tutto ci sono dunque 9 + 1 + 9 = 19 treni incrociati.
  • 40. Attribuzione dei punteggi3 Risposta completa (ogni treno incontra 19 altri treni) con spiegazione chiara3 Risposta corretta con spiegazione incompleta oppure risposta 21 treni che non tiene conto del fatto che i treni si incontrano lungo il tragitto (e non nelle stazioni di partenza e di arrivo) con spiegazione chiara oppure risposta 18 treni, che non tiene conto del treno che parte nello stesso momento, ma dall’altra stazione2 Risposta corretta senza spiegazione oppure risposta 21 treni dovuta al non rispetto della condizione che i treni partono simultaneamente (allo scoccare delle ore) dalle due stazioni1 Risposta errata (9 o 10 treni) che tiene conto solo di uno o due «tipi» di treno oppure inizio di ricerca coerente0 Incomprensione del problemaLivello: 6, 7, 8Origine: Luxembourg
  • 41. FOTO AUS AFRIKA (Kat. 31, 32) ©ARMT 2011 - 19° - I provaClara sieht sich ein großes Foto mit Tieren aus Afrika an.Sie zählt die Zebras und die Giraffen.Im Ganzen zählt sie 36 Tiere. Die Anzahl der Zebras ist doppelt so groß wie die Anzahl der Giraffen.Wie viele Giraffen sind es?Wie viele Zebras sind es?Erklärt wie ihr eure Antworten gefunden habt.
  • 42. UNA FOTO AFRICANA (cat. 3, 4)©ARMT 2011 - 19° - I provaClara osserva una grande fotografia di un paesaggio africano.Conta le zebre e le giraffe.Ce ne sono 36 in tutto e il numero delle zebre è il doppio del numero delle giraffe.Quante sono le giraffe?Quante sono le zebre?Spiegate come avete trovato le vostre risposte.