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Laddizione E La Sottrazione Nellinsieme N
 

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Addizione e sottrazione in N

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Laddizione E La Sottrazione Nellinsieme N Laddizione E La Sottrazione Nellinsieme N Presentation Transcript

  • L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N
  • Impareremo a …
    • Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica
    • Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione
    • Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà , il "comportamento" , gli elementi neutri
    • Lo 0 nelle due operazioni
  • Cos'è un'operazione aritmetica?
    • Eseguiamo una piccola operazione
    • 2+3=5
    • Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5.
    • Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +
    • Diciamo che
    • L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni.
    • I due numeri dati si dicono termini dell'operazione , il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione.
  • Addizione in N
    • Operazione e termini
    • Procedimento
    • Definizione addizione
    • Operazione interna
    • Commutativa
    • Associativa
    • Dissociativa
    • Elemento neutro
  • Operazione e suoi termini
    • Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali
    • 10 + 5 = 15 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7
    • addendi somma
  • Procedimento
    • Quale procedimento ci permette di ottenere le somme , cioè i risultati delle addizioni?
    • Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda: dal numero 10 come arriviamo al numero 15?
    • Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando !
    • E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità quante sono indicate dal secondo addendo, il numero 5 .
  • Definizione di addizione
    • L’ addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma , al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo.
  • Operazione interna
    • Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsias i, notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale:
    •  a, b  a+b=c c 
    • Questo ci fa dire che l'addizione è un’operazione INTERNA ad N. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. In un diagramma di Eulero-Venn:
    10 + 5 = 15 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7 4 + 4 = 8 7 + 4 = 11 15 + 5 = 20 4 + 1 = 5 N
  • Le proprietà: l'addizione è commutativa
    • 5+6= 11
    • 6+5= 11
    • In generale, il linguaggio degli insiemi ci aiuta nella sintesi,
    •  a, b  a+b = b+a
  • l'addizione è associativa
    • 4+5+3= 12 associo il 4 con il 5 (4+5) + 3 = 9 + 3 = 12
    • È la proprietà associativa
    •  a,b,c  a+b+c =  a+b)+c =
    • = a+(b+c)
  • Gode della proprietà dissociativa
    • 3 + 25 = 28
    • 3 + 20+ 5 = 28
    • ho dissociato l'addendo 25
    • Questa è la proprietà dissociativa
    •  a,b,c,d  a+b = a+(c+d)
    • con (c+d)=b
  • Ha l'elemento neutro
    • 6+5+ 0 = 11 6+5 = 11
    • 8+9+5+ 0 = 22 8+9+5 = 22
    • 11+5+4+ 0 +2+3 = 25 11+5+4+2+3 = 25
    • Noto che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione
    • Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione
  • La sottrazione
    • Procediamo come per l’addizione …
    • 10 – 8 = 2
    • minuendo sottraendo differenza (o resto )
  • Procedimento
    • Quale procedimento ci permette di ottenere le la differenza , cioè il risultato della sottrazione?
    • Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?
    • Considera: c’è un legame tra addizione e sottrazione?
    • 10 -8=2 2+8= 10 e anche
    • 10 -2=8 8+2= 10
    • La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e, come tale …
  • Definizione della sottrazione
    • Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10 !
    • Perciò:
    • La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo , ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia come risultato il minuendo.
  • Operazione interna?
    • Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un diagramma di Eulero-Venn
    • Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N.
    • La sottrazione non è un’operazione INTERNA ad N: il risultato non sempre appartiene a N. L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione
    10 – 15 = 8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 7 – 4 = 3 15 – 5 = 10 3 – 7 = N ? ?
  • Le proprietà: la sottrazione non è commutativa
    • 9-6= 3
    • 6-9≠ 3
    • In generale
    •  a, b  a-b ≠ b-a
  • Gode della proprietà invariantiva
    • Consideriamo la sottrazione
    • 12 – 7 = 5
    • Operiamo nel seguente modo:
    • (12 +2 ) – (7 +2 ) = 14 – 9 = 5
    • E ancora
    • (12 -4 ) – (7 -4 ) = 8 – 3 = 5
    • Il risultato di una sottrazione non cambia se al minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva
  • Brevi considerazioni
    • Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento neutro poiché anche se
    • 5-0=5
    • Essendo falso : 0-5=5
    • lo zero non può considerarsi elemento neutro.
    • La sottrazione, come anche le altre operazioni inverse, poiché operazione non interna all’insieme N , ci pone di fronte all’esigenza dell’ampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi insiemi numerici!
  • E ancora …
    • In generale sulle operazioni:
    • Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai fini del nostro studio, per il calcolo. Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli rapidi.
    • Per le operazioni esaminate abbiamo considerato in questa presentazione le caratteristiche più generali.
    • Di particolare interesse è
    • l’osservazione delle tabelle relative alle due operazioni in cui possiamo riconoscere le proprietà o notare che l’aspetto stesso delle tabelle è determinato dalle proprietà delle operazioni.
    • Per lo studio delle altre due operazioni fondamentali, moltiplicazione e divisione, si può procedere attraverso le stesse considerazioni ...