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ponto-e-segmento-de-recta

  1. 1. 1 PONTO E SEGMENTO DE RECTA Neste capítulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geométrico mais simples. Resultado da união de dois pontos, aborda-se também o Segmento de Recta. Com esses elementos são explicados alguns aspec- tos cruciais que ajudarão a compreender as Rectas e os Planos, assim como outras figuras geométricas tratadas nos diferentes capítulos. Sumário: 2. Os planos de projecção 3. Os planos bissectores 4. As projecções do ponto 5. As duas coordenadas do ponto 6. O alfabeto do ponto 7. Pontos simétricos 8. A projecção lateral do ponto 9. As três coordenadas do ponto 10. Os segmentos de recta no espaço 11. As projecções dos segmentos de recta 12. A projecção lateral dos segmento de recta 13. ExercíciosManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 1
  2. 2. Os planos de projecçãoA Geometria Descritiva é um sistema diédrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de projec-ção. Um deles é vertical e designa-se por Plano Frontal de Projecção (PFP), ou φo (fi zero); o outro éhorizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projecção (PHP), ou νo (niu zero). Esses planos cru-zam-se numa recta que se designa por eixo x.O eixo x divide os planos de projecção em semiplanos: no Plano Frontal de Projecção existe o Semi-Plano Frontal Superior (SPFS) e o Semi-Plano Frontal Inferior (SPFI); no Plano Horizontal de Projec-ção existe o Semi-Plano Horizontal Anterior (SPHA) e o Semi-Plano Horizontal Posterior (SPHP).Os planos de projecção dividem o espaço em quatro porções, designadas por diedros: I.º, II.º, III.º eIV.º. PFP φo φo SPFS II.º Diedro SPFS II.º Diedro I.º Diedro I.º Diedro SPHP SPHP x SPHA νo PHP νo x SPHA III.º Diedro III.º Diedro IV.º Diedro SPFI SPFI IV.º Diedro Os planos de projecção em perspectiva Os planos de projecção vistos de ladoEsta perspectiva mostra os planos de projecção, os Representados de lado os planos de projecçãosemiplanos, o eixo x e os diedros. É este o sistema ficam reduzidos a duas rectas, e o eixo x reduzidobásico utilizado em Geometria Descritiva. Normal- a um ponto. Normalmente representa-se nestamente representa-se nesta posição, supondo o posição, com o I.º diedro em cima, à direita, supon-observador situado no I.º diedro, à esquerda. do que o observador se encontra do lado esquerdo.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 2
  3. 3. Os planos bissectoresAlém dos planos de projecção, existem também os planos bissectores. Os planos bissectores divi-dem os diedros em espaços iguais, chamados octantes. Ou seja, devido à presença dos planos bis-sectores, cada diedro fica dividido em dois octantes. O β1/3 é o plano que divide a meio os diedros Ie III; o β2/4 divide os diedros II e IV. Estes planos não são utilizados como planos de projecção. φo β2/4 β1/3 Os planos bissectores e os planos de projecção em perspectiva Os planos bissectores dividem os diedros em νo espaços iguais, chamados octantes. Como se x pode verificar, planos de projecção e planos bissectores cruzam-se no eixo x. Chama-se β1/3 ao bissector dos diedros ímpa- res e β2/4 ao bissector dos diedros pares. φo II.º Diedro I.º Diedro β2/4 β1/3 3º Oct. 2º Oct. Os diedros e os octantes vistos de lado 1º Oct. 4º Oct.Nesta imagem mostra-se como se distri- νobuem os diedros e os octantes ao longo doespaço. Cada diedro contém dois octantes. 5º Oct. 8º Oct.A contagem, de uns e de outros, faz-se doSemi-Plano Horizontal Anterior para cima. 6º Oct. 7º Oct. III.º Diedro IV.º DiedroManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 3
  4. 4. As projecções do pontoNa Geometria Descritiva trabalha-se habitualmente com projecções ortogonais, o que significa queas figuras geométricas são projectadas, na perpendicular, do espaço para os planos de projecção.O objectivo deste sistema consiste em passar das três dimensões do espaço para as duas dimen-sões de uma superfície plana. φo φo ≡ νo B B2 B2 A2 C1 C1 A2 B1 A D1 D1 B1 νo D2 D2 C D C2 x x C2 A1 A1 Projecções de pontos em perspectiva As projecções após o rebatimentoOs pontos são projectados do espaço para os pla- Rodando em torno do eixo x, os planos de projec-nos de projecção através de rectas que são per- ção ficam coincidentes. Nesse movimento, desig-pendiculares aos planos, designadas por projectan- nado por rebatimento, os diedros I e III abrem, ostes. Aqui, essas rectas estão representadas ape- diedros II e IV fecham. Aqui rebateu o PHP sobre onas no ponto A, para não sobrecarregar o traçado. PFP, mas sendo o inverso o resultado final será aquele que se mostra na imagem seguinte. A2 B2 C1 B1 x D1 A1 C2 D2 As projecções dos pontos na representação finalDepois de projectados os pontos e de efectuado o rebatimento, as representações finais dos pontos ficamcomo mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, respectiva-mente.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 4
  5. 5. As duas coordenadas do pontoPara representar pontos (e as outras figuras geométricas) consideram-se três coordenadas: abcissa,afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa é explica-da em “As três coordenadas de um ponto”.Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as três coordenadas,bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui.As medidas das coordenadas são dadas em centímetros. afastamentos negativos afastamentos positivos Coordenadas dos pontos representados: R(1,5;2) R S(0;1) T T(-1,5;1,5) S U(-3;0) cotas positivasνo U V(-2;-1) Z X(0;-2) cotas negativas V Y(1;-1,5) Y Z(2,5;0) X O primeiro valor corresponde ao afastamento, o segundo à cota, separados por ponto e φo vírgula. U1 R2 V1 T2≡T1 S2 cotas + afast. - X1 Z2x S1 U2 afast. + Y1 cotas - V2 Y2 R1 X2 Z1 Projecções dos pontos dadosOs pontos dados pelas suas coordenadas estão representados nos planos de projecção vistos de lado, na pri-meira imagem; nesta estão representados pelas suas projecções. Cotas positivas e afastamentos negativosoriginam projecções para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam projecções parabaixo do eixo x.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 5
  6. 6. O alfabeto do pontoO alfabeto do ponto é o conjunto de todas as posições genéricas que os pontos podem ter em rela-ção aos planos de projecção. D2 H1 C2 E2 G1 I1 B2 F2≡F1 J1 A2 E1 G2 K1 L1 P2x D1 H2 Q2≡Q1 M1 O2 C1 I2 B1 J2 N2≡N1 A1 K2 M2 O1 L2 P1 Posições genéricas dos pontos representadas nas projecçõesOs pontos A, B e C têm a projecção frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-se no I.º diedro; os pontos E, F e G têm ambas as projecções para cima do eixo x, situam-se no II.º diedro; ospontos I, J e K têm a projecção frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III.º diedro; ospontos M, N e O têm ambas as projecções para baixo do eixo x, situam-se no IV.º diedro. Os pontos D, H, L e Ptêm uma projecção no eixo x, situam-se nos planos de projecção; os pontos B, F, J e N têm projecções commedidas iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissectores; o ponto Q situa-se no eixo x. φo D Posições genéricas β2/4 β1/3 E C dos pontos vistas de lado Os pontos representados na ima- gem ao lado são os mesmos que se F B apresentam em projecções na ima- gem de cima. Aqui pode-se obser- A var com mais clareza os diedros, G octantes e planos onde se situam. νo As coordenadas destes pontos são: H Q P A(3;1) B(2;2) C(1;3) D(0;4) E(-1;3) F(-2;2) I O G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1) J N J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4) M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1) K M P(4;0) Q(0;0) LManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 6
  7. 7. Pontos simétricosA determinação de pontos simétricos é importante para exercitar a marcação de pontos e paramelhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina.Toma-se um ponto como referência e determinam-se os seus simétricos em relação aos planos deprojecção, aos planos bissectores e ao eixo x. φo S Determinação de pontos simétricos β2/4 Os pontos de referência utilizados nesta β1/3 imagem são os seguintes: C A A(1;3) P(-4;2) Os simétricos de A são: P R B(1;-3) - simétrico em relação ao PHP C(-1;3) - simétrico em relação ao PFP D D(3;1) - simétrico em relação ao β1/3 E(-3;-1) - simétrico em relação ao β2/4 νo F(-1;-3) - simétrico em relação ao eixo x Os simétricos de P são: Q(-4;-2) - simétrico em relação ao PHP E R(4;2) - simétrico em relação ao PFP S(-2;4) - simétrico em relação ao β1/3 Q T(2;-4) - simétrico em relação ao β2/4 U U(4;-2) - simétrico em relação ao eixo x As coordenadas dos pontos simétricos B F mantêm os valores absolutos dos do pon- to de referência. T P1 Q1 S2 A2 C2 E1 P2 R2 S1 C1 D2 F1x A1 B1 E2 T1 U2 Q2 B2 D1 F2 R1 T2 U1 Projecções dos pontos representados na imagem anteriorAqui estão representados os pontos de referência, A e P, e os seus simétricos em relação aos planos de pro-jecção, aos planos bissectores e ao eixo x, de acordo com a vista de lado, que se observa na imagem anterior.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 7
  8. 8. A projecção lateral do pontoAlém das projecções frontal e horizontal, por vezes há necessidade de recorrer a uma terceira pro-jecção que se designa por projecção lateral, muito útil nalguns capítulos.A projecção lateral obtém-se no plano lateral de projecção (PLP), ou πo (pi zero), que correspondeao plano da abcissa nula, perpendicular aos outros dois planos de projecção. Esse plano, ao cruzar-se com os outros, dá origem aos eixos y e z. O eixo y resulta do cruzamento com o PHP, o eixo z docruzamento com o PFP. z As três projecções de um ponto P3 P2 em perspectiva P O ponto P é projectado no PHP em P1, no PFP em P2 e no PLP em P3. Depois de feitas as projecções, os planos reba- PHP νo tem conforme mostram as setas. O pri- meiro rebatimento a considerar é o do PHP, só depois de faz o rebatimento do x PLP. Do primeiro rebatimento resulta a P1 y coincidência dos eixos y e z. PFP φo PLP πo y≡z P2 P3 A projecção lateral de um ponto R1 A projecção lateral obtém-se com linhas R3 de chamada paralelas ao eixo x e com R2 uma rotação feita com o compasso colo- cado no ponto de cruzamento dos eixos. A rotação do compasso faz-se semprex no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio. O ponto P corresponde ao que S2 S3 está representado em perspectiva; o ponto R encontra-se no segundo diedro e o S no quarto, não estando represen- P1 tados na imagem anterior. S1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 8
  9. 9. As três coordenadas do pontoParte das vezes é necessário utilizar também, além do afastamento e da cota, a abcissa. O plano dereferência para a abcissa é o plano lateral de projecção, ou πo. À esquerda desse plano as abcissastêm valores positivos, à direita têm valores negativos. Nas projecções é a recta y≡z que serve dereferência para a marcação das abcissas.Quando são dadas as três coordenadas de um ponto isso não significa que se tem de representaras três projecções. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, à esquerda ou àdireita de y≡z. y≡z B2 J1 D1 E2 C2 I1≡I2 F2 A2 B1 G1 cotas + afast. -x E1 G2 afast. + cotas - J2 H2 F1 C1 A1 H1 D2 abcissas + abcissas - Coordenadas dos pontos representados: A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2) F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1) O primeiro valor corresponde à abcissa, o segundo ao afastamento, o terceiro à cota.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 9
  10. 10. Os segmentos de recta no espaçoA união de dois pontos dá origem a um segmento de recta. Aqui mostra-se as duas e as três projec-ções de um segmento de recta no espaço, em perspectiva. Nas páginas seguintes mostram-se seg-mentos de recta em várias posições, quer em duas quer em três projecções. φo As duas projecções do segmento de recta B2 Para obter as projecções do segmento A2 de recta basta unir as projecções dos A B seus extremos. Obviamente, o segmento pode ter diferentes posições em relação aos planos de projecção, o que leva a νo que as suas projecções apresentem B1 aspectos diferentes. Aqui exemplifica-se com um segmento x de recta oblíquo. A1 z P3 P3 As três projecções P2 do segmento de recta PPara obter a projecção lateral de umsegmento de recta basta unir as projec- Q2 Q3ções laterais dos seus extremos. Con- νosoante a posição do segmento de recta,assim será o aspecto da sua projecçãolateral. QExemplifica-se aqui Mcom um segmento x P1 yde recta de perfil. Q1 φo πoManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 10
  11. 11. As projecções dos segmentos de rectaOs segmentos de recta podem ter sete posições genéricas. Essas posições equivalem às da recta,a estudar no capítulo Alfabeto da Recta. C2 D2 F2 A2 B2 E2x C1 A1 B1 E1 F1 D1 Segmentos de recta paralelos aos planos de projecçãoO segmento de recta [AB] é paralelo a ambos os planos de projecção; essa posição designa-se por fronto-horizontal. O segmento [CD] é paralelo ao PHP e oblíquo ao PFP; designa-se por horizontal. O segmento [EF] éparalelo ao PFP e oblíquo ao PHP; a sua posição é frontal. G2 I2≡J2 Segmentos de recta perpendiculares aos planos de projecção Estes segmentos de recta também são parale- H2 los a um plano de projecção, mas aquilo que aqui se salienta é a sua relação de perpendi- cularidade com os planos de projecção. O primeiro segmento é perpendicular ao PHP ex designa-se por vertical; o segundo é perpendi- cular ao PFP, sendo de topo. I1 De notar a coincidência que acontece numa das projecções dos extremos dos segmentos. G2≡H2 L2 M2 J1 K2 Segmentos de recta oblíquos N2 aos planos de projecçãoEstes segmentos de recta são ambos oblí-quos ao plano de projecção. O [KL] é tam- xbém oblíquo ao eixo x; designa-se poroblíquo. O [MN] é também perpendicular L1 M1ao eixo x; a sua posição é de perfil. K1 N1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 11
  12. 12. A projecção lateral dos segmentos de rectaAqui mostram-se as projecções laterais de alguns segmentos de recta, além das projecções princi-pais. Para as obter basta unir as projecções laterais dos extremos desses segmentos. y≡z y≡z L2 L3 C2 D2 C3 D3 K2 K3x x L1 C1 K1 D1 Segmentos de recta oblíquos ao plano lateral de projecçãoAqui mostra-se como se obtém a projecção lateral de um segmento de recta oblíquo e de outro horizontal. Oprocesso é o mesmo para qualquer segmento de recta. y≡z y≡z G3 M2 M3 G2 H2 H3 N2 N3x x N1 G1≡H1 M1 Segmentos de recta paralelos ao plano lateral de projecçãoNormalmente é com segmentos de recta paralelos ao plano lateral de projecção que há interesse em saber dasua projecção lateral, nomeadamente em exercícios do capítulo Distâncias. Aqui mostra-se um segmento derecta vertical e outro de perfil.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 12
  13. 13. Ponto e segmento de recta – ExercíciosPontos em dupla projecção 10. Representar, em dupla projecção, os seguintes segmentos de recta:1. Representar, em dupla projecção, os pontos: [IJ], vertical com 3cm de tamanho, A(3;1) F(-3;3) J(2;-2) sendo I(4;3;2) o ponto de menor cota. B(2;4) G(4;-1) K(-1;2) C(0;3) H(0;-3) L(-4;0) [KL], de topo com 4cm de tamanho, D(2;0) I(-2;-3) M(0;0) tendo L(-3;0;3) menor afastamento. E, do β1/3, com -1cm de abcissa 11. Representar, em dupla projecção, os seguintes2. Representar, em dupla projecção, os pontos: segmentos de recta: N(3;1;2) S(-5;2;0) W(-3;0;0) [MN], fronto-horizontal com 3cm de tamanho, O(1;3;1) T(2;2;-2) X(3;3;4) sendo N(2;1;2) o ponto mais à direita. P(5;-2;4) U(-6;4;-1) Y(-4;1;2) Q(-2;0;3) V(6;0;-3) Z(0;-2;3) [OP], de perfil cujos extremos são O(-3;1;4) R, do β2/4, com -4cm de abcissa e -5 de cota e P(5;1).Pontos em tripla projecção 12. Representar, em dupla projecção, os seguintes segmentos de recta:3. Representar, em tripla projecção, os pontos: [QR], horizontal com 4cm de tamanho, A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0) fazendo 30ºae, estando R(2;0;2) à B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0) direita de Q.4. Representar, em tripla projecção, os pontos: [ST], frontal, estando S(-1;-3;2) à esquerda de T, que tem -5cm de abcissa e 1cm de G(4;2;-2) I(-3;1;-3) K(0;5;0) afastamento. H(2;-3;3) J(-5;-1;4) 13. Representar, em dupla projecção, os seguintesPontos simétricos segmentos de recta:5. Determinar os pontos simétricos dos seguintes [UV], conhecendo V(2;4;2), e sabendo que Upontos, em relação aos planos de projecção: tem 1cm de afastamento e 6cm de cota e se situa no PHP. A(4;2) B(3;-1) C(-2;2) [WX], conhecendo W(-2;-1;4) e X(4;2) e6. Determinar os pontos simétricos dos seguintes sabendo que a projecção frontal dopontos, em relação aos planos bissectores: segmento faz 30ºad. D(3;1) E(-3;4) F(-2;-2) Segmentos de recta em tripla projecção7. Determinar os pontos simétricos dos seguintes 14. Representar, em tripla projecção, o segmentopontos, em relação aos planos de projecção, aos de recta de perfil com 3cm de afastamento, cujosplanos bissectores e ao eixo x: extremos são A(2;5) e B(4;1). F(2;-4) H(-1;-3) 15. Representar, em tripla projecção, o segmento de recta cujos extremos são C(3;4;1) e D(0;2;5).Segmentos de recta em dupla projecção 16. Representar, em tripla projecção, o segmento8. Representar, em dupla projecção, os segmentos de recta de perfil cujos extremos são E(4;3;5) ede recta [AB] e [CD] cujos extremos são: F(-2;1). A(8;2;2) C(2;1;2) 17. Representar, em tripla projecção, o segmento B(4;4;0) D(-3;4;-2) de recta cujos extremos são G(3;3;5) e H(-2;3;2).9. Representar, em dupla projecção, os segmentos 18. Representar, em tripla projecção, o segmentode recta [EF] e [GH] cujos extremos são: de recta cujos extremos são I(-4;2;1) e J(-4;5;4) E(6;0;0) G(0;1-1) 19. Representar, em tripla projecção, o segmento F(2;-2;5) H(-4;0;3) de recta cujos extremos são K(-3;3;1) e L(-3;3;5).Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Ponto e segmento de recta - 13

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