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Tema 7. diedrico directo fundamentos
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Tema 7. diedrico directo fundamentos

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Transcript

  • 1. DIBUJO TÉCNICO
    2º BACHILLERATO
    TEMA 7. DIÉDRICO DIRECTO
    Fundamentos
    Recta y plano
    Intersecciones
    Paralelismo
    Perpendicularidad
  • 2. A
    2
    Z =COTA
    B
    2
    B
    1
    Y= ALEJAMIENTO
    A
    1
    X=DISTANCIA
    1. La representación del punto por coordenadas
    La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A1 y su proyección vertical A2.
    No se dibuja línea de tierra.
    Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos (sistema de coordenadas relativas)
    X Separación entre líneas de referencia
    Y Diferencia de alejamientos
    Z Diferencia de cotas
  • 3. B
    2
    r
    2
    z
    A
    2
    A
    1
    y
    r
    1
    B
    1
    x
    2. La representación de la recta
    Una recta queda definida por dos puntos.
    Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y B pertenecen a la recta r)
    Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta
    Recta oblicua: Las dos proyecciones de la recta son oblicuas a las líneas de referencia de sus puntos.
  • 4. A
    2
    B
    B
    B
    2
    2
    2
    f
    r
    2
    2
    h
    2
    A
    A
    2
    2
    A
    1
    B
    1
    B
    B
    1
    1
    A
    A
    f
    r
    1
    1
    1
    1
    h
    1
    3. Posiciones favorables de la recta
    Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de sus proyecciones.
    También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección.
    Recta de perfil: Paralela al PP.
    En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH y el ánguloβ que forma con el PV.
    Recta horizontal: Paralela al PH.
    Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia .
    En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el PV.
    Recta frontal: Paralela al PV.
    Su proyeccion horizontal f1 es perpendicular a las líneas de referencia.
    En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH.
    A
    3
    α
    α
    β
    r3=V.M.
    β
    =V.M.
    B
    3
    =V.M.
  • 5. ≡B
    2
    ≡ r
    2
    r
    r
    3
    2
    A
    2
    B
    B
    2
    2
    A
    1
    B
    1
    r
    2
    A
    A
    2
    2
    B
    1
    r
    1
    A
    r
    A
    1
    ≡r
    1
    1
    1
    ≡B
    1
    Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos planos de proyección.
    La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las líneas de referencia.
    En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su proyección es un punto.
    Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los otros dos planos de proyección.
    La dirección de la proyección horizontal es la misma que la de las líneas de referencia.
    En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su proyección es un punto.
    Recta perpendicular al PP: En la planta y el alzado se proyecta la VM.
    Las dos proyecciones principales son paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de referencia.
    En el perfil la proyección es un punto.
    B
    r3=V.M.
    A
    3
    3
    =V.M.
    =V.M.
    B
    3
    ≡ r3
    =V.M.
    =V.M.
  • 6. A
    2
    B
    2
    r
    2
    r
    2
    N
    2
    M
    A
    2
    1
    B
    1
    r
    1
    M
    1
    r
    1
    N
    1
    4. Pertenencia de punto a recta
    Dada una recta r y el punto M, para que el punto pertenezca a la recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren sobre las proyecciones del mismo nombre en la recta
    C
    C
    C
    2
    1
    3
    A
    3
    α
    En el caso de la recta de perfil no es suficiente con comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil para comprobar que no pertenece a la recta.
    r3=V.M.
    β
    B
    3
  • 7. r
    r
    2
    2
    s
    s
    2
    2
    P
    P
    2
    2
    P
    P
    1
    1
    r
    r
    1
    1
    s
    1
    s
    1
    5. Condición de corte de dos rectas
    La condición para que dos rectas se corten es que tengan un punto en común.
    Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan en el espacio.
  • 8. 6. Proyecciones auxiliares de una recta (por cambio de plano)
    Además de la proyección de perfil de una recta, a veces es conveniente disponer de otras proyecciones auxiliares para lo que necesitaremos cambiar la posición de uno de los dos planos de proyección principales.
    B2
    B2
    Conversión de una recta oblicua en frontal:
    Conversión de una recta oblicua en horizontal:
    A2
    A2
    A1
    A1
    B1’
    A2’
    B1
    B1
    A1’
    y
    y
    z
    z
    VM
    VM
    B2’
  • 9. B
    2
    r
    2
    N
    2
    C
    P
    2
    2
    M
    2
    A
    2
    A
    1
    M
    1
    r
    1
    P
    C
    1
    N
    1
    1
    B
    1
    7. Representación del plano
    La mejor manera de representar un plano es por medio del polígono más simple (triángulo) perteneciente a dicho plano
    8. Pertenencia recta y punto a un plano
    Dado un polígono ABC que define un plano y el punto P
    Se traza una de las proyecciones de una recta auxiliar R que pase por P
    Se localizan las proyecciones de la intersección de R con dos rectas del plano para que R esté contenida en dicho plano (M y N)
    Trazar la otra proyección de R
    Se comprueba que el punto P esté contenido en R
  • 10. 9. Rectas notables del plano
    Recta horizontal del plano: Paralela al PH de referencia.
    Recta frontal del plano: Paralela al PV de referencia
    h2
    f2
    h1
    f1
    Recta de máxima pendiente: Perpendicular a una horizontal del plano
    Recta de máxima inclinación: Perpendicular a una frontal del plano
    m2
    n2
    m1
    n1
  • 11. B
    2
    r
    2
    s
    2
    A
    2
    2
    P
    2
    C
    2
    C
    1
    1
    A
    1
    P
    1
    r
    1
    s
    B
    1
    1
    r
    2
    P
    2
    r
    1
    P
    1
    10. Formas de determinar un plano
    La forma más habitual de representar un plano en diédrico directo es mediante una forma poligonal cerrada, pero desde el punto de vista conceptual el plano puede venir determinado por:
    Dos rectas que se cortan
    Dos rectas paralelas
    r2
    s2
    A2
    C2
    r1
    s1
    B2
    D2
    A1
    C1
    D1
    B1
    Tres puntos no alineados
    Una recta y un punto exterior
  • 12. n
    2
    m
    f
    2
    2
    P
    h
    P
    2
    2
    2
    n
    1
    f
    P
    1
    1
    P
    1
    m
    1
    h
    1
    Los dos siguientes son casos particulares de dos rectas que se cortan:
    Con una recta de máxima pendiente
    Con una recta de máxima inclinación
  • 13. 11. Posiciones del plano favorables
    Las posiciones que un plano puede ocupar en relación con los planos de proyección son: oblicuo, perpendicular y paralelo.
    Las posiciones favorables del plano son aquellas en las que el plano muestra su verdadera magnitud o aquellas que son útiles para resolver relaciones geométricas, como ángulos o intersecciones.
    Plano perpendicular a los de proyección o planos proyectantes
    f2
    Proyectante horizontal:
    Perpendicular al PH.
    En la planta su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo β de este plano con el PV.
    En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación.
    Las frontales, cuya proyección horizontal es un punto (recta vertical) son también rectas de máxima pendiente.
    α2
    h2
    β
    f1
    α1
    ≡h1
  • 14. Proyectante vertical:
    Perpendicular al PV.
    En el alzado su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo que forma con el PH.
    En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación y su proyección vertical es un punto (recta de punta).
    Las frontales, son también rectas de máxima pendiente.
    h2
    ≡f2
    h1
    α2
    f1
    α3
    Proyectante de perfil:
    Es perpendicular al PP.
    En el perfil su proyección queda contenida en una recta y se miden los ángulos que forma con el PH y con el PV.
    α2
    β
    α1
    α1
  • 15. n2
    m2
    Plano paralelo a los de proyección o planos proyectantes
    Plano horizontal:
    Paralelo al PH y perpendicular a los otros dos de proyección.
    En planta los elementos contenidos se presentan en VM y en el alzado y perfil la proyección está contenida en una recta.
    Todas las rectas de este plano son horizontales, incluso las de máxima pendiente.
    La frontal f tendrá sus dos proyecciones paralelas a la LT.
    La recta de máxima inclinación es una recta de punta.
    α2
    ≡h2
    m1
    n1
    ≡f2
    h1
    Plano frontal:
    Paralelo al PV y perpendicular a los otros dos de proyección.
    En el alzado los elementos se ven en VM y en la planta y el perfil la proyección de los mismos queda contenida en la recta.
    Todas las rectas de este plano son frontales, incluso las de máxima pendiente.
    La horizontal h tendrá sus proyecciones paralelas a la LT.
    La recta de máxima pendiente es una recta de punta.
    f2
    α1= VM
    f1
    α2= VM
    h2
    ≡h1
    ≡f1
    α1
  • 16. Plano de perfil:
    Paralelo al PP y perpendicular a los otros dos planos de proyección.
    En el perfil los elementos se ven en VM. En la planta y el alzado la proyección queda contenida en una recta.
    La horizontal h coincide con la recta de máxima inclinación y es, al mismo tiempo, una recta de punta.
    La frontal f coincide con la recta de máxima pendiente y es una recta vertical.
    h3
    α3= VM
    α2
    h2
    y
    y
    Y’
    Y’
    ≡ f2
    f3
    α1
    ≡h1
    f1
  • 17. 12. Proyecciones auxiliares del plano por medio de CAMBIOS DE PLANO
    Que una forma plana sea paralela a un plano de proyección supone una gran ventaja ya que la proyección que obtenemos sobre este es real en forma y dimensión (VM).
    Conversión plano oblicuo en proyectante horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)
    B
    2
    B’
    1
    f2
    C
    2
    C’
    1
    A
    2
    A’
    1
    A
    1
    YC
    Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta FRONTAL
    f1
    YB
    YB
    C
    1
    YC
    B
    1
  • 18. Conversión plano proyectante horizontal en frontal (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)
    Por las proyecciones horizontales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección horizontal del plano y sobre ellas se trasladan las cotas
    1
    A
    1
    C
    La nueva proyección vertical está en VM.
    2
    1
    A
    C’
    B
    2
    2
    C
    A’
    zA
    ZA
    2
    2
    B
    B’
    2
    ZB
    ZB
  • 19. Conversión plano oblicuo en proyectante vertical (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)
    B
    2
    A”
    2
    C’’
    2
    h2
    C
    2
    B’’
    A
    2
    2
    A
    1
    h1
    Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta HORIZONTAL
    zB
    zB
    C
    1
    ZC
    ZC
    B
    1
  • 20. Conversión plano proyectante vertical en horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)
    C
    1
    C
    2
    A
    2
    B’
    1
    B
    2
    A’
    1
    Por las proyecciones verticales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección vertical del plano y sobre ellas se trasladan los alejamientos
    B
    1
    YC
    YC
    C
    YB
    YB
    1
    La nueva proyección horizontal está en VM.
    A
    1
  • 21. RESUMEN
    Para representar la VM de un plano en posición general realizamos dos cambios de plano.
    En el primero el plano ha de quedar proyectante (vertical) : h1 indica la dirección de la proyección
    A partir de esta proyección y proyectando perpendicularmente definimos el nuevo plano horizontal de proyección paralelo a este polígono sobre el que hallamos la VM del mismo.
    B2
    B’1
    z2
    z2
    B’2
    h2
    A’1
    A2
    z1
    z1
    C2
    A’2
    B1
    A1
    C’2
    h1
    C’1
    y1
    y1
    y2
    y2
    C1
    VM
  • 22. En este caso un de las horizontales del plano (lados AB o CD) indica la dirección de la proyección
    En el segundo, el plano debe quedar paralelo al nuevo plano de proyección
    A2
    B2
    A2’≡B2’
    A’ 1
    z
    z
    C2
    B1’
    D2
    C1
    A1
    C2’≡D2’
    VM
    C1’
    Y1
    B1
    D1’
    D1
    Y1
    Y2
    Y2
  • 23. Cambio de plano horizontal (piezas)
    En la nueva proyección horizontal (o planta auxiliar), los alejamientos relativos respecto al plano de los elementos representados no varían respecto a los que tenían en la antigua planta.
    y1
    y1
    y2
    y
    y
    y2
    VM
    VM
  • 24. Cambio de plano vertical (piezas)
    En la nueva proyección vertical (o alzado auxiliar), las cotas o alturas de los elementos representados no varían respecto a las que tenían en el antiguo alzado
    VM
    VM
    V2
    V3
    A3
    z
    z
    z
    A2
    B2
    α
    z
    A1
    B3
    V1
    B1
  • 25. r
    2
    s
    2
    r
    2
    s
    2
    P
    2
    P
    1
    r
    1
    s
    r
    1
    1
    s
    1
    13. Intersección entre rectas
    La intersección entre dos rectas es un punto. No hay que confundirla con el caso de dos rectas que se cruzan (en el espacio)
    Rectas que se cortan
    Rectas que se cruzan
    Existe un punto común a ambas rectas
    NO existe un punto común a las rectas
  • 26. 14. Intersección de dos planos
    La intersección dos planos es una recta.
    Si utilizamos como planos dos formas poligonales, la recta intersección está definida por el segmento que tienen ambos en común (siempre que los planos no sean paralelos)
    β
    D2
    B2
    E2
    s
    G2
    A2
    α
    C2
    H2
    F2
    D1
    F1
    B1
    G1
    A1
    E1
    H1
    C1
    Si uno de los planos es proyectante, se visualiza directamente la recta intersección.
  • 27. visibilidad
    Para determinar la visibilidad de los planos:
    En las zonas comunes de la proyección horizontal serán invisibles, aquellas que observando la proyección vertical tenga menor cota.
    D2
    B2
    E2
    G2
    Menor cota: no visible en proyección horizontal
    A2
    C2
    H2
    Menor cota: no visible en proyección horizontal
    F2
    D1
    F1
    B1
    G1
    A1
    E1
    H1
    C1
    En las zonas comunes de la proyección vertical, serán visibles las que tenga mayor alejamiento (lo que se ve en el plano horizontal) y oculta la de menor.
  • 28. Mediante cambio de plano
    B2
    h2
    G2
    z4
    z4
    B’2
    z3
    z3
    z1
    z1
    L2
    z2
    z2
    K2
    J2
    F2
    J’2
    A2
    E’2
    K’
    h1
    K’2
    E2
    J1
    F’2
    C’2
    C2
    B1
    E1
    A’2
    G’2
    L1
    F1
    C1
    A1
    G1
  • 29. Mediante planos auxiliares
    B2
    G2
    α2
    S2
    M2
    L2
    K2
    A2
    O2
    Q2
    P2
    β2
    F2
    T2
    E2
    C2
    B1
    E1
    K1
    S1
    T1
    M1
    F1
    C1
    L1
    P1
    A1
    Q1
    G1
    O1
  • 30. 15. Intersección entre recta y plano
    La intersección de una recta con un plano es un punto.
    β
    r
    El método general para determinar la intersección de una recta r con un plano α, consiste en hacer pasar por la recta r un plano auxiliar β. La intersección de α con β produce una recta s. La intersección de r con s origina el punto de intersección.
    P
    s
    α
    r2
    α2
    P2
    Si el plano está situado en posición favorable (proyectante), queda inmediatamente visualizado el punto de intersección.
    El plano en posición proyectante es una posición favorable, muy útil para la resolución de intersecciones y en la representación de la perpendicularidad.
    r1
    P1
    α1
  • 31. Mediante cambio de plano
    Mediante plano auxiliar que contenga la recta (intersección de planos)
    r2
    r2
    ≡α2
    D2
    B2
    B2
    h2
    r’2
    E2
    z1
    z1
    z2
    z2
    z3
    z3
    A2
    A2
    E1
    C’2
    A’2
    I1
    D1
    C2
    C2
    I’2
    r1
    r1
    I1
    I2
    I2
    B’2
    h1
    C1
    C1
    A1
    A1
    B1
    B1
  • 32. 16. Intersección de dos planos mediante intersección recta plano
    α2
    B2
    G2
    S2
    N2
    A2
    β2
    F2
    E2
    T2
    ≡O2
    M2
    C2
    B1
    E1
    P2
    N1
    T1
    S1
    F1
    P1
    C1
    A1
    M1
    G1
    O1
  • 33. 17. Paralelismo
    1. Paralelismo entre rectas
    2. Paralelismo entre recta y plano
    Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.
    Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está contenida en el plano
    r
    r2
    s2
    Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su proyección de perfil para verificar el paralelismo
    B
    A
    s
    α
    r1
    s1
  • 34. Casos de paralelismo entre recta y plano
    Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano. (infinitas soluciones)
    Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas soluciones)
    Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s. (solución única)
    P2
    P2
    P2
    s2
    r2
    r2
    r2
    r2
    s2
    s2
    s2
    P1
    P1
    P1
    s1
    r1
    r1
    r1
    r1
    s1
    s1
    s1
  • 35. 3. Paralelismo entre planos
    Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.
    P2
    P2
    Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de rectas del otro plano.
    h2
    h2
    f2
    f2
    Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados del polígono que representa el plano.
    P1
    P1
    h1
    h1
    f1
    Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α.
    f1
    r2
    r2
    α2
    α2
    α2
    s2
    s2
    r1
    r1
    α1
    α1
    α1
    s1
    s1
  • 36. 18. Perpendicularidad
    1. Perpendicularidad entre rectas
    Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.
    A2
    A2
    P2
    P2
    r
    r2
    r1
    r2
    h2
    f2
    A1
    A1
    r1
    Recta perpendicular a f o h que pasa por P
    α
    P1
    s
    s’
    h1
    f1
    P1
    r’
  • 37. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método cambio de plano
    12
    22
    1. Realizo el cambio de plano horizontal y convierto r en una horizontal.
    B2
    A2
    p2
    r2
    2. Realizo este mismo cambio de plano para A.
    r1
    21
    3. Desde A’1 trazo una s’1 rectaperpendicular a r’1.
    A1
    2’1
    4. Obtengo B, punto de intersección de las dos rectas y lo traslado sobre las otras proyecciones de r.
    11
    p1
    5. Uno A con B para dibujar las proyecciones de la recta s perpendicular a r
    B’1
    B1
    A’1
    s’1
    1’1
    r’1
  • 38. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método Plano auxiliar
    B2
    f2
    ≡ s2
    12
    ≡α2
    22
    h2
    r2
    A2
    p2
    1. Dibujo por A una horizontal perpendicular a r1
    2. Dibujo por A una frontal perpendicular a r2
    r1
    h1
    21
    B1
    3. Inserto r en un plano auxiliar α que corta al plano formado por h y f
    A1
    f1
    4. Obtengo los puntos de intersección 1 y 2 para hallar s (intersección de los dos planos)
    p1
    5. Donde s corta a r hallo punto B
    6. Uno A con B y obtengo recta solución.
    11
    s1
  • 39. 2. Perpendicularidad entre recta y plano
    f2
    P2
    Si una recta es perpendicular a un plano también lo es a todas las infinitas rectas contenidas en ese plano.
    h2
    r2
    Trazar por A el plano perpendicular a una recta conocida
    Trazar por P la recta perpendicular a un plano conocido
    A2
    f2
    h2
    c2
    r1
    r2
    Aplicando el teorema de las tres perpendicularidades se deduce que en la planta la proyección de la recta r será perpendicular a las proyecciones de las rectas horizontales del plano. Por la misma razón en el alzado la proyección de r será perpendicular a las proyecciones de las frontales del plano.
    A1
    f1
    B2
    f1
    A2
    h1
    c1
    P1
    B1
    h1
    A1
    r1
  • 40. P2
    3. Perpendicularidad entre planos
    Dibujar plano que pase por la recta r y sea perpendicular al dado ABC
    Un plano βes perpendicular a otro αsi β contiene una recta perpendicular a α. Además r es el eje de un haz de planos perpendiculares a α.
    f2
    h2
    c2
    s2
    r2
    B2
    f1
    A2
    r
    h1
    c1
    P1
    α2
    B1
    β
    α
    A1
    r1
    s1
    α1
  • 41. r2
    42
    Analizar si son perpendiculares entre sí los dos planos
    f2
    32
    D2
    h2
    22
    12
    B2
    1. Dibujo una horizontal del plano ABC
    E2
    A2
    2. Dibujo una frontal del plano ABC
    F2
    C2
    3. Dibujo en el plano EFG una recta cualquiera r cuya r1 sea perpendicular a h1 y r2 perpendicular a f2
    F1
    B1
    41
    f1
    A1
    r1
    4. Compruebo que la recta pertenece al plano EFD. En este caso compruebo que la recta r pertenece al plano por lo que ambos planos son perpendiculares.
    D1
    11
    21
    E1
    31
    C1
    h1