Struttura1

321 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
321
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Struttura1

  1. 1. M.C.D. ed m.c.m. come operazioni binarie sui naturali Gianmarco Bramanti 11 aprile 2013 Sommario Premessa: nel progettare questa breve serie di lezioni ho pensato ad un percorso di studio per una classe di Liceo Scientifico opzione Scienze Applicate ovvero una classe di Istituto tecnico industriale ad indirizzo elettronico, supponendo che nel con- testo delle interazioni con il percorso di Computer science siano stati approfonditi gli aspetti basilari della logica automatica, con riferimento particolare alle tavole di verit`a, ed alle algebre di Boole, e sia stato accennata l’interpretazione insiemistica della stessa. L’intenzione iniziale era semplicemente quella di considerare un’appli- cazione di questi concetti ad un aspetto dell’algebra elementare nota dallo studente fin dalla scuola primaria, ovvero il Massimo comun divisore ed il minimo comune multiplo, in particolare l’intenzione era semplicemente mostrare come le manipola- zioni algebriche booleane si prestano a far luce su alcune notevoli relazioni algebriche che li legano: tuttavia nel ripensare ad una solida precisazione dei concetti di base `e emerso un’aspetto meritevole di autonomo approfondimento, ovvero il concetto di multi-insieme Ho poi ritenuto utile aggiungere una nota tecnica ad illustrazione delle differenze strutturali fra questo esempio di reticolo booleano e l’algebra booleana degli insiemi. Aggiungo a commento di ci`o che gli esempi di massimo comun divisore e mini- mo comune multiplo si incontrano abbastanza di sovente nei capitoli di libri di testo per le scuole superiori che riguardano le algebre booleane, come si trova un cenno al fatto che il reticolo booleano `e la struttura che emerge da un sotto-insieme de- gli assiomi dell’algebra, (per esempio: Dodero Toscani ’Lezioni di matematica (per il biennio delle scuole sperimentali)’) tuttavia molto raramente si trova sottolinea- to adeguatamente, con esempi o argomenti teorici, lo stacco concettuale fra le due definizioni che deriva dal verificarsi o meno la propriet`a di complementariet`a degli inversi e dell’annullamento della differenza simmetrica. Per questa ragione ho volu- to dedicare particolare attenzione a questo aspetto. In sintesi, il cuore originario di questa serie di lezioni `e essenzialmente nella seconda, ma la prima fornisce il corretto quadro concettuale di riferimento, mentre la terza inquadra storicamente i concetti e l’appendice `e un invito all’approfondimento per i colleghi docenti. 1 Lezione prima Max e min In questa sezione consideriamo preliminarmente l’insieme dei numeri naturali N e mostriamo alcune propriet`a elementari delle operazioni binarie a∨b : (a, b) ∈ N×N → 1
  2. 2. max(a, b) ∈ N che ad una coppia di numeri associa il pi`u grande fra loro e a ∧ b : (a, b) ∈ N×N → min(a, b) ∈ N che a due numeri naturali associa il minimo fra loro. E’ anzitutto immediata la verifica della propriet`a commutativa per entrambe le operazioni: a ∨ b = b ∨ a (1) a ∧ b = b ∧ a (2) perch´e naturalmente quale dei due numeri sia il pi`u grande ovvero il pi`u piccolo non dipende dall’ordine di presentazione dei numeri. Altrettanto immediata `e la verifica della propriet`a associativa: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) (3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (4) infatti nel primo caso verr`a selezionato, indipendentemente dall’ordine di scrittura il numero pi`u grande dei tre e cos`ı pure nel secondo caso il numero pi`u piccolo dei tre. Al fine di una verifica pedissequa della propriet`a sar`a sufficiente distinguere i casi possibili che sono sei, tuttavia questi si riducono ad uno solo se ricorriamo alla propriet`a commutativa, gi`a dimostrata, infatti senza alcuna diminuzione di generalit`a possiamo limitarci a considerare solo il caso a ≤ b ≤ c nel qual caso risulta (a ∨ b) = b, b ∨ c = c per quanto riguarda il primo membro e b ∨ c = c nonch´e a ∨ c = c per quanto riguarda il secondo membro. Ma per la propriet`a commutativa abbiamo: (a ∨ b) ∨ c = (b ∨ a) ∨ c = c ∨ (a ∨ b) = c ∨ (b ∨ a) e possiamo liberamente scambiare i due membri della identit`a, in tal modo se ad esempio fosse b ≤ c ≤ a riscriveremmo a ∨ (b ∨ c) come (c ∨ b) ∨ a ed avendo verificato l’identit`a nel caso di tre numeri qualsiasi in ordine non decrescente risulta: (c ∨ b) ∨ a = c ∨ (b ∨ a) e quindi in definitiva: a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c che a meno dell’ordine dei due membri `e l’identit`a oggetto di dimostrazione. Verifichiamo adesso una propriet`a speciale di queste operazioni binarie che abbiamo gi`a incontrato nel caso delle tabelle di verit`a per gli operatori logici And ed Or. Si tratta della propriet`a di assorbimento. a ∨ (a ∧ b) = a (5) a ∧ (a ∨ b) = a (6) in questo caso una verifica diretta `e semplicissima perch´e richiede di controllare solamente due casi a ≤ b e a ≥ b. Da ultimo andiamo a verificare la propriet`a distributiva: a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) (7) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (8) 2
  3. 3. notiamo che la simmetria della struttura della prima identit`a permette di ricondurci sempre ad uno di due casi: a ≤ b ≤ c ovvero b ≤ a ≤ c ma nulla cambia nei nostri ragionamenti se sostituiamo ≤ con ≥ e min con max, quindi la seconda identit`a segue immediatamente dalla prima. Ricordiamo che un insieme dotato di due operazioni bina- rie che verificano le propriet`a suddette forma una struttura algebrica, che prende il nome di reticolo distributivo, avevamo visto che i connettivi logici fra i valori di verit`a delle proposizioni portano ad un reticolo distributivo ed avevamo notato che in particolare quel reticolo era dotato di elemento neutro. Un reticolo distributivo dotato di elemento neutro rispetto alla prima operazione si chiama reticolo booleano. Mostriamo subito che questo `e il caso anche della nostra struttura infatti 0 ∨ a = a perch´e 0 `e il pi`u piccolo numero naturale. Multi-insiemi Abbiamo gi`a incontrato in precedenza, nel corso delle nostre lezioni, il concetto di insieme universo, di insieme delle parti, in particolare limitandoci ai sottoin- siemi di una insieme dato, che indicavamo con U, avevamo visto come tutte le operazioni dell’algebra booleana per i valori di verit`a delle proposizioni si trasferissero agli insiemi che le verificano (quindi, per esempio, se indichiamo con A l’insieme degli elementi che rendono vera una proposizione QA e l’insieme B degli elementi che rendono vera una proposizione QB l’insieme A ∧ B era null’altro che l’insieme degli elementi che rendono vera la proposizione QA ∧ QB, analogamente se consideriamo la negazione di una pro- posizione QA verificata dal sottinsieme A ⊆ U otteniamo che l’insieme che verifica la relazione `e A = U − A ovvero l’insieme complementare di A in U. Mostriamo adesso una estensione del concetto di insieme a cui risulta possibile applicare analoghe regole di calcolo: definiamo multi-insieme dell’insieme U la coppia composta da U e da una funzione, detta molteplicit`a, o funzione caratteristica m : U → N. Definiamo il suppor- to di m come la controimmagine mediante m di N − 0. Per esempio se a,b,c sono tre elementi di U il multi-insieme a,a,b,c (l’uso della doppia parentesi serve a distinguere i multi-insiemi dagli insiemi ordinari) ha supporto a,b,c e la funzione caratteristica vale zero per tutti gli elementi di U eccetto a,b,c e risulta m(a) = 2, m(b) = 1, m(c) = 1. Definizioni: dati due multi-insiemi di funzioni caratteristiche mA, mB definiamo l’unione dei due multi-insiemi mA ∨ mB come il multi-insieme di funzione caratteristica mA ∨ mB(x) ≡ max(mA(x), mB(x)) e l’intersezione che indichiamo con mA ∧ mB come l’insieme di funzione caratteristica mA ∧ mB(x) ≡ min(mA(x), mB(x)). Sulla scorta delle verifiche svolte nel primo paragrafo `e immediato riconoscere che i multi-insiemi con le operazioni test´e definite ∧ ∨ formano un reticolo distributivo booleano. Notiamo che la nozione di inclusione si generalizza naturalmente cos`ı: diremo che un multi-insieme A `e incluso in un multi-insieme B se ∀x ∈ UmA(x) ≤ mB(x) Aggiungiamo un’ulteriore definizione che si riveler`a presto utile. Un multi-insieme si dice finito se il suo supporto `e finito. Diciamo che un multi-insieme `e vuoto se tale `e il suo supporto. 3
  4. 4. Una definizione che richiede una certa attenzione `e quella di complementare. Analo- gamente al caso degli insiemi occorre limitarsi a considerare i sotto-insiemi di un multi- insieme dato. Dati due multi-insiemi definiamo il multi-insieme A − B come l’insieme la cui funzione caratteristica `e mA−B(x) = mA(x) − mB(x) Ne consegue che limitandosi a considerare i multi-insiemi contenuti in un multi-insieme W assegnato, e che dire- mo multi-insieme ambiente, la struttura di reticolo booleano riguadagna una propriet`a caratteristica del reticolo booleano della logica classica e della teoria degli insiemi, pos- siamo infatti indicare sinteticamente con A il multi-insieme W − A e si legge A `e il complementare di A (nell’ambiente W). In questo modo otteniamo un reticolo booleano con complemento (vedremo in seguito alcune profonde differenze che questa struttura algebrica presenta rispetto all’algebra sugli insiemi). 2 Lezione seconda Applicazione dei multi-insiemi alla teoria dei numeri Ricordiamo che per il teorema di Euclide della unicit`a della fattorizzazione dei numeri naturali ogni numero naturale po- sitivo pu`o essere espresso in modo univoco come prodotto dei suoi fattori primi contati ciascuno con la propria molteplicit`a. Allora ad ogni numero naturale possiamo associare un multiinsieme dei numeri primi, ponendo come funzione caratteristica la funzione che fa corrispondere ad ogni fattore primo la sua molteplicit`a. Per esempio al numero 24 risulta associato il multiinsieme 2, 2, 2, 3 che in termini di funzione caratteristica `e rap- presentato dalla sequenza numerica (3, 1, 0, 0...) dove si sottende che il numero al posto i−mo rappresenta la molteplicit`a dell’i−mo numero primo. In seguito adotter`o la con- venzione di indicare con una lettera minuscola i numeri e con la corrispondente lettera maiuscuola i loro insiemi rappresentativi. Ad esempio il numero n = 1 `e rappresentato dall’insieme N = {} = (0, 0, ...) Il che esprime la circostanza che al multi-insieme vuoto, rappresentato dalla funzione nulla su U corrisponde l’unit`a. Sappiamo, a proposito di numeri naturali, che il massimo comun divisore di due nu- meri a,b `e quel numero che ha per fattori i fattori primi comuni dei due numeri presi con il minimo esponente. In termini di multi-insiemi associati il multi-insieme associato al M.C.D.(a,b) `e quindi null’altro che A ∧ B, mentre il multi-insieme associato con il mini- mo comune multiplo di a,b (il numero che ha per fattori i fattori primi dei due numeri, comuni e non comuni, presi con il massimo esponente) `e null’altro che A∨B. Quindi que- ste operazioni binarie sui multi-insiemi, che formano un reticolo booleano, si traducono automaticamente in operazioni binarie sui numeri naturali e formano ancora un reticolo booleano. In breve possiamo riassumere quanto scritto come segue a ∨ b = m.c.m(a, b), a ∧ b = M.C.D.(a, b). Fissato un numero w nell’insieme dei suoi divisori a,b,c,.. possiamo, inoltre, definire un complementare. Poich´e a divide w avremo infatti A ⊆ W e potremo considerare l’in- 4
  5. 5. sieme W −A, mostriamo che questo `e null’altro che l’insieme associato a w/a. Sia infatti w = pw1 1 ...pwn n , poich`e a|w deve essere a = pa1 1 ...pan n ed ai ≤ wi, ovvero appunto A ⊆ W pertanto il multi-insieme W associato a w ha supporto {p1, ..., pn} ed il multi-insieme A associato ad a ha supporto contenuto in {p1, ..., pn}. Per definizione abbiamo che il numero associato con W − A ha funzione caratteristica, limitatamente al supporto di W, mW−A(p1) = w1 − a1, ..., mW−A(pn) = wn − an ma pw1−a1 1 ...pwn−an n = w/a Q.E.D. Abbiamo quindi ritrovato nuovamente la struttura di reticolo booleano complemen- tato. Con queste premesse dimostriamo per esercizio alcune semplice propriet`a che di- scendono da queste osservazioni. Consideriamo per esempio due numeri interi, a, b, sia w = ab allora risulta in accordo alle identit`a notevoli di De Morgan: ab/(a ∧ b) = (a ∧ b) = (a ∨ b ) = (ab/a ∨ ab/b) = (b ∨ a) e riotteniamo la propriet`a fondamentale di complementariet`a fra massimo comun divisore e minimo comune multiplo: [a, b](a, b) = ab. In modo del tutto analogo possiamo dimostrare che: [a, b, c](ab, bc, ca) = abc identit`a che risulter`a agevolmente dimostrata nell’insieme dei divisori di w = abc se assumiamo per contro w = (a, b) otteniamo: (a, b)/(a ∧ b) = (a ∧ b) = ((a, b)/a ∨ (a, b)/b) ancora, per la legge distributiva abbiamo: [(a, b), (b, c)] = (a, [b, c]) quindi se abbiamo un metodo veloce per calcolare il massimo comun divisore di b,c possiamo risparmiare fatica rispetto al calcolo del primo membro. E tante e tante altre simili identit`a che possono essere prese pari pari da un manuale di elettronica come ad esempio la seguente identit`a auto-duale: [(a,b),(b,c),(c,a)]=([a,b],[b,c],[c,a]) invito a considerare un caso specifico, come per esempio a = 15, b = 21, c = 77 per apprezzare la semplificazione che costituisce il secondo membro di questa identit`a rispetto al primo. Disegnare con i divisori Un numero `e multiplo di un altro se il suo multi-insieme contiene il multi-insieme dell’altro. Ne `e divisore in caso contrario. La relazione di divisibilit`a risulta essere una relazione d’ordine. (ricordiamoci che una relazione si dice di ordine parziale se `e riflessiva, ci`o che nel nostro caso significa che ogni numero `e divisore di s´e; transitiva cio`e se un dato numero divide un secondo numero che ne divide un terzo 5
  6. 6. allora il numero dato divide pure lui il terzo numero, ed infine antisimmetrica che nel nostro caso significa che se due numeri sono l’uno divisore dell’altro i due numeri sono uguali) La relazione d’ordine della divisibilit`a `e una relazione d’ordine parziale (infatti dati due numeri a,b non necesarriamente uno `e divisore dell’altro). A partire da un numero naturali si pu`o costruire un diagramma ponendo nel piano immediatamente inferiore tutti i numeri che lo dividono e che non dividono alcuno dei suoi divisori, il fatto che questi numeri dividono l’elemento sulla riga pi`u alta si indica collegandoli a quello con un trattino. Per esempio dato il numero 30 avremo solo i numeri 15,10,6 con questa propriet`a, operativamente si procede scrivendo 30 = 2*3*5 e considerando i sottoinsiemi dei fattori che hanno un solo elemento in meno 2*3, 3*5, 2*5. Fatto ci`o si procede a costruire la terza riga dove si collocando i numeri che hanno un fattore in meno, nel nostro esempio 2,3,5 e collegandoli ai numeri di sopra con un trattino se sono divisori. Si procede cos`ı fino a giungere al numero 1. Il diagramma cos`ı costruito si chiama diagramma di Hasse (ogni insieme parzialmente ordinato ha un diagramma di Hasse, e viceversa, ogni diagramma di Hasse definisce una relazione d’ordine parziale provate!) [Osservazione: abbiamo visto, costruendo il diagramma di Hasse dei divisori di 30, che i segmenti che collegano i divisori fra una riga e la seguente inevitabilmente devono intersecarsi. Bene, per evitare queste intersezioni, il diagramma di Hasse di un numero con tre fattori primi pu`o essere rappresentato nello spazio R3, ed ha generalmente la forma degli spigoli di un reticolo di cubi contigui contenuti in un parallelepido di lati proporzionali alla molteplicit`a dei tre fattori, nel nostro caso per il numero 30 i nodi del diagramma di Hasse con i segmenti che li congiungono possono essere trasportati sui vertici e gli spigoli di un cubo. Cosa succede se i fattori primi sono pi`u di tre? In questo caso occorrer`a usare l’occhio della mente per immaginare un grafo altrettanto regolare ed ordinato nell’insieme delle n-ple di numeri che chiameremo Rn...] 3 Lezione terza 3.1 Cenni storici Le algebre di Boole Ricordiamo che la struttura di algebra di Boole fu ideata nel corso del’ottocento dal matematico George Boole che raccolse il sogno enunciato circa due secoli prima da Gottfried Leibniz di ricondurre le controversie argomentative a semplici calcoli logici sulle premesse. Lo sforzo di Boole giungeva in un momento in cui in In- ghilterra la rivoluzione industriale e lo sviluppo delle macchine aveva portato Babbage ed Ada Lovelace a concepire macchine capaci di calcoli automatici. La teoria di Boole si ripropose all’attenzione degli scienziati negli anni quaranta del secolo scorso con lo sviluppo concreto di macchine logiche funzionanti, sviluppo che nel corso di pochi de- cenni avrebbero portato alla rivoluzione informatica della fine del novecento. Al di l`a dell’origine dell’algebra booleana quello che `e degno di nota `e il fatto che molte delle identit`a algebriche che sono state sviluppate per l’elettronica possono essere trasferite a qualsiasi algebra booleana in virt`u della identit`a delle regole di calcolo. Ma allora tutto 6
  7. 7. quello che si impara a proposito di proposizioni e di identit`a booleane nell’ambito del calcolo proposizionale di Boole pu`o essere trasferito al caso delle nostre due operazioni binarie? In effetti no, tornando con la mente a questa breve rassegna si possono essere evi- denziate alcune differenze importanti fra la struttura del calcolo proposizionale e degli insiemi e la struttura algebrica del max e min di cui abbiamo parlato nella prima sezio- ne: un primo punto fondamentale consiste nel notare che oltre all’elemento neutro per ∨ esisteva nel caso della logica l’elemento neutro per ∧ ed il concetto di complemento (l’operatore not). Tuttavia l’insieme dei numeri naturali non `e limitato superiormente quindi non c’`e elemento che sia maggiore di tutti gli altri e quindi non c’`e un elemento neutro nel reticolo min,max che abbiamo presentato. Tuttavia `e bastato introdurre una limitazione superiore nell’insieme per ottenere, mediante rispecchiamento, la dualit`a ti- pica del calcolo proposizionale. Nonostante queste differenze rimangono delle relazioni comuni fra le due strutture, tutte quelle che per essere dimostrate richiedono solo le propriet`a di reticolo che abbiamo elencato. E’ curioso osservare che, come spesso accade nella storia della matematica, la strut- tura pi`u elementare di reticolo `e stata introdotta pi`u tardi della nozione di algebra di Boole, essa risale essenzialmente alla prima met`a del secolo scorso e si deve a matematici come Birkhoff e Kolmogorov. A cosa si deve il nome di reticolo? Abbiamo visto su un esempio che `e possibile associare alla struttura dei divisori un diagramma reticolare, il diagramma di Hasse. Ebbene l’origine del nome reticolo deriva proprio da queste strut- ture reticolari che possono essere associate ad ogni insieme parzialmente ordinato. Ma quale `e in generale la relazione che esiste fra le operazioni binarie del reticolo ∧ e ∨ e la relazione d’ordine? Diremo che in generale a ≤ b sse esiste un elemento y tale che a = b ∧ y usando la propriet`a di assorbimento `e immediato vedere che se a ≤ b allora a ∨ b = b. Se aggiungendo ad un reticolo booleano la nozione di complemento, come abbiamo visto nel caso del min-max considerando sottoinsiemi finiti di naturali, le somiglianze con il calcolo proposizionali aumentano possono tuttavia ancora sussistere delle differenze. Una delle pi`u notevoli `e la seguente: nella teoria degli insiemi possiamo introdurre il concetto di differenza simmetrica A∆B = (A ∨ B) ∧ (A ∧ B) una propriet`a nota della differenza simmetrica consiste nel fatto che A∆A = 0 per qualsiasi insieme A. Facciamo vedere che nel caso del reticolo del min-max su insiemi limitati dall’alto e dal basso questa propriet`a non si verifica, basta considerare infatti i numeri dell’insieme (1, 2, 3) dove poniamo x = 3 − x Vediamo allora che 2∆2 = (2 ∨ 2) ∧ (2 ∨ 2) = 2 ∧ 1 = 1 per lo stesso motivo la differenza simmetrica di un multi-insieme con se stesso non `e generalmente 0. I multi-insiemi La nozione di insiemi i cui elementi sono molteplici ha una storia cu- riosa, sembra attraversare come un fiume carsico tutta la storia della matematica. Le notizie pi`u antiche al riguardo si trovano nella matematica indo-persiana nell’opera del matematico Bashkara, ma `e probabile che prima ancora la nozione sia stata utilizzata in modo non formalizzato pi`u e pi`u volte dai matematici, per quanto riguarda la storia 7
  8. 8. moderna invece il nome di battesimo multiset vede la luce nel contesto della matematica combinatoria da parte di un ’allievo’ di Paul Erdos, il matematico olandese N.B. de Bruijn intorno al 1970. 4 Appendice avanzata, da intendere come spunto di approfondimento per i colleghi docenti Differenze algebriche fra insiemi e multi-insiemi Un’aspetto piuttosto interessante, pen- sando al nome di algebra di Boole, riguarda la circostanza che essa `e effettivamente un’algebra associativa. Inoltre pu`o essere messa in relazione con un’altra struttura al- gebrica gi`a incontrata per gli interi, la struttura di anello. Un anello nel quale per ogni elemento x sia verificata la propriet`a x2 = x, si dice anello booleano e risulta possibile da esso costruire un reticolo booleano complementato ponendo x ∧ y = x · y e x ∨ y = x + y + x · y e viceversa x + y = x∆y, dove + e · rappresentano le ope- razioni dell’anello, mentre ∆ `e la differenza simmetrica come definita in precedenza, per quanto riguarda il complemento algebrico esso sar`a definito come 1 + x = x . In un anello booleano vale per`o la propriet`a x + x = 0 per dimostrarlo basta notare che (x + x) = (x + x)2 = x2 + x2 + x2 + x2 = x + x + x + x e dunque, per la propriet`a di esistenza dell’opposto x + x = 0. Da qui segue x + (1 + x) = 1 e quindi in definitiva x ∨ x = 1 e del resto x ∧ x = x(1 + x) = x + x = 0 pertanto abbiamo verificato le due propriet`a del complemento che insieme alle propriet`a di reticolo booleano danno effettivamente luogo ad un’algebra. Ogni anello booleano `e, altres`ı, un’algebra associativa sul campo F2. Ora, `e un teo- rema generale, ma che enunciamo senza dimostrarlo, che se un’algebra di Boole consiste di un numero finito di elementi questi sono una potenza di 2. Il fatto che nell’esempio discusso di reticolo min-max abbiamo trovato che la propriet`a x + x = 0 non `e verifi- cata, come il fatto che, pi`u generalmente, il numero di elementi dei sotto-insiemi di un multi-insieme possa differire da una potenza di 2, sono due aspetti notevoli che caratte- rizzano la struttura algebrica dei multi-insiemi come esempio di reticolo complementato booleano che non `e un’algebra booleana. Mentre, stanti le definizioni di sopra la verifica che si ha un’algebra booleana `e pressoch´e immediata, il percorso inverso `e un poco pi`u laborioso e quindi lo illustrer`o in dettaglio, dimostrando che effettivamente l’algebra degli insiemi `e un’anello booleano e quindi un’algebra associativa su F2, evidenziando il ruolo cruciale svolto dalla propriet`a a∧a = 0 e riconoscendo che gli insiemi universo e vuoto svolgono il ruolo degli elementi 0 ed 1 del campo F2. In particolare dimostriamo facilmente la propriet`a distributiva: (a+b)·c = (a·c)+(b·c) per questo dobbiamo tradurre il tutto in termini delle operazioni convenzionali di unione ed intersezione. Ricordando ancora che a+b = (a∨b)∧(a∧b) (di questo si pu`o dare anche una dimostrazione intuitiva in termini di diagrammi di Eulero Venn), dobbiamo mostrare che [(a∧c)∨(b∧c)]∧((a∧c)∧(b∧c)) = [(a∨b)∧(a∨b) ]∧c. Ma in effetti per la propriet`a distributiva risulta: [(a∧c)∨(b∧c)] = (a∨b)∧c mentre dalla 8
  9. 9. propriet`a associativa, dalla propriet`a commutativa, per la propriet`a di idempotenza e per la legge di De Morgan `e ((a ∧ c) ∧ (b ∧ c)) = (a ∧ b ∧ c ∧ c) = (a ∧ b ∧ c) = (a∧b) ∨c Quindi risulta, applicando nuovamente le propriet`a associativa e distributiva: [(a∧c)∨(b∧c)]∧((a∧c)∧(b∧c)) = [(a∨b)∧c]∧((a∧b) ∨c) = (a∨b)∧[c∧((a∧b) ∨c)] = (a ∨ b) ∧ [((a ∧ b) ∧ c) ∨ (c ∧ c )], rimane infine da applicare la propriet`a c ∧ c = ∅ e di conseguenza per la propriet`a del minimo e la propriet`a associativa risulta la tesi: (a ∨ b) ∧ [((a ∧ b) ∧ c) ∨ (c ∧ c )] = [(a ∨ b) ∧ (a ∧ b) ] ∧ c. Con questo, stante il fatto che rispetto alla differenza simmetrica l’algebra degli insiemi forma un gruppo abeliano, in quanto l’insieme vuoto svolge il ruolo di elemento neutro ed ogni elemento `e opposto di s´e medesimo [per inciso la propriet`a di unicit`a dell’elemento inverso sostanzia la propriet`a abbastanza intuitiva che la differenza simmetrica si annulla soltanto fra insiemi identici], nonch´e il fatto che rispetto al ∧ la stessa algebra degli insiemi `e un semigruppo unitario (con unit`a l’insieme universo) segue che l’algebra degli insiemi `e un anello unitario. Infine la verifica che l’insieme universo, che indicheremo con 1 e l’insieme vuoto, che indicheremo con 0, formano un campo F2 si riduce a controllare che con le operazioni + e · si ottengono le tavole moltiplicative di F2 ovvero: 1 · 0 = 0 · 1 = 0 0 · 0 = 0, 1 · 1 = 1 nonch`e 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 ed infine 0 + 0 = 0. Questo fatto, insieme alla propriet`a distributiva gi`a dimostrata, implica che la struttura algebrica degli insiemi pu`o essere vista sia come uno spazio vettoriale su F2 sia come un’algebra associativa sul medesimo campo. 9

×