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Algebra de boole

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  • 1. INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO TELESUP TEMA: ALGEBRA DE BOOLE NOMBRE: GILDER AGUIRRE YACHA PROFESOR: JOSE RICARDO LARA DAVILA INSTITUCION: TELESUP AÑO: 2013
  • 2. TEMA: ALGEBRA DE BOOLE Boole (1815-1864) Reglas Básicas del Álgebra de Boole Muy útiles para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas. 1. A + 0 = A 2. A + 1 = 1 3. A · 0 = 0 4. A · 1 = A 5. A + A = A 6. A + A = 1 7. A · A = A 8. A · A = 0 9. A = A 10. A + AB = A 11. A + AB = A + B 12. (A + B) (A + C) = A + BC A, B, o C Pueden representar una única Variable o una combinación de variables
  • 3. Álgebra Booleana El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
  • 4. Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:
  • 5. P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C). Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes: Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' · B' Teorema 8: (A · B)' = A' + B' Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A · A' = 0 Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
  • 6. Características: Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características: 1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) Y 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x (yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0 Propiedades Del Álgebra De Boole Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x'' = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
  • 7. Función Booleana Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar sí o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el número de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0. Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0. Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones. El número posible de casos es 2n. Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
  • 8. Votos ABCD 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 Resultado 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
  • 9. Las funciones booleanas Se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1. En nuestro ejemplo la función booleana será: f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB‘CD + A'BCD Diagramas De Karnaugh Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas. Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas de Karnaugh.
  • 10. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT (NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, esto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:
  • 11. A OR B: A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.
  • 12. Circuitos Combinacionales Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente. Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos.
  • 13. 0 a c b 1 b c a b 3 a b c b e d 2 d e c 4 5 a f g d g f g f g c c 6 d d e f g d e f g f g 7 a b c 8 a b c 9 a b c
  • 14. Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más. Circuitos Secuenciales Un problema con la lógica secuencial es su falta de «memoria". En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/ Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, esto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registro de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.
  • 15. Orden en el álgebra de Boole Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos: Si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás.
  • 16. Axiomas necesarios Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de Boole, si cumple las siguientes axiomas: 1a: La ley asociativa de la suma: 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma: 1b: La ley asociativa del producto: 5a: Existe elemento complemento para la suma: 2a: Existencia del elemento neutro para la suma: 2b: Existencia del elemento neutro para el producto: 3a: La ley conmutativa de la suma: 3b: La ley conmutativa del producto: 4a: Ley distributivo de la suma respecto al producto: 5b: Existe elemento complemento para el producto:
  • 17. Teoremas fundamentales Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes Teoremas fundamentales: 6a: Ley de idempotencia para la suma 6b: Ley de idempotencia para el producto: 7a: Ley de absorción para la suma: 7b: Ley de absorción para el producto: 8a: Ley de identidad para la suma: 8b: Ley de identidad para el producto: 9: Ley de involución: 10: Ley del complemento: 11: Leyes de DeMorgan:
  • 18. Teoremas booleanas El algebra booleana (para números binarios) consiste en: • Un conjunto S con dos elementos, S={0,1}. • Operadores binarios: AND (.) y OR (+). • Operador unitario: NOT (‘, ) • Axiomas: Suposiciones básicas en las cuales el resto de los teoremas están soportados. La principal razón para aprender algebra booleana es por que por medio de esta podemos minimizar el numero de compuertas lógicas en un circuito digital.
  • 19. Operadores booleanos OPERADORES BOOLEANOS LOGICOS BASICOS Este operador retorna V solo cuando ambas entradas son V. Este operador retorna V cuando cualquiera de las entradas es V. Ejemplo: Dada la función lógica mostrada a continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1? Este operador retorna como salida el valor opuesto a la entrada. 𝐹 = 𝐴. 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 . 𝐸
  • 20. Tabla de circuito logico Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada. Entradas (3) A B C Circuito lógico Salida x Filas (8) Para N entradas existen un total de 2^N combinaciones posibles y por ende 2^N filas en la tabla de verdad asociada a la función que esta se encuentra representando. Ejemplo: Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se enciende en los siguientes casos: • Cuando dos de las entradas se encuentran en alto. • Cuando las tres entradas son iguales. Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.
  • 21. Compuerta not A X 𝑋 = NOT(A) 𝑋= 𝐴 𝑋 = 𝐴′ La operación NOT produce una salida cuyo valor es el opuesto al valor de su entrada.
  • 22. Compuerta and A B X 𝑋 = 𝐴 𝐴𝑁𝐷 𝐵 𝑋 = 𝐴𝐵 La operación AND produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 0.
  • 23. Compuerta or A B X 𝑋 = 𝐴 𝑂𝑅 𝐵 𝑋 = 𝐴+ 𝐵 La operación OR produce una salida de 1 siempre que cualquiera de sus entradas sea 0. En cualquier otro caso la salida es 0.
  • 24. Diagramas de tiempo papra las compuertas and, or y not
  • 25. Compuerta nor A B X 𝑋 = (𝐴 + 𝐵)′ 𝑋 = 𝐴+ 𝐵 La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.
  • 26. Compuerta nand A B X 𝑋 = (𝐴 ∙ 𝐵)′ 𝑋 = 𝐴∙ 𝐵 𝑋 = 𝐴𝐵 La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.
  • 27. Compuerta xor A B X 𝑋 = 𝐴 𝑋𝑂𝑅 𝐵 𝑋 = 𝐴⨁𝐵 La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.
  • 28. Compuerta xnor A X B 𝑋 = (𝐴⨁𝐵)′ 𝑋= 𝐴⊕ 𝐵 Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salida producida es 0.
  • 29. Resumen compuertas Símbolo AND Tabla de verdad 𝑋 = 𝐴𝐵 𝑋= 𝐴+ 𝐵 OR NOT 𝑋= 𝐴
  • 30. Resumen compuertas Compuerta XOR Símbolo Tabla de verdad Expresión 𝑋 = 𝐴⨁𝐵
  • 31. Resumen representación de funciones lógicas Una función puede ser representada en diferentes formas
  • 32. Proceso de diseño lógico combinacionaleses 1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuaciones para describir el comportamiento deseado de la lógica combinacional. 2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si la función es capturada usando tabla de verdad en vez de ecuaciones. Para crear la ecuación se hace un OR de cada una de las entradas cuya salida es 1. Luego si así lo desea puede simplificar la ecuación. 3. Implemente el circuito digital: Para cada salida cree un circuito asociado a la ecuación.

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