Escuela Superior Politécnica del Litoral


Solucionario de Problemas
de Ecuaciones
Diferenciales
Primer parcial (3ra versi...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                       Ecuaciones Diferenciales separables

                    ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

           2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferen...
Ecuaciones diferenciales de primer orden



4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

2 y ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                          ln(x)
Ahora integrando                    dx :
       ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


                            Ecuaciones Diferenciales Lineales

Las ecuaciones d...
Ecuaciones diferenciales de primer orden



                          x3
1)      xy'−2 y =                   ;
           ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                                                                 1 ; 0 ≤ x < 2
...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:
dy     y
   = y
dx e + 2 x
Si o...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
xy' −y = x 2 sen(ln(x));       ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                           Ecuaciones diferenciales Exactas
Las ecuaciones difer...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
 3      e xy                   ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ahora si Fx = M, entonces se obtiene lo siguiente :
Fx = M(x, y);
              ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
 2    xy        2            ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

Entonces reemplazando Fy :
                                                     ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                    1                                x      
∫ ∂N( x, y) = ∫ ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

Entonces reemplazando Fy :
                           1                         ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

                Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante

M( x , y...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

  My = Nx, por lo tanto la ecuación diferencial es exacta :
                    ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden

[y + xy   3
              (1 + ln(x))]dx - 2xdy = 0;
M(x,y) = y + xy 3 (1 + ln (...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


3)                   (
       x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = −2xyln(y);        )
      ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


                    Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
Sea
dy
   + p( x ) y ...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


            1)    xdy - [y + xy 3 (1 + ln(x))]dx = 0;


xdy-[y + xy 3 (1 + ln (...
Ecuaciones diferenciales de primer orden


2)        xy'+y = y 2ln(x);                si y(1) = 1;
    y        ln( x )
y'...
Ecuaciones Diferenciales


3)       4(1 + x)dy + y[1 + 4xy 2 (1 + x)]dx = 0;
       1               
y'+ y           + ...
Ecuaciones Diferenciales



4)         3y' +4csc(2x)y = 2y −1/2 ctg(x);
   4            2                                 ...
Ecuaciones Diferenciales

La solución particular es :
                                    2
                      π    ...
Ecuaciones Diferenciales

1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:
              y
        sec 2  
dy y          ...
Ecuaciones Diferenciales


∫                      ∫
         v 2 dv                dx            v 3 v 2sen(2v) v         ...
Ecuaciones Diferenciales

             dy
3)       x      = y + x2 − y2 ;      y(x0 ) = 0; donde x0 > 0;
             dx
y...
Ecuaciones Diferenciales


                   Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales

     dy (2y − x + 5 )
1) ...
Ecuaciones Diferenciales



   dz 2 z − 1 − 2 z + z 2
u       =                     ;
   du            2−z
(z − 2 )dz     ...
Ecuaciones Diferenciales

Reemplazando x, y y y' :
                                                dz − 7 + 3 z + 3 z − 7 ...
Ecuaciones Diferenciales



3)   (y − x − 5)y'−(1 − x − y ) = 0;
(1-x-y) − (y − x − 5)y' = 0;
a1b2 ≠ a 2 b1 ;
(− 1)(− 1) ≠...
Ecuaciones Diferenciales

   dz      z2 + 1
u      =−         ;
  du        z−1
  (z − 1)dz        du
∫ (z 2 + 1) = ∫ − u ...
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  1. 1. Escuela Superior Politécnica del Litoral Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Primer parcial (3ra versión) Roberto Cabrera RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR) 09
  2. 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones Diferenciales separables XY Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: {Y Y{ XY Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: XY {Y{ {Y{ XY Donde { { se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: XY {Y{ {Y{ XY XY {Y{XY {Y{ XY {Y{XY {Y{ {Y{ {Y{ - V Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: 1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial: dy(xy - 2x + 4y - 8) - dx(xy + 3x - y - 3) = 0 dy xy + 3x - y - 3 = dx xy - 2x + 4y - 8 dy x(y + 3) - (y + 3) = dx x(y - 2) + 4(y - 2) dy (y + 3)(x - 1) = = f ( y )g ( x ); dx (y - 2)(x + 4) (y − 2 )dy (x − 1)dx = ⇒ Integramos a ambos lados de la ecuación (y + 3 ) (x + 4 ) (y − 2 )dy (x − 1)dx ∫ (y + 3 ) = ∫ (x + 4 ) ( y + 3 )dy 5dy (x + 4 )dx 5dx ∫ ( y + 3) −∫ y+3 =∫ (x + 4 ) −∫ (x + 4 ) 5dy 5dx ∫ dy − ∫ y + 3 = ∫ dx − ∫ (x + 4 ) y − 5 ln y + 3 = x − 5 ln x + 4 + c ESPOL 2009 2
  3. 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: π Si y(0) = ; 4 Reemplazan do u y v : 3e tan(y)dx + (2 − e x )sec 2 (y)dy = 0 x ln tan(y) = 3ln 2 − e x + c; (2 − e x )sec 2 (y)dy = −3e x tan(y)dx; 3ln 2 − e x + c dy − 3e x tan(y) e ln tan(y) = e ; = x 2 = f(x).g(y); x 3 dx (2 − e )sec (y) tan(y) = (2 − e ) K; 2 x sec (y)dy 3e dx La solución general es : =− x ; tan(y) (2 − e ) y = arctan[(2 − e x )3 K ]; sec 2 (y)dy 3e x dx si y(0) = /4; ∫ tan(y) = ∫− (2 − e x ) ; ⇒ u = tan(y) ⇒ du = sec 2 (y); /4 = arctan[(2 − e 0 )K ]; v = 2 − e ⇒ dv = − e dx; x x /4 = arctan(K); ⇒ Reemplazan do :   du 3dv tan   = K; ⇒ K = 1; ∫ u =∫ v ; 4 La solución particular es : ln u = 3ln v + c; y = arctan[(2 − e x )3 ]; 3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial: dx e x/2 ydy − = 0 e (1 + ex/2 ) y dx Integrando por fracciones parciales obtenemos : e x/2 ydy = ; e (1 + e x/2 ) y 1 A B C 2 = 2+ + ; dy 1 u ( u + 1) u u 1+ u = x/2 = f( x ).g( y ); dx e (1 + e x/2 )ye y Donde los valores de A, B, C son : 1 A = 1; B = - 1; C = 1; f( x) = x/2 ; e (1 + e x/2 ) 2du   1 1 1   ⇒∫ = 2 ∫  2 − + du ; g( y ) = 1 ; 2 u (1 + u )  u u 1+u   ye y 2du du du du ⇒∫ = 2∫ 2 − 2∫ + 2∫ ; dx 2 u (1 + u ) u u 1+u ∫ ye dy = ∫ e x/2 (1 + e x/2 ) ; y 2du 2 ⇒∫ = − − 2 ln u + 2 ln 1 + u + c ; dx 2 u (1 + u ) u ∫ e x/2 (1 + e x/2 ) = ? dx 2 ⇒∫ = − x/2 − 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ; 1 e x/2 x/2 (1 + e ) e u = e x /2 ⇒ du = e x /2 dx ; 2 dx 1 2du ye y − e y = ∫ ; du = udx ⇒ dx = ; e (1 + e x/2 ) x/2 2 u La solución implicita general es : 2du dx 2du 2 ⇒ ∫ x/2 =∫ u =∫ 2 ⇒ ye y − e y = − x/2 − 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ; e (1 + e ) x/2 u(1 + u ) u (1 + u ) e ESPOL 2009 3
  4. 4. Ecuaciones diferenciales de primer orden 4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 2 y ln( x )dx − (e y − e − y )x 1 + ln( x )dy = 0 (e y − e − y )x 1 + ln( x)dy = 2 y ln( x)dx ; dy 2 y ln( x ) = y = f( y ).g( x ); dx (e − e − y )x 1 + ln( x ) 2y ln( x) f( y ) = y −y ∧ g(x) = ; (e − e ) x 1 + ln( x ) dy 2 y ln( x ) = y dx (e − e − y )x 1 + ln( x ) (e y − e − y ) ln( x) dy = dx ; 2y x 1 + ln( x) Integrando a ambos lados de la ecuación se obtiene : (e y − e − y ) ln( x ) ∫ 2 y dy = ∫ x 1 + ln(x) dx; (e y − e −y ) Si observamos que = senh( y ) entonces tenemos lo siguiente : 2 senh( y ) ln( x) ∫ y dy = ∫ x 1 + ln(x) dx ; senh( y ) Para integrar dy debemos usar series de potencias : y +∞ y 2 n +1 senh( y ) + ∞ y 2 n Si senh( y ) = ∑ ⇒ =∑ ; n = 0 (2 n + 1 )! y n = 0 (2 n + 1 )! Re emplazando : +∞ y2n ln( x ) ∫ ∑ (2 n + 1)!dy = ∫ x 1 + ln(x) dx; n =0 +∞ y2n Integrando ∑ dy obtenemos que : n = 0 (2 n + 1)! +∞ y2n +∞ y 2 n +1 ∫ ∑ (2 n + 1)!dy = ∑ (2 n + 1)(2n + 1)! ; n =0 n =0 ESPOL 2009 4
  5. 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden ln(x) Ahora integrando dx : x 1 + ln(x) ln(x) ∫x 1 + ln(x) dx = ? dx Si u = ln(x) ⇒ du = x ln(x) udu ⇒∫ dx = ∫ ; x 1 + ln(x) 1+u Ahora z 2 = 1 + u ⇒ 2 zdz = du ; udu (z 2 - 1)2zdz ⇒∫ 1+u ∫ = ; z (z 2 - 1)2zdz  z3  ⇒∫ = 2 ∫ (z - 1)dz = 2  − z + C ; 2 z 3  udu  ( 1+ u ) 3  ⇒∫ = 2 − 1+ u +C 1+u   3   ln(x)  1 + ln(x) 3 ( )  ⇒∫ dx = 2  − 1 + ln(x)  + C ; x 1 + ln(x)   3   La solucion general de forma implícita es : +∞ y 2 n +1  ( 1 + ln(x))3  ∑ (2n + 1)(2 n + 1)!  =2  3 − 1 + ln(x)  + C  n =0   ESPOL 2009 5
  6. 6. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones Diferenciales Lineales Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma: y'+ p(x)y = g(x); Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones: El método del factor integrante. Método de variación de parámetros El método del factor integrante: y' + p(x)y = g(x); u(x) = e ∫ p(x)dx ; u(x)[y' + p(x)y] = u(x)g(x); d [u(x)y] = u(x)g(x); dx ∫ d[u(x)y] = ∫ u(x)g(x)dx; u(x)y = ∫ u(x)g(x)dx; 1 u(x) ∫ y= u(x)g(x)dx; Método de variación de parámetros Re emplazando : y' + p(x)y = g(x); y' + p(x)y = g(x); yh' + p(x)yh = 0 ; [ y hv'(x) + y' hv(x)] + p(x)y hv(x) = g(x); yh' = − p(x)yh ; v'(x)[ y h ] + v(x)[ y' h + p(x)y h ] = g(x); dyh Pero y' h + p(x)y h = 0 , entonce s: = − p(x)yh ; dx v'(x)[ y h ] + v(x)[0] = g(x); dyh ∫ yh = ∫ − p(x)dx; v'(x)[ y h ] = g(x); dv ln yh = ∫ − p(x)dx; [ yh ] = g(x); dx g(x) yh = e ∫ − p(x)dx; ∫ dv = ∫ yh dx; Asumir: g(x) y = yhv(x); v(x) = ∫ dx; yh y' = yh v'(x) + y'hv(x); y = y h v(x); g(x) y = e∫ − p(x)dx ∫ yh dx; ESPOL 2009 6
  7. 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden x3 1) xy'−2 y = ; sen 2 (x)4 ctg(x) 2 x2 y' − y= ; x sen 2 (x)4 ctg(x) Tiene la forma y' + p(x)y = g(x); Por lo tanto podemos aplicar el método del factor integrante : Encontremos el factor integrante u(x) : u(x) = e ∫ p(x)dx 2 u( x) = e ∫ x = e − 2 ln( x ) = e ln( x ) = x −2 = 2 ; − dx −2 1 x Multipliquemos el factor integrante u(x) a ambos lados de la ecuación : 1  2  1   x2  ;  y' − y  = 2  x2  x  x  sen 2 (x)4 ctg(x)   d  1   1   2 y =  ; dx  x   sen 2 (x)4 ctg(x)     1   1  ⇒ ∫ d 2 y  = ∫  dx ; x   sen (x)4 ctg(x)  2   1  1  ⇒ 2 y = ∫ dx ; x  sen 2 (x)4 ctg(x)      2 ⇒∫  1 dx = csc ( x ) dx ;  sen 2 (x)4 ctg(x)  ∫ 4 ctg(x)   Si u = ctg( x) ⇒ du = − csc 2 ( x )dx ; csc 2 ( x ) − du  u 3/4  4u 3 / 4 ⇒∫ dx = ∫ 4 = − ∫ u −1 / 4 du = −   =− 4 ctg(x) u  3 /4  3 csc 2 ( x ) 4[ctg( X )]3 / 4 4 4 ctg 3 ( X ) ⇒∫ dx = − +C =− + C; 4 ctg(x) 3 3 1 4 4 ctg 3 ( X ) ⇒ y=− + C; x2 3 La solución general de la ecuacion diferencial es :  4 4 ctg 3 ( X )  y=x − 2 + C ;   3   ESPOL 2009 7
  8. 8. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1 ; 0 ≤ x < 2 y'+ p(x)y = 1; y(0) = 1; p(x) =  2) - 2x ; x ≥ 2 Para el intervalo 0 ≤ x < 2 resolvemos la ecuación diferencial, donde p(x) = 1 : Ahora para x ≥ 2, p(x) = -2x; y'-2xy = 1; (Ec. dif. lineal) u( x ) = e ∫ − 2 xdx 2 y'+ y = 1; = e −x ; 2 2 dy + y = 1; ⇒ dy = 1 − y ; (Ec. dif. separable); e −x (y'- 2 xy ) = e − x (1); dx dx 2 d(e −x y ) 2 dy dy = e −x ; = dx ⇒ ∫ 1−y ∫ = dx ; dx 1−y ∫ d(e y) = ∫ e dx; ⇒ e y = ∫ e dx; 2 2 2 2 −x −x −x −x − ln 1 − y = x + C ; 2 Pero para integrar e −x dx necesitamos ln 1 − y = −x + K usar series de potencias : e ln 1− y = e − x+K ; +∞ (− 1 ) n x 2 n ⇒ e −x y = ∫ ∑ 2 1 − y = k 1e ; −x dx ; n =0 n! y 1 = 1 − k 1e −x ; +∞ (− 1 ) n x 2 n + 1 ⇒ e −x y = ∑ 2 Pero y(0) = 1; + k2 ; n =0 ( 2 n + 1)n! 1 = 1 − k 1e 0 ; ⇒ k 1 = 0 ; +∞ (− 1 ) n x 2 n + 1 ∑ ( 2n + 1)n! 2 2 ⇒ y2 = ex + e x k 2 ; para x > 2; ⇒ y 1 = 1 para 0 ≤ x < 2 n =0 Ahora para encontrar k 2 usaremos la condición de continuidad de dos funciones : Esta condición dice : lim f( x) = lim f(x); x →a − x→a + ⇒ lim y = lim y ; 1 2 x→2 − x→2 +  2 + ∞ (− 1 ) n x 2 n + 1  ⇒ lim 1 = lim e x ∑ 2 + e x k 2 ; x→2 − x→2 +  n = 0 (2 n + 1)n!  n 2 n +1 +∞ (− 1 ) 2 +∞ (− 1 ) n 2 2 n 2 4 ⇒ 1 = e2 ∑ + e2 k 2 ;⇒ 1 = e4 ∑ 2 2 +e k2 ; n = 0 (2 n + 1)n! n = 0 (2 n + 1)n! (− 1 ) n 2 2 n 2 4 +∞ 1 + ∞ (− 1 ) n 2 2 n 2 ⇒ 1−e4 ∑ = e k2 ;⇒ k2 = 4 − ∑ ; n = 0 (2 n + 1)n! e n = 0 (2 n + 1)n! 1 +∞ (− 1 ) n 2 2 n ⇒ k 2 = 4 − 2∑ ; e n = 0 (2 n + 1)n! La solución queda expresada con la siguiente regla de correspondencia : 1 ; 0≤x<2  +∞ y =  x 2 (− 1)n x 2 n +1 2  1 (− 1)n 2 2 n  +∞ e ∑ + e x  4 − 2∑ ; x ≥ 2  n =0 ( 2 n + 1)n! e n = 0 (2 n + 1 )n!  ESPOL 2009 8
  9. 9. Ecuaciones diferenciales de primer orden 3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy y = y dx e + 2 x Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” (x = f( y)) . (e y + 2 x )dy = ydx ; dx (e y + 2x) = y ; dy dx y − e y − 2x = 0; ≡ yx'−e y − 2 x = 0 ; dy e y 2x 2x e y ⇒ x'− − = 0 ; ⇒ x'− = ; y y y y Tiene la forma x'+ p(y)x = g(y); Ahora y es la variable independie nte : Apliquemos el método del factor integrante : x' + p(y)x = g(y); * El factor integrante ahora depende de y : u(y) = e ∫ p(y)dy ; 2 2 ∫ − dy p( y ) = − ; entonces u(y) = e y = e −2 ln y = y -2 ⇒ u(y) = y - 2 y Multiplicando el factor integrante u(y) = y -2 a ambos lados de la ecuación diferencial : 2x e y  2x  ey x'− = ⇒ y -2  x'−  = y - 2  . y y  43 y  y 142 4 4 d −2 dy y x[ ] ∫ ∫ y y ey dy [y x] = e 3 ⇒ d[y −2 x] = e 3 dy ⇒ d −2 y y d[y − 2 x ] = y3 dy ∫ ∫ y y e e y −2 x = dy ⇒ x = y 2 dy y3 y3 y e Para integrar dy usamos series de potencias : y3 +∞ +∞ ey = ∑ yn n! ey ⇒ 3 = y ∑ y n −3 n! La solución es:  1 +∞  1 ∑ yn n =0 n =0  1 x = − − y + y 2ln(y) + + Cy 2  y n −3  +∞ +∞ ∫∑ ∑  2  ∫ y n −3 1 1 2 (n − 2)n! dy =  3 + 2 + +   n =3  n!  0! y 1! y 2! y n!  n =0  n =3   1 +∞  ∫ ∑ y n −2 y e 1 1 x( y ) = y 2 3 dy = y 2 − 2 − + ln( y ) + + C ; y  2y y 2 ( n − 2 )n!   n =3  ESPOL 2009 9
  10. 10. Ecuaciones diferenciales de primer orden 4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: xy' −y = x 2 sen(ln(x)); y(1) = 0 ; Utilizando el método del factor integrante: xy' − y = x 2 sen( ln (x)); y y' − = xsen( ln (x)); x Tiene la siguiente forma y'+ p(x)y = g(x), entonces : u( x ) = e ∫ p( x )dx ; 1 ⇒ u( x ) = e ∫ p( x )dx ; donde p(x) = − ; x 1 − ∫ dx ⇒ u( x ) = e ∫ p( x )dx = e x = e −ln( x ) ; ⇒ u( x ) = x −1 ; Multiplicando el factor integrante a ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene : y x −1 y' − x −1 = x −1 xsen( ln (x)); 142434 4 x d −1 dx [x y ] ∫ ∫ d −1 dx [x y] = sen( ln (x)) ⇒ d[x −1y] = sen( ln (x))dx ⇒ d[x −1 y] = sen( ln (x))dx x −1 y = ∫ sen( ln (x))dx ∫ y = x sen( ln (x))dx ∫ sen(ln( x))dx = ? Encontremo s ahora la solución particular si y(1) = 0; dx x 2 [sen (ln( x )) − cos(ln( x))] z = ln( x); ⇒ dz = ; y= + Cx ; x 2 dx = xdz ; Pero x = e z ; y( 1) = 0 ; dx = e zdz ; 12 [sen (ln( 1)) − cos(ln( 1))] ⇒0= + C( 1); 2 ∫ sen(ln( x))dx = ∫ sen(z )e zdz ; ⇒0= [sen(0) − cos( 0)] + C ; 2 ∫ sen(z )e zdz , integrando por partes obtenemos que : 1 ⇒ 0 = − + C; ⇒ C = ; 2 1 2 e z [sen(z ) − cos(z )] ∫ sen(z )e zdz = 2 + C; La solución es : x[sen(ln( x)) − cos(ln(x))] ⇒ ∫ sen(ln(x ))dx = 2 + C; y= x 2 [sen(ln(x)) − cos(ln(x))] x +  x[sen(ln( x)) − cos(ln(x ))]  2 2 ⇒ y = x + C  2  x 2 [sen(ln( x)) − cos(ln( x))] y= + Cx; 2 ESPOL 2009 10
  11. 11. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales Exactas Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma: M(x, y) + N(x, y)y' = 0; Es exacta si : ∂M(x, y) ∂N(x, y) = ; ∂y ∂x My = Nx ; Entonces existe : F(x, y) tal que : ∂F(x,y) = M(x,y); ∂x ∂F(x,y) = N(x,y); ∂y ∂F( x , y ) Si escogemos = M(x, y), se obtiene : ∂x ∂F(x,y) = M(x,y) ∂x ∫ ∂F(x,y) = ∫ M(x,y)∂x; F(x,y) = G(x,y) + h(y); Luego derivando F(x, y) con respecto a y : ∂F( x , y ) = G' ( x , y ) + h' ( y ); ∂y ∂F(x, y) Luego igualando con = N(x, y); ∂y G'(x,y) + h'(y) = N(x,y); h'(y) = N(x,y) − G'(x,y); h( y ) = La constante de F(x, y). Entonces : F(x,y) = G(x,y) + h(y); La solucíon es : F(x,y) = 0 ; G(x,y) + h(y) = 0 ; ∂F(x,y) Si se elige = N(x,y), y procedemos de la misma forma, se obtiene : ∂y F(x, y) = H(x, y) + h(x); Donde la solución es : F(x, y) = 0; ESPOL 2009 11
  12. 12. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:  3 e xy   e xy   4x y − x ( ) + yln(x) + x 3 x − 4  dx +  x 4 − y + xln(x) − x  dy = 0      3 e xy   e xy   4x y − x ( ) + yln(x) + x 3 x − 4  +  x 4 − y + xln(x) − x  y' = 0     xy e M(x,y) = 4 x 3 y − x ( + y ln (x) + x 3 x − 4 ; ) M y = 4 x 3 − e xy + ln (x) ; e xy N(x , y ) = x 4 − + xln(x) − x; y Nx = 4 x 3 − e xy + ln (x) ; My = Nx ; entonces la ecuacion diferencia l es exacta;  Fx = M(x, y) ⇒ Existe una función F(x, y), donde   Fy = N(x, y) Si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente : e xy Fy = x 4 − + x ln (x) − x; y ∂(F(x,y)) 4 e xy =x − + x ln (x) − x; ∂y y  4 e xy  ∂(F(x,y)) =  x −  + x ln (x) − x  ∂y;   y  Entonces integrando a ambos lados de la ecuación :  e xy  ∫ ∂ (F(x,y)) = ∫  x 4 −   y + x ln (x) − x  ∂y;    e xy  F( x , y ) = x y − ∫  4   y  ∂y + yx ln( x ) − xy + h ( x );   e  xy Para integrar    y  ∂y se usa series de potencias :   1 + ∞ (xy ) (x )n (y )n − 1 1 + ∞ (x )n (y )n − 1 xy n +∞ e = ∑ =∑ = +∑ ; y y n = 0 n! n =0 n! y n =1 n!  e xy   1 + ∞ (x )n (y )n − 1  +∞ (x )n (y )n ∫ y ∂y = ∫  + ∑  ∂ y = ln( y ) + ∑ ;   y     n =1 n!  n = 1 (n )(n !) +∞ (x )n (y )n F( x , y ) = x y − ln( y ) − ∑ 4 + yx ln( x ) − xy + h ( x ); n = 1 (n )(n !) ESPOL 2009 12
  13. 13. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ahora si Fx = M, entonces se obtiene lo siguiente : Fx = M(x, y); e xy Fx = 4 x 3 y − x + y ln (x) + x 3 x − 4 ; ( ) +∞ n (x ) n −1 (y )n Fx = 4 x 3 y − ∑ + y[1 + ln( x )] − y + h' ( x); n =1 (n )(n!) +∞ (x ) n −1 (y )n Fx = 4 x 3 y − ∑ + y + y ln( x) − y + h' ( x); n =1 (n!) e xy Fx = 4 x 3 y − + y ln( x ) + h' ( x ); x Entonces reemplazando Fx : e xy e xy 4x 3 y − x + y ln( x) + h' ( x ) = 4x 3 y − x + y ln (x) + x 3 x − 4 ; ( ) Eliminando términos : ( h' ( x ) = x 3 x − 4 ; ) Obteniendo h(x) : ( h( x) = ∫ x 3 x − 4 dx ; ) z 3 = x − 4 ; ⇒ 3z 2 dz = dx ; z= ( 3 x−4 ) x = z 3 + 4; ( ) h(z) = ∫ (z 3 + 4 ) 3 z 3 3z 2 dz ; h(z) = 3∫ (z 6 + 4z 3 )dz ; z7  h( z ) = 3  + z 4 + C  ; 7   3 x−4 ( 7 ) (  h( x ) = 3  7 + 3 x−4 )4 + C ;     Entonces : (x ) n (y )n +∞  (3 x − 4 ) 7  F( x , y ) = x y − ln( y ) − ∑ + (3 x − 4 ) + C  ; 4 4 + yx ln( x ) − xy + 3 n = 1 (n )(n!)   7   La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir : (x )n (y )n +∞  (3 x − 4 )7  x y − ln( y ) − ∑ + (3 x − 4 ) + C  = 0 ; 4 4 + yx ln( x ) − xy + 3 n = 1 (n )(n!)   7   ESPOL 2009 13
  14. 14. Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:  2 xy 2  y3  y − + xy  +  2xy − x + ln(x + 1) + x y + 8 2 y' = 0 ;  x+1   y − 2  xy M(x,y) = y 2 − + xy 2 x+1 y3 2 N(x,y) = 2 xy − x + ln x + 1 + x y + 8 y −2 x My = 2 y − + 2 xy x+1 1 Nx = 2 y − 1 + + 2 xy ; x+1 1−x−1 Nx = 2 y + + 2 xy ; x+1 x Nx = 2 y − + 2 xy ; x+1 My = Nx ; la ecuación diferencial es exacta.  Fx = M(x, y) ⇒ Existe una función F(x, y), donde   Fy = N(x, y) Si Fx = M(x, y), entonces se obtiene lo siguiente : xy Fx = M(x,y) = y 2 − + xy 2 ; x+1 ∂(F(x,y)) xy = y2 − + xy 2 ∂x x+1  xy  ∂(F(x,y)) =  y 2 − + xy 2 ∂x;  x+1  x x2 y2 F( x , y ) = xy − y ∫ 2 ∂x + + h( y ); x+1 2 x+1−1 x2y2 F( x , y ) = xy 2 − y ∫ ∂x + + h( y ); x+1 2 1 x2y2 F( x , y ) = xy 2 − y ∫ ∂x + y ∫ ∂x + + h( y ); x+1 2 2 x2 y2 F( x , y ) = xy − xy + y ln x + 1 + + h( y ); 2 Ahora si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente : Fy = N(x, y); Fy = 2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y + h' ( y ); ESPOL 2009 14
  15. 15. Ecuaciones diferenciales de primer orden Entonces reemplazando Fy : y3 2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y + h' ( y ); = 2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y + y8 − 2 Eliminando términos : y3 h' ( y ) = ; y8 − 2 Obteniendo h(y) : y3 h( y ) = ∫ dy ; y8 − 2 y3 h( y ) = ∫ dy ; (y )4 2 −2 z = y 4 ; ⇒ dz = 4 y 3 dy ; 1 dz 1 1 z− 2  h( z ) = 4 ∫ z 2 − 2 = 4  2 2 ln z + 2 + K  ;     1 z− 2 h( z ) = ln + C; 8 2 z+ 2 1 y4 − 2 h( y ) = ln + C; 8 2 y4 + 2 Entonces : x2y2 1 y4 − 2 F( x , y ) = xy 2 − xy + y ln x + 1 + + ln 4 + C; 2 8 2 y + 2 La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir : x2 y2 1 y4 − 2 xy 2 − xy + y ln x + 1 + + ln 4 + C = 0; 2 8 2 y + 2 3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:  1/2 −1/2 x  y x  + 2 dx + N(x, y)dy = 0  x +y Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx Nx = My ; 1 x Nx = y − 1 / 2 x − 1 / 2 − ; 2 (x + y )2 2 ∂N( x , y ) 1 −1 / 2 −1 / 2 x = y x − 2 ; ∂x 2 (x + y )2 1 x  ∂N( x , y ) =  y − 1 / 2 x − 1 / 2 − ∂x ; 2 (x 2 + y )2    ESPOL 2009 15
  16. 16. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1 x  ∫ ∂N( x, y) = ∫  2 y ∂x ; −1 / 2 x −1 / 2 −  (x 2 + y )  2    x  N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 − ∫  2 ∂x ;  (x + y )2    2 u = x + y; ∂u = 2 x∂x ; 1 ∂u 2 ∫ u2 N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 − ; 1 N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 + + C; 2u 1 N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 + + C; 2 (x + y ) 2  1 /2 − 1 /2 x   1  y x + 2 dx +  y −1/2 x 1/2 + + C dy = 0  x +y  2 (x + y ) 2      Ahora como My = Nx;  Fx = M(x, y) ⇒ Existe una función F(x, y), donde   Fy = N(x, y) Si Fx = M(x, y), entonces se obtiene lo siguiente : x Fx = M(x,y) = y 1/2 x −1/2 + 2 ; x +y ∂(F(x,y)) x = y 1 /2 x − 1 /2 + 2 ∂x x +y  x  ∂(F(x,y)) =  y 1/2 x −1/2 + 2  ∂x;  x + y  x  F(x,y) = ∫  y 1/2 x −1/2 + 2  ∂x;  x +y x F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 + ∫ 2 ∂x; x +y u = x 2 + y; ∂u = 2 x∂x; 1 ∂u 2∫ u F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 + ; 1 F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 + ln x 2 + y + h(y); 2 Ahora si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente : Fy = N(x, y); 1 Fy = x 1 / 2 y −1 / 2 + 2 + h' ( y ); 2( x + y ) ESPOL 2009 16
  17. 17. Ecuaciones diferenciales de primer orden Entonces reemplazando Fy : 1 1 x 1 / 2 y −1 / 2 + + h' ( y ); = y − 1 / 2 x 1 / 2 + + C; 2( x 2 + y ) 2(x 2 + y ) Eliminando términos : h' ( y ) = C ; Obteniendo h(y) : h( y ) = Cx + K ; Entonces : 1 F(x,y) = 2 y 1/2 x 1 /2 + ln x 2 + y + h(y); 2 1 F(x,y) = 2 y x + ln x 2 + y + Cx + K; 1 / 2 1 /2 2 La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir : 1 2 y 1 /2 x 1 /2 + ln x 2 + y + Cx + K ; = 0 ; 2 ESPOL 2009 17
  18. 18. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante M( x , y ) + N( x , y )y' = 0 ; Si My ≠ Nx; Entonces es una ecuación diferencial no exacta, por lo tanto se necesita un factor integrante : Un factor integrante que solo depende de x es : My-Nx ∫ N(x,y) dx u(x) = e ; u(x)M(x,y) + u(x)N(x,y)y' = 0 ; Ahora la ecuación diferencial es exacta. Un factor integrante que depende de y : Nx-My ∫ N(x,y) dx u(y) = e ; u(y)M(x,y) + u(y)N(x,y)y' = 0 ; Ahora la ecuación diferencial es exacta. 1) xydx + (2x 2 + 3y 2 − 20 )dy = 0; Si y(1) = 1; M(x,y) = xy; My = x; N(x,y) = 2 x 2 + 3 y 2 − 20 ; Nx = 4 x; My ≠ Nx; entonces la ecuación diferencial no es exacta; Por lo tanto debemos encontrar su factor integrante :  Nx-My  ∫  M(x, y)  dy     u(y) = e  4x-x  3 ∫   xy   dy  ∫  y  dy     u( y ) = e =e = y 3; u( y ) = y 3 ; Luego mulitiplicando u(y) a ambos lados de la ecuación : ( y 3 ( xydx ) + y 3 2 x 2 + 3 y 2 − 20 dy = 0 ; ) ( xy 4 dx + 2 x 2 y 3 + 3 y 5 − 20 y 3 )dy = 0; M ( x , y ) = xy 4 ; My = 4 xy 3 ; N ( x , y ) = 2 x 2 y 3 + 3 y 5 − 20 y 3 ; Nx = 4 xy 3 ; ESPOL 2009 18
  19. 19. Ecuaciones diferenciales de primer orden My = Nx, por lo tanto la ecuación diferencial es exacta : Fx = M(x, y); ∃(F(x, y)) talque :  Fy = N(x, y); Fx = M(x, y); ∂ ( F ( x , y )) = xy 4 ; ∂x F ( x , y ) = ∫ xy 4 ∂x; x 2 y4 F ( x, y) = + h( y ); 2 Fy = N(x, y); 2 x 2 y 3 + h'(y) = 2 x 2 y 3 + 3 y 5 − 20 y 3 ; h'(y) = 3 y 5 − 20 y 3 ; ( ) h( y ) = ∫ 3 y 5 − 20 y 3 dy; y6 h( y ) = − 5 y 4 + C; 2 Entonces : x2 y4 y6 F(x,y) = + − 5 y 4 + C; 2 2 2 4 6 x y y + − 5 y4 + C = 0; 2 2 2) 2xdy - [y + xy 3 (1 + ln(x) )]dx = 0; Si y(1) = 1; x2 y 4 y6 + − 5y 4 + C = 0 ; 2 2 (12 )(14 ) + (16 ) − 5(14 ) + C = 0 ; 2 2 1 1 + − 5 + C = 0; 2 2 C = 5 − 1; C = 4; x2 y 4 y6 + − 5y 4 + 4 = 0 ; 2 2 La solución : x 2 y 4 + y 6 − 10 y 4 + 8 = 0 ; ESPOL 2009 19
  20. 20. Ecuaciones diferenciales de primer orden [y + xy 3 (1 + ln(x))]dx - 2xdy = 0; M(x,y) = y + xy 3 (1 + ln (x)); My = 1 + 3xy 2 + 3xy 2 ln (x); N( x , y ) = -2x; Nx = -2;  Nx − My  ∫  M ( x , y ) dy     u(y) = e ;  − 2 − 1 − 3 xy 2 − 3 xy 2 ln (x);   − 3 − 3 xy 2 − 3 xy 2 ln (x);  ∫  dy  ∫  dy  y + xy 3 (1 + ln (x) ) = e  y (1+ xy (1+ ln( x ) )) 2    u( y ) = e  − 3 (1 + xy 2 (1 + ln( x ) ))  −3 ∫  y (1+ xy 2 (1+ ln( x ) )) dy ∫ y dy 1     u( y ) = e e = 3; y Luego mulitiplicando u(y) a ambos lados de la ecuación : 1 y 3 [y + xy 3 (1 + ln (x))]dx- y13 (2 xdy) = 0; 1   2x   2 + x(1 + ln (x))dx −  3 dy = 0 ; y  y    1 M( x , y ) = 2 + x(1 + ln (x)); y 2 My = − ; y3 2x N( x , y ) = − ; y3 2 Nx = − ; y3 My = Nx, por lo tanto la e.d. es exacta :  Fx = M(x, y); ∃(F(x, y)) talque :   Fy = N(x, y); Fx = M(x, y); ∂( F( x , y )) 1 = 2 + x(1 + ln (x)); ∂x y 1  F( x , y ) = ∫  2 + x(1 + ln (x)) ∂x ; y  2 2 x x x x2 F( x , y ) = 2 + + ln( x ) − + h( y ); Entonces : y 2 2 4 Fy = N(x, y); x x2 x2 x2 F( x , y ) = + + ln( x ) − + C; 2x 2x y2 2 2 4 − 3 + h'(y) = − 3 ; y y x x2 x2 x2 + + ln( x ) − + C = 0; h'(y) = 0 ; y2 2 2 4 h( y ) = C ESPOL 2009 20
  21. 21. Ecuaciones diferenciales de primer orden 3) ( x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = −2xyln(y); ) [ 2 xy ln (y) + x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = 0 ; ] M( x , y) = 2 xy ln (y); My = 2 x[1 + ln( y )]; [ N( x , y) = x 2 + y 2 y 2 + 1 ; ] Nx = 2 x ;  Nx − My  ∫  M ( x , y )  dy     u( y ) = e ;  2 x − 2 x [1+ ln( y ) ]   − 2 x ln( y )  1 ∫  2 xy ln (y)   dy ∫  2 xy ln( y ) dy   ∫ − y dy u( y ) = e   =e   =e ; 1 u( y ) = ; y Luego se multiplica u(y) a ambos lados de la ecuación : 1 y [ (2xy ln (y)) + 1 x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = 0 ; y ]  x2  2 x ln (y) +  + y y 2 + 1  y' = 0 ; y  M( x , y) = 2 x ln (y); 2x My = ; y x2 N( x , y) = + y y2 + 1 ; y 2x Nx = ; y My = Nx, por lo tanto la e.d. es exacta :  Fx = M(x, y); ∃(F(x, y)) talque :   Fy = N(x, y); Fx = M(x, y); ∂(F( x , y )) = 2 x ln (y); ; ∂x F( x , y) = ∫ [2 x ln (y)]∂x ; F( x , y) = x 2 ln( y ) + h( y ); Fy = N(x, y); x2 x2 1 2 + h'(y) = + y y2 + 1 ; y y h(y) = (y + 1) y 2 + 1 + C; 3 h'(y) = y y 2 + 1 ; Entonces : ( h( y ) = ∫ y y 2 + 1 dy ; ) 1 F( x , y ) = x 2 ln( y ) + (y 2 + 1) y 2 + 1 + C ; u = y 2 + 1; 3 1 2 du = 2 ydy ; x 2 ln( y ) + (y + 1) y 2 + 1 + C = 0 ; 1  2 3 /2 3 1  1 h( y ) = 2 ∫ udu = 2  3 u + C = 3 u u + C ;   ESPOL 2009 21
  22. 22. Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Sea dy + p( x ) y = g ( x ) y n una ecuación diferencial de Bernoulli, donde n ≠ 0,1. dx Esta es una ecuación diferencial no lineal, que se la convierte en lineal haciendo el siguiente cambio de variable : v = y 1− n Donde : dv dv dy dy = . = (1 − n ) y − n dx dy dx dx Se multiplicará el factor (1 − n ) y − n a ambos lados de la ecuación de Bernoulli : (1 − n) y − n dy + (1 − n) y − n p( x ) y = (1 − n) y − n g( x ) y n dx Se obtiene lo siguiente : (1 − n) y − n dy + (1 − n) p( x ){ = (1 − n)g( x ) y 1− n 4 dx 14 244 3 v dv Esto es : dx dv  + (1 − n ) p( x )v = (1 − n )g ( x ) Esto es una ecuación diferencial Lineal, dx  que se puede resolver por el método del factor integrante. ESPOL 2009 22
  23. 23. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1) xdy - [y + xy 3 (1 + ln(x))]dx = 0; xdy-[y + xy 3 (1 + ln (x))]dx = 0 ; y  ∫ (x ) 2 ln( x ) dx = ? y' −  + y 3 (1 + ln (x)) = 0 ; . x  dx u = ln( x ); ⇒ du = ; y x y' − = y 3 (1 + ln (x)); n = 3; x x3 dv = x 2dx; ⇒ v= ; Se sustituye v = y 1−n ; 3 v = y −2 ; x 3 ln( x ) x 3 ∫ ( ) x 2 ln( x ) dx = 3 − 9 + C; dv dy v' = = −2 y − 3 ; 2 2 x 3 ln( x ) 2 x 3 dx dx x 2v = − x 3 − + + K; 3 3 9 Luego se multiplica − 2 y − 3 a ambos de la ecuación : Despejandola solución: y 2 2 x ln( x ) 2 x K − 2 y − 3 y' + 2 y − 3 = −2 y − 3 y 3 (1 + ln (x)); v =− x− + + ; x 3 3 9 x2 y −2 Reemplazan v = y-2 : do −3 − 2 y y' + 2 = −2(1 + ln (x)); x 2 2 x ln( x ) 2 x K y −2 = − x − + + ; Reemplazando v y v' : 3 3 9 x2 2v v'+ = −2(1 + ln (x)); x Resolviendo por factor integrante : 2 La solución general es: u( x ) = e ∫ x = x 2 ; dx 2v x 2 v'+ x 2 = −2 x 2 (1 + ln (x)); x 1 d[x 2 v] y= = −2 x 2 (1 + ln (x)); 2 2xln(x) 2x K dx − x− + + ; 3 3 9 x2 x 2 v = ∫ − 2 x 2 (1 + ln (x))dx ; x 2 v = −2 ∫ (x 2 + x 2 ln( x ))dx ; 2 x 2 v = − x 3 − 2 ∫ (x 2 ln( x ))dx ; 3 ESPOL 2009 23
  24. 24. Ecuaciones diferenciales de primer orden 2) xy'+y = y 2ln(x); si y(1) = 1; y ln( x ) y'+ = y2 ; n = 2; x x v = y 1− n = y −1 ; dv dy = −y −2 ; dx dx Luego se multiplica − y − 2 a ambos lados de la ecuación : y ln( x ) − y − 2 y'− y − 2 = − y − 2 y 2 ; x x Reemplazando v y v' en la ecuación : v ln( x ) v'− = ; x x Resolviendo por el método del factor integrante : dx u( x ) = e ∫ − 1 ; x = x 1 v ln( x ) v'− 2 = 2 ; x x x d  v 1  x  ln( x )  = ; dx x2 1 ln( x ) v = ∫ 2 dx ; x x ln( x ) Integrando x2 ∫ dx = ? dx u = ln (x); ⇒ du = ; x dx 1 dv = 2 ; ⇒ v=- ; x x Si y(1) = 1, entonces : 1 ln( x) dx 1 v=- +∫ 2; 1= x x x C-1 1 ln( x) 1 C − 1 = 1; v=- − + C; x x x C = 2; v = − ln( x ) − 1 + Cx ; La solución es : y −1 = − ln( x) − 1 + Cx ; 1 1 y= ; y= ; − ln(x) − 1 + 2x − ln( x ) − 1 + Cx ESPOL 2009 24
  25. 25. Ecuaciones Diferenciales 3) 4(1 + x)dy + y[1 + 4xy 2 (1 + x)]dx = 0;  1  y'+ y  + xy 2  = 0  4(1 + x)  y y'+ = −xy 3 ; n = 3; 4(1 + x) v = y 1−n = y − 2 ; dv dy = −2 y − 3 ; dx dx Luego se multiplica - 2y - 3 a ambos lados de la ecuación : − 2 y −3 y − 2 y − 3 y'+ = 2 y −3 xy 3 ; 4(1 + x) 2v v'− = 2x; 4(1 + x) 1 ∫ − 2 ( 1+ x ) dx 1 1 − ln 1 + x u( x ) = e =e ; 2 = 1+ x 1 1 2v 2x v'− = ; 1+ x 1 + x 4(1 + x) 1+x  1  d v  1 + x  = 2x ; dx 1+x 1 2x v=∫ dx ; 1+ x 1+ x 2x ∫ 1 + x dx = ?; z2 = 1 + x; ⇒ 2 zdz = dx ; x = z 2 − 1; 2x (z 2 − 1)2zdz = 4 (z 2 − 1)dz; ∫ 1 + x dx = 2 ∫ z ∫ La solución general es: 4z 3 4 ∫ (z 2 − 1)dz = − 4z + C ; 3 2x 4 (1 + x)3 ∫ 1+ x dx = 3 − 4 1 + x + C; 1 4 (1 + x )3 1 v= − 4 1 + x + C; y= ; 1+ x 3 4(1 + x )2 − 4(1 + x ) + C 1 + x 4(1 + x )2 3 v= − 4(1 + x ) + C ; 3 4(1 + x )2 y −2 = − 4(1 + x ) + C 1 + x ; 3 ESPOL 2009 25
  26. 26. Ecuaciones Diferenciales 4) 3y' +4csc(2x)y = 2y −1/2 ctg(x); 4 2 1 y'+ csc(2 x)y = y −1 /2 ctg( x ); n=− ; 3 3 2 1− n 3 /2 v=y =y ; 3 1 /2 v' = y y' ; 2 3 1 /2 Se multiplica y a ambos lados de la ecuación : 2 3 1 /2 3 4 3 2 y y'+ y 1 /2 csc(2 x )y = y 1 /2 y − 1 /2 ctg( x ); 2 2 3 2 3 v'+2 csc( 2 x )v = ctg( x ); u( x ) = e ∫ 2 csc( 2 x )dx = e ln csc( 2 x )− ctg ( 2 x ) u( x ) = csc(2 x ) − ctg( 2 x ); 1 cos( 2 x) u( x ) = − ; sen( 2 x ) sen( 2 x) 1 − cos( 2 x) 1 − cos( 2 x ) 2 sen 2 ( x ) u( x ) = = = = tan( x ); sen( 2 x ) sen( 2 x ) sen( x ) cos( x ) 2 tan( x )v'+2 tan( x ) csc(2 x)v = tan( x)ctg( x ); d[tan( x )v] = 1; dx tan( x )v = ∫ dx ; tan( x )v = ∫ dx ; tan( x )v = x + C ; v = xctg( x ) + Cctg( x); y 3 /2 = xctg( x) + Cctg( x ); y = 3 (xctg( x ) + Cctg( x ))2 ; Si y( π/4) = 1; 2 π  1 =  + C ; 3 4  π 1 = + C; 4 π C = 1− ; 4 ESPOL 2009 26
  27. 27. Ecuaciones Diferenciales La solución particular es : 2   π  y = 3  xctg( x) +  1 − ctg( x)  ;   4  Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma y' = f   y   x dy Se dice que la ecuación = f(x, y) es homogénea si se puede dx expresar esta ecuación como : dy  y  = f  ; dx  x  Se hace la siguiente sustitución : y v = ; entonces y = vx; x dy dv = v+x ; dx dx Reemplazando v, y y' en la ecuación : dy  y  = f  ; dx  x  dv v+x = f( v ); dx dv x = f( v) − v ; dx dv dx = ; f( v) − v x v = φ( x); y = φ( x ); x y = xφ( x ); ESPOL 2009 27
  28. 28. Ecuaciones Diferenciales 1)Resolver la siguiente ecuación diferencial: y sec 2   dy y x; = + dx x y2 Asumiendo que : y v= ⇒ y = xv; x dy dv ⇒ =x + v; dx dx y dy dv Reemplazando en la ecuación diferencial , y = xv, v = , =x + v, se obtiene : x dx dx y sec 2   dy y x dv sec 2 (v ) = + ⇒ x +v = v+ 2 2 ; dx x y2 dx x v dv sec 2 (v ) dv sec 2 (v )  ⇒x = 2 2 ⇒ x3 = Ecuación diferencial separable. dx x v dx v2  ∫ ∫ v 2 dv dx v 2 dv dx ⇒ 2 = 3 Integrando : = ; sec (v ) x sec 2 (v ) x3 ∫ 2 v dv =? sec 2 (v )  v 2 v 2cos(2v)  ∫ ∫ ∫ ∫ v 2 dv  1 + cos(2v)  = v 2cos 2 (v)dv = v2  dv =  +  2 dv  sec 2 (v )  2   2  v v cos(2v)  v   v cos(2v)  ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 v dv = +  2 dv =  dv +   2   dv  sec 2 (v )  2     2  m = v ⇒ dm = 2vdv; 2 sen(2v) dn = cos(2v)dv ⇒ n = ; 2  v2  (v 2cos(2v))dv = v + 1  v sen(2v) − 2vsen(2v)  ∫ ∫ ∫ ∫ v 2 dv 1 3 2 =  dv +  2  dv  sec 2 (v )   2 6 2 2 2  ∫ ∫ 2 3 2 v dv v v sen(2v) 1 2 = + − vsen(2v)dv sec (v ) 6 4 2 m = v ⇒ dm = dv. 1 dn = sen(2v)dv ⇒ n = − cos(2v) 2 v 3 v 2sen(2v)  v  ∫ ∫ ∫ 2 3 2 v dv v v sen(2v) 1 1 = + − vsen(2v)dv = + − − cos(2v) + cos(2v) dv sec 2 (v ) 6 4 2 6 2  4 4  v sen(2v)  v  v ∫ ∫ 2 3 2 3 2 v dv v 1 v sen(2v) v 1 2 = + − − cos(2v) + cos(2v) dv  = + + cos(2v) - sen(2v) sec (v ) 6 4  4 4  6 4 4 8 ∫ 2 3 2 v dv v v sen(2v) v 1 = + + cos(2v) - sen(2v) sec 2 (v ) 6 4 4 8 ESPOL 2009 28
  29. 29. Ecuaciones Diferenciales ∫ ∫ v 2 dv dx v 3 v 2sen(2v) v 1 1 = ⇔ + + cos(2v) - sen(2v) = − 2 + C sec 2 (v ) x3 6 4 4 8 x 3 2 v v sen(2v) v 1 1 + + cos(2v) - sen(2v) = − 2 + C 6 4 4 8 x y Reemplazando v = ; x La solución de forma implícita queda expresada por : 3 2  y   y  sen 2 y          x +x   x   + v cos 2 y   - 1 sen 2 y   = − 1 + C       6 4 4   x  8   x  x2 2) (xy + 4 y 2 + 2x 2 )dx − (x 2 )dy = 0; si y(1) = 2 /2; Aplicando tan a ambos lados se obtiene : dy (xy + 4 y 2 + 2 x 2 ) = ;  4 ln x  dx x2 2 v = tan  + K ;   dy y 4 y 2  2  = + + 2; dx x x 2 1  4 ln x  v= tan  + K ;  y 2  2  v= ; x y 1  4 ln x  y = xv ; = tan   + K ;  x 2  2  dy dv = v+x ; x  4 ln x  dx dx y= tan   + K ;  dv 2  2  v+x = v + 4v2 + 2 ; dx 2 Si y(1) = ; dv 2 x = 4v2 + 2 ; dx 2 1 dv dx = tan (K ); 2 = ; 2 2 4v + 2 x π dv dx K= ; = ; 4 4(v + 1 / 2 ) x 2 ∫ ∫ dv 4dx = ; (v + 1 / 2 ) 2 x La solución particular es : ( 2 arctan 2 v = 4 ln x + C ; ) x  4 ln x π  tan y=  2 + 4 ;  4 ln x 2   arctan 2 v = ( ) 2 + K; ESPOL 2009 29
  30. 30. Ecuaciones Diferenciales dy 3) x = y + x2 − y2 ; y(x0 ) = 0; donde x0 > 0; dx y(1) = /4; v + xv' = v + 1 − v 2 ; dy y x2 − y2 xv' = 1 − v 2 ; = + ; dv dx x x x = 1− v2 ; dx dy y x2 − y2 dv = dx ; = + ; 1− v ; x 2 dx x x 2 arcsen(v ) = ln x + C ; dy y y2 v = sen(ln x + C ); = + 1− 2 ; y dx x x = sen(ln x + C ); x Se asume : y = xsen(ln x + C ); y Si y(1) = 1; v= ; 1 = sen(C ); x π y = xv ; 2 = C; y' = v + xv' ; La solución paticular es :  π y = xsen ln x + ;  2 4) x (ln(x) − ln(y) )dy − ydx = 0; v x(ln (x) − ln (y))dy − ydx = 0 ; v + xv ' = − (ln (v )) ; x(ln (y) − ln (x))dy + ydx = 0 ; v xv ' = − − v; dy y (ln (v )) =− ; dv − v (1 + ln( v ) ) dx x(ln (y) − ln (x)) x dx = (ln (v )) ; dy y  (ln( v ) )   dx  =− ; ∫  v (1 + ln( v ) ) dv = − ∫  x ;   dx   y      x ln      x  u = ln( v ); Se asume : dv du = ; v y  u  v= ; x ∫  (1 + u ) du = − ln x + C ;     y = xv;  1  y' = v + xv' ; ∫ du − ∫  (1 + u ) du = − ln x     + C; u − ln 1 + u = − ln x + C ; ln v − ln 1 + ln( v ) = − ln x + C ; La solución general de forma implícita es: y y ln − ln 1 + ln  = −ln x + C; x x ESPOL 2009 30
  31. 31. Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales dy (2y − x + 5 ) 1) = ; dx (2x − y − 4 ) ( x − 2 y − 5)dx − (2 x − y − 4 )dy = 0 ; a 1b2 ≠ a 2 b1 ; (1)(1) ≠ (− 2 )( −2 ); 1 ≠ 4; Se asume : x = (u + h ); y = (v + k ); dy dv = ; dx du Reemplazando x, y, y' en la ecuación, se obtiene dv 2(v + k ) − (u + h ) + 5 = ; du 2(u + h ) − (v + k ) − 4 dv 2 v − u + 2k − h + 5 = ; du 2 u − v + 2 h − k − 4 2 k − h + 5 = 0 ;  2 h − k − 4 = 0 ; Resolviendo el sistema : k = - 1; h = 3; Entonces : dv 2 v − u = ; du 2 u − v Divivdiendo para u, para poder obtener una ecuación homogénea : 2v −1 dv u = ; du 2 − v u Resolviendo como una ecuación diferencial homogénea : v z= ; u v = zu ; dv dz = z+u ; du du dz 2 z − 1 z+u = ; du 2 − z dz 2 z − 1 u = − z; du 2 − z ESPOL 2009 31
  32. 32. Ecuaciones Diferenciales dz 2 z − 1 − 2 z + z 2 u = ; du 2−z (z − 2 )dz du =− ; (z − 1) 2 u (z )dz (2 )dz du ∫ (z 2 − 1) − ∫ (z 2 − 1) = ∫ − u ; 1 z−1 ln z 2 − 1 − ln = − ln u + C ; 2 z+1 1 z−1 ln z 2 − 1 − ln = − ln u + C ; 2 z+1 1 z−1 ln (z − 1)(z + 1) − ln = − ln u + C ; 2 z+1 1 1 ln (z − 1) + ln (z + 1) − ln (z − 1) + ln (z + 1) = − ln u + C ; 2 2 3 1 ln (z + 1) − ln (z − 1) = − ln u + C ; 2 2 3 v  1 v  ln  + 1  − ln  − 1  = − ln u + C ; 2 u  2 u  v = y − k; ⇒ v = y + 1; u = x − h; ⇒ u = x − 3; La solución de forma implícita es : 3  y+1  1 y+1  ln  + 1  − ln  − 1  = − ln x − 3 + C ; 2 x−3  2  x−3  ( 2) 3y − 7x + 7 )dx − (3x − 7y − 3)dy = 0; a 1b2 ≠ a 2 b1 ; ( −7 )(7 ) ≠ (− 3)( 3); − 49 ≠ −9 ; Usando : x = (u + h ); y = (v + k ); dy dv = ; dx du dy − 7 x + 3y + 7 = ; dx − 3x + 7 y + 3 ESPOL 2009 32
  33. 33. Ecuaciones Diferenciales Reemplazando x, y y y' : dz − 7 + 3 z + 3 z − 7 z 2 dv − 7 (u + h ) + 3(v + k ) + 7 u = ; = ; du − 3 + 7z du − 3(u + h ) + 7 (v + k ) + 3 dz 7 z 2 − 6z + 7 dv − 7 u + 3v − 7 h + 3k + 7 u =− ; = du 7z − 3 du − 3u + 7 v − 3h + 7 k + 3 (7 z − 3 )dz − du  − 7 h + 3k + 7 = 0 ;  ∫ 7 z 2 − 6z + 7 = ∫ u ; − 3 h + 7 k + 3 = 0 ; u = 7 z 2 − 6 z + 7; ⇒ du = 14 z- 6; Resolviendo el sistema : 7 k = 0; 7z − 3 = (14 z-6 ) − 3 + 3; 14 h = 1; 7 (14 z- 6)dz − du dv − 7 u + 3 v 14 = ; ∫ 7 z 2 − 6z + 7 = ∫ u ; du − 3u + 7 v 7 (14 z- 6)dz dv −7 + 3v 14 ∫ 7 z 2 − 6 z + 7 = − ln u + C ; = u ; du − 3 + 7v ln 7 z 2 − 6 z + 7 = − ln u + C ; u 2 v ln 7 z 2 − 6 z + 7 = − ln u 2 + K ; z= ; u 2 v v ln 7  − 6 + 7 = − ln u 2 + K ; v = zu ;  u u 2 dv dz  y  y + 7 = − ln ( x − 1) + K ; 2 = z+u ; ln 7  −6 du du  x −1 x −1 dz − 7 + 3z La solución de forma implícita es : z+u = ; 2 du − 3 + 7 z  y  y C 7  −6 +7= ; dz − 7 + 3z  x −1 x −1 ( x − 1)2 u = − z; du − 3 + 7 z ESPOL 2009 33
  34. 34. Ecuaciones Diferenciales 3) (y − x − 5)y'−(1 − x − y ) = 0; (1-x-y) − (y − x − 5)y' = 0; a1b2 ≠ a 2 b1 ; (− 1)(− 1) ≠ (1)(− 1); 1 ≠ −1; x = (u + h ); y = (v + k ); dy 1 − x − y = ; dx y − x − 5 Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: dv 1-(u + h )-(v + k ) = ; du (v + k ) − (u + h ) − 5 dv − u − v − h − k + 1 = ; du − u + v − h + k − 5 − h − k + 1 = 0 ;  − h + k − 5 = 0 ; Resolviendo el sistema de ecuaciones : h = -2; k = 3; dv − u − v = du − u + v v −1− dv u; = du − 1 + v u v z =  ; u v = zu ; dv dz =z+u ; du du dz − 1 − z z+u = ; du − 1 + z dz − 1 − z u = − z; du − 1 + z dz − 1 − z + z − z 2 u = ; du −1+z ESPOL 2009 34
  35. 35. Ecuaciones Diferenciales dz z2 + 1 u =− ; du z−1 (z − 1)dz du ∫ (z 2 + 1) = ∫ − u ; 1 ln z 2 + 1 − arctan(z) = − ln u + C ; 2 2 1 v v ln   + 1 − arctan  = − ln u + C ; 2 u u La solución implicita de la ecuación diferencial es : 2 1  y−3  y−3 ln   + 1 − arctan  = − ln x + 2 + C ; 2 x+2  x+2 Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) XY { Y - Y{ XY Y- Y Se asume el siguiente cambio de variable Y . Y Despejando y: XY X . XY XY XY Reemplazando y, y’ en: { Y - Y{ XY X . { { Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: XY X - { { XY X XY Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: - { { ESPOL 2009 35

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