Ecuaciones (metodos de solucion)
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Ecuaciones (metodos de solucion) Document Transcript

  • 1. CAP´ ITULO 2 ´ ´ METODOS DE SOLUCION as atic atem eM 2.1. VARIABLES SEPARABLES o. d dy g(x) Definici´n 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma: o = es separable dx h(y) o de variables separables. ept ,D uia La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran- o tioq do: h(y) dy = g(x) dx + C, An obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones. e ı e de ad Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de a otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes u rsid o exponenciales de constantes o si aparecen varias constantes reunirlas en una ive sola constante. Un dy Ejemplo 1. dx = e3x+2y Soluci´n: o dy = e3x+2y = e3x e2y dx 7
  • 2. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. separando variables dy = e3x dx e2y e integrando 1 e3x − e−2y + C = 2 3 la soluci´n general es o as e3x e−2y atic + =C 3 2 atem dy 1 Ejemplo 2. dx = xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1 eM Soluci´n: separando variables o o. d 2x y −3 dy = √ dx 2 1 + x2 ept ,D 1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2 = √ haciendo uia 2 1 + x2 du = 2xdx tioq obtenemos 1 du An = √ 2 u de 1 y −2 1 (1 + x2 ) 2 e integrando = +C ad 1 −2 2 2 rsid soluci´n general o ive 1 √ − = 1 + x2 + C. Un 2y 2 Cuando x = 0, y = 1 1 √ − = 1 + 02 + C 2×1 8
  • 3. 2.1. VARIABLES SEPARABLES luego C = −32 La soluci´n particular es o −1 √ 3 2 = 1 + x2 − 2y 2 Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables: e o Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0 as (Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 )) atic Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0 atem (Rta. y = − cos 1 ) x+c Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0 eM (Rta. (2 − ex )3 = C tan y) o. d π Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y 2 =e (Rta. ln y = csc x − cot x) ept ,D dy xy + 3x − y − 3 Ejercicio 5. = dx xy − 2x + 4y − 8 uia y+3 5 y−x (Rta. ( x+4 ) = Ce ) tioq Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1 An 1 (Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1) de dy Ejercicio 7. dx − y 2 = −9 que pase por los puntos: a) (0, 0), b) (0, 3), c) 1 , 1 ad 3 (Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x ) rsid y+3 y+3 2 Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o ive de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias o Un son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en funci´n de c(0); cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es o a o decir, cuando c (t) = 0√ ? √ √ √ √ µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt (Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ ) o k 9
  • 4. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. dy dy Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en y = a y x = 2a. 3 y (Rta.: yx2 = 4a e a ) e 2.2. ´ ECUACIONES HOMOGENEAS Definici´n 2.2 : f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que o e n para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y). as atic Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos. e atem Definici´n 2.3 .Si una ecuaci´n en la forma diferencial : o o eM M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 o. d tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en- tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho- e ept mog´nea. e ,D uia Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio e a tioq de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables. o o An M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n e o o de M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 ad donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me- e rsid diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables o ´ ´ dependientes), puede transformarse en un ecuaci´n en variables separables. o ive Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en- a Un tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux. o Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente a usar la sustituci´n x = vy. o Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.: e e y y (x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0. 10
  • 5. ´ 2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS Soluci´n: o y y (x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde homog´nea de orden 1 e homog´nea de orden 1 e y y M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x La sustituci´n m´s sencilla es: y = ux, por tanto dy = u dx + x du o a Sustituyendo en la E.D. as ux ux (x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0 atic o sea que atem x dx − x2 eu du = 0 eM luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte- nemos, o. d dx = eu du ⇒ ln x = eu + C x Por lo tanto la soluci´n general es o ept ,D y ln x = e x + C uia Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti- o tioq tuimos en la soluci´n general y obtenemos: o An 0 ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1 de Por lo tanto, y ad ln x = e x − 1 rsid es la soluci´n particular o ive Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular α para convertirla en homog´nea) e Un Soluci´n: o No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O. e se vuelva homog´nea: e dy = αz α−1 dz 11
  • 6. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. (x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0 α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1) suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente. e An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad: a 1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1 as Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0 atic atem (−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0 Es homog´nea de orden −2. e eM La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du. o a o. d ept (−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0 ,D uia (−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0 tioq (u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0 An de z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0 ad rsid z −2 dz 2u −1 + 2 du = 0 z u +1 ive dz 2u Un + 2 du = 0 z u +1 Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C x reemplazo u = z y tenemos, tomando z = 0 12
  • 7. ´ 2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS x2 +z =C z x2 Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1 + y −1 = C luego x2 y 2 + 1 = Cy, es la soluci´n general. o as Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con- e e ´ atic vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso: e u atem y Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0. y (Rta.: C = x cos x ) eM dy Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1. (Rta.: ln2 |y| = 4( y−x )) o. d y y y Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0. y ept (Rta.: ln |x| + sen x = C) ,D Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0. uia (Rta.: x4 = C(x2 − y 2 )) tioq −y Ejercicio 5. xy = y + 2xe x . An y (Rta.: ln x = 1 e x +c ) 2 de Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ). ad 3 (Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx ) rsid Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ). ive (Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 ) Un Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x). sen x (Rta.: y 2 = Ce− y ) y y Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0. 1 2 y (Rta.: ln |x| − 2 ln | x | = C) 13
  • 8. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. dy y y Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x . y y (Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx) Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0, donde y(0) = 1 (Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 ) 3 y as Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o atic xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0, atem donde y(1) = 0 y (Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 ) eM 3 √ Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0 o. d y (Rta.: x(1 − x )4 = C) ept Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o ,D y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0, uia donde y(e) = 1 tioq y (Rta.: x ln | x | = −e) An de 2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES: ad (ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0 rsid Se presentan dos casos: ive 1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas: o Un ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0 entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la o ecuaci´n homog´nea de grado 1: o e (au + bv)du + (αu + βv)dv = 0 14
  • 9. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces αx + βy = n(ax + by) y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir o que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de o variables separables. Ejercicios: resolver por el m´todo anterior: e as 1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0 atic √ 2 arctan √ x−1 (Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) ) atem 2. = 2y−x+5 dy dx 2x−y−4 eM (Rta.: (x + y + 1)3 = C 2 (y − x + 3)) o. d 3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0 (Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2)) ept 4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0 ,D (Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C) 2 uia 5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0 tioq (Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C) 6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0 An (Rta.: C −2 = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 ) de 7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0 ad (Rta.: C −2 = (x − 3)2 − 2(y + 2)(x − 3) − (y + 2)2 ) rsid 8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0 (Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C) 4 ive 5 Un 2.4. ECUACIONES EXACTAS Si z = f (x, y), entonces ∂f ∂f dz = dx + dy ∂x ∂y 15
  • 10. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni- param´tricas en el plano XY ), entonces e ∂f ∂f dz = 0 = dx + dy ∂x ∂y . Definici´n 2.4 .La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife- o as rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial o atic total de alguna funci´n f (x, y). o atem La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial o total de alguna funci´n f (x, y) = c. o eM Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas) . o. d Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer o ept orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece- o saria y suficiente para que la forma diferencial ,D M (x, y) dx + N (x, y) dy uia tioq sea una diferencial exacta es que ∂M ∂N An = . ∂y ∂x de ad Demostraci´n: Como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta, o rsid entonces existe una funci´n f (x, y) tal que: o ive ∂f ∂f M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y) ∂x ∂y Un luego ∂f M (x, y) = ∂x y ∂f N (x, y) = ∂y 16
  • 11. 2.4. ECUACIONES EXACTAS por tanto, ∂M ∂2f ∂2f ∂N = = = . ∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son continuas con derivadas de primer orden continuas. M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n e o o f (x, y) = C tal que ∂f ∂f =M y =N as ∂x ∂y atic ∂M ∂N i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ∂y = ∂x . atem ∂f ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a eM ∂x y constante: o. d f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2) ept ,D iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2) o uia ∂f ∂ = M (x, y) dx + g (y) = N (x, y) tioq ∂y ∂y An despejar de ∂ g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3) ad ∂y rsid Esta expresi´n es independiente de x, en efecto: o ive ∂ ∂ ∂N ∂ ∂ N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx Un ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂N ∂ ∂ ∂N ∂ = − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar o a C. 17
  • 12. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. ∂f Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y = N (x, y). Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.: (2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0 Soluci´n: o paso i)  ∂M x = 4xy + e  ∂y ∂M ∂N de donde = ∂N  ∂y ∂x as = 4xy + ex   ∂x atic paso ii) atem f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x) eM = x2 y 2 + yex − y + h(x) o. d paso iii) ∂f = M = 2xy 2 + yex ept ,D ∂x ∂f = 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0 uia ∂x tioq paso iv) h(x) = C paso v) sustituyo h(x) en el paso ii): An x2 y 2 + yex − y + C1 = C de x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general o ad Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.: rsid (xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0. ive Un Soluci´n: o ∂M = 2xy + bx2 ∂y ∂N = 3x2 + 2xy ⇒ b = 3 ∂x 18
  • 13. 2.4. ECUACIONES EXACTAS ∂f = xy 2 + 3x2 y (2.4) ∂x ∂f = x3 + x2 y (2.5) ∂y integramos (2,4) : f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) x2 f (x, y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6) 2 derivamos (2,6) con respecto a y as ∂f atic = yx2 + x3 + g (y) (2.7) ∂y igualamos (2,5) y (2,7) atem x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) K = g(y) eM o. d reemplazamos g(y) en (2,6) x2 f (x, y) = y 2 2 ept + x3 y + K = C 1 ,D y 2 x2 = + x3 y = C 2 uia que es la soluci´n general. o tioq Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas : e An (tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0. de (Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C) ad rsid Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas: e ive (y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e. Un (Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0) Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguiente o E.D.O sea exacta: 1 M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0 x 19
  • 14. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. 1 y (Rta.: M (x, y) = 2 y 2 ex (x + 1) + y 2 − x2 + g(x)) Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D. o sea exacta: 1 1 x y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0 x +y 1 1 1 (Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y)) as Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.: e atic (2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0 atem (Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C) eM Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.: e o. d (2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0 ept (Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C) ,D uia Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.: e tioq ( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0 An (Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C) de Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.: e ad (yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2 rsid ive (Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3) Un Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.: e (1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0 (Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C) 20
  • 15. ´ 2.5. FACTORES DE INTEGRACION 2.5. ´ FACTORES DE INTEGRACION Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.) . Sea la E.D. o M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. Si µ(x, y) es tal que µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0 as es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante atic (F.I.). atem Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas. eM Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) = 2 2 x dx + y dy. o. d Anlogamente: para x dy + y dx = d(xy). ept Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un o ,D factor integrante. uia Para y dx − x dy, las expresiones: tioq An 1 1 1 1 1 µ= 2 ; µ= 2; µ= ; µ= 2 2 ; µ= 2 y x xy x +y ax + bxy + cy 2 de son factores integrantes. ad rsid Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante) : Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con ive M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces Un ∂M ∂N dµ dµ µ − =N = −M ∂y ∂x dx dy Demostraci´n: Si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N o tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces: 21
  • 16. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. ∂ ∂ (µM ) = (µN ) ∂y ∂x o sea que ∂M ∂µ ∂N ∂µ µ +M =µ +N ∂y ∂y ∂x ∂x luego ∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ µ − =N −M =N − as ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y atic dy como dx = − M , entonces: N atem ∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ µ − =N + =N = −M ∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy eM ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces: o. d ∂µ ∂µ dµ = dx + dy ∂x ∂y ept ,D y por tanto dµ ∂µ ∂µ dy = + uia dx ∂x ∂y dx tioq Nota. ∂M − ∂N An 1. Si ∂y N ∂x = f (x), entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ , dx µ de luego µ = ke f (x)dx ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx . ad rsid ∂M ∂y − ∂N ∂x g(y)dy 2. Similarmente, si −M = g(y), entonces µ = e . ive Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0. Un Soluci´n: o ∂M M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2 ∂y ∂N N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4 ∂x 22
  • 17. ´ 2.5. FACTORES DE INTEGRACION luego ∂M ∂N − = −2xy + 2 ∂y ∂x por tanto ∂M ∂N ∂y − ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1) = = −M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1) luego 1 1 dy g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y y as atic multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0 atem el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy Paso 1. eM ∂M = 6xy 2 − 4y ∂y o. d y ∂N = 6xy 2 − 4y ept ∂x ,D luego es exacta. uia Paso 2. tioq f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y) An Paso 3. Derivando con respecto a y: de ∂f N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y) ad ∂y rsid luego g (y) = 0 ive Paso 4. g(y) = k Un Paso 5. Reemplazo en el paso 2. f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general. o 23
  • 18. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx Soluci´n: o y x dy − y dx como d( ) = x x2 entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2 = dx x2 x2 as atic luego y y y d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx, atem x x x y 2 hagamos u = x ⇒ du = (6 − 5u + u )dx eM du du luego 2 = dx ⇒ = dx 6 − 5u + u (u − 3)(u − 2) o. d 1 A B pero por fracciones parciales = + (u − 3)(u − 2) u−3 u−2 ept o sea que A = 1 y B = −1, por tanto ,D uia du du du = dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x (u − 3)(u − 2) u−3 u−2 tioq luego An (u − 3) (y − 3x) c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex (u − 2) (y − 2x) de Obsrvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende e o ad de la soluci´n general. o rsid En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el ive m´todo de las exactas: e Un Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0. (Rta.: sen x cos(2y) + 1 cos2 x = C) 2 Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0. (Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C) 24
  • 19. ´ 2.5. FACTORES DE INTEGRACION Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0. 1 3 (Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C) Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0. (Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C) Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0 (Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C) as Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy). atic 1 (Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C) atem Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy). 2 3 y 1 tan−1 ( = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C) eM (Rta.: 3 2 x ) o. d Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0. (Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C) ept Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0. ,D 2 (Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C) uia Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0. tioq 2 (Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C) y An Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0. de (Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C) ad Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0. rsid (Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C) ive Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0. Un (Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C) Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto o y(1) = −2, de la E.D. dy 3x2 y + y 2 =− 3 dx 2x + 3xy 25
  • 20. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. (Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4) Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy. (Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C) Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx. 1 1 (Rta.: yx4 − 3x3 = C) Ejercicio 17. Si as My − N x atic = R(xy), yN − xM atem t R(s) ds entonces µ = F.I. = e , donde t = xy eM Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.= a µ(x + y) o. d Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) = e 1 ept xM +yN ,D uia 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN tioq Definici´n 2.6 . Una E.D. de la forma: o An dy a1 (x) + a0 (x)y = h(x), de dx ad donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama rsid E.D. lineal en y de primer orden. ive Un Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica o o o forma estandar: ´ dy + p(x)y = Q(x), dx a0 (x) h(x) donde p(x) = y Q(x) = . a1 (x) a1 (x) 26
  • 21. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden) : La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden: o y + p(x)y = Q(x) es : p(x) dx p(x) dx ye = e Q(x) dx + C. as Demostraci´n: o atic dy + p(x)y = Q(x) (2.8) dx atem ⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx ∂M ∂N eM o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y = p(x) y ∂x = 0, entonces ∂M ∂N − o. d ∂y ∂x = p(x) N y por tanto µ = e p(x) dx = F.I.; multiplicando (2.8) por el F.I.: ept ,D p(x) dx dy p(x) dx p(x) dx uia e + p(x)ye = Q(x)e dx tioq d o sea dx (ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx e integrando con respecto a x se tiene: An p(x) dx p(x) dx ye = Q(x)e dx + C de Obsrvese que la expresi´n anterior es lo mismo que: o ad rsid y F.I. = Q(x) F.I. dx + C ive dν Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0 o Un Soluci´n: o dν ν2 =− dµ 6 − 2µν dµ 6 2µ =− 2 + dν ν ν 27
  • 22. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. dµ 2µ 6 − =− 2 dν ν ν que es lineal en µ con 2 6 p(ν) = − , Q(ν) = − 2 ν ν 2 − ν dν −2 1 F.I. = e p(ν)dν =e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 = as ν2 atic La soluci´n general es o atem 1 1 6 µ= (− 2 )dν + C ν2 ν 2 ν eM 1 ν −3 µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C ν2 −3 o. d µ 2 2 = 3 + C ⇒ µ = + Cν 2 ept ν2 ν ν ,D que es la soluci´n general. o uia dy Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.: o dx + 2xy = f (x) tioq x, 0≤x<1 donde f (x) = 0, x≥1 An y y(0) = 2 de ad Soluci´n: o rsid 2xdx 2 2 2 F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C ive 2 2 a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C Un 2 1 2 ex y = 2 ex 2x dx + C 2 1 2 ex y = 2 ex + C, soluci´n general o 28
  • 23. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 2 2 y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C 2 1 3 2= 2 +C ⇒C = 2 1 2 1 3 2 y= 2 + Ce−x ⇒ y = 2 + 2 e−x , soluci´n particular o b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C as 2 2 atic ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x atem 1 2 2 + 3 e−x 2 0≤x<1 Soluci´n: f (x) = o 2 Ce−x x≥1 eM Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1. o Por tanto o. d 1 3 2 l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1) ım x→1 2 2 ept 1 3 −1 + e = Ce−1 ,D 2 2 uia 3 1 + 2 e−1 1 3 2 ⇒C= = e+ tioq e −1 2 2 Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado trasformar la E.D.: An 2 y + x sen 2y = xe−x cos2 y de en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla. ad Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable. o rsid Dividiendo por cos2 y: 1 dy x(2 sen y cos y) ive 2 2 y dx + 2y = xe−x cos cos Un dy 2 sec2 y + 2x tan y = xe−x dx hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto dt dy = sec2 y . dx dx 29
  • 24. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. Sustituyendo dt 2 + 2xt = xe−x , es lineal en t con dx 2 p(x) = 2x, Q(x) = xe−x 2x dx 2 F.I. = e = ex as Resolvi´ndola e atic t F.I. = F.I.Q(x) dx + C atem 2 2 2 tex = ex (xe−x ) dx + C eM x2 o. d 2 ⇒ tan y ex = +C 2 Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.: o ept ,D dy (1 + x2 ) dx + 2xy = f (x) uia x, 0≤x<1 tioq donde f (x) = −x , x≥1 An con y(0) = 0. x2 , si 0 ≤ x < 1 de 2(1+x2 ) (Rta.: y(x) = x2 1 ) − 2(1+x2 ) + 1+x2 , si x ≥ 1 ad dy y Ejercicio 2. Hallar la soluci´n de la E.D.: o = con y(5) = 2 rsid dx y−x y2 (Rta.: xy = 2 + 8) ive 1 Ejercicio 3. Resolver para ϕ(x) la ecuaci´n 0 ϕ(αx) dα = nϕ(x) o Un (Ayuda: con un cambio de variable adecuado transforme la ecuaci´n en una o E.D. lineal de primer orden.) 1−n (Rta.: ϕ(x) = Cx( n ) ) Ejercicio 4. Hallar la soluci´n de la E.D.: y − 2xy = cos x − 2x sen x o donde y es acotada cuando x → ∞. 30
  • 25. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN (Rta.: y = sen x) √ √ √ Ejercicio 5. Hallar la soluci´n de la E.D.: 2 x y −y = − sen x−cos x o donde y es acotada cuando x → ∞. √ (Rta.: y = cos x) dy Ejercicio 6. Resolver la E.D.: (x + 2)2 dx = 5 − 8y − 4xy. 5 (Rta.: y(2 + x)4 = 3 (2 + x)3 + C) as dy dy Ejercicio 7. Resolver la E.D.: y − x dx = dx y 2 ey . atic x (Rta.: y − xy = C) atem Ejercicio 8. El suministro de glucosa al torrente sangu´ıneo es una t´cni- e ca importante para detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este eM proceso, definimos G(t) como la cantidad de glucosa presente en la sangre de un paciente en el tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sis- o. d gr. tema sangu´ıneo a una tasa constante k min. . Al mismo tiempo la glucosa se transforma y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de ept glucosa presente. Construir la E.D. y resolverla. Hallar G(t) cuando t → ∞. ,D Ejercicio 9. Hallar la soluci´n general en t´rminos de f (x), de la E.D.: o e uia dy f (x) tioq +2 y = f (x) dx f (x) An (Rta.: y = 1 f (x) + 3 C [f (x)]2 ) de Ejercicio 10. Hallar y(x) en funci´n de f (x) si o ad dy rsid + f (x) y = f (x)y 2 dx ive 1 (Rta.: y = (1−Ce f (x) dx ) ) Un Ejercicio 11. Hallar la soluci´n general de la E.D. o (x + 1)y + (2x − 1)y = e−2x 1 (Rta.: y = − 3 e2x + Ce−2x (x + 1)3 ) 31
  • 26. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o y + y = 2xe−x + x2 si y(0) = 5 (Rta.: y = x2 e−x + x2 − 2x + 2 + 3e−x ) Ejercicio 13. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o (1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx as si y(0) = 1 atic (Rta.: xy 2 = ln y) atem 2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE eM BERNOULLI o. d dy Definici´n 2.7 . Una E.D. de la forma dx + p(x)y = Q(x)y n con n = 0 y o n = 1, se le llama una E.D. de Bernoulli. Obsrvese que es una E.D. no lineal. ept La sustituci´n w = y 1−n convierte la E.D. de Bernoulli en una E.D. lineal en o ,D w de primer orden: uia dw + (1 − n)p(x)w = (1 − n) Q(x). tioq dx dy Ejemplo 13. xy(1 + xy 2 ) dx = 1 con y(1) = 0. An Soluci´n: o dy 1 dx = xy (1+xy2 ) ⇒ = xy (1 + xy 2 ) = xy + x2 y 3 de dx dy ad dx − xy = x2 y 3 (2.9) rsid dy tiene la forma de Bernoulli con variable dependiente x, con n = 2 ive Hagamos w = x1−2 = x−1 ⇒ x = w−1 Un dx dw = −w−2 dy dy sustituimos en (2.9): −w −2 dw − yw−1 = y 3 w−2 dy multiplicamos por −w −2 : dw + yw = −y 3 , lineal en w de primer orden. dy luego p(y) = y; Q(y) = −y 3 32
  • 27. 2.7. E.D. DE BERNOULLI y2 P (y) dy y dy F.I. = e =e =e2 w F.I. = F.I. Q(y) dy + C y2 y2 we 2 = e 2 (−y 3 ) dy + C as y2 hagamos: u = 2 ⇒ du = y dy , y 2 = 2u atic atem y2 y2 we 2 = − y 3 e 2 dy + C = −2 ueu du + C eM y2 e integrando por partes, obtenemos: w e 2 = −2u eu + 2eu + C o. d y2 y2 1 y2 y2 x−1 e 2 = −y 2 e 2 + 2e 2 + C ⇒ x = −y 2 + 2 + Ce− 2 ept ,D Como y(1) = 0 entonces C = −1, por lo tanto la soluci´n particular es: o uia 1 y2 = −y 2 + 2 − e− 2 tioq x Resolver las E.D. de los siguientes ejercicios: An dy y x de Ejercicio 1. 2 dx = x − y2 con y(1) = 1. 3 1 3 −2 (Rta.: y x = −3x + 4) ad 2 rsid 2 Ejercicio 2. y = x3 3x . +y+1 (Rta.: x3 = −y − 2 + Cey ) ive Un Ejercicio 3. tx2 dx + x3 = t cos t. dt (Rta.: x3 t3 = 3(3(t2 − 2) cos t + t(t2 − 6) sen t) + C) x Ejercicio 4. y = x2 y+y3 . 2 (Rta.: x2 + y 2 + 1 = Cey ) 33
  • 28. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. Ejercicio 5. xy + y = x4 y 3 . (Rta.: y −2 = −x4 + cx2 ) Ejercicio 6. xy 2 y + y 3 = cos x . x (Rta.: x3 y 3 = 3x sen x + 3 cos x + C) Ejercicio 7. x2 y − y 3 + 2xy = 0. 2 (Rta.: y −2 = 5x + Cx4 ) as Ejercicio 8. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o atic dx 2 √ x 3 − x = y( 2 ) 2 atem dy y y tal que y(1) = 1 eM (Rta.: y 3 = x) o. d Ejercicio 9. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o ept (1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx ,D tal que y(0) = 1 uia (Rta.: xy 2 = ln |y|) tioq An 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER OR- de DEN ad Sea rsid (y )n + a1 (x, y)(y )n−1 + a2 (x, y)(y )n−2 + . . . + an−1 (x, y)y + an (x, y) = 0, ive donde ai (x, y) para i = 1 . . . n son funciones reales y continuas en una regi´n o Un R del plano XY . Casos: i) Se puede despejar y . 34
  • 29. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN ii) Se puede despejar y. iii) Se puede despejar x. dy Caso i). Si hacemos p = dx = y , entonces pn + a1 (x, y)pn−1 + a2 (x, y)pn−2 + . . . + an−1 (x, y)p + an (x, y) = 0. as En caso que sea posible que la ecuaci´n anterior se pueda factorizar en o atic factores lineales de p, se obtiene lo siguiente: atem (p − f1 (x, y))(p − f2 (x, y)) . . . (p − fn (x, y)) = 0, donde fi (x, y) para i = 1, . . . , n son funciones reales e integrables en una re- eM gi´n R del plano XY . o o. d Si cada factor tiene una soluci´n ϕi (x, y, c) = 0, para i = 1, . . . , n. o n entonces la soluci´n general es i=1 ϕi (x, y, c) = 0. o ept Ejemplo 14. (y − sen x)((y )2 + (2x − ln x)y − 2x ln x) = 0. ,D Soluci´n: o uia (p − sen x)(p2 + (2x − ln x)p − 2x ln x) = 0 tioq (p − sen x)(p + 2x)(p − ln x) = 0 An dy Para el factor p − sen x = 0 ⇒ dx − sen x = 0 ⇒ dy = sen x dx ⇒ y = − cos x + C de ad φ1 (x, y, C) = 0 = y + cos x − C rsid dy Para el factor p + 2x = 0 ⇒ dx = −2x ⇒ dy = −2x dx ive Un ⇒ y = −x2 + C ⇒ φ2 (x, y, C) = 0 = y + x2 − C dy Para el factor p − ln x = 0 ⇒ dx = ln x ⇒ dy = ln x dx y= ln x dx + C, e integrando por partes: 35
  • 30. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. 1 y= ln x dx + C = x ln x − x dx = x ln x − x + C x φ3 (x, y, C) = 0 = y − x ln x + x − C 3 La soluci´n general es: o i=1 φi (x, y, C) = 0 (y + cos x − C)(y + x2 − C)(y − x ln x + x − C) = 0 as Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios: e atic Ejercicio 1. p (p2 − 2xp − 3x2 ) = 0. atem (Rta.: (y − c)(2y − 3x2 + c)(2y + x2 + c) = 0) eM 2 dν dν Ejercicio 2. 6µ2 dµ − 13µν dµ − 5ν 2 = 0. 1 5 o. d (Rta.: (νµ 3 − c)(νµ− 2 − c) = 0) Ejercicio 3. (y )3 − y(y )2 − x2 y + x2 y = 0. 2 2 ept (Rta.: (x − ln |y| + c)(y + x − c)(y − x − c) = 0) ,D 2 2 uia dy Ejercicio 4. n2 p2 − x2n = 0, con n = 0 y dx =p=y. xn+1 xn+1 (Rta.: (y + n(n+1) − c)(y − n(n+1) − c) = 0) tioq An Ejercicio 5. Denotando por P cualquier punto sobre una curva C y T el punto de intersecci´n de la tangente con el eje Y . Hallar la ecuaci´n de C o o de si P T = k. √ √ 2 2 2 (Rta.:(y + c)2 = k 2 − x2 + k ln k −x −k , con |x| ≤ k, k > 0.) ad x rsid Caso ii). Son ecuaciones de la forma F (x, y, p) = 0 y de la cual puede despejarse y, es decir: y = f (x, p), donde x y p se consideran como variables ive independientes, la diferencial total es: Un ∂f ∂f dy = dx + dp ∂x ∂p luego dy ∂f ∂f dp =p= + dx ∂x ∂p dx 36
  • 31. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN o sea que ∂f ∂f dp dp 0= −p + = g(x, p, p ), donde p = ∂x ∂p dx dx y por tanto ∂f ∂f −p dx + dp = 0 ∂x ∂p as atic es una E.D. de primer orden en x y p. Generalmente (teniendo buena suerte) atem g(x, p, p ) = 0 se puede factorizar, quedando as´ g(x, p, p ) = h(x, p, p ) φ (x, p) = 0. ı: eM a) Con el factor h(x, p, p ) = 0 se obtiene una soluci´n h1 (x, p, c) = 0, o o. d se elimina p entre h1 (x, p, c) = 0 y F (x, y, p) = 0 y se obtiene la soluci´n o general. ept b) Con φ(x, p) = 0 se obtiene una soluci´n singular, al eliminar p entre o ,D φ(x, p) = 0 y F (x, y, p) = 0. uia 2 dy Ejemplo 15. y = f (x, p) = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 − x , donde p = 2 dx tioq dy ∂f ∂f dp Soluci´n: o dx =p= ∂x + ∂p dx An si x = 0 1 dp de p = (p+2x) ln x+(px+x2 ) +2(px+x2 )(p+2x)−x+[x ln x+2(px+x2 )x] x dx ad dp p = (p + 2x) ln x + p + x + 2x(p + x)(p + 2x) − x + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx rsid ive dp 0 = (p + 2x) ln x + 2x(p + x)(p + 2x) + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx Un dp 0 = (p + 2x)[ln x + 2x(p + x)] + x[ln x + 2x(p + x)] dx dp 0 = [ln x + 2x(p + x)] p + 2x + x dx 0 = h(x, p), Φ(x, p, p ) 37
  • 32. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. dp 1) Con el factor Φ(x, p, p ) = p + 2x + x dx = 0 dp x=0 dp p ⇒ x dx + p = −2x ⇒ dx + x = −2 (dividimos por x) 1 E.D.lineal en p, P (x) = x , Q(x) = −2 1 P (x) dx F.I. = e =e x dx = eln |x| = x p F.I. = F.I.Q(x) dx + C as atic 2 px = x(−2) dx + C = − 2x + C = −x2 + C 2 atem C p = −x + x (dividimos por x) eM luego sustituimos en la E.D. original: x2 o. d y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 − 2 ept x2 y = (−x2 + C + x2 ) ln x + (−x2 + C + x2 )2 − ,D 2 uia soluci´n general o x2 y = C ln x + C 2 − tioq 2 2) h(x, p) = ln x + 2x(p + x) = 0 An 0 = ln x + 2xp + 2x2 de ad 2xp = − ln x − 2x2 rsid 2 2 luego p = − ln x−2x ⇒ px = − ln x+2x ive 2x 2 Un sustituyo en la E.D. original: x2 y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 − 2 2 ln x + 2x2 ln x + 2x2 x2 y= − + x2 ln x + − + x2 − 2 2 2 38
  • 33. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN 2 − ln x − 2x2 + 2x2 − ln x − 2x2 + 2x2 x2 y= ln x + − 2 2 2 ln2 x ln2 x x2 y=− + − 2 4 2 luego la soluci´n singular es o ln2 x x2 as y=− − 4 2 atic dy Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios, donde p = e : atem dx Ejercicio 1. xp2 − 2yp + 3x = 0. eM (Rta.: 2cy = c2 x2 + 3, y 2 = 3x2 ) o. d Ejercicio 2. y = px ln x + p2 x2 . (Rta.: y = c ln x + c2 , y = − 4 ln2 x) 1 ept Ejercicio 3. y = 5xp + 5x2 + p2 . ,D (Rta.: y = cx − x2 + c2 , 4y + 5x2 = 0) uia Ejercicio 4. p2 x4 = y + px. tioq 1 (Rta.: y = c2 − cx−1 , y = − 4x2 ) An Ejercicio 5. 2y = 8xp + 4x2 + 3p2 . 2 (Rta.: 2y = 3(c − x)2 + 8(c − x)x + 4x2 , y = − 2x ) de 3 ad 1 Ejercicio 6. y = xp − 3 p3 . rsid 3 (Rta.: y = cx − 1 c3 , y = ± 2 x 2 ) 3 3 ive Caso iii). Si en la ecuaci´n F (x, y, p) = 0, se puede despejar x = g(y, p) o dy 1 con y y p como variables independientes; hacemos dx = p, o sea que dx = p Un dy y como ∂g ∂g dx = dy + dp ∂y ∂p luego dx 1 ∂g ∂g dp = = + dy p ∂y ∂p dy 39
  • 34. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. por tanto ∂g 1 ∂g dp − + = 0 = h(y, p, p ) ∂y p ∂p dy dp donde p = dy . dβ 3 dβ Ejemplo 16. cos2 β dα − 2α dα + 2 tan β = 0 dβ Soluci´n: con p = o dα , se tiene: as cos2 β p3 + 2 tan β atic α= 2p atem cos2 β p2 tan β α= + = g(β, p) 2 p eM 1 ∂g ∂g ∂p = + p ∂β ∂p ∂β o. d 1 sec2 β tan β dp ⇒ = − cos β sen β p2 + + p cos2 β − 2 p p p ept dβ ,D Teniendo en cuenta la identidad: sec2 θ = 1 + tan2 θ; uia 1 1 tan2 β tan β dp = − cos β sen β p2 + + + p cos2 β − 2 tioq p p p p dβ tan2 β tan β dp An 2 0 = − cos β sen β p + + p cos2 β − 2 p p dβ de tan2 β 1 2 tan β dp 0 = − sen β cos β p2 + + p cos2 β − ad p p p dβ rsid − sen β cos β p2 tan β 1 2 tan β dp 0 = tan β + + p cos2 β − tan β p p p dβ ive tan β 1 2 tan β dp Un 0 = − tan β cos2 β p2 − + p cos2 β − p p p dβ tan β 1 dp 0 = cos2 β p2 − − tan β + p p dβ dβ dp 0 = h(β, p) φ(β, p, p ), donde p = y p = dα dβ 40
  • 35. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN 1 dp 1 : φ(β, p, p ) = − tan β + =0 p dβ 1 dp dp ⇒ = tan β ⇒ = tan β dβ p dβ p ⇒ ln |p| = − ln | cos β| + ln |C| |c| c ln |p| = ln ⇒p= , donde cos β = 0 | cos β| cos β Sustituyendo en el la E.D. original: as atic cos2 β p3 − 2α p + 2 tan β = 0 atem c3 c cos2 β 3β − 2α + 2 tan β = 0 cos cos β eM c3 c − 2α + 2 tan β = 0 cos β cos β o. d c3 c3 2 sen β cos β + 2 tan β cos β + cos β ⇒α= = c 2 cos β 2 ept c cos β ,D La soluci´n general es : o uia c3 + 2 sen β c2 sen β = = + ; c=0 tioq 2c 2 c An tan β 2 : h(β, p) = 0 = cos2 β p2 − p de tan β tan β cos2 β p2 = ⇒ p3 = ad p cos2 β rsid 3 tan β 3 sen β p= = cos2 β cos3 β ive 1 Un 1 3 sen 3 β p= sen β ⇒ p = cos β cos β Y sustituyo en la E.D.O. original: 1 3 1 2 sen 3 β sen 3 β cos β − 2α + 2 tan β = 0 cos β cos β 41
  • 36. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. 1 2 sen β sen 3 β cos β − 2α + 2 tan β = 0 cos3 β cos β 1 sen 3 β tan β − 2α + 2 tan β = 0 cos β sen β 3 tan β 3 cos β 3 2 ⇒α= 1 = 1 = sen 3 β 2 sen 3β 2 sen 3β 2 cos β cos β as Siendo esta ultima la soluci´n singular. ´ o atic Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios: e atem Ejercicio 1. x = y + ln p C (Rta.: x = y + ln |1 + ey |) eM Ejercicio 2. 4p2 = 25x o. d (Rta.: (3y + c)2 = 25x3 ) ept Ejercicio 3. 2px = 2 tan y + p3 cos2 y ,D 2 (Rta.: x = sen y + c2 , 8x3 = 27 sen 2 y) c uia Ejercicio 4. 4px − 2y = p3 y 2 tioq 3 4 (Rta.: 4c x − 2y = cy ; 4x = 3y 3 ) y An Ecuaci´n de Clairaut: y = xy + f (y ) o Por el m´todo del caso ii) se muestra que su soluci´n general es de la forma: e o de y = cx + f (c) ad Y su soluci´n singular se consigue eliminando p entre las ecuaciones o x + f (p) = 0 y y = xp + f (p) rsid 3 Ejercicio 5. y = xy − (y3) ive 3 (Rta.: y = cx − 1 c3 , y = ± 2 x 2 ) Un 3 3 Ejercicio 6. y = xy + 1 − ln y (Rta.: y = cx + 1 − ln c, y = 2 + ln x) Ejercicio 7. xy − y = ey (Rta.: y = cx − ec , y = x ln x − x) 42
  • 37. 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES Ejercicio 8. (y − px)2 = 4p 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES Ejemplo 17. y dx + (1 + yex ) dy = 0 Soluci´n: o as Hagamos atic u−1 u = 1 + yex ⇒ y = , du = yex dx + ex dy = ex (y dx + dy), atem ex ⇒ du = (u − 1) dx + ex dy eM du − (u − 1) dx o. d ⇒ dy = ex Reemplazando en la ecuaci´n original: o ,D ept u−1 du − (u − 1) dx ex >0 dx + u = 0 ex ex uia tioq (u − 1 − u(u − 1)) dx + u du = 0 An (u − 1)(1 − u) dx + u du = 0 de ad −(u − 1)2 dx + u du = 0 rsid u dx = du ive (u − 1)2 Un u x= du + C (u − 1)2 Utilicemos fracciones parciales para resolver la integral u A B 2 = + (u − 1) u − 1 (u − 1)2 43
  • 38. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. u = A(u − 1) + B si u = 1 ⇒ B = 1 si u = 0 ⇒ 0 = −A + 1 ⇒ A = 1 1 1 x= + du u − 1 (u − 1)2 as dv atic x = ln |u − 1| + , haciendo v = u − 1 ⇒ dv = du v2 atem 1 entonces x = ln |u − 1| − +C v eM 1 x = ln |yex | − + C, es la soluci´n general o yex o. d ept Ejemplo 18. y + 2y(y )3 = 0. ,D Soluci´n: o dy d2 y uia Hagamos p = y = , ⇒p =y = dx dx2 tioq p + 2yp3 = 0 An dp + 2yp3 = 0 de dx dp dp dy dp dp Por la regla de la cadena sabemos que: = = p = p dy , entonces ad dx dy dx dy rsid dp p + 2yp3 = 0, con p = 0 dy ive dp Un + 2yp2 = 0 dy dp = −2yp2 ⇒ p−2 dp = −2y dy dy ⇒ −p−1 = −y 2 + C 44
  • 39. 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES 1 dy p−1 = y 2 + C1 ⇒ p = = y2 + C1 dx ⇒ dx = (y 2 + C1 ) dy y3 x= + C1 y + C2 3 as Hacer una sustituci´n adecuada para resolver los siguientes ejercicios: o atic dy Ejercicio 1. xe2y dx + e2y = ln x x atem (Rta.: x2 e2y = 2x ln x − 2x + c) dy 4 y eM Ejercicio 2. − y = 2x5 e x4 y dx x (Rta.: −e− x4 = x2 + c) o. d Ejercicio 3. 2yy + x2 + y 2 + x = 0 (Rta.: x2 + y 2 = x − 1 + ce−x ) ept ,D Ejercicio 4. y 2 y = y uia (Rta.: y + c12 ln |cy − 1| = x + c1 , y = k) c tioq dy Ejercicio 5. 2x csc 2y dx = 2x − ln(tan y) An (Rta.: ln(tan y) = x + cx−1 ) de Ejercicio 6. y + (tan x)y = 0 ad (Rta.: y = C1 sen x + C2 ) rsid Ejercicio 7. y + 1 = e−(x+y) sen x (Rta.: ey = −e−x cos x + ce−x ) ive Un dy Ejercicio 8. dx + xy 3 sec y12 = 0 (Rta.: x2 − sen y12 = c) Ejercicio 9. dy − y sen x dx = y ln(yecos x) dx (Rta.: ln(ln |yecos x |) = x + C) 45
  • 40. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE, PROF.JAIME ESCOBAR A. Ejercicio 10. yy + xy 2 − x = 0 2 (Rta.: y 2 = 1 + Ce−x ) y Ejercicio 11. xy = y + xe x y (Rta.: ln |Cx| = −e− x ) Ejercicio 12. x2 y − 2xy − (y )2 = 0 2 (Rta.: x + Cx + C 2 ln |C − x| = −y + C1 ) 2 as Ejercicio 13. yy − y 2 y − (y )2 = 0 atic 1 y (Rta.: C ln | y+C | = x + C1 ) atem dy y y Ejercicio 14. dx + e x + x y (Rta.: e− x = ln |Cx|) eM dy y y Ejercicio 15. dx = cos x + x o. d y y (Rta.: sec x + tan x = Cx) ept ,D 2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple uia Como con el paquete matem´tico Maple se pueden resolver Ecuaciones a tioq Diferenciales, expondremos a continuaci´n varios ejemplos, los cuales solu- o cionaremos utiliz´ndo dicho paquete. Las instrucciones en Maple terminan a An con punto y coma, despu´s de la cual se da “enter”para efectuar la operaci´n e o de que se busca. ad dy y Ejemplo 19. Hallar general de la E.D. dx = 3x rsid >int(1/y,y)=int(3/x,x)+C; ive ln(y) = 3 ln(x) + C >solve(ln(y) = 3*ln(x)+C,y); Un 2 exp(C) x dy 1 Ejemplo 20. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o dx = xy(1 + x2 )− 2 , con la condici´n inicial y(1) = 1 o 46
  • 41. 2.10. ANEXO CON EL PAQUETE MAPLE > restart; > diff_eq1 := D(y)(x)=x*y(x)^3*(1+x^2)^(-1/2); xy(x) diff_eq1 := D(y)(x) = 1 (1+x2 ) 2 > init_con := y(0)=1; init_con := y(0) = 1 as > dsolve( {diff_eq1, init_con} , {y(x)} ); atic atem 1 y(x) = √ −2 1 + x2 + 3 eM Ejemplo 21. Mostrar que la E.D. (2xy 2 + yex )dx + (2x2 y + ex − 1)dy = 0 es exacta y hallar la soluci´n general. o o. d > M:=2*x*y^2+y*exp(x); ept M:= 4xy + ex ,D > N:=2*x^2*y+exp(x)-1; uia N:=2x2 y + ex − 1 tioq > diff_E1:=2*x*(y^2)(x)+y(x)*exp(x)+(2*x^2*y(x)+exp(x)-1)*D(y)(x)=0; An diff_E1 := 2xy(x)2 + y(x)ex + (2x2 y(x) + ex − 1)D(y)(x) = 0 de > dsolve(diff_E1,y(x)); ad rsid 1 1 − ex − (ex )2 − 2ex + 1 − 4x2 C1 y(x) = , ive 2 x2 Un 1 1 − ex + (ex )2 − 2ex + 1 − 4x2 C1 y(x) = 2 x2 47