Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)

12,168 views

Published on

Published in: Education
3 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • Muy buen trabajo. excelente
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Excelente trabajo ! ! ! !, es de mucha ayuda en el proceso de formación autodidacta.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • bn
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
12,168
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
9
Actions
Shares
0
Downloads
1,322
Comments
3
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)

  1. 1. ESPOL ECUACIONES DIFERENCIALES (2DO PARCIAL)  RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES  TRANSFORMADA DE LAPLACE  RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE  TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE  RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES  APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  SERIES DE FOURIER  ECUACIONES EN DERIVADA PARCIALES [ERICK CONDE]
  2. 2. Ecuaciones Diferenciales RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES MÉTODO DE FROBENIUS 1) ′′ − ′ + = () −1 lim ⇒ lim = −1 →0 () →0 () 4 3 lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−2 − ( + ) +−1 + 4 3 + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 − ( + ) +−1 + 4 ++3 = 0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x” a toda la expresión: +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 − ( + ) +−1 + 4 ++3 = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + + − 1 + − + + + 4 ++4 = 0 =0 =0 =0 = + 4 +∞ +∞ +∞ + + − 1 + − + + + 4 −4 + = 0 =0 =0 =4 Generando términos hasta n=4 0 − 1 + 1 + 1 +1 + 2 + 2 + 1 +2 + 3 + 3 + 2 +3 − +∞ 0 − 1 + 1 +1 − 2 + 2 +2 − 3 + 3 +3 + + + − 1 − + + 4−4 + = 0 =4 Erick Conde Página 2
  3. 3. Ecuaciones Diferenciales 0 − 1 − = 0 − 1 − 1 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = 2 ⟹ ≠ 1 +1 + 1 − + 1 =0 1 +1 2 2 + 1 − (2 + 1) = 0 ⟹ 1 +1 (3) = 0 ⟹ = 2 +2 + 1 + 2 − + 2 =0 2 +2 2 + 1 2 + 2 − (2 + 2) = 0 ⟹ 2 +2 (8) = 0 ⟹ = 3 +3 + 3 + 2 − + 3 =0 3 +3 2 + 3 2 + 2 − 2 + 3 = 0 ⟹ 2 +2 15 = 0 ⟹ = + + − 1 − + + 4−4 + = 0 − + + − 1 − + + 4−4 = 0 ⇒ () = ; ∀ ≥ + ( − − ) = 2 4−4 = − ; ∀ ≥ 4 + 2 () 4 0 = 4 ⟹ 4 = − 4∗6 4 1 = 5 ⟹ 5 = − ⟹ 5 = 0 5∗7 4 2 = 6 ⟹ 6 = − ⟹ 6 = 0 6∗8 4 3 = 7 ⟹ 7 = − ⟹ 7 = 0 7∗9 4 4 4∗4 0 = 8 ⟹ 8 = − ⟹ 8 = 8∗10 4∗6∗8∗10 . . . 4 8 4∗4∗4 0 = 12 ⟹ 12 = − ⟹ 12 = 12∗14 4∗6∗8∗10∗12∗14 . . . Erick Conde Página 3
  4. 4. Ecuaciones Diferenciales Entonces: +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = +2 =0 1 = 0 2 + 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 + 5 7 + … … … … … … … …. 1 = 0 2 + 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 + 5 7 + … … … … … … … …. 40 6 4 ∗ 40 4 ∗ 4 ∗ 40 1 = 0 2 − + 10 − 14 + … … … … … … … …. 4∗6 4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 ∗ 12 ∗ 14 4 42 43 1 = 0 2 − 2 6 + 4 10 − 14 + … … … … … … … … . 3! ∗ 2 5! ∗ 2 7! ∗ 26 +∞ 4+2 ∗ 4 ∗ (−1) 1 = 0 2 + 1 ! ∗ 22 =0 +∞ (−1) ( 2 )2 +1 1 = 0 2 + 1 ! =0 1 = 0 ( 2 ) 2 = 1 () Encontrando v(x) 1 − − − = ⇒ = 1 2 ( 2 )2 1 = ⇒ = ( 2 )2 ( 2 )2 = ( 2 )2 Integrando por cambio de variable: = 2 = 2 1 1 1 = ⇒ = − ⇒ = − ( 2 ) 2 ()2 2 2 1 1 2 = − 2 2 = − 2 2 2 = = − Erick Conde Página 4
  5. 5. Ecuaciones Diferenciales 2) ′′ + ( + )′ + = () (1 + ) 1 lim ⇒ lim = →0 () →0 2 2 () 1 lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 2 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ 2 + ( + − 1) + −2 + (1 + ) ( + ) +−1 + + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ +−1 +−1 + 2 + ( + − 1) + ( + ) + ( + ) + + = 0 =0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x”: +∞ +∞ +∞ +∞ 2 + ( + − 1) + −1 + ( + ) +−1 + ( + ) + + + = 0 =0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ 2 + ( + − 1) + + ( + ) + + ( + ) ++1 + ++1 = 0 =0 =0 =0 =0 = + 1 +∞ +∞ +∞ +∞ 2 + ( + − 1) + + ( + ) + + ( − 1 + ) + + −1 + = 0 =0 =0 =1 =1 Generando términos hasta n=1 +∞ 20 − 1 + 0 + 2 + + − 1 + + + −1 − 1 + + −1 + = 0 =1 0 2 − 1 + = 0 ⟹ 2 − 2 + 1 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = 1 2 ⟹ ≠ 2 + + − 1 + + + −1 − 1 + + −1 + = 0 2 + + − 1 + + + −1 − 1 + + −1 = 0 − ( − + + ) = − ; ∀ ≥ + + − + Erick Conde Página 5
  6. 6. Ecuaciones Diferenciales −1 = − ; ∀ ≥ 1 (2 + 2 − 1) = 1 2 −1 = − ; ∀ ≥ 1 2 0 = 1 ⟹ 1 = − 2 1 0 = 2 ⟹ 2 = − ⟹ 2 = 4 2∗4 2 0 = 3 ⟹ 3 = − ⟹ 3 = − 6 2∗4∗6 3 0 = 4 ⟹ 7 = − ⟹ 7 = 8 2∗4∗6∗8 . . . Entonces: +∞ 1 = + =0 +∞ 1 1 = +2 =0 1 3 5 7 1 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + … … … … … … … …. 1 0 3 0 5 0 7 0 9 1 = 0 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − … … … … … … … …. 2 2∗4 2∗4∗6 2∗4∗6∗8 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 = 0 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − … … … … … … … … . 2 2! ∗ 22 3! ∗ 23 4! ∗ 24 +∞ 2+1 (−1) 2 1 = 0 ! ∗ 2 =0 +∞ 1 (−1) ∗ 2 1 = 0 ! ∗ 2 =0 +∞ − 1 = 0 2 ! =0 − 1 = 0 2 Erick Conde Página 6
  7. 7. Ecuaciones Diferenciales 2 = 1 () 1+ − − 2 = ⇒ = 2 1 2 − 2 1 −1 − −2 + 2 2 = ⇒ = − − −3 = 2 2 −3 2 2 +∞ 2 = 2 ! =0 3 +∞ 1 2 −2 = 2 3 ! 2 =0 2−3 +∞ 1 2 2 = 2 3 ! 2 =0 2 −3 +∞ 1 2 1 1 2 = + + 2 3 3 1 ! 2 2 2 2 =2 1 +∞ 1 2−1 2 2 2 2 = − + + 2 3 3 2 2 − 1 2 2 =2 ! 2 1 +∞ 1 2−1 2 2 2 = − + + 2 3 2 2 − 1 2 =2 ! 2 1 +∞ 1 2−1 2 2 2 2 = − 2 − + + 2 3 2 2 − 1 2 =2 ! 2 − = +∞ − = − − + + − = ! Erick Conde Página 7
  8. 8. Ecuaciones Diferenciales 3) ′′ + − ′ − = () (3 − ) lim ⇒ lim =3 →0 () →0 () −1 lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−2 + 3 − + +−1 − + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ +−1 +−1 + + ( + − 1) +3 ( + ) − ( + ) − + = 0 =0 =0 =0 =0 Multiplicado por “x” +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 + 3 ( + ) +−1 − ( + ) + − + = 0 =0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 3 ( + ) + − ( + ) ++1 − ++1 = 0 =0 =0 =0 =0 = + 1 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 3 ( + ) + − ( − 1 + ) + − −1 + = 0 =0 =0 =1 =1 Generando términos hasta n=1 +∞ 0 − 1 + 30 + + + − 1 + 3 + − −1 − 1 + − −1 + = 0 =1 0 − 1 + 3 = 0 ⟹ − 1 + 3 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = −2 ⟹ ≠ + + − 1 + 3 + − −1 − 1 + − −1 + = 0 −1 ( − 1 + + 1) = ; ∀ ≥ 1 + + − 1 + 3 − = ; ∀ ≥ ( + + ) Erick Conde Página 8
  9. 9. Ecuaciones Diferenciales = 0 −1 = ; ∀ ≥ 1 + 2 0 = 1 ⟹ 1 = 3 1 0 = 2 ⟹ 2 = ⟹ 2 = 4 3∗4 2 0 = 3 ⟹ 3 = ⟹ 3 = 5 3∗4∗5 3 0 = 4 ⟹ 7 = ⟹ 7 = 6 3∗4∗5∗6 . . . Entonces: +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = =0 1 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + … … … … … … … …. 0 0 0 0 1 = 0 + + 2 + 3 + 4 + … … … … … … … …. 3 3∗4 3∗4∗5 3∗4∗5∗6 2 3 4 1 = 0 1 + + + + + ……………………. 3 3∗4 3∗4∗5 3∗4∗5∗6 1 2 3 4 1 = 20 + + + + + ……………………. 2 2∗3 2∗3∗4 2∗3∗4∗5 2∗3∗4∗5∗6 +∞ 1 = 20 + 2 ! =0 −1 2 = −2, = , ∀ ≥ 1 ( + + 2) = −2 −1 = ; ∀ ≥ 1 = 1 ⟹ 1 = 0 1 0 = 2 ⟹ 2 = ⟹ 2 = 4 2 2 0 = 3 ⟹ 3 = ⟹ 3 = 5 2∗3 3 0 = 4 ⟹ 7 = ⟹ 7 = 6 2∗3∗4 Erick Conde Página 9
  10. 10. Ecuaciones Diferenciales . . . +∞ 2 = + =0 +∞ 2 = −2 =0 2 = 0 −2 + 1 −1 + 2 + 3 + 4 2 + … … … … … … … …. 0 0 0 2 = 0 −2 + 0 −1 + + + 2 + … … … … … … … …. 2 2∗3 2∗3∗4 1 2 2 = 0 −2 + −1 + + + + ……………………. 2 2∗3 2∗3∗4 +∞ +∞ −2 ∗ −2 2 = 0 ⇒ 2 = 0 ! ! =0 =0 +∞ 1 2 = 0 ⇒ 2 = 0 2 ! 2 =0 1 = 2 () 3− − − = ⇒ = 2 2 2 2 3− − −3 + = 2 ⇒ = 2 2 4 4 −3 = ⇒ = 2 Integrando por partes: = = 1 = = − 1 = − − − ⇒ = − − 1 1 = − + 2 = − + = Erick Conde Página 10
  11. 11. Ecuaciones Diferenciales 4) − ′′ − ′ + = () −3 lim ⇒ lim = −3 →0 () →0 (1 − ) () 2 lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 (1 − ) +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ 1 − + + − 1 +−2 − 3 + +−1 + 2 + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−2 − 2 ( + ) + − 1 +−2 − 3 ( + ) +−1 + 2 + = 0 =0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 − ( + ) + − 1 + − 3 ( + ) +−1 + 2 + = 0 =0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x” +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 − ( + ) + − 1 + − 3 ( + ) +−1 + 2 + = 0 =0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + − ( + ) + − 1 ++1 − 3 ( + ) + + 2 ++1 = 0 =0 =0 =0 =0 = + 1 +∞ +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + − ( − 1 + ) + − 2 −1 + − 3 ( + ) + + 2 −1 + = 0 =0 =1 =0 =1 +∞ 0 − 1 − 30 + + + − 1 − − 1 + + − 2 −1 − 3 + + 2−1 + = 0 =1 0 − 1 − 3 = 0 ⟹ − 1 − 3 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = 4 ⟹ ≠ + + − 1 − − 1 + + − 2 −1 − 3 + + 2−1 + = 0 −1 − 1 + + − 2 − 2 = ; ∀ ≥ 1 + + − 1 − 3 −1 + 2 − 3( + ) − ( + − ) = ; ∀ ≥ 1 ⇒ = ; ∀ ≥ + ( + − 4) ( + − ) Erick Conde Página 11
  12. 12. Ecuaciones Diferenciales = 4 −1 ( + 1) = ; ∀ ≥ 1 = 1 ⟹ 1 = 20 3 1 = 2 ⟹ 2 = ⟹ 2 = 30 2 4 2 = 3 ⟹ 3 = ⟹ 3 = 40 3 . . . +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = +4 =0 1 = 0 4 + 1 5 + 2 6 + 3 7 + 4 8 + … … … … … … … …. 1 = 0 4 + 1 5 + 2 6 + 3 7 + 4 8 + … … … … … … … …. 1 = 0 4 + 20 5 + 30 6 + 40 7 + 50 8 + … … … … … … … …. 1 = 0 ( 4 + 2 5 + 3 6 + 4 7 + 5 8 + … … … … … … … …. : 1 = 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + … … … …. 1 − Derivando tenemos: 1 = 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + … … … … . 1 − 1 − = 1 + 2 + 3 2 + 4 3 + 5 4 + … … … …. (1 − )2 4 − = 4 + 2 5 + 3 6 + 4 7 + 5 8 + … … … …. (1 − )2 4 1 = −0 (1 − )2 2 = 1 () Erick Conde Página 12
  13. 13. Ecuaciones Diferenciales 3 − − − (−1) = ⇒ = 2 1 2 4 (1 − )2 3 3 + 1− (3 −3 1− ) = ⇒ = 8 8 (1 − )4 (1 − )4 (1 − )4 3 (1 − )−3 (1 − ) = ⇒ = 8 5 1 1 = − 4 + 3 4 3 1 1 4 2 = 3 − 4 3 4 (1 − )2 = ( − ) = − ( − ) ( − ) Erick Conde Página 13
  14. 14. Ecuaciones Diferenciales 5) ′′ + ′ − = () 2 lim ⇒ lim = 2 →0 () →0 () − lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ + + − 1 +−2 + 2 + +−1 − + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +−1 +−1 + ( + − 1) +2 ( + ) − ++1 = 0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x”: +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 + 2 ( + ) +−1 − ++1 = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 2 ( + ) + − ++2 = 0 =0 =0 =0 = + 2 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 2 ( + ) + − −2 +2 = 0 =0 =0 =2 +∞ 0 − 1 + 1 + 1 () +1 + 20 + 21 + 1 +1 + + − 1 + 2 + − −2 + = 0 =2 0 − 1 + = 0 − 1 + 1 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = 0 ⟹ ≠ 1 +1 + 1 + 2 + 1 =0 1 +1 0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 ⟹ 1 +1 2 = 0 ⟹ = Erick Conde Página 14
  15. 15. Ecuaciones Diferenciales + + − 1 + 2 + − −2 + = 0 + + − 1 + 2 + − −2 = 0 −2 = ; ∀ ≥ 2 + + − 1 + 2 −2 = ; ∀ ≥ 2 + ( + + 1) − = ; ∀ ≥ + ( + + ) = 0 −2 = ; ∀ ≥ 2 ( + 1) 0 = 2 ⟹ 2 = 2∗3 1 = 3 ⟹ 3 = ⟹ 3 = 0 2∗3 2 0 = 4 ⟹ 4 = ⟹ 4 = 4∗5 2∗3∗4∗5 3 = 5 ⟹ 5 = ⟹ 5 = 0 5∗6 4 0 = 6 ⟹ 6 = ⟹ 6 = 6∗7 2∗3∗4∗5∗6∗7 . . . +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = =0 1 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + … … … … … … …. 0 0 0 1 = 0 + 2 + 4 + 6 + … … … … … … … …. 2∗3 2∗3∗4∗5 2∗3∗4∗5∗6∗7 2 4 6 1 = 0 1+ + + + ……………………. 3! 5! 7! +∞ 2 1 = 0 (2 + 1)! =0 +∞ 1 2+1 1 = 0 (2 + 1)! =0 1 = 0 Erick Conde Página 15
  16. 16. Ecuaciones Diferenciales 2 = 1 () 2 − − = ⇒ = 2 1 2 −2 2 2 −2 = ⇒ = 2 2 = −2 − − = , : 2 2 2 2 2 4 2 = − − ⇒ = 2 − 1 ⇒ = 2 −1 2 Integrando por cambio de variable: = = 42 42 42 = ⇒ = ⇒ = 2 −1 2 − 1 + 1 2 − 1 2 + 1 2 Integrando aplicando fracciones parciales: 2 2 − 1 + 2 + 1 + = + − 1 2 + 1 2 − 1 2 + 1 2 2 = 2 − 1 + + 1 2 + 2 + 1 + − 1 2 2 = 2 3 + 2 − − 1 + (2 + 2 + 1) + 2 3 − 2 − + 1 + (2 − 2 + 1) 2 = 2 + 2 3 + 2 + − 2 + 2 + −2 + 2 − 2 − 2 + −2 + + 2 + 1 2 + 2 = 0 2 2 + − 2 + = 1 3 − 2 + 2 − 2 − 2 = 0 4 − 2 + + 2 + = 0 2 = −2 1 + 3 2 = 2 2 + 3 = 2 + 2 = 1 1 = 2 + 2 = 1 4 1 = 4 1 1 2 + + 2 + = 0 4 4 1 1 = = 8 8 Erick Conde Página 16
  17. 17. Ecuaciones Diferenciales Entonces: 2( − 1) 2( + 1) = + + + − 1 2 − 1 2 + 1 2 + 1 2 2 2 = 2 − 1 − + 2 + 1 − ( − 1) ( + 1) 1 1 1 1 = 2 − 1 2 − +2 + 1 2 − 8 4( − 1) 8 4( + 1) 1 1 1 1 2 = − 1 2 − + + 1 2 − 4 4( − 1) 4 4( + 1) = = − − + + − ( − ) ( + ) Erick Conde Página 17
  18. 18. Ecuaciones Diferenciales 6) ′′ + ′ + = () 3 lim ⇒ lim = 3 →0 () →0 () 4 3 lim 2 ⇒ lim 2 =0 →0 () →0 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−2 +3 ( + ) +−1 + 4 3 + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 + 3 ( + ) +−1 + 4 ++3 = 0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x” +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 + 3 ( + ) +−1 + 4 ++3 = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + + + + − 1 +3 + +4 ++4 = 0 =0 =0 =0 = + 4 +∞ +∞ +∞ + + − 1 + + 3 + + + 4 −4 + = 0 =0 =0 =4 Generando términos hasta n=4 0 − 1 + 1 + 1 +1 + 2 + 2 + 1 +2 + 3 + 3 + 2 +3 + +∞ 30 + 31 + 1 +1 + 32 + 2 +2 + 33 + 3 +3 + + + − 1 + 3 + + 4 −4 + = 0 =4 0 − 1 + 3 = 0 − 1 + 3 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = −2 ⟹ ≠ Erick Conde Página 18
  19. 19. Ecuaciones Diferenciales 1 +1 + 1 + 3 + 1 =0 1 +1 0 0 + 1 + 3(0 + 1) = 0 ⟹ 1 +1 (3) = 0 ⟹ = 2 +2 + 1 + 2 + 3 + 2 =0 2 +2 0 + 1 0 + 2 + 3(0 + 2) = 0 ⟹ 2 +2 (6) = 0 ⟹ = 3 +3 + 3 + 2 + 3 + 3 =0 3 +3 0 + 3 0 + 2 + 3 0 + 3 = 0 ⟹ 2 +2 9 = 0 ⟹ = + + − 1 + 3 + + 4−4 + = 0 + + − 1 + 3 + + 4−4 = 0 4−4 = − ; ∀ ≥ 4 + ( + − 1 + 3) − = − ; ∀ ≥ + ( + + ) = 0 4−4 = − ; ∀ ≥ 4 + 2 () 4 0 = 4 ⟹ 4 = − 4∗6 4 1 = 5 ⟹ 5 = − ⟹ 5 = 0 5∗7 4 2 = 6 ⟹ 6 = − ⟹ 6 = 0 6∗8 4 3 = 7 ⟹ 7 = − ⟹ 7 = 0 7∗9 4 4 4∗4 0 = 8 ⟹ 8 = − ⟹ 8 = 8∗10 4∗6∗8∗10 . . . 4 8 4∗4∗4 0 = 12 ⟹ 12 = − ⟹ 12 = 12∗14 4∗6∗8∗10∗12∗14 . . . Erick Conde Página 19
  20. 20. Ecuaciones Diferenciales +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = =0 1 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + … … … … … … … …. 40 4 4 ∗ 40 4 ∗ 4 ∗ 40 1 = 0 − + 8 − 12 + … … … … … … … …. 4∗6 4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 ∗ 12 ∗ 14 4 42 43 1 = 0 1 − 2 4 + 4 8 − 12 + … … … … … … … … . 3! ∗ 2 5! ∗ 2 7! ∗ 26 +∞ 4 ∗ 4 ∗ (−1) 1 = 0 2 + 1 ! ∗ 22 =0 +∞ 1 (−1) 4+2 1 = 0 2 2 + 1 ! =0 +∞ 1 (−1) 2 2 +1 1 = 0 2 2 + 1 ! =0 ( 2 ) 1 = 0 2 2 = 1 () 3 − − = ⇒ = 2 1 2 ( 2 ) 2 −3 −3 4 = 2 ⇒ = ⇒ = 2 2 ( 2 ) ( 2 )2 2 Integrando por cambio de variable: = 2 = 2 1 1 1 = 2 ⇒ = − ⇒ = − ( 2 ) 2 2 2 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 = − 2 2 =− 2 2 2 ( ) = ( ) = Erick Conde Página 20
  21. 21. Ecuaciones Diferenciales 7) ′′ + ′ + = () 2 lim ⇒ lim = 2 →0 () →0 () lim 2 ⇒ lim 2 = 0 →0 () →0 +∞ = + =0 +∞ ′ = ( + ) +−1 =0 +∞ ′′ = + ( + − 1) +−2 =0 +∞ +∞ +∞ + + − 1 +−2 + 2 + +−1 + + = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ +−1 +−1 + ( + − 1) +2 ( + ) + ++1 = 0 =0 =0 =0 Multiplicando por “x” +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) +−1 + 2 ( + ) +−1 + ++1 = 0 =0 =0 =0 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 2 ( + ) + + ++2 = 0 =0 =0 =0 = + 2 +∞ +∞ +∞ + ( + − 1) + + 2 ( + ) + + −2 +2 = 0 =0 =0 =2 Generando términos hasta n=2 +∞ 0 − 1 + 1 + 1 () +1 + 20 + 21 + 1 +1 + + − 1 + 2 ( + ) + −2 + = 0 =2 0 − 1 + = 0 − 1 + 1 = 0 ⟹ 1 = 0 , 2 = 0 ⟹ ≠ 1 +1 + 1 + 2 + 1 =0 1 +1 0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 ⟹ 1 +1 2 = 0 ⟹ = Erick Conde Página 21
  22. 22. Ecuaciones Diferenciales + + − 1 + 2 ( + ) + −2 + = 0 −2 = − ; ∀ ≥ 2 + + − 1 + 2 −2 = − ; ∀ ≥ 2 + ( + + 1) − = − ; ∀ ≥ + ( + + ) = 0 −2 = − ; ∀ ≥ 2 ( + 1) 0 = 2 ⟹ 2 = − 2∗3 1 = 3 ⟹ 3 = − ⟹ 3 = 0 2∗3 2 0 = 4 ⟹ 4 = − ⟹ 4 = 4∗5 2∗3∗4∗5 3 = 5 ⟹ 5 = − ⟹ 5 = 0 5∗6 4 0 = 6 ⟹ 6 = − ⟹ 6 = 6∗7 2∗3∗4∗5∗6∗7 . . . +∞ 1 = + =0 +∞ 1 = =0 1 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + … … … … … … …. 0 0 0 1 = 0 − 2 + 4 − 6 + … … … … … … … …. 2∗3 2∗3∗4∗5 2∗3∗4∗5∗6∗7 2 4 6 1 = 0 1− + − + ……………………. 3! 5! 7! +∞ 2 (−1) 1 = 0 (2 + 1)! =0 +∞ 1 (−1) 2+1 1 = 0 (2 + 1)! =0 1 = 0 Erick Conde Página 22
  23. 23. Ecuaciones Diferenciales 2 = 1 () 2 − − = ⇒ = 2 1 2 −2 2 2 −2 = ⇒ = 2 2 = 2 () ⇒ = −() () 2 = − = − = () = − Erick Conde Página 23
  24. 24. Ecuaciones Diferenciales TRANSFORMADA DE LAPLACE ) : ① = + ② − = − ① − ② − − = 2 5 − − ℒ 5 = ℒ 2 5 4 3 2 2 3 4 5 5 1 − 5 − + 10 − − 10 − + 5 − − − ℒ = ℒ 16 2 1 5 − 5 3 + 10 − 10 − + 5 −3 − −5 ℒ 5 = ℒ 16 2 1 5 − −5 3 − −3 − − ℒ 5 = ℒ −5 + 10 16 2 2 2 1 ℒ 5 = ℒ 5 − 5 3 + 10 () 16 = − + + + + ) − ( − ) Vamos a realizarlo paso a paso: Como la función seno ya está desfasada, no hay problema, entonces, primero determinamos la trasformada de Laplace 1 de la función seno: ℒ = , luego: 2 +1 − ( − ) = − + Erick Conde Página 24

×