Apostila com definições e exercícios relacionados aos problemas de progressão aritmética e progressão geométrica para preparação para o ENEM.

1. Sequências: PA e PG 15
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1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Definição:
Progressão aritmética é toda sequência de números na
qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo
anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão
da progressão e é representada pela letra r.
Exemplos:
a) PA (2, 5, 8, 11,...) b) PA (-8, -1, 6, 13,...)
Termo geral de uma PA
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟
Soma dos termos de uma PA
𝑆 𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎 𝑛) ∙ 𝑛
2
2. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
 Três termos em PA: (𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟)
 Cinco termos em PA: (𝑥 − 2𝑟, 𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟)
3. CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
i. Crescente, quando 𝑟 > 0;
ii. Decrescente, quando 𝑟 < 0;
iii. Constante ou estacionária, quando 𝑟 = 0.
EXERCÍCIO
Questão 1: Qual é o 20º termo da PA (2, 8,...)?
Questão 2: Em uma PA, o 5º termo vale 30 e o 20º vale 50.
Quanto vale o 8º termo dessa progressão?
Questão 3: Qual é o 50º número ímpar positivo?
Questão 4: (Fuvest – SP) Determine quantos múltiplos de 9 há
entre 100 e 1 000.
Questão 5: Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos
fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o
valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação
mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor
pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da
prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da
prestação no último ano.
Questão 6: Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na
segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão
aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?
Questão 7: Suponha que, em 2013, um determinado cometa
tenha passado pela Terra. Se esse comete faz uma passagem
pela Terra a cada 34 anos, então quantas vezes ele teria passado
pela Terra de 1500 até 2013?
Questão 8: Um corpo em queda livre percorre 3 m no primeiro
segundo, 12m no segundo, 21 m no terceiro segundo, e assim por
diante. Continuando nessa sequência, quantos metros terá
percorrido após 10 segundos?
Questão 9: Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na
segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética.
Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
1. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Definição:
Progressão geométrica é toda sequência de números
não nulos é constante o quociente da divisão de cada termo (a
partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante
é chamada razão (q) da progressão.
Exemplos:
a) PG (2, 10, 50, 250) b) PG (6, -12, 24, -48, 96)
Termo geral de uma PG
𝑎 𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1
Soma dos termos de uma PG PG infinita (soma dos termos)
𝑆 𝑛 = 𝑎1 ∙
(1 − 𝑞 𝑛)
1 − 𝑞
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
2. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
 Três termos em PG: (
𝑥
𝑞
, 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑞)
 Cinco termos em PG: (
𝑥
𝑞2
,
𝑥
𝑞
, 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑞, 𝑥 ∙ 𝑞2
)
3. CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICA
i. Crescente, quando 𝑎1 > 0 e 𝑞 > 1 ou 𝑎1 < 0 e 0 < 𝑞 < 1;
ii. Decrescente, quando 𝑎1 > 0 e 0 < 𝑞 < 1 ou 𝑎1 < 0 e 𝑞 > 1;
iii. Constante ou estacionária, quando 𝑞 = 1.
iv. Oscilante, quando 𝑎 ≠ 0 e 𝑞 < 0.
EXERCÍCIO
Questão 1: Qual o 7º termo da PG (2, 6, ...)?
Questão 2: Calcule o 1º termo de uma PG em que 𝑎4 = 375 e
𝑞 = 5.
Questão 3: Quantos elementos tem a PG (8, 32, ..., 213
)?
Questão 4: Determine o valor de x de modo que os números
𝑥 + 1, 𝑥 + 4 e 𝑥 + 10 formem, nessa ordem, um PG.
Questão 5: (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00,
pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5
parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente
que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a
segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$
1000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição
desse carro?
Questão 6: Uma indústria produziu 30 000 unidades de certo
produto no primeiro trimestre de 2012. Supondo que a produção
tenha dobrado a cada trimestre, quantas unidades desse produto
foram produzidas no último trimestre de 2012?
Questão 7: Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas,
de tal forma que, em cada semana, o valor da aposta é o dobro do
valor da aposta da semana anterior. Se o valor da aposta da
primeira sema é R$ 60,00, qual o total apostado após as cinco
semanas?
Questão 8: A medida do lado de um triangulo equilátero é 10.
Unindo-se os pontos médios de seus lados obtêm-se um novo
triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados desse
novo triângulo equilátero obtêm-se um terceiro e assim por diante,
indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses
triângulos.