Fuzzy Basis Functions for Modeling Nonlinear Dynamics

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  • 1. Funções de Base Nebulosas e Modelagem de Dinâmica Não-Linear Trabalho final da disciplina “Sistemas Nebulosos” 20/julho, 2004 Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Modelagem, Análise e Controle de Sistemas Não-Lineares – MACSIN ‡ [email_address]
  • 2. Sumário
    •  Funções de Base Nebulosas (FBFs): Definição;
    • FBFs: Considerações;
    • FBFs: Estimação;
    • Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear;
    • Continuidade.
  • 3. Funções de Base Nebulosas (FBFs)
    • Considere sistemas nebulosos MISO caracterizados por uma base de regras do tipo
    • R j : SE x 1 é A 1 j e x 2 é A 2 j e ... e ... x n é A n j ENTÃO z é B j
    • A i j :  A i j (x i ); B j =  B j (z) =  j ( singleton nebuloso)
    • i = 1,2,...,n: número de variáveis de entrada
    • j = 1,2,...,M: número de regras
    • • A saída do sistema será dada pela função
    • (inferência: produto)
  • 4. Funções de Base Nebulosas (FBFs)
    • Se considerarmos uma função de base nebulosa
    • (FBF) , será dada por uma combinação linear do tipo
    (Expansão em uma base de funções nebulosas) Pseudo-FBF para R j (Construção da base multidimensional: produto tensorial normalizado)
  • 5. FBFs: Considerações
    • Funções de pertinência empregadas na expansão: gaussianas
      • Propriedades
        • Aproximação universal : Wang, L.-X. & Mendel, J.M. (1992). Fuzzy basis functions, universal approximation and orthogonal least-squares learning. IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 30, no. 5.
    FBFs podem ser definidas a priori (regras lingüísticas) ou selecionadas (automaticamente) a partir de exemplos (dados) do problema. Propriedades de localização e globalidade
  • 6. FBFs: Estimação
    • Otimização não-linear de todos os parâmetros (gradiente descendente) ou ...
    • Fixados os parâmetros das funções de base (parâmetros das funções de pertinência, e.g., centros e dispersões das gaussianas), o sistema será linear nos parâmetros  j . Exemplo: Orthogonal Forward Routine (OFR) – OLS com detecção de estrutura
      • Regressão linear:
      • P (matriz com M regressores candidatos) pode ser definida como um subconjunto dos dados (e.g, M = N)
      • Ortogonalização de P (e.g., Gram-Schmidt clássico)
      • Taxa de redução de erro :
  • 7. Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
    • Simulação de um oscilador não-linear (forçado): Duffing-Holmes
    • Para o oscilador exibe
    • comportamento caótico. Dados de estimação (1500 amostras): T i =  /3000; T s =  /60 s.
    Sistemas nebulosos em modelagem e análise de dinâmica não-linear: literatura
  • 8. Exemplo Numérico
    • Modelos FBF (300 candidatos igualmente espaçados no tempo )
      • Modelo I:
        • Dimensão de imersão = 3;
        • 20 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5)
    Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  • 9. Motilidade: Formação de Padrões Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear T p = 200x  /3000 T p = 4x  /60
  • 10. Comportamentos mais complexos: Myxobactéria Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  • 11. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
  • 12. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
      • Modelo II:
        • 33 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5), 7 “manualmente” incluídas nas proximidades do ponto fixo trivial
  • 13. Continuidade
    •  Paralelo entre funções de base nebulosas e radiais (e.g., com aplicações em representação de dinâmica não-linear);
    • Extensão de resultados disponíveis para RBFs (e.g., imposição de simetria e localização de pontos fixos);
    • Ruído;
    • Maior flexibilidade na geração de candidatos (e.g., diferentes MFs na FBF, diferenças entre o número de variáveis por FBF, ...);
    • Outros métodos para detecção de estrutura ( subset selection : construtivos, destrutivos, all-combination , ...).