Parabola equazione (con alcune modifiche)

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Parabola equazione (con alcune modifiche)

  1. 1. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  2. 2. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 0. CHE COS’È LA PARABOLA La parabola come sezione conica Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2/ 1 5
  3. 3. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 1. CHE COS’È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d. Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola. Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  4. 4. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f . Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se cioè: . Da cui , , Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: Coordinate del fuoco: Equazione della direttrice: . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio . y = ax2 . .
  5. 5. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE ESEMPIO Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: x y 0 y = 3x2 . 0 Inoltre: –1 3 1 3 –2 12 2 12 , Copyright © 2011 Zanichelli editore fuoco , eq. della direttrice . Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  6. 6. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA a>0 y = ax2 è positiva o nulla, la distanza focale è f > 0 , F ha ordinata positiva. a<0 y = ax2 è negativa o nulla, la distanza focale è f < 0 , F ha ordinata negativa. Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  7. 7. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA a= a= a=2 Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  8. 8. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y La trasformazione trasla i punti del piano. Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2 diventa: y – yV = a(x – xV)2 . In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(xV; yV). Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come Ascissa del vertice: Copyright © 2011 Zanichelli editore ; y = ax2 + bx + c . ordinata del vertice: Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio .
  9. 9. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione y – yv = a(x – xv)2 , cioè y – yv = ax2 – 2axxv + axv2 o Per le coordinate di V(xv; yv) vale: y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) . , Ponendo otteniamo b = – 2axv , c = axv2 + yv , cioè . y = ax2 + bx + c . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio RITORNA
  10. 10. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c TEOREMA A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c , con a ≠ 0, e viceversa. REGOLA L’asse di simmetria ha equazione: , il vertice è il punto: , il fuoco è il punto: , la direttrice ha equazione: . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  11. 11. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 7. ALCUNI CASI PARTICOLARI b=0 L’equazione diventa: y = ax2 + c . c=0 L’equazione diventa: y = ax2 + bx . b = 0, c = 0 L’equazione diventa: y = ax2 . La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y. La parabola passa per l’origine O. La parabola ha il vertice nell’origine O. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  12. 12. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 7(b). ALCUNI CASI PARTICOLARI ∆=0 Il vertice della parabola giace sull’asse delle ascisse V(-b/2a; 0) Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  13. 13. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  14. 14. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  15. 15. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  16. 16. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  17. 17. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 12(a). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
  18. 18. LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 12(b). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

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