Cap´
   ıtulo 8

Series num´ricas
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8.1.     Definici´n y primeras propiedades
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8.1. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES                                                                            145

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8.1.4.     Condici...
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8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS                                                                                    ...
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8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA                                                                    151

   3.- Seri...
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8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA                                                             153

Ejemplo. La serie
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8.4. PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA SERIES                                                                       155

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8.5. APENDICE: SUMACION DE SERIES                                                                         ...
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                                     ...
Bibliograf´
          ıa

[Apostol]              Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona,
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  1. 1. Cap´ ıtulo 8 Series num´ricas e 8.1. Definici´n y primeras propiedades o Informalmente, una serie es “una suma de infinitos sumandos” (ver antecedentes hist´ricos o y comentarios en [Apostol, cap. 10] y en [Duran, p´g. 184 y siguientes]). Tales sumas se usan ´ a impl´ ıcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales “ilimitados” de los n´meros reales: u 7 as´ la igualdad = 2, 333 . . . significa ı, 3 7 3 3 3 =2+ + + + ..., 3 10 100 1000 3 suma con “infinitos sumandos” de la forma , n ∈ N. En general, consideraremos una sucesi´n o ∞ 10n cualquiera (an ) y “su suma” n=1 an . ¿Qu´ sentido habr´ que darle a tal suma? La respuesta se e a m ∞ impone de modo natural: n=1 an “tiene que ser” l´ ım an . m→∞ n=1 Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la “sucesi´n de sumandos” o (an ) una nueva sucesi´n “de sumas” (sm ) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar o el l´ ımite (si existe) de esta ultima sucesi´n. Esquem´ticamente: ´ o a lugar 1 2 3 4 ... n ... t´rmino e a1 a2 a3 a4 ... an ... suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + · · · + an ... →? Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesi´n,o ¿qu´ novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en e el punto de partida: tomando como “dato” la sucesi´n de sumandos (an ), nos planteamos determinar o propiedades de la sucesi´n de sumas (sn ) bas´ndonos en propiedades de los t´rminos an . Pasemos o a e a formalizar estas ideas. 8.1.1. Series: t´rminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y e oscilantes Definici´n 8.1.1. Una serie ∞ an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (sn )) relacionadas o n=1 por la condici´n de que para cada n ∈ N es o sn = a1 + a2 + · · · + an . El t´rmino n-´simo de la primera sucesi´n, an , recibe el nombre de t´rmino n-´simo de la serie ; e e o e e el t´rmino n-´simo de la segunda sucesi´n, sn , recibe el nombre de suma parcial n-´sima de la e e o e serie . 143
  2. 2. 144 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS ∞ Se dice que la serie n=1 an es convergente si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales es o convergente, es decir, si m ∃ l´ sm = l´ ım ım an ∈ R. m m n=1 Diremos que la serie ∞ an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesi´n n=1 o de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente. Si una serie ∞ an es convergente, se llama suma de dicha serie al l´ n=1 ımite de la sucesi´n o de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente. Con un abuso de notaci´n que no suele conducir a error, se denota la suma con o el mismo s´ımbolo que la serie. Es decir, se escribe ∞ m an = l´ ım an , m n=1 n=1 cuando este l´ ımite existe. Nota. A veces es c´modo considerar series de la forma ∞ an , donde m es un n´mero entero: o n=m u las sumas parciales ser´n entonces s1 = am , s2 = am + am+1 ,. . . , sn = am + · · · + am+n−1 , . . . a Se utiliza tambi´n la notaci´n am + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∞ an y, cuando no da e o n=m lugar a confusi´n, se abrevia en o an . Ejemplo (series geom´tricas). Una serie ∞ an es una serie geom´trica si existe un r ∈ R e n=1 e tal que para todo n ∈ N es an+1 = r · an (o an+1 /an = r si a1 = 0); de otro modo, si es de la forma ∞ n n=0 a r . Si sn es su suma parcial n-´sima, se tendr´ e a n n−1 a 1−r 1−r si r = 1 sn = a + a r + · · · + a r = . an si r = 1 Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue: ∞ a a) si |r| < 1, la serie arn es convergente y la suma es ; 1−r n=0 b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´n acotadas; a d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞. Ejemplo (serie arm´nica). Se denomina as´ la serie o ı ∞ 1 . n n=1 Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-´sima, denotada habitualmente por Hn , cumple e n n k+1 n+1 1 dx dx Hn = ≥ = = log(n + 1), k k x 1 x k=1 k=1 1 luego la serie arm´nica diverge a +∞ a pesar de que l´ o ım = 0. n n El “car´cter” de una serie no cambia si se prescinde de un n´mero finito de sumandos (aunque a u s´ puede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma m´s precisa, ı a
  3. 3. ´ 8.1. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 145 ∞ Proposici´n 8.1.2. Dada una serie o n=1 an y un entero m > 1, se tiene: ∞ ∞ a) n=1 an converge si y solo si converge n=m an . Si convergen, entonces ∞ m−1 ∞ an = an + an . n=1 n=1 n=m ∞ ∞ b) n=1 an diverge a +∞ si y solo si n=m an diverge a +∞. ∞ ∞ c) n=1 an diverge a −∞ si y solo si n=m an diverge a −∞. ∞ ∞ d) n=1 an es oscilante si y solo si n=m an es oscilante. Demostraci´n. Basta observar que para todo p > m es o p m−1 p an = an + an , n=1 n=1 n=m m−1 donde n=1 an es fijo (independiente de p), y aplicar las definiciones previas y los resultados conocidos para sucesiones. 8.1.2. Linealidad de la convergencia de series Proposici´n 8.1.3. Sean ∞ an , ∞ bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, la o n=1 n=1 ∞ serie n=1 (αan + βbn ) es convergente y se tiene ∞ ∞ ∞ (αan + βbn ) = α an + β bn . n=1 n=1 n=1 Demostraci´n. Basta tener en cuenta que o N N N (αan + βbn ) = α an + β an . n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ Corolario 8.1.4. Si n=1 an converge y n=1 bn no es convergente, entonces n=1 (an + bn ) no es convergente. ∞ Demostraci´n. Si la serie o n=1 (an + bn ) convergiera, entonces la serie ∞ ∞ bn = (an + bn ) + (−1)an n=1 n=1 tambi´n converger´ seg´n la proposici´n anterior. e ıa, u o Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n ) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2n s´ ı. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como ınense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn = −1. no convergente: exam´
  4. 4. 146 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS 8.1.3. Series telesc´picas o Proposici´n 8.1.5. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones de n´meros reales tales que para todo n ∈ N o u se cumple an = bn − bn+1 . Entonces la serie ∞ an (denominada serie telesc´pica) es convergente si y solo si la sucesi´n n=1 o o (bn ) tiene l´ ımite real, en cuyo caso tenemos ∞ an = b1 − l´ bn . ım n n=1 ∞ Demostraci´n. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie o n=1 an son N sN = an = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bN −1 − bN ) + (bN − bN +1 ) = b1 − bN +1 . n=1 1 1 1 Ejemplo. Si an = = − , entonces la suma parcial N -´sima es simplemente e n(n + 1) n n+1 N N 1 1 1 1 SN = = − =1− , n(n + 1) n n+1 N +1 n=1 n=1 ∞ con lo que l´ SN = 1. Es decir, la serie ım n=1 an converge y su suma es 1: N ∞ 1 = 1. n(n + 1) n=1 1 Ejemplo. Sea ahora an = log 1 + . La suma parcial de orden N es n N N N 1 an = log 1 + = log(n + 1) − log n = log(N + 1) − log 1 = log(N + 1) n n=1 n=1 n=1 ∞ 1 y tiende a +∞. Es decir, la serie log 1 + diverge a +∞. n n=1 ∞ Nota. Toda serie n=1 an se puede ver trivialmente como una serie telesc´pica: basta poner o b1 = 0, bn+1 = −(a1 + a2 + · · · + an ) (n ∈ N), lo que no a˜ade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos ob- n tenido s´lo es util cuando la sucesi´n (bn ) es una sucesi´n conocida, cuyo comportamiento sabemos o ´ o o de antemano. Ejercicio. Escribi´ndolas como series telesc´picas, estudiar las siguientes series: e o ∞ 1 n+2 n+2 a) n n(n + 1) (descomponer en fracciones simples). 2 n(n + 1) n=1 ∞ a x x b) 3n sen3 n (obs´rvese que sen x = 3 sen − 4 sen3 ). e 3 3 3 n=1 x ∞ 2 tg a a 2 ). c) 2n−1 tg2 n tg n−1 (utilizar que tg x = 2 2 1 − tg 2 x n=1 2 ∞ 1 3 1 d) sen cos n (tener en cuenta que cos x sen y = [sen(x + y) − sen(x − y)]). 2n 2 2 n=1
  5. 5. ´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 147 8.1.4. Condici´n necesaria para la convergencia de una serie. Condici´n general o o de convergencia de Cauchy Proposici´n 8.1.6 (condici´n necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie o o ∞ n=1 an converge, necesariamente l´ an = 0. ım n Demostraci´n. Si (sN ) es la sucesi´n de las sumas parciales, es decir, o o N sN = an , n=1 entonces ∃ l´ sN ∈ R. ım N Como aN = sN − sN −1 , se deduce que l´ aN = l´ sN − l´ sN −1 = 0. ım ım ım N N N Esta condici´n no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos o de series no convergentes cuya sucesi´n de t´rminos tiende a 0; el m´s sencillo es quiz´ la serie o e a a arm´nica o ∞ 1 1 1 1 = 1 + + + ··· + + ··· , n 2 3 n n=1 ya estudiada. Teorema 8.1.7 (condici´n de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie o ∞ n=1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N (ε) tal que para cualesquiera m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple m ak < ε. k=n Demostraci´n. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales, lo o o que equivale a que (sn ) sea de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0 exista un N = N (ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn−1 | < ε; pero m n−1 m sm − sn−1 = ak − ak = ak . k=1 k=1 k=n 8.2. Series de t´rminos no negativos e 8.2.1. Convergencia de una serie de t´rminos no negativos. Criterios de com- e paraci´n o El estudio del car´cter de una serie se simplifica cuando ´sta es de t´rminos no negativos. a e e Proposici´n 8.2.1. Sea ∞ an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces ∞ an o n=1 n=1 converge si y solo si la sucesi´n (sn ) de sus sumas parciales est´ acotada superiormente. En caso o a contrario, la serie diverge a +∞. Demostraci´n. Puesto que para cada n ∈ N es o sn+1 − sn = an+1 ≥ 0, la sucesi´n (sn ) es mon´tona no decreciente. Luego o bien est´ acotada superiormente y converge, o o a o bien no est´ acotada superiormente y diverge a +∞. a
  6. 6. 148 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie a partir del car´cter de otra serie conocida. a Teorema 8.2.2 (criterio de comparaci´n por mayoraci´n). Sean ∞ an y ∞ bn dos o o n=1 n=1 series y n0 ∈ N de modo que para n ≥ n0 es 0 ≤ an ≤ bn . Si ∞ bn converge, tambi´n converge n=1 e ∞ ∞ ∞ n=1 an . En consecuencia, si n=1 an diverge, n=1 bn es asimismo divergente. Demostraci´n. Sabemos que ∞ an tiene el mismo car´cter que ∞ 0 an , y que ∞ bn tiene o n=1 a n=n n=1 el mismo car´cter que ∞ 0 bn . Denotando por (sn ) la sucesi´n de sumas parciales de ∞ 0 an a n=n o n=n y por (tn ) la de ∞ 0 bn , se sigue que para cada n ∈ N es sn ≤ tn , luego si (tn ) est´ acotada n=n a superiormente, (sn ) estar´ acotada superiormente. Y si (sn ) no est´ acotada superiormente, (tn ) a a tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora la proposici´n anterior. o Otra forma de comparar dos series es estudiar el cociente de sus t´rminos: e ∞ ∞ Teorema 8.2.3 (criterio de comparaci´n por paso al l´ o ımite). Sean n=1 an , n=1 bn series de t´rminos no negativos. Supongamos que existe e an l´ ım = ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}. n bn ∞ ∞ a) Si < +∞ y la serie n=1 bn converge, entonces la serie n=1 an tambi´n converge. e ∞ ∞ b) Si 0 < y la serie n=1 bn diverge, entonces la serie n=1 an tambi´n diverge. e ∞ ∞ c) Si 0 < < +∞, entonces las dos series n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´cter. a Demostraci´n. a) Sea C ∈ ( , +∞) (por ejemplo C = + 1). Entonces existe alg´n n0 ∈ N tal o u que an /bn ≤ C para todo n ≥ n0 , es decir, 0 ≤ an ≤ Cbn para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bnn=1 converge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn converge y, por el criterio anterior, la serie ∞ an e n=1 n=1 converge. b) Sea C ∈ (0, ). Existe alg´n n0 ∈ N tal que an /bn ≥ C para todo n ≥ n0 , es decir, an ≥ Cbn ≥ 0 u para todo n ≥ n0 . Si la serie ∞ bn diverge, entonces tambi´n la serie ∞ Cbn diverge y, por n=1 e n=1 el criterio anterior, la serie ∞ an diverge. n=1 c) Basta aplicar a) y b). ∞ ∞ Corolario 8.2.4 (series de t´rminos equivalentes). Sean e n=1 an , n=1 bn dos series de ∞ ∞ t´rminos no negativos. Supongamos que (an ) ∼ (bn ). Entonces e n=1 an y n=1 bn tienen el mismo car´cter. a Por supuesto, en el resultado anterior las dos series pueden tener distinta suma. La comparaci´n con las series geom´tricas proporciona dos criterios muy utiles en la pr´ctica: o e ´ a el criterio de la ra´ y el criterio del cociente. Posteriormente veremos versiones m´s generales de ız a los mismos para series de t´rminos cualesquiera, as´ que dejamos la demostraci´n para entonces. e ı o ∞ Proposici´n 8.2.5 (criterio de Cauchy o de la ra´ o ız). Sea n=1 an una serie de t´rminos no e √ negativos tal que existe R = l´ n an . ım n→∞ ∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente. ∞ b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente. ∞ Proposici´n 8.2.6 (criterio de D’Alembert o del cociente). Sea o n=1 an una serie de an+1 t´rminos no negativos tal que existe R = l´ e ım . n→∞ an ∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an es convergente.
  7. 7. ´ 8.2. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 149 ∞ b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an es divergente. Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe. ∞ Proposici´n 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea o n=1 an una serie de t´rminos no negativos tal e an+1 que existe R = l´ n (1 − ım ). Entonces: n→∞ an ∞ a) Si R > 1, la serie n=1 an es convergente. ∞ b) Si R < 1, la serie n=1 an diverge a +∞. Demostraci´n. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, p´gs. 101–102]. o a 8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de t´rminos no negativos e Proposici´n 8.2.8 (criterio integral). Sea f : [1, +∞) → [0, +∞) no creciente. Entonces: o +∞ ∞ a) La integral impropia f es convergente si y solo si la serie f (n) converge. 1 n=1 n n b) Existe C = l´ ım f (k) − f ∈ [0, +∞). n 1 k=1 n n c) Para cada n ∈ N se tiene f (k) = f + C + εn , con 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x). ım 1 x→+∞ k=1 Demostraci´n. Para cada n ∈ N, pongamos o n n sn = f (k), tn = f, dn = sn − tn . k=1 1 Entonces n n−1 k+1 n−1 k+1 dn = f (k) − f = f (n) + f (k) − f (x) dx k=1 k=1 k k=1 k n−1 k+1 = f (n) + [f (k) − f (x)] dx ≥ 0. k=1 k Como n+1 dn − dn+1 = sn − tn − sn+1 + tn+1 = f (x) dx − f (n + 1) n n+1 = [f (x) − f (n + 1)] dx ≥ 0, n se sigue que (dn ) es mon´tona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C = o l´ dn ∈ [0, +∞) y, en consecuencia, (sn ) y (tn ) ser´n simult´neamente convergentes o divergentes. ım a a n +∞ Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn ) equivale asimismo a la de la integral 1 f , luego esta integral converge si y solo si converge la serie ∞ f (n). Con esto hemos demostrado a) y b). n=1 En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = sn − tn − C = dn − C; lo que hay que probar es que 0 ≤ εn ≤ f (n) − l´ f (x). ım x→+∞
  8. 8. 150 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS Observemos que n+1 n+1 0 ≤ dn − dn+1 = f (x) dx − f (n + 1) ≤ f (n) dx − f (n + 1) = f (n) − f (n + 1). n n Reiterando, para cualquier n´mero natural m > n resulta: u 0 ≤ dn − dn+1 ≤ f (n) − f (n + 1), 0 ≤ dn+1 − dn+2 ≤ f (n + 1) − f (n + 2), ... 0 ≤ dm−1 − dm ≤ f (m − 1) − f (m). Al sumar las desigualdades resulta que 0 ≤ dn − dm ≤ f (n) − f (m). Pasando al l´ ımite en m, y teniendo en cuenta que l´ f (x) existe por ser f mon´tona no creciente, ım o x→+∞ obtenemos 0 ≤ dn − C ≤ f (n) − l´ f (x). ım x→+∞ Como εn = dn − C, hemos terminado la demostraci´n. o Aplicaciones. 1.- La constante γ de Euler . Aplicando los resultados que acabamos de obtener a la funci´n f dada por f (x) = 1/x y teniendo en cuenta que o n 1 dx = log n, 1 x podemos escribir la suma parcial n-´sima de la serie arm´nica como e o n 1 Hn = = log n + γ + εn , k k=1 donde 0 ≤ εn ≤ 1/n y n 1 γ = l´ ım − log n = 0, 5772156649 . . . n k k=1 es un n´mero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funci´n Γ, definida tambi´n por ´l. u o e e Euler obtuvo sus diecis´is primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calcul´ 3.566 cifras. e o No se sabe todav´ si es un n´mero racional o irracional (ver [Le Lionnais, p´g. 28]). ıa u a 2.- La funci´n ζ de Riemann . El criterio integral permite comprobar f´cilmente que la serie o a ∞ 1 ns n=1 converge si y solo si s > 1. La funci´n o ∞ 1 ζ(s) = , s > 1, ns n=1 se denomina funci´n zeta de Riemann y tiene importantes aplicaciones (especialmente en teor´ o ıa de n´meros). Hay expresiones m´s o menos sencillas para ζ(2n), n ∈ N, pero no para otros valores. u a π2 π4 Se sabe por ejemplo que ζ(2) = , ζ(4) = . Hasta fechas recientes (R. Ap´ry, 1978) no se hab´ e ıa 6 90 podido probar siquiera que ζ(3) es irracional: ver [Le Lionnais, p´g. 36]. a
  9. 9. ´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 151 3.- Series logar´ ıtmicas . Tambi´n mediante el criterio integral se prueba que la serie e ∞ 1 n(log n)s n=2 converge si y solo si s > 1 (ver [Apostol, p´g. 486]). a Por comparaci´n con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios de o convergencia. ∞ Proposici´n 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea o n=1 an una serie de t´rminos no negativos e tal que para alg´n α ∈ R existe el l´ u ımite l´ nα an = ∈ [0, +∞]. ım n→∞ Entonces: ∞ a) Si α > 1 y < +∞, la serie n=1 an converge. ∞ b) Si α ≤ 1 y > 0, la serie n=1 an diverge (a +∞). Proposici´n 8.2.10 (criterios logar´ o ıtmicos). Sea ∞ an una serie de t´rminos no negativos n=1 e − log an − log(n an ) tal que existe alguno de los dos l´ ımites A = l´ ım , B = l´ ım . Entonces: n→∞ log n n→∞ log(log n) ∞ a) Si A > 1, la serie n=1 an es convergente; si A < 1, diverge a +∞. ∞ b) Si B > 1, la serie n=1 an es convergente; si B < 1, diverge a +∞. 8.3. Series de t´rminos cualesquiera e 8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz Proposici´n 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∞ xn una serie alternada, es decir, una serie o n=1 tal que para cada n ∈ N es xn = (−1)n+1 an con an ≥ 0. Si (an ) es una sucesi´n no creciente con o ∞ ∞ n+1 a es convergente. Adem´s, denotando con s ımite 0, entonces la serie n=1 xn = n=1 (−1) l´ n a n la suma parcial n-´sima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades e 0 ≤ (−1)n (sn+2 − sn ) ≤ an+1 , (8.1) n 0 ≤ (−1) (s − sn ) ≤ an+1 . (8.2) Nota. De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesi´n no decreciente y las sumas o de orden impar una sucesi´n no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente o modo: si tomamos sn como valor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que an+1 , de modo que si (an ) converge “r´pidamente” a 0 obtenemos una buena aproximaci´n de la a o suma mediante una suma parcial de “pocos” t´rminos. e Demostraci´n. Obs´rvese que dado k ∈ N, la diferencia o e −(s2k+1 − s2k−1 ) = a2k − a2k+1 es mayor o igual que 0 por ser (an ) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo que da (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2 ,
  10. 10. 152 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS que an´logamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1 , lo que completa la prueba a de (8.1) para todos los casos. Adem´s, hemos obtenido que (s2k ) es una sucesi´n no decreciente. a o Como s2k = a1 − [(a2 − a3 ) + · · · + (a2k−2 − a2k−1 ) + a2k ] ≤ a1 , (s2k ) est´ acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su l´ a ımite. Puesto que s2k−1 = s2k + a2k y a2k → 0, resulta que l´ s2k−1 = l´ (s2k + a2k ) = l´ s2k + l´ a2k = s + 0 = s. ım ım ım ım k k k k Es decir: tanto la subsucesi´n de t´rminos pares como la de t´rminos impares de (sn ) son con- o e e vergentes con l´ ımite s. Esto permite afirmar que (sn ) es convergente con l´ ımite s, es decir, que +∞ n=1 xn = s. Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es +∞ +∞ s = x1 + · · · + xn + xk = sn + (−1)k+1 ak , k=n+1 k=n+1 se sigue que +∞ n (−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak k=n+1 = an+1 − an+2 + l´ [(an+3 − an+4 ) + · · · + (an+2m+1 − an+2m+2 )] ım m ≥ an+1 − an+2 ≥ 0 y que +∞ n (−1) (s − sn ) = (−1)n+k+1 ak k=n+1 = an+1 − l´ [(an+2 − an+3 ) + · · · + (an+2m − an+2m+1 )] ım m ≤ an+1 , lo que prueba (8.2). Ejemplo. La serie arm´nica alternada o ∞ (−1)n−1 n n=1 es convergente. Adem´s, su suma se calcula f´cilmente utilizando la constante de Euler. En efecto: a a para cada n ∈ N, sumando y restando t´rminos, se tiene e 2n (−1)k+1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ··· + − k 2 3 4 2n − 1 2n k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ + + + ··· + + −2 + + ··· + 2 3 4 2n − 1 2n 2 4 2n = H2n − Hn = log 2n + γ + ε2n − log n − γ − εn = log 2 + ε2n − εn . Como sabemos ya que la serie arm´nica alternada es convergente, podemos escribir: o +∞ m 2n (−1)k+1 (−1)k+1 (−1)k+1 = l´ ım = l´ ım = log 2. k m k n k k=1 k=1 k=1
  11. 11. ´ 8.3. SERIES DE TERMINOS CUALESQUIERA 153 Ejemplo. La serie ∞ (−1)n log n n n=2 log x es convergente. En efecto, es f´cil comprobar que la funci´n f (x) = a o es decreciente en [3, +∞) x log n log n (por ejemplo, calculando f ). Adem´s, a ≥ 0 y → 0. De aqu´ se deduce que la serie ı n n ∞ (−1)n log n converge. n n=3 8.3.2. Series absolutamente convergentes ∞ ∞ Definici´n 8.3.2. Una serie o n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie n=1 |an | es convergente. El ejemplo m´s sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie arm´nica a o alternada. Observaci´n. Si ∞ an y ∞ bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, enton- o n=1 n=1 ces la serie ∞ (ran +sbn ) tambi´n es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad n=1 e |ran + sbn | ≤ |r||an | + |s||bn | y el criterio de mayoraci´n. o Definici´n 8.3.3. Para un n´mero real cualquiera x, escribamos o u x+ = m´x{x, 0}, a x− = m´x{−x, 0}. a Es f´cil comprobar que |x| = x+ + x− , x = x+ − x− , x+ ≥ 0, x− ≥ 0. a Proposici´n 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si o ∞ n=1 |an | converge, entonces la serie ∞ an tambi´n converge. Y en ese caso, n=1 e ∞ ∞ an ≤ |an |. n=1 n=1 Demostraci´n. Con la notaci´n anterior, o o 0 ≤ a+ ≤ |an |, n 0 ≤ a− ≤ |an |, n luego las dos series ∞ a+ y ∞ a− convergen. Como an = a+ − a− , la serie n=1 n n=1 n n n ∞ n=1 an tambi´n e converge. Adem´s, para cada n ∈ N a n n ak ≤ |ak |, k=1 k=1 por la desigualdad triangular. Pasando al l´ ımite (una vez que ya sabemos que las dos series con- vergen), ∞ ∞ ak ≤ |ak |. k=1 k=1
  12. 12. 154 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS 8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la ra´ y de D’Alembert (del cociente) ız) Los criterios ya vistos sobre convergencia de series de t´rminos no negativos se traducen de e manera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de t´rminos cualesquiera. As´ e ı: ∞ Proposici´n 8.3.5 (criterio de la ra´ o de Cauchy). Sea o ız n=1 an una serie tal que existe R = l´ n |an |. ım n→∞ ∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente. ∞ b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente. Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que o a u n |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, 0 ≤ |an | ≤ cn , n ≥ n0 . Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie ∞ 0 |an | converge, e n=n n=n y la serie ∞ |an | tambi´n converge. n=1 e b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que n |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo a u tanto, |an | ≥ 1, n ≥ n0 . ∞ Entonces, an → 0 y la serie n=1 an no es convergente. ∞ Proposici´n 8.3.6 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea o n=1 an una serie tal que |an+1 | existe R = l´ ım . n→∞ |an | ∞ a) Si R < 1, la serie n=1 an converge absolutamente. ∞ b) Si R > 1, entonces an → 0 y la serie n=1 an no es convergente. Demostraci´n. a) Supongamos que R < 1. Sea R < c < 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que o a u |an+1 | |an | ≤ c para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an+1 | ≤ c|an |, n ≥ n0 . De aqu´ es f´cil deducir por inducci´n que ı a o |an0 | n 0 ≤ |an | ≤ c , n ≥ n0 . cn0 Como 0 < c < 1, la serie geom´trica ∞ 0 cn converge y por lo tanto la serie e n=n ∞ n=n0 |an | converge, y la serie ∞ |an | tambi´n converge. n=1 e |an+1 | b) Supongamos que R > 1. Entonces existir´ alg´n n0 tal que a u |an | ≥ 1 para todo n ≥ n0 . Por lo tanto, |an+1 | ≥ |an |, n ≥ n0 . ∞ Entonces, la sucesi´n |an | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an → 0 y la serie o n=1 an no es convergente.
  13. 13. 8.4. PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA SERIES 155 8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet El criterio de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamente. Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta a˜adimos los m´s n a conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante “f´rmula de sumaci´n por partes”. o o Lema 8.3.7 (f´rmula de sumaci´n parcial de Abel). Sean (an )∞ , (bn )∞ dos sucesiones o o n=1 n=1 arbitrarias, y llamemos, para cada n, n An = ak k=1 ∞ (suma parcial n-´sima de la serie e n=1 an ) Entonces n n ak bk = An bn+1 + Ak (bk − bk+1 ) k=1 k=1 cualquiera que sea n ∈ N. Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 497]. o a Proposici´n 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona y acotada, y o n=1 o o ∞ ∞ n=1 bn es una serie convergente, la serie n=1 an bn es convergente. Demostraci´n. Ver [Apostol, p´g. 498]. o a Proposici´n 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an )∞ es una sucesi´n mon´tona que converge o n=1 o o a 0, y ∞ bn es una serie cuya sucesi´n de sumas parciales est´ acotada, la serie ∞ an bn es n=1 o a n=1 convergente. Demostraci´n. Ver [Apostol, p´gs. 497–498]. o a 8.4. Propiedad conmutativa para series ¿Qu´ sucede cuando en una serie “se cambia el orden de los sumandos”? Veremos que las e unicas series “inalterables” por tales cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues, ´ las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos. Definici´n 8.4.1. Dada una serie ∞ an , se dice que otra serie ∞ bn es una reordenaci´n o n=1 n=1 o suya si existe una aplicaci´n biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N, o bn = ar(n) . ∞ ∞ N´tese que, rec´ o ıprocamente, n=1 an es una reordenaci´n de o n=1 bn , pues la inversa r−1 es igualmente una biyecci´n. o Informalmente, una serie es una reordenaci´n de otra si tiene exactamente los mismos t´rminos, o e pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significar´, as´ que tenga suma a ı, y que cualquier reordenaci´n suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las o series convergentes con la propiedad conmutativa. Definici´n 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente o y si toda reordenaci´n suya es asimismo convergente, y con la misma suma. o Diremos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondi- cionalmente convergente, de modo que alguna reordenaci´n suya o bien no es convergente o converge o a una suma distinta.
  14. 14. 156 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS ∞ ∞ Lema 8.4.3. Dada una serie n=1 an de t´rminos no negativos y una reordenaci´n suya e o n=1 bn , se tiene: ∞ ∞ a) si n=1 an es convergente con suma s, tambi´n e n=1 bn es convergente con suma s. ∞ ∞ b) si n=1 an es divergente a +∞, tambi´n e n=1 bn es divergente a +∞. Demostraci´n. a) Sea r : N → N tal que bn = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos o m(n) = m´x{r(1), r(2), . . . , r(n)}. a ∞ Denotando con tn la suma parcial n-´sima de e n=1 bn ser´ entonces a tn = ar(1) + ar(2) + · · · + ar(n) ≤ a1 + a2 + · · · + am(n) ≤ s, lo que prueba que ∞ bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez ∞ an n=1 n=1 es una reordenaci´n de ∞ bn , por el mismo motivo su suma ser´ menor o igual que la suma de o n=1 a ∞ n=1 bn , lo que implica la igualdad entre ambas sumas. b) En caso contrario, ∞ bn ser´ convergente y entonces ∞ an , reordenaci´n suya, tambi´n n=1 ıa n=1 o e converger´ ıa. Proposici´n 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente. o Demostraci´n. Si la serie ∞ |an | converge, aplicamos el lema anterior a las series o n=1 ∞ + n=1 an y ∞ − (que tambi´n convergen) y por ultimo recordamos que a = a+ − a− . n=1 an e ´ n n n El rec´ ıproco tambi´n es cierto: m´s a´n, una serie convergente que no converja absolutamente e a u posee reordenaciones “que van a parar donde se desee”: convergentes con suma arbitrariamente prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un c´lebre teorema de Riemann. e Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, para cada ∈ [−∞, +∞] existe una reordenaci´n suya con suma ; en general, dados 1 , 2 , . . . , o k , existe una reordenaci´n cuya sucesi´n de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen o o a 1, 2, . . . , k . Demostraci´n. [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.33, p´g. 105], [Ortega, teorema 9.20, p´g. 303]. o a a Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente. 8.5. Ap´ndice: sumaci´n de series e o Resumimos las ideas fundamentales sobre el c´lculo de las sumas de algunos tipos particulares a de series. Series telesc´picas o ∞ Si para cada n puede ponerse an = bn − bn+1 , la serie an converge si y solo si es convergente n=1 ∞ la sucesi´n (bn ), y si este es el caso, o an = b1 − l´ bn . ım n n=1
  15. 15. ´ ´ 8.5. APENDICE: SUMACION DE SERIES 157 Series geom´tricas e ∞ ∞ a Si a = 0, entonces la serie a rn−1 converge si y solo si |r| < 1; si converge, a rn−1 = . 1−r n=1 n=1 Series aritm´tico-geom´tricas e e ∞ Si P es un polinomio no constante, la serie P (n) rn converge si y solo si |r| < 1. Llamando n=0 ∞ ∞ S a su suma, (1 − r)S = P (0) + [P (n) − P (n − 1)]rn = P (0) + Q(n)rn , donde Q es un n=1 n=1 polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geom´trica. e Series hipergeom´tricas e ∞ an+1 αn + β Son de la forma an con = , α > 0. La serie converge si y solo si γ > α + β, con an αn + γ n=1 γa1 suma γ−α−β Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’ P (n) Series del tipo , donde P y Q son polinomios (el nombre no es est´ndar). Cuando a Q(n) convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fracciones simples y calculando la suma parcial n-´sima, relacion´ndola con sumas de series conocidas. Pueden ser de ayuda las e a siguientes: • Serie arm´nica o 1 1 1 Hn := 1 + + + · · · + = log n + γ + εn , donde γ es la constante de Euler y l´ n εn = 0 ım 2 3 n • Funci´n ζ de Riemann o ∞ 1 ζ(s) := , s > 1 (funci´n zeta de Riemann). En particular o ns n=1 ∞ ∞ 1 π2 1 π4 ζ(2) = = , ζ(4) = = . n2 6 n4 90 n=1 n=1 Reordenadas de la serie arm´nica alternada o En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en t´rmi- e nos de Hn , y deducir as´ el comportamiento de la serie. ı Series que se reducen a la exponencial ∞ xn Partiendo de que para todo x ∈ R es = ex , se pueden sumar series de la forma n! n=0 P (n) n x , donde P es un polinomio de grado m, sin m´s que reescribir a n! P (n) = a0 n(n − 1) · · · (n − m + 1) + a1 n(n − 1) · · · (n − m + 2) + · · · + am−1 n + am
  16. 16. 158 CAP´ ´ ITULO 8. SERIES NUMERICAS para coeficientes a0 , . . . , am adecuados, y observar que n(n − 1) · · · (n − k) 1 = , n! (n − k − 1)! si n > k.
  17. 17. Bibliograf´ ıa [Apostol] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona, o e 1989. Citado en la(s) p´gina(s) 143, 151, 155 a [Duran] ´ Dur´n, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del c´lculo. Alian- a a za, Madrid, 1996. Citado en la(s) p´gina(s) 143 a [Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introducci´n al c´lculo infi- o a nitesimal. Edici´n de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) p´gina(s) o a 149, 156 [Le Lionnais] Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citado en la(s) p´gina(s) 150 a [Ortega] Ortega, J. M.: Introducci´n al An´lisis Matem´tico. Labor, Barcelona, o a a 1995. Citado en la(s) p´gina(s) 156 a 159

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