Relazioni e funzioni
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  • 1. Relazioni e funzioni Il candidato tratti le Relazioni e Funzioni mettendo in evidenza le peculiarità Concorso Personale Docente 2012-2013 Candidato: Giovanni Bramanti Classi di concorso A047-A049
  • 2. Prerequisiti Insiemi Proporzioni Numeri Elementi di geometria piana Obiettivi immediati Acquisire il concetto generale di relazione, e loro tipi: riflessiva, simmetria, transitiva, antisimmetrica Applicazioni (semplici ed avanzate) del concetto di relazione agli insiemi numerici (es. elementare: divisibilità, definizione di Z, Q come classi di equivalenza), concetto intuitivo di insieme soluzione, ed esempi dalla geometria. Prima definizione rigorosa di funzione, motivata per via intuitiva, concetto di rappresentazione cartesiana degli insiemi relazione e funzione, per la soluzione di semplici problemi tratti dal quotidiano (fisica, programmazione lineare) Elementi di logica
  • 3. Motivazioni Storiche • Ottocento nozione informale di funzione, teoria ingenua degli insiemi. • Primo novecento: crisi dei fondamenti, antinomie di Russell, teoria assiomatica degli insiemi. • Fra le due guerre: crisi della logica, teoremi di Goedel. • Dopo Goedel: interpretazione insiemistica del concetto di verità in logica, teoria dei modelli, fondazione insiemistica dell’aritmetica e dell’analisi. Obiettivi di lungo termine: un occhio alle eccellenze, un occhio agli obiettivi minimi. …studio delle funzioni ed Analisi infinitesimale Coniche e curve algebricheEquazioni e disequazioni Grafi, posets, ma ssimo e minimo R come campo ordinato… Programmare un database, classi laterali di un gruppo…
  • 4. Relazioni: dall’intuizione alla formalizzazione Esempio elementare: in una scuola abbiamo due classi, alcuni degli allievi del corso A sono germani maggiori(fratello o sorella di età più grande) di alcuni degli allievi del corso B. Alcuni degli allievi del corso B sono amici fra loro In un insieme numerico due numeri possono essere uno divisibile per l’altro Una banconota da 20 euro può essere cambiata usando monete da 2 euro e monete da 5 euro in quanti modi diversi? Una retta divide un piano in due semipiani: diciamo per ogni coppia di punti del piano consideriamo la relazione : «stanno da parti opposte rispetto alla retta». Paolo e Laura giocano a battaglia navale: le navi di Laura formano un sottoinsieme del prodotto cartesiano fra l’insieme delle lettere riportate in ascissa e l’insieme delle ordinate.
  • 5. Astrazione: cosa hanno in comune tutti gli esempi precedenti? In ogni caso abbiamo un’affermazione, riguardo ad una coppia ordinata di elementi presi da due insiemi, che può essere vera o falsa. In tutti i casi troviamo una descrizione di un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi. Alla luce di queste definizioni rivediamo gli esempi di prima, individuando gli insiemi A, B ed il sotto-insieme
  • 6. Insiemi caratteristici
  • 7. Operazioni con le relazioni Insiemistiche Poiché le relazioni sono insiemi ammettono tutte le operazioni ammesse per gli insiemi: coniugazione (due relazioni sussistono simultaneamente), uni one, differenza simmetrica, negazione. •
  • 8. Relazione inversa, relazioni iniettive, suriettive, univoche (funzioni), biunivoche •
  • 9. Rappresentazioni delle relazioni • Cartesiana è la rappresentazione a sinistra • Grafo bipartito è la rappresentazione a destra • Estensiva: si elencano tutte le coppie nella relazione, e gli insiemi in relazione, è la rappresentazione in basso. • Proposizionale: si fornisce una caratterizzazione logica (la proposizionale è la più comune rappresentazione in matematica) Nota: la relazione identica è detta anche diagonale (perché?) A={Paola, Nicola,Carlo, Maria}, B={canarino,cane,gatto,pesce, criceto.}: R={(Paola, canarino), (Carlo,canarino),(Carlo,gatto),(Carlo,criceto), (Maria,cane),(Maria,gatto)}
  • 10. Proprietà delle relazioni •
  • 11. Esempi ed esercizi • In populandia due persone si dicono fratelli se hanno un genitore in comune, dire se questa relazione di fratellanza è transitiva. • Ripetere la discussione nel caso in cui, come avviene in Italia, si dicono fratelli solo coloro che condividono entrambi i genitori. • Si consideri la relazione di congruenza fra i triangoli del piano euclideo, dire quale delle quattro proprietà risulta verificata. • Si consideri la relazione di inclusione nell’insieme delle parti di A: è transitiva? E’ simmetrica? E’ riflessiva? E’ antisimmetrica? • Dire se esiste e, se sì, come è fatta una relazione simmetrica ed antisimmetrica.
  • 12. Relazioni speciali •
  • 13. Classi di equivalenza •
  • 14. Funzioni come relazioni •
  • 15. Dall’astrazione al concreto e ritorno. Le funzioni in natura. Naturalmente la definizione di funzione appena fornita, sebbene perfettamente rigorosa e coerente, presenta dei notevoli limiti didattici: • In primo luogo non rende giustizia della storia affascinante del concetto di funzione che ben prima della nascita della teoria degli insiemi nacque dagli sforzi, intorno al problema di quantificare il moto, gli sforzi di matematici come Galileo Galilei, Barrow, Huyghens, Newton e Leibniz avevano come prerequisito comune (diversamente dalle giovani generazioni di allievi) quasi esclusivamente la geometria, il concetto di numero decimale e l’algebra. • In secondo luogo deve essere completata da una lunga serie di esempi specialmente nel caso di studenti del primo biennio del Liceo, a cui secondo le indicazioni nazionali questo tipo di argomenti deve essere rivolto per la prima volta.
  • 16. Esempi di funzioni • Gli esempi di funzioni che anche i ragazzi del liceo incontrano tutti i giorni sono molteplici: sono riconducibili al concetto di funzione i diagrammi che rappresentano il variare delle quotazioni dei titoli di borsa, sono funzioni quelle che rappresentano il variare della temperature nelle ore di una giornata, sono funzioni quelle che rappresentano il costo di una telefonata al variare del numero di minuti della durata, è una funzione quella che rappresenta la velocità istantanea misurata dal tachimetro di un’automobile. Se moltissimi esempi partono dalla variabile indipendente tempo, altri esempi, possono essere presi dalla fisica per descrivere altre situazioni: è riconducibile al concetto di funzione quella che collega la temperatura alla dilatazione volumetrica misurabile di un fluido (esempio mercurio, oppure: gas legge di stato dei gas). • Questi ultimi esempi, tratti dalla fisica, che fa parte integrante delle stesse indicazioni nazionali per il biennio del liceo scientifico, possono essere oggetto di svariate attività laboratoriali.
  • 17. Dalle proporzioni alle funzioni razionali. •
  • 18. Attività di laboratorio • Molti esempi di attività laboratoriali possono essere prese dalla piattaforma didattica M@t.abel elaborata in accordo con le indicazioni emerse dalle valutazioni OCSE-PISA sono state pensate per aiutare gli allievi a «sporcarsi le mani» con la matematica, imparando al tempo stesso a fare un uso intelligente e meno passivo delle tecnologie informatiche. • Introduzione al concetto di funzione.doc • Uso di Excel: ispirandomi a questo progetto di unità didattica ho pensato ad una personalizzazione, immaginando una visita al laboratorio di fisica e la realizzazione di una serie di misure di dilatazione termica di un liquido finalizzate alla realizzazione ed alla taratura di un termometro ad alcool. Taratura.xlsx Come si può vedere l’esperimento, a tubo aperto, è reso difficoltoso dalla facilità di evaporazione dell’alcool che rende inaffidabili le stime di errore basate sulla esclusiva valutazione dell’errore di lettura. Occorre in questo caso effettuare una stima indiretta degli errori sistematici dello strumento.
  • 19. Astrazioni successive del concetto di funzione • Funzioni a valori altre funzioni. A livello laboratoriale si può fare molto sul concetto di trasformazioni funzionali. Un esempio è dato dal concetto di evolvente di una curva che può essere tracciato in modo pratico. In termini di obiettivi di lungo termine il punto di approdo sono le trasformazioni funzionali come il luogo dei centri di curvatura ed altri che richiedono un pieno sviluppo dell’analisi. Numeri complessi. Il linguaggio delle relazioni permette di parlare bene di enti come ad esempio i numeri complessi (inizialmente interi gaussiani e razionali) che possono essere visti come coppie dotate di un’operazione interna. Si tratta comunque di approfondimenti vari ed eventuali da calibrare sul livello degli studenti più ricettivi ma tenendo sempre di vista gli studenti con più difficoltà.