Desarrollos En Serie De Taylor

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Desarrollos En Serie De Taylor

  1. 1. Cap´ ıtulo 9 Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor En la representaci´n (e incluso en la construcci´n) de funciones, desempe˜an un papel especial- o o n mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teor´ de funciones de variable compleja m´s que a la teor´ de funcio- ıa a ıa nes de variable real, por lo que aqu´ damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes ı para nuestros prop´sitos. Como referencia utilizamos [Apostol1]. o 9.1. Series de potencias 9.1.1. Convergencia de las series de potencias Definici´n 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma o ∞ an (x − c)n . n=0 El n´mero real an se denomina coeficiente n-´simo de la serie de potencias (obs´rvese que el u e e t´rmino n-´simo es an (x − c) e e n ). Si los coeficientes a , a , a 0 1 m−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞ an (x − c)n . n=m En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´rminos”. Veremos que, a e la hora de operar con ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qu´ valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para e x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´ste sea el unico punto en el que la serie converge. Fuera e ´ de este caso extremo, la situaci´n es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. o Ejemplos. (1) La serie geom´trica e ∞ xn n=0 converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos). (2) La serie ∞ xn n n=1 converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. 161
  2. 2. 162 CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR (3) La serie ∞ 1 n x n2 n=1 converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. (4) La serie ∞ (−1)n x2n n n=1 converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. (5) La serie ∞ xn n! n=0 converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). (6) La serie ∞ n! xn n=0 converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para alg´n r ∈ (0, +∞) la sucesi´n (an rn ) est´ acotada, entonces para cada x ∈ R u o a ∞ tal que |x − c| < r la serie an (x − c)n es absolutamente convergente. n=0 Demostraci´n. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |an rn | ≤ M . Entonces o n n |x − c| |x − c| 0 ≤ |an (x − c)n | = |an |rn ≤M r r y como la serie geom´trica e ∞ n |x − c| r n=0 ∞ converge, se deduce que la serie |an (x − c)n | tambi´n converge. e n=0 ∞ Definici´n 9.1.3. Dada una serie de potencias o an (x − c)n , su radio de convergencia es el n=0 valor (finito o infinito) dado por ∞ R = sup{|x − c| : an (x − c)n converge}. n=0 Si R > 0, el intervalo (c − R, c + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias. ∞ Teorema 9.1.4. Dada una serie de potencias an (x−c)n con radio de convergencia R, se tiene: n=0 ∞ a) Si |x − c| < R, la serie an (x − c)n converge absolutamente. n=0
  3. 3. 9.1. SERIES DE POTENCIAS 163 b) Si |x − c| > R, la serie no converge y la sucesi´n (an (x − c)n ) no est´ acotada. o a Nota. Seg´n los ejemplos previos, cuando R es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en u los puntos c + R, c − R. Demostraci´n. a) De la definici´n de R se deduce que si |x − c| < R, debe existir un punto x1 tal o o ∞ ∞ n que |x − c| < |x1 − c| y an (x1 − c) converge. Aplicando el lema anterior, an (x − c)n debe n=0 n=0 converger absolutamente. b) Consecuencia directa de la definici´n de R. o ∞ Ejemplos. (1) La serie xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para n=1 x = −1 es oscilante. ∞ xn (2) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es n n=1 convergente (pero no absolutamente). ∞ xn (3) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para x = −1 es convergente n2 n=1 (absolutamente). Observaci´n. Existe una f´rmula que permite expresar el radio de convergencia de una serie o o ∞ de potencias an (x − c)n en funci´n de sus coeficientes. Se trata de la f´rmula de Cauchy- o o n=0 Hadamard: 1 R= n . l´ sup ım |an | Sin embargo, en los ejemplos que manejaremos en el curso, es m´s c´modo realizar directamente a o el estudio de la convergencia de las series para los distintos valores de x (generalmente con ayuda del criterio del cociente o del criterio de la ra´ ız). En la f´rmula de Cauchy-Hadamard, an es exactamente el coeficiente de (x − c)n , de modo o ∞ que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de convergencia de la serie x2n , hay n=0 que calcular (l´ sup n |an |)−1 donde an = 1 si n es par y an = 0 si n es impar (¿sabr´ hacerlo?); ım ıas por suerte, en este y en casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este c´lculo si recurrimos a a la definici´n de radio de convergencia y al estudio directo de la convergencia de las series. o Este ejemplo muestra tambi´n por qu´ hay que usar obligadamente l´ e e ımite superior en la f´rmula: o el l´ ımite no tiene por qu´ existir. e 9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias La suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una funci´n o ∞ f (x) = an (x − c)n . n=0 Se dice entonces que la serie representa a la funci´n f en el intervalo de convergencia y que es el o desarrollo en serie de potencias de la funci´n f en el punto c. o Se plantean entonces de manera natural dos problemas (ver [Apostol1, p´gs. 528–529]): a (1) dada la serie, hallar propiedades de la funci´n suma; o (2) dada una funci´n, averiguar si se puede representar por una serie de potencias (suele decirse o entonces que la funci´n es desarrollable en serie de potencias). o
  4. 4. 164 CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR ∞ Lema 9.1.5. Sea an (x − c)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces la n=0 ∞ serie n an (x − c)n−1 tiene tambi´n radio de convergencia R. e n=1 ∞ Demostraci´n. Se trata de probar que la serie o n an (x − c)n−1 converge (absolutamente) si n=1 |x − c| < R y que no converge si |x − c| > R. Sea |x − c| < R. Entonces podemos elegir alg´n y ∈ R u tal que |x − c| < |y − c| < R. n(x − c)n−1 |nan (x − c)n−1 | = |an (y − c)n | · . (y − c)n Como n−1 n(x − c)n−1 n x−c l´ ım n = l´ ım = 0, n (y − c) n |y − c| y − c esta sucesi´n est´ acotada, es decir, hay alguna constante M > 0 tal que para todo n o a n(x − c)n−1 ≤ M. (y − c)n Por lo tanto, para todo n |nan (x − c)n−1 | ≤ M |an (y − c)n |. ∞ ∞ n Seg´n el teorema 9.1.4, la serie u |an (y −c) | converge, as´ que la serie ı n an (x−c)n−1 converge n=1 n=1 absolutamente. Si, por el contrario, |x − c| > R, entonces la sucesi´n (an (x − c)n ) no est´ acotada, luego la o a sucesi´n (nan (x − c)n ) tampoco lo est´ y la serie o a ∞ n an (x − c)n−1 n=1 no converge. ∞ Teorema 9.1.6. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea n=0 ∞ f (x) = an (x − c)n , n=0 definida si |x − c| < R. Entonces la funci´n f es derivable y si |x − c| < R se tiene o ∞ f (x) = n an (x − c)n−1 . n=1 Demostraci´n. Supongamos, para simplificar la notaci´n, que c = 0. Es decir, o o ∞ f (x) = an xn , n=0
  5. 5. 9.1. SERIES DE POTENCIAS 165 definida si |x| < R, y se trata de probar que f es derivable y que ∞ f (x) = nan xn−1 , n=1 si |x| < R. Sea |x| < s < R y sea y ∈ (−s, s), y = x. Entonces, ∞ ∞ f (y) − f (x) y n − xn y n − xn = an = an . y−x y−x y−x n=0 n=1 ∞ Seg´n el lema 9.1.5, la serie u nan xn−1 converge. n=1 ∞ ∞ ∞ f (y) − f (x) y n − xn y n − xn − nan xn−1 = an − nxn−1 = an − nxn−1 . y−x y−x y−x n=1 n=1 n=2 Ahora bien, para cada n ≥ 2, y n − xn − nxn−1 = y n−1 + y n−2 x + y n−3 x2 + · · · + yxn−2 + xn−1 − nxn−1 y−x = (y − x) y n−2 + 2y n−3 x + 3y n−4 x2 + · · · + (n − 2)yxn−3 + (n − 1)xn−2 . Tomando valores absolutos y teniendo en cuenta que |x| < s, |y| < s, se deduce que y n − xn n(n − 1) n−2 − nxn−1 ≤ |y − x| (1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) sn−2 = |y − x| s . y−x 2 ∞ Seg´n el lema 9.1.5, aplicado dos veces, y el teorema 9.1.4, la serie u n(n − 1)an sn−2 converge n=2 ∞ absolutamente. Sea M = n(n − 1)|an |sn−2 . Hemos demostrado que n=2 ∞ ∞ f (y) − f (x) n(n − 1) n−2 M |y − x| − nan xn−1 ≤ |an | |y − x| s = . y−x 2 2 n=1 n=2 Por consiguiente, ∞ f (y) − f (x) l´ ım − nan xn−1 = 0, y→x y−x n=1 que es lo que ten´ ıamos que demostrar. La aplicaci´n reiterada de este resultado permite afirmar: o ∞ Corolario 9.1.7. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea n=0 ∞ f (x) = an (x − c)n n=0 si |x − c| < R. Entonces f tiene derivadas de todos los ´rdenes en (c − R, c + R), y se cumple o ∞ (k) f (x) = n(n − 1) · · · (n − k + 1) an (x − c)n−k . n=k
  6. 6. 166 CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR En consecuencia f (n) (c) ,an = n! de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f en el punto c. Demostraci´n. La primera parte se prueba por inducci´n sobre k. Para la segunda, tomando en o o particular x = c, se sigue que f (n) (c) = n! an . ∞ ∞ Corolario 9.1.8. Si dos series de potencias an (x−c)n y bn (x−c)n tienen la misma funci´n o n=0 n=0 suma f en un cierto entorno del punto c, entonces las dos series tienen los mismos coeficientes: en realidad, para todo n ≥ 0 se cumple f (n) (c) . an = bn = n! El teorema muestra que “la derivaci´n de una serie de potencias se hace derivando cada uno o de sus t´rminos, como si fuese un polinomio”; esto permite sumar f´cilmente determinadas series e a a partir de otras de sumas conocidas. ∞ ∞ 1 1 Ejemplo. Puesto que xn = , |x| < 1, para tales x se tiene n xn−1 = y, en 1−x (1 − x)2 n=0 n=1 ∞ n−k −k−1 general, n(n − 1) · · · (n − k + 1) x = k!(1 − x) . n=k Tambi´n es util comprobar que se puede “integrar t´rmino a t´rmino”. e ´ e e ∞ Teorema 9.1.9. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea n=0 ∞ f (x) = an (x − c)n , x ∈ (c − R, c + R). n=0 Entonces la serie ∞ an (x − c)n+1 n+1 n=0 tiene radio R, y si F es una primitiva de f en (c − R, c + R), para cada x ∈ (c − R, c + R) se verifica ∞ an F (x) = F (c) + (x − c)n+1 . n+1 n=0 Demostraci´n. Ya sabemos, por el lema 9.1.5, que las series o ∞ ∞ an (x − c)n+1 , an (x − c)n n+1 n=0 n=0 tienen el mismo radio de convergencia. Sea ∞ an g(x) = (x − c)n+1 , x ∈ (c − R, c + R). n+1 n=0 El teorema anterior prueba que g tiene derivada en (c − R, c + R) igual a f , es decir, que g es una primitiva de f en (c − R, c + R), por lo que F y g difieren en una constante. Como g(c) = 0, se sigue que F (x) − g(x) = F (c).
  7. 7. 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 167 Ejercicios. (1) Probar que si |x| < 1, se tiene ∞ (−1)n−1 n log(1 + x) = x . n n=1 (2) Probar que si |x| < 1, se tiene ∞ (−1)n−1 2n−1 arc tg x = x . 2n − 1 n=1 Hemos visto que en los extremos del intervalo de convergencia la serie puede no converger; si lo hace, es interesante disponer de alg´n resultado que, bajo ciertas condiciones, garantice que la u funci´n definida por la serie sea cuando menos continua, como el siguiente lema (su demostraci´n o o puede verse en [Ross, Teor. 26.6, p´gs. 147–148]). a ∞ Lema 9.1.10 (de Abel). Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio de convergencia R n=0 ∞ positivo y finito, y supongamos que la serie an Rn es convergente. Entonces n=0 ∞ ∞ an Rn = l´ ım an (x − c)n . x→(c+R)− n=0 n=0 Ejemplo. Demostrar mediante el lema de Abel que ∞ ∞ (−1)n−1 (−1)n π = log 2 ; = . n 2n + 1 4 n=1 n=0 9.2. Desarrollos en serie de Taylor La f´rmula de Taylor y el teorema de la secci´n anterior pueden inducir a pensar que si una o o funci´n f tiene derivadas de todos los ´rdenes, es representable como suma de su serie de Taylor o o ∞ f (n) (c) f (x) = (x − c)n n! n=0 (como una especie de “f´rmula de Taylor llevada al l´ o ımite”) en la parte del dominio de f donde tal serie converja. Sin embargo, la situaci´n real no es tan satisfactoria. Por ejemplo, la funci´n o o 2 e−1/x si x > 0; f (x) = 0 si x ≤ 0, tiene derivadas de todos los ´rdenes en cada punto de R, y en 0 es f (n) (0) = 0 para cada n ∈ N. o ∞ f (n) (0) n Por consiguiente, la f´rmula f (x) = o x solo se cumple para x = 0. n! n=0 Se puede demostrar que para que una funci´n f coincida con la suma de su serie de Taylor o es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tama˜o “desmesurado”. En aplicaciones n concretas es suficiente comprobar que las derivadas est´n acotadas por potencias sucesivas de una a constante, como vamos a ver ahora.
  8. 8. 168 CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR Proposici´n 9.2.1. Sea f una funci´n con derivadas de todos los ´rdenes en un intervalo (c − o o o R, c + R). Supongamos que existan n´meros reales no negativos A y B tales que u |f (n) (x)| ≤ B · An siempre que |x − c| < R . Entonces, para todo x ∈ (c − R, c + R) se verifica ∞ f (n) (c) f (x) = (x − c)n . n! n=1 Demostraci´n. Sea |x − c| < R. Si x = c, dado m ∈ N, aplicando la f´rmula de Taylor podremos o o escribir, para alg´n tm comprendido entre x y c u m f (n) (c) f (m+1) (tm ) Am+1 f (x) − (x − c)n = |x − c|m+1 ≤ B |x − c|m+1 . n! (m + 1)! (m + 1)! n=0 Entonces la diferencia anterior tiende a 0 cuando m → ∞. En consecuencia, la serie es convergente con suma f (x). Ejercicios. Obtener los desarrollos siguientes (ver [Apostol1, p´gs. 533–535]): a ∞ (−1)n a) sen x = x2n+1 , x ∈ R. (2n + 1)! n=0 ∞ (−1)n 2n b) cos x = x , x ∈ R. (2n)! n=0 ∞ 1 n c) ex = x , x ∈ R. n! n=0 Nota. Si reflexionamos un momento, tenemos ante nosotros una manera rigurosa de construir las funciones seno, coseno, exponencial. Las series que hemos escrito son series de potencias de radio +∞, que definen sendas funciones en R; otra cuesti´n es que resulte f´cil o complicado demostrar o a que estas funciones gozan de las propiedades que venimos utilizando en relaci´n con el seno, el o coseno y la exponencial. Dedicaremos a su estudio el ultimo cap´ ´ ıtulo, para que sirva a su vez de muestra de la enorme potencia de los conocimientos que hemos ido adquiriendo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces m´s conveniente usar otros recursos, a en vez de la f´rmula de Taylor. o Ejemplo (serie bin´mica). Veamos que para cada α ∈ R es o ∞ α n (1 + x)α = x , siempre que |x| < 1 . n n=0 Para α ∈ N ∪ {0}, la f´rmula anterior se reduce a la del binomio y es v´lida para todo x ∈ R. o a Suponemos, pues, α ∈ N ∪ {0}. / Entonces, el criterio del cociente nos da que el radio de convergencia de la serie es 1, luego podemos definir una funci´no ∞ α n f (x) = x , x ∈ (−1, 1), n n=0
  9. 9. 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 169 que, en principio, no tiene por qu´ coincidir con (1 + x)α en dicho intervalo. Pero como e ∞ α n−1 f (x) = n x , n n=1 de α α α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) n + (n + 1) =n + (n + 1) n n+1 n! (n + 1)! α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) =n + n! n! α(α − 1) · · · (α − n + 1) = [n + (α − n)] n! α =α , n se deduce que f (x)(1 + x) = α f (x), por lo que f (x)/(1 + x)α tiene derivada nula y por tanto se mantiene constante en todo el intervalo (−1, 1). Tomando x = 0 se sigue que el valor de tal constante es 1, es decir, que f (x) = (1 + x)α para todo x ∈ (−1, 1). De especial inter´s resulta el caso particular α = −1/2. Entonces, operando, e −1/2 − 1 · − 3 · − 5 · · · (− 1 − n + 1) 2 2 2 2 = n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n 2n (n!) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n , 2 · 4 · 6 · · · (2n) con lo cual ∞ 1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n √ = (−1)n x , −1 < x < 1. 1 + x n=0 2 · 4 · 6 · · · (2n) Del criterio de Leibniz y del lema de Abel se sigue que la f´rmula anterior tambi´n es v´lida para o e a x = 1. A veces se escribe abreviadamente 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n − 1)!!, 2 · 4 · 6 · · · (2n) = (2n)!!. Aplicaci´n. A partir del desarrollo de su derivada se obtiene o ∞ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) x2n+1 arc sen x = · , −1 < x < 1, 2 · 4 · 6 · · · (2n) 2n + 1 n=0 v´lido tambi´n para |x| = 1 por el lema de Abel. a e Ponemos final a este cap´ıtulo con una tabla de los desarrollos en serie de Taylor-Maclaurin de las funciones que m´s frecuentemente aparecen en los ejercicios. a
  10. 10. 170 CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR ´ FUNCION DESARROLLO EN SERIE CONVERGE ∞ 1 xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · −1 < x < 1 1−x n=0 ∞ α n α(α − 1) · · · (α − n + 1) n (1 + x)α x = 1 + αx + · · · + x + ··· −1 < x < 1 n n! n=0 ∞ (−1)n−1 n 1 1 1 log(1 + x) x = x − x2 + x3 − x4 + · · · −1 < x ≤ 1 n 2 3 4 n=1 ∞ 1 n 1 1 ex x = 1 + x + x2 + x4 + · · · −∞ < x < +∞ n! 2 3! n=0 ∞ (−1)n 1 3 1 1 sen x x2n+1 = x − x + x5 − x7 + · · · −∞ < x < +∞ (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0 ∞ (−1)n 2n 1 1 1 cos x x = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · −∞ < x < +∞ (2n)! 2! 4! 6! n=0 ∞ 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) x2n+1 1 3 5 arc sen x · = x + x3 + x + ··· −1 ≤ x ≤ 1 2 · 4 · 6 · . . . · (2n) 2n + 1 6 40 n=0 ∞ (−1)n 2n+1 1 1 1 arc tg x x = x − x3 + x5 − x7 + · · · −1 ≤ x ≤ 1 2n + 1 3 5 7 n=0
  11. 11. Bibliograf´ ıa [Apostol1] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona, 1989. Citado o e en la(s) p´gina(s) 161, 163, 168 a [Ross] Ross, K. A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ 1980. ın, Citado en la(s) p´gina(s) 167 a 171

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