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Insiemi

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  • 1. CONCETTO DI INSIEME INSIEME CARATTERISTICA OGGETTIVA APPARTENENZA ELEMENTI Deve avere Permette di stabilire Degli All’ E’ costituito da In matematica si dice insieme un raggruppamento di elementi distinti l’uno dall’altro e ben definiti in modo che si possa stabilire con assoluta certezza se un qualsiasi elemento appartiene o non appartiene all’insieme considerato.
  • 2. Un po’ di insiemistica In genere l’insieme viene indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto A, B, C, invece ogni suo elemento si indica con la lettera minuscola, a meno che non siano nomi propri. L’appartenenza Per indicare che l’elemento “ a ” appartiene all’insieme “A” , si scrive: a  A nel quale il simbolo  si legge: “appartiene a” , Mentre per voler dire che l’elemento “ f” non fa parte all’insieme “A”, si scrive: f  A dove il simbolo  si legge: ”non appartiene a”.
  • 3. DIVERSI TIPI DI RAPPRESENTAZIONE PER ILLUSTRARE UN INSIEME
    • Rappresentazione per elencazione o tabulare
    • Rappresentazione per caratteristica
    • Rappresentazione tramite il diagramma di Eulero - Venn
  • 4. Rappresentazione per elencazione Questa rappresentazione è composta dagli elementi di un insieme entro due parentesi graffe, tutti gli elementi dell’insieme osservato devono essere sempre separati da un punto e virgola, in questo modo: A = { Cagliari; Sassari; Nuoro; Oristano; Orosei }
  • 5. Rappresentazione per caratteristica Questa rappresentazione consiste nell’ indicare una proprietà comune a tutti gli elementi dell’insieme. Nell’esempio sottostante la caratteristica che gli elementi hanno in comune è che tutti sono capoluoghi di provincia della Sardegna. A = { x | x è un capoluogo di provincia della Sardegna } Si legge: “ L’insieme A è formato da tutti gli elementi x tale che ogni elemento x sia un capoluogo di provincia della Sardegna
  • 6. Rappresentazione tramite il diagramma di Eulero-Venn L’insieme dato si può rappresentare con una figura ovale, all’interno si scrivono gli elementi di un insieme indicati da un punto. Questo tipo di figura è chiamato diagramma di Eulero-Venn :
    • Cagliari
    • Sassari
    • Oristano
    • Olbia
    • Nuoro
    Gli elementi posti all’interno del diagramma appartengono all’ insieme A, mentre quelli posti fuori del diagramma non appartengono all’ insieme considerato. Così nella figura si osserva che Roma non fa parte dei capoluoghi della Sardegna
        • Roma
  • 7. INSIEMI FINITI, INFINITI VUOTI Un insieme si dice finito se i suoi elementi sono limitati, invece quando gli elementi sono illimitati e in questo caso si dice insieme infinito . Per esempio l’insieme delle lettere dell’alfabeto appartengono ad un insieme finito, invece l’insieme dei numeri interi appartengono ad un insieme infinito. Se, invece, un insieme è privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica con il simbolo Ø o { }. Esempi di insieme vuoto sono “l’insieme degli elefanti con due zampe” oppure “l’insieme degli uccelli senza ali ”.
  • 8. SOTTINSIEMI Valutiamo l’insieme A dei mammiferi e l’insieme B costituito solo da quei mammiferi che vivono nell’acqua. Osserviamo che l’insieme B è una parte di A, cioè costituisce un suo sottoinsieme. Una situazione di questo genere si indica con la seguente scrittura:
    • canguro
    • riccio
    • coniglio
    • marmotta
    • marmotta
    • arm a dillo
    Una rappresentazione di questo genere si indica con la seguente scrittura: B  a che si legge: “ B è sottoinsieme di A ” oppure “ B è incluso in A. Il simbolo  è il simbolo di inclusione.
    • delfino
    • foca
    Dati due insiemi A e B, si dice che B è incluso in A oppure che è un sottoinsieme di A, se ogni elemento di B è anche un elemento di A.
  • 9. Intersezione di insiemi L’intersezione è un’operazione tra insiemi: due insiemi hanno degli elementi in comune. Si rappresenta nel seguente modo: A
    • a
    • b
    • c
    B
    • d
    • c
    • e
    • a
    • d
    • b
    • e
    A B
    • c
    C L’insieme C è l’insieme intersezione. In simboli: C = A  B
  • 10. Insiemi disgiunti Nelle teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che esiste realmente fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In diverse parole, due insiemi A e B sono disgiunti se la loro intersezione è un insieme vuoto: Mentre A e B non sono disgiunti, A e C sono disgiunti. Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. A  B = Ø
  • 11. Insiemi equipotenti Un insieme si dice equipotente quando esiste una corrispondenza biunivoca con un altro insieme, cioè quando due insiemi hanno la stessa potenza come elementi. La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi. Se esiste una corrispondenza biunivoca, i due insiemi sono equipotenti, per esempio:
    • b
    • 2
    • a
    • c
    • 1
    • 3
    A B Se invece tra A e B non esiste nessuna corrispondenza biunivoca, i due insiemi non sono equipotenti. Esempio:
    • b
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • a
    • c
    A B

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