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Tema 7. diedrico directo fundamentos

  1. 1. DIBUJO TÉCNICO <br />2º BACHILLERATO<br />TEMA 7. DIÉDRICO DIRECTO<br />Fundamentos<br />Recta y plano<br />Intersecciones<br />Paralelismo<br />Perpendicularidad<br />
  2. 2. A<br />2<br />Z =COTA<br />B<br />2<br />B<br />1<br />Y= ALEJAMIENTO<br />A<br />1<br />X=DISTANCIA<br />1. La representación del punto por coordenadas<br />La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A1 y su proyección vertical A2.<br />No se dibuja línea de tierra.<br />Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos (sistema de coordenadas relativas)<br />X Separación entre líneas de referencia<br />Y Diferencia de alejamientos<br />Z Diferencia de cotas<br />
  3. 3. B<br />2<br />r<br />2<br />z<br />A<br />2<br />A<br />1<br />y<br />r<br />1<br />B<br />1<br />x<br />2. La representación de la recta<br />Una recta queda definida por dos puntos. <br />Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y B pertenecen a la recta r)<br />Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta<br />Recta oblicua: Las dos proyecciones de la recta son oblicuas a las líneas de referencia de sus puntos.<br />
  4. 4. A<br />2<br />B<br />B<br />B<br />2<br />2<br />2<br />f<br />r<br />2<br />2<br />h<br />2<br />A<br />A<br />2<br />2<br />A<br />1<br />B<br />1<br />B<br />B<br />1<br />1<br />A<br />A<br />f<br />r<br />1<br />1<br />1<br />1<br />h<br />1<br />3. Posiciones favorables de la recta<br />Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de sus proyecciones.<br />También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección. <br />Recta de perfil: Paralela al PP. <br />En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH y el ánguloβ que forma con el PV.<br />Recta horizontal: Paralela al PH. <br />Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia .<br />En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el PV.<br />Recta frontal: Paralela al PV. <br />Su proyeccion horizontal f1 es perpendicular a las líneas de referencia.<br />En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH.<br />A<br />3<br />α<br />α<br />β<br />r3=V.M.<br />β<br />=V.M.<br />B<br />3<br />=V.M.<br />
  5. 5. ≡B<br />2<br />≡ r<br />2<br />r<br />r<br />3<br />2<br />A<br />2<br />B<br />B<br />2<br />2<br />A<br />1<br />B<br />1<br />r<br />2<br />A<br />A<br />2<br />2<br />B<br />1<br />r<br />1<br />A<br />r<br />A<br />1<br />≡r<br />1<br />1<br />1<br />≡B<br />1<br />Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos planos de proyección. <br />La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las líneas de referencia.<br />En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su proyección es un punto.<br />Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los otros dos planos de proyección. <br />La dirección de la proyección horizontal es la misma que la de las líneas de referencia.<br />En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su proyección es un punto.<br />Recta perpendicular al PP: En la planta y el alzado se proyecta la VM. <br />Las dos proyecciones principales son paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de referencia.<br />En el perfil la proyección es un punto.<br />B<br />r3=V.M.<br />A<br />3<br />3<br />=V.M.<br />=V.M.<br />B<br />3<br />≡ r3<br />=V.M.<br />=V.M.<br />
  6. 6. A<br />2<br />B<br />2<br />r<br />2<br />r<br />2<br />N<br />2<br />M<br />A<br />2<br />1<br />B<br />1<br />r<br />1<br />M<br />1<br />r<br />1<br />N<br />1<br />4. Pertenencia de punto a recta<br />Dada una recta r y el punto M, para que el punto pertenezca a la recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren sobre las proyecciones del mismo nombre en la recta<br />C<br />C<br />C<br />2<br />1<br />3<br />A<br />3<br />α<br />En el caso de la recta de perfil no es suficiente con comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil para comprobar que no pertenece a la recta. <br />r3=V.M.<br />β<br />B<br />3<br />
  7. 7. r<br />r<br />2<br />2<br />s<br />s<br />2<br />2<br />P<br />P<br />2<br />2<br />P<br />P<br />1<br />1<br />r<br />r<br />1<br />1<br />s<br />1<br />s<br />1<br />5. Condición de corte de dos rectas<br />La condición para que dos rectas se corten es que tengan un punto en común.<br />Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan en el espacio.<br />
  8. 8. 6. Proyecciones auxiliares de una recta (por cambio de plano)<br />Además de la proyección de perfil de una recta, a veces es conveniente disponer de otras proyecciones auxiliares para lo que necesitaremos cambiar la posición de uno de los dos planos de proyección principales.<br />B2<br />B2<br />Conversión de una recta oblicua en frontal:<br />Conversión de una recta oblicua en horizontal: <br />A2<br />A2<br />A1<br />A1<br />B1’<br />A2’<br />B1<br />B1<br />A1’<br />y<br />y<br />z<br />z<br />VM<br />VM<br />B2’<br />
  9. 9. B<br />2<br />r<br />2<br />N<br />2<br />C<br />P<br />2<br />2<br />M<br />2<br />A<br />2<br />A<br />1<br />M<br />1<br />r<br />1<br />P<br />C<br />1<br />N<br />1<br />1<br />B<br />1<br />7. Representación del plano<br />La mejor manera de representar un plano es por medio del polígono más simple (triángulo) perteneciente a dicho plano<br />8. Pertenencia recta y punto a un plano<br />Dado un polígono ABC que define un plano y el punto P<br />Se traza una de las proyecciones de una recta auxiliar R que pase por P<br />Se localizan las proyecciones de la intersección de R con dos rectas del plano para que R esté contenida en dicho plano (M y N)<br />Trazar la otra proyección de R<br />Se comprueba que el punto P esté contenido en R<br />
  10. 10. 9. Rectas notables del plano<br />Recta horizontal del plano: Paralela al PH de referencia.<br />Recta frontal del plano: Paralela al PV de referencia<br />h2<br />f2<br />h1<br />f1<br />Recta de máxima pendiente: Perpendicular a una horizontal del plano<br />Recta de máxima inclinación: Perpendicular a una frontal del plano<br />m2<br />n2<br />m1<br />n1<br />
  11. 11. B<br />2<br />r<br />2<br />s<br />2<br />A<br />2<br />2<br />P<br />2<br />C<br />2<br />C<br />1<br />1<br />A<br />1<br />P<br />1<br />r<br />1<br />s<br />B<br />1<br />1<br />r<br />2<br />P<br />2<br />r<br />1<br />P<br />1<br />10. Formas de determinar un plano<br />La forma más habitual de representar un plano en diédrico directo es mediante una forma poligonal cerrada, pero desde el punto de vista conceptual el plano puede venir determinado por:<br />Dos rectas que se cortan<br />Dos rectas paralelas<br />r2<br />s2<br />A2<br />C2<br />r1<br />s1<br />B2<br />D2<br />A1<br />C1<br />D1<br />B1<br />Tres puntos no alineados<br />Una recta y un punto exterior<br />
  12. 12. n<br />2<br />m<br />f<br />2<br />2<br />P<br />h<br />P<br />2<br />2<br />2<br />n<br />1<br />f<br />P<br />1<br />1<br />P<br />1<br />m<br />1<br />h<br />1<br />Los dos siguientes son casos particulares de dos rectas que se cortan:<br />Con una recta de máxima pendiente<br />Con una recta de máxima inclinación<br />
  13. 13. 11. Posiciones del plano favorables<br />Las posiciones que un plano puede ocupar en relación con los planos de proyección son: oblicuo, perpendicular y paralelo. <br />Las posiciones favorables del plano son aquellas en las que el plano muestra su verdadera magnitud o aquellas que son útiles para resolver relaciones geométricas, como ángulos o intersecciones.<br />Plano perpendicular a los de proyección o planos proyectantes<br />f2<br />Proyectante horizontal: <br />Perpendicular al PH. <br />En la planta su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo β de este plano con el PV.<br />En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación.<br />Las frontales, cuya proyección horizontal es un punto (recta vertical) son también rectas de máxima pendiente.<br />α2<br />h2<br />β<br />f1<br />α1<br />≡h1<br />
  14. 14. Proyectante vertical: <br />Perpendicular al PV. <br />En el alzado su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo que forma con el PH.<br />En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación y su proyección vertical es un punto (recta de punta).<br />Las frontales, son también rectas de máxima pendiente.<br />h2<br />≡f2<br />h1<br />α2<br />f1<br />α3<br />Proyectante de perfil: <br />Es perpendicular al PP. <br />En el perfil su proyección queda contenida en una recta y se miden los ángulos que forma con el PH y con el PV.<br />α2<br />β<br />α1<br />α1<br />
  15. 15. n2<br />m2<br />Plano paralelo a los de proyección o planos proyectantes<br />Plano horizontal: <br />Paralelo al PH y perpendicular a los otros dos de proyección. <br />En planta los elementos contenidos se presentan en VM y en el alzado y perfil la proyección está contenida en una recta.<br />Todas las rectas de este plano son horizontales, incluso las de máxima pendiente.<br />La frontal f tendrá sus dos proyecciones paralelas a la LT. <br />La recta de máxima inclinación es una recta de punta.<br />α2<br />≡h2<br />m1<br />n1<br />≡f2<br />h1<br />Plano frontal: <br />Paralelo al PV y perpendicular a los otros dos de proyección. <br />En el alzado los elementos se ven en VM y en la planta y el perfil la proyección de los mismos queda contenida en la recta.<br />Todas las rectas de este plano son frontales, incluso las de máxima pendiente.<br />La horizontal h tendrá sus proyecciones paralelas a la LT. <br />La recta de máxima pendiente es una recta de punta.<br />f2<br />α1= VM<br />f1<br />α2= VM<br />h2<br />≡h1<br />≡f1<br />α1<br />
  16. 16. Plano de perfil:<br />Paralelo al PP y perpendicular a los otros dos planos de proyección. <br />En el perfil los elementos se ven en VM. En la planta y el alzado la proyección queda contenida en una recta.<br />La horizontal h coincide con la recta de máxima inclinación y es, al mismo tiempo, una recta de punta.<br />La frontal f coincide con la recta de máxima pendiente y es una recta vertical.<br />h3<br />α3= VM<br />α2<br />h2<br />y<br />y<br />Y’<br />Y’<br />≡ f2<br />f3<br />α1<br />≡h1<br />f1<br />
  17. 17. 12. Proyecciones auxiliares del plano por medio de CAMBIOS DE PLANO<br />Que una forma plana sea paralela a un plano de proyección supone una gran ventaja ya que la proyección que obtenemos sobre este es real en forma y dimensión (VM). <br />Conversión plano oblicuo en proyectante horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)<br />B<br />2<br />B’<br />1<br />f2<br />C<br />2<br />C’<br />1<br />A<br />2<br />A’<br />1<br />A<br />1<br />YC<br />Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta FRONTAL<br />f1<br />YB<br />YB<br />C<br />1<br />YC<br />B<br />1<br />
  18. 18. Conversión plano proyectante horizontal en frontal (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)<br />Por las proyecciones horizontales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección horizontal del plano y sobre ellas se trasladan las cotas<br />1<br />A<br />1<br />C<br />La nueva proyección vertical está en VM.<br />2<br />1<br />A<br />C’<br />B<br />2<br />2<br />C<br />A’<br />zA<br />ZA<br />2<br />2<br />B<br />B’<br />2<br />ZB<br />ZB<br />
  19. 19. Conversión plano oblicuo en proyectante vertical (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)<br />B<br />2<br />A”<br />2<br />C’’<br />2<br />h2<br />C<br />2<br />B’’<br />A<br />2<br />2<br />A<br />1<br />h1<br />Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta HORIZONTAL<br />zB<br />zB<br />C<br />1<br />ZC<br />ZC<br />B<br />1<br />
  20. 20. Conversión plano proyectante vertical en horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)<br />C<br />1<br />C<br />2<br />A<br />2<br />B’<br />1<br />B<br />2<br />A’<br />1<br />Por las proyecciones verticales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección vertical del plano y sobre ellas se trasladan los alejamientos<br />B<br />1<br />YC<br />YC<br />C<br />YB<br />YB<br />1<br />La nueva proyección horizontal está en VM.<br />A<br />1<br />
  21. 21. RESUMEN<br />Para representar la VM de un plano en posición general realizamos dos cambios de plano.<br />En el primero el plano ha de quedar proyectante (vertical) : h1 indica la dirección de la proyección<br />A partir de esta proyección y proyectando perpendicularmente definimos el nuevo plano horizontal de proyección paralelo a este polígono sobre el que hallamos la VM del mismo. <br />B2<br />B’1<br />z2<br />z2<br />B’2<br />h2<br />A’1<br />A2<br />z1<br />z1<br />C2<br />A’2<br />B1<br />A1<br />C’2<br />h1<br />C’1<br />y1<br />y1<br />y2<br />y2<br />C1<br />VM<br />
  22. 22. En este caso un de las horizontales del plano (lados AB o CD) indica la dirección de la proyección<br />En el segundo, el plano debe quedar paralelo al nuevo plano de proyección<br />A2<br />B2<br />A2’≡B2’<br />A’ 1<br />z<br />z<br />C2<br />B1’<br />D2<br />C1<br />A1<br />C2’≡D2’<br />VM<br />C1’<br />Y1<br />B1<br />D1’<br />D1<br />Y1<br />Y2<br />Y2<br />
  23. 23. Cambio de plano horizontal (piezas)<br />En la nueva proyección horizontal (o planta auxiliar), los alejamientos relativos respecto al plano de los elementos representados no varían respecto a los que tenían en la antigua planta.<br />y1<br />y1<br />y2<br />y<br />y<br />y2<br />VM<br />VM<br />
  24. 24. Cambio de plano vertical (piezas)<br />En la nueva proyección vertical (o alzado auxiliar), las cotas o alturas de los elementos representados no varían respecto a las que tenían en el antiguo alzado<br />VM<br />VM<br />V2<br />V3<br />A3<br />z<br />z<br />z<br />A2<br />B2<br />α<br />z<br />A1<br />B3<br />V1<br />B1<br />
  25. 25. r<br />2<br />s<br />2<br />r<br />2<br />s<br />2<br />P<br />2<br />P<br />1<br />r<br />1<br />s<br />r<br />1<br />1<br />s<br />1<br />13. Intersección entre rectas<br />La intersección entre dos rectas es un punto. No hay que confundirla con el caso de dos rectas que se cruzan (en el espacio)<br />Rectas que se cortan<br />Rectas que se cruzan<br />Existe un punto común a ambas rectas<br />NO existe un punto común a las rectas<br />
  26. 26. 14. Intersección de dos planos<br />La intersección dos planos es una recta. <br />Si utilizamos como planos dos formas poligonales, la recta intersección está definida por el segmento que tienen ambos en común (siempre que los planos no sean paralelos)<br />β<br />D2<br />B2<br />E2<br />s<br />G2<br />A2<br />α<br />C2<br />H2<br />F2<br />D1<br />F1<br />B1<br />G1<br />A1<br />E1<br />H1<br />C1<br />Si uno de los planos es proyectante, se visualiza directamente la recta intersección.<br />
  27. 27. visibilidad<br />Para determinar la visibilidad de los planos:<br />En las zonas comunes de la proyección horizontal serán invisibles, aquellas que observando la proyección vertical tenga menor cota.<br />D2<br />B2<br />E2<br />G2<br />Menor cota: no visible en proyección horizontal<br />A2<br />C2<br />H2<br />Menor cota: no visible en proyección horizontal<br />F2<br />D1<br />F1<br />B1<br />G1<br />A1<br />E1<br />H1<br />C1<br />En las zonas comunes de la proyección vertical, serán visibles las que tenga mayor alejamiento (lo que se ve en el plano horizontal) y oculta la de menor. <br />
  28. 28. Mediante cambio de plano<br />B2<br />h2<br />G2<br />z4<br />z4<br />B’2<br />z3<br />z3<br />z1<br />z1<br />L2<br />z2<br />z2<br />K2<br />J2<br />F2<br />J’2<br />A2<br />E’2<br />K’<br />h1<br />K’2<br />E2<br />J1<br />F’2<br />C’2<br />C2<br />B1<br />E1<br />A’2<br />G’2<br />L1<br />F1<br />C1<br />A1<br />G1<br />
  29. 29. Mediante planos auxiliares<br />B2<br />G2<br />α2<br />S2<br />M2<br />L2<br />K2<br />A2<br />O2<br />Q2<br />P2<br />β2<br />F2<br />T2<br />E2<br />C2<br />B1<br />E1<br />K1<br />S1<br />T1<br />M1<br />F1<br />C1<br />L1<br />P1<br />A1<br />Q1<br />G1<br />O1<br />
  30. 30. 15. Intersección entre recta y plano<br />La intersección de una recta con un plano es un punto. <br />β<br />r<br />El método general para determinar la intersección de una recta r con un plano α, consiste en hacer pasar por la recta r un plano auxiliar β. La intersección de α con β produce una recta s. La intersección de r con s origina el punto de intersección.<br />P<br />s<br />α<br />r2<br />α2<br />P2<br />Si el plano está situado en posición favorable (proyectante), queda inmediatamente visualizado el punto de intersección.<br />El plano en posición proyectante es una posición favorable, muy útil para la resolución de intersecciones y en la representación de la perpendicularidad.<br />r1<br />P1<br />α1<br />
  31. 31. Mediante cambio de plano<br />Mediante plano auxiliar que contenga la recta (intersección de planos)<br />r2<br />r2<br />≡α2<br />D2<br />B2<br />B2<br />h2<br />r’2<br />E2<br />z1<br />z1<br />z2<br />z2<br />z3<br />z3<br />A2<br />A2<br />E1<br />C’2<br />A’2<br />I1<br />D1<br />C2<br />C2<br />I’2<br />r1<br />r1<br />I1<br />I2<br />I2<br />B’2<br />h1<br />C1<br />C1<br />A1<br />A1<br />B1<br />B1<br />
  32. 32. 16. Intersección de dos planos mediante intersección recta plano<br />α2<br />B2<br />G2<br />S2<br />N2<br />A2<br />β2<br />F2<br />E2<br />T2<br />≡O2<br />M2<br />C2<br />B1<br />E1<br />P2<br />N1<br />T1<br />S1<br />F1<br />P1<br />C1<br />A1<br />M1<br />G1<br />O1<br />
  33. 33. 17. Paralelismo<br />1. Paralelismo entre rectas<br />2. Paralelismo entre recta y plano<br />Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.<br />Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está contenida en el plano<br />r<br />r2<br />s2<br />Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su proyección de perfil para verificar el paralelismo<br />B<br />A<br />s<br />α<br />r1<br />s1<br />
  34. 34. Casos de paralelismo entre recta y plano<br />Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano. (infinitas soluciones)<br />Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas soluciones)<br />Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s. (solución única)<br />P2<br />P2<br />P2<br />s2<br />r2<br />r2<br />r2<br />r2<br />s2<br />s2<br />s2<br />P1<br />P1<br />P1<br />s1<br />r1<br />r1<br />r1<br />r1<br />s1<br />s1<br />s1<br />
  35. 35. 3. Paralelismo entre planos<br />Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.<br />P2<br />P2<br />Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de rectas del otro plano.<br />h2<br />h2<br />f2<br />f2<br />Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados del polígono que representa el plano.<br />P1<br />P1<br />h1<br />h1<br />f1<br />Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α. <br />f1<br />r2<br />r2<br />α2<br />α2<br />α2<br />s2<br />s2<br />r1<br />r1<br />α1<br />α1<br />α1<br />s1<br />s1<br />
  36. 36. 18. Perpendicularidad<br />1. Perpendicularidad entre rectas<br />Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.<br />A2<br />A2<br />P2<br />P2<br />r<br />r2<br />r1<br />r2<br />h2<br />f2<br />A1<br />A1<br />r1<br />Recta perpendicular a f o h que pasa por P <br />α<br />P1<br />s<br />s’<br />h1<br />f1<br />P1<br />r’<br />
  37. 37. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método cambio de plano<br />12<br />22<br />1. Realizo el cambio de plano horizontal y convierto r en una horizontal.<br />B2<br />A2<br />p2<br />r2<br />2. Realizo este mismo cambio de plano para A.<br />r1<br />21<br />3. Desde A’1 trazo una s’1 rectaperpendicular a r’1.<br />A1<br />2’1<br />4. Obtengo B, punto de intersección de las dos rectas y lo traslado sobre las otras proyecciones de r.<br />11<br />p1<br />5. Uno A con B para dibujar las proyecciones de la recta s perpendicular a r <br />B’1<br />B1<br />A’1<br />s’1<br />1’1<br />r’1<br />
  38. 38. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método Plano auxiliar <br />B2<br />f2<br />≡ s2<br />12<br />≡α2<br />22<br />h2<br />r2<br />A2<br />p2<br />1. Dibujo por A una horizontal perpendicular a r1<br />2. Dibujo por A una frontal perpendicular a r2<br />r1<br />h1<br />21<br />B1<br />3. Inserto r en un plano auxiliar α que corta al plano formado por h y f<br />A1<br />f1<br />4. Obtengo los puntos de intersección 1 y 2 para hallar s (intersección de los dos planos)<br />p1<br />5. Donde s corta a r hallo punto B<br />6. Uno A con B y obtengo recta solución.<br />11<br />s1<br />
  39. 39. 2. Perpendicularidad entre recta y plano<br />f2<br />P2<br />Si una recta es perpendicular a un plano también lo es a todas las infinitas rectas contenidas en ese plano.<br />h2<br />r2<br />Trazar por A el plano perpendicular a una recta conocida<br />Trazar por P la recta perpendicular a un plano conocido<br />A2<br />f2<br />h2<br />c2<br />r1<br />r2<br />Aplicando el teorema de las tres perpendicularidades se deduce que en la planta la proyección de la recta r será perpendicular a las proyecciones de las rectas horizontales del plano. Por la misma razón en el alzado la proyección de r será perpendicular a las proyecciones de las frontales del plano.<br />A1<br />f1<br />B2<br />f1<br />A2<br />h1<br />c1<br />P1<br />B1<br />h1<br />A1<br />r1<br />
  40. 40. P2<br />3. Perpendicularidad entre planos<br />Dibujar plano que pase por la recta r y sea perpendicular al dado ABC<br />Un plano βes perpendicular a otro αsi β contiene una recta perpendicular a α. Además r es el eje de un haz de planos perpendiculares a α.<br />f2<br />h2<br />c2<br />s2<br />r2<br />B2<br />f1<br />A2<br />r<br />h1<br />c1<br />P1<br />α2<br />B1<br />β<br />α<br />A1<br />r1<br />s1<br />α1<br />
  41. 41. r2<br />42<br />Analizar si son perpendiculares entre sí los dos planos<br />f2<br />32<br />D2<br />h2<br />22<br />12<br />B2<br />1. Dibujo una horizontal del plano ABC<br />E2<br />A2<br />2. Dibujo una frontal del plano ABC<br />F2<br />C2<br />3. Dibujo en el plano EFG una recta cualquiera r cuya r1 sea perpendicular a h1 y r2 perpendicular a f2<br />F1<br />B1<br />41<br />f1<br />A1<br />r1<br />4. Compruebo que la recta pertenece al plano EFD. En este caso compruebo que la recta r pertenece al plano por lo que ambos planos son perpendiculares.<br />D1<br />11<br />21<br />E1<br />31<br />C1<br />h1<br />

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