1<br />MATEMATICA DISCRETA<br />UNIDAD Nº  3<br />3º parte<br />Relaciones yDigrafosTEORIA<br />Bibliografía: Estructuras ...
RELACIONES DE ORDEN<br />Sea R definida en A. Se dice que R es una relación de  orden parcialsi y solo si se cumplen las s...
Sobre la propiedad antisimétrica<br />Se dice que R es antisimétrica si y solo si <br /> (1)<br />Por la Ley de la Contrar...
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En lugar de usar R para representar a la relación de orden, usaremos el símbolo   por analogía con el orden usual. <br />...
b<br />a<br />c<br />d<br />Ejercicios para el aula<br />Probar que las siguientes relaciones son de orden<br />a)   ( A ,...
Demostrar que  ( N ,  ) es un conjunto parcialmente ordenado, donde   se define como sigue:<br />                       ...
Demostrar que los siguientes digrafosno representan a relaciones de orden<br />y<br />x<br />z<br />u<br />t<br />8<br />E...
Si  es una relación de orden parcial,  se denotará con  al orden parcial inverso. <br />Se define  del siguiente modo:<...
Elementos comparables<br />10<br />
b<br />a<br />c<br />d<br />Son ordenes lineales los ejemplos ya vistos: 1 a  y  1b<br />Observe que todo par de elementos...
32<br />1<br />16<br />6<br />2<br />8<br />5<br />3<br />4<br />4<br />2<br />1<br />La relación de divisibilidad puede g...
Ejercicio para el aula<br />Confeccionar  el grafo dirigido de la relación de inclusión  (  ) definida en el conjunto pot...
Respuesta de b)  El grafo correspondiente es   <br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br />14...
ciclos<br />15<br />a<br />a<br />a<br />b<br />b<br />c<br />
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Diagrama de Hasse<br />18<br />
Ejercicio para el Aula<br />19<br />2<br />1<br />6<br />3<br />
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Ejercicios para el Aula<br />22<br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br /><br />
23<br />2<br />1<br />respuestas<br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br /><br />
A atreverse a realizar directamente el diagrama de Hasse!!!   <br />24<br />
Elementos extremos en un cpo<br />25<br />
Ejercicio para el aula<br />26<br />
respuestas<br />27<br />
teorema<br />28<br />
Cotas de un subconjunto de un cpo<br />29<br />
Ejercicio para el aula  <br />30<br />b<br />a<br />c<br />d<br />e<br />g<br />f<br />
31<br />MínimaCota Superior y Máxima Cota Inferior<br />
32<br />b<br />a<br />c<br />d<br />e<br />g<br />f<br />
33<br />d<br />c<br />e<br />g<br />b<br />f<br />a<br />Ejercicio para el aula<br />
Orden parcial producto: teorema  <br />34<br />
35<br />
Ejemplo 1<br />36<br />b<br />a<br />1<br />(A , 1)<br />(B , 2)<br />0<br />0<br />(1,b)<br />(1,a)<br />(1,0)<br />(0,...
Ejemplo 2<br />37<br />
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Matematica discreta2011 unidad3_3ºparte_2011

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Matematica discreta2011 unidad3_3ºparte_2011

  1. 1. 1<br />MATEMATICA DISCRETA<br />UNIDAD Nº 3<br />3º parte<br />Relaciones yDigrafosTEORIA<br />Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación.<br />Kolman y Busby. Cap VII<br />
  2. 2. RELACIONES DE ORDEN<br />Sea R definida en A. Se dice que R es una relación de orden parcialsi y solo si se cumplen las siguientes propiedades<br />1) R es reflexiva : <br />R es antisimétrica <br />3) R es transitiva: <br /> <br />2<br />
  3. 3. Sobre la propiedad antisimétrica<br />Se dice que R es antisimétrica si y solo si <br /> (1)<br />Por la Ley de la Contrarecíproca podemos escribir una <br />definición equivalente. R es antisimétrica si y solo si <br />(2)<br />“Si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, <br />entonces estos elementos son iguales”. <br />(2) “Si dos elementos son distintos, entonces no deben estar <br />relacionados entre si” . <br />Observe que la antisimetría permite la presencia de <br />pares del tipo (x,x)<br />Observe también que la antisimetría no es la negación <br />de la simetría<br />3<br />
  4. 4. a<br />b<br />c<br />En el grafo significará que entre elementos distintos hay flechas únicas o ninguna flecha y que algunos o todos los elementos pueden tener lazos.<br />En la matriz se encontrara que<br />4<br />
  5. 5. En lugar de usar R para representar a la relación de orden, usaremos el símbolo  por analogía con el orden usual. <br />Entonces se escribirá <br />Se lee o <br />Al par ( A , ) se le llama CPO (Conjunto Parcialmente Ordenado)<br />Podemos expresar la definición del siguiente modo:<br />El par ( A ,  ) es un CPO si y solo si se cumple que: <br />1)<br />2)<br />3) <br />5<br />
  6. 6. b<br />a<br />c<br />d<br />Ejercicios para el aula<br />Probar que las siguientes relaciones son de orden<br />a) ( A ,  ) donde A = { a , b , c , d } y su grafo esta dado por<br />6<br />b) ( B ,  ) donde B = { x,y,z} y la matriz correspondiente es<br />
  7. 7. Demostrar que ( N ,  ) es un conjunto parcialmente ordenado, donde  se define como sigue:<br /> a  b  a|b (relación de divisibilidad).<br />7<br />d) Demostrar que (P(S), ) es un CPO , donde S es un conjunto cualesquiera y P(S) es el conjunto potencia de S<br />
  8. 8. Demostrar que los siguientes digrafosno representan a relaciones de orden<br />y<br />x<br />z<br />u<br />t<br />8<br />Ejercicios para el aula<br />r<br />m<br />n<br />q<br />p<br />
  9. 9. Si  es una relación de orden parcial, se denotará con  al orden parcial inverso. <br />Se define  del siguiente modo:<br />a  b  b  a<br />Teorema<br />Si (A, ) es un CPO , se cumple que ( A, ) es también un CPO. <br />( A, ) se llama orden parcial dual de (A, ) <br />9<br />Orden parcial inverso<br />
  10. 10. Elementos comparables<br />10<br />
  11. 11. b<br />a<br />c<br />d<br />Son ordenes lineales los ejemplos ya vistos: 1 a y 1b<br />Observe que todo par de elementos son comparables <br />11<br />
  12. 12. 32<br />1<br />16<br />6<br />2<br />8<br />5<br />3<br />4<br />4<br />2<br />1<br />La relación de divisibilidad puede generar un orden parcial o un orden lineal, todo depende del conjunto donde este definida.<br />En A = {1,2,3,4,5,6} es un orden parcial pues no 2|3 ni 3|2<br />En A = {x / x es divisor de 32} es un orden lineal pues cualquier par de elementos que se tomen de A están relacionados <br />12<br />
  13. 13. Ejercicio para el aula<br />Confeccionar el grafo dirigido de la relación de inclusión (  ) definida en el conjunto potencia de S<br />Si S = { a,b}<br />Si S = {a,b,c}<br />Determine si la relación es de orden parcial o total<br />13<br />
  14. 14. Respuesta de b) El grafo correspondiente es <br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br />14<br /><br />
  15. 15. ciclos<br />15<br />a<br />a<br />a<br />b<br />b<br />c<br />
  16. 16. a1<br />an<br />a2<br />…..<br />a3<br />a4<br />16<br />
  17. 17. 17<br />
  18. 18. Diagrama de Hasse<br />18<br />
  19. 19. Ejercicio para el Aula<br />19<br />2<br />1<br />6<br />3<br />
  20. 20. 20<br />2<br />1<br />6<br />3<br />
  21. 21. 21<br />2<br />1<br />6<br />6<br />3<br />3<br />2<br />6<br />1<br />3<br />2<br />1<br />
  22. 22. Ejercicios para el Aula<br />22<br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br /><br />
  23. 23. 23<br />2<br />1<br />respuestas<br />S<br />{a,b}<br />{b,c}<br />{a,c}<br />{b}<br />{a}<br />{c}<br /><br />
  24. 24. A atreverse a realizar directamente el diagrama de Hasse!!! <br />24<br />
  25. 25. Elementos extremos en un cpo<br />25<br />
  26. 26. Ejercicio para el aula<br />26<br />
  27. 27. respuestas<br />27<br />
  28. 28. teorema<br />28<br />
  29. 29. Cotas de un subconjunto de un cpo<br />29<br />
  30. 30. Ejercicio para el aula <br />30<br />b<br />a<br />c<br />d<br />e<br />g<br />f<br />
  31. 31. 31<br />MínimaCota Superior y Máxima Cota Inferior<br />
  32. 32. 32<br />b<br />a<br />c<br />d<br />e<br />g<br />f<br />
  33. 33. 33<br />d<br />c<br />e<br />g<br />b<br />f<br />a<br />Ejercicio para el aula<br />
  34. 34. Orden parcial producto: teorema <br />34<br />
  35. 35. 35<br />
  36. 36. Ejemplo 1<br />36<br />b<br />a<br />1<br />(A , 1)<br />(B , 2)<br />0<br />0<br />(1,b)<br />(1,a)<br />(1,0)<br />(0,b)<br />(AxB , )<br />(0,a)<br />(0,0)<br />
  37. 37. Ejemplo 2<br />37<br />
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