Laddizione E La Sottrazione Nellinsieme N

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Addizione e sottrazione in N

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  • Laddizione E La Sottrazione Nellinsieme N

    1. 1. L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N
    2. 2. Impareremo a … <ul><li>Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica </li></ul><ul><li>Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione </li></ul><ul><li>Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà , il &quot;comportamento&quot; , gli elementi neutri </li></ul><ul><li>Lo 0 nelle due operazioni </li></ul>
    3. 3. Cos'è un'operazione aritmetica? <ul><li>Eseguiamo una piccola operazione </li></ul><ul><li>2+3=5 </li></ul><ul><li>Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5. </li></ul><ul><li>Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo + </li></ul>
    4. 4. <ul><li>Diciamo che </li></ul><ul><li>L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni. </li></ul><ul><li>I due numeri dati si dicono termini dell'operazione , il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione. </li></ul>
    5. 5. Addizione in N <ul><li>Operazione e termini </li></ul><ul><li>Procedimento </li></ul><ul><li>Definizione addizione </li></ul><ul><li>Operazione interna </li></ul><ul><li>Commutativa </li></ul><ul><li>Associativa </li></ul><ul><li>Dissociativa </li></ul><ul><li>Elemento neutro </li></ul>
    6. 6. Operazione e suoi termini <ul><li>Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali </li></ul><ul><li>10 + 5 = 15 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7 </li></ul><ul><li>addendi somma </li></ul>
    7. 7. Procedimento <ul><li>Quale procedimento ci permette di ottenere le somme , cioè i risultati delle addizioni? </li></ul><ul><li>Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda: dal numero 10 come arriviamo al numero 15? </li></ul><ul><li>Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando ! </li></ul><ul><li>E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità quante sono indicate dal secondo addendo, il numero 5 . </li></ul>
    8. 8. Definizione di addizione <ul><li>L’ addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma , al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo. </li></ul>
    9. 9. Operazione interna <ul><li>Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsias i, notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale: </li></ul><ul><li> a, b  a+b=c c  </li></ul><ul><li>Questo ci fa dire che l'addizione è un’operazione INTERNA ad N. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. In un diagramma di Eulero-Venn: </li></ul>10 + 5 = 15 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7 4 + 4 = 8 7 + 4 = 11 15 + 5 = 20 4 + 1 = 5 N
    10. 10. Le proprietà: l'addizione è commutativa <ul><li>5+6= 11 </li></ul><ul><li>6+5= 11 </li></ul><ul><li>In generale, il linguaggio degli insiemi ci aiuta nella sintesi, </li></ul><ul><li> a, b  a+b = b+a </li></ul>
    11. 11. l'addizione è associativa <ul><li>4+5+3= 12 associo il 4 con il 5 (4+5) + 3 = 9 + 3 = 12 </li></ul><ul><li>È la proprietà associativa </li></ul><ul><li> a,b,c  a+b+c =  a+b)+c = </li></ul><ul><li>= a+(b+c) </li></ul>
    12. 12. Gode della proprietà dissociativa <ul><li>3 + 25 = 28 </li></ul><ul><li>3 + 20+ 5 = 28 </li></ul><ul><li>ho dissociato l'addendo 25 </li></ul><ul><li>Questa è la proprietà dissociativa </li></ul><ul><li> a,b,c,d  a+b = a+(c+d) </li></ul><ul><li>con (c+d)=b </li></ul>
    13. 13. Ha l'elemento neutro <ul><li>6+5+ 0 = 11 6+5 = 11 </li></ul><ul><li>8+9+5+ 0 = 22 8+9+5 = 22 </li></ul><ul><li>11+5+4+ 0 +2+3 = 25 11+5+4+2+3 = 25 </li></ul><ul><li>Noto che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione </li></ul><ul><li>Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione </li></ul>
    14. 14. La sottrazione <ul><li>Procediamo come per l’addizione … </li></ul><ul><li>10 – 8 = 2 </li></ul><ul><li>minuendo sottraendo differenza (o resto ) </li></ul>
    15. 15. Procedimento <ul><li>Quale procedimento ci permette di ottenere le la differenza , cioè il risultato della sottrazione? </li></ul><ul><li>Dal numero 10 come arriviamo al numero 2? </li></ul><ul><li>Considera: c’è un legame tra addizione e sottrazione? </li></ul><ul><li>10 -8=2 2+8= 10 e anche </li></ul><ul><li>10 -2=8 8+2= 10 </li></ul><ul><li>La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e, come tale … </li></ul>
    16. 16. Definizione della sottrazione <ul><li>Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10 ! </li></ul><ul><li>Perciò: </li></ul><ul><li>La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo , ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia come risultato il minuendo. </li></ul>
    17. 17. Operazione interna? <ul><li>Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un diagramma di Eulero-Venn </li></ul><ul><li>Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N. </li></ul><ul><li>La sottrazione non è un’operazione INTERNA ad N: il risultato non sempre appartiene a N. L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione </li></ul>10 – 15 = 8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 7 – 4 = 3 15 – 5 = 10 3 – 7 = N ? ?
    18. 18. Le proprietà: la sottrazione non è commutativa <ul><li>9-6= 3 </li></ul><ul><li>6-9≠ 3 </li></ul><ul><li>In generale </li></ul><ul><li> a, b  a-b ≠ b-a </li></ul>
    19. 19. Gode della proprietà invariantiva <ul><li>Consideriamo la sottrazione </li></ul><ul><li>12 – 7 = 5 </li></ul><ul><li>Operiamo nel seguente modo: </li></ul><ul><li>(12 +2 ) – (7 +2 ) = 14 – 9 = 5 </li></ul><ul><li>E ancora </li></ul><ul><li>(12 -4 ) – (7 -4 ) = 8 – 3 = 5 </li></ul><ul><li>Il risultato di una sottrazione non cambia se al minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva </li></ul>
    20. 20. Brevi considerazioni <ul><li>Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento neutro poiché anche se </li></ul><ul><li>5-0=5 </li></ul><ul><li>Essendo falso : 0-5=5 </li></ul><ul><li>lo zero non può considerarsi elemento neutro. </li></ul><ul><li>La sottrazione, come anche le altre operazioni inverse, poiché operazione non interna all’insieme N , ci pone di fronte all’esigenza dell’ampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi insiemi numerici! </li></ul>
    21. 21. E ancora … <ul><li>In generale sulle operazioni: </li></ul><ul><li>Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai fini del nostro studio, per il calcolo. Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli rapidi. </li></ul><ul><li>Per le operazioni esaminate abbiamo considerato in questa presentazione le caratteristiche più generali. </li></ul><ul><li>Di particolare interesse è </li></ul><ul><li>l’osservazione delle tabelle relative alle due operazioni in cui possiamo riconoscere le proprietà o notare che l’aspetto stesso delle tabelle è determinato dalle proprietà delle operazioni. </li></ul><ul><li>Per lo studio delle altre due operazioni fondamentali, moltiplicazione e divisione, si può procedere attraverso le stesse considerazioni ... </li></ul>

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