MOISES VILLENA MUÑOZ                        Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden       1             1.1       ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden1.1 INTRODUCCIÓN    ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                     Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                  ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden      Usualmente una...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                                          Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer or...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                             Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden          ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                             Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden          ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                    Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                   ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                    Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                   ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                              Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                       Ej...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                    ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                 Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                      ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                    ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                               Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                        ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                       Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                    ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                    Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                   ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                       ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                           Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden            ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                 Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                      ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                    ...
MOISES VILLENA MUÑOZ                                   Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden                    ...
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden

759 views

Published on

ecuaciones diferenciales el cual ayuda al estudiante a descubrir los problemas que se presentan.

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
759
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
54
Actions
Shares
0
Downloads
43
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

9112757 ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden

  1. 1. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden 1 1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas 1.7 Factor Integrante 1.8 Estabilidad dinámica del equilibrio 1.9 Aplicaciones Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Encuentre soluciones generales y/o particulares de Ecuaciones Diferenciales de primer orden • Determine Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente • Resuelva problemas de aplicaciones económicas 1
  2. 2. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden1.1 INTRODUCCIÓN En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear y = ex 2una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo, suponga que dy y´ = 2 xe x 2entonces ; la razón de cambio relativa sería dx y 2 y´ 2 xe x = x2 = 2 x , despejando tenemos y´−2 xy = 0 . Esta última expresión y erepresenta una ecuación diferencial. 1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial. Ejemplo y´−2 xy = 0 donde y = f (x) Si la función desconocida depende de una sola variable, como es elcaso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria. Si la función desconocida depende de más de una variable se llamaEcuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales. Ejemplo ∂z ∂z + 2 xy = xz donde z = f ( x, y ) ∂x ∂y Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las Ecuaciones DiferencialesOrdinarias. 1.1.2 Orden de una ecuación diferencial El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivadapresente en la ecuación: Ejemplos dy 1. − 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden dx2
  3. 3. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden d2y 2. + xy = y´ Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden dx 2 d4y d2y 3. + 3 2 = 2 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Cuarto Orden dx 4 dx 1.1.3 Grado de una ecuación diferencial El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente enteropositivo de la más alta derivada presente en la ecuación. Ejemplos 1. y´´+5( y´)3 − 4 y = x Una Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden y primer grado 2. ( y´)2 − 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer orden y segundo grado 1.1.4 Ecuaciones Lineales Una Ecuación Diferencial es lineal si lo es en todas sus derivadas y también en su variable dependiente. Ejemplos dy 1. + 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de primer orden dx d2y dy 2. 2 +x −y=0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Lineal de dx dx Segundo Orden Como ejemplos de Ecuaciones Diferenciales no lineales, tenemos: Ejemplos 1. y´´+5( y´)3 − 4 y = x 2. yy´−2 x = 2 3. ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = 0 4. y´− y = e y 5. y´− y = cos y 3
  4. 4. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puederepresentar en forma polinómica de la siguiente manera: [a n ( x)]y ( n ) + [a n−1 ( x)]y ( n−1) + + [a 0 ( x ) ]y = g ( x ) 1.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial Se dice que una función y = f (x ) definida en un intervalo I , essolución de una ecuación diferencial en el intervalo I , si sustituida en laecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, seconvierte en una identidad. Ejemplo 1 Determinar si la función x4 es solución de la ecuación y´−xy 2 = 0 . y = f ( x) = 16 SOLUCIÓN: 3 De x4 se obtiene y´= 4 x x3 y= = 16 16 4 Reemplazando resulta: y´− xy 1 / 2 = 0 1/ 2 x3 ⎛x ⎞ 4 − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 16 ⎠ ⎛x ⎞ 3 2 x − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 4⎠ x3 x3 − =0 4 4 0=0 Por tanto, la función si es solución de la Ecuación Diferencial.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una Ecuación Diferencial lineal de primer orden se puede expresar de lasiguiente forma: y´+[ p ( x)]y = g ( x) Bien, ahora determinemos su solución. e∫ p ( x ) dx Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por la función ,tenemos:4
  5. 5. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden e∫ p ( x ) dx [ y´+ p( x) y ] = e ∫ p ( x ) dx g ( x) y´e ∫ + ye ∫ p( x) = e ∫ p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx g ( x) Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del ∫ p ( x ) dxproducto de la función buscada y (x ) con la función e , es decir: d ⎛ ye ∫ ⎞ = e ∫ p ( x ) dx g ( x) p ( x ) dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Integrando miembro a miembro: ∫ d ⎛ ye ∫ ∫ ⎞ = e ∫ p ( x ) dx g ( x)dx p ( x ) dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ye ∫ = e∫ ∫ g ( x)dx + C p ( x ) dx p ( x ) dx ∫ 1 ⎡ ⎤ Finalmente, se obtiene y ( x ) = e∫ g ( x ) dx + C ⎥ . La cual p ( x ) dx ⎢ e∫ ⎢ ⎥ p ( x ) dx ⎣ ⎦llamaremos Solución General. Ejemplo 1 Encontrar la solución general para y´−2 xy = x SOLUCIÓN: Para este caso tenemos: p( x) = −2 x y g ( x) = x e∫ = e∫ p ( x)dx − 2 xdx = e− x 2 Calculando primero, ∫ ⎡ ⎤ e∫ 1 ⎢ p ( x ) dx Luego utilizando la formula y ( x) = g ( x)dx + C ⎥ , resulta: e ∫ p ( x)dx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎡ ⎤ ∫ 1 ⎢ ⎥ e − x xdx + C ⎥ 2 y= ⎢ e− x ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ 1 −x ⎤ 2 y = e x ⎢− e + C⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 2 o lo que es lo mismo: y = − + Ce x . Solución General 2 Ejemplo 2 2 Encontrar la solución general para y´− y = x 2 sen 3x x SOLUCIÓN: 2 Para este caso tenemos: p( x) = − y g ( x) = x 2 sen 3x x 5
  6. 6. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden 2 ∫ − dx Primeramente e ∫ p ( x ) dx = e ln x = x − 2 −2 =e x . Luego: ∫ ∫ 1 y= x − 2 x 2 sen 3 x = x 2 sen 3 x x −2 ⎡ cos 3 x ⎤ y = x 2 ⎢− + c⎥ ⎣ 3 ⎦ x 2 cos 3 x y=− + cx 2 3 Ejemplo 3 Encontrar la solución general para xy´+2 y = sen x SOLUCIÓN: Dividiendo para " x ", tenemos: xy´ 2 y sen x + = x x x 2 sen x y´+ y = x x 2 sen x Entonces: p ( x) = ∧ g ( x) = x x Por lo tanto: 2 e ∫ x dx = e 2 ln x = e ln x 2 = x2 ∫ ⎡ ⎤ 1 ⎢ sen x 2 y ( x) = x dx + C ⎥ 2⎢ x ⎥ x ⎣ ⎦ ∫ ⎡ ⎤ 1 ⎢ = x sen xdx + C ⎥ 2⎢ ⎥ x ⎣ ⎦ La integral que resulta se la encuentra empleando la técnica de integración por Partes. u = x → du = 1dx ∫ Haciendo resulta: dv = sen xdx → v = sen xdx = − cos x ∫ x sen xdx = x(− cos x ) + = − x cos x + sen x ∫ cos xdx Por lo tanto: y ( x) = 1 [− x cos x + sen x + C ] es la solución general x2 1.2.1 Teorema Si las funciones p y g son continuas en un intervalo (a, b ) que contiene el punto x0 , entonces existe una función única y = f (x) que satisface a la ecuación6
  7. 7. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden diferencial y´+ p ( x) y = g ( x) , para x ∈ (a, b) que cumple la condición inicial y ( x 0 ) = y 0 Ejemplo 4 Encontrar la solución particular xy´+2 y = 4 x si y (1) = 2 2 SOLUCIÓN: Dividimos para " x ": xy´+2 y = 4 x 2 2 y´+ y = 4x x 2 Entonces: p( x) = ∧ g ( x) = 4 x x Por lo tanto: 2 ∫ p ( x ) dx ∫ dx 2 e =e x = e 2 ln x = e ln x = x 2 ⎡ ⎤ ∫ [ ] 1 ⎢ 2 ⎥ 1 y = ⎢ x 4 xdx + C ⎥ = x4 + C x2 ⎢ ⎥ x2 ⎣ ⎦ C y = x2 + SOLUCIÓN GENERAL x2 Con la condición y = 2 ∧ x =1 se obtiene: 2 = 1+ C ⇒ C =1 1 1 Finalmente y = x 2 + SOLUCIÓN PARTICULAR x2 Ejemplo 5 Encontrar la solución particular y´− y = 2 xe 2 x ; y( 0 ) = 1 SOLUCIÓN: Aquí tenemos que p( x) = −1 ∧ g ( x) = 2 xe2 x Entonces: e ∫ p ( x ) dx =e = e−x ∫ −1 dx Reemplazando y resolviendo resulta: ∫ ⎡ ⎤ 2 xe 2 x e − x dx + C ⎥ 1 ⎢ y(x) = e−x ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ∫ ⎡ ⎤ = e x ⎢2 xe x dx + C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ La integral que resulta se la encuentra integrando Por Partes. u = x → du = 1dx ∫ Haciendo resulta: dv = e x dx → v = e x dx = e x 7
  8. 8. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = xe − e x x [( ) ] Por lo tanto: y( x) = e x 2 xe x − e x + C es la SOLUCIÓN GENERAL. Empleando la condición inicial x = 0 y y = 1 , encontramos C [( y (0) = e 2 0e − e0 + C = 1 0 0 ) ] − 2 + C =1 C =3 [( ) ] Finalmente y ( x) = e 2 xe − e x + 3 es la SOLUCIÓN PARTICULAR. x x Ejemplo 6 Encontrar la solución particular y´+2 y = g ( x) ; y( 0 ) = 0 para a) g ( x) = 1 y b) g ( x ) = 0 SOLUCIÓN: y´+2 y = 1 e∫ 2dx = e2x ⎡ ⎤ ∫ 1 ⎢ ⎥ 1 ⎡ 1 2x ⎤ y1 = ⎢ e 2 x (1) dx + C1 ⎥ = ⎢ e + C1 ⎥ e2x ⎢ ⎥ e2x ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ a) Si g ( x) = 1 , entonces: 1 C y1 = + 1 ∧ y1 = 0, x = 0 2 e2x 1 0= + C1 2 C1 = − 1 2 1 − 12 1 1 y1 = + = − 2 e2x 2 2e 2 x y´+2 y = 0 e∫ 2dx = e2 x ⎡ ⎤ ∫ 1 ⎢ 2x ⎥ y2 = ⎢ e (0)dx + C2 ⎥ e2 x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ C2 y2 = ; y2 (1) = y1(1) b) Si g ( x) = 0 , entonces: e2 x y1(1) = 1 − 1 e − 2 2 2 C2 y2 (1) = e2 1 − 1 e−2 = C e−2 2 2 2 e2 − 1 C2 = 28
  9. 9. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejemplo 7 1 Encontrar la solución de y´= e +x y SOLUCIÓN: La ecuación dada NO ES LINEAL con respecto a " x " dy 1 = y dx e + x dx = ey + x dy dx − x = ey dy Pero es lineal con respecto a " y ", entonces: ∫ −1dy e = e− y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∫ ∫ 1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ x( y ) = − y ⎢ e y (e − y )dy + C ⎥ = − y ⎢ 1dy + C ⎥ e ⎢ ⎥ e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x( y ) = e y [ y + C ] = Segundo Método: Haciendo cambio de variable ⎧x → y resulta: ⎨ ⎩y → x dy 1 = y dx e + x dx 1 = dy e x + y dy = ex + y dx y´− y = e x La última es una ecuación lineal, por lo tanto: ∫ ⎡ ⎤ 1 ⎢ y ( x) = e e dx + C ⎥ x −x e ∫ −1dx ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ⎡ ⎤ x⎢ =e ⎢ dx + C ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ y ( x) = e x [x + C ] Finalmente, regresando la variable: x( y ) = e y [ y + C ] 9
  10. 10. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejercicio Propuesto 1.1 Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales: 1. y − y = 2+ x 9. 2 xy − y = x 3 − x x 2 1 10. y + y = 2 dy x 3 − 2 y x x 2. = dx x dy 11. = e2x + 3y dy dx 3. x + 2 y = sen x , y( 2 ) = 1 dx dy 1 12. +y= 4. dy x + xy = 1 − y , y( 1 ) = 0 dx 1+ ex dx 13. (2 y + 3x )dx = − xdy 5. y = e 2 x + y − 1 dy 4 2y 14. = − dy e x − y dx x + 2 x + 1 6. = 1 dx x 15. y = y x − 3y y + = x , y = 0 cuando x = 3 16. (e + x + 3)y = 1 7. x +1 y 8. y −2 y = e x1.3. ECUACIONES DE BERNOULLI Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se puedentransformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli. Una Ecuación de Bernoulli tiene la forma y´+ p ( x ) y = g ( x ) y n donden ≠ 0 ∧ n ≠ 1 . Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos: PASO 1: Dividir para y n . y´ y yn + p( x) n = g ( x) n yn y y y´ y − n + p ( x) y 1− n = g ( x) PASO 2: Cambiar de variable: v = y 1− n Además, derivando la nueva variable con respecto a x, seobtiene:10
  11. 11. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden dv dy = (1 − n) y1− n −1 dx dx dv dy = (1 − n) y − n dx dx dy 1 dv = −n = dx (1 − n) y dx y n dv y´= (1 − n) dx Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta: y´ y − n + p ( x) y1− n = g ( x) y n dv − n y + p ( x )v = g ( x ) (1 − n) dx 1 dv + p ( x )v = g ( x ) 1 − n dx La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable v , Paso 3: Encontrar v(x ) . Paso 4: Encontrar y (x ) , empleando el cambio de variable utilizado. Ejemplo 1 Encontrar la solución general de x y´+2 xy = y3 2 SOLUCIÓN: PASO 1: x 2 y´+2 xy = y 3 3 Dividiendo para x2 2 xy y y´+ 2 = x x2 2 1 y´+ y = 2 y 3 Ecuación de Bernoulli x x y´ 2 y 1 y3 Dividiendo para y3 + = 2 3 y3 x y3 x y 2 1 y −3 y´+ y − 2 = 2 x x PASO 2: dv dy Aquí el cambio de variable sería: v = y −2 , entonces = −2 y − 3 o también dx dx dy 1 dv = dx − 2 y −3 dx −3 2 −2 1 Reemplazando en y y´+ y = 2 se obtiene: x x 11
  12. 12. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden dv 2 1 −1 + v= 2 dx x x2 dv 4 2 − v=− dx x x2 PASO 3: Encontrar v . La última ecuación es lineal con respecto a v , por tanto podemos encontrarla de la manera descrita anteriormente. = e − 4 ln x e = eln (x ) = x−4 4 ∫ − x dx −4 e ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∫ ∫ 1 ⎢ −4 −2 ⎥ 1 ⎢ −6 ⎥ v = − 4 ⎢ x (−2 x )dx + C ⎥ = − 4 ⎢ − 2 x dx + C ⎥ x ⎢ ⎥ x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2x −5 ⎤ 2 v = x4 ⎢ + c ⎥ = x −1 + cx 4 ⎢ 5 ⎣ ⎥ 5 ⎦ PASO 4: Encontrar y 2 Como v = y −2 entonces y − 2 = + cx 4 5x Y al despejar, se obtiene: 1 y2 = 2 + cx 4 5x 1 y2 = ± 2 + cx 4 5x 1 y ( x) = 2 ± + cx 4 5x Ejemplo 2 Encontrar la solución general de y´= y ( xy 3 − 1) SOLUCIÓN: Paso 1: Primero la llevamos a la forma de Bernoulli y´= y ( xy 3 − 1) = xy 4 − y y´+ y = xy 4 y´ y xy 4 + = 4 4 y y y4 Dividiendo para y 4 , se obtiene: + y −3 = x y´ 4 y Paso 2: El cambio de variable sería: v = y −3 . = −3 y − 4 dv dy Derivando se obtiene: dx dx dy 1 dv Despejando se obtiene: = dx − 3 y − 4 dx12
  13. 13. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y´ y −4 + y −3 = x 1 dv − 4 Reemplazando se obtiene: − 4 dx y +v = x − 3y dv − 3v = −3 x dx Paso 3: Encontrando v e∫ −3dx = e −3 x ⎡ ⎤ ∫ 1 ⎢ −3 x ( ⎥ v= ⎢ e − 3 x )dx + C ⎥ e −3 x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Integrando por partes: 1 ⎡ e −3 x (− 3 x ) 3 −3 x ⎤ v= ⎢− + e + C⎥ e −3 x ⎢ ⎣ 3 9 ⎥ ⎦ 3 3x v = x + + Ce 9 Paso 4. Encontrando y y −3 = x + 1 + Ce3 x 3 Como v = y −3 entonces y 3 = 1 1 x + + Ce3 x 3 1 y ( x) = 1 3 x + + Ce3 x 3 Ejemplo 3 Encontrar la solución general de y dx + xy − x dy = 0 2 ( 3 ) SOLUCIÓN: Paso 1: Primero tratemos de llevarla a la forma de Bernoulli y2 dx dx ( + xy − x3 dy dx =0 ) ( y 2 + xy − x 3 y´= 0 ) No es posible así tal como está. Cambiando de variable ⎧x → y se tiene: ⎨ ⎩y → x ( x 2 dy + yx − y 3 dx = 0 ) Ahora le damos la forma de Bernoulli. x2 dy dx + yx − y 3( dx dx =0 ) x 2 y´+ xy − y 3 = 0 1 1 y´+ y = 2 y 3 x x 1 y 1 y3y´ = 2 3 + 3 y3 x y3 x y Dividiendo para y , se obtiene: y´ 1 − 2 1 3 + y = 2 y x x Paso 2: cambio de variable v = y −2 . 13
  14. 14. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden dv dy Derivando se obtiene: = −2 y − 3 dx dx dy 1 dv Despejando se obtiene: = dx − 2 y −3 dx 1 −2 1 y´ y −3 +y = 2 x x 1 dv −3 1 1 y + v= 2 − 2 y −3 dx x x Reemplazando se obtiene: 1 dv 1 1 − + v= 2 2 dx x x dv ⎛ 2 ⎞ 2 + ⎜ − ⎟v = − 2 dx ⎝ x ⎠ x Paso 3: Encontrando v 2 e ∫ − x dx = e −2 ln x = e ln x = x −2 −2 ⎡ ⎤ ∫ 1 ⎢ ⎛ 2 ⎞ −2 ⎥ v( x) = ⎜− ⎟ x dx + C ⎥ = −2 ⎢ ⎜ 2⎟ x ⎢ ⎝ x ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 2⎢ ∫ −4 ⎥ v( x) = x ⎢− 2 x dx + C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 2 x −3 ⎤ v( x) = x 2 ⎢ + C⎥ ⎢ 3 ⎣ ⎥ ⎦ 2 x −1 v( x) = + Cx 2 3 Paso 4. Encontrando y 2 x −1 v( x) = + Cx 2 3 2 x −1 Como v = y −2 entonces y = + Cx 2 -2 3 1 y(x) = ± −1 2x + Cx 2 3 Finalmente, regresando a la variable original: 1 x(y) = ± −1 2y + Cy 2 314
  15. 15. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejercicio Propuesto 1.2 Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Bernoulli: 1. x dy dx − y = 2x2 y2 , y (1) = 2 ( ) 3. xdy − y + xy3 (1 + ln x) dx = 0 dy y + 2 xy 2 2. xy − y − y 2 e 2 x = 0 4. = dx x2 1.4 ECUACIONES SEPARABLES Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se puedenexpresar de la forma: M ( x ) dx + N ( y ) dy = 0 Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros. Ejemplo 1 dy x2 Encontrar la solución general de = dx 1 + y 2 SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta: dy x2 = dx 1 + y 2 (1 + y 2 )dy = x 2 dx ∫ (1 + y 2 )dy = ∫ x 2 dx ⎛ 3⎞ 3 ⎜y+ y ⎟= x +C ⎜ 3 ⎟ 3 ⎝ ⎠ Ejemplo 2 x2 + 1 Encontrar la solución particular de y´= ; y (−3) = 4 2− y SOLUCIÓN: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta: 15
  16. 16. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden x2 + 1 y´= 2− y dy x 2 + 1 = dx 2− y ( 2 − y ) dy = ( x 2 + 1)dx ∫ ( 2 − y ) dy = 2 3 ∫ ( x 2 + 1) dx y x 2y − = + x+C 2 3 x0 = −3 Empleando la condición Inicial , encontramos C, es decir: y0 = 4 y 2 x3 2y − = + x+C 2 3 2(4 ) − (4)2 = (− 3)3 + (− 3) + C 2 3 C = 12 y 2 x3 Entonces la solución particular sería: 2 y − = + x + 12 2 3 Existen ecuaciones diferenciable que con un cambio de variable seconvierte en separable. Ejemplo 3 Encontrar la solución particular de y´= 1 tg 2 (x + 2y ) 2 SOLUCIÓN: La ecuación dada no es lineal y tampoco es separable directa, pero haciendo el cambio de variable u = x + 2y se podrá separar las variables. Derivando la expresión de la nueva variable se obtiene: du = d (x + 2y ) = 1 + 2 dy dx dx dx u´-1 Entonces y´= . Reemplazando y resolviendo, resulta: 2 y´= 1 tg 2 (x + 2y ) 2 u´-1 tg 2 u = 2 2 u´−1 = tg 2 u du = 1 + tg 2 u dx du = sec 2 u dx La última ecuación es separable, resolviendo tenemos:16
  17. 17. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden du = sec2 u dx du = dx sec2 u ∫ cos 2 udu = ∫ dx ∫[ ] 1 1 + cos 2u du = x + C 2 1 ⎡u + sen 2u ⎤ = x + C 2⎢⎣ 2 ⎥ ⎦ Y regresando de variable, queda: 1 ⎡(x + 2 y ) + sen 2(x + 2 y ) ⎤ = x + C SOLUCIÓN GENERAL 2⎢⎣ 2 ⎥ ⎦ Ejercicio Propuesto 1.3 Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Separables: dy x2 5. y = e x + y 1. = ( dx y 1 + x 3 ) ( ) ( ) 6. x 2 y + xy − y dx + x 2 y − 2 x 2 dy = 0 2. dy = x 3 − 3x 2 + 5 7. (2 x + 3)dx + (2 y − 2)dy = 0 dx dy 8. = 5 x 4 − 3 x 2 − 2 , y (1) = 4 dy y (x + 1)3 dx 3. = dx x ( y + 1)3 9. dy = 1 − (x − y )2 , y (0) = 1 dx dy x − 1 ( ) 2 4. = dx y 2 + 1 , y (−1) = 1 10. tg 2 (x + y ) dx − dy = 0 11. y y = 1 , y (0) = 5, y (0) = 11.5 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la formay´= f ⎛ y ⎞ , se la denomina Ecuación Diferencial Homogénea. ⎜ x⎟ ⎝ ⎠ y Para encontrar su solución se realiza el cambio de variable v = , para xconvertirla en una ecuación donde se pueda separar sus variables. dyPara obtener se hace lo siguiente: dx Despejando y tenemos: y = vx dy dv = x + (1)v dx dx Derivando con respecto a " x ", se obtiene: dv y´= x +v dx 17
  18. 18. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejemplo 1 1− y Encontrar la solución general de y´= x 1+ y x SOLUCIÓN: y Como es una ecuación homogénea hacemos el cambio de variable v= de donde x dv y´= x +v . dx Reemplazando, y resolviendo resulta: y 1− y´= x y 1+ x dv 1− v x +v= dx 1+ v dv 1 − v x = −v dx 1 + v dv 1 − v − v(1 + v ) x = dx 1+ v dv 1 − v − v − v 2 x = dx 1+ v dv 1 − 2v − v 2 x = dx 1+ v 1+ v dx dv = 2 1 − 2v − v x En la última ecuación están separadas sus variables y podemos proceder a integrar cada miembro: ∫ ∫ 1+ v dx dv = 1 − 2v − v 2 x − 1 ln(1 − 2v − v ) = ln( x) + C 2 2 y Finalmente, debemos reemplazar v = x − 1 ln⎛1 − 2 2 ⎜ ⎝ ( ) − ( ) ⎞⎟⎠ = ln( x) + C S y x y 2 x OLUCIÓN GENERAL Ejemplo 2 dy y y 2 Encontrar la solución general de = + ; y (1) = 1 dx x x 2 SOLUCIÓN: y dv Hacemos el cambio de variable v = de donde y´= x +v x dx Reemplazando, y resolviendo resulta: dy y y 2 = + dx x x 2 dv x + v = v + v2 dx dv x = v2 dx18
  19. 19. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden En la última ecuación se pueden separar las variables. dv dx = v2 x ∫ ∫ 1 1 dv = dx 2 x v 1 − = ln x + C v 1 − = ln x + C y Regresando de variable: x x − = ln x + C y 1 − = ln 1 + C Empleando la condición inicial x0 = 1 y y 0 = 1 resulta 1 C = −1 x Finalmente: − = ln x − 1 SOLUCIÓN PARTICULAR y Ejemplo 3 2⎛ y ⎞ dy y + x cos ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠; π Encontrar la solución general de = y(1) = 4 dx x SOLUCIÓN: y + x cos 2 ⎛ ⎞ y ⎜x⎟ dy = ⎝ ⎠ dx x = + cos 2 ⎛ ⎞ dy y y ⎜x⎟ dx x ⎝ ⎠ y dv Hacemos el cambio de variable v = de donde y´= x +v . x dx = v + cos 2 (v ) dv v+x dx Reemplazando, y resolviendo resulta: = cos 2 (v ) dv x dx ∫ ∫ 1 dx dv = cos (v )2 x Separando variables: tg v = ln x + C y tg = ln x + C x π Empleando la condición inicial dada: tg 1 = ln 1 + C 4 C =1 y Finalmente: tg = ln x + 1 SOLUCIÓN PARTICULAR x 19
  20. 20. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejercicio Propuesto 1.4 Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Homogéneas: y x 1. y − = ( ) 5. x 2 + 3xy + y 2 dx − x 2 dy = 0 x y ⎛ x ⎞ x ⎛ x⎞ ( 2 ) ( ) ⎜ ⎝ y⎟ 2. 3 y + 2 xy dx − 2 xy + x 2 dy = 0 6. ⎜1 + 2e ⎟dx + 2e ⎜1 − y ⎟dy = 0 ⎠ y ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 3. (x + y )dx + (x − y )dy = 0 dy x + 3 y dy y( x + y) 7. = , y (1) = 0 4. = dx x− y dx x( x − y)1.6 ECUACIONES EXACTAS ∂f ∂fSea la función z = f ( x, y ) . Su diferencial total es df = dx + dy ∂x ∂y df ( x, y ) = dc Si f ( x, y ) = C entonces ∂f ∂f dx + dy = 0 ∂x ∂ySuponga ahora que se tiene una ecuación diferencial de la forma: M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0que represente la diferencial total de una función desconocida z = f ( x, y ) .Entonces el asunto sería encontrar la función desconocida. 1.6.1 TEOREMA DE EXACTITUD Una ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ∂M ∂N es exacta si y sólo si = ∂y ∂x Ejemplo 1 dy ( y cos x + 2 xe y ) Encontrar la solución general de =− dx (sen x + x 2e y + 2) SOLUCIÓN: En este caso la forma diferencial de la ecuación es: ( y cos x + 2 xe y )dx + (sen x + x 2e y + 2)dy = 0 M ( x, y ) N ( x, y ) Veamos si que es exacta20
  21. 21. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden ∂M ∂N = cos x + 2 xe y = cos x + 2 xe y ∂y ∂x Como las derivadas cruzadas son iguales, por tanto la ecuación diferencial si es exacta y procedemos a encontrar la función solución. f ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx = ∫ (y cos x + 2 xe )dx = y sen x + x e y 2 y + C1 f ( x, y ) = ∫ N ( x, y )dy = ∫ ( ) sen x + x 2e y + 2 dy = ySenx + x 2e y + 2 y + C2 ySenx + x 2e y + 2 y = C Ejemplo 2 Encontrar la solución general de: dy 2 xy3 + 3x 2 y 2 =0 y(1) = −1 dx SOLUCIÓN: La forma diferencial de la ecuación es: ( ) ( 2 xy3 dx + 3x 2 y 2 dy = 0 ) Veamos si que es exacta ∂M ∂N = 2 x3 y 2 = 6 xy 2 = 6 xy 2 ( Si es exacta ) ∂y ∂x Encontrando la función potencial tenemos: ∂f = 2 xy 3 → f ( x, y ) = x 2 y 3 + C1 ∂x ∂f 3 2 3 = 3x 2 y 2 → f ( x, y ) = x y = x 2 y 3 + C2 ∂y 3 x2 y3 = C Empleando la condición inicial para encontrar C, resulta: (1) 2 (−1) 3 = C → C = -1 Por tanto la solución particular sería: x y = −1 2 3 21
  22. 22. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ejercicio Propuesto 1.5 Encuentre la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas: 1. dy = 2x + y ( 3 ) ( , y (0) = 0 5. 2 x − 2 y + y dx + x − 6 xy dy = 0 2 ) dx 3 + 3 y − x 6. (x + y )dx + (x + 2 y )dy = 0; y (2) = 3 2 2. dy =− 2 xy + y 2 + 1 ( ) ( ) 7. 2 xy 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 x y = 0 dx x 2 + 2 xy cos y 8. y = ( ) ( 3. x 2 + y dx + x + e y dy = 0 ) x sen y − 1 4. dy =− 2 xy + 1 9. y = ( y y − ex ) dx x2 + 2y e − 2 xy x1.7 FACTOR INTEGRANTE ∂M ∂N En la ecuación diferencial M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 , si ≠ a ∂y ∂xveces es posible transformarla en exacta si se la multiplica por una funciónR ( x, y ) ; es decir: R ( x, y )[M ( x, y )dx + N ( x, y ) dy ] = 0 RMdx + RNdy = 0 ∂ (RM ) ∂ (RN ) = ∂y ∂x ∂M ∂N R = R´N + R ∂y ∂x Suponga que R = R (x ) entonces ∂N ∂M NR´+ R −R =0 ∂x ∂y 1 ⎛ ∂N ∂M ⎞ R´+ ⎜ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ R = 0 ⎟ N ⎝ ⎠ La última expresión es una ecuación diferencial lineal para R (x ) ∫ 1 ⎡ 1 ⎛ ∂N ∂M ⎞ ∫ N ⎜ ∂x − ∂y ⎟ dx ⎜ ⎟ ⎤ R( x) = 1 ⎛ ∂N ∂M ⎞ ⎢ 0e ⎝ ⎠ dx + C ⎥ Por lo tanto ∫ N ⎜ ∂x − ∂y ⎜ ⎝ ⎟ dx ⎟ ⎠ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ e 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ ∫ N ⎜ ∂y − ∂x ⎟ dx ⎜ ⎟ R( x) = Ce ⎝ ⎠22

×