Teoremi della Similitudine sulla Circonferenza•Teorema delle due secanti.•Teorema della tangente e della secante..Sezione ...
Teorema delle due cordeSe due corde di una circonferenza si intersecano le parti diuna sono i medi e le parti dell’altra s...
Teorema delle due secanti:Se da un punto esterno ad una circonferenza si traccianodue semirette secanti, i due segmenti, i...
PACBDPD : PB = PA : PCsono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoliin quanto hanno due angoli congruenti...
Teorema della tangente e della secante:Se da un punto esterno ad una circonferenza sitracciano una semiretta tangente e un...
PBATPer il primo criterio di similitudine sono simili. Quindihanno i lati omologhi (i lati opposti agli angoli uguali) inp...
Asse radicale di due circonferenze
Date due circonferenze secanti, si traccia la retta passante peri loro punti di intersezione. 1clicDa un qualunque punto P...
I punti della retta secante, comune alle due circonferenze edesterni ad esse, costituiscono l’insieme dei punti del pianoe...
Sezione aurea di un segmentoDefinizioneECostruzione grafica
Dato il segmento AB, si definisce sezione aurea diAB la parte del segmento che è media proporzionaletra l’intero segmento ...
COSTRUZIONE GRAFICA DELLA SEZIONEAUREA DI UN SEGMENTO
A BCOCon centro in O e raggio r = ½ABtraccio la circonferenza, cherisulta tangente al segmento AB.(1CLIC)Dall’estremo B de...
BCEDAODimostrazione:Per il teorema della corda e dellasecante: ”se da un punto esterno ad unacrf. si tracciano una retta t...
C BAax a - xCalcolo della sezione aurea di un segmento.Sia a la misura del segmento dato AB. Indichiamo con xla misura del...
Sviluppando i calcoli:x 2+ ax - a 2= 0L’equazione ammette due soluzioni, una delle qualinegativa e quindi non accettabile....
Ulteriore proprietà della sezione aurea.
Dato il segmento AB, sia AC la sua sezione aurea e CB laparte rimanente (cioè la differenza tra il segmento e lasua parte ...
Proprietà:Se si calcola la sezione aurea della sezioneaurea, si ottiene come risultato la parterimanente CB del segmento A...
La dimostrazione si ottiene applicando la formula dellasezione aurea al segmento AC.Per ottenere la misura della sezione a...
Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:a(3 - √5 )2a( √5 – 1) 24Che, come si constata, coincide con la misura di CB
Applicazioni della Sezione AureaLato del decagono regolare
36°Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è lasezione aurea del raggio della crf.PremessaTeorema: In...
36°A DCB72°36° 36°La proporzione AD : DB = AB : BC diventa AD : DB = AB : ADInvertendo i termini della proporzione:AB : AD...
I vertici del decagono regolare suddividono la crf.nza circoscritta inarchi tra loro congruenti e tutti ampi 360°: 10 = 36...
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Sezione aurea def

  1. 1. Teoremi della Similitudine sulla Circonferenza•Teorema delle due secanti.•Teorema della tangente e della secante..Sezione aurea di un segmento..Ulteriore proprietà della sezione aurea .•Teorema delle due corde..Applicazione della sezione aurea .
  2. 2. Teorema delle due cordeSe due corde di una circonferenza si intersecano le parti diuna sono i medi e le parti dell’altra sono gli estremi di unaproporzione.ABCDEIpotesi: AB, CD corde Tesi: AE : EC = ED : EBSi considerano i due triangoli:AED e CEB. 1clicEssi hanno: AED ~ CEB, perché angoliopposti al vertice. 1 clicEAD ~ ECB perché angoli alla crf.nzache insistono sullo stesso arco DB. 1clicPer il primo criterio di similitudine sono simili, da cuisegue la tesi: AE : EC = ED : EB.
  3. 3. Teorema delle due secanti:Se da un punto esterno ad una circonferenza si traccianodue semirette secanti, i due segmenti, individuati tra ilpunto esterno e le intersezioni con la crf., sono i mediPACBDmentre i due segmenti dell’altra secante sono gliestremi di una proporzione”(in parole semplici: l’intera secante e la parte esternadi una semiretta sono i medi di una proporzione cheha per estremi l’altra secante e la sua parte esterna)PD : PB = PA : PC
  4. 4. PACBDPD : PB = PA : PCsono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoliin quanto hanno due angoli congruenti:•PDA ~ PBC perché angoli alla circonferenza che insistonosullo stesso arco di crf, AC. 1clic.Inoltre hanno l’angolo BPD in comune.Da ciò segue la tesi.I due triangoli PAD e PCB 1clic
  5. 5. Teorema della tangente e della secante:Se da un punto esterno ad una circonferenza sitracciano una semiretta tangente e una semirettasecante, il segmento di tangente (tra il puntoesterno e quello di tangenza) è medio proporzionaletra i segmenti individuati dal punto esterno e i puntid’intersezione della secante (l’intera secante e lasua parte esterna).PBATPB : PT = PT :PASegue dimostrazione
  6. 6. PBATPer il primo criterio di similitudine sono simili. Quindihanno i lati omologhi (i lati opposti agli angoli uguali) inproporzione:PB : PT = PT :PAA questo punto segue la trattazione della sezione aurea di unsegmento.…… sono simili in quanto:•ABT ~ ATP perché angolialla crf. che insistono sullostesso arco AT.• Hanno BPT in comune. 1clicDimostrazione: I triangoli BPT e APT ….. 1clic
  7. 7. Asse radicale di due circonferenze
  8. 8. Date due circonferenze secanti, si traccia la retta passante peri loro punti di intersezione. 1clicDa un qualunque punto P della secante, si tracciano le duesemirette tangenti alle crf.nze. Siano T ed S i punti di tangenza.1clicPS TABSi applica il teorema dellatangente e della secante alledue crf.nza:PA : PT = PT : PB,PA : PS = PS : PBApplicando la proprietà delleproporzioni, secondo la quale ilprodotto dei medi è uguale alprodotto degli estremi, di ottiene:PT2= PA*PB e PS2= PA*PBDa cui: PT2= PS2.La quantità PT2si chiama potenza del punto Prispetto alle 2 crf.nze.
  9. 9. I punti della retta secante, comune alle due circonferenze edesterni ad esse, costituiscono l’insieme dei punti del pianoequipotenti rispetto alle due crf.nze.AB
  10. 10. Sezione aurea di un segmentoDefinizioneECostruzione grafica
  11. 11. Dato il segmento AB, si definisce sezione aurea diAB la parte del segmento che è media proporzionaletra l’intero segmento AB e la parte rimanente:A C BAB : AC = AC : BCDefinizione di sezione aurea di un segmento
  12. 12. COSTRUZIONE GRAFICA DELLA SEZIONEAUREA DI UN SEGMENTO
  13. 13. A BCOCon centro in O e raggio r = ½ABtraccio la circonferenza, cherisulta tangente al segmento AB.(1CLIC)Dall’estremo B del segmento traccio,perpendicolarmente ad esso, il segmento OB ~ ½ AB(1CLIC)Da A traccio la rettasecante passante per ilcentro O della crf.Siano E e D i punti diintersezione (1CLIC)EDCon il compasso centro in A e riporto il segmento AE su AB, siottiene il segmento AC. Dico che AC è la sezione aurea delsegmento dato AB. (1 CLIC)
  14. 14. BCEDAODimostrazione:Per il teorema della corda e dellasecante: ”se da un punto esterno ad unacrf. si tracciano una retta tangente euna retta secante, il segmento ditangente risulta medio proporzionaletra l’intero segmento di secante e lasua parte esterna”, risulta:AD: AB = AB : AE,Ma, per costruzione: AE ~ AC,quindi:AD : AB = AB : AC,Applico la proprietà dello scomporre: (AD- AB):AB = (AB-AC):AC.Siccome CD ~ AB (diametri della crf.) (AD- AB) ~ AE ~ AC,e AB – AC ~ BC;la proporz. diventa: AC : AB = BC : AC,da cui: AB : AC = AC : BC. c.v.d.½AB
  15. 15. C BAax a - xCalcolo della sezione aurea di un segmento.Sia a la misura del segmento dato AB. Indichiamo con xla misura della sua sezione aurea.La proporzione che definisce la sezione aurea:AB : AC = AC : CBdiventa:a : x = x : (a-x)Per la proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medie uguale al prodotto degli estremi) si ha l’equazione disecondo grado: x 2= a(a – x)
  16. 16. Sviluppando i calcoli:x 2+ ax - a 2= 0L’equazione ammette due soluzioni, una delle qualinegativa e quindi non accettabile. Rimane la soluzione:ax = ( √5 -1)2Applicazioni:•Il lato del decagono regolare inscritto in unacirconferenza è la sezione aurea del raggio della crf.•Il lato del pentagono regolare inscritto in una crf.Costituisce l’ipotenusa di un triangolo rettangoloavente per cateti il raggio e la sua sezione aurea.
  17. 17. Ulteriore proprietà della sezione aurea.
  18. 18. Dato il segmento AB, sia AC la sua sezione aurea e CB laparte rimanente (cioè la differenza tra il segmento e lasua parte aurea)Calcoliamo la misura della parte rimanente del segmento(tolta la sua sezione aurea).A C BAB: AC = AC : CBaCB = a - ( √5 – 1)2Da cui si ottiene:aCB = (3 - √5 )2a
  19. 19. Proprietà:Se si calcola la sezione aurea della sezioneaurea, si ottiene come risultato la parterimanente CB del segmento AB.Cioè il segmento CB risulta essere la sezioneaurea di AC (sezione aurea di AB).
  20. 20. La dimostrazione si ottiene applicando la formula dellasezione aurea al segmento AC.Per ottenere la misura della sezione aurea di un segmento, sisostituisce la sua misura a nell’espressione:Quindi, in questo caso, inserendo questa espressione nellaformula che dà la sezione aurea, si ha:a( √5 – 1)2a( √5 – 1)2( √5 – 1)2
  21. 21. Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:a(3 - √5 )2a( √5 – 1) 24Che, come si constata, coincide con la misura di CB
  22. 22. Applicazioni della Sezione AureaLato del decagono regolare
  23. 23. 36°Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è lasezione aurea del raggio della crf.PremessaTeorema: In un triangolo isoscele con l’angolo al vertice ampio36° (= π/5 rad), la base è la sezione aurea del lato.A DCBSi traccia la bisettrice CD dell’angoloalla base C 1clicSi applica il teorema dellabisettrice:AD : DB = AC : BC 1clicConsiderazione sugli angoli: siccome l’angolo al vertice A èampio 36°, ciascuno degli angoli alla base è ampio½(180°-36°) = 72°. 1clic72°72°Ma AC ~ AB, quindi AD : DB = AC : BC
  24. 24. 36°A DCB72°36° 36°La proporzione AD : DB = AB : BC diventa AD : DB = AB : ADInvertendo i termini della proporzione:AB : AD = AD : DBSiccome AD è la bisettrice dell’angolo C, ampio 72°, risulta:ACD ~ BCD = 36°. Ma allora l’angolo BDC risulta ampio 72°. 1clicCiò significa che il triangolo DBC è anch’essoisoscele con base DB. Si hanno le seguenticongruenze tra i lati: BC ~ CD. 1clicMa anche il triangolo ADC è isoscelecon base AC. Quindi CD ~ AD, per laproprietà transitiva della congruenza siha: BC ~ AD 1clic
  25. 25. I vertici del decagono regolare suddividono la crf.nza circoscritta inarchi tra loro congruenti e tutti ampi 360°: 10 = 36° (= π/5 rad).Quindi i triangoli individuati dai raggi e dalle corde sono tuttitriangoli isosceli aventi l’angolo al vertice ampio 36°.Applicando il teorema del triangoloisoscele, con angolo al vertice di 36°, sideduce che la base AB, lato deldecagono regolare, risulta essere lasezione aurea del raggio dellacirconferenza circoscritta.Rl10 = ( √5 -1)236°OBA36°36° RRRR

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