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Comenius 17 05- 12
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  • 1. Il ruolo dei problemi per la costruzione di conoscenze come strumenti matematiciDaniela Medici, M. Gabriella Rinaldi Bologna - 17 maggio 2012
  • 2. I concetti matematici presentano due aspetti: concetto – strumento concetto – oggetto
  • 3. Esempi→ I sistemi numerici: Q, Z, R, CAd esempio QLe frazioni Come operatori (per misurare …) Come numeri Il campo dei numeri razionali: Q = [ZxZ{0}] /R Il concetto di equazione, il concetto di funzione, ...
  • 4. Come si sono formati storicamente i concetti matematici?Ogni concetto ha la sua storia, a volte lunga millenni, ma, in generale, le tappe sono state• problemi• messa a fuoco progressiva di conoscenze e di alcune proprietà correlate• definizione, studio e “sistemazione” della teoria
  • 5. Come sono presentati i concetti matematici?nella prassi didattica :• Definizione• Proprietà• Esercizi di applicazione
  • 6. Processo storico Processo didatticoIn classe si sovverte la sequenza storica Con quali conseguenze?
  • 7. Scarsità di motivazione (“…ma a cosaserve?”)Scarsità di interesse (“non mi piace”) motivazione e significato sono condizioni fondamentali di qualsiasi apprendimento Quale strumento migliore del problema può dare motivazione alle conoscenze che vogliamo proporre?
  • 8. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studiopersonalizzati nella Scuola Primaria: ... partire da problemi ed attività ricavatidall’esperienza diretta dei fanciulli. Tali problemi ed attività (…) sianosempre dotate di senso e quindi motivantiper chi le svolge
  • 9. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studio personalizzati nella Scuola Secondaria di 1° grado:Obiettivi generali del processo formativo : “Scuola della motivazione e del significato”...i ragazzi sono (…) molto resistenti agli apprendimenti di cui non comprendono motivazioni e significato, che vogliano sottometterli e non responsabilizzarli.La scuola secondaria di primo grado è impegnata a radicare conoscenze (…) utilizzando le modalità più motivanti e ricche di senso.
  • 10. Prevalenza dei meccanicismi Spesso il meccanicismo non viene associato al significatoINOLTRE Il consolidamento di formule attraverso l’esercizio ripetuto agisce sulla memoria a breve termine e contribuisce a far nascere un’ immagine non corretta della matematica
  • 11. Come fare per evitare tali conseguenze? (o almeno tentare) Come costruire i concetti matematici?Proporre problemi o attività,che utilizzino il concetto che si vuole “costruire”come STRUMENTO necessario Solo in seguitoIstituzionalizzare: definire enunciare le proprietà studiare l’OGGETTO matematico
  • 12. Abbiamo scelto, come esempio, due argomenti• Il pensiero proporzionale• Introduzione al linguaggio algebrico Perché proprio questi?- Sono “verticali”- Sono fondamentali anche per altre discipline- Fanno parte del bagaglio di competenze indispensabili nella vita Ma…
  • 13. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 1° a n n o s e c . p r im o g r a d o :17 . Nonna Pina l’anno scorso con 21 Kg di prugne ha preparato 7 Kg di marmellata.Quest’anno vuole fare 10 Kg di marmellata.d. Quanti chili di prugne le serviranno?Risposta: ………………………… Kgb. Scrivi come hai fatto per trovare la risposta.…………………………………………………corretta 45,2% errata 40,8% nulla 13,9%
  • 14. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005) in Atti CERME 6 (2009)Vittorio e Anna stanno correndo sulla pista di atletica. Corrono con la stessa velocità, ma Anna parte dopo.Quando Anna ha fatto 5 giri, Vittorio ne ha fatti 15.Quando Anna ha fatto 30 giri, quanti giri avrà fatto Vittorio?Spiegate la vostra risposta.Risposte corrette:12-13 anni 57%15-16 anni 46%
  • 15. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 3 ° a n n o s e c . p r im o g r a d o :22. Scrivi la formula che esprime il perimetro p del triangolo isoscele in figura in funzione di a. p = ……………………… Corretta 62,2% Errata 22,9 %
  • 16. P r o v a I n V a l S I 2 0 10 – 3 ° a n n o s e c . p r im o g r a d o :9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo 1 2 diametro d (in cm) p= dsecondo la seguente formula: 15Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo 61,5% 34,3 % diametro □V □Fb. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro □ V 83,9 % □ F 12,6 %c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15 □ V 27,7 % □ F 67,6 %
  • 17. E’ evidente che qualcosa non ha funzionato nell’apprendimento
  • 18. La nostra proposta:• Introdurre i concetti a partire da buoni problemi, interessanti e coinvolgenti• Proporre buoni problemi che mettano in gioco argomenti non trattati nell’immediato• Abituarli ad argomentare, anche per iscritto e a difendere le proprie posizioni con i compagni e ad ascoltare le idee degli altri• Non imporre soluzioni preconfezionate che li abituino a seguire acriticamente regole e ricette
  • 19. Evitare l’effetto “Einstellung”Se si chiede di risolvere numerosi problemi che richiedono l’applicazione della stessa procedura, (come accade di solito alla fine di una sequenza di insegnamento),e si propone poi un problema per il quale la procedura stessa è inadeguata,si potrà osservare il permanere di tale procedura, applicata in modo acritico.
  • 20. Pensiero proporzionale
  • 21. Difficoltà legate all’acquisizione del pensiero proporzionale persistenti anche in età adultaDifficoltà nel riconoscere una situazione di proporzionalità
  • 22. Perché il pensiero proporzionale è “difficile”? Si tratta di superare la “barriera” delcampo concettuale delle strutture additive per entrare nel campo concettuale delle strutture moltiplicative
  • 23. Proporzioni e “pensiero proporzionale”Quando si costruisce (o si può cominciare a costruire) il pensiero proporzionale?Quando e come si introduce l’argomento “proporzioni”?
  • 24. La proporzionalità nell’allievo è percepita in modo intuitivomolto tempo prima del suo studio in classe (generalmente nella seconda classe di scuola secondaria di primo grado) ed è in rapporto stretto con la sua progressione nel campo concettuale della moltiplicazione. F. Jaquet
  • 25. L’argomento “proporzioni” non deve essere appesantito imponendo come nuove regole che sono implicite nelle proprietà delle operazioni aritmetiche,ma deve essere finalizzato alla scoperta delle leggi di proporzionalità(y = kx ; xy = k) Dai programmi della scuola media (1979)
  • 26. Proporre un problema adatto ad introdurre il concetto di proporzione comelo strumento più efficace alla risoluzione in modo che il concetto di proporzioneappaia necessarioacquistando senso e motivazione.
  • 27. Il puzzle 6 cm 5 cm 4 cm m A B 5cIl puzzle rappresentatoin figura va ingrandito: 8 cmil segmento che misura m4 cm deve misurarne 6 5csul puzzle ingrandito. 7 cmIngrandite ciascuno C D 3 cmdei quattro pezzi ecostruite così il nuovogrande puzzle. 3 cm 8 cm
  • 28. Il puzzleAnalisi delle difficoltàSi tratta di superare la concezione“additiva”, riconoscendo un problema diproporzionalità.La strategia del ritaglio permette uncontrollo immediato della soluzione: ilproblema è auto-validante
  • 29. Il puzzle “ingrandito” con strategia additiva
  • 30. IL COLORE DEL MAREUn amico ci ha detto che per riprodurre un particolare colore del mare, dobbiamo mescolare tra loro quattro diversi colori e ci ha consigliato le rispettive quantità, che sono riportate nella tabella qui sotto.Purtroppo abbiamo a disposizione una quantità diversa del primo colore.Riesci a determinare le quantità degli altri colori, in modo che il colore finale non cambi? COLORE QUANTITA’ QUANTITA’ CONSIGLIATA EFFETTIVAVerde scuro 70 ml 50 mlAzzurro cielo 40 mlGiallo chiaro 25 mlBianco 20 mlSpiegazione:____________________________________________________________________________________________________________________
  • 31. DomandaIl ricorso a “buoni problemi”, può incidere sulla costruzione del pensiero proporzionale e quindi sull’apprendimento?Lavorare per problemi è guadagno o perdita di tempo?Gli allievi hanno maggiori capacitàa medio o lungo termine di riconoscere una situazione proporzionale ?
  • 32. RISULTATIMARE n° GIUSTO SBAGLIATO ADDClassi sperimentali 68 55,8% 44,2% 46,6%Classi 217 14,7% 85,3% 77,83%di controllo Classi sperimentali : classi in cui il pensiero proporzionale è stato introdotto a cominciare dal “puzzle” e continuando con “buoni problemi”. Sono classi abituate a lavorare per problemi. 13-14 anni Classi di controllo: 13-14 anni e 14-15 anniIl fatto che un colore vada a zero pare provocare ripensamentinelle classi sperimentali:tra chi sbaglia è sensibilmente inferiore la percentuale di chiapplica la strategia additiva.
  • 33. Problemi di Problemi di caratterecarattere geometrico aritmetico Dalle considerazioni spontanee si ragiona sull’uguaglianza di rapporti per poi arrivare ad “istituzionalizzare” il nome “proporzioni” (scrittura e terminologia) la proprietà fondamentale (dall’uguaglianza tra due frazioni) le altre proprietà
  • 34. Alla scuola elementare è possibile acquisire il pensiero proporzionale gradualmente mediante:Problemi tradizionali o Problemi non-standard• in ambito aritmetico o geometrico• attraverso attività manipolative e nonovviamente senza istituzionalizzazione formale
  • 35. 120 Kg di pane appena sfornato vengono sistemati in 20 ceste di plastica per il trasporto; se ogni cesta pesa 0,80 Kg. Quanto sarà il peso complessivo del carico e quanto il peso lordo unitario? attenzione ai problemi !!! Come è possibile calcolare il peso lordo unitario? Quanti chili di pane in ogni cesta?
  • 36. Aiuole colorateClaudio sta piantando due aiuole di tulipani, vuole usare un miscuglio di tulipani rossi e gialli.Nella prima ogni 3 tulipani gialli pianta 7 tulipani rossi.Nella seconda ogni 2 tulipani gialli pianta 3 tulipani rossi.Quale aiuola vedrà più gialla?
  • 37. Occorre capire che l’aiuola che si vede piùgialla è quella che ha più fiori gialli a paritàdi tulipani rossiCiò che conta è cioè il rapporto fra i due colori, ma non occorre il concetto di rapporto per risolvere il problema.
  • 38. Prima aiuola rossi 7 14 21 28 35 gialli 3 6 9 12 15 Seconda aiuola rossi 3 6 9 12 15 18 21 24 gialli 2 4 6 8 10 12 14 16Le tabelle si possono confrontare a parità di fiori rossi o gialli
  • 39. e=5m m = 10 u b = 30 edunque una balena pesa come 30e cioè come 30 x 5m cioè come 30 x 5 x 10 u quindi come 1500 uomini
  • 40. “La Matematica non si insegna, essa si apprende e si apprende nell’attività” George Papy
  • 41. Le Marmellate 15°RMT,F,12C’è la raccolta delle ciliegie.La nonna prepara la marmellata in un enorme paiolo, per la sua famiglia e i vicini.Lunedì cuoce 8 kg di ciliegie con 5 kg di zucchero.Martedì cuoce10 kg di ciliegie con 7 kg di zucchero.Giovedì, giorno di maggior raccolta, cuoce 16 kg di ciliegie con 10 kg di zucchero.Sabato, fine della raccolta, cuoce 5 kg di ciliegie con 3 kg di zucchero.Qual è il giorno in cui la nonna ha preparato la marmellata più zuccherata?Ci sono giorni in cui le marmellate hanno lo stesso grado di dolcezza?Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
  • 42. Le Marmellate 15°RMT,F,12ANALISI A PRIORIAnalisi del compitoRendersi conto che bisogna considerare simultaneamente le duegrandezze e non ci si può basare soltanto sullo zuccheroRendersi conto che sarebbe possibile fare confronti se laquantità di una delle due grandezze fosse la stessa, diconseguenza provare a raddoppiare, triplicare, ...dividere perdue, ... ciascuna delle quantità.Esempio:8 kg di ciliegie e 5 kg di zucchero16 kg di ciliegie e10 kg di zuccheroPorta a concludere che la percentuale di zucchero dellemarmellate di lunedì e giovedì sarà la stessa.
  • 43. Le Marmellate 15°RMT,F,12Inoltre raddoppiando le quantità di sabato :10 kg di frutta e 6 kg di zuccheroe confrontando con martedì:10 kg di frutta e 7 kg di zuccherosi può dire chela marmellata di sabato è meno zuccherata di quella dimartedì.Si possono poi confrontare le marmellate di martedì e giovedì,facendo coincidere una delle quantità.100 kg di frutta per 70 kg di zucchero il martedì112 kg di frutta per 70 kg di zucchero il giovedì e si conclude chela marmellata di martedì è più zuccherata di quella digiovedì.
  • 44. Le Marmellate 15°RMT,F,12La marmellata più zuccherata è dunque quella di martedì,le marmellate di lunedì e di giovedì hanno la medesimapercentuale di zucchero.Con procedure «esperte»:calcolare i rapporti giornalieri fra zucchero e marmellata: lunedì martedì giovedì sabatozucchero(in kg) 5 7 10 3ciliegie (in kg) 8 10 16 5rapporto 5/8 7/10 10/16 3/5 =0,625 = 0,7 = 0,625 = 0,6
  • 45. Le Marmellate 15°RMT,F,12Oppure:calcolare i rapporti giornalieri di massa di zucchero/massa totale: lunedì martedì giovedì sabatozucchero (in kg) 5 7 10 3ciliegie (in kg) 8 10 16 5rapporto 5/13 7/17 10/26 3/8 ≈ 0,38 ≈ 0,41 ≈ 0,38 ≈ 0,375
  • 46. I BARATTOLI DI CARAMELLE (Cat. 5, 6, 7, 8, 9, 10)Nonna Matilde mette in un barattolo 6 caramelle all’arancia e 10 allimone.In un secondo barattolo mette 8 caramelleall’arancia e 14 al limone. Caramelle CaramelleLe caramelle hanno la stessa forma e sono I II 6 allarancia 8 allarancia incartate nello stesso modo. 10 al limone 14 al limoneLa nonna sa che a Giulio non piacciono lecaramelle al limone e quindi gli dice:«Puoi prendere una caramella. Ti lascio scegliere il barattolo nelquale puoi infilare la mano, senza guardare dentro».Giulio ci pensa un po’ e sceglie infine il barattolo che, secondo lui,gli offre più possibilità di prendere una caramella all’arancia.Al posto di Giulio quale barattolo scegliereste?Spiegate il vostro ragionamento.
  • 47. ANALISI A PRIORIAmbito concettuale- Aritmetica: rapporto, proporzione e idea di «probabilità»Analisi del compito- Rendersi conto che non è sufficiente scegliere il barattolo che ha il maggior numero di caramelle all’arancia o il minor numero di caramelle al limone, ma che bisogna anche tener conto delle due quantità contemporaneamente, con un rapporto di grandezze.- Determinare, poi confrontare, i rapporti tra numeri di caramelle all’arancia e al limone, per mezzo di frazioni (con lo stesso denominatore o numeratore), o dividere l’uno per l’altro.Oppure: determinare e confrontare i rapporti del numero di caramelle all’arancia e il numero totale di caramelle di ciascun barattolo.Oppure: organizzare un ragionamento proporzionale del tipo: “in un barattolo di 6 / 10 si avrebbero le stesse possibilità di un barattolo di 12 / 20” e preparare una lista di casi:I Arancia 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 … Limone 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 … Totale 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 …II Arancia 8 16 24 32 40 48 56 64 … Limone 14 28 42 56 70 84 96 112 … Totale 22 44 66 88 110 132 154 176 …e constatare che si possono confrontare facilmente 42 / 70 e 40 / 70 oppure 66 / 176 e 64 /176 o ancora 24 / 64 e 24 / 66 oppure 48 / 128 e 48 / 132 per dedurne che la scelta del primo è la più favorevole ad avere una caramella all’arancia.
  • 48. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9°, IIUn pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18 barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta. Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.Indicate il colore di ogni figura.Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?Spiegate come avete trovato la risposta.
  • 49. ANALISI A PRIORIAmbito concettuale :- Geometria : confronto e misura di aree, definire un’unità di misura di aree- Aritmetica : proporzionalitàAnalisi del compito:- Scegliere un’unità di misura per l’area- contare il numero di unità in ogni figura- Classificare le figure secondo la loro area, in triangoli: (doppi quadrati = 12, ottaedri = 14, rettangoli = 16, triangoli = 18) o in quadrati : (doppio quadrato = 6, ottaedro = 7, rettangolo = 8, triangolo = 9)- Fare la corrispondenza tra le aree delle figure e i numeri dei barattoli di colore (losanghe in rosso, ottaedro in blu, rettangolo in nero e triangolo in giallo)- Trovare il numero di barattoli di colore nero (24)
  • 50. DECORAZIONI (Cat. 5, 6, 7) 9°, IIAttribuzione dei punteggi4 Indicazione del numero di barattoli di colore con spiegazioni (indicazione del colore di ogni figura e relazione area/numero di barattoli)3 Indicazione del numero di barattoli di colore, senza spiegazioni2 Indicazione dell’area di ciascuna figura e errore di calcolo per il numero dei barattoli di colore nero1 Valutazione “ ad occhio” delle superfici (spiegazione del tipo ”si è visto che…) o inizio di risoluzione del problema0 Risposte non in linea con il problemaLivello: 5, 6, 7Origine : Suisse romande
  • 51. risultati “Decorazioni”da 130 elaborati di cat 5,6,7punteggio massimo 4 :• media totale : 2,7• media cat. 5 : 2• media cat. 6 : 2,9• media cat. 7 : 3,2problema “facile”, ma le variabili numeriche hanno influenzato il risultato (regolarità delle successioni)
  • 52. • 24 pots noirs, il y a toujours 3 de différence: 18 – 21 – 24 – 27• Ce ne sono 30: (18 – 21 – 27 – 30)• Sono 39, infatti : 18 + 3 = 21 21 + 6 = 27 27 + 12 = 39abbiamo notato che c’è sempre il doppio di 320 % degli elaborati: notano la regolarità della successione delle misure di area 6;7;8;9sulla successione incompleta dei numeri di barattoli 18 : 21 ; 27arrivando anche a risultati errati, all’incirca nel 50% dei casi
  • 53. • Pour trouver la réponse, on doit toujours faire 3 fois. Il a utilisé 24 pots noirs.• Abbiamo contato il numero di quadrati in ogni figura e abbiamo moltiplicato per 3 ogni numero di quadrati nelle figure e abbiamo fatto allo stesso modo per sapere quanti neri ci sono (24).• Il a utilisé 24 pots de peinture (noire). Explication : On a fait 3 × 6 = 18, après on fait 3 × 9 = 27 ensuite 3 × 7 = 21 ensuite il restait 24car ce qu’on a fait 3 × 8 = 24 on l’a mis en noir.80% degli elaboraticitano esplicitamente il fattore 3 o riconoscono i multiplidi 3 nella successione dei numeri di barattoli
  • 54. TARTUFI AL CIOCCOLATO (Cat. 6, 7, 8) 11°, FEcco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo stesso tipo di tartufi al cioccolato: Classico Alternato Piccolo TribùEd ecco le etichette che indicano il peso del 540 gcontenuto, da incollare sulle confezioni: 810 gMa queste etichette non sono in ordine e ne 630 gmanca una.Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il suo peso.Spiegate il vostro ragionamento.
  • 55. • fattore non intero: 22,5(per scoprirlo occorre fare numerosi tentativi)• successione 16, 24, 28, 36(meno facile di 6,7,8,9 di « Decorazioni »)• successione incompleta 540, 630, 810(con numeri più grandi)
  • 56. DOVE SI POSA LA MOSCA? R.M.T. 1999: 7°, I, 15 DIl rettangolo di destra è la fotografia del grande rettangolo disinistra.Nel momento in cui la fotografia è stata scattata, una mosca si èposata sul rettangolo grande.Il fotografo però quando ha stampato la fotografia lha cancellata.Rimettete la mosca al posto giusto sulla foto.Spiegate come avete proceduto.
  • 57. Analisi a priori• Ambito concettuale: geometria: ingrandimento (omotetia), aritmetica: proporzionalità (funzione lineare)• Analisi del testo: assenza di parole chiave• Analisi del compito: - procedure di tipo geometrico: tracciare due rette passanti ciascuna per la mosca e (ad es.) per un vertice del foglio e condurre poi le parallele corrispondenti sulla foto e individuare “la mosca” dalla loro intersezione; oppure cercare il centro di omotetia, intersecando due rette congiungenti punti corrispondenti e procedere utilizzando le proprietà dell’omotetia. - procedure di tipo aritmetico: determinare il fattore di riduzione della fotografia a partire dai due rettangoli (eventualmente verificando che è il medesimo per le due dimensioni): 2,5 : 6 = 3,5 : 8,4 = 5 : 12 determinare poi le coordinate della mosca sul foglio e calcolare le coordinate corrispondenti sulla foto.
  • 58. La mosca: soluzione graficaOmotetia di centro C D C
  • 59. Prova invalsi 2008 C5. In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo prezzo è aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi, il costo del maglione si è ribassato del 10% rispetto al prezzo natalizio. Quale affermazione è vera? A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre. B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di ottobre dell’8%. C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di ottobre del 10%. D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10%. Risposte corrette 15% (B)
  • 60. Prova invalsi 2008 C8. Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al Totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera somma e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli. Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli? A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/6 Risposte corrette 35% (D)
  • 61. CHIMICASul testo di chimica, abbiamo trovato che per neutralizzare 10 ml di una soluzione fortemente acida occorre aggiungere 80 ml di un composto alcalino.Noi però dobbiamo neutralizzare 25 ml della soluzione acida.Quanti millilitri del composto alcalino dovremo utilizzare?Spiegazione:______________________________ ______________________________________ ______________________________________ _____________
  • 62. Inserito per testare se e soprattutto in chi, numeri più semplici avrebbero facilitato il superamento dell’ostacoloAbbiamo agito sulla variabile didattica “numeri” per vedere se in che misura numeri più “facili” avrebbero favorito le classi di controllo.CHIMICA n° GIUSTO SBAGLIATO ADDCLASSI S-C 66 82,4% 7,6% 10,3%CLASSI T 214 47,7% 52,3% 40,2 %

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