7. variables aleatorias discretas. distribución binomial

2,692 views
2,638 views

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,692
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
58
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

7. variables aleatorias discretas. distribución binomial

  1. 1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL UNIDADE 7
  2. 2. <ul><li>Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. </li></ul><ul><li>Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Distribución binomial ou de Bernouilli </li></ul><ul><li>Función de probabilidade dunha distribución binomial. </li></ul><ul><li>Función de distribución dunha distribución binomial. </li></ul><ul><li>Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. </li></ul>
  3. 3. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Variable aleatoria: </li></ul><ul><li>Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real. </li></ul>
  4. 4. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Exemplo 1: </li></ul><ul><li>Consideramos o experimento aleatorio lanzar 3 moedas , e a cada posible resultado de dito experimento asignámoslle o número real que indica o número de caras que obtivemos. </li></ul><ul><li>Esta función que denotamos por X (X=nº de caras obtidas) é unha variable aleatoria e ten por percorrido {0, 1, 2, 3} </li></ul>2ª moeda 3ª moeda 1ª moeda C X C X C X C X C X C X C X CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX 3 2 2 1 2 1 1 0
  5. 5. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Exemplo 2: </li></ul><ul><li>Consideramos o experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, e a cada un dos puntos mostrais asociámoslle un número real que é a suma dos puntos obtidos entre os dous dados. </li></ul><ul><li>Esta función X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria e ten por percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} </li></ul>
  6. 6. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. 2º dado 1º dado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 3 2 4 5 6 7 3 4 5 6 7 4 8 5 6 7 8 9 (4,1) 5 (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) (5,5) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
  7. 7. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Exemplo 3: </li></ul><ul><li>Consideremos o experimento aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto” ; os puntos mostrais son os 700 alumnos do instituto. </li></ul><ul><li>A cada posible resultado asignámoslle un número real que será a estatura de dito alumno. </li></ul><ul><li>X=estatura do alumno é unha variable aleatoria ; o percorrido desta variable aleatoria é máis complicado de establecer, aínda que podemos supor que se trata dun intervalo, por exemplo [1.40, 1.95] m, a variable podería tomar calquera valor entre os infinitos do intervalo. </li></ul>
  8. 8. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Exemplo 4: </li></ul><ul><li>Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha certa marca etiquetado como 1Kg “. </li></ul><ul><li>Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de café de dita marca e etiquetados con ese peso. </li></ul><ul><li>Asignámoslle a cada resultado do experimento un número real que será o peso real do paquete. </li></ul><ul><li>X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria ; o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dos infinitos de dito intervalo. </li></ul>
  9. 9. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios. Continuas O percorrido da variable aleatoria é finito ou infinito numerable Discretas Tipos de variables aleatorias
  10. 10. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” a variable aleatoria X=nº de caras obtidas é unha variable aleatoria discreta , pois o seu percorrido {0,1,2,3} é finito. </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta , pois o seu percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} é finito. </li></ul>
  11. 11. 1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. <ul><li>No experimento aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto”; X=estatura do alumno é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido é un intervalo [1.40, 1.95] m </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha certa marca etiquetado como 1Kg”; X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg </li></ul>
  12. 12. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta </li></ul><ul><li>Chámase función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta X á aplicación que asocia a cada un dos valores que pode tomar dita variable, e que denotamos como x i , a súa probabilidade. </li></ul><ul><li>Dita función pódese expresar mediante unha táboa, e soe representarse mediante un diagrama de barras. </li></ul>1 p 1 p 2 . . . p n x 1 x 2 . . . x n p i =p(X=x i ) X
  13. 13. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Exemplo 1 </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” con percorrido {0,1,2,3}. </li></ul><ul><li>Calculemos a súa función de probabilidade : </li></ul>
  14. 14. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. p 1 +p 2 +p 3 +p 4 =1 P 1 =p(X=0)=p(“nºde caras obtidas sexa 0”)= =p({XXX})=1/8=0.125 p 2 =p(X=1)=p(“nº de caras obtidas sexa 1”)= =p({CXX, XCX, XXC})=3/8=0.375 p 3 =p(X=2)=p(“nº de caras obtidas sexa 2”)= =p({CCX, CXC, XCC})=3/8=0.375 p 4 =p(X=3)=p(“nº de caras obtidas sexa 3”)= =p({CCC})=1/8=0.125 x 1 =0 x 2 =1 x 3 =2 x 4 =3 p i =p(X=x i ) X=nº de caras obtidas
  15. 15. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.
  16. 16. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Exemplo 2: </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta e o seu percorrido é {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} </li></ul><ul><li>Calculemos a súa función de probabilidade: </li></ul>
  17. 17. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. p 1 +p 2 +p 3 +p 4 +...+p 11 =1 p 1 =p(X=2)=p(“a suma de puntos sexa 2”)=p({(1,1)})=1/36=0.028 p 2 =p(X=3)=p(“a suma de puntos sexa 3”)=p({(1,2),(2,1)})=2/36=0.056 p 3 =p(X=4)=p(“a suma de puntos sexa 4”)=p({(1,3),(2,2),(3,1)})=3/36=0.083 p 4 =p(X=5)=p(“a suma de puntos sexa 5”)=p({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})=4/36=0.111 p 5 =p(X=6)=p(“a suma de puntos sexa 6”)= =p({(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)})=5/36=0.139 p6=p(X=7)=p(“a suma de puntos sexa 7”)= =p({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)})=6/36=0.167 p 7 =p(X=8)=p(“a suma de puntos sexa 8”)= =p({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)})=5/36=0.139 p 8 =p(X=9)=p(“a suma de puntos sexa 9”)=p({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)})=4/36=0.111 p 9 =p(X=10)=p(“a suma de puntos sexa 10”)=p({(4,6),(5,5),(6,4)})=3/36=0.083 p 10 =p(X=11)=p(“a suma de puntos sexa 11”)=p({(5,6),(6,5)})=2/36=0.056 p 11 =p(X=12)=p(“a suma de puntos sexa 12”)=p({(6,6)})=1/36=0.028 x 1 =2 x 2 =3 x 3 =4 x 4 =5 x 5 =6 x 6 =7 x 7 =8 x 8 =9 x 9 =10 x 10 =11 x 11 =12 p i =p(X=x i ) X= suma dos puntos dos dous dados
  18. 18. 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.
  19. 19. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Función de distribución dunha variable aleatoria discreta X. </li></ul><ul><li>A función de distribución, F, dunha variable aleatoria discreta X é aquela que a cada valor x, nº real, lle asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores menores ou iguais que x. </li></ul><ul><li>F(x)=p(X≤x) </li></ul><ul><li>Como consecuencia desta definición: </li></ul><ul><li>0≤F(x i )=p(X≤x i )=p(X=x 1 )+p(X=x 2 )+...+p(X=x i )≤1 </li></ul>
  20. 20. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Exemplo 1: </li></ul><ul><li>Calculemos a función de distribución F para a variable aleatoria X=“nº de caras” no experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”. </li></ul><ul><li>Lembremos a súa función de probabilidade: </li></ul>p 1 +p 2 +p 3 +p 4 =1 p 1 =p(X=0)=1/8=0.125 p 2 =p(X=1)=3/8=0.375 p 3 =p(X=2)=3/8=0.375 p 4 =p(X=3)=1/8=0.125 0 1 2 3 p i =p(X=x i ) X=nº de caras obtidas
  21. 21. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada : </li></ul>
  22. 22. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>E a súa gráfica é escalonada: </li></ul>
  23. 23. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Exemplo 2: </li></ul><ul><li>Calculemos a función de distribución F para a variable aleatoria X=“suma dos puntos das caras superiores” no experimento aleatorio “lanzar 2 dados”. </li></ul><ul><li>Lembremos a súa función de probabilidade: </li></ul>p 1 +p 2 +p 3 +p 4 +...+p 11 =1 p 1 =p(X=2)=1/36 p 2 =p(X=3)=2/36 p 3 =p(X=4)=3/36 p 4 =p(X=5)=4/36 p 5 =p(X=6)=5/36 p6=p(X=7)=6/36 p 7 =p(X=8)=5/36 p 8 =p(X=9)=4/36 p 9 =p(X=10)=3/36 p 10 =p(X=11)=2/36 p 11 =p(X=12)=1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p i =p(X=x i ) X= suma dos puntos dos dous dados
  24. 24. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada : </li></ul>
  25. 25. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>E a súa gráfica é escalonada: </li></ul>
  26. 26. 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Propiedades da función de distribución: </li></ul><ul><li>F(x) é constante en cada intervalo [x i ,x i-1 ) e a súa gráfica é, polo tanto, escalonada. </li></ul><ul><li>F(x) é discontinua en x i </li></ul><ul><li>F(x) é crecente pois é unha suma acumulativa de probabilidades e estas son sempre positivas. </li></ul><ul><li>p(a<X≤b)=F(b)-F(a). A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores no intervalo (a, b] é a diferenza entre os valores da función de distribución nos extremos do intervalo. </li></ul>
  27. 27. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Media, esperanza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Retomemos agora o noso primeiro exemplo: </li></ul><ul><li>Experimento aleatorio=“lanzar 3 moedas” </li></ul><ul><li>Variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” </li></ul><ul><li>E realicemos de xeito empírico 40 veces, por exemplo, dito experimento anotando de cada vez o nº de caras obtidas. </li></ul><ul><li>Supoñamos que o nº de caras obtidas en cada un dos 40 experimentos é: </li></ul><ul><li>2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1. </li></ul>
  28. 28. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>X é entón unha variable estatística discreta , e os resultados obtidos pódense colocar nunha táboa de frecuencias. Tamén podemos calcular a súa media aritmética e a súa varianza. </li></ul><ul><li>Á hora de calcular a media aritmética, empregaremos a fórmula: </li></ul><ul><li>Do mesmo xeito, á hora de calcular a varianza: </li></ul>
  29. 29. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Obtemos: </li></ul>∑ x i 2 .h i =123/40 ∑ x i .h i =63/40 1 N=40 0 15/40 72/40 36/40 0 1 4 9 0 15/40 36/40 12/40 3/40 15/40 18/40 4/40 3 15 18 4 0 1 2 3 x i 2 .h i x i 2 x i .h i h i =f i /N f i x i
  30. 30. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Pero se lembrades a lei dos grandes números, cando un experimento aleatorio se repite un nº de veces moi elevado, as frecuencias relativas dun suceso estabilízanse ao redor dun número ao que chamábamos probabilidade. </li></ul><ul><li>Traballemos coas probabilidades e pensemos nos resultados esperados á vista de ditas probabilidades. </li></ul>
  31. 31. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Se pensamos teoricamente no que acontecería ao realizar o experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” 40 veces, de acordo coas probabilidades obteríamos: </li></ul>∑ x i 2 .h i =∑x i 2 .p i =24/8=3 ∑ x i .h i =∑x i .p i =12/8=1.5 1 N=40 0 3/8 12/8 9/8 0 1 4 9 0 3/8 6/8 3/8 5/40=1/8 15/40=3/8 15/40=3/8 5/40=1/8 5 15 15 5 0 1 2 3 x i 2 .h i =x i 2 .p i x i 2 x i .h i =x i .p i h i =p i f i x i
  32. 32. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Calculando a media aritmética e a varianza desta situación absolutamente teórica obtemos : </li></ul><ul><li>A media aritmética desta situación teórica chámase media ou esperanza da variable aleatoria X e represéntase por μ , e a varianza desta situación teórica chámase varianza da variable aleatoria X e represéntase por σ 2 . </li></ul>
  33. 33. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X. </li></ul><ul><li>Chámase media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X, e represéntase por μ , á expresión : </li></ul><ul><li>Varianza dunha variable aleatoria discreta </li></ul><ul><li>Chámase varianza dunha variable aleatoria discreta X e represéntase por σ 2 , á expresión: </li></ul><ul><li>Ou ben : </li></ul><ul><li>Desviación típica dunha variable aleatoria discreta </li></ul><ul><li>É a raíz cadrada da súa varianza </li></ul>
  34. 34. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Exemplo 2: </li></ul><ul><li>Calculemos agora a media ou esperanza matemática μ e a varianza σ 2 da variable aleatoria X=“suma dos puntos” asociada ao experimento aleatorio “lanzar dous dados” </li></ul>∑ x i 2 .p i = 1974/36 Μ = ∑ x i p i = 252/36 = 7 1 4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x i 2 .p i x i 2 x i p i p i x i
  35. 35. 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta. <ul><li>Obtemos </li></ul>
  36. 36. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>Distribución binomial ou de Bernouilli </li></ul><ul><li>(Ars coniectandi 1713) </li></ul><ul><li>Unha variable aleatoria discreta X dise que segue unha distribución binomial se se verifica: </li></ul><ul><li>O experimento aleatorio é un experimento composto de varios simples iguais ou probas. </li></ul><ul><li>Estes experimentos simples ou probas teñen só dous posibles resultados, A e B . </li></ul>
  37. 37. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>O resultado obtido en cada un dos experimentos simples é independente dos obtidos nos exp. simples anteriores . </li></ul><ul><li>A probabilidade do resultado A, e polo tanto a de B , non varia ao longo do experimento. </li></ul><ul><li>Se chamamos p á probabilidade de que se verifique o resultado A e q á de que se verifique B , p+q=1 </li></ul>
  38. 38. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A
  39. 39. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli
  40. 40. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>Unha variable aleatoria binomial X queda perfectamente determinada coñecendo o nº de probas (n) e a probabilidade (p) de que se verifique o suceso que contabiliza e, polo tanto, exprésase B(n,p), n e p reciben o nome de parámetros de distribución. </li></ul>
  41. 41. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>Exemplo 1: </li></ul><ul><li>A variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” asociada ao experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” , segue unha distribución binomial. </li></ul><ul><li>O experimento aleatorio está composto por tres experimentos simples iguais “lanzar unha moeda”. </li></ul><ul><li>Cada experimento simple “lanzar unha moeda” ten dous posibles resultados A=“saír cara” e B=“saír cruz”. </li></ul>
  42. 42. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>O resultado de cada lanzamento dunha moeda é independente do acontecido nos lanzamentos anteriores. </li></ul><ul><li>As probabilidades dos sucesos A e B non varían nos tres lanzamentos. </li></ul><ul><li>p=p(A)=p(“saír cara”)=1/2 </li></ul><ul><li>q=p(B)=p(“saír cruz”)=1/2 </li></ul><ul><li>Vemos tamén que p+q=1 </li></ul>
  43. 43. 5. Distribución binomial ou de Bernouilli <ul><li>O esquema do experimento, como podemos obter nesta aplicación obtida na páxina de recursos educativos do ITE , sería: </li></ul>
  44. 44. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta de tipo binomial. </li></ul><ul><li>Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial , é dicir: </li></ul><ul><li>Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais. </li></ul><ul><li>Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteñen constantes en tódalas probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores. </li></ul><ul><li>X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B) </li></ul>
  45. 45. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>O espazo mostral do experimento aleatorio está formado por 2.2.2...2= 2 n elementos . </li></ul><ul><li>Cada un destes elementos é do tipo ABBAAB...AB onde A repítese k veces e B n-k veces. </li></ul><ul><li>Tomemos un destes elementos onde as A estean agrupadas, e polo tanto as B tamén AAA...ABBB...B , repetíndose A k veces e B n-k veces. </li></ul><ul><li>Como os sucesos son independentes : p(AA...ABB...B)= p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)= </li></ul><ul><li>=p.p...p.q.q...q= p k .q n-k </li></ul>
  46. 46. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Aínda que ocupen distintos postos, todos aqueles elementos do espazo mostral formados por k veces A e n-k veces B teñen a mesma probabilidade p k .q n-k . </li></ul><ul><li>E cantos elementos temos nesta situación? Dito número son as permutacións con repetición de n elementos onde A repítese k veces e B repítese k-n veces: PR n k,n-k . </li></ul><ul><li>Como </li></ul>
  47. 47. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Concluímos que a función de probabilidade da variable aleatoria binomial X vén dada pola fórmula : </li></ul><ul><li>p(X=k)= </li></ul><ul><li>=p(“o nº de veces que aconteza A sexa k”)= </li></ul>
  48. 48. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Nota: </li></ul><ul><li>O termo obtido para a función de probabilidade deste tipo de variables aleatorias lembra o termo xeral do desenvolvemento do binomio de Newton. </li></ul><ul><li>De aí o nome de distribución binomial. </li></ul>
  49. 49. 5. Función de probabilidade dunha distribución binomial <ul><li>Experimento de Galton. </li></ul><ul><li> Unha idea de distribución binomial pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce): </li></ul><ul><li>Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribuídos regularmente. </li></ul><ul><li>Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar. </li></ul><ul><li>Unha bóla tiña a mesma probabilidade de chocar con cada un dos cravos e seguir un camiño (1/2) </li></ul><ul><li>As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da función de probabilidade dunha binomial B(n,1/2). </li></ul><ul><li>Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento. </li></ul>
  50. 50. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Nun cuestionario de 8 preguntas só hai que contestar SI ou NON. </li></ul><ul><li>Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas. </li></ul><ul><li>Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. </li></ul>
  51. 51. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial.
  52. 52. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Ao non coñecer ningunha resposta, ante unha das cuestións temos a mesma probabilidade de acertala (A) que de errala (E). </li></ul><ul><li>Esta situación repítese ao longo das 8 preguntas do cuestionario. </li></ul>
  53. 53. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>O experimento aleatorio consiste en responder ao chou as 8 cuestións , consta de 8 probas onde as probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das preguntas non inflúe nas posteriores. </li></ul><ul><li>A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de respostas acertadas” é unha variable aleatoria binomial B(8,½) </li></ul>
  54. 54. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas. </li></ul><ul><li>p(“acertar 5 preguntas”)=p(X=5)= </li></ul><ul><li>= </li></ul>
  55. 55. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. </li></ul><ul><li>p(“acertar polo menos 6 preguntas”)= </li></ul><ul><li>=p(“acertar 6,7 ou 8”)= </li></ul><ul><li>=p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)= </li></ul>
  56. 56. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>Nota: </li></ul><ul><li>Cando nunha binomial o parámetro n aumenta, os cálculos empezan a ser complicados polo que se recorre ás táboas da binomial para poder traballar </li></ul>
  57. 57. 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial. <ul><li>TÁBOA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Nunha binomial B(9,0.25), calcula p(X=6). </li></ul><ul><li>Búscase n=9,k=6 en vertical e p=0.25 en horizontal. </li></ul><ul><li>P(X=6)=0.9987 </li></ul><ul><li>Na páxina web http ://personal5. iddeo.es / ztt / Tem /t19_ distribucion_binomial.htm atopamos unha aplicación que dá os resultados directamente. </li></ul>
  58. 58. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. </li></ul><ul><li>Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial , é dicir: </li></ul><ul><li>Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais. </li></ul><ul><li>Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteñen constantes en todas as probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores. </li></ul><ul><li>X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B) </li></ul><ul><li>X toma valores enteiros (0, 1, 2,....) </li></ul>
  59. 59. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>Atendendo á definición de función de distribución dunha variable aleatoria discreta, dado x un número real calquera: </li></ul><ul><li>F(x)=p(X ≤x)=p(X≤t)= </li></ul><ul><li>sendo t o nº enteiro maior non superior a x </li></ul><ul><li>=p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)= </li></ul><ul><li>sendo k=0,1,2..... </li></ul>
  60. 60. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas negras. O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a función de probabilidade e a función de distribución da variable “nº de bólas brancas”. </li></ul>
  61. 61. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>O experimento aleatorio “extracción con devolución de 4 bólas dunha urna que contén catro bólas brancas e seis bólas negras”: </li></ul><ul><li>Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bóla branca ou bóla negra). </li></ul><ul><li>As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das probas non inflúe nas posteriores. </li></ul><ul><li>p=p(“sacar bóla branca”)=4/10=0.4 </li></ul><ul><li>q=p(“sacar bóla negra”)=6/10=0.6 </li></ul><ul><li>A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de bólas brancas” é unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4)) </li></ul>
  62. 62. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>Por ser unha variable aleatoria binomial, a súa función de probabilidade é: </li></ul><ul><li>Como o número de extraccións é 4 entón: </li></ul>
  63. 63. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>Polo tanto: </li></ul><ul><li>p(X=0)=p(“non obter brancas”)= </li></ul><ul><li>P(X=1)=p(“obter 1 branca”)= </li></ul><ul><li>P(X=2)=p(“obter 2 brancas”)= </li></ul><ul><li>P(X=3)=p(“obter 3 brancas”)= </li></ul><ul><li>P(X=4)=p(“obter 4 brancas”)= </li></ul>
  64. 64. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. 1 p(X=0)=0.1296 p(X=1)=0.3456 p(X=2)=0.3456 p(X=3)=0.1536 P(X=4)=0.0256 0 1 2 3 4 p(X=x i ) x i
  65. 65. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial. <ul><li>A súa función de distribución será: </li></ul>
  66. 66. 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial.
  67. 67. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Media ou esperanza matemática dunha distribución binomial. </li></ul><ul><li>A media μ dunha distribución binomial B(n,p) é : </li></ul><ul><li>μ =n.p </li></ul>
  68. 68. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. </li></ul><ul><li>X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: </li></ul><ul><li>p x =p(X=x)= </li></ul><ul><li>Aplicamos a definición de media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta: </li></ul>
  69. 69. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Obtendo: </li></ul>
  70. 70. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Varianza dunha distribución binomial: </li></ul><ul><li>A varianza dunha distribución binomial B(n,p) é: </li></ul><ul><li>σ 2 =n.p.q </li></ul>
  71. 71. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. </li></ul><ul><li>X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: </li></ul><ul><li>p x =p(X=x)= </li></ul><ul><li>Aplicamos a definición de varianza dunha variable aleatoria discreta: </li></ul>
  72. 72. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Obtemos </li></ul>
  73. 73. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Desviación típica dunha distribución binomial. </li></ul><ul><li>A desviación típica dunha distribución binomial B(n,p) é: </li></ul>
  74. 74. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Retomando o exemplo anterior: </li></ul><ul><li>Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas negras . O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a media ou esperanza matemática, a varianza e a desviación típica da variable “nº de bólas brancas” . </li></ul>
  75. 75. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Lembra que a variable aleatoria X=“nº de bólas brancas” correspondía a unha distribución binomial onde o número de probas n era 4, a probabilidade p de extraer unha bóla branca era 0.4 e a probabilidade q de extraer unha bóla negra era 0.6; é dicir, trátase dunha distribución binomial B(4, 0.4). </li></ul><ul><li>Polo tanto </li></ul><ul><li>μ = n.p = 4 ·0.4 = 1.6 </li></ul><ul><li>σ 2 = n.p.q = 4 ·0.4·0.6=0.96 </li></ul><ul><li>σ = √0.96 =0.98 </li></ul>
  76. 76. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Lembremos o primeiro exemplo co que traballamos: </li></ul><ul><li>No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”. </li></ul><ul><li>Xa observamos con anterioridade que se trata dunha distribución binomial; de feito é unha distribución binomial B(3, ½) </li></ul>
  77. 77. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial. <ul><li>Calcularamos a súa media e a súa varianza atendendo á definición xeral para unha variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito para unha binomial obtemos igual resultado. </li></ul><ul><li>μ =n.p=3.1/2=3/2=1,5 </li></ul><ul><li>σ 2 =n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75 </li></ul>

×