La Derivada

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La Derivada

  1. 1. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO 3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO 3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA 3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS OBJETIVOS: • Definir derivada. • Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. • Realizar demostraciones formales de derivada. • Calcular derivadas. 75
  2. 2. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico. 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1. y y = f ( x) y0 x x0 Fig. 3.1 La ecuación de la recta tangente estaría dada por: y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2 76
  3. 3. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada y y = f ( x) f ( x0 + h ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 ) h x x0 x0 + h Fig. 3.2 La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x0 , f ( x0 ) ) y f ( x0 + h) − f ( x0 ) ( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec = h La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir: f ( x0 + h) − f ( x0 ) mtg = lím h→0 h 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y que sea función del tiempo; es decir e = f (t ) . Suponga ahora que se quiere determinar la velocidad media vm en un intervalo de tiempo [t0 , t0 + h] , esta estaría dada por: Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) vm = = Δt t0 + h − t 0 La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir: 77
  4. 4. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Δe f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) v = lim vm = lim = lim Δt →0 Δt →0 Δt h →0 h Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada. 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ´(x0 ) = lím h →0 h Siempre que este límite exista. Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y´ o Dx y . dy Leibniz utilizó la notación . dx En cualquier caso, la derivada en " x " sería: f ( x + h) − f ( x ) f ´( x) = lím h →0 h 78
  5. 5. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 ) f ´( x0 ) = lím = lím h →0 h x→ x0 x − x0 f ( x) − f ( x0 ) = lím x→ x0 x − x0 Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. y y = f ( x) f ( x) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) x − x0 x x x0 Fig. 3.3 La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería: f ( x) − f ( x0 ) msec = . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada x − x0 por: f ( x) − f ( x0 ) mtg = lím x→ x0 x − x0 79
  6. 6. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN: f ( x + h) − f ( x ) f ´( x) = lím h →0 h ⎡ 2 ( x + h ) + 1⎤ − [ 2 x + 1] ⎣ ⎦ = lím h→0 h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0 f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa: f ( x) − f ( x0 ) f ´( x0 ) = lím x → x0 x − x0 ( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) = lím x → x0 x − x0 2 x + 1 − 2 x0 − 1 = lím x → x0 x − x0 2 x − 2 x0 = lím x → x0 x − x0 2 ( x − x0 ) = lím x → x0 ( x − x0 ) = lím 2 x → x0 f ´( x0 ) = 2 Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ( x + h) − f ( x ) f ´(x) = lím h →0 h = lím (x + h )2 − x 2 h→0 h x + 2 xh + h 2 − x 2 2 = lím h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) h→0 f ´(x) = 2 x 80
  7. 7. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Empleando la forma alternativa: f ( x) − f ( x0 ) f ´( x0 ) = lím x → x0 x − x0 x 2 − x0 2 = lím x → x0 x − x0 ( x − x0 )( x + x0 ) = lím x → x0 x − x0 = lím ( x + x0 ) x → x0 = x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0 Ejercicios propuestos 3.1 1. Sea f ( x ) = x2 − 2 x + 1 . f (2.5) − f (2) a) Calcule el valor de 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 d) Calcule el valor de . f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado. 2. Hallar f ´(3) , considerando la gráfica: y = f ( x) 3. Empleando la definición, determine la derivada de: a) f ( x) = 3x + 2 d) f ( x) = −2 x 2 + x − 1 b) f ( x) = −2 x + 1 e) f ( x) = 2 x 3 1 c) f ( x) = x 2 + 2 x − 3 f) f ( x ) = 3x + 2 81
  8. 8. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD. Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en " x0 " Demostración. Expresemos lo siguiente: f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 ) Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 , tenemos: f ( x) − f ( x0 ) f ( x) = (x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0 Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta: f ( x) − f ( x0 ) lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0 f ( x) − f ( x0 ) La expresión lím es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x → x0 x − x0 derivable en x 0 . Entonces: cons tan te f ( x) − f ( x0 ) lím f ( x) = lím lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0 x → x0 x → x0 f ´( x0 ) 0 f ( x0 ) = f ´(x0 )[0] + f ( x 0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D. 82
  9. 9. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ". También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar f ´(1) para f ( x) = x − 1 SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ( x) − f (1) f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 − 0 = lím x→1 x − 1 x −1 = lím x→1 x − 1 El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím+ = lím 1 = 1 x →1 x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 x →1 − x −1 x →1− x −1 Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím no existe. x→1 x −1 Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4 Fig. 3.4 Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad. 83
  10. 10. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha La derivada por derecha del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) + f ´(x0 ) = lím h →0 + o por la forma h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0 0 + 3.5.2.2 Derivada por izquierda. La derivada por izquierda del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x0 + h) − f ( x0 ) − f ´(x0 ) = lím h →0 − o por la forma h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0 0 − Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales + − existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧2 x − 1; x < 2 ⎪ Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨ ⎪ 2 ⎩ x − 1; x ≥ 2 SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 . ( ) Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 - x→2− x →2+ Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 . 84
  11. 11. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada f ´(2 − ) = lim− (2 x − 1) − (2(2) − 1) = lim 2x − 4 = lim 2(x − 2) =2 x →2 x−2 x→2− x − 2 x →2− x − 2 f ´(2 + ) = lim+ (x 2 ) ( −1 − 2 2 −1)= lim+ x2 − 4 = lim+ (x + 2)(x − 2) = 4 x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x−2 − + ( ) Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ( x) − f (0) f ´(0) = lím x→0 x−0 3 x −0 = lím x→0 x 1 = lím 2 x→0 x 3 f ´(0) = ∞ (no existe) Lo que ocurre es que la recta tangente, en x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5 Fig. 3.5 Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto 85
  12. 12. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Un problema de diseño Ejemplo ⎪mx + b ; x < 2 ⎧ Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio. ⎪x ⎩ ;x ≥ 2 SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir: lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 ) x → 2− x→2 2m + b = 4 2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − ) f ´(2+ ) = lím f ( x) − f (2) = lím x2 − 4 = lím (x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 x→2+ x−2 x→2+ x − 2 x→2+ x−2 x →2+ f ´(2 − ) = lím f ( x ) − f ( 2) = lím (mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x−2 x→2− x − 2 Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4 Ejercicios Propuestos 3.2 ⎧2 x + 1; x < 1 1. Hallar f ´(1) para f ( x) = ⎨ ⎩2 + x ; x ≥ 1 2 ⎧ ⎪− x 2 + 10; x < 3 2. Hallar f ´(3) para f ( x ) = ⎨ ⎪− 6 x + 17; x ≥ 3 ⎩ ⎧2 x + 1 ; x < −2 ⎪ 3. Hallar f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪ x − 7; x ≥ −2 ⎩ ⎧ ⎪x2 + 2x ; x ≤ 2 4. Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨ . ⎪ ⎩ax + b ; x > 2 Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2 ⎧3ax + b ⎪ ; x ≤1 5. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 2 ⎪ax − 3bx + 2 ; x > 1 ⎩ Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio. ⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ 6. Sea la función f definida por f ( x) = ⎨ 1 . ⎪ ; x >1 ⎩x Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista. 86
  13. 13. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes: 1. Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R 2. Dx ( x) = 1 3. Dx ( x n ) = n(x n −1 ) 4. D x (e x ) = e x 5. Dx (a x ) = a x ln a 1 6. Dx (ln x) = x 1 7. D x (log a x) = x ln a 8. Dx (sen x) = cos x 9. D x (cos x) = − sen x 10. Dx (tan x) = sec 2 x 11. Dx (cot x) = − csc 2 x 12. Dx (sec x) = sec x tan x 13. Dx (csc x) = − csc x cot x Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: f ( x + h) − f ( x ) 1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím h→0 h k −k 0 Dx (k ) = lím = lím = 0 (La derivada de una constante es cero) h→0 h h →0 h 87
  14. 14. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím ( x + h ) − x = lím h = 1 h →0 h h→0 h ( x + h) − xn n 3. Sea f ( x ) = x n entonces: Dx ( x ) = lím n . Consideraremos n ∈ . Desarrollando el h →0 h binomio y simplificando: ⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n ( x + h) − xn n Dx ( x ) = lím n = lím ⎣ ⎦ h →0 h h→0 h n ( n −1) nx n −1h + x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n = lím 2 h →0 h n ( n −1) h ⎡ nx n −1 + / x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤ = lím ⎣ ⎦ 2 h →0 h/ ⎡ n ( n −1) ⎤ = lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎥ h →0 ⎢ ⎣ 0 0 0 0 ⎥ ⎦ Dx ( x n ) = n ( x n −1 ) 4. Sea f ( x ) = e x entonces: ex+h − ex e x eh − e x e x ( eh − 1) ( eh − 1) = e x Dx (e ) = lím x = lím = lím = e lím x h →0 h h →0 h h→0 h h→0 h 1 6. Sea f ( x ) = ln x entonces: ⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞ ln⎜ ⎟ ln⎜1 + ⎟ ln (x + h ) − ln x 1 ⎛ h⎞ h = lím ⎝ x ⎠ = lím ⎝ x⎠ Dx (ln x) = lím = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h h →0 h h →0 h h→0 ⎝ x⎠ 1 ⎡ 1 ⎤x ⎛ h⎞ ⎥ = ln⎛ e x ⎞ h 1 = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ x ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 Dx (ln x) = x 8. Sea f ( x ) = sen x entonces: Dx (sen x) = lím sen( x + h) − sen x = lím [sen x cosh + senh cos x] − sen x h→0 h h →0 h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h h→0 h h →0 h (cosh − 1) = (sen x )(0) + (cos x )(1) senh = sen x lím + cos x lím h →0 h h →0 h Dx (sen x) = cos x La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector. 88
  15. 15. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0 (FORMULA 1) Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x (FORMULA 3) Ejemplo 3 1 Si f ( x ) = x = ( x ) entonces f ´( x ) = ( x) 1 1 −1 2 1 2 2 = (FORMULA 3) 2 x Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6 Recta tangente f ( x) = x 3 Fig. 3.6 La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m( x − x 0 ) El punto sería: x0 = 1 y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 3 y La pendiente sería: mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2 =3 x =1 Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1) Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 89
  16. 16. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) dx 2. d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx 3. d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx 4. d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) 5. ⎜ ⎟= (Cociente) [ g ( x)] 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería: 1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím dx h→0 h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h →0 h = kf ´( x) 2. d ( f ( x) + g ( x)) = lím [ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] dx h →0 h = lím [ f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] h→0 h = lím [ f ( x + h) − f ( x ) ] + lím [ g ( x + h) − g ( x ) ] h→0 h h →0 h = f ´( x) + g´( x) 3. d ( f ( x) g ( x)) = lím [ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ] dx h→0 h Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h ) f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h ) lím h →0 h Agrupando y aplicando propiedades de los límites: 90
  17. 17. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada ⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤ + ⎡ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) ⎤ lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ h →0 h ⎡ f ( x + h ) − f ( x ) ⎤ g ( x + h) + ⎡ g ( x + h ) − g ( x ) ⎤ f ( x ) lím ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ h →0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ g ( x + h) + lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤ f x lím ⎣ ⎣ ⎦ ( ) h →0 h h→0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎦ lim g ( x + h) + f x lim ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤ lím ⎣ ( ) h→0 ⎣ ⎦ h →0 h h →0 h f ´( x ) ⎣ g ( x ) ⎦ + f ( x ) ⎣ g´( x ) ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma. Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) = 3 4 x = 4x− 1 3 entonces f ´( x ) = 4 dx ( d − 13 x ) ( − 1 −1 4 4 = 4 − 1 x 3 = − x− 3 3 3 ) Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 Si f ( x ) = 4 x − + 3 entonces x ⎛ 1 ⎞ f ´( x ) = d dx ( 4 x − d dx ) d ( ) 2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜ dx ⎝2 x⎠ −2 ⎟ + 2x + 0 Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ Ejemplo 4 (Derivada del producto) ( )( Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: ) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2 x 91
  18. 18. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería: d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si f ( x ) = e x senx ln x entonces ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎛1⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ Ejemplo 6 (Derivada de cociente) x2 + 2 Si f ( x ) = entonces x3 + 1 ⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ ⎢ dx ( x + 2 ) ⎥ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢ dx ( x + 1) ⎥ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 ) 2 f ´( x ) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ( x3 + 1) ( x3 + 1) 2 2 2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2 − x4 − 6 x2 + 2 x = = (x + 1) (x + 1) 3 2 3 2 Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) . SOLUCIÓN: La derivada de f sería f ´( x ) = ⎡(1)( x + 1)( x + 2 ) ( x + 100 ) ⎤ + ⎡ x (1)( x + 2 ) ⎣ ⎦ ⎣ ( x + 100 )⎤ + ⎡ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤ + ⎦ ⎣ ⎦ Ahor a evaluamos la derivada en cero: f ´( 0 ) = ⎡(1)( 0 + 1)( 0 + 2 ) ⎣ ( 0 + 100 )⎤ + ⎡0 (1)( 0 + 2 ) ( 0 + 100 )⎤ + ⎡ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤ + ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 0 f ´( 0 ) = (1)( 2 ) (100 ) = 100! 92
  19. 19. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7 f ( x ) = x2 + 4 x ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) Fig. 3.7 ( −2, −5) Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4 0 La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir: y0 − ( − 5 ) y0 + 5 mtg = = x0 − ( −2 ) x0 + 2 El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene: y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5 mtg = = x0 + 2 x0 + 2 Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 : x0 2 + 4 x0 + 5 2 x0 + 4 = x0 + 2 2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 3 = 0 ( x0 + 3)( x0 + 1) = 0 x0 = −3 ∨ x0 = −1 93
  20. 20. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 : y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3 2 y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3 2 Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) . Las respectivas pendientes serían: mtg = 2 ( −3) + 4 = −2 mtg = 2 ( −1) + 4 = +2 Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían: y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) ) y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) ) y + 3 = −2 ( x + 3 ) y y + 3 = 2 ( x + 1) y = −2 x − 9 y = 2x −1 Ejemplo 9 f ( x) g ( x) Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (1) = 3 , g (1) = −3 , 2 f ( x) + 3 g ( x) f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) . Solución: La derivada de h sería: ⎡ f ( x ) g ( x) ⎤ h´( x) = Dx ⎢ ⎥ ⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦ D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = x [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] 2 = [ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)] [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] 2 Ahora evaluando en 1: h´(1) = [ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)] [ 2 f (1) + 3g (1)] 2 = [(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)] [ 2(3) + 3(−3)] 2 = [6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3] [ 6 − 9] 2 = [9][ −3] + 9 [ −1] [ −3] 2 −36 = 9 h´(1) = −4 94
  21. 21. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤ π 2 SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: 2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene π tg x = 1 , lo cual quiere decir que x = 4 Fig. 3.8 Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8 Si f ( x ) = 2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ m1 = 2 cos π = 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 2 ⎟ =1 ⎝ ⎠ Si g ( x ) = 2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ m 2 = − 2 sen π 4 = − 2⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D. Ejercicios Propuestos 3.3 1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x xe x e) f ( x) = senx + 1 ( b) f ( x ) = x + 2 3 )( x 2 + 1) 1 2 x c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) f) f ( x) = x e ln x 2 x2 + 1 d) f ( x ) = x senx 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación f ( x ) = x2 + 2 x + 2 en el punto (1,5) . 3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 . 95
  22. 22. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( 2,5) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = 4x − x 2 . Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y 3 2 5. que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = x2 . Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8. Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50) f ( x) g ( x ) 9. Si f , g y h son funciones tales que h( x) = , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x ) − 4 g ( x) g´(3) = 2 . Determine h´(3) . Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable en " g ( x0 ) " entonces la función compuesta (f g )( x ) = f ( g ( x ) ) es diferenciable en " x 0 " y d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0 O lo que es lo mismo dy dy du = dx du dx u=g( x) Ejemplo 1 ( )20 y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 Si tenemos y = f (u ) = u 20 de donde dy du = 20u 19 y = 2x . du dx 96
  23. 23. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Por tanto dy dy du = dx du dx ( ) = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dy dx ( ( = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 19 ) ) 19 ( ) El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. Ejemplo 2 ( ) ( Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3) [ ( )][ ] u Ejemplo 3 30 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ entonces ⎢ x −1 ⎥ 2 ⎣ ⎦ u 29 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥ ⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦ 2 2 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥ 29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤ = 30 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ Para el caso de funciones de la forma y = f ( g (h( x) ) haciendo que v = h( x ) tenemosy = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v ) tenemos dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces = . dx du dv dx O más simplemente y´= ⎡ f ´( g (h( x)) ) ⎤ [ g´(h( x))][ h´( x)] ⎣ ⎦ Ejemplo 4 4 ⎡ ⎤ Si y = cos 3 x 4 ( ) 2 = ⎢cos 3 x 2 ( ) ⎥ entonces: ⎢ ⎣ v ⎥ ⎦ u 97
  24. 24. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada [ ( )] D [cos(3x )] y´= 4 cos 3 x 2 3 x 2 = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x ) 2 3 2 x 2 = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ] 2 3 2 Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto 1 Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar: a) d [ f (x)]3 en x = 2 b) ( f f )´(2) dx SOLUCIÓN: a) d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96 ⎡ 4 ⎤ b) ( f f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Ejercicio Resuelto 2 y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine f g Si H = h H ′(2) . SOLUCIÓN: f g Como H ( x) = entonces: h ⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= ⎣ h( x ) ⎦ [h( x)]2 = [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) [h( x)]2 que en x = 2 sería: ⎡ 3 ⎤ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 = [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19 98
  25. 25. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)] [ f ´(− x)](− 1) = f ´(x ) miembros de la igualdad tenemos: − f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x ) = − f ´(x ) La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían: Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 1 4. D x (ln u ) = u´ u 1 5. D x (log a u ) = u´ u ln a 6. D x (sen u ) = (cos u ) u´ 7. D x (cos u ) = (− sen u )u´ 8. Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´ 9. Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´ 10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´ 11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´ 99
  26. 26. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicios Propuestos 3.4 1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: f ( x ) = x2 − 2x + 2 3 a) ⎛ senx ⎞ e) f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠ 1 f ( x) = b) 2x − 3 ( f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤ ⎣ 2 )⎦ e −e x −x 1 ⎛ x ⎞ 2 1 c) f ( x) = g) f ( x ) = ln ⎜ 2 ⎟− 2 e x + e− x 4 ⎝ x −4⎠ x −4 x2 − 1 d) f ( x) = x2 + 1 2. Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que: ∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par) () g )′ (x ) , si f u = e u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x ) 2 Hallar ( f u 3. y 4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que: g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a ) = 4 En x = a determine el valor de: a) (g f )´ b) (g h )´ c) (h g )´ ′ ⎛ f h g −h g ⎞ d) (f h g )´ e) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ g f ⎠ 5. Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 . 6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 ) Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) . 2 7. p ( x ) = ⎡ c ( x ) ⎤ ( ax + b ) y derívelo. 2 Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ⎣ ⎦ 100
  27. 27. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir: Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: dy f ( x + h) − f ( x) y´= f ´(x) = = Dx y = lím dx h→0 h La segunda derivada es: d2y f ´(x + h) − f ´(x) Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) = 2 = Dx2 y = lím dx h →0 h La tercera derivada es: d3y f ´´(x + h) − f ´´(x) Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx y = lím 3 dx h →0 h En fin, La n − ésima derivada es: dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) y n = f n ( x) = = Dxn y = lím dx n h→0 h Ejemplo 1 ⎛ 1 ⎞ Hallar D x ⎜ n ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠ SOLUCIÓN: = (1 − 2 x ) . 1 −1 Aquí tenemos: y= 1 − 2x Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta: y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5 −6 Directamente la quinta derivada sería − (n +1) Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x ) n 2n 101
  28. 28. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 2 ⎛ 1 ⎞ Hallar Dxn ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 3x ⎠ SOLUCIÓN: 1 = (1 + 3x ) . −1 Aquí tenemos: y = 1 + 3x Obteniendo derivadas: y´= − (1 + 3 x ) ( 3) −2 y´´= +2 (1 + 3 x ) −3 (3 ) 2 y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x ) −4 (3 ) 3 y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 ) −5 Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x ) −6 (3 ) 5 Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1) n ( n !)(1 + 3x ) ( − n +1) (3 ) n Ejemplo 3 ( ) Demuestre que D x x n = n! ; n ∈ n SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n ( n − 1) x n − 2 y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3 y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) ( n − ( n − 1) ) x n−n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) (1) = n! Ejercicio Propuesto 3.5 1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas. a. d4 dx 4 [cos (x )] 2 d. Dx ⎜ n⎛ 5 ⎞ ⎟ ⎝4− x⎠ d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ 30 ⎡1 + x⎤ b. ⎢ ⎥ e. Dx ⎢1 − x ⎥ dx 2 ⎢ 1 + x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ c. dn dx n [xe ] x f. d 35 dx35 [xsenx] 102

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