Fundamentos sistemas digitales   cap 4 floyd
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Fundamentos sistemas digitales cap 4 floyd

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Capitulo 4 Floyd

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Fundamentos sistemas digitales   cap 4 floyd Fundamentos sistemas digitales cap 4 floyd Presentation Transcript

  • 4.1 Operaciones y expresiones booleanas 4.2 Leyesy reglas del Álgebra de Boole 4.3 Teoremas de DeMorgan 4.4 Análisis booleano de los circuitos lógicos 4.5 Simplificación mediante el Álgebra de Boole 4.6 Formas estándar de las expresiones booleanas 4.7 Expresiones booleanas y tablas de verdad 4.8 Mapas de Karnaugh 4.9 Minimización de una suma de productos mediante el mapa de Karnaugh 4.10 Minimización de un producto de sumas mediante el mapa de Karnaugh 4.11 Mapa de Karnaugh de cinco variables 4.12 Aplicación a los sistemas digitales ~ ALGEBRA DE BOOLE y~ SIMPLIFICACION LÓGICA Simulación por computadora de circuitos digitales: El tutoría] de Electronics Workbench (EWB) se encuentra en la dirección http://www.prenhall.comlfloyd
  • Esta aplicación a los sistemas digitales ilustra los con- ceptos que serán explicados a lo largo del capítulo. El funcionamiento del display de 7 segmentos del siste- ma de control y recuento de pastillas es un buen método para ilustrar la aplicación del álgebra de Boole y de Jos mapas de Karnaugh, de modo que se obtenga la más sencilla implementación en el diseño de circuitos lógicos. Por tanto, en la Sección 4.12, nos centraremos en la lógica del convertidor BCD-7 seg- mentos que gobierna los dos displays del sistema indicados a continuación. • APLICACiÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES APLICACIÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES • 203 En 1854, George Boole publicó una obra titulada Investigación de las leyes del pensamiento, sobre las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. En esta publicación se formuló la idea de un 11 álgebra de las operaciones lógicas" , que se conoce hoy en día como álgebra de Boole. El álgebra de Boole es una forma muy adecuada para expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Claude Shannon fue el primero en aplicar la obra de Boole al análisis y diseñó de circuitos. En 1938, Shannon escribió su tesis doctoral en el MIT (Massachussets Institute of Technology) titulada Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés. Este capítulo se ocupa de las leyes, reglas y teoremas del álgebra booleana y sus aplicaciones a los circuitos digitales. Se aprenderá a definir un circuito mediante una expresión booleana y a determinar su funcionamiento. También se tratará la simplificación de los circuitos lógicos utilizando el álgebra booleana y los mapas de Kamaugh. • INTRODUCCiÓN 202 • ÁLGEBRA DE BOOlE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • Ejercicio re.!_a.E_ionado.Determinar los valores de A y B que hacen que el término producto de A B sea igual a 1. Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el producto ABCD sea igual a 1. Solución Para que este producto sea 1c.__cadauno de los literales del término tiene que ser 1. Por tanto,A = 1,B = O(para que B = 1), C = 1y D = O(para que D= 1). - - - - ABCD = 1 . O . I . O = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 EJEMPLO 4.2 En !élálgebra de Boole, un término producto es el producto de literales. En los cir- cuitos lógicos, un término producto se produce mediante la operación AND, sin que apa- rezca ninguna operación OR en la expresión. Algunos ejemplos de términos producto son:AB, AB, ABC y AB CD. Un término producto es igual a 1 si y sólo si cada LInode los literales es 1. Un término producto es igual a Osi uno o más de sus literales es O. .En el Capítulo 3vimos también que la multiplicación booleana es equivalente a la operación AND y sus reglas básicas son: Multiplicación booleana Determinar los valores de A y B que hacen que el términoProblema relacionado. A + B seaO. Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el término A +B+C+D sea igual aO. . Solución Para que la suma sea 0, cada uno de los literales tiene que ser o. Por consiguiente, A =0, B = 1 (para que B::::: O),C = Oy D = 1 (para que J5 = O). A+B+C+J5=o+T+O+I=o+O+o+O=O En el álgebra de Boole, un término suma es una suma de literales. En los cir- cuitos lógicos, un término suma se produce mediante la operación OR, sin que exista níngun~ operación AND en la expresión. Algunos ejemplos son: A + B, A + B, A + B +CyA +B+C+D. Un término suma es igual a 1 cuando uno o más de los literales es un 1. Un tér- mino suma es igual a Osi y sólo si cada uno de los literales es O. Como vimos en el Capítulo 3, la suma booleana es equivalente a la operación OR y sus reglas son: Adición booleana Los términos variable, complemento y literal son términos ampliamente utilizados en el álgebra de Boole. Una variable es un símbolo (en este libro, generalmente se usará una letra mayúscula en cursiva) que se utiliza para representar magnitudes lógicas. Cualquier variable puede tener un valor 1 o O. El complemento es el inver- so de la variable y se indica mediante una barra encima je la misma. Por ejemplo, el complemento de la variable A es A. Si A=l, entonces A = O. El complemento de la variable A se lee como" A negada" o "complementada". Algunas veces también se utiliza un apóstrofe para indicar el complemento de una variable en lugar de la barra. Porejemplo, el complemento de B puede escribirse como B'. En este libro, sólo se utilizará la barra. Un literal se define como una variable o el complemento de una variable. El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales. Es indispensable tener unos conocimientos básicos del álgebra booleana para estudiar y analizar los circuitos lógicos. En el capítulo anterior, se han introducido las operaciones y expresiones booleanas para las puertas NOT, AND, OR, NAND y NOR. En esta sección se revisa este material y se facilitan definiciones e información adicional. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: - Definir variable. - Definir literal. • Identificar un término suma. • Evaluar un término suma. - Identificar un término producto. • Evaluar un término producto. - Explicar la adición booleana. - Explicar la multiplicación booleana. EJEMPLO 4.1 OPERACIONESy EXPRESIONESBOOLEANAS • 205 4.1 • OPERACIONES Y EXPRESIONESBOOLEANAS 204 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • (4.3) X~AB+ACX~A(B + C) Leyes asociativas. La ley asociativa de la adición para tres variables se escribe, en forma algebraica, de la siguiente manera: FIGURA 4.2 Aplicación de la ley conmutativa de la multiplicación. Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación AND es indiferente. La Figura 4.2 muestra esta ley cuando se aplica a una puerta AND. (4.2) Laley conmutativa de la multiplicación para dos variables es: Esta ley establece que aplicar la operación OR a dos o más variables y 1 li 1 . uego ap ?ar a operaCl?n AND al resultado de esta operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sUIl_landosy.:uego aplicar la operación OR a los productos resultantes. La ley distri- butiva también expresa' el proceso de sacar factor común, en el que la variable común A se saca como factor de los productos parciales, como, por ejemplo, en AB + AC ::, A (B + C). La Figura 4.5 ilustra la ley distributiva mediante su implementación de puertas. FICURA4.1 Aplicación de la ley conmutativa de la adición. (4.5) La ley distributiva para tres variables se escribe de la siguienteLey distributiva. manera: Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente. Recuerde que cuando se aplica a los circuitos lógicos la terminología del álgebra de Boole, la adición y la operación OR son una misma cosa. La Figura 4.1 nos muestra la ley conmutativa aplicada a una puerta OR, en la que se puede ver que es indistinto a qué entrada asignemos cada una de las variables. (El símbolo == signifi- ca "equivalente a".) (4.1) FIGURA 4.4 Aplicación de la ley asociativa de la multiplicación. Las leyes básicas del álgebra de Boole (las leyes conmutativas de la suma y la multi- plicación, y las leyes asociativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva) son las mismas que las del álgebra ordinaria. Cada una de las leyes se ilustra con dos o tres variables, pero el número de variables no está limitado a esta cantidad. Leyes conmutativas. La ley conmutativa de la suma para dos variables se escribe como sigue: (4.4) Esta ley establece que al aplicar la operación AND a más de dos variables el resulta- d? es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las vari~bles. En la Flgura4.4 podemos ver esta ley aplicada a las puertas AND. Leyesdel álgebra de Boole La ley asociativa de la multiplicación para tres variables se escribe de la siguiente manera: FIGURA 4.3 Aplicación de la ley asociativa de la adición. Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existe en el álgebra de Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarla correctamente. Las más importantes son las que sepresentan en esta sección. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Aplicar las leyes conmutativas de la adición y multiplicación. - Aplicar las leyes asociativas de la adición y multiplicación. • Aplicar la ley distributiva. • Aplicar las doce reglas básicas del álgebra de Boole. Esta ley establece que al aplicar la operación OR a más de dos variables el resultado es .el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las varia- bles. En la Figura 4.3 podemos ver esta ley aplicada a las puertas ORo 4.2 • LEYESy REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE LEYESY REGLASDEl ÁLGEBRA DE BOOLE • 207 FIGURA 4.5 Aplicación de la ley distributiva. 206 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • 8. A· A = O Si se aplica la operación AND a una variable y a su complemento, el resultado es siempre igual a O.Esta regla se basa en que siempre A o A será O,y ade- más en que cuando se aplica un Oa una de las entradas de una puerta AND la salida siempre es O.En la Figura 4.13 se muestra esta regla. ;1=1=0-X=l A=1 A=0=O- x=o A=O FIGURA 4.12 Regla 7:A .A =A. 7. A . A = A Si se aplica la operación AND a una variable consigo misma, el resultado siempre es igual a la variable. Si A = O,entonces °.O= 0, Ysi A = 1,enton- ces 1·1 = 1. Esta regla se ilustra en la Figura 4.12. A=I=D-_ X= 1 A=O A=0=D-- X=l A=1 FIGURA 4.11 Regla 6:A +A = 1. 6. A + A = 1 Si se aplica la operación OR a una variable y a su complemento, el resultado es siempre igual a 1. Si A es O,entonces 0+ 0=0 + 1 == 1. Si A es 1, entonces 1 + T= 1 + O= 1.En la Figura 4.11 podemos ver una puerta OR en la que sus entradas son una variable y su complemento. X=A+A=A A=0=D-- x=oA=O .FIGURA 4.10 Regla 5: A + A =A. 5. A + A = A Si se aplica la operación OR a una variable consigo misma, el resul- tado es siempre igual a la variable. Si A es 0, entonces O+ O= O,mientras que si A es 1, 1 + 1 = 1. Esto se muestra en la Figura 4.10, en la que se aplica la misma variable a ambas entradas. X=Aol=A A=l=O- X=l 1 A=0=O- x=O1 FIGURA 4.9 Regla 4:A '1 =A. 4. A· 1 = A Si se aplica la operación AND a 1 y a otra variable, el resultado es siempre igual a la variable. Si la variable A es O,la salida de la puerta AND será siem- pre O,mientras que si A es 1, la salida será 1, dado que las dos entradas son l. Esta regla se ilustra en la Figura 4.9, en la que la entrada inferior está siempre a 1. LEYESY REGLASDEL ÁLGEBRADE BOOLE • 209 FIGURA 4.8 Regla 3: A . O :::;O. A=0=O- x=oo . A=I=O- x=o O 3. A· O = O Si se aplica la operación AND a una variable y a O, el resultado es siempre igual a O.Siempre que una de las entradas de una puerta AND sea O,la sali- da es siempre 0, independientemente del valor de la otra entrada. Esta regla se ilustra en la Figura 4.8, en la que la entrada inferior está siempre a 0, X=A+l=l A=I=D-- x= ¡ 1 A=0=D-- X=1 1 FIGURA 4.7 Regla 2:A + 1= 1. 2. A + 1 = 1 Si se aplica la operación OR a una variable y al, el resultado es siem- pre igual a 1. Un 1en una entrada de una puerta OR produce siempre un 1 en la sali- da, independientemente del valor de la otra entrada. Esta regla se ilustra en la Figura 4.7, en la que la entrada inferior está siempre a 1. X=A+O=A A=0=D-- x=oO A=l=D-- X=l O FIGURA 4.6 Regla 1:A + 0= A. 1. A + O=A Si aplicamos la operación OR a una variable cualquiera y a O,el resul- tado es siempre igual a la variable. Si A es 1, la salida es igual a 1 y, por tanto, igual a A. Si A es O,la salida es Oe igualmente idéntica a A. Esta ley se ilustra en la Figura 4.6, en la que la entrada inferior está siempre a O. A, B, o epueden representar una única variable o una combinación de variables. TABlA 4.1 Reglas básicas del álgebra de Boole. Reglas del álgebra booleana La Tabla 4.1 enumera las doce reglas básicas, muy útiles, para la manipulación y sim- plificación de expresiones booleanas. Las nueve primeras reglas las veremos en tér- minos de su aplicación a las puertas lógicas. Las reglas 10 a 12 se obtendrán a partir de las reglas más sencillas y de las leyes anteriormente explicadas. 208 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • DeMorgan, matemático que conoció a Boole, propuso dos teoremas que constituyen una parte muy importante del álgebra de Boole. En términos prácticos, los teoremas de DeMorgan nos demuestran la equivalencia entre laspuertas NAND y negativa-Ole, y laspuertas NOR y negativa-AND, que se han tratado en el Capítulo 3. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Enunciar los teoremas de DeMorgan. • Relacionar los teoremas de DeMorgan con la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y entre las puertas NOR y negatíva- AND. • Aplicar los teoremas de DeMorgan para simplificar las expresiones booleanas. 4.3 • TEOREMAS DE DEMORCAN TABLA 4.4 (A + B)(A + C) = AA + AC +AS + BC = A + AC + AB + BC =A +BC Ley distributiva Regla 7: AA = A Regla 10: A +AB = A (aplicada 2 veces) En la Tabla 4.4 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuito lógico resultante. 12. (A + B)(A + C) =A + BC Esta regla se puede demostrar de la manera siguiente: _TABLA4.3 TEOREMAS DE DEMORGAN • 211 En la Tabla 4.3 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuito lógico resultante. Regla 10: A = A + AS Sacar factor común Regla6:A+A=1 Regla 4: A· 1 = A A + AS = (A + AS) + AS = A+ (A+A)B =A+l·B =A+B 11. A + AB =A + B Esta regla se puede demostrar de la manera siguiente: TABLA 4.2 En la Tabla 4.2 podemos ver la tabla de verdad y la simplificación del circuito lógico resultante. Sacar factor común A (ley distributiva) Regla 2: (l + B) = 1 Regla 4: A • 1 = A A + AB = A (1 + B) =A ·1 =A 10. A +AB =A Esta regla se puede obtener aplicando la ley distributiva, reglas 2 y 4, de la manera siguiente: FIGURA 4.14 Regla 9: A '"A. !'-...}=~= A=O~· A=O 9. A = A El complemento del complemento de una variable es siempre la propia variable. El complemento de la variable A es A y el complemento de A será de nuevo A, que es la variable original. Esta regla se muestra en la Figura 4.14, mediante el uso de dos inversores. ~=o --r-___X=O A=I~· ~= 1--r-___X=O A=O----L.J FIGURA 4.13 Regla 8: A .A= O. 210 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Aplicación de los teoremas de DeMorgan El siguiente procedimiento ilustra la aplicación de los teoremas de DeMorgan y del álgebra de Boole a una determinada expresión (los corchetes son equivalentes a los paréntesis) : De esta manera obtenemos otros dos términos en la expresión a los que de nuevo podemos aplicar el teorema de DeMorgan. Estos términos son AB y Be. Una última aplicación del teorema de DeMorgan nos proporcíona el siguiente resultado: (AB)C +A(BC) = (A + B)C + A(B + C) Los teoremas de DeMorgan ya no pueden seguir aplicándose, aunque este resultado puede ser simplificado aún más mediante el uso de las reglas y leyes de Boole. Como se ha establecido en las Ecuaciones 4.6 y 4.7 que enuncian los teoremas de DeMorgan, cada variable puede representar una combinación de otras variables. Por ejemplo, X puede ser igual al término Aá-i-C, e Y puede ser igual aA+BC. De esta for- ~a, si aplicamos el teorema de DeMorgan para dos variables expresado según XY = X+ Ya la expresión CAB+e)(A +BC) obtenemos el siguiente resultado: (AB + e)(A +BC) = (AB + C) + CA +Be) En el resultado anterior se observa que hay dos términos, AB +C y A +BC, a los que podemos aplicar otra vez el teorema de DeMorgan X+y = XY, obteniendo: (AB + C) + (A +Be) = (AB)C + A(BC) Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones -wxyz y w+x+y+z. Solución "WXYZ = W + X + Y + Z w+x+y+z= WXYZ Problema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresión W X y Z EJEMPLO 4.4 Solución XYZ=X+Y+Z X+Y+Z = XYZ Problema relacionado. Aplicarlos teoremasde DeMorgana la expresiónX + y + Z Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones XYZ y X+ Y+Z.EJEMPLO 4.3 Como se ha comentado, los teoremas de DeMorgan se aplican también a expre- siones en las que existen más de dos variables. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de los teoremas de DeMorgatl a expresiones de 3 y 4 variables. TEOREMAS DE DEMORCAN • 213 (4.7) (4.6) FIGURA 4.15 Equivalencias de laspuertas lógicas y tablas de verdad que ilustran los teoremas de DeMorgan. Nótese la igualdad entre las dos columnas de salida de cada tabla. Esto indica que las puertas equivalentes realizan la misma función. " NOR Negativa·AND O O o 1 1 O 1 1 EnÜ~das X '~;,~i 1 O O O O O o x~x-:;_y_Xy"'.~XY y----L-/ ~" Negativa-OleNAND ::EntradaS" :~~tSalida.-",,' ::11 y.- ~f;~~1~,;~;' 1 1 O 1 1 O o O O 1 1 O 1 X~Xy y--L__.F Las puertas equivalentes y tablas de verdad correspondientes a las ecuaciones 4.6 y 4.7 se muestran en la Figura 4.15. La fórmula para expresar este teorema es: o dicho de otra manera, El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable. El segundo teorema de DeMorgan se enuncia así: El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. La fórmula para expresar este teorema para dos variables es: o dicho de otra manera, El complemento de dos omás variables a las que se aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos de cada variable. El primer teorema de DeMorgan se enuncia de la siguiente forma: El complemento de un prodncto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. 212 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • -- AB + AB = (AB)(AB) = (A + B)(A + B) = (A + B)(A + B) A continuación, se aplica la ley distributiva y la regla 8 CA . A = O): (A + B)(A + B) = AA + AB + AB + BB = A B + AB La expresión resultante para una puerta XNOR es Xli + AB. Esta expresión es igual a 1 siempre que ambas variables son O o 1. Problema relacionado. Utilizando la expresión para una puerta NAND de 4 entra- das, utilizar los teoremas de DeMorgan para desarrollar una expresión para una puerta negativa-OR de 4 entradas. En primer lugar, se complementa la expresión OR-exclusiva, y luego se aplican los teo- remas de DeMorgan del siguiente modo: La expresión booleana de una puerta Ok-exclusiva es AB + AB. Tomando esto como punto de partida, desarrollar una expresión para una puerta NOR-exclusiva, utilizando los teoremas de DeMorgan y aquellas leyes o reglas que se puedan aplicar. Solución Problema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresión AB(C + D) + E (e) (A + B)C D + E + F = [(A + B)C Dl CE + F) = (A B + C + D)EF (a) CA + B) + C = (A + B)(; = (A + B)C (b) (A +B) + CD = (A + B)CD = (AB)(C + D) = Ali(c + 75), < Solución (e) (A + B)C D + E + F(b) (A + B) + CD(a) (A + B) + C EJEMPLO 4.6 Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones: Problema relacionado. Aplicar los teoremas de DeMorgan a la expresión ABC+D +E (AB)(CD)(EF) = (A + B)(C + D)(E + F) -- A continuación aplicamos el teorema de DeMorgan a cada uno de los términos AS, CD, yEF: AB + CD + EF = (AB)(CD)(EF) (e) Sean AB = X, CD = y, y EF = Z. La expresión AB + CD + EF está escrita en la forma X + y +z = X YZ , y puede expresarse como: TEOREMAS DE DEMORCAN • 215 (ABC)(DEF) = (A + B + C>(D + E + F) ABC + DEF = (ABC)(DEF) A continuación aplicamos el teorema de DeMorgan a cada uno de los términosABC yDEF: (b) Sean ABC ::;X Y DEF ::: y. La expresión ABC +DEF está escrita en la forma X + y= X Y,y puede expresarse como: A+B+C+D=ABC+D A continuación, aplicamos el teorema de DeMorgan al término A +B +C (A+ B+ C)D = A +B + C + D Solución (a) Sean A + B + C = X Y D ::;y. La expresión (A+B+ C)D está escrita en la forma XY = X + Y y puede expresarse como (b) ABC+DEF(a) (A+B+ C)D (e) AB + CD + EF EJEMPLO 4.5 Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones: Paso 6. Utilizando la regla 9 (A = A) para eliminar la barra doble del término E + F: (A + BCy(D + E + F) = CA + BO(D + E + F) Los siguientes tres ejemplos ilustrarán detalladamente cómo emplear los teore- mas de DeMorgan. [A + BC][D(E + F)] = [A + BC][DZ] Paso 5. Como DZ = D + Z, [A + BC][D(E + F)] = (A + BCyCD + CE+ F) Paso 4. En el término de la derecha definimos Z :;; E + F [A + BC][D(E + F)] = [A + BC][D(E + F)] Paso 1. Identificar los términos a los que se puede aplicar los teoremas de DeMorgan y considerar cada término como una única variable. Definimos A + BC = X Y D(E + F) = y . Paso 2. Dado que X+Y = X Y, [A + BC] + [D(E + F) ] = [A + BC][D(E + F)] Paso 3. Utilizar la regla 9 (A ;:;;A) para eliminar la barra doble sobre el término de la izquierda (esta parte no tiene que ver con los teoremas de DeMorgan): A + BC + D(E + F) 214 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • o O O O O O O O O O O O 1 O O O 1 O O O O O O 1 O O O O I O O 1 O O O O O O O O 1 O O 1 O O O O O O Represehtación de los resultados en una tabla de verdad. El primer paso consiste en enumerar las dieciséis combinaciones de unos y ceros de las variables de entrada en una secuencia binaria, como muestra la Tabla 4.5. A continuación, se pone un 1 en la columna de salida para las combinaciones de variables de entrada que se han determinado en la evaluación de la expresión. Finalmente, se escribe un O en la columna de salida para el resto de las combinaciones de las variables de entrada. Estos resultados se muestran en la Tabla 4.5. El término CD es 1 sólo si C y D son 1. Para resumir, la expresión A(B + CD) = 1 cuando A = 1 y B ;;:1, independien- temente del valor de C y D, o cuando A ;;:1 YC = 1 y D ;;:1, independientemente del valor de B. La expresión A(B + CD) vale O para el resto de combinaciones posibles de las variables. B + CD = I + 0=1 B + CD = O + 1 = 1 B + CD = 1 + 1 = 1 Ahora, se determina cuándo el término B + CDes igual a 1. La expresión B + CD es 1 si B = 1 o CD = 1, o ambos son igual a 1, ya que: A(B + CD) = 1 . 1 = I booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entra- da. En el caso del circuito de la Figura 4.16, existen cuatro variables de entrada (A, B, C y D) y, por tanto, hay 24 ;;: 16 posibles combinaciones de valores. Evaluación de la expresión. Para evaluar la expresión A(B + CD), en primer lugar, utilizando las reglas de la adición y multiplicación booleanas, se localizan los valores de las variables que hacen que la expresión sea igual a 1. En este caso, la expresión es igual a 1 sólo si A = 1 y (B + CD) = 1, ya que: ANÁLISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LÓGICOS • 217 Una vez que se ha determinado la expresión booleana de un circuito dado, puede desa- rrollarse una tabla de verdad que represente la salida del circuito lógico para todos los valores posibles de las variables de entrada. Esto requiere que se evalúe la expresión Elaboración de la tabla de verdad de un circuito lógico A(B + CD) e _ ___r- ...... D----,... __ FIGURA 4.16 Circuito lógico que muestra el desarrollo de la expresión booleanapara la salida. 1. La expresión de la puerta AND situada más a la izquierda cuyas entradas son C y Des CD. 2. La salida de la puerta AND situada más a la izquierda es una de las entradas de la puerta QR y B es su otra entrada. Por tanto, la expresión para la puerta OR es B+CD. 3. La salida de la puerta OR es una de las entradas de la puerta AND situada más a la derecha, siendo A su otra entrada. Por tanto, la expresión de esta puerta AND será A(B + CD), que es la expresión final de salida del circuito completo. Para obtener la expresión booleana de un determinado circuito lógico, la manera de proceder consiste en comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avan- zando hasta las líneas de salida, escribiendo la expresión para cada puerta. Para el cir- cuito ejemplo de la Figura 4.16, su expresión booleana se determina de la siguiente manera: Expresión booleana de un circuito lógico El álgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar elfuncionamiento de un circuito lógicoformado por una combinación de puertas lógicas, de talforma que la salidapuede determinarse por la combinación de los valores de entrada. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Determinar las expresiones booleanas de una combinación de puertas. • Determinar el funcionamiento lógico de un circuito a partir de su expresión booleana. • Elaborar una tabla de verdad. 4.4 • ANÁLISIS BOOLEANO DE LOS CIRCUITOS LÓGICOS 216 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Paso 6. Aplicar la regla 7 (CC = C) al primer término: ABC+ABC ABCC+ABC Paso 5. Aplicar la ley distributiva: Los corchetes y paréntesis significan lo mismo: el término de su interior se multiplica (AND) por el término exterior. Solución Paso 1. Aplicar la ley distributiva a los términos entre corchetes: (ABC + ABBD + A B)C Paso 2. Aplicar la regla 8 (BB = O)al segundo término entre paréntesis: (ABC+A·O·D+AB)C Paso 3. Aplicar la regla 3 (A . O . D ""O) al segundo término: (ABC + O + A B)C Paso 4. Aplicar la regla 1(quitar el O)dentro del paréntesis: (ABC+AB)C Simplificar la expresión booleana: [AB(C + BD) + AB]C FIGURA4.17 Redes de puertas para el Ejemplo 4,8, (b)(a) ,1B+ A(B + C) + B(B + C) B+AC A e La Figura 4.17 muestra cómo el proceso de simplificación del Ejemplo 4.8 ha reducido significativamente el número de puertas lógicas necesarias para implemen- tar la expresión. En la parte (a) se puede ver que son necesarias cinco puertas para implementar dicha expresión en su forma original, mientras que sólo se requieren dos para hacerlo una vez simplificada, como se muestra en la parte (b). Es importante resaltar que estas dos redes de puertas son equivalentes, es decir, para cualquier com- binación de valores en las entradas A, B y e, obtenemos siempre la misma salida en ambos circuitos. SIMPLIFICACiÓN MEDIANTE ELÁLGEBRA DE BOOLE • 219 EJEMPLO 4.9 En este instante, la expresión ya no puede seguir simplificándose. Según se vaya adqui- riendo experiencia en la aplicación del álgebra de Boole, se podrán combinar muchos pasos individuales. Problema relacionado. Simplificar la expresiónAB + A(B+ C) + B(B+ C). B+AC Paso 5. Aplicar la regla 10 (AE + B = B) a los términos primero y tercero: AB +AC + B Paso 4. Aplicar la regla 10 (B + BC ::::B) a los dos últimos términos: Paso 3. Aplicar la regla 5 (AB + AB ::::AB) a los dos primeros términos: AS +AC + B + BC Paso 2. Aplicar la regla 7 (BB = B) al cuarto término: AB + AB +AC + B + BC AB + AB + AC + BB + BC El método que se aplica no es necesariamente el único posible. Paso 1. Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer término de la expresión del siguiente modo: Solución AB + A(B + C) + B(B + C) Mediante las técnicas del álgebra de Boole, simplificar la siguiente expresión:EJEMPLO 4.8 Una expresión booleana simplificada emplea el menor número posible de puertas en la implementación de una determinada expresión. A continuación, se presentan cua- tro ejemplos de simplificación descritos paso a paso. Muchas veces, a la hora de aplicar el álgebra booleana, hay que reducir una expresión a su forma más simple o cambiarla a una forma más conveniente para conseguir una implementación más eficiente. El método que se va a tratar en esta sección utiliza las reglas, leyesy teoremas del álgebra de Boole para manipular y simplificar una expresión. Este método requiere un profundo conocimiento del álgebra booleana y una considerable experiencia en su aplicación, por no mencionar también un poquito de ingenio y destreza. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Aplicar las leyes, reglas y teoremas del álgebra de Boole para simplificar cualquier expresión. 4.5 • SIMPLIFICACiÓN MEDIANTE ELÁLGEBRA DE BOOLE 218 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden convertirse en cualquiera de las dosformas estándar: suma de productos oproducto de sumas. Esto posibilita que la evaluación, simplificación e implementación de las expresiones booleanas sea mucho más sistemática y sencilla. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: _ Identificar una expresión en forma de suma de productos. - Determinar el dominio de una expresión booleana. - Convertir cualquier suma de productos a su forma 4.6 • FORMAS ESTÁNDAR DE LAS EXPRESIONES BOOLEANAS A+BC Problema relacionado. Simplificar la expresión booleana AB +AC + X B C. A+AB+BC Paso 6. .Aplicar la regla 10 [A + A B = A (1 + B) = A] a los términos primero y . segundo: Paso 2. Aplicar el teorema de DeMorgan a cada término entre paréntesis: (A + B)(X + C) + A BC Paso 3. Aplicar la ley distributiva a los dos términos entre paréntesis: A A + A C + A B + B C +A BC Paso 4. Aplicar la regla 7 CAA = A) al primer término y la regla 10 [A B + A BC = A B (1 + C) = A B] al tercer y al último término: A+Ae+AB+BC Paso S. Aplicar la regla 10 [A + A C = A (1 + C) = A] a los términos primero y segundo: Solución Paso 1. Aplicar el teorema de DeMorgan al primer término: (AB)(AC) + A BC AB+AC+ABC EJEMPLO 4.11 Simplificar la siguiente expresión: FORMAS ESTÁNDAR DE lAS EXPRESIONESBOOLEANAS • 221 Problema relacionado. Simplificar la expresión ABC + A BC + ABC + ABe. Paso 7. Usar las leyes distributiva y conmutativa para obtener la siguiente expresión: BC+AB + BC BC + B(A + e) Paso 6. Aplicar la regla 11 (A + Xc = A + C) al término entre paréntesis: BC + B(A +XC) Paso 5. Sacar factor común B del segundo y tercer término: Paso 4. Aplicar la regla 4 (quitar el I) al segundo término: BC + AB + ABC BC + AB . 1 + A B C BC'! +AB(C+e)+ABC Paso 3. Aplicar la regla 4 (quitar el 1)al primer término y la regla 6 (e+ C = 1) al tér- mino entre paréntesis: Paso 2. Aplicar la regla 6 (A + A = 1) al término entre paréntesis y sacar el factor común AB del segundo y último término: BC(X + A) + ABC + ABC + ABC Paso 1. Sacar factor común BC del primer y último término: Solución EJEMPLO 4.10 Simplificar la expresión booleana: ABC + ABe + AB e + ABC+ ABe Problema relacionado. Simplificar la expresión [AB(C + BD) + AB]CD. BC Paso 9. Aplicar la regla 4 (quitar el 1): BC(A + A) Paso 8. Aplicar la regla 6 (A + A = 1): BC' 1 Paso 7. Sacar factor común BC: 220 _. ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Hasta ahora, hemos estado viendo sumas de productos en las que algunos de los tér- minos no contenían todas las variables del dominio de la expresión. Por ejemplo, la expresión ABC + !JjD + ABCD tiene un dominio formado por las variables A, B, C y D. Podemos ver que el conjunto completo de variables del dominio no está incluido en los dos primeros términos de la expresión, es decir, faltan D o D en el primer tér- mino y C o C en el segundo. Una suma de productos estándar es aquélla en la que todas las variables del dominio aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Por ejemplo, ABCD + A BCD + ABe 15es una suma de productos estándar. La suma de productos están- dar tienen mucha importancia a la hora de construir las tablas de verdad, que se trata- rán en la Sección 4.7, junto con el método de simplificación de los mapas de Karnaugh, que se verá en la Sección 4.8. Cualquier suma de productos en forma no estándar (que denominaremos simplemente suma de productos) puede convertirse al formato estándar utilizando el álgebra de Boole. Conversión de suma de productos a su forma estándar. Cada término pro- ducto de una suma de productos que no contenga todas las variables del dominio, pue- de ser transformada a su forma estándar de manera que incluya todas las variables del dominio o sus complementos. Como se muestra a continuación, una suma de produc- tos puede convertirse en forma estándar mediante la regla 6 del álgebra booleana (A + A =1) de la Tabla 4.1, que establece que una variable sumada con su complemen- to es siempre igual a 1. Forma estándar de la suma de productos Solución (a) AB + B(CD + EF) = AB + BCD + BEF (b) (A + B)(B + e + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD (e) (A+B) +C = (A+B)C = (A + B)C = AC + BC Problema relacionado. Convertir ABC + (A + B)(B + C + AB) a la forma suma de productos. (e) (A+B) + e(b) (A + B)(B + C + D)(a) AB + B(CD + EF) Convertir cada una de las siguientes expresiones booleanas a su forma suma de productos: EJEMPLO4.12 Cualquier expresión lógica puede ser transformada a una expresión suma de produc- tos, aplicando el álgebra de Boole. Por ejemplo, la expresión A(B + CD) puede con- vertirse en una suma de productos aplicando la ley distributiva: A (B + CD) = AB + ACD FORMAS ESTÁNDARDE LASEXPRESIONESBOOLEANAS • 223 Conversión de una expresión general a formato suma de productos FIGURA4.18 Implementación de la suma de productos AB + BCD +AC. X =AB + BCD +AC A __ r-- ...... B --, _ _/ B _ _r-- ....... C D --, _/ A _-r-- ...... C --, ._/ Una suma de productos puede también contener términos de una única varia- ble, como A + A BC + BCD. Si volvemos a los ejemplos de simplificación de la última sección, puede observarse que cada término de la expresión resultante era o un producto aislado o una suma de productos. En una expresión con formato suma de productos, una barra no puede extenderse sobre más de una variable, aunque más de una variable pueda tene~ ~~barra encima. Por ejemplo, una suma de productos puede contener el término A B C , pero no el ABe. Dominio de una expresi6n booleana. El dominio de una expresión booleana es el conjunto de variables (o sus c~mplem~ltos) contenido en una expresión. Por ejem- plo, el dominio de la expres~n AB_+ ABC es el conjunto de variables A, B, C; y el dominio de la expresión ABC + CDE + BCD es el conjunto A, B, C, D, E. Implementaci6n de una suma de productos. La implementación de una suma de productos simplemente requiere aplicar la operación OR a las salidas de dos o más puertas AND. Una operación AND da lugar a un producto, y la adición de dos o más productos se realiza mediante puertas OR. Por tanto, una expresión suma de produc- tos puede implementarse mediante un circuito lógico AND-OR en el que las salidas de las puertas AND, cuyo número es igual al de productos que contenga la expresión, SOh las entradas de una puerta OR, como se muestra en la Figura 4.18 para la expre- sión AB+BCD+AC. La salida X de la puerta OR es igual a la suma de productos. En la Sección 4.1, se ha definido el término producto como un término que es el pro- ducto (multiplicación booleana) de literales (variables o sus complementos). Cuando dos o más productos se suman mediante la adición booleana, la expresión resultante se denomina suma de productos (SOP, Sum Of Products). Algunos ejemplos son: AB + ABC ABC + CDE + BCD AB +ABC+AC Suma de productos estándar. • Evaluar una expresión en forma de suma de productos según los valores binarios. • Identificar una expresión en forma de producto de sumas. • Convertir cualquier producto de sumas a su forma estándar. • Evaluar una expresión en forma de producto de sumas según los valores binarios. • Convertir expresiones de una a otra forma estándar. 222 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPliFICACiÓN LÓGICA
  • Producto de sumas En la Sección 4.1 se ha definido el término suma como un término formado por la suma (adición booleana) de literales (variables o sus complementos). Cuando dos o más términos suma se multiplican, la expresión resultante es un producto de sumas (POS, Product Of Sums). Algunos ejemplos son: (A + B)(A + B + C) (A + B + C)(e + D + E)(B + e + D) (A + B)(A + B + C)(A + C) Un producto de sumas puede contener términos con una única variable, como en A (A + B + C) (B + C + D). En un producto de sumas, un~ barra no puede extenderse nunca sobre más de una variable, aunque más de una variable puede ten~ un~ ba~ encima. Por ejemplo, un producto de sumas puede contener el término A + B + C pero no el A+B +C. ¿Es ésta una suma de productos estándar? XYZ + XYz + XYZ + XYZ + XYZ Solución El término ABCD es igual a 1 siA = 1,B ::::l , C = 1y D == 1. ABCD = 1 . 1 '. 1 . 1 = 1 El término AS CD es igual a 1si A = 1,B ::::O, C::: O y D::: 1. ABCD = 1 . () . O . 1 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 El término A BCD es igual a 1 cuando A = O, B :::O, C = O Y D :::o. ABCD = O .O' O . O= 1 . 1 . 1 . 1 = 1 La suma dé productos es igual a 1 sólo cuando cualquiera de los tres términos, O todos, son igual a l. Problema relacionado. Determinar los valores binaríos para los que la siguiente suma de productos es 1: ABCD + ABCD + ABC15 EJEMPLO 4.14 Determinar los valoresbinarios para los que la siguiente suma de productos estándar sea igual a 1: Recordemos que un producto se implementa mediante una puerta AND, cuya salida es 1 si y sólo si todas sus entradas son 1. Para generar el complemento de una variable se utilizan inversores. Una suma de productos (SOP) es igual a 1 si y sólo si uno o más de los términos producto que forman la expresión es igual a 1. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS EXPRESIONESBOOLEANAS • 225 En este caso, el término producto tiene un valor binario de 1010 (diez en decimal). ABCD = 1 . O . 1 . () = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 Representación binaria de un término producto estándar. Un término pro- ducto estándar es igual a 1 sólo para una combinación de los valores de las varia- bles. Por ejemplo, el término ABCD es igual a 1cuando A = 1, B = O, C = 1 y D = O, como se muestra más abajo, y es cero para el resto de combinaciones de valores de las variables. Problema relacionado. Convertir la expresión WXY + XYZ + lVXYenuna suma de productos estándar. En este caso, el resultado son cuatro productos estándar. El tercer término ABCD, ya está en formato estándar. La suma de productos estándar que obtenemos es finalmente: ABC +AB +ABCD = ABCD +ABC15 + ABCD + ABC15 +ABCD + ABCD + ABCD AB =ABC+ABC =ABC(D + 15) +ABC(D + 15) = A BCD +A BCD + ABCD + ABCD Solución El dominio de esta suma de productos es A, B, C, D. Considerando cada término por separado, se comprueba que alprimer término,ABC, le falta la variableD o15,por lo que 10 multiplicamos por DaD, obteniendo: ABC = ABC(D + 15) = ABCD + ABCD En este caso, se obtienen dos productos estándar. En el segundo término, A B , faltan las variables CA C y DaD, de manera que multiplicamos primero por C + C: A B = A B(C + C) = A BC +A B C Los dos términos que obtenemos carecen de la variable DaD, por lo que multiplica- mospor D + D: EJEMPLO 4.13 Convertir la siguiente expresión booleana al formato suma de productos estándar: ABC + AB + ABCD Paso 1. Multiplicar cada término producto no estándar por un término formado por la suma de la variable que falta y su complemento. Con esto se obtienen dos términos producto. Como se sabe, se puede multiplicar por 1 cualquier expresión sin que se altere su valor. Paso 2. Repetir el paso 1 hasta que todos los términos de la expresión contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Al convertir cada pro- ducto a su forma estándar, el número de términos producto se duplica por cada variable que falta, como muestra el Ejemplo 4.13. 224 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Determinar los valores binarios de las variables para los que la siguiente expresión producto de sumas estándar es igual a o: _ CA + B + C + D)(A + B + e+ D)(A + B + e + D) EJEMPLO 4.16 Re resentación binaria de un término suma estándar. Un término s~ma están- d:es izual a O sólo para una única combinación de los valores de las v~lables. Por eiem 10° la suma A + B + C + D es O cuando A = O, B = 1, e= O y D ~ 1, co.mose muestramás abajo, y es 1para el resto de combinaciones de los valores de las vanables. A+B+C+D=O+T+o+T=o+o+O+O=O En este caso, el valor binario de la suma es 0101 (5 e~ decima~). R~cu~rde que u~a suma se implementa mediante una puerta OR cuya sahd~.es O .SI y solo SI cada una e sus entradas es O. Para complementar las variables se utilizan inversores. Un producto de sumas (POS) es igual a O si y sólo si uno o más térmi- nos suma de la expresión son igual a O. Solución ./ D V: siderar término por término. El dominio de esta expresion es A, B, C, y .' amos~ con _ di DD a li- . El primero, A + B + C, no contiene la vanable D o D, por lo que ana irnos y p camas la regla 12 como sigue: _ A + B + C = A + B + C + DD = (A + B + C +.D)(A + B + C + D) d ' . -B + C + 15 carece de la variable A o A, por lo que añadimos AA yEl segun o termmo, , aplicamos la regla 12 del siguiente modo: _ B+C+D=B+C+D+AA=(A+B+C+~~+B+c+m , . A + B + C + D ya está escrito en su forma estándar. El producto deEl tercer termmo, ' sumas estándar de la expresión original es: CA +B+ C)(B+ C +D)(A +B +e+D) = _ _ _ _ __ (A +B + c._'+D)(A +B + C +D)(A +T3+ C +D)(A +B + C + D)(A + B + C +D) .' d Convertirlaexpresión(A + B)(B + C) a su formaproducto deProblema'relaciona o. sumas estándar. Convertir la siguiente expresión booleana a formato producto de sumas estándar: (A + B + C)(li + C + D)(A+ B + e + D) EJEMPLO 4.15 Aplicar la regla 12 de la Tabla 4.1: A + BC = (A + B)(A + C). Repetir el paso 1hasta que todos los sumandos resultantes contengan todas las variables del dominio o sus complementos. Paso 2. Paso 3. FORMAS ESTÁNDAR DE LASEXPRESIONESBOOLEANAS • 227 es un producto de sumas estándar. Cualquier producto de sumas no estándar (que denominaremos simplemente producto de sumas) puede convertirse a su forma están- dar mediante el álgebra de Boole. Conversión de un producto de sumas a su forma estándar. Cada operación suma de un producto de sumas que no contenga todas las variables del dominio pue- de pasarse a formato estándar, de manera que incluya todas las variables del dominio o sus complementos. Como se muestra a continuación, un producto de sumas no estándar se pasa a formato estándar utilizando la regla booleana número 8 (A . A = O) de la Tabla 4.1, la cual establece que una variable multiplícada por su complemento es igual a O. Paso 1. Añadir a cada "término suma" no estándar un término consistente en el pro- ducto de la variable que falta y su complemento; esto da lugar a la aparición de dos sumandos eu la expresión. Como ya se sabe, siempre se puede sumar O sin que se altere el valor de una expresión. tiene un dominio formado por las variables A, B, Cy D. Obsérvese que el conjunto com- pleto de variables del dominio no está representado en los dos primeros términos de la expresión; es decir, faltan D o D en el primer término, y C o een el segundo término. Un producto de sumas estándar es aquel en el que todas las variables del domi- nio o sus complementos aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Por ejemplo; Hasta ahora, se han tratado expresiones producto de sumas en las que algunos de los términos no contenían todas las variables del dominio de la expresión. Por ejemplo, la expresión: Forma estándar del producto de sumas x = (A + B)(B + e + D)(A + e) A-.......--_ B 8 e D A -___'--_ FIGURA 4.19 Implementación delproducto de sumas (A +B)(B + C +D)(A + C). Implementación de un producto de sumas. La implementación de unproduc- to de sumas requiere simplemente la aplicación de la operación AND a las salidas de dos o más puertas OR. Un sumando se origina mediante la operación OR, y el pro- ducto de varios términos suma se realiza por medio de la operación AND. Por consi- guiente, un producto de sumas puede implementarse a partir de puertas lógicas OR (cuyo número será igual al de sumandos de la expresión) cuyas salidas se conectan a las entradas de una puerta AND, como muestra la Figura 4.19 para la expresión (A+B)(B+C+D)(A+ C). La salida X de la puerta AND es igual al producto de sumas. 226 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • Como se ha establecido en la Sección 4.6, una suma de productos es igual a 1 si y sólo si al menos uno de los productos es igual a l. Una tabla de verdad es sencilla- mente una lista de las posibles combinaciones de valores de las variables de entra- da y sus correspondientes valores de salida (1 o O). Para una expresión cuyo domi- nio es de. dos variables, existen cuatro combinaciones distintas de estas variables (22 = 4). Para una expresión cuyo dominio consiste en tres variables, existen ocho (23 = 8) combinaciones diferentes de estas variables. Para una expresión cuyo Conversión de una suma de productos a tabla de verdad Todaslas expresiones booleanas pueden serfácilmente convertidas en tablas de verdad utilizando los valores binarios de cada término de la expresión. La tabla de verdad es una forma muy común, en un formato muy conciso, de expresar el funcionamiento lógico de un circuito. Además, las expresiones suma deproductos y producto de sumas pueden calcularse mediante las tablas de verdad. Las tablas de verdad se pueden encontrar en las hojas de especificaciones y en otras documentaciones relativas alfuncionamiento de los circuitos y sistemas digitales. Alfinalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Pasar una suma de productos a su tabla de verdad. - Pasar un producto de sumas a su tabla de verdad. - Obtener una expresión estándar a partir de una tabla de verdad. • Interpretar correctamente los datos contenidos en una tabla de verdad. Problema relacionado. Sustituyendo los valores binarios en cada término, verificar que las expresiones suma de productos y producto de sumas de este ejemplo son equivalentes. Puesto que son tres las variables que conforman el dominio de esta expresión, existe un total de ocho (23) posibles combinaciones. La expresión suma de productos contiene cinco de estas combinaciones, luego la expresión producto de sumas debe contener las otras tres, que son 001, 100 Y110.Recuerde que estos son los valores binarios que hacen que cada operación suma sea igual a cero. El producto de sumas equivalente es: (A+ B +C)(A+ B + C)(A+ B + e) EXPRESIONESBOOLEANAS y TABLAS DE VERDAD • 229 4.7 • EXPRESIONESBOOLEANAS Y TABLAS DE VERDAD 000 + 010 + 011 + 101 + 111 Solución El resultado de la evaluación es el siguiente: ABe + ABe + ABe + ABe +ABe . EJEMPLO 4.17 Convertir la siguiente expresión suma de productos en su expresión equivalente como producto de sumas: Los valores binarios de los términos producto en una suma de productos estándar dada no aparecen en su producto de sumas estándar equivalente. Asimismo los valores binarios que no est~ representados en una suma de productos sí aparecen en el pro- ducto de sumas equivalente. Por 10tanto, para pasar de la suma de productos estándar al producto de Sumas estándar hay que realizar los siguientes pasos: Paso 1. Evaluar cada término de la expresión suma de productos; es decir, determi- nar los valores binarios que representan estos términos. Paso 2. Determinar todos los números binarios no incluidos al realizar el cálculo del paso 1. Paso 3. Escribir los términos suma equivalentes para cada valor binario del paso 2 y expresarlos en forma de producto de sumas. Mediante un procedimiento similar se puede pasar de un producto de sumas a una suma de productos. Conversión de una suma de productos estándar a producto de sumas estándar Problema relacionado. Determinar los valores binarios para los que el siguiente producto de Sumases igual a O: . (X + Y + Z)(X + y + Z)(X + y + Z)(X + y + Z)(X + Y + Z) ¿Es esta expresión un producto de sumas estándar? Solución El término A + B + e + D es igual a °cuando A = 0, B =·0, e == o y D == O. A+B+C+D=O+O+O+O=O El término A + B + e + D es igual a O siA = O, B = 1, e= 1YD == O. A+B+C+D=O+T+T+o=O+o+O+O=O El término A + B + e + 15 es igual a O si A == 1,B == 1, e == 1yD = 1. A+B+C+15=T+T+T+T=o+o+o+o=o El producto de sumas es igual a O cuando cualquiera de los tres términos suma es igual a O. 228 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • Para determinar la expresión de la suma de productos estándar representada por una tabla de verdad, se enumeran todos los valores de las variables de entrada para los que la salida es 1.Cada valor binario se convierte en el correspondiente término producto, reemplazando cada 1 por la variable y cada O por la variable complementada. Por ejemplo, el valor binario 1010 se transforma en un término producto de la manera siguiente: Determinación de las expresiones estándar a partir de una tabla de verdad Ob~érvesequelatablade verdadde esteejemploesla mismaqueladelEjemplo4.18. Esto significa que la suma de productos del ejemplo anterior y el producto de sumas de este ejemplo son equivalentes. Problema relacionado. Desarrollar la tabla de verdad para el producto de sumas siguiente(A +B + e) (A +B +C)(A +Ji +~. TABlA 4.7 O O O O O O 1 1 O O O O 1 O O O 1 O O 1 O O 1 EJEMPLO 4.19 Determinar la Tabla de verdad de la siguiente expresión producto de sumas estándar: ~+B+q~+S+0~+B+~~+B+~~+ll+0 Solución. Existen tres variables en el dominio y ocho posibles valores binarios, como se muestra en las tres columnas de la izquierda de la Tabla4.7. Lo~valores binarios_gue hacen que los términos suma sean cero son A +B + e: 000; A +B + C: 010;A + B + C: 011; A +B + C: 101; y A + B + e: 110. Para cada uno de estos valores binarios, se escribe un cero en la columna de salida como se indica en la tabla. Para las restantes combinaciones de valoresbinarios, se escribe un 1en la columna de salida. EXPRESIONESBOOLEANAS Y TABLAS DE VERDAD • 231 lOlO---jABCD Para determinar el producto de sumas estándar representado por una tabla de verdad, se enumeran todos los valores binarios para los que la salida es O. A conti- nuación se convierte cada valor binario en el correspondiente término suma, reem- plazand~ cada 1por la variable complementada, y cada Opor la variable. Por ejemplo, el número binario 1001 se pasa a término suma de la manera siguiente: '1001~A+B+C+D Recordemos que un producto de sumas es igual a O solamente si al menos uno de los términos suma es igual a O. Para elaborar la tabla de verdad de un producto de sumas, se enumeran todas las posibles combinaciones de valores binarios de las variables, del mismo modo que se ha hecho anteriormente para la suma de pro- ductos. A continuación, se pasa la expresión producto de sumas a su formato estándar, si todavía no lo está. Por último, se escribe un O en la columna de salida (X) para cada valor binario que hace que la expresión sea cero, y se escribe un 1 en el resto de las posibles combinaciones. Este procedimiento se ilustra en el Ejemplo 4.19. Conversión de un producto de sumas a tabla de verdad Problema relacionado. Crear una tabla de verdad para la expresión ABe + ABe O 1 O o 1 O O 1 O O O O ] 1 1 1 o 1 O 1 O 1 O 1 o O 1 1 O O TABlA 4.6 Existen tres variables en el dominio, de forma que hay ocho posibles combinaciones de valores binarios de las variables, como se muestra en las tres primeras columnas de la Tabla 4.6. Los valores binarios que hacen que los productos de la expresión sean 1son A Be: 001; AS e: 100 y ABe: 111; Para cada uno de estos valores binarios, se escribe un 1en la columna de salida como se muestra en la tabla. Para cada una de las restan- tes combinaciones, se coloca un O en la columna de salida. Solución EJEMPLO 4.18 Desarrollar una tabla de verdad para la expresión suma de productos estándar A Be + Aiie+ABe dominio contiene cuatro variables, el número de combinaciones es (24 = 16), y así sucesivamente. El primer paso a seguir para elaborar una tabla de verdad es enumerar todas las posibles combinaciones de los valores de las variables de la expresión. A continuación, hay que pasar la suma de productos a su formato estándar, si no lo está ya. Por último, se escribe un 1enla columna de salida (X) para cada valor binario que hace que la suma de productos estándar sea 1, y se escribe un O para los restantes valores. Este procedi- miento se muestra en el Ejemplo 4.18. 230 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • e e FIGURA 4.20 AB o AB o Mapa de Karnaugh de tres variables. 00 00 ABE 01 i 01 ABE~~.~ '.l .. ':1 flBEI1 .~ 11 ~ 10 ~ 10 ABE ·..·:.;t·i:.!"::'..~'-:_::-:· (a) (b) Mapa de Karnaugh de tres variables El mapa de Karnaugh de 3 variables es un conjunto de ocho celdas, como se muestra en la Figura 4.20(a). En este caso, A, B Yese utilizan para denominar a las variables, aunque se podrían usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda (observar la secuencia) y los valores de een la parte superior. Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posi- bles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En vez de estar organizada en filas y columnas como una tabla de verdad, el mapa de Kamaugh es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. Las celdas se disponen de manera que la simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas. Los mapas de Karnaugh pue- den utilizarse para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables, pero trataremos únicamente los casos de 3 y 4 variables para ilustrar su funcionamiento. La Sección 4.11 se ocupa de las expresiones de cinco variables que emplean tul mapa de Karnaugh de 32 celdas. Existe otro método, que está fuera del propósito del libro, denominado método de Quine-McClusky, que puede usarse para un número de variables mayor. El número de celdas de un mapa de Kamaugh es igual al número total de posi- bles combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas de una tabla de verdad. Para tres variables, el número de celdas necesarias es de 2}= 8. Para cuatro variables, el número de celdas es de 24 = 16. Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples posibles. Como hemos visto, la efectividad de la simplificación algebraica depende de nuestra familiaridad con las leyes, reglas y teoremas del álgebra booleana y de nuestra habilidad a la hora de aplicarlas. Por otro lado, el mapa de Karnaugh es básicamente una "receta" para la simplificación. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: - Construir un mapa de Kamaugh de tres O cuatro variables. - Determinar el valor binario de cada celda de un mapa de Karnaugh. - Determinar el término producto estándar representado por cada celda de un mapa de Karnaugh. - Explicar la adyacencia de celdas e identificar celdas adyacentes. 4.8 • MAPAS DE KARNAUGH MAPAS DE KARNAUGH - 233 La suma de productos estándar resultante para la salida X es: X = ABC +AS e + ABe + ABC Para el producto de sumas, la salida es Opara los valores 000, 001, OJOy 101. Estos valores binarios se transforman en términos suma de la forma siguiente: OOO-----+A+ B + C 001-----+ A + B +e 010-----+ A + S + C 101-----+A+ B + e El producto de sumas estándar que obtenemos a la salida X es: X=~+B+0~+B+~~+B+0~+B+~ Problema relacionado. Sustituyendo los valores binarios, demostrar que las ex- presiones suma de productos y producto de sumas calculadas en el ejemplo anterior son equivalentes, es decir, para cada número binario que elijamos, ambas expresiones tienen que tomar el valor Oo el valor 1,dependiendo del valor binario en cuestión. Oll-----+ABC 100-----+ AS e 110-----+ ABe 111 -----+ ABC Solución. En la columna de salida hay cuatro ls, y las combinaciones binarias corres- pondientes son 011, 100, 110y 111.Estos valores se convierten a términos producto de la formasiguiente: TABlA 4.8 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O 1 O 1 O 1 O 1 EJEMPLO4.20 A partir de la tabla de verdad de la Tabla4.8,determinar la expresión suma de productos estándar y su expresión equivalente como producto de sumas estándar. 232 - ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Como se ha enunciado en la sección anterior, el mapa de Karnaugh se utiliza para reducir expresiones booleanas a su mínima expresión. Una expresión suma de productos minimizada estáformada por el mínimo número de términos producto posibles con el mínimo número de variablespor término. Generalmente, una expresión suma deproductos minimizada puede ser implementada mediante un número depuertas menor que su expresión estándar, lo cual constituye lafinalidad delproceso de simplificación. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Representar una expresión suma de productos en un mapa de Karnaugh. • Combinar los ls del mapa en grupos máximos. • Determinar los términos producto mínimo de cada grupo del mapa. • Combinar los términos producto mínimo para formar una expresión suma de productos mínima. • Convertir una tabla de verdad en un mapa de Kamaugh para simplificar la correspondiente expresión. • Utilizar condiciones "indiferentes" en un mapa de Karnaugh. 10 11 01 CD AB ):::::gRRtd~~d;¡ 00 FIGURA 4.22 Adyacencia de celdas en un mapa de Karnaugh. Las flechas apuntan a las celdas adyacentes. e izquierda para formar la misma figura. La Figura 4.22 muestra la adyacencia de cel- das de un mapa de Karnaugh de 4 variables, aunque las reglas de 'la adyacencia se apli- can por igual a todas las tablas, independientemente de su número de variables. MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 235 ·4.9 • MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que sólo cambia una úni- ca variable entre celdas adyacentes. La adyacencia se define por un cambio de una única variable. Las celdas que difieren en una única variable son adyacentes. Por ejemplo, en el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011 y a la 110.Las celdas cuyo valor difiere en más de una variable no son adyacentes. Por ejemplo, la celda 010 no es adyacente a la celda 001, a la 111,a la 100 ni a la 101. Físicamente, cada celda es adyacente a las celdas que están situadas inmediatas a ella por cualquiera de sus cuatro lados. Una celda no es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinas. Además, las celdas de la fila superior son adyacentes a las de la fila inferior y las celdas de la columna izquierda son adya- centes a las situadas en la columna de la derecha. Esto se denomina adyacencia cícli- ca, ya que podemos pensar que el mapa de Karnaugh se dobla de forma que se toquen los extremos superior e inferior como si fuera un cilindro o los extremos de la derecha Adyacencia de celdas (b)(a) 10 ABCi5 AlJCD AffCD AlJCi5 :;U :l~":* ···;m§,· .Y. io 11 ABCi5 ABCD ABCD ABCi511 01 ABCi5 ABCD ABCD ABCi501 1-----+--+---+--11·, 00 AlJCi5AlJCD ABCD AlJCi5L CD 00 01 11 10 AB r----,---,---.--~ 1011 CD AB 00 01 00 FIGURA 4.21 Mapa de Kamaugñ de cuatro variables. Mapa de Karnaugh de cuatro variables El mapa de Karnaugh de cuatro variables es una matriz de 16 celdas, como se mues- tra en la Figura 4.21(a). Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda de la tabla, mientras que los de ey D están en la parte superior. El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B en la parte izquier- da de la misma fila, combinado con los valores binarios de ey D en la parte superior de la misma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior derecha tiene un valor de 0010 y la de la esquina inferior derecha tiene un valor de 1010. La Figura 4.21(b) muestra los términos producto estándar representados por cada celda del mapa de Kamaugh de cuatro variables. El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila, combinado con el valor de een laparte superior de la mis- ma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior izquierda tiene un valor binario de 000 y la celda de la esquina inferior derecha tiene un valor de 101. La Figura 4.20(b) muestra los términos producto estándar representados por cada celda del mapa de Kamaugh. 234 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh, las expresiones booleanas deben estar en su forma estándar. Si una expresión no lo está, se pasará al formato estándar mediante el procedimiento descrito en la Sección 4.6 o mediante desarrollo numérico. Dado que, en cualquier caso, las expresiones tienen que evaluarse antes de pasarlas al mapa de Karnaugh, el desarrollo numérico es quizá el método más eficaz. Desarrollo numérico de un producto no estándar. Recuerde que a un término en forma no estándar le faltan una o más variables en su expresión. Por ejemplo, supon- gamos que uno de los productos de una cierta suma de productos de tres variables esAS. Este término se puede desarrollar numéricamente para obtener una expresión estándar de la manera siguiente. En primer lugar, se escribe el valor binario de las dos variables Mapa de Karnaugh de una suma de productos no estándar Problema relacionado. Transformar la siguiente expresión estándar suma de pro- ductos en un mapa de Karnaugh. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD I .". "·"·'1 .,.,. .. ... ABCD ABCD I 01 ~l 1, ABEl5 ~I--t--t--t-----il 11 ~! 1 1 ABEl5 .-/'f---+!....,J.I--t----~+--i'¡ 10 1-- -ASCO 00 AlicD CD 00 01 / 11 10 AB r----r--~--~---. / l-+--+-ABCD FIGURA 4.25 A BCD + ABC D + ABCD + ABCD +ABC D + A B CD + ABCD 0011 0100 1101 1111 1100 0001 1010 Solución. La expresión se evalúa como se muestra a continuación. Se coloca un 1 en el mapa de Kamaugh de la Figura 4.25 por cada producto estándar de la expresión. Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh: ABeD + Miel) + ABCD + ABCD +ABcl) + ABCD + ABCl) EJEMPLO 4.22 Problema relacionado. Transformarla expresión estándar de la suma de productos ABC +ABC +ABC en un mapadeKamaugh. MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 237 -- - - - A BC + ABC + ABC + ABC 001 010 110 111 C AB o 1 00 1--¡-ABC ;; 01 1 ': ABE : 11 1, 1-;-ABC <, <, ID i'ABE FIGURA 4.24 Solución. Laexpresiónseevalúacomo semuestramás abajo.Se introduceun 1enelmapa de Kamaughde tres variablesde la Figura4.24 por cada productoestándarde la expresión. A BC + ABC + ABC +ABC Transformar la siguiente suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh: En los dos ejemplos siguientes se verá este proceso de transformación. o 1 ABE + ABC + ABE + AB 000 001 no io 00 1 1 "J I 01 t 11 1 LO 1 ....,. AB EJEMPLO 4.21 eFIGURA 4.23 Ejemplo de transformación a mapa de Karnaugh de una suma de productos estándar. Mapa de Karnaugh de una suma de productos estándar Por cada término de la expresión suma de productos, se coloca un 1 en el mapa de Karnaugh en la celda correspondiente al valor del producto. Por ejemplo, para el tér- mino ABe se situaría un 1 en la celda 101 en un mapa de Karnaugh de 3 variables. Cuando se ha completado el mapa de Karnaugh correspondiente a la suma de pro- ductos dada, en dicho mapa habrá tantos unos como términos en la expresión. Las celdas que no tienen un 1 son aquellas para las que la expresión es O.Generalmente, cuando se trabaja con una expresión suma de productos, los Osse dejan fuera del mapa. Los siguien- tes pasos y la Figura 4.23 nos ilustran cómo completar los mapas de Karnaugh. Paso 1. Determinar el valor binario de cada término producto de la suma de produc- tos estándar. Tras un poco de práctica, la evaluación de términos la podre- mos realizar mentalmente. Paso 2. A medida que evaluamos cada término, colocamos un 1 en el mapa de Karnaugh, en la celda que tiene el mismo valor que dicho término. 236 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • El proceso que genera una expresión que contiene el menor número posible de térmi- nos con el mínimo número de variables posibles se denomina minimización. Después de haber obtenido el mapa de Kamaugh de una suma de productos, se deben seguir tres pasos para obtener la expresión suma de productos núnima: agrupar los l s, deter- minar el término producto correspondiente a cada grupo y sumar los términos pro- ducto obtenidos. Simplificación de una suma de productos mediante el mapa de Karnaugh Problema relacionado. Transformar la expresión A + eD + ACD + ABCD en un mapa de Karnaugh. 10 11 01 .~::~ r---+---+---;---~ AB 00 101101FIGURA 4.27 CD 00 Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, situando un 1 en la cel- da correspondiente del mapa de Kamaugh de 4 variables de la Figura 4.27. Nótese que algunos de los valores de la expresión desarrol1ada son redundantes. BC + AS + ABe + ABC15 + ABCD + ABCD 0000 1000 1100 101o 0001 1011 0001 1001 1101 1000 1010 1001 1011 EJEMPLO 4.24 Transformar la siguiente expresión suma de productos en un mapa de Karnaugh: BC + AB + ABC +ABC15+ A"§CD + ABCD Solución. Obviamente, la suma de productos no está escrita en forma estándar, ya que cada término no contiene las cuatro variables. A los dos primeros les faltan dos varia- bles, mientras que los dos restantes sí son estándar. En primer lugar, se desarrollan numéricamente los términos como sigue: MINIMIZACIÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE EL MAPA DE KARNAUGH • 239 Agrupación de 1s. Podemos agrupar los 1s del mapa de Kamaugh de acuerdo con las reglas siguientes, rodeando las celdas adyacentes que contengan ls. La finalidad es maximizar el tamaño de los grupos y minimizar el número de estos grupos. Problema relacionado. Transformar la expresión suma de productos BC + A C en un mapa de Karnaugh. o 1 00 1 1 ,] 01 1 1 r~1 ~ 11 I :{ .j ~ 10 1 1 I".0' " '.' C AB FIGURA 4.26 EJEMPLO 4.23 Transformar la siguiente expresión suma de productos en un mapa de Kamaugh: A + AB +ABC. Solución. Obviamente, la suma de productos no está en formato estándar, ya que cada término no contiene las tres variables. El primer término no posee dos de las tres varia- bles; el segundo carece de una, mientras que el tercero sí que es estándar. En primer lugar, desarrollamos los términos numéricamente de la forma que sigue: A +AB +ABC 000 100 110 001 101 010 011 Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, colocando un 1 en la cel da apropiada del mapa de Karnaugh de 3 variables de la Figura 4.26. Los cuatro números binarios resultantes son los valores correspondientes a la suma de productos estándar, es decir, ABe, ABC, ABe y ABe. y le añadimos un O que corresponde a la variable que falta, e:100. A continuación, se escribe el valor binario de las dos variables y le añadimos un 1, que corresponde a la variable que falta, C:I01. Los dos ~alores binarios resultantes so~l~ val~res respecti- vos de los términos de la expresión suma de productos estándar AB C yABC. Veamos otro ejemplo; se supone que uno de los términos de una expresión de tres variables es B (recuérdese que una variable única se considera como un término pro- ducto en una suma de productos). Este término se puede desarrollar numéricamente para obtener su formato estándar del siguiente modo: se escribe el valor binario de la variable y luego se añaden todos los posibles valores de las variables que faltan, A y C: B 010 238 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • FIGURA 4.30 CD AB 00 01 11 10 00 Xc 01 B 11 10 ACD EJEMPLO 4.26 Determinar los productos para el mapa de Kamaugh de la Figura 4.30 y escribir la expresión suma de productos mínima resultante. Determinación de la expresión suma de productos mínima a partir del mapa. Cuando todos los ls que representan los términos productos estándar de una expresión se han trasladado al mapa y se han agrupado adecuadamente, comien- za el proceso de obtención de la suma de productos mínima. Para encontrar los tér- minos mínimos y la expresión suma de productos mínima se aplican las siguientes reglas: 1. Agrupar las celdas que contienen 1s. Cada grupo de celdas que contiene ls da lugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo en sólo una forma (no complementada o complementada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se elimi- nan. A éstas se les denomina variables contradictorias. 2. Determinar la operación producto mínima para cada grupo. (a) Para un mapa de 3 variables: (1) Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto de tres variables. (2) Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de dos variables. (3) Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término de una variable. (4) Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresión vale 1. (b) Para un mapa de 4 variables: (1) Un grupo formado por 1 celda da lugar a un término producto de cuatro variables. (2) Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de tres variables. (3) Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de dos variables. (4) Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un término de una variable. (5) Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresión vale 1. 3. Cuando se han obtenido todos los términos mínimos a partir del mapa de Karnaugh, se suman para obtener la expresión suma de productos mínima. MINIMIZACiÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 241 (d) 10 11 01 00 Adyacencia en los extremos de la tabla (d) 11 DI 00 (e) FIGURA 4.29 (b) C AB Problema relacionado. Determinar si existen otras formas de agrupar los ls en la Figura 4.29, para obtener un número mínimo de grupos máximos. Adyacencia en los extremos de la tabla (e) 10 10 II 01 DI 1011 CD AB 00 00 FIGURA 4.28 (b) o 1 00 1 1 te:' 01 1 11 1 f' 10 1 1 AB e Soluclén. En la Figura 4.29 se muestran los grupos. En algunos casos, puede existir más de una forma de agrupar los ls para formar grupos máximos. Agrupar los 1s en cada uno de los mapas de Kamaugh de la Figura 4.28. (a) 10 11 Ol 00 @ o C AB (a) ° 1 00 1 11 01 1 r11 I I 10 C AB EJEMPLO 4.25 1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas. En el caso de un mapa de Kamaugh de 3 variables, el grupo máximo puede contener 8 celdas. 2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o más celdas del mismo gru- po, pero no todas las celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre sí. 3. Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de ls de acuerdo a la regla número 1. 4. Cada 1del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1sque ya per- tenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan ls no comunes. CD AB '-_00----,-_01----,_1_1--;-_1_0--, 240 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • Solución. El primer término BCD tiene que desarrollarse para obtener una suma de productos estándar, que será AH e15y AB C 75, que se traslada al mapa, y las celdas se agrupan como se muestra en la Figura 4.33. Problema relacionado. En el mapa de Karnaugh de la Figura 4.31(d), añadir un 1a la celda O111Ydeterminar la expresión suma de productos resultante. EJEMPLO 4.29 Mediante un mapa de Karnaugh, minimizar la expresión suma de productos siguiente: BCD + ABCD + ABC75 + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABC75+ ABCD (d) No debeolvidarsequeesta expresiónmínimaes equivalenteala expresiónestándaroriginal. Problema relacionado. Utilizando un mapa de Karnaugh, simplificar la siguiente expresión suma de productos estándar: XYz + XYZ + Xyz + X.YZ + xYZ + xyz 10 11 Obsérvese el grupo de 4 celdas en los extremos del mapa que incluye las filas superior e inferior de ls. EIl restante se incluye en otro grupo superpuesto de dos cel- das. El grupo de los cuatro ls origina un término con una única variable, B. Esto se deduce del hecho de que, dentro del grupo, B es la única variable que no varía de celda a celda. El grupo de los dos ls da lugar a un producto de dos variables AC. Éste térmi- no se obtiene observando que, dentro de este grupo, A y C no varían de una celda a la siguiente. La correspondiente expresión suma de productos mínima es: B+XC 15 EJEMPLO 4.27 Determinar los productos para cada uno de los mapas de Karnaugh de la Figura 4.31 y escribir las correspondientes expresiones suma de productos mínima resultante. Solución. En la Figura 4.31 se muestran los productos mínimos resultantes para cada grupo.,La expresión suma de productos mínima para cada uno de los mapas de Karnaugh de la figura son: 01 00 AB CFIGURA 4.32 lit (a) AB + BC + X B e (e) AB +Al' + ABD ABe BC if e IAB AB AB 00 00 00 lit 01 01 01 11 11 AC 10 10 10 AB (a) (b) (e) FIGURA 4.31 (b) B + Xc + AC (d) 75 +ABC + BC Solución. En la Figura 4.30, el producto correspondiente al grupo de 8 celdas es B, puesto que las celdas que forman el grupo contienen A y A, C y C, y D YJ2., por l~ que estas variables se eliminan. En el grupo formado por 4 celdas, aparecen B, B, D, YD, de forma que el producto es Xc. El grupo formado por 2 celdas, contiene a B y B, siendo ACD el producto. Obsérvese cómo se superponen los grupos para que éstos sean de tamaño máximo. La expresión suma de productos mínima que resulta es la suma de todos los productos obtenidos. Problema relacionado. En el mapa de Karnaugh de la Figura 4.30, añadir un 1 a la celda inferior derecha (1010) y determinar la expresión suma de productos resultante. La suma de productos estándar se pasa al mapa y las celdas se agrupan como se muestra en la Figura 4.32. 101 + 011 + 011 + 000 + 100 Solución. Los valores binarios de la expresión son: EJEMPLO 4.28 Mediante el mapa de Karnaugh minimizar la suma de productos estándar siguiente: ABC + ABC + ABC + ABC + ABC MINIMIZACIÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE EL MAPA DE KARNAUGH • 243 B +AC +ACD 242 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • (b) Sin condiciones "indiferentes" y = AliE + ABCD Con condiciones "indiferentes" y = A + BCD A r--t---j~;;:;!:===iABCD BCD I-d",....,..",...,H==d:!:::=--L, 11 (a) Tabla de verdad . FIGURA 4.35 .Ejemplo de la utilización de las condiciones indiferentes para simplificar una expresión. . FIGURA 4.34 Ejemplo de obtención directa de un mapa de Karnaugh apartir de una tabla de verdad. 0000 O 0001 O 0010 O AB O 01 1 O O lOO O 00 o 1 O 1 O O 1 10 O 01 11 JO No permitidas AliE "indiferentes" Los términos "indiferentes" pueden utilizarse para aprovechar mejor el método del mapa de Karnaugh. La Figura 4.35 muestra que, para cada término indiferente, se escribe una X en la celda. Cuando se agrupan los 1s, las X pueden ser consideradas también como 1s para agrandar los grupos, o como Ossi no obtenemos ninguna ven- taja. Cuanto mayor sea el grupo, más senci1lo será el término resultante. La tabla de verdad de la Figura 4.35(a) describe una función lógica que tiene sólo salida igual a 1 cuando el código BCD de 7, 8 o 9 se introduce a la entrada. Utilizando los términos indiferentes como unos, el resultado que obtenemos para la función es A + BCD. Si no se emplean estos términos "indiferentes", la expresión obtenida sería A Be +ABCD. Luego puede verse que el utilizar los términos indife- rentes contribuye a obtener una expresión más sencilla. 1110 y 1111. Dado que estos estados no permitidos no ocurren nunca en una aplica- ción que emplee el código BCD, pueden considerarse como términos indiferentes con respecto a su efecto en la salida. Esto significa que a estos términos se les puede asignar tanto un 1como un Oen la salida; realmente no son importantes dado que nun- ca van a generarse. MINIMIZACIÓN DE UNA SUMA DE PRODUCTOS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 245 x = ABe + ABC+ABC +ABC Algunas veces se producen situacio~es en las que algunas combinaciones de las varia- b~es de entrada no están permitidas. Por ejemplo, recuérdese que en el código BCD, V1Stoen el Capítulo 2, existían seis combinaciones no válidas: 1010, 1011, 1100, 1101, Condiciones indiferentes Hemos visto cómo las expresiones booleanas se transforman en mapas de Karnaugh. Ahora se aprenderá cómo pasar de una tabla de verdad a un mapa de Karnaugh. Recuérdese que una tabla de verdad proporciona la salida de una expresión booleana para todas las posibles combinaciones de las variables de entrada. En la Figura 4.34 se facili~a un ejemplo de expresión booleana junto con su tabla de verdad. Obsérvese que la salida X es 1 para cuatro distintas combinaciones de las variables de entrada. Los unos de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapa de Karnaugh, a las celdas correspondientes a los valores asociados de las combina- ciones de variables de entrada, como muestra la Figura 4.34. En esta figura puede ver- se que tanto la expresión booleana, la tabla de verdad como el mapa de Kamaugh son sólo distintas maneras de representar una función lógica. Obtención directa del mapa de Karnaugh a partir de la tabla de verdad No se debeolvidarqueesta expresiónmínimaes equivalentea laexpresiónestándaroriginal. Problema relacionado. Mediante un mapa de Karnaugh simplificar la siguiente expresión suma de productos: WXYZ + wX.YZ + wX'YZ + WYZ + wX'Y'Z 15+ Be Obsérvese que ambos grupos tienen adyacencia "cíclica" de celdas. Se puede for- mar el grupo de ocho celdas. ya que las dos columnas exteriores son adyacentes. El gru- po de cuatro celdas se forma tomando los dos restantes Is, puesto que las celdas supe- rior e .i~ferior son adyacentes. Se indica el término producto para cada grupo y la expresion suma de productos mínima resultante es: BeFIGURA 4.33 244 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • El proceso de minimización de un producto de sumas es básicamente el mismo que para una expresión' suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los Ospara generar el mínimo número de términos suma; en lugar de los Is para obtener el mime- .Simplificación mediante el mapa de Karnaugh de expresiones producto de sumas Problema relacionado. Transformar la siguiente expresión suma de productos estándar en un mapa de Karnaugh. ~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~ 10 I 11 J 01 00 A+B+C+D CD 00 01 11 10 AB )---,---,-rr--, l O-t4-A+B+C+D FIGURA 4.37 00111111001010111100 Solución. La expresión se evalúa como se indica más abajo y se coloca un Oen el mapa de Karnaugh de la Figura 4.37 por cada término suma estándar de la expresión. ~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~~+B+C+~ EJEMPLO 4.30 Transformar la siguiente expresión suma de productos estándar en un mapa de Karna~gh: (A +B + e+D)(A + B +e+ D)(A +B + e+ D)(A +B + e+D)(A + B +e+ 15) (A + B + C)(A + Ji + C)(A + Ji + C)(A + B + E; ;fi~) lió) .1QÜ C AB O 00 O 01 O ~~1 11 O "el ¡ 10 O FIGURA 4.36 Ejemplo de obtencién del mapa de Karnaugh. de U1l producto de sumas estándar. MINIMIZACIÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTE EL MAPA DE KARNAUGH • 247 El Ejemplo 4.30 nos ilustrará más detalladamente este proceso. Paso 1. Determinar el valor binario de cada término suma del producto de sumas estándar. Éste es el valor binario que hace que dicho término sea igual a O. Paso 2. Cada vez que se evalúa un término suma, se introduce un Oen la correspon- diente celda del mapa de Kamaugh. Para un producto de sumas en forma estándar, se introduce un O en el mapa de Karnaugh por cada término suma de la expresión. Cada Ose sitúa en la celda corres- pondiente al valor de un término suma. Por ejemplo, para la suma A + B + e, se escri- be un Oen la celda 010 del mapa de Kamaugh de 3 variables. Cuando un producto de sumas se ha trasladado por completo al mapa, habrá tan- tos Os en el mapa como términos suma en la expresión del producto de sumas están- dar. Las celdas que no contienen un Oson aquellas para las que la expresión vale 1. Generalmente, cuando se trabaja con productos de sumas, los ls no se escriben. Los siguientes pasos junto con la Figura 4.36 ilustran este proceso. Conversión de una expresión producto de sumas estándar a mapa de Karnaugh • Transformar un producto de sumas estándar en un mapa de Karnaugh. • Combinar los Osdel mapa para formar grupos máximos. • Determinar el número mínimo de términos para cada grupo del mapa. • Combinar los términos suma mínimos para formar elproducto de sumas mínimo. • Utilizar el mapa de Karnaugh para convertir productos de sumas en sumas de productos, y viceversa. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: En la sección anterior estudiamos la minimización de una expresión suma de productos mediante los mapas de Karnaugh. En esta sección, nos vamos a centrar en las expresiones producto de sumas. Los métodos son muy similares, excepto que ahora se trata deproductos de sumas, en los que los Osrepresentan las operaciones de suma estándar y se colocan en el mapa de Karnaugh en lugar de los ls. Esta sección sepuede omitir sin que ello afecte al resto de los temas que se van a tratar. 4.10 • MINIMIZACiÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTE EL MAPA DE KARNAUGH 246 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • EJEMPLO 4.33 Utilizando un mapa de Karnaugh, convertir el siguiente producto de sumas estándar en: un producto de sumas mínimo, una suma de productos estándar y una suma de productos mínima. Cuando un producto de sumas se traslada a un mapa de Karnaugh, puede fácilmente pasarse a la suma de productos equivalente directamente a partir de dicho mapa. También, dado un mapa de Karnaugh de una suma de productos, el producto de sumas equivalente puede obtenerse directamente a partir del mapa. Esto proporciona una excelente manera de comparar ambas formas mínimas de una expresión, para deter- minar si una de ellas puede implementarse con menos puertas que la otra. Para un producto de sumas, todas las celdas que no contienen Oscontíenen ls, de lo que se deriva su expresión suma de productos. De igual manera, para una suma de productos, todas las celdas que no contienen 1s contendrán Os,de los que se obtie- ne la expresión producto de sumas. El Ejemplo 4.33 ilustra esta conversión. Conversión entre suma de productos y productos de sumas mediante el mapa de Karnaugh Problema relacionado. Utilizarun mapa de Karnaugh para simplificar la siguiente expresión producto de sumas: (W + X + y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Z) AH FIGURA 4.39 Recuerde que esta expresión mínima es equivalente al producto de sumas original. (C + D)(A + B + D)(A + B + C) Solución. El primer término tiene que ampliarse a A + B + C + D YA + B + C + D para conseguir una expresión producto de sumas estándar, que luego se pasa a un mapa de Karnaugh, y en la que las celdas se agrupan como muestra la Figura 4.39. En ella se indican los términos suma correspondientes a cada grupo, y el producto de sumas mínimo es: MINIMIZACiÓN DE UN PRODUCTO DE SUMAS MEDIANTE ELMAPA DE KARNAUGH • 249 EJEMPLO 4.32 Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar el siguiente producto de sumas: (B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + 13+ C + D) Téngase en cuenta que esta expresión suma de productos mínima es equivalente a la expresión suma de productos estándar. Agrupando los 1s como se indica en las áreas de color gris se obtiene una expre- sión suma de productos que es equivalente a agrupar los Os. AC + A13 = A(13 + C) Problema relacionado. Utilizar un mapa de Karnaugh para simplificar la siguiente suma de productos estándar: ~+y+~~+y+~~+y+~~+y+~ A(B + C) Obsérvese que el Ode la celda 110se incluye en un grupo de dos celdas, utilizan- do el Odel grupo de cuatro celdas. El término suma para cada grupo se muestra en la figura y la ex.presiónsuma de productos mínima resultante es: A AC FIGURA 4.38 La expresión de la suma de productos estándar se traslada al mapa de Karnaugh, y las celdas se agrupan como se muestra en la Figura 4.38 (O + O+ 0)(0 + O+ 1)(0 + 1 + 0)(0 + 1 + 1)(1 + 1 + O) Solución. Las combinaciones de valores binarios de la expresión son: EJEMPLO 4.31 Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el siguiente producto de sumas estándar: (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C>(A+ 13 + C) ro mínimo de términos producto. Las reglas para agrupar los Os son las mismas que para agrupar los ls, y son las que se han estudiado en la Sección 4.9. 248 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Ya conocemos cómo determinar celdas adyacentes dentro de un mapa de cuatro varia- bles. La mejor manera de visualizar la adyacencia de celdas entre los dos mapas de 16 celdas consiste en imaginar que el mapa A = °está colocado encima del mapa A = 1. Cada celda del mapa A = Oes adyacente con la celda que está justo debajo en el mapa A=l. Para ilustrar esto, la Figura 4.42 muestra un ejemplo con cuatro grupos, con los mapas en disposición tridimensional. Los ls de las celdas punteadas forman un grupo de 8 bits (cuatro correspondientes al mapa A == O combinadas con cuatro del mapa A = 1). Los ls de las celdas rayadas forman un grupo de 4 bits. Los unos de las celdas Adyacencia de celdas FIGURA 4.41 Mapa de Karnaugh de 5variables. A=l 11 I---+----t---t-----j¡".: 10 A _' 01 ~ ~--+---+---'_--~1 10 1011 11 DE Be 00 01 00 DE Be 00 01 00 01 11 10 Un mapa de Karnaugh de cinco variables (ABCDE) puede crearse utilizando dos mapas de 4 variables, con los que ya estamos familiarizados. Cada mapa contiene 16 celdas con todas las posibles combinaciones de las variables B, C, D Y E. Un mapa es para A = 0, mientras que el otro es para A = 1, como se muestra en la Figura 4.41. Lasfunciones booleanas de cinco variablespueden simplificarse mediante un mapa de Karnaugh de 32 celdas. Realmente, para construir un mapa de 5 variables se utilizan dos mapas de cuatro variables (con 16 celdas cada uno). Ya conocemos la adyacencia de celdas en los mapas de 4 variables y cómo seforman los grupos de celdas que contengan 1s para simplificar una suma deproductos. Luego todo lo que se necesita aprender para manejar cinco variables es la adyacencia de celdas entre dos mapas de 4 variables y cómo agruparlas. Esta sección puede ser omitida sin afectar al resto de las materias que se van a tratar más adelante. Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Determinar la adyacencia de celdas en un mapa de 5 variables. - Formar grupos que contengan el máximo número de celdas en un mapa de 5 variables. • Minimizar las expresiones booleanas de 5 variables utilizando el mapa de Karnaugh. • MAPA DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES MAPA DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES • 251 Problema relacionado. Utilizar un mapa de Karnaugh para convertir la siguiente expresión a su forma suma de productos mínima: (W + X + y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Y + Z)(W + X + Z) FIGURA 4.40 (e) Suma de productos mínima: AC + BC + BD + BCD (b) Suma de productos estándar: AjjCiJ + ABCD + ABCD + ABCiJ + ABCiJ + ABCiJ + ABCiJ + ABeD + ABCD + ABCD B+C+D (a) Producto de sumas mínimo: (A + B + C)(E + e+ D)(B + C + iJ) BCDABCD ABCD ABCD ABCD . AC AB AB 10 00 00 ~ ABCD 00 01 01 ABCD 01 11 II 1I 10 10 10 BC BD 10 Solución. Los ceros de la expresión producto de sumas estándar se transforman y agrupan para obtener el producto de sumas mínimo, como se indica en la Figura 4.40(a). En la Figura 4.40(b), se añaden 1s en las celdas que no contienen Os.De cada celda que contenga un 1, se obtiene un término producto estándar, como se indica. Estos términos producto forman la expresión suma de productos estándar. En la Figura 4.40(e), se agru- pan los 1s y se obtiene una expresión suma de productos mínima. ~+H+C+~~+!+C+~~+B+C+~ ~+B+~+~~+B+C+~~+B+~+~ 250 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • .Los displays de 7segmentos se utilizan en casi todo, desde la instrumentación en automóviles hasta los medidores de impedancia. El sistema de control y recuento de pastillas, que ha sido el objetivo de nuestras aplicacio~~s de !os capítul~s a~teriore~, tiene dos displays de 7 segmentos. Estos displays se utilizan Junto con :lrcultos lágicos que decodifican un número BCD y activan los dígito,sadecu~d~s del display. En esta sección nos vamos a centrar en el diseño, con un numero mtntmo depuertas, de un decodif¡,cadorlógicopara ilustrar las aplicaciones de las expresiones booleanas y de los mapas de Karnaugh: Al finalizar esta sección, el lector deberá ser capaz de: • Conocer el método de diseño de circuitos lógicos. • Explicar el funcionami~nto de un displayde 7 segmentos. • Traducir un determinado requisito en~~a expresión booleana y/o en su tabla de verdad y, posteriormente, en un circuito lógico que tenga un número de puertas mínimo utilizando un mapa de Karnaugh. 4.12 • APLICACiÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES Problema relacionado. Minimizar la siguiente expresión: .. y = ABCDE + ABCDE +AsCDE +AsCDE+ ABeDE +ABC!!! ~ ABCDE +ABeDE + ABCDE + A BCDE + ABCDE + ABCDE + AB CDE + ASCDE + ABCDE + ABeDE BCE BCDFIGURA 4.43 APLICACiÓN A LOSSISTEMASDIGITALES • 253 EJEMPLO 4.34 Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar la siguiente expresión estándar de la suma de productos de 5variables: X = ABCDE + ABCDE + ABCDE +ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + AS eD E + AB eDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE Solución. En laFigura 4.43, se traslada la suma de productos al mapa de Karnaugh y se realizan las agrupaciones indicando los términos correspondientes. Combinando estos términos se obtiene la siguiente expresión suma de productos minimizada: X = ADE + BCD + BCE + ACDE La expresión booleana suma de productos original que está dibujada en el mapa de Karnaugh de la Figura 4.42 contiene 17 términos de cinco variables, ya que existen diecisiete Is en el mapa. Como ya sabemos, sólo las variables que no cambian dentro de un grupo permanecen en la expresión correspondiente a ese grupo. La expresión simplificada se obtiene a partir del mapa de la manera siguiente: • El término del grupo punteado es DE. • El término del grupo rayado es BCE. • El término del grupo gris oscuro es AED. • El término de la celda gris claro junto con la celda gris oscuro es Be DE. Combinando estos términos obtenemos la suma de productos simplificada siguiente: X = DE + BCE + ABD + Be DE Expresión booleana simplificada FIGURA 4.42 Ilustración de la agrupación de ls en celdas adyacentes de un mapa de 5variables. gris oscuro constituyen un grupo de 4 bits sólo en el mapa A :: O.El l de la celda gris claro del mapa A == 1 se agrupa con el! de la celda gris oscuro de la parte inferior dere- cha del mapa A == Opara formar un grupo de 2 bits. 252 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • Cuando la salida del decodificador/excitador es un nivel BAJO (O), la salida de la puerta OR-exc1usiva deja pasar la señal de fuente no invertida, como se muestra en la Figura 4.47(b). La diferencia de tensión entre el segmento y el plano posterior es O, . ya que Vseg= VbP' Esta 'condición hace que el segmento se apague. FIGURA 4.47 Funcionamiento básico de un LCD. (b) Segmento no activado (off) Fuente de señal (a) Segmento activado (on) Fuente de señal Plano posterior Uno de los 7 segmentos LCDSalida dell--~ decodificador ALTO(H) Segmento Displays de LeD. Otro tipo común de displays de 7 segmentos es el de cristal líqui- do, (LeD, liquid crystal display). Los LCD funcionan polarizando la luz de forma que un segmento que no está activado refleja la luz incidente, por lo que se ilumina. Un '. segmento activado no refleja la luz incidente y, por tanto, permanece oscuro. Los LCD consumen mucha menos potencia que los LED, pero no se pueden ver en la oscuridad, mientras que los LED sí. Los LCD se excitan con una señal de tensión de baja frecuencia (de 30 Hz a 60 Hz) que se aplica entre el segmento y un elemento común denominado plano poste- rior (backplane). El funcionamiento básico se expone a continuación. La Figura 4.47 muestra una señal cuadrada que se usa como fuente de señal. Cada segmento del dis- play es excitado por una puerta OR-excIusiva con una entrada conectada a la salida del decodificador/excitador de 7 segmentos, y la otra entrada conectada a la fuente de señal. Cuando la salida del decodificador/excitador está a nivel ALTO (1), la salida de la puerta OR-exclusi va actúa como un inversor para la señal de fuente, como se mues- tra en la Figura 4.47(a). Se puede verificar esto, revisando la tabla de verdad de una puerta Ole-exclusiva. La tensión resultante entre el segmento LCD y el plano poste- rior es también una onda cuadrada, ya que cuando V,eg = 1, Vbp = 0, y viceversa. La diferencia de tensión enciende el segmento. APLICACiÓN A LOS SISTEMASDIGITALES • 255 (b) Cátodo común(a) Ánodo común FIGURA 4.46 Configuraciones del display de isegme'¡tos~ d e e e e f b g f b g a d a +v Displays de LEO. Un tipo muy común de display de 7 segmentos es el de diodos emisores de luz (light-emitting diode, LED), colocados como se muestra en la Figura 4.46. Cada segmento es un LED que emite luz cuando lo atraviesa una corriente eléc- trica. En la Figura 4.46(a), la configuración en ánodo común requiere un circuito de excitación, que proporcione un nivel de tensión bajo para activar un determinado seg- mento. Cuando se aplica un nivel bajo a la entrada de un segmento, el LED se encien- de y circula corriente a su través. En la Figura 4.46(b), la configuración en cátodo común requiere un circuito de excitación que proporcione un nivel de tensión alto para activar un cierto segmento. Cuando se aplica un nivel ALTO a la entrada del seg- mento, el LED se enciende y circula corriente a su través. FIGURA 4.45 Display para dígitos decimales mediante un dispositivo de 7 segmentos. FIGURA 4.44 Disposición de los segmentos en un display de 7segmentos. La Figura 4.44 muestra un display común formado por siete elementos o segmentos. Excitando determinadas combinaciones de estos segmentos, se pueden obtener cada uno de los diez dígitos decimales. La Figura 4.45 muestra este tipo de display digital para cada uno de los diez dígitos, en el que se utiliza un segmento gris oscuro para indicar cuál está excitado. Para generar un 1, se excitan los segmentos b y e; para pro- ducir un 2, se excitan los segmentos a, b, g, e y d, Yasí sucesivamente. Eldisplay de 7 segmentos 254 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN' LÓGICA
  • Se pueden desarrollar de la misma manera las expresiones para el resto de segmentos. Como puede verse, la expresión del segmento a contiene ocho productos, mientras que la expresión del segmento e contiene cuatro productos, que representan cada una de las entradas BCD que activan cada segmento. Esto significa que la implementación de la suma de productos estándar de ]a lógica del segmento a requiere un circuito AND-OR formado por ocho puertas AND de 4 entradas y una puerta OR de 8 entra- das. La implementación de la lógica del segmento e requiere cuatro puertas AND de 4 entradas y una puerta OR de 4 entradas. En ambos casos, se necesitan cuatro inver- sores para generar el complemento de cada variable. Minimización mediante el mapa de Karnaughde la lógica de segmentos. Vamos a comenzar obteniendo una expresión suma de productos mínima para el seg- mento a. En la Figura 4.49 se muestra un mapa de Karnaugh correspondiente al seg- mento a. Los pasos que hay que seguir son los siguientes: mientras que la suma de productos estándar para el segmento e es: e = D CB A ..¡_ D CBA + DCBA + DC B A a = D C B A + D CBA + D CBA + DCBA + DCBA + DCBA + DC B A + DC BA Puesto que el código BCD no incluye los valores binarios 1010, 1011, 1100, 11 O1, 1110 Y 1111, estas combinaciones no van nunca a aparecer en las entradas y pueden, por tanto, tratarse como condiciones indiferentes (X), como se indica en la tabla de verdad. Para coincidir con la mayoría de fabricantes de circuitos integrados, en esta aplicación una A representa el bit menos significativo y una D indica el bit más significativo. Expresionesbooleanas de la lógicade segmentos. A partir de la tabla de ver- dad, se puede escribir para cada segmento una expresión suma de productos o pro- ducto de sumas estándar. Por ejemplo, la suma de productos estándar para el segmen- to a es: FIGURA 4.48 Diagrama de bloques de la lógicay el display de 7 segmentos. Código A BCD de B entrada e D Tablade verdad de la lógicade segmentos. La lógica de decodificación de seg- mentos requiere cuatro entradas en código decimal binario (BCD) y siete salidas, una para cada segmento del display, como se indica en el diagrama de bloques de la Figura 4.48. La tabla de verdad de salida múltiple, que se muestra en la Tabla 4.10, corres- ponde en realidad a siete tablas de verdad, que podrían separarse en una tabla por seg- mento. Si aparece un 1 en las columnas de salida de la tabla, indica que el segmento está activado. TABlA4.9 Segmentos activadospara O a, b, c, d, e,fcadadígito decimal. b, e 2 a, b, d, e, g 3 a, b, e, d, g 4 b, c.], g S a, c, d,j, g 6 a, C, d, e,J, g 7 a, b, c 8 a, b, e, d, e,j, g 9 a, b, c, d.J, g Cada segmento se utiliza para varios dígitos decimales, pero ninguno de ellos se emplea para representar los diez dígitos; por tanto, cada segmento tiene que activarse mediante su propio circuito de decodificación que detecta la aparición de cualquier número en el que haya que usar ese segmento. A partir de las Figuras 4.44 y 4.45, se determinan los segmentos que hay que activar para representar cada uno de los dígi- tos, los cuales se enumeran en la Tabla 4.9. Lógicade decodificación de segmentos Para excitar a los LCD, la tecnología TTL no es recomendable, dado que su ten- sión a nivel bajo es normalmente de unas décimas de voltio, la cual crea una compo- nente continua a través del LCD que degrada su funcionamiento. Por tanto, en las apli- caciones con LCD se usa más la tecnología CMOS. 256 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • La lógica mínima necesaria para cada uno de los restantes seis segmentos (b, C, d, e,fy g) puede obtenerse mediante un método similar. Esta expresión puede ser implementada mediante dos puertas AND de 2 entradas, una puerta OR de 4 entradas y dos inversores, como se muestra en la Figura 4.50. Compare este circuito con la implementación de la expresión estándar del segmento a vista anteriormente. Comprobará que el número de puertas e inversores se ha reduci- do de trece a cinco, disminuyendo significativamente el número de interconexiones necesarias. Simplificación de circuitos lógicos con salida múltiple. Una vez que se ha obtenido la expresión lógica mínima para cada segmento individual, todavía es posi- ble realizar simplificaciones adicionales, eliminando cualquier término producto duplicado o de una única variable complementada. Por ejemplo, si la expresión suma de productos mínima del segmento a tiene un término que aparece también en, por ejemplo, el segmento b, entonces el producto duplicado puede implementarse mediante una única puerta AND, cuya salida esté conectada a las entradas de las puer- tas OR de cada segmento. De manera similar, el complemento de una variable sólo necesita ser implementado mediante un inversor, conectando posteriormente la salida del inversor donde la necesitemos, siempre que no se exceda sufan-out. D+B+CA+CA FIGURA 4.50 Implementación lógica mínima del segmento a de un display de 7segmentos. Implementación mínima de la lógica del segmento a. La expresión mínima suma de productos a partir del mapa de Karnaugh de la Figura 4.49 para la lógica del segmento a es: FIGURA 4.49 Minimizacián de la expresión lógica del segmento a mediante el mapa de Karnaugh. a D ---------------, B --------------~ e ~.__------__l A ----1____.~----__l D Suma de productos mínima: D + B + CA + CA CA Expresión de la suma de productos estándar: DeBA + DeBA + DCBA+ DCBA + DCBA + DCBA + DEBA + DEBA No hay que olvidar que las condiciones "indiferentes" no tienen por qué incluirse en un grupo, pero en este caso se utilizan todas ellas. También hay que fijarse en que los 1s de las celdas de las esquinas se agrupan con condiciones indiferentes utilizando la adyacencia cíclica. Paso 1. Los ls de la Tabla 4.10 se pasan directamente al mapa de Kamaugh. Paso 2. Se introducen en el mapa todas las condiciones "indiferentes" (X). Paso 3. Se agrupan los 1s como se muestra. Se utilizan las condiciones "indiferen- tes" y superposiciones de celdas para conseguir los grupos más grandes posibles. Paso 4. Se escribe el término producto núnimo para cada grupo y se suman para obtener la expresión suma de productos mínima. APLICACiÓN A LOS SISTEMAS DIGITALES • 259258 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA B
  • (b) un literal (d) un término complementado 2. La expresión booleana A + B + ees: (a) un término suma (e) un término producto (b) 1 (d) el inverso de la variable(e) igual a la variable(a) O 1. El complemento de una variable siempre es: Celda Una zona de un mapa de Kamaugh que representa una única combinación de variables. Dominio Todas las variables de una expresión booleana . Expresión booleana Ordenación de variables y operadores lógicos utilizada para expresar el funcionamiento de un circuito lógico . .Indiferente Combinación de literales de entrada que no pueden ocurrir y que se uti- lizan como 1s o Osen un mapa de Karnaugh. Leyasociativa En la suma (operación OR) y multiplicación (operación AND) de tres o más variables, el orden en que se agrupan las variables no altera el resultado. Ley conmutativa En la suma (OR) o multiplicación (AND) de dos variables, el orden en el que las variables se suman o multiplican no altera el resultado. Ley distributiva Ley que dice que si sumamos (operación OR) varias variables y luego multiplicamos (operación AND) el resultado por una única variable, lo que nos queda es equivalente a multiplicar (AND) la variable aislada por cada una de las otras variables y luego sumar (OR) todos los términos. Literal Una variable o el complemento de una variable. Mapa de Karnaugh Disposición de celdas que representa las combinaciones de literales en una expresión booleana y que se utiliza para la simplificación sistemática de la expresión. Producto de sumas Expresión booleana que consiste simplemente en multiplicar (operación AND) términos suma (operación OR). Suma de productos Expresión booleana que consiste simplemente en sumar (ope- ración OR) términos producto (operación AND). Término producto Producto booleano de dos o más literales equivalente a una ope- raciónAND. Término suma Suma booleana de dos o más literales equivalente a la operación OR. Variable Símbolo utilizado para representar una magnitud lógica que puede tener tanto un valor 1como O;generalmente se designa mediante una letra cursiva. Estos términos también se encuentran en el glosario delfinal del libro. Adyacencia Característica de las celdas en un mapa de Karnaugh en el que sólo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados. • PALABRAS CLAVE AUTOTEST • 261 C CD AS o A8 00 Ol II 10 00 00 ~01 01 II ,1 II~.: :1 ,~¡ 10 :j 10 t;~ "~~'i:}:": '::~~9;¡:" .... FIGURA 4.52 3 variables 4 variables Xy=x+ V 2. Elcomplementode una sumaes igualalproductodeloscomplementosde cadatérminode lasuma: X+y =xV • En la Figura 4.52 se muestran los mapas de Karnaugh para 3 y 4 variables. Un mapa de cinco variables se forma a partir de dos tablas de 4 variables. • Teoremas de DeMorgan: 1. El complemento de un producto es igual a la suma de los complementos de cada término del producto: 7. A· A =A 8.A·A=O 9. A =A 10. A + AB = A 11. A + AB = A + B 12. (A + B)(A + C) = A + BC l.A+O=A 2.A+l=1 3. A· O = O 4. A· 1 = A 5.A+A=A 6.A+A=1 • Leydistributiva: • Reglas booleanas: • Leyes asociativas: A+B=B+A AB=BA A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC • Leyes conmutativas: FIGURA 4.51 • En la Figura 4.51 se muestran los símbolos y las expresiones booleanas de salida para un inversor y puertas de dos entradas. • RESUMEN 260 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • (e) (A + B)(C + D)(E +F)(G + H) (a) (ABC)(EFG) + (HIJ)(KLM) (h) (A + BC+ CD) + Be 11. Aplicar los teoremas de DeMorgan a las siguientes expresiones: (e) AB(CD + EF)(AB + CD) (a) AB(C + D) (e) (A + B + C + D) +ABCn (b) AB(CD + EF) (d) (A + B + C + D)(ABCD) 10. Aplicar los teoremas de DeMorgan a cada expresión: (e) A + B + C (g) AB + CD (d) AlfC (h) (A + B)(C + D) (a) A + B (e) A(B + C) 9. Aplicar los teoremas de DeMorgan a cada una de las expresiones siguientes: (a) AB + CD + EF =' AB + CD + EF (e) A(BC + BC) + AC = A(BC) + AC (e) AB + ABe = AS SECCiÓN4.3 Teoremas de DeMorgan (h) MB + ABC + ABB = ABC (d) AB(C+C)+AC=AB+AC (O ABe + AB + ABCD = ABC + AB + D 8. Identificar las reglas booleanas en que se basan las siguientes igualdades: 7. Identificar la ley del álgebra booleana en que está basada cada una de las siguientes igualdades: (a) AB + CD +ACD + B = B +AB +ACD + CD (b) ABCD + ABC = DCBA + CBA (e) AB(CD + El' + GH) = ABCD + ABEl' + ABGH SECCiÓN4.2 Leyesy reglas del álgebra de Boole (e) X = ABC + AB-(b) X> (A+B)C (e) X = (A + BC)(B + C) .Ia) X = (A + B)C + B (d) X = (A + B)(A + B) 6. Encontrar el valor de X para todos los posibles valores de las variables. (e) A + B (g) ABC (d) A + B + C(b) ABC (1) A + B (a) AB. (e) A + B + C 5. Encontrar los valores de las variables que hacen que cada término producto sea 1 y que cada suma sea O. (e) l· O . O (1) 1 . 1 + O . 1 . 1 (b) 1 + 1 + l (e) 1 . O . 1 (a) O + O + 1 (d) 1 . 1 . 1 1. Utilizando notación booleana, escribir una expresión que sea 1 siempre que una o más de sus variables (A, B, C y D) sean 1. 2. Escribir una expresión que sea 1 sólo si todas sus variables (A, B, C, D y E) son 1. 3. Escribir una expresión que sea 1 cuando una o más de sus variables (A, B Y C) son O. 4. Evaluar las siguientes operaciones: SECCiÓN4.1 Operaciones y expresiones booleanas PROBLEMAS • 263 16. En un mapa de Karnaugh de 4 variables, un término producto de 2 variables se produce por: Ca) un grupo de 2 celdas de 1s (b) un grupo de 4 celdas de l s (e) un grupo de 8 celdas de Is (d) un grupo de 4 celdas de Os 17. En un mapa de Kamaugh, el agrupar los Osda lugar a: (a) un producto de sumas (b) una suma de productos (e) una condición indiferente (d) un circuito lógico AND-OR 18. Un mapa de Karnaugh de 5 variables tiene: (a) 16 celdas (b) 32 celdas (e) 64 celdas (d) 4 celdas 14. Un ejemplo de una expresión suma de productos estándar es: (a) AB + ABC + ABD (h) ABC + ACD (e) AB + AB + AB (d) ABCD + AB + A 15. Un mapa de Karnaugh de tres variables tiene: (a) 8 celdas (b) 3 celdas (e) 16 celdas (d) (a) y (b)(e) A + B + BC(b) (A + B)(A + B + C)(a) A(B + C) +AC 10. De acuerdo con los teoremas de DeMorgan, ¿cuáles de las siguientes igualdades son correctas?: (a) AB = A +B (b) XYZ =X + Y + Z (e) A +B +C = ABC (d) todas las anteriores 11. La expresión booleana X = AB + CD representa: (a) dos operaciones OR multiplicadas (AND) (b) una puerta AND de cuatro entradas (e) dos operaciones AND sumadas (OR) (d) una operación OR-excJusiva 12. Un ejemplo de una suma de productos es: (a) A + B(C + D) (b) AB +AC +ABC (e) (A + B + C)(A + B + C) (d) (a) y (b) 13. Un ejemplo de un producto de sumas es: (d) A· 1 = A(e) A·A = A(b) A +A =A(a) A + 1 = 1 8. ¿Cuál de las siguientes no es una regla válida del álgebra booleana? (a) A + 1 = 1 (b) A = A (e) AA = A (d) A + O = A 9. ¿C~ál de .las siguientes reglas establece que si una entrada de una puerta AND es siempre 1, la salida es igual a la otra entrada? (e) A(A + 1) = A (d) A + AB = A(b) A(BC) = ABC(a) A(B + C) = AB + AC 7. De acuerdo con la ley distributiva: (d) B + B(B + O) 3. La expresión booleana ABCD es: (a) un término suma (b) un término producto' (e) un literal (d) siempre 1 4. El dominio de la expresión ABCD +AS + CD + Bes: (a) A y D (h) Sólo B (e) A, B, C y D (d) ninguno de los anteriores S. De acuerdo con la ley conmutativa de la adición: (a) AB = BA (h) A = A + A (e) A + (B + C) = (A + B) + C (d) A + B = B +A 6. De acuerdo con la ley asociativa de la multiplicación: (a) B = BB (b) A{BC) = (AB)C (e) A + B = B + A 262 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • X x x X x 23. Definir el dominio de cada suma de productos del problema 21 y convertir la expresión a su for- ma estándar. 24. Convertir cada suma de productos del problema 22 a su forma estándar. 25. Determinar el valor binario de cada término en las sumas de productos estándar del problema 23. 26. Determinar el valor binario de cada término en las sumas de productos estándar del problema 24. 27. Convertir cada expresión suma de productos estándar del problema 23 en producto de sumas estándar. 28. Convertír cada expresión suma de productos estándar del problema 24 en producto de sumas estándar. (e) A + B[AC + (B + C)D]eb) AB(B e+ BD) 22. Convertir las siguientes expresiones en sumas de productos: (a) AB + CD(AB + eD) (b) (A + BC)C (e) (A + C)(AB + AC) 21. Convertir las siguientes expresiones en sumas de productos: (a) (A + B)(C + B) SECCiÓN4.6 Formas estándar de las expresiones booleanas (a) BD + B(D + E) + D(D + F) (e) (B + BC)(B + BC)(B + D) (e) ABC[AB + C(BC + AC)] 20. Determinar cuáles de los circuitos lógicos de la Figura 4.55 son equivalentes. (b) ABC + (A + B + C) + A BCD (d) ABCD + AB(CD) + (AB)CD 19. Mediante el álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones: . PROBLEMAS • 265 e fj B A (a) A B. A e D A (b) B e e D B (e) A B A (d) e FIGURA 4.55 fj X Mediante el álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones: (a) (A +B)(A + q (b) AB +ABe +ABCD +ABeDE (e) AB +ABC +A (d) (A + A)(AB +ABC) (e) AB + CA +B)C + AB (e) BC + BC 18. (h) A(A + AB) (e) ABe + ABC + ABC (a) A(A + B) (d) A(A +AB) 16. Construir la tabla de verdad para cada una de las siguientes expresiones booleanas: (a) A + B (b) AB (e) AB + BC (d) (A + B)C (e) (A +B)(B + C) SECCiÓN4.5 Simplificación mediante el álgebra de Boole 17. Me?iante las técnicas del álgebra booleana, simplificar las siguientes expresiones lo máximo posible: Dibujar el circuito lógico representado por las siguientes expresiones booleanas: (a) AB + AB (e) AB(e + 75) (h) AB+AB+ABC (d) A + B[e + D(B + C)] 15. 14. Dibujar el circuito lógico representado por cada una de las siguientes expresiones: (a) A + B + e (b) ABC (e) AB + C (d) AB + CD FIGURA 4.54 A l~x B e (a) (b) A A X B B e (e) (d) 13. Escribir la expresión booleana para cada uno de los circuitos lógicos de la Figura 4.54. (d) (b) A-f>-X ~=D-X (e) (a) A --r--.. B~X FIGURA 4.53 SECCiÓN4.4 Análisis booleano de los circuitos lógicos 12. Escribir la expresión booleana para cada puerta lógica de la Figura 4.53. 264 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • FIGURA 4.58 1 O O O O 1 1 1 O O O 1 O O O 1 1 O O 1 O O O O 1 1 1 O 1 O O 1 O 1 O 1 1 O 1 O O O 1 O FIGURA 4.57 o O O O 1 1 O 1 1 1 O O O O O 1 O 1 O 1 1 O O 1 O 1 O 1 O 1 O O O 1 O 1 1 O O 1 O O O (a) A + BC+ CD (b) ABCn + ABCD + ABCD + ABCD (e) AB(Cn + CD) + AB(CD + CD) +ABCD (d) (AB + AB)(CD + Cn) (e) AB +AB + c15 + CD 43. Reducir la función especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.57 a su forma suma de pro- ductos mínima mediante el mapa de Karnaugh. 44. Utilizar el mapa de Karnaugh para implementar la forma suma de productos mínima de la fun- ción lógica especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.58. 45. Resolver el problema 44 para una situación en que las seis últimas combinaciones binarias no están permitidas. (e) A(BC + BC) + A(BC + B0 expresiones: (a) ABC + ABe +ABC (b) AC(B + C) (d) ABC + ABC +ABC + ABC 39. Utilizar un mapa de Karnaugh para simplificar cada una de las expresiones a su forma suma de productos mínima: (a) ABC + ABC + ABC + ABC (b) AC[B + B(B + C)] (e) DEF + DEF + DEF 40. Expandir cada expresión a su forma suma de productos estándar: (a) AB + ABC + ABC (h) A + BC (e) AB CD + Ac15 + BCD + ABCD (d) AB + ABCD + CD + BCD + ABeD 41. Minimizar cada expresión del problema 40 mediante un mapa de Karnaugh. 42:'· Utilizar el mapa de Karnaugh para reducir cada expresión a su forma suma de productos mínima: SECCiÓN4.9 Minimización de una suma de productos mediante el mapa de Karnaugh 38. Utilizando un mapa de Karnaugh encontrar la suma de productos mínima para cada una de las PROBLEMAS • 267 35. Dibujar un mapa de Karnaugh de 3 variables y etiquetar cada celda según su valor binario. 36. Dibujar un mapa de Karnaugh de 4 variables y etiquetar cada celda según su valor binario. 37. Escribirlos términos producto estándar correspondientes a cada celda de un mapa de Karnaugh de 3 variables, SECCiÓN4.8 Mapas de Karnaugh (e)(b)(a) 1 1 1 01 1 100 101 1 10 t1A-,!?,; X 000 O 001 O O 1 O O 01 1 O 100 O 1 01 1 1 O 1 1 1 .'~>. AB~;X 000 O 001 1 010 O O 1 1 O 0000 O OOO 1 O 0010 1 O 01 1 O 0100 1 O 1 O 1 1 0110 O O I 1 1 1 1000 O 100 1 O 1010 O 101 1 1 1 100 1 1 101 O 1 1 10 O 1 1 1 1 1 (d) ;~;~c~:.;gr 0000 0001 1 0010 O O 01 1 1 0100 O O 1 O 1 01 10 1 01 1 1 O 1000 O 100 1 1 1010 O 1011 O 1 100 1 101 O 1 1 lOO 1 1 1 1 O FIGURA 4.56 (a) (A + B)(A + C)(A + B + C) (b) (A + B)(A + B + C)(B + C + D){A + B + C + D) 34. Para cada tabla de verdad de la Figura 4.56, obtener una expresión suma de productos estándar y un producto de sumas estándar. 32. Desarrollar la tabla de verdad de cada uno de los siguientes productos de sumas estándar: (a) (A + B +0(A + B + C)(A+ B + C) (h) CA+ B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C +D) (A +B + C + 15) 33. Desarrollar la tabla de verdad de cada producto de sumas estándar siguiente: eh) x + IT + WZ + XYZ(a) AB + ABC + AC +ABC 31. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes sumas de productos: (b) WXYZ + WXYZ + Wxyz + WXYZ + WXYZ(a) ABCD +ABCD +AB CD + ABCD 30. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes expresiones suma de productos estándar: (b) XYZ + XYz + XIT + XYZ + Xyz(a) ABC + ABC + ABC SECCiÓN4.7 Expresiones booleanas y tablas de verdad 29. Desarrollar la tabla de verdad de cada una de las siguientes expresiones suma de productos estándar: 266 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACiÓN LÓGICA
  • 1. (a) suma de productos (b) producto de sumas estándar (e) suma de productos estándar (d) producto de sumas SECCiÓN 4.6 SECCiÓN 4.5 l. (a) A + AB +ABC = A (b) (A + B)C +ABC = C(A + B) (e) ASC(BD + CDE) +AC = A(C + SDE) 2. (a) Original: 2 puertas AND, 1 puerta OR, 1 inversor. Simplificada: sin puertas (conexión directa). (b) Original: 2 puertas OR, 2 puertas AND, 1 inversor. Simplificada: 1 puerta OR, 1puerta AND, 1 inversor. (e) Original: 5 puertas AND, 2 puertas OR, 2 inversores. Simplificada: 2 puertas AND, 1 puerta OR, 2 inversores. • RESPUESTAS SECCiÓN 4.1 ALAS 1. A;0=1 REVISIONES 2. A = 1,B = 1, C = O;A +B + C = T + T + O; O + O + O = O DE CADA SECCiÓN 3_ A; l" B ; O, C = 1; ABC = 1 . O . 1 = 1 . 1 . 1 = 1 SECCiÓN 4_2 1. A + (B + C +D) = (A + B + C) +D 2. A(B + C + D) = AB + AC +AD SECCiÓN 4.3 1. (a) ABE + (l5 + E) = A +B + C + DE (b) (A + B)C = AB + C (e) A + B + C + DE = ABC + D + E SECCiÓN 4.4 1. (C+ D)B + A 2. Tabla de verdad abreviada: la expresión es 1 cuando A es 1 o B y C son 1, o cuando B y D son l. La expresión es O para el resto de combinaciones de las variables. 61. Abrir el archivo PR04~61.EWB y observar el funcionamiento del circuito lógico utilizando la configuración de prueba existente. Determinar si existe o no un fallo. 62. Abrir el archivo PR04~62.EWB y observar el funcionamiento del circuito lógico utilizando la configuración de prueba existente. Determinar si existe o no un fallo. 63. Abrir el archivo PR04~63.EWB y observar el funcionamiento del circuito lógico utilizando la configuración de prueba existente. Determinar si existe o no un fallo. Localización de averías con el banco de trabajo electrónico 60. Resumir los resultados del rediseño que se ha hecho en los problemas 58 y 59, y recomendar el mejor diseño en función del mínimo número de circuitos integrados. Especificar los tipos de Cl que se utilizarían. RESPUESTASA LAS REVISIONES DE CADA SECCiÓN • 269 57. Lalógica del segmento a de la Figura 4.50 produce una salida a nivel ALTOpara activar el seg- mento, ocurriendo lo mismo para el resto de los segmentos. Si se utiliza un display de 7 seg- mentos que requiere un nivel BAJO para activar cada segmento, modificar adecuadamente la lógica del segmento. 58. Rediseñar la lógica del segmento a utilizando un producto de sumas mínimo. ¿Cuál es más sen- cilla, la suma de productos mínima o el producto de sumas mínimo? 59. Repetir el problema 58 para los segmentos b hasta g. Problemas especiales de diseño + VWXYZ SECCiÓN 4.12 Aplicación a los sistemas digitales 53. Si es necesario elegir un tipo de display para trabajar bajo condiciones de baja luminosidad, ¿cuál se seleccionaría: un display de 7 segmentos de diodos LED o de cristallíquido? ¿por qué? 54. Explicar por qué los códigos 1010, 1011, 1100, 1101, 1110Y1111pertenecen a la categoría de condiciones "indiferentes"en las aplicaciones con displays de 7 segmentos. 55. Parael segmento b, ¿cuántas puertas e inversores menos se necesitanpara implementar la suma de productos mínima con respecto a la suma de productos estándar? 56. Repetir el problema 55 para la lógica de los segmentos e hasta g. 52. Aplicar el mapa de Kamaugh para minimizar la siguiente suma de productos: A = Vwx"yz + VWXYZ + vwXY2 + vwxyZ + VWXYZ+ VWXYZ+ VWXYZ+ VWxYZ (a) (A + B + C +D)(A + B +e+ D)(A +B +C + 15) (b) (X + Y)(W + Z)(X + y + 2)(W + X + Y + Z) 48. Para la función especificada en la tabla de verdad de la Figura 4.57, determinar el producto de sumas mínimo mediante el mapa de Karnaugh. 49. Determinarel producto de sumas mínimo para la función de la tabla de verdad de la Figura 4.58. 50. Convertir cada uno de los siguientes productos de sumas a su mínima expresión suma de pro- ductos, utilizando el mapa de Karnaugh. (a) (A + B){A + C)(A + B + C) ~~+m~+B+C)~+C+00+B+C+~ SECCiÓN 4.11 Mapa de Karnaugh de cinco variables 51. Minimizar las siguientes sumas de productos utilizando el mapa de Karnaugh. X = ABCDE +A B CDE +AB CDE + ABC 15E + ABCDE +ABCDE + ABCDE + ASCDE + ABCDE + ABCDE 47. Utilizar el mapa de Karnaugh para simplificar cada expresión a su forma producto de sumas mínima: SECCiÓN 4.10 Minimización de un producto de sumas mediante el mapa de Karnaugh 46. Utilizar el mapa de Karnaugh para encontrar la expresión producto de sumas mínima de las expresiones: (a) (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) (h) (X + Y)(x + Z)(X + Y +Z)(x + y + Z) ~A~+c)~+c)0+B+C)~+B+C) 268 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA
  • FIGURA 4.60FIGURA 4.59 1010 II !--+---!j ~ 11 0101 00 o e AB 4.23 Véase la Figura 4.61. 4.24 Véase la Figura 4.62. 4.22 Véase la Figura 4.60. 4.21 Véase la Figura 4.59. 4.20 Las expresiones suma de productos y producto de sumas son equivalentes. 1 O 1 O a O O O O O O O O a 1 a O O 1 a a 1 a O O 1 1 O O 1 1 1 a a O O O a 1 1 O 1 O O 1 O O 1 TABLA 4.12. TABLA 4.11 4.17 Las expresiones suma de productos y producto de sumas son equivalentes. 4.18 Véase la Tabla 4.11 4.19 Véase la Tabla 4.12. .4.14 011,101,110,010,111. Sí. 4.16 .010, 100,001, 111, OIl. Sí. 4.15 (A + B + C)(A + B + q(A + B + C)(A + B + C) 4.13 WXY2 + WXYZ + WXYZ + wxn + WXYZ + WXYZ 4.12 ABe + AB +AC +AB +Be4.11 A + B + e 4.8 AB4.7 W+X+y+z 4.5 ABCDE4.4 • RESPUESTAS 4.1 A LOS PROBLEMAS RELACIO- NADOS DE LOS EJEMPLOS 4.2 AB = 1cuando A = ay B = O. 4.6 (A + B + eD)E 4.9 CD 4.10 ABe + AC +AB A + B = a cuando A = 1 y B = O. RESPUESTASA LOS PROBLEMAS RELACIONADOS DE LOS EJEMPLOS • 271 4.3 XYZ 1. Los términos "indiferentes" simplifican las expresiones lógicas. 2. Debería haberse encontrado siete términos duplicados en el circuito lógico de segmentos. 3. Se han eliminado ocho puertas AND y once inversores. SECCiÓN 4.12 1. Existen 32 combinaciones de las 5 variables (25 = 32). 2. X = 1,ya que la función es 1para todas las posibles combinaciones de las 5 variables. SECCiÓN 4.11 1. Cuando se pasa a un mapa de Kamaugh un producto de sumas, los Osse introducen en las cel- das cuyos valores hacen que el término suma estándar sea igual a O;cuando se pasa a un mapa de Kamaugh una suma de productos, los 1s se colocan en las celdas que tienen los mismos valores que los términos producto. 2. Oen la celda 1011: A + B + e+ D 3. 1en la celda 0010: A BCD SECCiÓN 4.10 1. Mapa de 8 celdas para 3 variables. Mapa de 16 celdas para 4 variables. 2. AB + BC + A BC 3. (a) ABC +ABC +ABC + ABC (h) ABC +ABC +ABC +ABC + ABC + ABC (e) A BCD + A BCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCn +ABCD + ABCD (d) ABCD +ABCn +ABCD +ABCD + ABeD +ABCD + ABCD + A BCD +ABCD + ABCD + ABCD SECCiÓN 4.9 (b) celda inferior derecha: 101 (d) celda superior derecha: 001 (h) celda inferior derecha: XYz (d) celda superior derecha: X Pz (b) celda inferior derecha: 1010 (d) celda superior derecha: 0010 (b) celda inferior derecha: wXYZ (d) celda superior derecha: WXYZ 1. (a) celda superior izquierda: 000 (e) celda inferior izquierda: 100 2. (a) celda superior izquierda: X Y Z (e) celda inferior izquierda: XYZ 3. (a) celda superior izquierda: 0000 (e) celda inferior izquierda: 1000 4. (a) celda superior izquierda: W X Y Z (e) celda inferior izquierda: WX YZ SECCiÓN 4.8 1. 25 = 32 2. 0110 ~ WXYZ 3. 1100~ W + X + y + Z 2. (a) ABC D +ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + A BCD + ABCD (e) estándar 3. (h) estándar (d) (A + B + q(A + B + C)(A + B + q (A+ B + C) SECCiÓN 4.7 270 • ÁLGEBRA DE BOOLE y SIMPLIFICACIÓN LÓGICA