CAP´
                          ITULO 6




                                                                               ...
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                  ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE

                                     T                           ...
6.1. INTRODUCCION

                                                                  ∞                            ∞
      ...
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                ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE


Demostraci´n 2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´...
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

                                                       ∞
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               ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE


Teorema 6.3 . Para a y k constantes se tiene:

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6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE



            7 (3) − 1        7 (−2) − 1            7 (1) − 1
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


Sea M = m´x{M1 , M2 } y sea α = m´x{0, γ}; por lo tanto, |f (t)| ≤ M eαt ...
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                        s
Ejemplo 6. £−1      s2 +4s+5
Soluci´n:
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


Teorema 6.6 (Segundo Teorema de Translaci´n) .      o
Si a > 0 y f (t) es...
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pero
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


Supongamos que se cumple para n = k
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              ⇒A= , B=−
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


   NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayor´ de ejemplos, los
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE



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Teorema 6.11 (Transformada de una funci´n peri´dica) .
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

      1 t
     =     sen 2τ (cos 2t cos 2τ + sen 2t sen 2τ ) dτ
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...
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
         f (t)

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peri´dica de per´
    o              ıodo 4a
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6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


 b). Mostrar que
                                          ∞             ...
CAP´
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6.4.        APLICACIONES DE LA TRANSFOR-
            MADA A E.D...
6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES

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6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES

                     t     1 t2    1 t3    1 t4   1      (−1)n tn+1...
CAP´
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      Ejercicio 12. ty − ty − y = 0,                  y(0) = 0, y...
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC

              t
  v. f (t) + 0 f (τ ) dτ = t
     (Rta: f (t) = −e−t + 1)
Ejercici...
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  1. 1. CAP´ ITULO 6 as atic TRANSFORMADA DE LAPLACE atem eM o. d 6.1. INTRODUCCION ,D ept Definici´n 6.1 Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la o o Transformada de Laplace de f (t) as´ ı: uia ∞ tioq £{f (t)}(s) = F (s) = e−st f (t)dt 0 An b = l´ ım e−st f (t)dt, b→∞ 0 de si el l´ ımite existe. ad rsid Teorema 6.1 . Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect o a ive para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante, Un entonces £{f (t)}(s) existe para s > c. Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto: o ∞ ∞ |£{f (t)}(s)| = e−st f (t)dt ≤ |e−st ||f (t)|dt 0 0 ∞ = e−st |f (t)|dt, sabiendo que e−st > 0 0 215
  2. 2. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE T ∞ −st = e |f (t)|dt + e−st |f (t)|dt 0 T I1 I2 T I1 = e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos 0 as ∞ ∞ ∞ I2 = e−st |f (t)| dt ≤ e−st M ect dt = M e(−s+c)t dt atic T T T ≤ M ect atem ∞ M = e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0 −(s − c) T eM M −(s−c)T M −(s−c)T = − (0 − e )= e s−c s−c o. d Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c. ept NOTA: cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que ,D f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1). uia f (t) tioq M ect , (c > 0) An f (t) de • ad (0, M ) • rsid ive t T Un Figura 6.1 Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto o ∞ def. £{αf (t) + βg(t)}(s) = e−st (αf (t) + βg(t)) dt 0 216
  3. 3. 6.1. INTRODUCCION ∞ ∞ = α e−st f (t) dt + β e−st g(t) dt 0 0 = α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s) Teorema 6.2 . 1 1). £{1}(s) = s , s > 0, as k £{k}(s) = , s > 0, k constante. atic s atem n! 2). £{tn }(s) = sn+1 , s > 0, n = 1, 2, . . . eM 1 3). £{eat }(s) = , para s > a o. d s−a ept k ,D 4). £{ sen kt}(s) = s2 +k2 , s>0 uia tioq s 5). £{cos kt}(s) = s2 +k2 , s>0 An de k 6). £{ senh kt}(s) = s2 −k2 , s > |k| ad rsid s 7). £{cosh kt}(s) = , s > |k| ive s2 −k2 Un n! 8). £{tn eat }(s) = (s−a)n+1 , s > a, n = 1, 2, . . . Demostraci´n 1). Si s > 0 se tiene que o ∞ ∞ −st e−st 1 £{1}(s) = e 1 dt = = 0 −s 0 s 217
  4. 4. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Demostraci´n 2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. o o e o Para ello, suponemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: n ım t l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . . t→∞ ∞ u=t ⇒ du = dt n = 1 : £{t}(s) = e−st t dt, hagamos 0 dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st −st s ∞ ∞ te−st 1 = − + e−st dt as s 0 s 0 atic ∞ 1 1 −st atem £{t}(s) = −(0 − 0) + e s −s 0 1 1 eM = − 2 (0 − 1) = 2 s s o. d Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto: ∞ ept u = tn ⇒ du = ntn−1 dt £{tn }(s) = e−st tn dt hagamos dv = e−st dt ⇒ v = − 1 e−st ,D 0 s ∞ tn e−st n ∞ uia = − + e−st tn−1 dt s 0 s 0 tioq £{tn−1 }(s) An n n = −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s) s s de (n−1)! Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) = o o sn , luego: ad n (n − 1)! n! rsid £{tn }(s) = n = n+1 s s s ive Demostraci´n 4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos: o e Un ∞ £{ sen kt}(s) = e−st ( sen kt) dt 0 ∞ ∞ 1 −st −st 1 = e sen kt =e sen kt D 0 D−s 0 ∞ ∞ −st D+s −st D+s = e sen kt =e sen kt D 2 − s2 0 −k 2 − s2 0 218
  5. 5. 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ∞ 1 = − 2 + k2 e−st (k cos kt + s sen kt) s 0 1 k = − 2 (0 − k) = 2 , s>0 s + k2 s + k2 En la demostraci´n anterior utilizamos el siguiente teorema de l´ o ımites: si l´ |f (t)| = 0 y g(t) es una funci´n acotada en R entonces l´ f (t)g(t) = 0 ım o ım t→∞ t→∞ as atic 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE atem LAPLACE Si £{f (t)}(s) = F (s), entonces decimos que f (t) es una transformada eM inversa de Laplace de F (s) y se denota as´ ı: o. d £−1 {F (s)} = f (t) NOTA: ept ,D La transformada inversa de Laplace de F (s), no necesariamente es uia unica. ´ Por ejemplo la funci´n o tioq  1, si t ≥ 0 y t = 1, t = 2 An  f (t) = 3, si t = 1  de  −3, si t = 2 ad y la funci´n g(t) = 1 (obs´rvese que f (t) = g(t)) tienen la misma o e rsid transformada, es decir, £{f (t)} = £{g(t)} = 1 . Sinembargo £−1 { 1 } = s s f (t) y £−1 { 1 } = g(t) son diferentes. ive s Pero cuando f (t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f (t)} = £{g(t)} Un entonces f (t) = g(t) (Ver el libro de Variable Compleja de Churchill) Para funciones continuas, £−1 es un operador lineal: £−1 {αF (s) + β G(s)} = α£−1 {F (s)} + β£−1 {G(s)} En los ejemplos de esta secci´n, utilizaremos los resultados del Ap´ndice o e C. para calcular fracciones parciales. 219
  6. 6. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 6.3 . Para a y k constantes se tiene: 1 k 1). £−1 = 1, y £−1 = k , si s > 0 s s n! 1 tn 2). £−1 = tn y £−1 = , si s > 0 sn+1 sn+1 n! 1 = eat , si s > a as 3). £−1 s−a atic k 1 sen kt 4). £−1 = sen kt, y £−1 = , si s > 0 atem s 2 + k2 s 2 + k2 k s 5). £−1 2 + k2 = cos kt , si s > 0 s eM k 1 senh kt 6). £−1 = senh kt y £−1 = , si s > |k| o. d s 2 − k2 s 2 − k2 k s 7). £−1 2 − k2 = cosh kt , si s > |k| ept s ,D n! 1 tn eat 8). £−1 = tn eat y £−1 = , si s > a (s − a)n+1 (s − a)n+1 n! uia tioq Ejemplo 1. Con factores lineales en el denominador An 7s − 1 A B C de £−1 = £−1 + + (s − 3)(s + 2)(s − 1) s−3 s+2 s−1 ad rsid 1 1 1 = A£−1 + B£−1 + C£−1 s−3 s+2 s−1 ive = Ae3t + Be−2t + Cet Un Pero por fracciones parciales 7s − 1 A B C = + + (s − 3)(s + 2)(s − 1) s−3 s+2 s−1 Para hallar el coeficiente A, eliminamos de la fracci´n el factor correspon- o diente a A y en la parte restante sustituimos a s por la ra´ asociada a este ız factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C. 220
  7. 7. 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7 (3) − 1 7 (−2) − 1 7 (1) − 1 A= =2, B= = −1 , C = = −1, (5) (2) (−5) (−3) (−2) (3) 7s − 1 £−1 = 2e3t − e−2t − et (s − 3)(s + 2)(s − 1) Ejemplo 2. Con factores lineales repetidos as atic s+1 A B C D E £−1 = £−1 + + + + atem s2 (s + 2)3 s 2 s (s + 2) 3 (s + 2) 2 s+2 1 1 1 = A£−1 + B£−1 + C£−1 + eM s2 s (s + 2)3 1 1 +D£−1 + E£−1 o. d (s + 2) 2 s+2 2 −2t −2t t e te = A t + B (1) + C 2! +D ept1! + E e−2t ,D s+1 A B C D E = 2+ + + + s2 (s + 2)3 s s (s + 2) 3 (s + 2) 2 s+2 uia tioq y por los m´todos de las fracciones parciales hallamos e An 1 1 1 1 A = 8 , B = − 16 , C = − 4 , D = 0, E = 16 , luego de s+1 1 1 1 t2 e−2t 1 −2t £−1 = t− − + e s2 (s + 2)3 8 16 4 2! 16 ad rsid Ejemplo 3. Factores cuadr´ticos, lo factorizamos en factores lineales en los a complejos ive Un s2 + 2 s2 + 2 £−1 = £−1 s(s2 + 2s + 2) s(s − (−1 + i))(s − (−1 − i)) A B C = £−1 + + s s − (−1 + i) s − (−1 − i) 1 1 = A£−1 + B£−1 + s s − (−1 + i) 221
  8. 8. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 +C£−1 s − (−1 − i) = A (1) + B e(−1+i)t + Ce(−1−i)t = A + Be−t (cos t + i sen t) + C e−t (cos t − i sen t) = A + e−t [(B + C) cos t + i(B − C) sen t] as Hallamos los coeficientes de la misma manera que en ejemplo 1. atic 02 + 2 2 atem A = = =1 [0 − (−1 + i)][0 − (−1 − i)] 1+1 (−1 + i)2 + 2 1 eM B = =− =i (−1 + i)[−1 + i − (−1 − i)] i 2 (−1 − i) + 2 1 o. d C = = = −i (−1 − i)[−1 − i − (−1 + i)] i £−1 s2 + 2 ept = 1 + e−t (0 cos t + i(2i) sen t) s(s2 + 2s + 2) ,D = 1 − 2e−t sen t uia tioq 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFOR- An MADA DE LAPLACE de Los teoremas que veremos en esta secci´n nos permitir´n en muchos casos o a calcular la transformada inversa sin utilizar fracciones parciales. ad rsid Teorema 6.4 . Si f es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial o ive para t ≥ T , entonces Un l´ £ {f (t)} (s) = l´ F (s) = 0 ım ım s→∞ s→∞ Demostraci´n: como la funci´n f es continua a tramos en [0, T ], en- o o tonces es acotada en este intervalo y por tanto ∃M1 > 0 tal que |f (t)| ≤ M1 e0t , ∀t ∈ [0, T ] y como f (t) es de orden exponencial para t ≥ T , en- tonces |f (t)| ≤ M2 eγt donde M2 y γ son constantes con M2 ≥ 0. 222
  9. 9. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea M = m´x{M1 , M2 } y sea α = m´x{0, γ}; por lo tanto, |f (t)| ≤ M eαt , a a ∀t ≥ 0. ∞ ∞ ∞ |F (s)| = e−st f (t) dt ≤ e−st |f (t)| dt ≤ e−st M eαt dt 0 0 0 ∞ ∞ 1 = M e−(s−α)t dt = e−(s−α) −(s − α) as 0 0 M M atic s>α = − (0 − 1) = s−α s−α atem M ⇒ l´ |F (s)| ≤ l´ ım ım =0 s→∞ s→∞ s − α ⇒ l´ F (s) = 0 ım eM s→∞ Teorema 6.5 (Primer Teorema de Translaci´n) . o o. d Si a es un n´mero real cualquiera, entonces u £ eat f (t) (s) = £ {f (t)} (s − a) ept ,D = F (s − a) uia tioq Demostraci´n: o An ∞ ∞ £{eat f (t)}(s) = e−st eat f (t) dt = e−(s−a)t f (t) dt de 0 0 = £{f (t)}(s − a) = F (s − a) ad NOTA: £−1 {F (s − a)} = eat f (t) rsid ive Ejemplo 4. £{e2t sen t}(s) 1 Soluci´n: £{e2t sen t}(s) = £{ sen t}(s − 2) = o Un (s−2)2 +1 ya que £{ sen t}(s) = s21 +1 1 Ejemplo 5. £−1 s2 −2s+3 Soluci´n: o 1 1 1 √ £−1 = £−1 = √ et sen 2t s2 − 2s + 3 (s − 1)2 + 2 2 223
  10. 10. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE s Ejemplo 6. £−1 s2 +4s+5 Soluci´n: o s (s + 2) − 2 £−1 = £−1 s2 + 4s + 5 (s + 2)2 + 1 s+2 1 as = £−1 − 2 £−1 (s + 2)2 + 1 (s + 2)2 + 1 atic = e−2t cos t − 2e−2t sen t atem Definici´n 6.2 (Funci´n Escal´n Unitario) .(Ver figura 6.2) o o o eM 0, si 0 ≤ t < a, U(t − a) = 1, si t ≥ a o. d U(t − a) ept 1 ,D t uia a tioq −1 Figura 6.2 An Ejemplo 7. Al aplicar U(t − π) a la funci´n sen t trunca la funci´n sen t o o de entre 0 y π quedando la funci´n g(t) = U(t − π) sen t como lo muestra la o ad gr´fica 6.3 a g(t) rsid 1 ive Un t π −1 Figura 6.3 224
  11. 11. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 6.6 (Segundo Teorema de Translaci´n) . o Si a > 0 y f (t) es continua para t ≥ 0 y de orden exponencial entonces £{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−as F (s) = e−as £{f (t)}(s) Demostraci´n: o as ∞ atic £{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−st U(t − a)f (t − a) dt 0 atem a ∞ −st = e U(t − a)f (t − a) dt + e−st U(t − a)f (t − a) dt 0 a a eM ∞ = e−st 0f (t − a) dt + e−st 1f (t − a) dt 0 a o. d ∞ = e−st f (t − a) dt a ept Hagamos u = t − a ⇒ du = dt, por lo tanto, ,D uia ∞ £{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−s(u+a) f (u) du tioq 0 ∞ = e−sa e−su f (u) du An 0 = e−as £{f (t)}(s) de NOTA: forma rec´ ıproca ad rsid £−1 {e−as F (s)} = U(t − a)f (t − a) ive Ejemplo 8. Hallar £{U(t − a)} Un 1 e−as £{U(t − a)} = £{U(t − a) 1} = e−as = s s Ejemplo 9. Hallar £{U(t − π ) sen t} 2 Soluci´n: o π π π π £ U t− sen t = £ U t − sen t − + 2 2 2 2 225
  12. 12. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE pero π π π π π π sen t − + = sen t − cos + sen cos t − 2 2 2 2 2 2 π = cos t − 2 π π −π s £ U t− cos t − = e 2 £{cos t} 2 2 s as π = e− 2 s 2 atic s +1 e−s atem Ejemplo 10. Hallar £−1 s(s+1) Soluci´n: o eM e−s 1 £−1 = £−1 e−s s(s + 1) s(s + 1) o. d como 1 A B ept = + ⇒ A = 1, B = −1 ,D s(s + 1) s s+1 uia 1 1 = £−1 e−s − £−1 e−s s s+1 tioq = U(t − 1) − U(t − 1) e−(t−1) An Teorema 6.7 (Derivada de una Transformada) . dn de £{tn f (t)}(s) = (−1)n dsn F (s), con n = 1, 2, . . ., donde F (s) = £{f (t)}(s) ad rsid Demostraci´n: por inducci´n sobre n. o o ive ∞ −st n=1 F (s) = 0 e f (t) dt Un ∞ ∞ dF (s) d ∂ −st = e−st f (t) dt = (e f (t)) dt ds ds 0 0 ∂s ∞ ∞ = −t e−st f (t) dt = − e−st (t f (t)) dt 0 0 def.£ = −£{t f (t)}(s) d ⇒ £{t f (t)}(s) = − F (s) ds 226
  13. 13. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Supongamos que se cumple para n = k dk £{tk f (t)}(s) = (−1)k F (s) dsk Veamos que se cumple para n = k + 1 n=1 d £{tk+1 f (t)}(s) = £{t tk f (t)}(s) = − £{tk f (t)}(s) ds as n=k d dk = − [(−1)k k F (s)] atic ds ds k+1 d = (−1)k+1 k+1 F (s) atem ds NOTA: para el caso n = 1, obtenemos una f´rmula que nos permite o eM hallar la transformada inversa de transformadas que no tenemos en la tabla de transformadas. o. d d £{t f (t)}(s) = − F (s) ds ept o sea que ,D t f (t) = −£−1 {F (s)} uia 1 f (t) = − £−1 {F (s)} tioq t s−3 Ejemplo 11. Hallar £−1 ln = f (t) An s+1 Soluci´n: o de 1 d 1 d s−3 ad f (t) = − £−1 F (s) = − £−1 ln t ds t ds s+1 rsid 1 s + 1 (s + 1)1 − (s − 3)1 = − £−1 ive t s−3 (s + 1)2 1 s+1 4 1 4 Un = − £−1 = − £−1 t s − 3 (s + 1)2 t (s − 3)(s + 1) 4 1 = − £−1 t (s − 3)(s + 1) utilizando fracciones parciales 1 A B = + (s − 3)(s + 1) s−3 s+1 227
  14. 14. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 1 ⇒A= , B=− 4 4 4 −1 1 1 f (t) = − £ − t 4(s − 3) 4(s + 1) 1 e−t − e3t = − (e3t − e−t ) = t t Teorema 6.8 (Transformada de la Derivada) . as Si f (t), f (t), f (t), . . . , f (n−1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden expo- atic nencial y si f n (t) es continua a tramos para t ≥ 0, entonces: atem £{f (n) (t)}(s) = sn F (s)−sn−1 f (0)−sn−2 f (0)−. . .−sf (n−2) (0)−f (n−1) (0) eM Demostraci´n: por inducci´n sobre n: o o o. d para n = 1 £{f (t)}(s) = ∞ e−st f (t) dt, ept ,D 0 uia e integrando por partes tioq ∞ −st ∞ =e f (t) 0 +s e−st f (t) dt An 0 = −f (0) + s£{f (t)}(s) de = s F (s) − f (0) ad supongamos que se cumple para n = k : rsid £{f (k) (t)}(s) = sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − . . . − sf (k−2) (0) − f (k−1) (0) ive Un Veamos que se cumple para n = k + 1: £{f (k+1) (t)}(s) = £{[f (k) (t)] }(s) n=1 = s£{f (k) (t)}(s) − f (k) (0) n=k = s(sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − . . . − sf (k−2) (0) − f (k−1) (0)) − f (k) (0) = sk+1 F (s) − sk f (0) − sk−1 f (0) − . . . − s2 f (k−2) (0) − sf (k−1) (0) − f (k) (0) 228
  15. 15. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayor´ de ejemplos, los ıa casos n = 1 y n = 2. Para n = 1 £{y (t)}(s) = s Y (s) − y(0) donde Y (s) = £{y(t)}(s) n = 2 £{y (t)}(s) = s2 Y (s) − s y(0) − y (0) as Definici´n 6.3 (Producto Convolutivo) . Sean f y g funciones conti- o atic nuas a tramos para t ≥ 0; el producto convolutivo entre las funciones f y g se define as´ ı: atem t (f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ 0 eM NOTA: haciendo el cambio de variable u = t−τ en la definici´n de producto o convolutivo se demuestra que: f ∗ g = g ∗ f (o sea que la operaci´n ∗ es o o. d conmutativa) Teorema 6.9 (Transformada del producto convolutivo) . ept Si f y g son funciones continuas a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, ,D entonces uia £{(f ∗ g)(t)}(s) = £{f (t)}(s) £{g(t)}(s) = F (s) G(s) tioq Demostraci´n: o An ∞ ∞ def. def. F (s) = e−sτ f (τ ) dτ G(s) = e−sβ g(β) dβ de 0 0 ∞ ∞ ad −sτ −sβ F (s) G(s) = e f (τ ) dτ e g(β) dβ rsid 0 0 ∞ ∞ = e−(τ +β)s f (τ ) g(β) dβ dτ ive 0 0 ∞ ∞ Un = f (τ ) e−(τ +β)s g(β) dβ dτ (6.1) 0 0 Sea t = τ + β dejando constante a τ , luego dt = dβ. Ahora, cuando β = 0 ⇒ t = τ y cuando β → ∞ entonces t → ∞ Luego en 6.1 ∞ ∞ F (s) G(s) = f (τ ) e−ts g(t − τ ) dt dτ 0 τ 229
  16. 16. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE τ =t τ 4 3 as 2 atic 1 atem 0 t t eM Figura 6.4 o. d Y como f y g son continuas a tramos, podemos cambiar el orden de inte- ept ,D graci´n (ver figura 6.4); o uia ∞ t F (s) G(s) = f (τ ) e−ts g(t − τ ) dτ dt tioq 0 0   An ∞  t  ∞ −ts   F (s) G(s) = e  f (τ ) g(t − τ ) dτ  dt = e−ts (f ∗ g)(t) dt de   0  0  0 ad (f ∗ g)(t) rsid def. = £{(f ∗ g)(t)} (s) ive NOTA: forma rec´ ıproca del teorema (f ∗ g)(t) = £−1 {F (s) G(s)} Un Corolario 6.1 (Transformada de la integral) . Si f es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, o entonces: t 1 1 £ f (t) dt (s) = F (s) = £{f (t)}(s) 0 s s Demostraci´n: tomando g(t) = 1 en el teorema de convoluci´n, tenemos o o 230
  17. 17. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 £{g(t)}(s) = £{1}(s) = s t t £{(f ∗ g)} = £ f (τ ) g(t − τ ) dτ =£ f (τ ) 1 dτ 0 0 = £{f (τ )}(s) £{g(τ )}(s) = F (s)£{1}(s) t as 1 £ f (τ ) dτ = F (s) atic 0 s atem Teorema 6.10 (Generalizaci´n de la transformada de una potencia) o . £{tx } = Γ(x+1) , para s > 0 y x > −1 eM sx+1 Demostraci´n: la funci´n gamma como la definimos en el cap´ o o ıtulo anterior o. d es, ∞ Γ(x) = e−τ τ x−1 dτ ept 0 ,D hagamos τ = st, por tanto dτ = s dt y cuando τ = 0 entonces t = 0 y con uia τ → ∞ entonces t → ∞, por lo tanto tioq ∞ ∞ e−st (st)x−1 s dt = s e−st sx−1 tx−1 dt An Γ(x) = 0 0 ∞ de x =s e−st tx−1 = sx £{tx−1 } 0 ad por lo tanto rsid Γ(x) £{tx−1 } = con x > 0 y s > 0 ive sx luego (cambiando x por x + 1) Un Γ(x + 1) £{tx } = con x + 1 > 0 (o sea x > −1) y s > 0 sx+1 Definici´n 6.4 Una funci´n f (t) se dice que es peri´dica con per´ o o o ıodo T (T > 0) si para todo t se cumple f (t + T ) = f (t). El siguiente teorema se deja como ejercicio. 231
  18. 18. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 6.11 (Transformada de una funci´n peri´dica) . o o Sea f (t) una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial. o Si f (t) es peri´dica con per´ o ıodo T , entonces: T 1 £{f (t)}(s) = e−st f (t) dt 1 − e−sT 0 as t Ejemplo 12. Hallar £ e−τ cos τ dτ (s) atic 0 Soluci´n: o atem t 1 £ e−τ cos τ dτ (s) = £{e−τ cos τ }(s) 0 s eM Pero o. d £{e−τ cos τ }(s) = £{cos τ }(s + 1) s+1 ept = (s + 1)2 + 12 ,D t 1 s+1 £ e−τ cos τ dτ (s) = uia 0 s (s + 1)2 + 1 tioq Ejemplo 13. Hallar £{e−t ∗ et cos t}(s) Soluci´n: o An def ∗ £{e−t ∗ et cos t}(s) = £{e−t }(s) £{et cos t}(s) de 1 s−1 = ad s + 1 (s − 1)2 + 1 rsid Observese que el ejemplo siguiente lo resolvemos con los resultados de los teo- ive remas de la transformada y no necesitamos utilizar los dispendiosos m´todos e Un de las fracciones parciales. s Ejemplo 14. Hallar £−1 (s2 +4)2 (t) Soluci´n: o s 1 2 s £−1 (t) = £−1 (s2 + 4)2 2 s 2 + 4 s2 + 4 t 1 1 def. * 1 = (f ∗ g)(t) = ( sen 2t ∗ cos 2t) = sen 2τ cos 2(t − τ ) dτ 2 2 2 0 232
  19. 19. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 t = sen 2τ (cos 2t cos 2τ + sen 2t sen 2τ ) dτ 2 0 t t 1 1 = cos 2t sen 2τ cos 2τ dτ + sen 2t sen 2 2τ dτ 2 0 2 0 1 1 1 = cos 2t sen 2 2t + t sen 2t − sen 2t sen 4t 8 4 16 Utilizando los teoremas vistos sobre transformada, efectuar los siguientes as ejercicios. atic ∞ −5t t te3t sen 2t dt] dt atem Ejercicio 1. Hallar 0 e [ 0 1 (Rta.: 40 ) eM Ejercicio 2. Mostrar que o. d s3 + 3s2 + 1 3 −t 1 1 £−1 = e cos t + 2e−t sen t − + t s2 (s2 + 2s + 2) 2 2 2 ept ,D s Ejercicio 3. Mostrar que £−1 = e−2t cos t − 2e−2t sen t uia s2 +4s+5 tioq π s sen 2t Ejercicio 4. Mostrar que £−1 2 − tan−1 2 = t An 1 sen t Ejercicio 5. Mostrar que £−1 tan−1 s = t de 3 e−2t sen 3t Ejercicio 6. Mostrar que £−1 tan−1 s+2 = t ad Ejercicio 7. Mostrar que £−1 s = 1 (t sen t − t2 cos t) rsid (s2 +1)3 8 s π Ejercicio 8. Hallar £−1 e− 2 s ive s2 +1 (Rta.: −U(t − π ) sen t)) 2 Un 1 Ejercicio 9. Hallar £−1 (s+2)2 +4 e−πs 1 (Rta.: 2 e−2(t−π) sen 2(t − π)U(t − π)) t Ejercicio 10. Hallar £ t 0 sen τ dτ (s) 3s2 +1 (Rta.: s2 (s2 +1)2 ) 233
  20. 20. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE t Ejercicio 11. Hallar £ e−2t 0 τ e2τ sen τ dτ (s) 2s (Rta.: (s+2)(s2 +1)2 ) 1 Ejercicio 12. Hallar £−1 (s2 +1)(s2 +4) s+1 Ejercicio 13. Hallar £−1 (s2 +2s+2)2 as 5 1 15 π Ejercicio 14. Mostrar que £{t 2 } = 5 s 2 atic 8s 2 5 Ejercicio 15. Hallar £{t 2 e2t } atem Ejercicio 16. Emplear la transformada de Laplace y su inversa para eM mostrar que m!n! tm ∗ t n = tm+n+1 o. d (m + n + 1)! Ejercicio 17. Sea f (t) = a t de per´ ıodo b (funci´n “serrucho”, ver figura o 6.5). Hallar £{f (t)}(s) b ept ,D f (t) uia a tioq t An b 2b 3b 4b 5b 6b 7b de Figura 6.5 ad rsid 1 1 (Rta.: a ( bs − s ebs−1 ) ive Ejercicio 18. Sea Un sen t, si 0 ≤ t ≤ π f (t) = 0, si π ≤ t ≤ 2π peri´dica de per´ o ıodo 2π (funci´n rectificaci´n de la mitad de la onda seno. o o Ver figura 6.6 ). Hallar £{f (t)}(s) 234
  21. 21. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE f (t) 1 t π 2π 3π −1 Figura 6.6 as atic 1 (Rta.: (s2 +1)(1−e−πs ) ) atem Ejercicio 19. Sea eM 1, si 0 ≤ t < a f (t) = o. d −1, si a ≤ t < 2a peri´dica de per´ o ept ıodo 2a (funci´n onda cuadrada. Ver figura 6.7). Hallar o £{f (t)}(s) ,D uia f (t) tioq 1 An t a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a de −1 ad Figura 6.7 rsid ive (Rta.: 1 [ 1+e−as − 1] = 1 [ 1+e−as ] = 1 tanh as ) 2 1−e −as Un s s s 2 Ejercicio 20. Sea  b, si 0 ≤ t < a   0, si a ≤ t < 2a f (t) = −b, si 2a ≤ t < 3a    0, si 3a ≤ t < 4a 235
  22. 22. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE peri´dica de per´ o ıodo 4a b 1−e−as (Rta.: s [ 1+e−2as ]) Ejercicio 21. Sea f (t) la funci´n de onda tri´ngular (ver figura 6.8). o a Mostrar que £{f (t)}(s) = s12 tanh 2 s f (t) as 1 atic t atem −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 eM Figura 6.8 o. d Ejercicio 22. Sea f (t) la funci´n rectificaci´n completa de la onda de o o sen t (ver figura 6.9). Mostrar que £{f (t)}(s) = s21 coth πs +1 2 ept ,D f (t) uia 1 tioq t π 2π 3π 4π An −1 de Figura 6.9 ad rsid Ejercicio 23. ive a). Si f (t) es continua a tramos y de orden exponencial y si Un f (t) l´ + ım t→0 t existe, entonces ∞ f (t) £{}(s) = F (s) ds t s donde F (s) = £{f (t)}(s) 236
  23. 23. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE b). Mostrar que ∞ ∞ f (t) dt = F (s) ds 0 t 0 c). Hallar ∞ −ax sen bx 1. e ( x ) as 0 dx b (Rta.: tg −1 a ) atic atem ∞ e−ax −e−bx 2. 0 x dx b (Rta.:ln a ) eM t 3. Mostrar que £{ e −e } = ln(s + 1) − ln(s − 1), con s > 1 −t t o. d t 1−cos aτ 1 2 +a2 4. Mostrar que £{ dτ } = ln s 0 τ 2s ept s2 ,D 5. Mostrar formalmente, que si x > 0 entonces ∞ ∞ a) f (x) = 0 sen xt dt = π ; b) f (x) = 0 cos xt dt = π e−x uia t 2 1+t2 2 tioq 6. Hallar £{ sen kt } t (Rta.: tan−1 k ) An s de Ejercicio 24. Mostrar que ad a). £−1 { e s2 } = (t − 3)U(t − 3) −3s rsid e −πs b). £−1 { s2 +1 } = sen (t − π)U(t − π) = − sen tU(t − 3) ive c). £−1 { 1−e+1 } = (1 − U(t − 2π)) sen t −2πs Un s2 d). £−1 { s(1+e 2 ) } = (1 − U(t − 3)) cos πt −3s s2 +π e). Hallar £−1 { s−se 2 } −πs 1+s (Rta.: cos t − U(t − π) cos(t − π)) 237
  24. 24. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFOR- MADA A E.D. CON CONDICIONES INICIALES Pasos: Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuaci´n o as atic Aplicar el teorema de la transformada de la derivada £{y } = sY (s) − y(0) atem £{y } = s2 Y (s) − sy(0) − y (0) donde Y (s) = £{y(t)}(s) eM Conseguir una funci´n en s, es decir, despejar Y (s) o o. d Hallar la transformada inversa: y(t) = £−1 {Y (s)} ept ,D Ejemplo 15. Hallar la soluci´n de y −4y +4y = t3 e2t , o y(0) = y (0) = 0 Soluci´n: o uia 1 : £{y } − 4£{y } + 4£{y} = £{t3 e2t } tioq 3! 2 : s2 Y (s) − sy(0) − y (0) − 4(sY (s) − y(0)) + 4Y (s) = An (s − 2)4 3! 3 : s2 Y (s) − 4sY (s) + 4Y (s) = de (s − 2)4 ad 3! (s−2)4 3! 3! 4 : Y (s) = = = rsid s2 − 4s + 4 (s − 2)4 (s − 2)2 (s − 2)6 3! ive y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1 (s − 2)6 Un 1 3! (4 × 5) 1 5! t5 2t = £−1 = £−1 = e 4×5 (s − 2)6 4×5 (s − 2)6 20 t Ejemplo 16. Hallar la soluci´n de y (t) = 1− sen t− o 0 y(t) dt, y(0) = 0 Soluci´n: o t 1 : £{y (t)}(s) = £{1}(s) − £{ sen t}(s) − £ y(t) dt (s) 0 238
  25. 25. 6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES 1 1 1 s Y (s) − y(0) = − 2 2 − Y (s) s s +1 s 1 1 1 2 : Y (s) s + = − 2 s s s +1 s2 + 1 1 1 Y (s) = − 2 s s s +1 s 1 1 1 s 3 : Y (s) = 2 − 2 = 2 − 2 as s +1 s s +1 s + 1 (s + 1)2 atic 1 s 4 : y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1 2+1 − £−1 2 + 1)2 s (s atem 1 s y(t) = sen t − £−1 2 + 1 s2 + 1 = sen t − sen t ∗ cos t s eM t o. d = sen t − sen τ cos(t − τ ) dτ 0 t ept = sen t − sen τ (cos t cos τ + sen τ sen t) dτ ,D 0 t t uia = sen t − cos t sen τ cos τ dτ − sen t sen 2 τ dτ 0 0 tioq 1 1 1 = cos t sen 2 t − t sen t + sen t sen 2t 2 2 4 An Ejemplo 17. Hallar la soluci´n de ty − y = t2 , o y(0) = 0 de Soluci´n: o ad £{ty }(s) − £{y }(s) = £{t2 } rsid d 2! (−1) £{y }(s) − (s Y (s) − y(0)) = 3 ive ds s d 2 2! − (s Y (s) − s y(0) − y (0)) − s Y (s) = 3 Un ds s d 2! − (s2 Y (s)) − sY (s) = 3 ds s 2 −(s2 Y (s) + 2sY (s)) − s Y (s) = s3 2 −s2 Y (s) − 3sY (s) = 3 s 239
  26. 26. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 2 Y (s) + Y (s) = − 5 , E.D. lineal de primer orden s s 3 3 ln s F.I e s ds = e = s3 2 s−1 Y (s) s3 = − 5 s3 ds + C = −2 +C s −1 2 C Y (s) = 4 + 3 s s as 2 1 y(t) = £−1 + C£−1 atic s 4 s3 t3 t2 atem = 2 +C 3! 2! Ejemplo 18. Hallar la soluci´n de ty + y = 0, o y(0) = 0 eM Soluci´n: o d o. d £{ty }(s) + Y (s) = (−1) (£{y }(s)) + Y (s) ds d 2 ept =− (s Y (s) − sy(0) − y (0)) + Y (s) ds ,D d = − (s2 Y (s)) + Y (s) = −(s2 Y (s) + 2sY (s)) + Y (s) uia ds = −s2 Y (s) − 2sY (s) + Y (s) = s2 Y (s) + Y (s)(2s − 1) tioq 2s − 1 2 1 = Y (s) + 2 Y (s) = Y (s) + − 2 Y (s) s s s An F.I. = e ( s − s2 ) ds = e2 ln s− −1 , 2 1 s −1 de E.D. lineal del primer orden ad rsid 1 F.I. = s2 e s ive 1 Y (s) s2 e s = F.I. (0) + C Un 1 C −1 e− s Y (s) = 2 e s = C s s2 1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1 =C 2 1− + − + ... + + ... s 1! s 2! s2 3! s3 n! sn 1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1 Y (s) = C − + − + ... + + ... s2 1! s3 2! s4 3! s5 n! sn+2 y(t) = £−1 {Y (s)} 240
  27. 27. 6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES t 1 t2 1 t3 1 t4 1 (−1)n tn+1 =C − + − + ... + + ... 1! 1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! n! (n + 1)! Resolver los siguientes ejercicios por transformada de Laplace Ejercicio 1. y − 4y + 4y = t3 e2t , y(0) = 0, y (0) = 0 1 (Rta.: y = 20 t5 e2t ) as Ejercicio 2. y − 6y + 9y = t2 e3t , y(0) = 2, y (0) = 6 4 atic (Rta.: y = 2e3t + 2 t e3t ) 4! atem Ejercicio 3. y − 2y + y = et , y(0) = 0, y (0) = 5 (Rta.: y = 5tet + 1 t2 et ) 2 eM Ejercicio 4. y − 6y + 9y = t, y(0) = 0, y (0) = 1 (Rta.: y = 10 te3t − 27 e3t + 9 + 27 ) 2 t 2 o. d 9 t Ejercicio 5. y + y − 4y − 4 0 y dτ = 6et − 4t − 6, ept y(0) = y (0) = 0 (Rta.: y(t) = −et − 1 e−t + 4e−2t + 1 e2t ) 3 3 ,D Ejercicio 6. Hallar f (t) para la siguiente ecuaci´n integral o uia t tioq f (t) + f (τ ) dτ = 1 0 An (Rta.: f (t) = e−t ) de t Ejercicio 7. y (t) + 6y(t) + 9 0 y(τ ) dτ = 1, y(0) = 0 (Rta.: y = te−3t ) ad rsid t Ejercicio 8. y (t) − 6y(t) + 9 0 y(τ ) dτ = t, y(0) = 0 (Rta.: y = 3 e3t − 1 e3t + 1 ) t ive 9 9 t Un Ejercicio 9. y (t) + 6y(t) + 9 0 y(τ ) dτ = t, y(0) = 0 t 1 1 (Rta.: y = − 3 e−3t − 9 e−3t + 9 ) t Ejercicio 10. y (t) = cos t + 0 y(τ ) cos(t − τ ) dτ, y(0) = 1 (Rta.: y = 1 + t + 1 t2 ) 2 Ejercicio 11. ty + 2ty + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3 (Rta.: y(t) = 3te−2t ) 241
  28. 28. CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejercicio 12. ty − ty − y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3 Ejercicio 13. ty + 4ty + 4y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2 (Rta.: y = 2te−4t ) Ejercicio 14. t2 y + 2ty + t2 y = 0, y(0) = C (Rta.: y = −C sen t ) t as Ejercicio 15. ty + y = 12t, y(0) = 0 atic 2 1 3 1 4 1 t5 1 t n+1 (Rta.: y(t) = 12t + C(t − t + 2! t − 3! t + 2! 3! 4! 4! 5! − . . . + (−1)n n! (n+1)! + . . .)) atem 1 0≤t<1 Ejercicio 16. y + 4y = f (t) donde f (t) = 0 t≥1 eM y(0) = 0, y (0) = −1 1 (Rta.: y(t) = 4 − cos 2t − 1 U(t − 1) sen 2(t − 1) − 2 sen 2t) 4 2 1 o. d Ejercicio 17. y + 4y = f (t) donde f (t) = sen t U(t − 2π) y(0) = 1, y (0) = 0 ept 1 1 ,D (Rta: y(t) = cos 2t + 3 sen (t − 2π) U(t − 2π) − 6 sen 2(t − 2π) U(t − 2π)) uia Ejercicio 18. y − 5y + 6y = U(t − 1), y(0) = 0, y (0) = 1 (Rta.: y(t) = e3t − e2t + U(t − 1)[ 1 + 1 e3(t−1) − 2 e2(t−1) ]) 1 tioq 6 3 Ejercicio 19. y − y = et cos t, y(0) = 0, y (0) = 0 An (Rta: y = 1 − 2 et cos t + 1 et sen t) 2 1 2 de Ejercicio 20. Hallar f (t) si: ad t i. f (t) + 0 (t − τ ) f (τ ) dτ = t rsid (Rta: f (t) = sen t) ive t ii. f (t) + 4 sen τ f (t − τ ) dτ = 2t Un 0 t iii. f (t) = tet + 0 τ f (t − τ ) dτ 1 (Rta: f (t) = − 8 e−t + 1 et + 3 tet + 1 t2 et ) 8 4 4 t iv. f (t) + 0 f (τ ) dτ = et (Rta: f (t) = 1 e−t + 2 et ) 2 1 242
  29. 29. 6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC t v. f (t) + 0 f (τ ) dτ = t (Rta: f (t) = −e−t + 1) Ejercicio 21. Sea x(t) la soluci´n de la ecuaci´n de Bessel de orden cero o o tx + x + tx = 0 tal que x(0) = 1 y x (0) = 0. Demostrar que √ 1 as a. £{x(t)}(s) = £{J0 (t)}(s) = s2 +1 , atic ∞ b. Mostrar formalmente J0 (x) dx = 1, atem 0 1 π eM c. Mostrar formalmente J0 (x) = π 0 cos(x cos t) dt π (Ayuda: 0 cos2n x dx = 1·3·5·7···(2n−1) π) 2·4·6···2n o. d 6.5. ´ IMPULSO UNITARIO O “FUNCION ept DELTA”DE DIRAC ,D uia En muchos sistemas mec´nicos, el´ctricos, etc; aparecen fuerzas externas a e muy grandes que act´an en intervalos de tiempo muy peque˜os, por ejemplo u n tioq un golpe de martillo en un sistema mec´nico, o un rel´mpago en un sistema a a el´ctrico. La forma de representar esta fuerza exterior es con la “funci´n δ”- e o An Dirac. de 1 , si t0 − a ≤ t ≤ t0 + a ad Definici´n 6.5 δa (t − t0 ) = o 2a 0 , si t < t0 − a o t > t0 + a rsid donde a y t0 son constantes positivas y t0 ≥ a. ive Nota: para todo a > 0 y para todo t0 > 0 se cumple que (Ver figura 6.10) Un ∞ δa (t − t0 ) = 1 −∞ Definici´n 6.6 Se llama impulso unitario o funci´n delta de Dirac a la “fun- o ´ o ci´n”definida por el l´ o ımite: δ(t − t0 ) = l´ δa (t − t0 ) ım a→0 243

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