1. Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación
1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifique
formalmente sus repuestas.
a) Una transformación lineal cuyo núcleo es { OV } , es invertible
 a 
a  
Sea T : R → R una transformación lineal definida por T   =  b 
2 3
b
  a + b
 
0
Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es   pero como la dim V ≠ dim W , T no es
0
 
invertible.
También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe ser
sobreyectiva
∴ Falso
 rSen(t ) Cos (t ) 
b) ∀r , t ∈ R : A = 
  es ortogonal

 Cos (t ) − rSen(t ) 
Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismo
tiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1 . Entonces, utilizando el
producto interno canónico:
  rSen(t )   Cos (t )  
 
  Cos (t )   − rSen(t )   = 0
 
   
rSen(t )Cos (t ) − rSen(t )Cos (t ) = 0
0=0
  rSen(t )  rSen(t )  
  Cos (t )   = 1
  Cos (t ) 
 
   Sen 2 (t ) = 0 r 2 −1 = 0
r Sen (t ) + Cos (t ) = 1
2 2 2
Sen(t ) = 0 r2 =1
r 2 Sen 2 (t ) + 1 − Sen 2 (t ) = 1 t = 0 ∧ t = 2π r = ±1
[ ]
Sen 2 (t ) r 2 − 1 = 0
Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Se
igual procedimiento para la segunda columna
∴ Falso
Ramiro J. Saltos

2. c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean u , v ∈ V dos vectores ortonormales.
Si los vectores αu + β v y αu − βv son ortogonales, entonces α = β
(αu + βv / αu − βv ) = 0
(αu / αu ) + (αu / − βv) + ( β v / αu ) + ( βv / − βv) = 0
α 2 (u / u ) − αβ (u / v) + αβ (u / v) − β 2 (v / v) = 0
Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: (u / u ) = (v / v) = 1
α 2 (u / u ) − β 2 ( v / v ) = 0
α2 −β2 = 0
α2 = β2
α = β
∴Verdadero
1 0 
d) Si λ es un valor propio de A = 
  , entonces A + A −1
0 − 1
( ) λ
= 2λ A
 
Primero tenemos que darnos cuenta la matriz A es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el producto
interno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma es
uno, entonces:
A −1 = AT → A −1 = A
También como A es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, es
decir:
λ =1
λ = −1
Finalmente:
(A+ A ) −1 λ
= 2λ A
( A + A) −1 = 2 −1 A
(A+ A )−1 λ
= 2λ A (2 A) −1 =
1
A
( A + A) 1 = 21 A 2
1
2A = 2A (2) −1 ( A) −1 = A
2
1 1
A= A
2 2
∴Verdadero
Ramiro J. Saltos

3. 2. (15 puntos) Sea L : M 2 x 2 → R una transformación lineal tal que:
2
0 1 1 0 1 0  1 1 0  0
L
 1 0 =
 L
 0 1  = L1 0  = 1 y L 0 0  =  0 
        
           
Determine:
a) Nu ( L), Im(L)
b) La matriz asociada a L respecto a las bases canónicas de cada espacio
La mejor opción es encontrar la regla de correspondencia de L , y para ello necesitamos una base del espacio
de partida y para armarla usamos los cuatro vectores que nos dan de datos, así:
 0 1   1 0  1 0   1 0 
B = 
 , 
 , 
 , 
 

 1 0   0 1  1 0   0 0 
Y al vector típico de M 2 x 2 lo escribimos como combinación lineal de los vectores de esta base, luego
planteamos el sistema de ecuaciones y obtenemos los escalares en términos de a, b, c, d
a b  0 1 1 0 1 0  1 0
 c d  = α 1  1 0  + α 2  0 1  + α 3 1 0  + α 4  0 0 
         
         
 a b   α 2 + α 3 + α 4 α1 
c d  =  α +α
   
α2 
   1 3 
a = α 2 + α 3 + α 4
 b = α1 c = b + α3 a = d + c − b +α4


 c = α1 + α 3 α3 = c − b α4 = a + b − c − d

 d = α2
Finalmente reemplazamos los datos en la combinación lineal inicial:
a b  0 1 1 0 1 0   1 0
 c d  = α 1T  1 0  + α 2T  0 1  + α 3T 1 0  + α 4T  0 0 
T         
         
a b  1 1 1 0
T
 c d  = (b)1 + ( d )1 + (c − b)1 + (a + b − c − d ) 0 
        
         
a b  c + d 
T c d  = c + d 
  
   
Calculando el núcleo tenemos:
c + d = 0 1 1 0   1 1 0  c+d =0
 1 1 0  →  0 0 0  → c = − d
   
c + d = 0    
 a b  
∴ Nu ( L) = 
 c d  ∈ M 2 x 2 / c + d = 0

  
Ramiro J. Saltos

4. Y la imagen:
c + d = x 1 1 x   1 1 x  y−x=0
 
1 1 y  →  0 0
   →

c + d = y    y − x x= y
 x  
∴ Im(L) =   ∈ R 2 / x =
  y
 y  
Para obtener la matriz asociada a la base canónica, sabemos que:
 1 0   0 1   0 0   0 0   1   0 
BC M 2 x 2 = 
 0 0 ,  0 0 ,  1 0 ,  0 1 
    BCR 2 =  ,  
  
      0   1 
1 0  0  0 1  0  0 0  1  0 0  1
T
 0 0 =  0
   T
 0 0 =  0
   T
 1 0  = 1
   T
 0 1  = 1
  
               
 
 ↑ ↑ ↑ ↑ 
  1 0    0 1    0 0    0 0  
A =  T 
  T   T   T   
  0 0  B

 
  0 0  B
 
  1 0  B
 
  0 1  B 
 CR 2 CR 2 CR 2 CR 2

 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 0 0 1 1
∴A=
 0 0 1 1

 
Ramiro J. Saltos

5. a 1 1
 
3. (15 puntos) Sea A =  1 a 1 
1 1 a
 
Determine:
a) Los valores propios de A
b) Una base para cada espacio propio de A
a − λ 1 1 
 
A − λI =  1 a−λ 1 
 1 1 a −λ
 
[ ]
(a − λ ) (a − λ ) 2 − 1 − 1[ (a − λ ) − 1] + 1[1 − (a − λ )] = 0
(a − λ )[(a − λ ) 2
− 1] − (a − λ ) + 1 + 1 − (a − λ ) = 0
(a − λ ) 3 − 3(a − λ ) + 2 = 0
Ahora realizamos un cambio de variable para visualizar mejor las cosas:
x = a−λ
x − 3x + 2 = 0
3
Aplicando división sintética:
1 1 0 −3 2 x =1 x = −2
( x − 1)( x 2 + x − 2) = 0
1 1 −2 a −λ =1 a − λ = −2
( x − 1)( x + 2)( x − 1) = 0
1 1 −2 0 λ = a −1 λ =a+2
Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada λ en la matriz A − λI
E λ =a −1
1 1 1  1 1 1  a − b − c  − 1  − 1
    a+b+c = 0        
1 1 1 →  0 0 0   b  =  b  = b 1  + c 0 
1 1 1  0 0 0  a = −b − c c  c  0 1
           
 − 1  − 1
   
∴ B Eλ =  1 ,  0 
 0   1 
   
E λ =a + 2
− 2 1 1   0 3 − 3  0 0 0  0 0 0
        −b+c = 0 a−c = 0
 1 − 2 1  → 0 − 3 3  → 0 −1 1  → 0 −1 1 
 1 b=c a=c
 1 − 2   1 1 − 2   1 1 − 2   1 0 − 1
      
a c 1 1
       
 b  =  c  = c1 ∴ B Eλ = 1
 c  c 1 1
       
Ramiro J. Saltos

6.  1 0 1
 
4. (5 puntos) Determine si la matriz A =  0 1 1 es diagonalizable
 1 0 1
 
1 − λ 0 1 
 
A − λI =  0 1− λ 1 
 1 0 1− λ 
 
Calculamos la ecuación característica:
[ ]
(1 − λ ) (1 − λ ) 2 − (1 − λ ) = 0 (1 − λ ) = 0
(1 − λ )[(1 − λ ) − 1] = 0
2
λ =1
(1 − λ ) 2 − 1 = 0
2−λ = 0
(1 − λ − 1)(1 − λ + 1) = 0 λ=0
λ=2
(−λ )(2 − λ ) = 0
Debemos recordar el corolario que dice: “Si A ∈ M nxn tiene n valores propios distintos, entonces A es
diagonalizable”
Como tenemos tres valores propios distintos, entonces A es diagonalizable
Ramiro J. Saltos

7.  x  
  
5. (15 puntos) Sea V = R3 y W =  y  ∈ R / 3x − 2 y + 6 z = 0 un subespacio de V
3
 z  
  
Determine:
a) El complemento ortogonal de W
 − 3
 
b) La proyección de v sobre W si se conoce que v =  1 
 4 
 
Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W
3x − 2 y + 6 z = 0
2 y = 3x + 6 z
 x   2x   2x   2 0  2   0 
             
 y  =  2 y  =  3x + 6 z  = x 3  + z  6  ⇒ BW =  3 ,  3 
 z   2z   2z   0  2  0   1 
             
a
 
Sea  b  ∈ W ⊥
c
 
a  2 a  0
       
b  3 = 0 b  3  = 0
 c  0  c  1
       
2a + 3b = 0 3b + c = 0
2a = −3b c = −3b
 a  
⊥   
∴W =  b  ∈ R / 2a + 3b = c + 3b = 0
3
 c  
  
Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W ⊥ debido a que la base de este
subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.
 a   2a   − 3b   − 3  − 3 
         
 b  =  2b  =  2b  = b 2  ⇒ BW ⊥ =  2 
 c   2c   − 6b   − 6  − 6 
         
Ramiro J. Saltos

8. Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:
1
u1 = • v1
v1
v1 = ( v1 / v1 )
 − 3  − 3
      − 3 
v1 =   2   2   1  
 − 6  − 6 ∴B *
W⊥ =   2 
     7  − 6 
  
v1 = 9 + 4 + 36
v1 = 49 = 7
Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores h ∈ W y p ∈W ⊥ , hallaremos p y
luego contestaremos la pregunta al encontrar h = v − p
p = Pr oyW ⊥ v
p = ( v u1 ) u1
  − 3  − 3   − 3
 1       
p =    1   2  •  2 
 49     − 6  − 6
 4     
 − 3
 1   
p =  ( 9 + 2 − 24 ) •  2 
 49   − 6
 
 3 
 13  
p =   − 2 
 49  
 6 
− 39 
 − 3   49 
   
h = 1 + 26
 49 
 4   52 
   49 
 − 186 
 49 
h=  75 
 49 
 248 
 49 
 − 186 
 49 
∴ Pr oyW v =  75 
 49 
 248 
 49 
Ramiro J. Saltos